Bu yazıda məhdudiyyətləri necə tapacağını öyrənmək istəyənlər üçün bu barədə danışacağıq. Nəzəriyyəyə dərindən girməyəcəyik, adətən müəllimlər tərəfindən mühazirələrdə verilir. Beləliklə, "darıxdırıcı nəzəriyyə" dəftərlərinizdə təsvir edilməlidir. Yoxdursa, o zaman kitabxanadan götürülmüş dərslikləri oxuya bilərsiniz Təhsil müəssisəsi və ya digər onlayn resurslar.

Deməli, hədd anlayışı ali riyaziyyat kursunun öyrənilməsində, xüsusən də inteqral hesabla rastlaşanda və həddi ilə inteqral arasındakı əlaqəni başa düşəndə ​​kifayət qədər vacibdir. Cari materialda nəzərə alınacaq sadə nümunələr, habelə onların həlli yolları.

Həll nümunələri

Misal 1

Hesablayın a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Həll

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Biz tez-tez bu limitləri həll etmək üçün kömək istəmək üçün bizə göndərilir. Onları ayrıca bir nümunə kimi vurğulamaq və izah etmək qərarına gəldik ki, bu məhdudiyyətlər, bir qayda olaraq, sadəcə xatırlanmalıdır. Probleminizi həll edə bilmirsinizsə, bizə göndərin. Biz ətraflı bir həll təqdim edəcəyik. Siz hesablamanın gedişatı ilə tanış ola və məlumat toplaya biləcəksiniz. Bu, müəllimdən vaxtında kredit almağa kömək edəcək!

Cavab verin

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Formanın qeyri-müəyyənliyi ilə nə etməli: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Misal 3

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ həll edin

Həll

Həmişə olduğu kimi, biz $ x $ dəyərini limit işarəsi altındakı ifadəyə əvəz etməklə başlayırıq. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Sonra nə var? Nəticə nə olmalıdır? Bu qeyri-müəyyənlik olduğundan, bu hələ cavab deyil və hesablamağa davam edirik. Saylarda çoxhədli olduğumuz üçün onu tanış olan $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ düsturundan istifadə edərək amillərə parçalayırıq. Yadda? Əla! İndi davam edin və mahnı ilə tətbiq edin :) Alırıq ki, $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Yuxarıdakı çevrilməni nəzərə alaraq həll etməyə davam edirik: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Cavab verin

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Son iki misaldakı limiti sonsuzluğa götürək və qeyri-müəyyənliyi nəzərdən keçirək: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Misal 5

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ hesablayın

Həll

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Nə etməli? Necə olmaq? Panik etməyin, çünki qeyri-mümkün mümkündür. Həm saydakı, həm də X məxrəcindəki mötərizələri çıxarıb, sonra azaltmaq lazımdır. Bundan sonra limiti hesablamağa çalışın. Çalışılır... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Nümunə 2-dəki tərifdən istifadə edərək və sonsuzluğu x-i əvəz edərək, əldə edirik: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Cavab verin

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Limitlərin hesablanması alqoritmi

Beləliklə, təhlil edilən nümunələri qısaca ümumiləşdirək və limitlərin həlli üçün alqoritm yaradaq:

1. Limit işarəsindən sonrakı ifadədə x nöqtəsini əvəz edin. Müəyyən bir ədəd və ya sonsuzluq əldə edilirsə, o zaman hədd tamamilə həll olunur. Əks təqdirdə, qeyri-müəyyənliyimiz var: "sıfıra bölünən sıfır" və ya "sonsuzluğa bölünən sonsuzluq" və təlimatın növbəti bəndlərinə keçin.
2. "Sıfırı sıfıra bölmək" qeyri-müəyyənliyini aradan qaldırmaq üçün siz pay və məxrəci faktorlara ayırmalısınız. Oxşar azaldın. İfadədəki x nöqtəsini həddi işarənin altına qoyun.
3. Əgər qeyri-müəyyənlik “sonsuzluğa bölünən sonsuzluqdur”sa, onda biz həm sayda, həm də ən böyük dərəcədə x məxrəcində çıxarırıq. X-ləri qısaldırıq. Limitin altındakı x dəyərlərini qalan ifadəyə əvəz edirik.

Bu yazıda siz Riyaziyyat kursunda tez-tez istifadə olunan limitlərin həllinin əsasları ilə tanış oldunuz. Əlbəttə ki, bunlar imtahan verənlərin təklif etdiyi bütün növ problemlər deyil, yalnız ən sadə həddlərdir. Gələcək məqalələrdə digər növ tapşırıqlar haqqında danışacağıq, lakin davam etmək üçün əvvəlcə bu dərsi öyrənməlisiniz. Köklər, dərəcələr varsa nə edəcəyimizi müzakirə edəcəyik, sonsuz kiçik ekvivalent funksiyaları, gözəl hədləri, L'Hopital qaydasını öyrənəcəyik.

Məhdudiyyətləri özünüz müəyyənləşdirə bilmirsinizsə, panik etməyin. Biz həmişə kömək etməkdən məmnunuq!

Bu onlayn riyaziyyat kalkulyatoru sizə lazım olsa kömək edəcək funksiya limitini hesablayın. Proqram həlləri məhdudlaşdırır nəinki problemin cavabını verir, həm də yol göstərir izahatlarla ətraflı həll, yəni. limit hesablanmasının gedişatını göstərir.

Bu proqram orta məktəb tələbələri üçün faydalı ola bilər ümumtəhsil məktəbləriüçün hazırlanır nəzarət işi və imtahanlar, imtahandan əvvəl bilikləri yoxlayarkən, valideynlər riyaziyyat və cəbrdən bir çox problemlərin həllinə nəzarət etsinlər. Yoxsa repetitor tutmaq və ya yeni dərsliklər almaq sizə çox baha başa gəlir? Yoxsa bunu mümkün qədər tez etmək istəyirsiniz? ev tapşırığı riyaziyyat yoxsa cəbr? Bu halda siz də ətraflı həlli ilə proqramlarımızdan istifadə edə bilərsiniz.

Bu yolla siz öz təliminizi və/və ya təliminizi keçirə bilərsiniz kiçik qardaşlar və ya bacılar, həll olunan vəzifələr sahəsində təhsil səviyyəsi yüksələrkən.

Funksiya ifadəsini daxil edin

Limiti hesablayın

Məlum olub ki, bu tapşırığı həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlər yüklənməyib və proqram işləməyə bilər.
Sizdə AdBlock aktiv ola bilər.
Bu halda onu söndürün və səhifəni yeniləyin.

Brauzerinizdə JavaScript deaktiv edilib.
Həllin görünməsi üçün JavaScript aktivləşdirilməlidir.
Brauzerinizdə JavaScript-i necə aktivləşdirmək barədə təlimatlar buradadır.

Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, müraciətiniz növbədədir.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Zəhmət olmasa, gözləyin san...

Əgər sən həllində səhv olduğunu gördü, sonra bu barədə Əlaqə Formunda yaza bilərsiniz.
Unutma hansı vəzifəni göstərin nə qərar verərsən sahələrə daxil olun.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulyatorlarımız:

Bir az nəzəriyyə.

X-> x 0-da funksiyanın limiti

Bəzi X çoxluğunda f(x) funksiyası müəyyən edilsin və \(x_0 \in X \) və ya \(x_0 \X deyil) nöqtəsi olsun.

X-dən x 0-dan başqa nöqtələr ardıcıllığını götürün:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x*-a yaxınlaşır. Bu ardıcıllığın nöqtələrindəki funksiya dəyərləri də ədədi ardıcıllıq təşkil edir
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
və onun hüdudunun mövcudluğu məsələsi qoyula bilər.

Tərif. A sayı, x arqumentinin hər hansı bir ardıcıllığı (1) üçün x \u003d x 0 (və ya x -> x 0) nöqtəsində f (x) funksiyasının həddi adlanır. x 0-a yaxınlaşan, x 0-dan fərqli olaraq, dəyər funksiyasının müvafiq ardıcıllığı (2) A sayına yaxınlaşır.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

f(x) funksiyasının x 0 nöqtəsində yalnız bir limiti ola bilər. Bu, ardıcıllığın olmasından irəli gəlir
(f(x n)) yalnız bir limitə malikdir.

Funksiya limitinin başqa bir tərifi var.

Tərif Hər hansı \(\varepsilon > 0 \) ədədi üçün \(\delta > 0 \) ədəd varsa, x = x 0 nöqtəsində A rəqəmi f(x) funksiyasının həddi adlanır. (x \in X, \; x \neq x_0 \) bərabərsizliyini təmin edən \(|x-x_0| Məntiqi simvollardan istifadə edərək, bu tərif belə yazıla bilər:
\((\forall \varepsilon > 0) (\mövcud \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Qeyd edək ki, bərabərsizliklər \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| Birinci tərif ədədi ardıcıllığın həddi anlayışına əsaslanır, ona görə də onu çox vaxt "ardıcıllıq dili" tərifi adlandırırlar. İkinci tərif "\(\varepsilon - \delta) adlanır. \)" tərifi.
Funksiya limitinin bu iki tərifi ekvivalentdir və siz onlardan hər hansı birini, konkret məsələnin həlli üçün hansı daha əlverişlidirsə, istifadə edə bilərsiniz.

Qeyd edək ki, funksiyanın həddinin “ardıcıllıq dilində” təyini həm də Heineyə görə funksiyanın limitinin təyini, funksiyanın həddi isə “dilində \(\varepsilon -) adlanır. \delta \)" Koşiyə görə funksiyanın limitinin tərifi də adlanır.

Funksiya limiti x->x 0 - və x->x 0 +-da

Bundan sonra funksiyanın birtərəfli hədləri anlayışlarından istifadə edəcəyik ki, bunlar aşağıdakı kimi müəyyən edilir.

Tərif X 0-a yaxınlaşan, x n elementləri x 0-dan böyük (kiçik) olan hər hansı ardıcıllıq (1) üçün müvafiq ardıcıllıq varsa, A rəqəmi f (x) funksiyasının x 0 nöqtəsində sağ (sol) həddi adlanır. (2) A-a yaxınlaşır.

Simvolik olaraq belə yazılır:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \sağ) $$

"\(\varepsilon - \delta \) dilində" funksiyanın birtərəfli hədlərinin ekvivalent tərifini vermək olar:

Tərif hər hansı bir \(\varepsilon > 0 \) üçün \(\delta > 0 \) varsa, x 0 nöqtəsində f(x) funksiyasının sağ (sol) həddi A sayı adlanır ki, bütün x üçün qaneedicidir. bərabərsizliklər \(x_0 Simvolik qeydlər:

\((\forall \varepsilon > 0) (\mövcud \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Əsas elementar funksiyalar sıralanıb.

Daha mürəkkəb formada olan funksiyalara keçərkən biz mütləq dəyəri təyin olunmayan ifadələrlə qarşılaşacağıq. Belə ifadələr deyilir qeyri-müəyyənliklər.

Gəlin hər şeyi sadalayaq qeyri-müəyyənliklərin əsas növləri: sıfır sıfıra bölünür (0-a 0), sonsuzluq sonsuza bölünür, sıfır dəfə sonsuzluq, sonsuzluq mənfi sonsuzluq, bir sonsuzluq gücünə, sıfır sıfırın gücünə, sonsuzluq sıfırın gücünə.

BÜTÜN DİGƏR İFADƏLƏR QEYRİYYƏT DEYİL VƏ TAM XÜSUSİ SON VƏ YA SONSUZ DƏYƏR ALIR.

Qeyri-müəyyənlikləri üzə çıxarın imkan verir:

• funksiya növünün sadələşdirilməsi (qısaldılmış vurma düsturlarından, triqonometrik düsturlardan istifadə edərək ifadənin çevrilməsi, sonrakı azalma ilə birləşdirici ifadələrlə vurma və s.);
• diqqətəlayiq məhdudiyyətlərin istifadəsi;
• L'Hospital qaydasının tətbiqi;
• sonsuz kiçik ifadənin ekvivalenti ilə əvəz edilməsindən istifadə (ekvivalent sonsuz kiçiklər cədvəlindən istifadə etməklə).

Qeyri-müəyyənlikləri qruplaşdırırıq qeyri-müəyyənlik cədvəli. Hər bir qeyri-müəyyənlik növü üçün onun açıqlanması metodunu (həddini tapmaq üsulu) yazışmalara qoyuruq.

Bu cədvəl əsas elementar funksiyaların hədlər cədvəli ilə birlikdə istənilən limitləri tapmaqda sizin əsas alətləriniz olacaqdır.

Dəyəri əvəz etdikdən sonra hər şey dərhal alındıqda və qeyri-müəyyənlik yaranmayanda bir-iki misal verək.

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edirik:

Və dərhal cavab aldıq.

Cavab:

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Eksponensial güc funksiyamızın bazasında x=0 dəyərini əvəz edirik:

Yəni limit kimi yenidən yazmaq olar

İndi isə indeksə nəzər salaq. Bu güc funksiyasıdır. Mənfi eksponentli güc funksiyaları üçün limitlər cədvəlinə müraciət edək. Oradan bizdə Və , buna görə də yaza bilərik .

Buna əsaslanaraq, limitimizi belə yazmaq olar:

Yenə limitlər cədvəlinə müraciət edirik, amma bunun üçün eksponensial funksiyalar birdən böyük baza ilə, buradan əldə edirik:

Cavab:

Ətraflı həlləri olan nümunələrə baxaq ifadələri çevirməklə qeyri-müəyyənliklərin açılması.

Çox vaxt qeyri-müəyyənliklərdən xilas olmaq üçün hədd işarəsi altındakı ifadəni bir az dəyişdirmək lazımdır.

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edirik:

Qeyri-müəyyənliyə gəldi. Həll metodunu seçmək üçün qeyri-müəyyənliklər cədvəlinə baxırıq. İfadəsini sadələşdirməyə çalışaq.

Cavab:

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edirik:

Qeyri-müəyyənliyə (0-0) gəldi. Həll metodunu seçmək üçün qeyri-müəyyənliklər cədvəlinə baxırıq və ifadəni sadələşdirməyə çalışırıq. Həm payı, həm də məxrəci məxrəcə birləşdirən ifadə ilə vururuq.

Məxrəc üçün bitişik ifadədir

Məxrəci elə vurduq ki, qısaldılmış vurma düsturunu - kvadratların fərqini tətbiq edək və sonra yaranan ifadəni azalda bilək.

Bir sıra dəyişikliklərdən sonra qeyri-müəyyənlik aradan qalxdı.

Cavab:

ŞƏRH: bu cür hədlər üçün birləşmiş ifadələrlə vurma üsulu tipikdir, ona görə də istifadə etməkdən çəkinməyin.

Misal.

Limiti hesablayın

Həll.

Dəyəri əvəz edirik:

Qeyri-müəyyənliyə gəldi. Həll metodunu seçmək üçün qeyri-müəyyənliklər cədvəlinə baxırıq və ifadəni sadələşdirməyə çalışırıq. Həm pay, həm də məxrəc x=1-də yox olduğundan, bu ifadələri (x-1) azaltmaq olarsa və qeyri-müəyyənlik aradan qalxar.

Nömrəni çarpayılara ayıraq:

Məxrəci faktorlara ayıraq:

Limitimiz aşağıdakı formada olacaq:

Transformasiyadan sonra qeyri-müəyyənlik üzə çıxdı.

Cavab:

Güc ifadələrinin sonsuzluğundakı hədləri nəzərdən keçirin. Əgər eksponensial ifadənin göstəriciləri müsbətdirsə, sonsuzluqdakı həddi sonsuzdur. Üstəlik, əsas dəyər ən böyük dərəcəyə malikdir, qalanları atmaq olar.

Misal.

Misal.

Əgər həddi işarənin altındakı ifadə kəsrdirsə və həm pay, həm də məxrəc güc ifadələridirsə (m ədədin gücü, n isə məxrəcin gücüdür), onda formanın sonsuzluğunun qeyri-müəyyənliyi olduqda. bu halda sonsuzluqla qeyri-müəyyənlik üzə çıxır bölmə və say və məxrəc ilə

Misal.

Limiti hesablayın

2011 Viosagmir I.A. Funksiya limiti 2011 ali riyaziyyat Dummies üçün. Funksiya həddi [email protected] Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 1 Funksiya limiti Giriş Yaxşı... Sizi funksiyanın limitləri haqqında ilk kitabıma salamlayıram. Bu, mənim qarşıdan gələn “Dummies üçün yüksək riyaziyyat” seriyasının birinci hissəsidir. Kitabın adı onsuz da sizə bu barədə çox şey söyləməlidir, lakin siz onu tamamilə səhv başa düşə bilərsiniz. Bu kitab “dummies”ə deyil, professorların kitablarında nə etdiyini başa düşməkdə çətinlik çəkən hər kəsə həsr olunub. Məni başa düşdüyünüzə əminəm. Mən özüm elə bir vəziyyətdə olmuşam və olmuşam ki, sadəcə olaraq eyni cümləni bir neçə dəfə oxumalıyam. Bu yaxşıdır? Məncə yox. Bəs mənim kitabım digərlərindən nə ilə fərqlənir? Birincisi, burada dil normaldır, “abstrus” deyil; ikincisi, burada təhlil edilən çoxlu nümunələr var ki, bu da, yeri gəlmişkən, sizin üçün faydalı olacaq; üçüncüsü, mətnin özü arasında ciddi fərq var - əsas şeylər müəyyən markerlərlə vurğulanır və nəhayət, mənim məqsədim yalnız birdir - sizin anlayışınız. Sizə yalnız bir şey lazımdır: istək və bacarıq. "Bacarıqlar?" – soruşursan. Bəli! Bacarıqlar və. Ümumiyyətlə, 65 vərəq üçün ayrıca dəftərin olması və hər şeyi orada yazması tövsiyə olunur. Bu kitabda yazılan hər şey. Nəticə təsir edici olacaq, sizə söz verirəm. Çox rəngli flomasterlərdən də istifadə etmək daha yaxşıdır. Yaxşı, cənablar... Sizə uğurlar və anlayış arzulamaq istəyirəm. Bu kitabı bitirsəniz, çox şey edə bilərsiniz!!! Kitabımda bəzi qeydlər olacaq. Onlara əməl etməyi çox tövsiyə edirəm. - mütləq öyrənin! - bunu özünüz etməyə cəhd etməyiniz tövsiyə olunur. - öyrənə bilməzsən, amma anlamaq lazımdır! Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 2 Mündəricat Bir nöqtədə funksiyanın limiti………………………………………………………………………………………… ….3 Limitlər haqqında teoremlər…………………………………………………………………………………………………………..13 Bir -tərəfli limitlər………………………………………………………………………………………………..14 Limit →∞………… …………………………………………………………………………………………………..17 Sonsuz funksiyalar………………… ………………………………………………………………………………………………………25 Elementar funksiyaların qrafikləri……………………………………… ……………………………… …………..26 Funksiyanın nöqtədə davamlılığı…………………………………………………………… …………………….31 Mürəkkəb funksiyanın davamlılığı………………………………………………………………………………..33 Təsnifat qırılma nöqtələri……………………………………………………………………………………………36 Elementar funksiyaların davamlılığı…………………… ……………………………………………………………41 Birinci gözəl hədd………………………………………………………………………………………..42 İkinci gözəl həddi………………………… ………………………………………………………………………………………………...47 Qısaca Maple haqqında…………………………………………………… …………………………………………………………………………………………..52 Sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi………………………………………………… …………………………..55 “o kiçik” simvolunun xüsusiyyətləri…………………………………………………………………………… ……………...60 Asimptotik düsturlar………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………….. ................................................................ ................................................................ ......................... 72 Taylor sırasına parçalanma. 1-ci hissə………………………………………………………………………………..80 Taylor genişlənməsi. 2-ci hissə………………………………………………………………………………………………………………..88 Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 3 Fəsil 1. Funksiya limiti. Ədədi dəyişən onun dəyişmə sahəsi olsun. Əgər hər bir ədəd ∈ hansısa ədədlə əlaqələndirilirsə, onda çoxluqda funksiyanın təyin olunduğunu söyləyirik və yazırıq. Ümid edirəm ki, bunu başa düşəcəksiniz, amma hər halda izah edəcəyəm. Daxil edin bu məsələ – iki koordinat oxundan ibarət müstəvi – 0X və 0Y. Bunu orta məktəbdən bilməli idin. Əgər bunu unutmusunuzsa, 7-8-ci sinifləri açın və təkrarlayın. Məsələn, şək. 1 funksiyanı göstərir. 0X və 0Y oxları onun dəyişmə sahəsini təşkil edir. Şəkildə aydın görə bilərik. 1 funksiya necə davranır. Bu halda çoxluqda funksiyanın təyin olunduğunu deyirik. Funksiyanın bütün özəl dəyərlərinin çoxluğuna dəyər dəsti deyilir. Başqa sözlə, dəyərlər dəsti funksiyanın təyin olunduğu OY oxu boyunca intervaldır. Məsələn, Şek. 1. - buradan dərhal aydın olur ki, 0, çünki 0. Bu şəkildə aydın görünür. Bu halda, dəyərlər diapazonu 0;∞-dir. Unutmayın, biz 0Y-də dəyərlər dəstinə baxırıq! Hamının məcmusuna tərif sahəsi deyilir. Biz əvvəlki mülahizələrdən nəticə çıxarırıq və başa düşürük ki, biz təriflər toplusuna 0-a baxırıq. Bizim vəziyyətimizdə ODZ = ∞;∞. Nöqtənin hər hansı qonşuluğunda çoxluğun nöqtələrindən başqa nöqtələr varsa, ∈ və ya çoxluğun hədd nöqtəsi adlanır. Burada heç nə əlavə etməyəcəyəm. Və beləliklə hər şey aydındır. Yalnız onu əlavə edə bilərik ki, bizim vəziyyətimizdə funksiyanın oblastının çoxluğunun həddi nöqtəsi. Məzmun: 1) Nöqtədə funksiya həddi 2) Limit teoremləri 3) Birtərəfli hədlər 4) Limit, →∞ kimi 5) Sonsuz böyük funksiyalar 6) Elementar funksiyaların qrafikləri 1. Bir nöqtədə funksiya həddi. düyü. 1 müstəqil dəyişən (arqument). funksiyanın əhatə dairəsi. bir nöqtədə funksiyanın özəl dəyəri. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 4 Beləliklə, tərifdən əvvəl funksiya limitinin nə olduğunu ümumi şəkildə izah edim. x ədədə meyl etdikdə funksiyanın meyl etdiyi b ədədi funksiyanın həddi adlanır. Hamısı belə yazılır: lim → Məsələn, . Biz funksiyanın →2 kimi nəyə (bərabər deyil!) meyl etdiyini öyrənməliyik. Əvvəlcə limiti yazaq: lim → lim → İndi qrafikə baxmaq vaxtıdır. 0 oxunda 2 nöqtəsindən 0-a paralel bir xətt çəkin. O, qrafikimizi 2-ci nöqtədə keçdi;4. Gəlin bu nöqtədən 0 oxuna perpendikulyar salaq və ... oops! Orada nə məna var? Düzdür, 4. Funksiyamızın məqsədi → 2 kimi. Çətin? Yaxşı, yox, əlbəttə ki, yox! Yəqin ki, funksiyada 2 dəyərini əvəz etsəniz, cavabın eyni olacağını görmüsünüz. Olduqca doğru. Bu “mürəkkəb” məhdudiyyətlər belə həll olunur. Əminlik üçün yoxlamağı unutmayın! Əminlik, aydın bir nəticə əldə etdiyimiz zamandır. Heç bir aydın nəticə olmadıqda qeyri-müəyyənlik. Məsələn: və ya - bütün bunlar qeyri-müəyyənlikdir. Bu çox vacibdir, bunu heç vaxt unutma! Buna görə də, dəftərinizdə aşağıdakı qeyd olmalıdır (şəkil çəkməyi də unutmayın): lim → lim → 2 4 Yaxşı, bununla, ümumiyyətlə, hər şey aydındır. Bu limitləri məşq edin və hesablayın: lim → ! 1 #;lim → ;lim → ;lim → √ Eyni şey →∞ və ya başqa sonsuz ədədə olduqda baş verir: lim → ∞ ∞ Və burada qeyri-müəyyənliyin olduğu bir nümunə var: lim → sin Qiyməti əvəz etsək. , 0-a bərabərdir, onda əldə etdiyimiz budur: . Və bu qeyri-müəyyənlikdir, ona görə də qərar vermək hüququmuz yoxdur! Sonra sizə qeyri-müəyyənliyi necə aşkar etməyi öyrədəcəm. İndi bunu unutmaq olmaz. Quraşdırıldı və yoxlanıldı. Qərar verilibmi? Bu, əminlik deməkdir. Həll edilməyib? Yaxşı, onda qərar ver. Hamınız gedəndə. Keçək formallıqlara, yəni təriflərə. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 5 NE TƏYİF EDİLMƏSİ, 0 , 1 , ∞ , 0 ∙ ∞ , ∞ ∞ Tərif 1 (Funksiyanın Koşi həddi) #1. lim → sin0 olduğunu sübut edin. Rahatlıq üçün bizim işimiz üçün (Kuşiyə görə) bir teorem tərtib edək. Əldə etdiyimiz budur: Gəlin bərabərsizlikdən istifadə edək | günah | (| | ∀. İxtiyari * 0 təyin edək və +* təyin edək. Onda əgər | | ,+, onda | sin | (| | ,+*. Bu o deməkdir ki, (funksiyanın Koşi tərifinə görə) lim → sin0. Buna görə də prinsipcə izah ediləcək heç nə yoxdur. O ki qaldı | sin | (| | onu sadəcə xatırlamaq lazımdır. *-a gəlincə, bu, qonşuluqda yerləşən çox kiçik rəqəmdir. № 2. “* + ” - mülahizə edin, sübut edin ki, lim → 4. Aşağıdakı cədvəli doldurun: * 0,1 0,01 0,001 0,0001 … + ∀ 0 ∃ 0 ∀ cavab verərsə, b rəqəmi (→ kimi) nöqtəsində funksiyanın həddi adlanır. şərtləri, 0 | | , || bərabərsizliyi ödənilir.0 ədədi sin funksiyasının 0 nöqtəsində həddi adlanır (→ 0 kimi), əgər ∀ 0 ∃ 0 elədirsə ki, ∀ 0 || şərtlərini ödəyir. , bərabərsizlik | sin | | | 2 4 2 | (| 2 | 4 | 2 | (*, 0 olan kimi, | 2 | , √ 4 * 2 √ . Son bərabərsizlik * √ olduqda daha doğru olacaqdır. 4 * 2 * 2 √ 4 * * 2 √ 4 4* * * 22 * ​​+ * | 2 | . Beləliklə, bu nümunəyə daha yaxından nəzər salaq. 1) Tərifi yazaq: ∀* 0 ∃+ 0 olarsa, 4 rəqəmi 2 nöqtəsində (→2 kimi) funksiyanın həddi adlanır ki, ∀ 0, 0, | şərtlərini ödəsin. 2 | ,+, bərabərsizlik | 4 | ,*. 2) Sadələşdirin: a) Şərt: 0, | 2 | ,+ +, 2,+ 2 +,2 + b) bərabərsizlik: | 4 | ,* *, 4,* 4 *,4 * 3) Anlayın: Əgər ∀* 0 ∃+ 0 ∀ 0 şərtlərini ödəyəcəksə, 4 rəqəmi 2-ci nöqtədə funksiyanın həddi adlanır (→ 2 kimi), 2 +,2 +, 4 *,4 * bərabərsizliyi təmin edilir. Hamısı! Qrafikdən istifadə edərək yazdığımız son tərifi oxuyun. Düzdür? Yaxşı, əlbəttə ki, doğrudur! Bu metodu xüsusilə sizin üçün, başa düşmək üçün yazdım. Bunu heç bir ədəbiyyatda tapa bilməzsiniz. Buna görə də, həqiqətən bütün bunları tez bir zamanda həll etmək istəyirsinizsə - xahiş edirəm! Bəli, bunun analitik şəkildə necə edildiyini izah etmək üçün mən butaforlar üçün Ali Riyaziyyat deyiləm. 2011 xüsusiyyət limiti 7 əmin edə bilərəm. Mən sizin üçün bir nümunə yazdım, indi mənim qrafik metodumdan istifadə edərək bunu özünüz başa düşməlisiniz. Hər şey anlayışdan qurulur, cənablar. İndi hər şeyi analitik səviyyədə izah etməyə çalışacağam. № 3. Təmir üçün. Funksiya limitinin Koşi tərifindən istifadə edərək sübut edin ki, lim → −16 −4 = 2 Addım 1: Həddi işarəsi altında ifadəmiz olan () funksiyasını təyin edin: = −16 −4 4-ə meyl edən limit, bu funksiya üçün müəyyən edilmiş 4-ün bəzi qonşuluğunu nəzərə almalısınız. Məsələn, interval 2-dən 5-ə qədərdir. 40(2.5) Amma! Qeyd edək ki, funksiya hər yerdə müəyyən edilməyib! O, 0 və = 4-də müəyyən edilməyib. Ümid edirəm ki, bunu başa düşəcəksiniz, amma hər halda yazacağam: -4 ≠ 0 → -4 ≠ 0 → 2 ≠ 0 ≠ 4 . Ümid edirəm hər şey aydındır. Yaxşı, təxribat, odur ki, tez davam edək. Prinsipcə, istənilən intervalı nəzərdən keçirə bilərik, lakin biz 40(2,5)-dən istifadə etməyi daha əlverişli hesab edirik. Addım 2: () funksiyasının limitinin tərifini Koşiyə görə yazaq. ∀* > 0,∃+ > 0:∀ ≠ 4, | -4 |< + ⇒ | −2 | < * Это значит: для любого * мы должны найти такое+, что как только x у нас отлично от 4 и x-4 по модулю не превосходит + ⇒ | −2 | должно не превосходить*. Шаг 3: Преобразуем выражение | −2 | , ≠ 4. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 8 | −2 | = 3 −16 −4 −23 = 4 +4 −2 4 = | −4 | Эти преобразования нетрудно проделать самостоятельно. Надеюсь, у вас не вызывает это трудности. Итак, ∀* > 0,∃+ > 0:∀ ≠ 4, | −4 | < + ⇒ | −2 | < * и | −2 | = | | . Заметьте, информации все больше и больше! Шаг 4: Оценим сверху выражение | −2 | , ≠ 4, ∈ (2,5). 3 −16 −4 −23 < | −4 | 2 Поняли? Мы оцениваем | | , т.к. 5 −2 5 = | | . Следовательно, | | >| | . Burada ən vacib şey çaşqınlıq yaratmamaqdır. ∈ 2,5 − biz bu şərti başlanğıcda qoyuruq. Fraksiyaların müqayisəsi buradan gəlir. daha nə | | və ya | | , burada ∈ 2,5 . Əlbəttə ki, birinci hissə. Məxrəcin kiçik olduğu yerdə daha böyük kəsr var (eyni saylarla). Addım 5: + = 2* təyin edin. Burada yalnız * götürə bilərik, 5 * götürə bilərik. Bu halda + = 2* olduqda bizim üçün ən əlverişlidir. Beləliklə, indi əldə etdiyimiz şey budur: ∀0 2.5 0< | −4 | < + | −2 | < + 2 = * Вывод: Все! Мы доказали, что предел равен 2. Вывод один: если хотите решать все это, берите еще раз и решайте. И так до тех пор, пока не поймете. Я попытался описать, как это доказывается аналитически. Можете посмотреть на это все и с графической точки зрения, не забыв все упростить. Информация: Вообще, честно говоря, от Вас таких доказательств не должны требовать. Они слишком уж “плавающие”. Если Вам все же интересна эта тема, откройте любой Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 9 учебник и посмотрите там материал. Соответственно, Вы ничего не поймете, если не напишете собственноручно решение + графики. Это Вам небольшая подсказка. Нарисуйте! И все сразу станет ясно. №1. Я забегаю немного вперед, но хотелось бы решить этот предел: lim → 16 4 Если мы подставим 4 под, у нас получится неопределенность: lim → 16 4 7 00 8 неопределенность! Что делать? Все просто. А давайте ка упростим дробь! 16 4 4 4 4 4 Все! Теперь, если мы подставим 4, у нас будет определенность, а, следовательно, мы можем решать. lim → 16 4 lim → 4 7 84 8 2 Вывод: от неопределенности мы избавляемся с помощью преобразований. №2. Посчитать предел: lim → 4 6 16 Здесь все очень просто. Разложим на множители числитель и знаменатель. Рассказываю первый и sonuncu dəfə, bunu necə etmək olar. Məxrəci faktorlara ayırmaq üçün onu sıfıra bərabərləşdirməli və sadəcə olaraq tənliyi həll etməliyik. Gəl bunu edək. 6 160 Kvadrat tənliyi həll etmək üçün ilk növbədə aşağıdakı düsturdan istifadə edərək diskriminantı tapmaq lazımdır: D 4E Dummies üçün Ali Riyaziyyat. 2011 10 ,E funksiyasının həddi kvadrat tənliyin elementləridir. IN ümumi görünüş kvadrat tənlik belə görünür: + +E = 0 Buna görə də, bizim vəziyyətimizdə = 1, = 6, E = −16. Dəyərləri əvəz edin və diskriminantı tapın: D = 36 +4 ∙ 1 ∙ 16 = 100 Sonra düsturdan istifadə edərək kvadrat tənliyin köklərini tapın, = − ± √ D 2 Əvəz edin və alın: , = −6 ±10 2 = F = −6 +10 2 = 2 = −6 −10 2 = −8 Kökləri tapdıq, bu o deməkdir ki, biz kvadrat polinomu faktorlara ayırmağa çox yaxınıq. Əvvəlcə düsturu yazırıq: + +E = (−)(−) Qeyd edək ki, hər çoxhədli bu şəkildə yazıla bilməz. Bu halda bizim heç bir ziddiyyətimiz yoxdur və deməli, bunu etmək olar. Beləliklə: +6 −16 = (−2)(+8) Bu, çox tez edə bilməli olduğunuz şeydir. Yaxşı, maksimum bir dəqiqədir. Beləliklə, problemlər varsa, dərhal həll edin. Numerator da faktorlara bölünə bilər. Bunu etmək daha asandır, çünki kvadratlar fərqi var. Formulu xatırlayıram: − = (−)(+) Beləliklə: −4 = (−2)(+2) Və limitimizi alırıq: lim → −4 +6 −16 = lim → (−2)(+2) ) ( −2)(+8) = lim → (− 2) (+2) (− 2) (+8) = lim → +2 +8 = 4 10 = 25 Göründüyü kimi, ümumiyyətlə, həll yolu bir xəttdədir. № 3. Məhdudiyyəti hesablayın: Dummies üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 11 lim → +5 +4 2 + −1 = lim → (+1)(+4) (2 −1)(+1) = lim → (+ 1) (+4) (2 −1 ) (+ 1) = lim → +4 2 −1 = − 33 = −1 №4. Limiti hesablayın: lim → − +2 −5 +3 +4 −7 +2 Burada sizə bir çətin kiçik şey öyrətmək istəyirəm. Dərəcəsi > 2 olan polinomu necə faktorlara ayırmaq olar? Diskriminantın fikrincə, biz bunu edə bilmərik - bu, yalnız kvadrat tənliklər üçündür. Beləliklə, nə etməli? İzah edirəm: payımızı amillərə parçalamaq üçün bizə heç olmasa bir kök tapmaq kifayətdir. Bu halda bizim seçim etməkdən başqa işimiz qalmayıb. − +2 −5 +3 = 0 Bərabərlik nə vaxt doğrudur? Bir az fikirləşdikdən sonra cavab veririk: nə vaxt = 1. Düzdür? 1-i tənliyə daxil edin və görəcəksiniz. Sonra çoxhədlimizi faktorlara ayırmaq hüququmuz var: − +2 −5 +3 = (−1) ∙ G() G tapmalı olduğumuz funksiyadır. G() üçün tənliyi həll edirik. Alırıq: G \u003d - +2 -5 +3 -1 Yaxşı, indi bir sütunda birini digərinə bölürük! − − + 2 − 5 + 3 − 1 − + 2 − 3 = G () − 2 − 5 + 3 2 − 2 − − 3 + 3 − 2 − − 3 + 3 − 3 + 3 0 Beləliklə, funksiyamız aşağıdakı kimi genişlənir: − +2 − 5 +3 = (−1) ∙ (+2 −3) Məxrəclə də eyni şeyi edirik və əldə edirik: +4 −7 +2 = (−1)(+5 −2) Dumilər üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 12 Cəmi: lim → 2 5 3 4 7 2 lim → 1 2 3 1 5 2 lim → 2 3 5 2 1 2 3 1 5 2 04 0 №5. Həddi hesablayın: lim → sin cos tg 1 lim → sin cos sin cos cos cos lim → sin cos sin cos cos lim → sin cos cos sin cos lim → cos √ 2 2 Tərif 2 (Heine funksiyası həddi) Heine funksiya həddi nadir ola bilər praktikada hər yerdə tapılır. Sizə yalnız bir şey lazımdır - hər halda onu öyrənmək. Faydalı ola bilər. Xüsusilə vurğulayırıq ki, funksiyanın nöqtədə həddi anlayışı yalnız funksiyanın təyinat sahəsinin həddi nöqtələri üçün təqdim edilir. Qeyd edək ki, bu halda funksiya nöqtədə müəyyən edilə bilməz, yəni, ümumiyyətlə, aid deyil. -ə yaxınlaşan hər hansı ardıcıllıq üçün b rəqəmi funksiyanın nöqtədəki həddi adlanır. belə ki, ∈ , # , funksiya qiymətlərinin müvafiq ardıcıllığı! b-yə yaxınlaşır. Qeyd: lim → və ya → nə zaman → . Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 13 Funksiya limitinin 1 və 2 tərifləri ekvivalentdir. Qoy və O nöqtənin hansısa qonşuluğunda, bəlkə də nöqtənin özü istisna olmaqla, müəyyən edilsin və lim → , lim → OE. Sonra: lim → P O Q E ; lim → P O Q E lim → O E ; lim → O E şərti altında E 0 O və T nöqtənin bəzi qonşuluğunda, bəlkə də nöqtənin özü istisna olmaqla, müəyyən edilsin və bərabərsizlikləri ödəsinlər (O (T. Let lim → lim → T. Sonra lim → O. Burada). ,deyəsən,hər şey aydındır.Teoremlər aydın və aydın ifadə olunub,məlumat asan başa düşülməlidir.Nəsə səhvdirsə,narahat olmayın,misallər qarşımızdadır.2.Limitlər haqqında teoremlər Butaforlar üçün ali riyaziyyat.Limit funksiyanın 2011 14 Birtərəfli limitləri... Çox müsbət səslər deyil, elə deyilmi?Bu, əslində çox sadədir.Şəkil 3 funksiyanın qrafikini göstərir.Gəlin bir neçə limit götürməyə çalışaq.Düşünürəm ki, 1) Əgər → 1. lim → 1 7 11 əminlikdir 8 1 2) Əgər →0. lim → qeyri-müəyyənlik Buna görə də, bizim əlavə qərar verməyə haqqımız yoxdur və sadələşdirməyə də yol yoxdur. Buna görə də heç bir məhdudiyyət yoxdur. Şəkilə baxın. 3 və siz orada funksiyanın müəyyən edilmədiyini görəcəksiniz, bax. Heç bir məhdudiyyətdən söhbət gedə bilməz. 3) Əgər →0 0 olarsa. Bu halda →0 0 yazmaq “0-ın sağında funksiyanın necə davrandığına baxın” deməkdir. Və qrafikdə nə görürük? Funksiya + sonsuzluğa qədər artır. Buna görə də: lim → 1 7 1 0 0 əminlik 8 ∞ başa düşürsən? 0 0 0, buna görə də biz artıq sıfırdan başqa bir şeyə bölürük. Gəlin aşağıdakı nümunələrə baxaq. 4) →0 0 olarsa. 0-ın solunda olan funksiya bizim üçün nə edir? Düzdü, azalır. Üstəlik, ∞-ə doğru azalır. lim → 1 7 1 0 0 əminlik 8 ∞ Bunu necə bəyənirsiniz? 5) Əgər →∞ 3.Birtərəfli limitlər 3 Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 15 Qrafikə baxırıq və görürük ki, funksiya →∞ kimi 0-a meyl edir.lim → 1 7 1 ∞ əminlik 8 0 6) Əgər →∞ Hər şey eynidirsə: lim → 1 7 1 ∞ əminlik 8 0 Son iki nümunəni xatırlamağı tövsiyə edirəm. Qeyri-müəyyənliyi açıqlayanda onlara həqiqətən ehtiyacımız olacaq. Yaxşı, mahiyyəti başa düşürsən? Yaxşı, onda formallıqlar... Tərif 1 (Koşiyə görə funksiya həddi) Tərif 2 (Heineyə görə funksiya həddi) Ümumiyyətlə, burada əlavə ediləcək heç nə yoxdur. Cauchy və Heine görə əvvəlki təriflərlə tam bənzətmə, buna görə də məhdudiyyətlərin necə sübut olunduğunu başa düşsəniz, birtərəfli olanları da sübut edə bilərsiniz. Sübutların strukturu eynidir. Qeyd: lim → && 0 Əgər 0 və 0 və 0 0 varsa, lim → mövcuddur. a-ya yaxınlaşan hər hansı ardıcıllıq üçün b rəqəmi a if nöqtəsində funksiyanın sağ (sol) həddi adlanır! belə ki, funksiya qiymətlərinin müvafiq ardıcıllığı! b-yə yaxınlaşır. b ədədi a nöqtəsində funksiyanın sağ (sol) həddi adlanır, əgər ∀ 0 ∃ 0 olarsa, ∀ şərtlərini ödəyən & (, a bərabərsizliyi | | a nöqtəsi istisna olmaqla, a nöqtəsi ola bilər. , və lim → var, onda 0 və 0 və 0 0 olur. Hər halda, 4-cü Teorem üçün bir nümunə nəzərdən keçirək. √ funksiyasını nəzərdən keçirək... Şəkil 4-də göstərilmişdir. Limitləri tapaq: lim → √ V √ 4 0 əminlik W 2 Niyə 0 heç nəyə təsir etmədi?Bəli, çünki heç nəyi dəyişmək lazım deyil.Funksiya 4-də müəyyən edilib, ona görə də 0-ı götürməyə ehtiyac yoxdur.lim → √ V √ 4 0 əminlik W 2 Hamısı eynidir.Funksiya 4-də müəyyən edilib, ona görə də 0-ı götürməyə ehtiyac yoxdur.Bunu heç kim izah etmir, çünki bu, kifayət qədər məntiqlidir.Deməli, 4-cü teoremlə: lim → √ ,lim. → √ mövcuddur, burada lim → √ lim → √ 2 Deməli, mövcuddur limit lim→ √ 2. Deməli, düzəldilib. 0 hesab etsək nə olar? Yaxşı, yoxlayaq: lim → √ V √ 0 0 əminlik W 0 Bu hədd mövcuddur. Funksiyaya baxın və orada müəyyən olunduğunu görəcəksiniz. lim → √ V √ 0 0 qeyri-müəyyənlik W limiti mövcud deyil Birdəfəlik xatırlayın: kök mənfi ola bilməz! Buna görə heç bir məhdudiyyət yoxdur! Lakin sonra belədir: lim → √ V √ 0 müəyyən W 0 Göründüyü kimi, 4-cü teorem yalnız bir istiqamətdə işləyir. Mənfi ola bilməz. Ona görə də, dostlar, diqqətli olun! düyü. 4 Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 17 Biz artıq bəzi halları nəzərdən keçirdik (qeyri-müəyyənliyin açıqlanması (1-ci hissə)). Transformasiyaların köməyi ilə qeyri-müəyyənlikdən xilas oluruq! Xahiş edirəm bunu yadda saxla və heç nədən qorxma. İndi isə sizə kiçik bir sirr demək istəyirəm: əgər →∞ olarsa, əksər hallarda limit işarəsi altındakı ifadə E ⁄ kimi formalara çevrilməlidir, burada c ədəddir. Niyə? Çünki bu kəsr həmişə 0-a meyl edəcək! Biz bunu artıq sübut etmişik. Unutmayın və həmişə istifadə edin! №1. Limiti hesablayın: lim → 5 lim → ]1 5 ^ lim → !1 5 # 1 0 1 Bunu necə bəyənirsiniz? Nəticə: kəsrimiz olduqda, çıxarırıq → azaldırıq → cavabı yazırıq. P.S. IN kvadrat mötərizələr İndi əminlik sözünü yazmayacam☺ №2. Limiti hesablayın: lim → 2 lim → 4 4 lim → ] 1 4 4 ^ lim → ! 1 4 4 # 0 0 0 0 Əla? Bəli! Beləliklə, bir daha müşahidə edək: belə hallarda məxrəcdə olduğu kimi eyni dərəcəni çıxarırıq. Baxmayaraq ki, ən yüksək dərəcə hesabdadırsa, onu çıxarmaq daha yaxşıdır. Ümumiyyətlə, hansı sizin üçün daha əlverişlidir. Bunu və bunu edə bilərsiniz. № 3. Limiti hesablayın: lim → 4 2 ∞∞ qeyri-müəyyənlik lim → 8 16 4 4 lim → ] 8 16 ^ ]1 4 4 ^ lim → 8 1 4 4 lim → ]1 8 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 8 1 8∞ #4. Limiti hesablayın: lim → " 0 2 5 2 7 3 0 0 0 0 0 2 8 32 1 6 ∞ No. 6. Limiti hesablayın: lim → 1 2 4 4 lim → ] 1 2 4 ^ ] 4 1^ lim → 1 2 4 4 1 7 0 0 0 0 1 8 0 Bir daha təkrar edirəm, kəsr olanda - onda biz çıxarırıq "İkinci sirri söyləməyin vaxtı gəldi. Bizə _ `_ şəklində bir ifadə verilirsə, bunu edin. onu çoxaltmağa tənbəllik etməyin.Bir misal çəkirəm: lim → ∞∞ qeyri-müəyyənlik lim → ∙ lim → 2 lim → 2 1 ]1 1 ^ lim → 2 1 1 1 lim → ]1 2 1 ^ ] 1 1 ^ 7 10 8 ∞ Təbii ki, gələcəkdə hər şeyi belə təfərrüatlı yazmayacaqsan.Bir neçə addım lazımdır, ona görə də narahat olmayın.P.S. #1-ə rast gələn kimi.Limiti hesablayın: lim → b 8 3 b Mürəkkəb? lim → b +8 +3 − b + = lim → P√ +8 +3 − √ + QP√ +8 +3 + √ + Q √ +8 +3 − √ + = lim → +8 +3 − − √ +8 +3 − √ + = lim → 7 +3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 = lim → ]7 + 3 ^ d c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 e = lim → 7 + 3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 Mən sizə bunu dedim. Hamınız c kimi kəsrlərlə bitməlidir, çünki onların hamısı 0-a gedir!!! Davam edirik: lim → 7 + 3 c 1 + 8 + 3 + c 1 + 1 = 7 7 +0 √ 1 +0 +0 + √ 1 +0 8 = 72 Qorxulu? Yaxşı yox ☺. Yavaş-yavaş, yavaş-yavaş, məhdudiyyətləri həll edin və çox şey əldə edəcəksiniz! № 2. Limiti hesablayın: lim → c + b + √ √ +1 Qorxulu☺? Narahat olmayın, hər şey eynidir. Bir şey kəsmək lazımdır. Nə və necə? √ - bu çıxarılmalı və azaldılmalıdır. Əgər dözməyə çalışsaq, o zaman sadəcə çaş-baş qalacağıq və cavab bundan dəyişməyəcək. Qeyri-müəyyənlik olmadıqda. Yəni məxrəcdə ən yüksək dərəcəsi olan x-i çıxarırıq. lim → c + b + √ √ +1 = lim → √ ∙ f 1 + g 1 + c 1 √ ∙ c 1 + 1 = lim → f 1 + g 1 + c 1 c 1 + 1 = h i i i i i i j f 1 + c 1 0 c 1 + 10 k l l l l l l m = 1 Burada yeganə çətinlik: √ necə çıxarmaq olar? Ümid edirəm ki, bunu edə bilərsiniz. № 3. Limiti hesablayın: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q Dummiyalar üçün ali riyaziyyat. Function limit 2011 20 Bizim yadplanetlimiz kim olursa olsun, onsuz da həll edəcəyik. Əvvəlcə Teorem 2-dən istifadə edərək limitimizi iki həddə bölək. Bunu bu şəkildə həll etmək daha asan olacaq, o mənada ki, daha az qarışa bilərsiniz. Qırmaqdan qorxursansa, özün əziyyət çək. ☺ lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → P −√ −1 Q + lim → P +√ −1 Q = lim → d −√ −1 e + lim → d +√ − 1 e Biz fraksiyaların əlavə edilməsindən və güc xassəsindən istifadə edərək limitlərlə sonrakı iş üçün hər şeyi sadələşdirdik. İndi bizim iki məhdudiyyətimiz var. Biz bir kəsir görürük. Mən sənə necə öyrətdim? Düzdür, biz bir kəsir görürük - biz konjugata çarpırıq. Beləliklə, gəlin bunu birlikdə edək. lim → d −√ −1 e + lim → d +√ −1 e = lim → d P −√ −1 QP +√ −1 Q ∙ P +√ −1 Q e + lim → d P +√ −1 QP −√ −1 Q ∙ P −√ −1 Q e Əldə etdiyimiz budur. Qeyd edək ki, biz əvvəlki kimi eyni şeyi edirik. Tək fərq ölçüsüdür. İndi hər bir limiti sadələşdirməliyik. Numeratorda kvadratların fərqi var. Birinci həddi sadələşdirin: lim → d P −√ −1 QP +√ −1 Q ∙ P +√ −1 Q e = lim → n − P √ −1 Q ∙ P +√ −1 Q o = lim → d − + 1 ∙ P +√ −1 Q e = lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e Birinci sadələşdirilmişdir. İndi ikinciyə keçək: lim → d P +√ −1 QP −√ −1 Q ∙ P −√ −1 Q e = lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e Əldə etdiyimiz budur: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e + lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e Biz kəsr görürük. Nə etməli? ÇIXARIN! Birinci Limit: Dummies üçün Ali Riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 21 lim → d 1 ∙ P +√ −1 Q e = lim → ! 1 + ∙ √ −1 # = lim → p q r ∙ 1 d 1 + c 1 − 1 e s t u = 7 02 8 = 0 İkinci hədd: lim → d 1 ∙ P −√ −1 Q e = lim → ! 1 − ∙ √ −1 # = lim → p q r ∙ 1 d 1 − c 1 − 1 e s t u = 7 00 − qeyri-müəyyənlik! 8 Dostlar, bu, xüsusilə böyük nümunələrdə tez-tez rastlaşacağınız şeydir. Nə etməli? Cavab sadədir: geri qayıdın və başqa cür edin. Nə yaxşı ki, heç olmasa birinci limit bizim üçün hesablanıb. Yaxşı, sərhədləri pozmağa qayıt. Bizdə olan budur: lim → d +√ −1 e Metodumuzun işləmədiyinə necə qərar verək? "Birləşdirilmiş üsul" işləmirsə nə etməli. Gəlin onu dərhal çıxartmağa çalışaq, elə deyilmi? Məxrəcdə ən yüksək dərəcə ilə çıxarırıq, ona görə də sadədir. lim → d +√ −1 e = lim → p q r d 1 + c 1 − 1 e s t u = lim → n1 + g 1 − 1 o = V 1 + √ 1 −0 W = 2 . Cəmi: lim → P −√ −1 Q + P +√ −1 Q = lim → d −√ −1 e + lim → d +√ −1 e = 0 +2 Budur! Cavab: 2 Çətindir? Mən belə düşünmürəm. Burada əsas şey dəqiqlik və əzmkarlıqdır. Dərhal işləmirsə, təslim olmayın. № 4. Məhdudiyyəti hesablayın: Dummies üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 22 lim → √ 4 − − √ 4 + 3 Burada sonsuzluğa meylli deyilik, amma göstərmək istəyirəm ki, konyuqasiya metodu burada da işləyir. lim → √ 4 − √ 4 + 3 = lim → P √ 4 − − √ 4 + QP √ 4 − + √ 4 + Q 3 P √ 4 − + √ 4 + Q = lim → 4 −3 P −4 √ 4 − + √ 4 + Q = lim → −2 3 P √ 4 − + √ 4 + Q = − 23 lim → 1 √ 4 − + √ 4 + = − 16 №5. Limiti hesablayın: lim → √ +1 −1 √ +2 − √ 2 Burada onu daha da sərinləşdirəcəyik - biz payı və məxrəci pay və məxrəcə birləşdirilən ifadələrlə vururuq. lim → √ +1 −1 √ +2 − √ 2 = lim → P√ +1 −1 QP√ +1 +1 QP√ +2 + √ 2 Q P√ +2 − √ 2 QP√ +1 +1 QP√ +2 + √ 2 Q = lim → (+1 −1) P√ +2 + √ 2 Q (+2 −2) P√ +1 +1 Q = lim → P√ +2 + √ 2 Q P√ +1 +1 Q = lim → √ +2 + √ 2 √ +1 +1 = √ 2 №6. Limiti hesablayın: lim → b 1 +tg − b 1 −tg sin2 = lim → P b 1 +tg − b 1 −tg QP b 1 +tg + b 1 −tg Q sin2 P b 1 +tg + b 1 − tg Q = lim → 2tg sin2 P b 1 +tg + b 1 −tg Q = lim → 1 cos P b 1 +tg + b 1 −tg Q = 12 Dumilər üçün ali riyaziyyat. Function Limit 2011 23 Beləliklə, bütün əvvəlkilərdən hansı nəticəyə gələ bilərik? Yaxşı, birincisi, limiti hesablamağınız xahiş olunursa, şübhəsiz ki, qeyri-müəyyənlik var. Aşağıdakı cədvəlləri yadda saxlamağınızı tövsiyə edirəm! Nümunə: lim → lim → lim → 2 lim → ]1 2 1 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 2 1 1 1 7 1 0 0 0 0 0 8 ∞ & & , 2) Əgər tipli ifadəmiz varsa və kimi nəticədə qeyri-müəyyənlik əldə edirik, onda aşağıdakı əməliyyatı yerinə yetirməliyik: sonra onu çıxarıb azaltmaq üçün bütün hallarda məxrəcdə olsun. 1) Əgər növ ifadəmiz varsa və nəticə qeyri-müəyyənlikdirsə, onda aşağıdakı əməliyyatı yerinə yetirməliyik: a sonra çıxarın və azaldın ki, bütün hallarda məxrəcdə olsun. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 24 Nümunə: lim → lim → lim → lim → ]1 1 ^ ] 1 1 ^ lim → 1 1 1 1 7 1 0 0 0 8 ∞ Gördüyünüz kimi eyni limiti hesabladıq fərqli yollar. Bu həmişə olmur! Bütün cədvəlləri vurma cədvəli kimi yadda saxlamalısınız. Yəqin ki, çoxlarının sualı ola bilər: nə vaxt istifadə etməli? Məşq edin, dostlar. Başqa seçiminiz yoxdur və ola da bilməz. Sadəcə öz təcrübəsi Bəzi nəticələr əldə edə bilərsiniz. Həmişə olduğu kimi, keçək formallıqlara (professor nəzəriyyəsi):) Onda ya dərhal çıxarıb azaltmaq lazımdır ki, bütün hallarda məxrəcdə olsun, ya da payın və ya məxrəcin qoşmasına çoxalsın. Vəziyyət.Qeyri-müəyyənliyi açıqlayarkən yuxarıda göstərilən hər üç bənddən istifadə etməlisiniz, zaman → ∞.Əgər hansısa başqa qiymətə meyl edirsə və qeyri-müəyyənliyimiz varsa, biz sadəcə olaraq sadələşdirmələrdən istifadə edirik (əlavə və ya azalmalar) Funksiya sətirdə müəyyən edilsin. " , & ∞ . Ədəd → & ∞ lim → kimi funksiyanın həddi adlanır, əgər ∀ 0 ∃ , 0 - " olarsa, ∀ , | | bərabərsizliyi yerinə yetirilir. Ədəd hər hansı sonsuz böyük ardıcıllıq üçün → & ∞ kimi funksiyanın həddi adlanır! " funksiya qiymətlərinin müvafiq ardıcıllığı! ilə birləşir. Dummies üçün Ali Riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 26 Eyni şey sonsuz kiçik funksiyalar üçün də keçərlidir. Fikrimcə, bizə ya sübutlar üçün, ya da ... başqa məqsədlər üçün müəyyən lazımdır. Ən azından buna heç vaxt ehtiyacım yox idi.Deməli, biz artıq limitin ∞-ə bərabər olduğu nümunələrlə tanış olmuşuq.Gördüyünüz kimi, onlar bütün digərləri ilə tam olaraq eyni hesab olunurlar.Burada aşağıdakı konstruksiya əsas rol oynayır:V 1 0 v W. Yadda saxlayın ki, bu konstruksiya HƏMİŞƏ ∞!||-ə bərabərdir.. ∀ .0 ∃ 0 olarsa, sağdakı a nöqtəsində funksiya sonsuz böyük adlanır ki, ∀ şərti &, bərabərsizliyi yerinə yetirilsin. : lim → ∞ Funksiya → & ∞ əgər ∀ olarsa, sonsuz böyük adlanır. 0 ∃ , - " belə ki, ∀ , | | . . Notation: lim → ∞ 5. Sonsuz böyük funksiyalar 0 1 0 1 2 ∞ Dummiyalar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 27 Bəli, indi edəcəyimiz şey məhz budur. Gələcəkdə onlara həqiqətən ehtiyacımız olacaq. Buna görə də, onları dərhal düzəltmək və eyni zamanda məhdudiyyətləri hesablamaq vacibdir. Razıyam, darıxdırıcı və maraqsızdır. Nəyisə bilirsənsə, keç və davam et, icazə verirəm☺. Beləliklə, bu, bizim ilk və ən çoxumuzdur mühüm funksiya. Biz bunu əvvəllər də əhatə etmişik, amma əvvəllər etdiyimizi təkrarlayaq. lim → w ∞ lim → w 0 lim → w ∞ lim → w 0 İstəsəniz, bütün bunları xatırlaya bilərsiniz, lakin ümumiyyətlə, qrafikin özünü xatırlamağınızı tövsiyə edirəm. Məncə, olduqca aydındır. Yaxşı, siz sadəcə olaraq bu funksiyanı bilməlisiniz, amma hər ehtimala qarşı bunu sizə xatırladacağam. Siz bilirsiniz, müxtəlif hallar var☺. lim → ∞ lim → ∞ 6.Elementar funksiyaların qrafikləri 1 funksiya azalır.Burada misallara baxaq: #1.Limiti hesablayın 1 lim → 2 2 ∞ lim → 2 2 0 MEMB! Bu, sadəcə yadda saxlamalı olduğunuz bir şeydir, çünki qrafiklər çox vaxt bir-biri ilə qarışdırılır.#2.Həddini hesablayın 0.1 lim → !12 # lim → 1 2 7 1 2 1 ∞ 8 0 lim → !12 # lim → 1 2 7 1 2 10 8 ∞ Bacardığınız kimi bax, biz əvvəlki ikisindən son iki həddi çıxardıq.- loqarifmik funksiya Burada da iki hiylə var: 1-də funksiya artır, 0.1-də isə funksiya azalır.№1. Limitləri hesablayın 1 lim → log 0 lim → log ∞ lim → log ∄ lim → log ∄ №2. Limitləri hesablayın 0 ,1 log Dummies Funksiya Limiti üçün Təkmil Riyaziyyat 2011 29 lim → log 0 lim → log ∞ lim → log ∄ lim → log ∄ o cədvəli daha yaxşı öyrənin. TAMAM! Gəlin davam edək ... Funksiyanın öz adı var - sinusoid. №1. Limit → sin limitini hesablayın. Nə etməli? Qrafik aydın şəkildə göstərir ki, funksiya bir dəyərdən digərinə “atılır”. Nəticə: belə bir məhdudiyyət yoxdur. Gəlin funksiyanın meyl göstərdiyi nümunələrə baxaq müxtəlif dəyərlər : lim → sin ( | ) | ~ lim → sin1 lim → sin 0 lim → sin 1 ; Kosinus dalğası üçün də eyni şeyi edəcəyəm. №1. Limiti hesablayın: lim → cos. Hamısı eyni fikirlər. Heç bir məhdudiyyət yoxdur! Aldığımız budur: lim → cos ( | ) | ~ lim → cos0 lim → cos 1 lim → cos 1 ; sin "67 Dummies üçün Ali Riyaziyyat. Funksiya Limiti 2011 30 Şəkildə iki funksiya göstərilir: O və EO. Gördüyünüz kimi, onlar çox oxşardırlar, ona görə də onları yadda saxlayıb-yada salmamağınız çox vacibdir. Gəlin kiçik bir təcrübə edək. İki qrafiki yadda saxlamağa çalışın.Hər kəsin öyrəndiyinə əmin olduqdan sonra aşağıdakı hədlərin hamısını həll edin və sonra qrafiklərlə özünüzü yoxlayın.#1 Limitləri hesablayın: lim → tg lim → tg lim → tg lim → tg lim → tg lim → tg lim → ctg lim → ctg lim → ctg lim → ctg lim → ctg lim → ctg arcsin sin funksiyasının tərsidir arccos cos funksiyasının tərsidir #1 Limiti hesablayın: lim → arcsin Gəlin baxaq arcsin graph Gördüyümüz → 0 kimi funksiya sonsuz sayda qiymətlər qəbul edir. Məsələn, lim → arcsin0 və lim → arcsin və s. Nəticə çıxarırıq: qrafikimizdə dövr var.lim → arcsinw,w intervalında yatan tam ədəddir. ∞,∞ 89 "89 arcsin arccos Dummies üçün ən yüksək riyaziyyat. Funksiya Limiti 2011 31 Arccos ilə eynidir. arctg tg funksiyasının tərs funksiyasıdır. arcctg ctg funksiyasının tərsidir. №1. Limiti hesablayın: lim → arctgw ∙ 2 w 2-ci pilləli tam ədəddir. Yəni, lim → arctan ⋯. Bunu belə yaza bilərsiniz: lim → arctg 2 2 2 w Qeyd edək ki, bu, özümüz təyin etdiyimiz ixtiyari tam ədəddir. Bununla əlaqədar bölməmizi - elementar funksiyaların qrafiklərini bitiririk. Müəllifin qeydi: Təbrik edirik! Siz "Funksiyanın limiti və davamlılığı" birinci hissəsinin "Funksiya limiti" adlı birinci fəsli tamamlaya bildiniz. Əlbəttə, bu, hamısı deyil. Mən sizə ancaq elementar şeylər dedim. Bundan sonra, biz ilk gözəl və ikinci gözəl keçidləri və məhdudiyyətləri götürməyin digər üsullarını gözləyəcəyik. Burada yazdığım hər şeyi başa düşsəniz, bundan sonra maraqlı olacaq! Sizi super mürəkkəb heç bir şey gözləmir ... arctg arcctg Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 32 Fəsil 2. Funksiyanın nöqtədə davamlılığı. Bu tərifi birdəfəlik xatırlayın! Əgər bunu bilmirsənsə, riyaziyyatda heçsən və heç kimsən. Sadə bir misala baxaq: 1 Tapşırıq: 1;0 nöqtələrində funksiyanın davamlılığını yoxlayın. 1. 1. 1-ci tərifdən istifadə edərək alırıq: lim → 1 1 ↭ 1 11 1 1-ci tərif yerinə yetirilibmi? Bəli! lim → 1 1 1 Nəticə: funksiya 1-ci nöqtədə fasiləsizdir. 2. 0. 1-ci tərifdən istifadə edərək belə alırıq: lim → 1 ∞↭ 0 10 →∄ 1-ci tərifə uyğundurmu? Yox! lim → 1 0 lim → Funksiya a nöqtəsində davamlı adlanır, əgər 1. Funksiya nöqtəsində fasiləsizdir. Məzmun: 1) Bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı 2) Mürəkkəb funksiyanın davamlılığı 3) Kəsiklik nöqtələrinin təsnifatı 4) Elementar funksiyaların davamlılığı 5) Birinci diqqətəlayiq həddi 6) İkinci diqqətəlayiq həddi 7) Maple haqqında qısaca Ali riyaziyyat üçün mankenlər. Funksiya limiti 2011 33 Nəticə: funksiya 0 nöqtəsində mövcud deyil. Burada da eynidir. Ln kimi funksiyalara və digərlərinə nəzər salın. Baxmayaraq ki, hər şeyin çox aydın olduğunu düşünürəm. Funksiyanın davamlı olması üçün onun sağda və solda bu nöqtədə davamlı olması zəruri və kifayətdir. Əgər və O funksiyaları bir nöqtədə fasiləsizdirsə, O, O, O, /O funksiyaları da bir nöqtədə fasiləsizdir (hissə O 0 şərti altındadır). Nümunə №1. Davamlılıq funksiyasını araşdırın. Əvvəlcə D∞,0 ∪0,∞ tərif sahəsini yazaq, çünki məxrəc 0-a bərabər ola bilməz. İndi biz sadəcə olaraq 6-cı Teoremdən istifadə edirik: lim → , burada 0. Buna görə də 6-cı teoremlə funksiya 0-dan başqa istənilən nöqtədə fasiləsizdir. lim → > müvafiq olaraq lim → E . Funksiya a nöqtəsinin sağ (sol) yarımqonşuluğunda müəyyən edilsin, yəni. bəzi yarım intervalda, & (müvafiq olaraq,). Bir funksiya sağda (müvafiq olaraq, solda) a if nöqtəsində davamlı adlanır. Dummies üçün Ali Riyaziyyat. Function Limit 2011 34 Bununla belə, hələlik buna çox ehtiyacınız olmayacaq. Mürəkkəb funksiyalara misallar verirəm: b | günah | ,cos 1 , log 1 . Niyə onlar çətindir? Birincisi üçün ardıcıl çevrilmələr zəncirinə baxaq: sin | | √ . Hamısı budur! İndi ikinci funksiyaya keçək: 1 cos . Və s. Mən buna çox vaxt sərf etmək istəmirəm. Ümid edirəm hər şeyi başa düşürsən. Yaxşı, keçək teoremə. Funksiya bir nöqtədə, funksiya isə bir nöqtədə davamlı olsun. Sonra mürəkkəb funksiya P Q bir nöqtədə davamlıdır. Sübut üçün bir nümunəyə baxaq. Burada mürəkkəb bir funksiya nəzərə alınmalıdır. Nümunə 1. Sübut edin ki: lim → 1 ln, 0, 1. 1 funksiyasını nəzərdən keçirək. 0 və 0 0 nöqtəsində fasiləsizdir. F funksiyası çoxluqda müəyyən edilsin, G isə qiymətlər çoxluğu olsun. bu funksiyadan. Bundan əlavə, H funksiyası G çoxluğunda müəyyən edilsin. Sonra çoxluqda mürəkkəb funksiyanın təyin olunduğunu söyləyirlər və H yazırlar, burada F və ya H F. 2. Mürəkkəb funksiyanın davamlılığı. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. 2011-ci ildə funksiyanın limiti 35 log 1, 1 log 1-dir. lim → : lim → log 1 lim → ln ln 1 hesablayın Bu addım aydın olmaya bilər, ona görə də mən sizə fərqli əsaslı loqarifmə çevirmə düsturunu xatırlatmalıyam: Onu yadda saxlayın və bir daha ona qayıtmayın. Bu vəziyyətdə, yeni bir baza. İşimiz üçün xüsusi olaraq bir düstur yazaq: log 1 log 1 log ln1 ln . Beləliklə, davam edək: lim → log 1 lim → ln ln 1 ln 1 lim → ln1 . Düzdür? ln rəqəmdir, ona görə də onu çıxardıq. İndi lim → limitini hesablamalıyıq. Funksiyanı ln 1 ln (həmçinin loqarifmin xassəsidir!) kimi təqdim edək, burada 1 . lim → 1 olduğundan (Bu, ikinci gözəl hədddir. Hələlik biz onu keçməmişik, amma inanın ki, bərabərlik doğrudur) və ln funksiyası bir nöqtədə davamlıdır, onda lim → ln 1 ln1. Nümunəmizə qayıdaq. Aldığımız budur: log log log ∙ log log Dummies üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 36 lim → log (1 +) = lim → ln ln 1 + = ln 1 lim → ln(1 +) = ln 1 = ln. İndi = 0 nöqtəsində fasiləsiz olan (), funksiyasını nəzərdən keçirək: = log (1 +) at ≠ 0 ln at = 0 Teorem 8-ə görə, kompleks funksiya P Q = −1 at ≠ 0 ln at = 0 nöqtəsində davamlıdır. nöqtə = 0. Buna görə də lim → − 1 = log. Çətin? Ola bilər, amma bunu başa düşmək lazımdır, çünki bu mövzunu başa düşmək üçün çox vacibdir. Üstəlik, burada diqqət tələb olunur, yaxşı və "bir az düşünmək". Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 37 Başlamaq üçün gəlin “qırılma nöqtəsi”nin ümumiyyətlə nə demək olduğunu anlayaq. Hər şey son dərəcə sadədir! Kəsiklik nöqtələrinin təsnifatını nəzərdən keçirməyə başlamazdan əvvəl, həmişə şərti yoxlamaq lazımdır: nöqtənin özü istisna olmaqla, nöqtənin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilməlidir. Şərt yerinə yetirilərsə, kəsilmə nöqtələrinin təsnifatını nəzərdən keçirə bilərik. Nümunə №1. sin Əvvəlcə tərif oblastını yazaq: D ∞;0 ∪0;∞. Bu dərhal göstərir ki, 0 qeyri-adi nöqtədir. Funksiya orada müəyyən edilmir, lakin onun qonşuluğunda müəyyən edilir. lim → sin 1 0 sin . Buradan belə çıxır ki, 0 çıxarıla bilən kəsilmə nöqtəsidir. Bir nöqtə funksiyanın kəsilmə nöqtəsi adlanır, əgər o nöqtədə kəsilməzdir. lim → # Point – çıxarıla bilən kəsilmə nöqtəsi, əgər 3. Kəsmə nöqtələrinin təsnifatı. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya Limiti 2011 38 Nümunə №1. sgn sgn funksiyası artıq sizə tanış olmalıdır, amma mən bunu sizə xatırladacağam. sgn 1,0, 1, 0 0 ,0 , lim → sgn 1, lim → sgn 1, 0 0. Buradan belə çıxır ki, lim → sgn lim → sgn sgn nöqtəsi 0 birinci növ kəsilmə nöqtəsidir. Nümunə №1. tg Əvvəlcə D \ 2 w ,w0 domenini yazırıq. lim → tg∞ ∃ lim → # lim → # Əgər birtərəfli sərhədlərdən ən azı biri mövcud deyilsə və ya sonsuzluğa bərabərdirsə, nöqtə ikinci növ kəsilmə nöqtəsidirsə, nöqtə birinci növ kəsilmə nöqtəsidir. . f(x) = sgn(x) Dummies üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 39 lim → tg∞ hədlərin ən azı biri sonsuzluğa bərabərdir, onda w ikinci növ kəsilmə nöqtəsidir. Nümunə №2. ln İlk olaraq D 0;∞ domenini yazırıq. limln → 0 limln → ∄ limitlərdən ən azı biri mövcud deyilsə, 0 ikinci növ fasiləsizlik nöqtəsidir. Beləliklə, biz indi kəsilmə nöqtələrinin təsnifatını bilirik. Hər bir hal üçün nümunələri nəzərdən keçirdik. Onlar olduqca yüngüldür, ona görə də bir az daha məşq edək. Aşağıdakı bütün nömrələrdə qırılma nöqtələrini təyin edin. P.S. Əvvəlcə bunu özünüz etməyə çalışın, sonra özünüzü sınayın. Uğurlar ☺! №1. 2 , ln, (1 1 lim → lim → ln0, lim → lim → 1. lim → lim → 1-ci bənddə funksiya birinci növ fasiləsizliyə malikdir. Dummies üçün Ali Riyaziyyat Funksiya limiti 2011 40 lim → lim → 7 0 8 0, lim → lim → ∄ 0 ikinci növ hədd nöqtəsi №3 1 2 3 Əvvəlcə yazırıq: 4 0 D ∞,4 ∪4 ,∞.lim → 1 2 3 lim → 1 2 3 7 1 2 0 8 12 , lim → 1 2 3 lim → 1 2 3 7 1 ∞ 8 0. Birinci növ 4 kəsilmə nöqtəsi.#4.|1|İlk olaraq yazırıq Kritik nöqtələr aşağıdakı kimi müəyyən edilir: 0 1 0. Kritik nöqtələr: 0 və 1. İndi D ∞,0 ∪ 0,1 ∪1,∞.lim → |1|7 10 8 ∞ 0 təyinetmə oblastını yazırıq, ikinci limin kəsilmə nöqtəsi → | 1 |lim → 1 lim → 1 1 lim → 1 1 Dummies üçün ali riyaziyyat Funksiya həddi 2011 41 lim → |1 |lim → 1 lim → 1 1 lim → 1 1 1 birinci növ kəsilmə nöqtəsi 0 kəsilmə nöqtəsi ikinci növ, birinci növdən 1 kəsilmə nöqtəsi № 5. 1 1 Əvvəlcə yazın: D ∞,1 ∪1,∞ lim → 1 1 lim → 1 1 1 lim → 1 1 13 Çıxarılan kəsilmə nöqtəsi: F 1 1 , 1 13 ,1 p-də davamlıdır boşluq və D. No 6-da. 1 1 1 1 1 1 Kritik nöqtələri tapmaq üçün funksiyanı sadələşdirməliyik. 1 1 1 1 1 1 1 1 Xal: 0;1;1. lim → 1 çıxarıla bilən kəsilmə. lim → ∞ ikinci şəhərin kəsilməsi. lim → 0 çıxarıla bilən fasilədir. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 42 №7. cos cos 1 və biz əldə edirik: 2 2w 1 çıxarıla bilən kəsilmə nöqtələri. Şəhər müəllifinin 0 bal fərqi. Məncə, kifayət qədər misallar var. Bütün bunları özünüz haqqında qərar versəniz, o zaman mövzunu 100% biləcəksiniz. Yaxşı, ümid edirəm ki, çox darıxdırıcı deyildi. Ən azından, başqa heç bir yerdə bu qədər sökülən nümunə tapa bilməzsiniz. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 43 Biz bu mövzunu artıq 1-ci fəslin 6-cı bəndində müzakirə etdik. Orada elementar funksiyaların qrafiklərini nəzərdən keçirdik və limitləri nəzərdən keçirdik. İndi keçək formallıqlara və “professor nəzəriyyəsinə”. Gördüyünüz kimi, mənim kitabımda bu “nəzəriyyə” var. Nə üçün? Çox sadədir - mən istəyirəm ki, sən nəinki çeynənmiş qəbul edəsən, həm də özün çeynəməyə çalış. Bu “nəzəriyyəni” aradan qaldırsam, işim boşa çıxacaq. Əlbəttə, nəyisə həll edə biləcəksiniz, amma nəyi və necə başa düşməyəcəksiniz. Ona görə də sizdən xahiş edirəm nəzəriyyəni öyrənin! Yaxın gələcəkdə mütləq ehtiyacınız olacaq. Yaxşı ki, lirik bir kənarlaşma idi ☺. Bir az nəzəriyyəyə keçək. Müəyyən bir nöqtənin qonşuluğunda müəyyən edilmiş hər hansı elementar funksiya bu nöqtədə davamlıdır. “Professorun nəzəriyyəsi” burada sona çatır və biz əlamətdar hədlərə keçirik. I "6J78 , log 0 , # 1 , sin , cos , tg , ctg , arcsin , arccos , arctg , arcctg funksiyaları ən sadə (və ya əsas) elementar funksiyalar adlanır. Bütün elementar funksiyaların çoxluğuna elementar funksiyalar sinfi deyilir. Ən sadə elementar funksiyalar üzərində sonlu sayda arifmetik əməliyyatlar və superpozisiyalardan istifadə etməklə əldə edilə bilən funksiya elementar adlanır 4. Elementar funksiyaların davamlılığı Dummies üçün Ali Riyaziyyat Function Limit 2011 44 ​​Çox vacib bir mövzu! sizdən xahişim:həllinə baxmazdan əvvəl özünüz nəyəsə nail olmağa çalışın.Onu birdəfəlik əzbərləyin!Və bu düsturu heç vaxt unutmayın!Mən bunu sübut etməyəcəm,istəyirsinizsə,internetə baxın,orada var. mütləq No 1. lim → günah Həlli: günah 1 günah , Yaşa!Aşağıda gözəl bir hədd meydana çıxdı.lim → sin lim → 1 sin 7 11 8 1. Asan?Tamamilə ... No 2. lim → arcsin. Həlli: Dəyişən dəyişikliyi edək: arcsin edək. Sonra sin və əsas →0 baza →0-a keçir (sadəcə arcsin üçün →0 əvəz edin). Əslində bunu belə yazmaq daha asandır: lim → arcsin 7 arcsin ↭sin → 0 ↭ →0 8 lim → sin 7 11 8 1. 5. İlk gözəl hədd lim → sin 1 Dummies üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 45 Dəyişənin dəyişdirilməsinin bu yolunu yadda saxla. Gələcəkdə sizin üçün çox faydalı ola bilər. № 3. lim → arcsin . Həlli: lim → arcsin lim → 1 arcsin 7 arcsin ↭sin →0 ↭ →0 8 1 lim → sin 7 11 8 1. №4. lim → sin2 sin3 . Həlli: Funksiyanı aşağıdakı kimi çevirək: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 sin3 ∙ 23 #. Sabit amili həddi işarədən çıxaraq və hasil həddi teoremini tətbiq edək: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 sin3 ∙ 23 # 23 ∙ lim → sin2 2 ∙ lim → 3 sin3 Əvvəlki nümunədəki kimi əvəz edirik: lim → sin2 sin3 lim → ! sin2 2 ∙ 3 sin3 ∙ 23 # 23 ∙ lim → sin2 2 ∙ lim → 3 sin3 ! 2 ↭sin2sin →0 ↭ →0 4 3 ↭sin3sin →0 ↭ → 0 # 23 ∙ lim! həddi: lim → sin 4 lim → sin 4 4 ∙ 4 14 ∙ lim → sin 4 4 d 4 ↭4 →0 ↭ →0 e 14 ∙ lim !→ sin 14. Ali Riyaziyyat lim → 2tg 2. Tangenti təmsil edək sinus və kosinusun şərtlərini təyin edin və limit teoremlərindən istifadə edin lim → 2tg 2 lim → 2 ∙ sin 2 cos 2 lim → 2sin 2 cos 2 2 lim → sin 2 4] 2 ^ ∙ lim → 1 cos 2 d 2 ↭2 → 0 ↭ → 0 e 12 lim → sin ∙ lim → 1 cos 2 7 12 ∙ 1 ∙ 11 8 No. 7. lim → 1 cos 2 tg Qoşa bucaqların düsturlarına görə bizdə: lim → 1 cos 2 tg lim → 1 cos sin tg lim → cos sin cos sin tg lim → cos sin cos sin tg lim → 2sin tg lim → 2sin cos sin cos 2 lim → sin lim → cos 2 ∙ 1 ∙ 1 düsturlar! Hələ onlara ehtiyacınız olacaq. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 47 Çoxlu düsturlar var, lakin onların hamısını öyrənmək arzuolunandır. № 8. lim → 8sin 4 . Numeratoru 4 kuba vurun və bölün: sin K *L sinKcos L *cosKsinL cos K *L cos Kcos L ∓sinKsinL t9 K *L t9K *t9L 1 ∓t9Kt9L ct 9 K * L ct 9 K" t 91L ct 9L * ct 9 K sin K &cos K 1 tg K &1 1 cos K ctg K &1 1 sin K sin2K 2sinKcos K cos 2K cos K sin K 2cos K 1 1 2sin K tg 2K 2tgK 1 tg K ctg2K ctg * sinK sinL 2sin K *L 2 cos K ∓L 2 cos K &cosL 2cos K &L 2 cos K L 2 cos K cos L 2 sin K & L 2 sin K L 2 Dummies üçün Ali Riyaziyyat Limit Function 2011 48 lim → 8sin 4 lim → 4 ] 4 ^ 8sin 4 8 lim → ] 4 ^ sin 4 d 4 ↭4 →0 ↭ →0 e 8lim !→ sin 8 ∙ 18. No 9. lim → sin 2 4 1. Məxrəcdə kvadratını düzəldə bilərik. fərqi və sonra həmişə olduğu kimi yeni dəyişənə keçin. Sonra limit 0-a meyl edir və buna görə də biz ilk gözəl limiti tətbiq edə bilərik. lim → sin 2 4 1 lim → sin 2 2 ] 2 ↭ 2 →2 ↭ →2 20 ^lim !→ sin 1 1. №10. lim → sin3 sin4 6 . Limit teoremlərindən birinə əsaslanaraq bu həddi iki həddə bölmək olar: lim → sin3 sin4 6 lim → sin3 6 lim → sin4 6 12 lim → sin3 3 23 lim → sin4 4 3 ↭ 3 →0 ↭ →0 4 ↭ 4 → 0 ↭ →0 ¡ 12 lim → sin 23 lim → günah 76 . № 11. lim → cos cos 3 . İki bucağın kosinusu ilə qoşa bucağın sinusu arasındakı fərq üçün düsturlardan istifadə edərək payı çeviririk: cos cos32sin2 sin4sin cos , sonra lim → cos cos3 4lim → sin cos 4lim → cos4. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 49 İkinci diqqətəlayiq hədd forma limitidir.Biz bunu da sübut etmək fikrində deyilik. Ola bilsin ki, nə vaxtsa bütün dəlillər haqqında ayrıca kitab yazacam, amma hələlik buna vaxt itirməyəcəyik və dərhal nümunələrə keçəcəyik. Bir dərəcə mötərizəni görən kimi, ilk növbədə onu ikinci həddə endirməyə çalışın. Gəlin ilk rəqəmlərə daha yaxından nəzər salaq. №1. Limiti hesablayın: lim → ! 4 # Mötərizəni 5-in gücünə görürük, ona görə də ikinci gözəl həddi azaltmağa çalışırıq. Əvvəlcə 1-i formalaşdırmaq üçün içindəkiləri azaldaq: lim → ! 4 # lim → !1 4 # İndi dərəcə ilə oynamalıyıq. Bunlar. /4 kimi bir görünüşə ehtiyacımız var. Niyə? lim → !1 1 # düsturu lim → !1 1 # kimi göstərilə bilər. Bu vəziyyətdə bir əvəzinə dördümüz var. Beləliklə, əldə etdiyimiz budur: lim → ! 4 # lim → !1 4 # lim → ¢ !1 4 # £ . Bu koridoru düsturumuza tam endirmək üçün 4-ü işarə edirik. Sonra əldə edirik: lim → 1 1 lim → 1 6. İkinci gözəl həddi Butaylalar üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 50 lim → ! +4 # = lim → !1 + 4 # = lim → ¢ !1 + 4 # £ = ¤ = 4 ↭ = 4 →∞↭ → ∞ ¥ = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § = . Gördüyünüz kimi, burada mürəkkəb bir şey yoxdur. İşin alqoritmi çox sadədir: kəsrin 1 formasına endirilməsi + # dərəcənin # ∙ ¨ formasına endirilməsi dəyişənin dəyişdirilməsi və sonra sadəcə düstura görə hesablanması. Qarışıqsınızsa, narahat olmayın. Hələ çoxlu nümunələri təhlil etməyə vaxtımız var ☺. № 2. Həddini tapın: lim → ! +2 +1 # Keçən dəfə olduğu kimi edin: lim → ! +2 +1 # = lim → ! +1 +1 +1 # = lim → !1 + 1 +1 # Burada dəyişəni dəyişdikdən sonra dərəcəni çıxaracağıq. Bu halda, əvəz etmədən əvvəl ikinci həddi azaltmağa çalışmaqdan daha asandır. Bu heç bir şəkildə nəticəyə təsir etməyəcək. lim → ! +2 +1 # = lim → ! +1 +1 +1 # = lim → !1 + 1 +1 # = 2 = −1 ↭ = +1 →∞↭ →∞ = lim !→ !1 + 1 # ! = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § lim !→ !1 + 1 # = ∙ 1 = . Gördüyünüz kimi, burada fövqəltəbii heç nə yoxdur. Buradan keçmişə bənzər bir həll alqoritmi yaza bilərsiniz. Kəsrin 1 + # formasına endirilməsi dəyişənin dəyişməsi, dərəcənin # ∙ ¨ formasına endirilməsi və sonra sadəcə düsturla hesablanması. № 3. Limiti tapın: lim → d +5 +2 e Mötərizədə tam hissəni seçin: lim → d +5 +2 e = lim → d +2 +3 +2 e = lim → !1 + 3 +2 # = + 2 = 3 ↭ = +2 3 →∞↭ →∞ = lim !→ !1 + 1 # ! = lim !→ ¦!1 + 1 # ! § lim !→ !1 + 1 # = ∙ 7 1 + 10 8 = . Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 51 Nümunə əvvəlkinə tamamilə bənzəyir. Əgər “nəcə işlədiyini” başa düşürsənsə, onda siz əlasınız və təhlükəsiz şəkildə davam edə bilərsiniz. Burada böyük bir artı odur ki, bu və ya digər həddi həll etmək üçün yalnız bir neçə metodu bilmək kifayətdir. № 4. Limiti hesablayın: lim → ! 1 2 # Mötərizədə tam hissəni seçin: lim → ! 1 2 # lim → 7 !1 1 # 12 8 lim → !1 1 # lim → ! 12 # 1 ↭ 1 → ∞↭ →0 lim !→ 7 1 ! 8 lim → 2 2 lim → 2 8 ∞ Bundan əlavə, hər bir nümunəni belə ətraflı nəzərdən keçirmək istəmirəm, əks halda hər bir həll səhifənin yarısından çoxunu tutacaq. Əsas odur ki, siz ümumi fikri başa düşəsiniz və ideal həllə can atırsınız, yəni. qısa. Mən sizə daha bir məsləhət verəcəm, əvvəlcə özünüz bir şey qərar verməyə çalışın, sonra bunu düzgün edib-etmədiyinizi yoxlayın. № 5. Həddi hesablayın: lim → !1 1 # Həlli: lim → !1 1 # 1 ª« ªª lim → !1 1 # ∙!1 1 # ∙ lim → !1 1 # ∙ 1 №6. Həddi hesablayın: lim → 1 Həlli: lim → 1 1 ª« ªª lim → ! 1##7. Limiti hesablayın: lim → !1 2 # Dummies üçün daha yüksək riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 52 Həlli: lim → !1 2 # 1 ª« ªª lim → n!1 2 # o №8. Limiti hesablayın: lim → !1 4 # Həlli: lim → !1 4 # 1 ª« ªª lim → n!1 4 # o №9. Limiti hesablayın: lim → ! 3 1 # Həll yolu: lim → ! 3 1 # 1 ª« ªª lim → ! 1 4 1 # lim → !1 4 1 # ∙ lim → №10. Limiti hesablayın: lim → 4 ln 2 3 ln5 3 Həlli: lim → 4 ln 2 3 ln5 3 lim → 4 ln 2 3 5 3 lim → ln! 2 3 5 3 # lim → ln!1 3 5 3 # % lim → ln1. № 11. Say limitləri: Dummies üçün qabaqcıl riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 53 lim → d +1 +3 e Deməliyəm ki, bu misal artıq əvvəlkilərdən bir qədər maraqlıdır. Həlli: lim → d +1 +3 e = lim → d 1 + +1 +3 −1 e = lim → d 1 + +1 − −3 +3 +3 e = lim → !1 + −2 +3 # = lim → !1 + −2 +3 # ∙ ∙ = lim → ¢ !1 + −2 +3 # £ = &" → = = 1 Burada ikinci gözəl həddi bitirməyi təklif edirəm. Bundan əlavə, sonda kitabında bu mövzuda çoxlu tapşırıqlar tapa bilərsiniz. Təbii ki, cavablar əlavə olunacaq. Dummies üçün Ali Riyaziyyat. Funksiya Limiti 2011 54 Limitlərin elektron hesablanması haqqında da qeyd etmək istərdim. Belə bir proqram var - Maple və orada məhdudiyyətlər sadəcə bir bang ilə nəzərdən keçirilir. Gördüyünüz kimi, solda, pəncərədə düstur şablonları var. Sadəcə onlara basın və məlumatları doldurun. Enter düyməsini basın və cavabı alın. Ekran görüntüsündə, məsələn, son limitimiz hesablanır. Niyə bu proqrama ehtiyacınız var? Çeklər üçün. Limiti kağız üzərində hesabladıq, cavab aldıq. Düsturu proqrama daxil etdilər və yoxladılar. Əslində çox lazımlı bir şey. Müəllifin qeydi: Təbrik edirik! Siz “Funksiyanın həddi və davamlılığı” birinci hissəsinin “Bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı” ikinci fəslini tamamlaya bildiniz. Qarşınızda sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi, "Ο kiçik" simvolu və onun xassələri, asimptotik düsturlardan istifadə edərək funksiyaların hədlərinin hesablanması və eksponensial güc funksiyalarının hədlərinin hesablanması. Mövzular çox vacib olacaq, ona görə də təkcə “texniki” nümunələr deyil, sübut üçün nümunələr də nəzərdən keçiriləcək. Bu qeyddə sizə uğurlar arzulayıram! Tezliklə görüşərik! Hörmətlə, Viosagmir I.A. 7. Maple haqqında qısaca Maple Ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 55 Fəsil 3. Sonsuz kiçik funksiyalar. - funksiyası lim → -0 olarsa → (nöqtədə) kimi sonsuz kiçik adlanır. - və ® → kimi iki sonsuz kiçik funksiya olsun. - və® funksiyaları adlanır: a. → (bir nöqtədə) ilə eyni sıradan sonsuz kiçik, əgər lim → - ® E 0; b. Ekvivalent sonsuz kiçik kimi → (nöqtədə) əgər lim → - ® 1 qeydi: -~®as → . Əgər lim → () 0 olarsa, o zaman deyirlər ki, - → (nöqtədə) ®-dən daha yüksək tərtibli sonsuz kiçikdir və -²®-ni →-də (- ®-dən "² kiçik"-ə bərabərdir → → ). Məsələn, ² → 0-da. Oxşar təriflər → 0, → 0, → ∞ hallarına aiddir. Nəzərə almaq lazımdır ki, “² kiçik” simvolu olan bərabərliklər şərtidir. Məsələn, ² → 0 kimi bərabərliyi doğrudur, lakin ² yanlışdır, çünki ² simvolu hər hansı xüsusi funksiyanı deyil, → 0 kimi ondan daha yüksək dərəcəli sonsuz kiçik olan istənilən funksiyanı ifadə edir. Bu cür funksiyalar sonsuz saydadır, xüsusən də istənilən funksiya * (burada ³ 1) ² → 0 kimidir. Beləliklə, ² → 0 bərabərliyi o deməkdir ki, funksiya → 0-dan daha yüksək dərəcəli sonsuz kiçik funksiyalar çoxluğuna aiddir. Buna görə də, "in arxa tərəf ” bu bərabərlik doğru deyil: bütün funksiyalar toplusu bir funksiyaya endirilməmişdir. Heç nə aydın deyil ☺? Narahat olmayın, aşağıda bəzi nümunələrə nəzər salacağıq. Amma hər halda bir nəzəriyyə lazımdır, əks halda mənim kitabım riyazi olmaqdan çıxır və nə olduğu anlaşılmaz olur. 1. Sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi. lim → K 0 olarsa, K funksiyası → (nöqtədə) kimi sonsuz kiçik adlanır. Məzmun: 1) Sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi 2) “o kiçik” simvolunun xassələri 3) Sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya Limiti 2011 56 Bu mövzuya aid olan bir neçə nümunəyə baxaq. №1. 2 ² bərabərliyi → 0 kimi doğrudurmu? Həlli: 2 ² düzgündür, çünki lim → 2 0. Gördüyünüz kimi həll bir sətirdədir. Gəlin daha ətraflı təhlil edək ☺. Tərifimizi xatırlayaq! Əgər lim → () 0 olarsa, o zaman deyirlər ki, - → (nöqtədə) ®-dən daha yüksək tərtibli sonsuz kiçikdir və -²®-ni →-də (- ®-dən "² kiçik"-ə bərabərdir → → ). Bizim vəziyyətimizdə - 2 ilə işarə edirik. Sonra, biz haradansa ® "qazmaq" lazımdır. Onların -²® yazdıqları sözlərin tərifinə baxaq. Buradan belə nəticə çıxır ki, ® , nümunəmizə əsasən 2 ². Bundan əlavə, biz sadəcə tərifə əməl edirik, yəni. limiti yazın və onun sıfıra bərabər olub olmadığını yoxlayın. lim → - ® lim → 2 lim → 20 Həddi sıfırdır, buna görə də - 2 ® -dən →0-da (0 nöqtəsində) daha yüksək tərtibli sonsuz kiçikdir və →-də 2 ²® yazın. Aydınlıq üçün funksiyanın qrafiklərini də quracağıq. Qırmızı qrafik bizim "əsas" funksiyamızdır - 2 , yaşıl qrafik isə ® funksiyasıdır. Şəkil göstərir ki, sıfıra yaxın olanda - 2 funksiyası ® -dən daha sürətli ona meyl edir. Hamısı! Bu nümunəni çox ətraflı təhlil etdik. Bundan əlavə, bütün nümunələr eyni olacaq, buna görə də həlli bu qədər ətraflı yazmayacağam. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 57 Bütün digər hallarda qırmızı qrafik - funksiyası, yaşıl qrafik isə ®-dir. № 2. 3² bərabərliyi → 0 kimi doğrudurmu? Həlli: Əvvəlcə - və ® funksiyalarını yazaq. Aldığımız budur: - 3,® İndi limitə baxırıq: lim → - ® lim → 3 3 0 Limit sıfıra bərabər deyil, ona görə də 3² bərabərliyi yanlışdır. Amma! Limit sabitə bərabər olduğundan, 3 və sonsuz kiçik funksiyalar 0 nöqtəsində eyni qaydadadır. №3. bərabərliyi b | | ² → 0-da? Həlli: Əvvəlcə - və ® funksiyalarını yazaq. Əldə etdiyimiz budur: - b | | ,® İndi limitə baxın: lim → - ® lim → b | | lim → b | | b | | ∙ b | | 7 10 8 ∞ 0 Limit sıfıra bərabər deyil, deməli bərabərlik b | | ² yanlışdır. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 58 №4. Bərabərlik doğrudurmu | | ² → 0-da? Həlli: Əvvəlcə - və ® funksiyalarını yazaq. Aldığımız budur: - ln | | ,® İndi limitə baxın: lim → - ® lim → n ln | | olim → 1 qeyd | | 0 Limit sıfırdır, buna görə də bərabərlik | | ² düzgündür. № 5. 1 cos ² bərabərliyi →0 kimi doğrudurmu? Həlli: Əvvəlcə - və ® funksiyalarını yazaq. Aldığımız budur: - 1 cos ,® İndi limitə baxırıq: lim → - ® lim → 1 cos lim → 2sin] 2 ^ lim → n sin] 2 ^ 2 o 2 1 ∙ 0 0 Limit sıfırdır, deməli 1 cos bərabərliyi düzgündür. P.S. Bu cür hədlərin həlli sizdə artıq dummies üçün Ali riyaziyyat var. 2011-ci il 59 funksiya limiti çətin olmamalıdır. Əgər öhdəsindən gəlmədiyinizi hiss edirsinizsə, 1 və 2-ci fəsillərə qayıtmaq və hər şeyi təkrarlamaq daha yaxşıdır. Bizdə artıq belə növlərin bütün hədləri var idi. Bu, necə deyərlər, əsasdır, onsuz heç bir yerdə. Nümunələr hamısı bir-birinin eynisi olduğu üçün əvvəlcə onları özünüz həll edin, sonra həllinə baxın. Bunu etməsəniz, heç nə öyrənməyəcəksiniz! № 6. Sin ² bərabərliyi → 0 kimi doğrudurmu? Həlli: Əvvəlcə - və ® funksiyalarını yazaq. Aldığımız budur: - sin ,® İndi limitə baxırıq: lim → - ® lim → sin lim → ! sin # 1 1 Limit sıfır deyil, ona görə də günah ² doğru deyil. Amma! Limit birə bərabər olduğundan, sin və ekvivalent funksiyalar 0 nöqtəsində sonsuz kiçikdir. №7. ² bərabərliyi → 0 kimi doğrudurmu? Həlli: Əvvəlcə - və ® funksiyalarını yazaq. Aldığımız budur: - ,® İndi limitə baxırıq: lim → - ® lim → 0 Limit sıfırdır, ona görə də ² bərabərliyi doğrudur. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 60 №8. 1 cos ² bərabərliyi →0 kimi doğrudurmu? Həlli: Əvvəlcə - və ® funksiyalarını yazaq. Aldığımız budur: - 1 cos,® İndi limitə baxırıq: lim → - ® lim → 1 cos 12 Limit sıfıra bərabər deyil, ona görə də 1 cos² bərabərliyi yanlışdır. Amma! Limit sabit olduğundan, o zaman 0 nöqtəsində eyni düzülüşlü 1 cos və sonsuz kiçik funksiyalar. Dumilər üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 61 - və - iki ixtiyari sonsuz kiçik → funksiyası olsun ki, - ²® və - ²®. Sonra - - ²® ilə →. Bu teoremi aşağıdakı kimi yazmaq olar: ² ® ² ® ² ® . Yuxarıda göstərilənlərlə yanaşı, “² kiçik” simvolunun bir sıra xassələrini formalaşdıraq (hər yerdə bunu nəzərdə tuturuq - →0 və ® →0 → kimi). 1. ² ® ² ® ² ® 2. ² ® ² ® ² ® 3. ² E® ² ® ∀E 0 4. E² ® ² ® ∀E 0 5. ² ® ² P ® Q , ´ 2 ∈ µ ,w1 ,2,…, 1 6. P ² ® Q ² ® ∀ ∈ µ 7. ® ² ® ² ® ∀ ∈ µ 8. +)) ² ® , ´ 2 ∈ µ Onda 8 xassə də 1 üçün doğru olacaq: +)) ²1. 9. o P ∑ c , β , Q o β , burada c , ədədlər 10. ² P ² ® Q ² ® 11. ² P ® ² ® Q ² ® 12. -®² - ,-®² ® 13. Əgər ~ ®, sonra - ®²- və - ®²® Bu qeyddə nəzəriyyə bitir və təcrübə başlayır. Bütün xüsusiyyətləri öyrənməyi məsləhət görürəm. Gələcəkdə onlar bizim üçün çox faydalı olacaqlar. Birinci vəzifə çox ətraflı müzakirə olunacaq. Bu mövzunu “başa düşmək” üçün aşağıdakı tapşırıqları özünüz yerinə yetirməli olacaqsınız. №1. Limit limitindən istifadə edərək -→ .&- - 1 sinx funksiyasını ¹ ² P Q kimi →0 kimi təmsil edir, burada w1 və ya w2; və bəzi rəqəmlər. 2. “O kiçik” simvolunun xassələri. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 62 Həlli: Əvvəlcə sübut edək ki, if - və ® → ilə eyni ardıcıllıqda sonsuz kiçikdir, yəni. lim → () E 0, sonra - с® ²® kimi →. Həqiqətən, lim → - ® E → lim → d - ® E e 0 → lim → - E® ® 0 olduğundan, ²® simvolunun tərifi ilə bizdə - E® ²® və ya - E® ² ® ilə → . Bu bərabərlikdən istifadə edərək sinx²-ni → 0 kimi alırıq. Sonuncu düstur sin funksiyasının →0 kimi asimptotik düsturu adlanır. Bu düsturun sağ tərəfindəki son hədd, ², asimptotik düsturun qalığı adlanır. Bundan əlavə, aşağıdakı nümunələrdə biz eyni şeyi sübut etməyəcəyik və artıq sübut edilmiş şeylərdən çıxış edəcəyik, yəni. - E® ² ® at →. Buna görə də sübutu yenidən oxumağı və ən əsası onu başa düşməyi tövsiyə edirəm. № 2. Limit limitindən istifadə -→ /. - sinx funksiyasını ¹ ² P Q kimi →0 kimi təqdim edin, burada w1 və ya w2; və bəzi rəqəmlər. Həlli: Biz - E® ² ® düsturunu → kimi istifadə edirik və əldə edirik: cos 1 12 ² →0 kimi. Sonuncu düstur cos → 0 kimi funksiyasının asimptotik düsturu adlanır. Bu düsturun sağ tərəfində olan ² sonuncu həddi asimptotik düsturun qalığı adlanır. № 3. Lim -→ - 1 limitindən istifadə edərək, sinx funksiyasını ¹ ² P Q kimi →0 kimi təqdim edin, burada w1 və ya w2; və bəzi rəqəmlər. Həlli: Dummies üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 63 - E® ² ® düsturundan → kimi istifadə edirik və əldə edirik: ln1 ² → 0 kimi. Sonuncu düstur ln1 funksiyasının →0 kimi asimptotik düsturu adlanır. Bu düsturun sağ tərəfindəki son hədd, ², asimptotik düsturun qalığı adlanır. № 4. Limit limitindən istifadə edərək -→ √ - sinx funksiyasını ¹ ² P Q kimi →0 kimi təmsil edin, burada w1 və ya w2; və bəzi rəqəmlər. Həlli: Biz - E® ² ® düsturunu → kimi istifadə edirik və alırıq: √ 1 1 1 ² →0 kimi. Sonuncu düstur √ 1 funksiyasının → 0 kimi asimptotik düsturu adlanır. Bu düsturun sağ tərəfində olan ² sonuncu həddi asimptotik düsturun qalığı adlanır. Düşünürəm ki, bu sizə kifayət edəcək. İnstitutda və ya kollecdə buna demək olar ki, vaxt ayrılmır. Bu dəfə sizdən bu “² kiçik”in haradan gəldiyini və asimptotik düsturların necə alındığını başa düşmənizi istədim. Necə deyərlər, bir az nəzəriyyə sizə zərər verməyəcək və təbii ki, nəyin haradan gəldiyini başa düşmək arzuolunandır. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 64 Əvvəllər →0 kimi ən sadə elementar funksiyalar üçün asimptotik düsturlar artıq alınmışdır. Bu düsturları cədvəl şəklində yazırıq. Göstərilən düsturlar onlarda arqument əvəzinə əvəz etsək etibarlı qalır, burada º "sonsuz kiçik ardıcıllıqdır və ya burada lim → 0. Məsələn, birinci düsturdan gələn təqdimat etibarlıdır: sin 1 1 ²! 1 #, burada 2 ² ] ^ 2-dən daha yüksək nizamlı sonsuz kiçik ardıcıllıq, yəni. lim → ²] 1^1 lim → ²! 10. Yəni bununla demək istəyirik ki, əgər 2 sin → 0 olarsa, o zaman sinusa asimptotik düstur tətbiq edə bilərik. Məsələn, 1 funksiyası → 1 kimi sonsuz kiçikdir, ona görə də üçüncü düsturdan ln P 1 Q ² bərabərliyini → 1 və ya ln 1 1 1² bərabərliyini → 1 kimi alırıq. Başqa bir misal. Əvvəlki bərabərlikdən və ikinci düsturdan istifadə edərək cos ln funksiyasının asimptotik təsvirini →1 kimi yazırıq. 1 sin & 6 2 cos 1 2 & 6 3ln 1 & &6 4 1 & ln & 6 0 5 S 1 & & 6 6 1 & 1 & & 6 7 tg & 6 8sh &6 9 ch 1 & 2 & 6 10 th & 6 Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 65 ln funksiyası →1 kimi sıfıra meyllidir, ona görə də sonsuz kiçikdir, ona görə də üç nömrəli asimptotik düstur tətbiq oluna bilər: coslncos 1 ² 1. cos 1 ² 1 funksiyası →1 kimi sıfıra meyllidir, ona görə də o sonsuz kiçikdir, ona görə də siz iki nömrəli asimptotik düstur tətbiq edə bilərsiniz: cos lncos 1 ² 11 P 1 ² 1 Q 2 ² ] P 1 ² 1 Q ^. İndi "² kiçik" xassələri bizim üçün lazımlı olacaq. Onları tətbiq edirik və əldə edirik: P 1 ² 1 Q 2 1 2 1 ² 1 12 P ² 1 Q 1 2 ² 1 ² 1 1 2 ² 1. Etdiyimiz ilk iş sayını aşkar etmək oldu - orada cəmin kvadratı var. Sonra, sadəcə olaraq “² kiçik” xassələrini tətbiq edirik. Əgər onlara öyrətməmisinizsə, əvvəllər verdiyim cədvələ baxın. Eynilə, P 1 ² 1 Q 1 ² 1 . 11-ci asimptotik xassə tətbiq edirik. Alırıq: ² ] P 1 ² 1 Q ^² 1 ² 1 ² 1 . Nəhayət, cos ln1 1 2 ² 1-i → 1 kimi alırıq. Həllimizi belə yaza bilərik: lim → cos lnlim → d 1 1 2 ² 1 e . İndi başa düşürsünüz ki, bu asimptotik düsturlara niyə ehtiyacımız var! Bu limiti fərqli olaraq necə axtarardınız? Unutmayın, əgər funksiya sıfıra meyllidirsə, biz onu həmişə asimptotik düsturlarla əvəz edə bilərik. Əgər sıfıra deyil, məsələn, hansısa sabitə və ya sonsuzluğa meyllidirsə, bizim asimptotik düsturlardan istifadə etməyə haqqımız yoxdur! !! Asimptotik düsturlar yalnız funksiya 0-a meyl etdikdə tətbiq olunur! Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya Limiti 2011 66 Limitimizi hesablayaq: lim → cos lnlim → d 1 1 2 ² 1 e ¦1 1 1 2 §1. Çətin? Yox! Qarışıq? Bəli! Amma nə edə bilərsən, burada mütləq təcrübə lazımdır. Düşünürəm ki, bir neçə dəqiqədən sonra hər şey sizə aydın olacaq. Nümunələrə keçək. Həmişə olduğu kimi, birincisi ətraflı təhlil edilir, qalan nümunələr əvvəlcə özünüz həll olunur, sonra həllinə baxın. №1. Həddini tapın: lim → ln1 4 sin3 . Həlli: Əvvəlcə asimptotik düsturları tətbiq etməyin mümkün olub olmadığını görək. Onların nə vaxt istifadə oluna biləcəyini xatırlayın? Funksiya sıfıra düşəndə. Yoxlayın: lim → ln1 4 ln1 0 lim → sin3 sin0 0 Düzdür! Beləliklə, düsturlardan istifadə edirik. Bu halda ln1 ¼ ~¼,sin¼~¼ olur. Nümunə çox sadə olduğundan, burada “² kiçik” ifadəsini buraxa bilərik. İstəsəniz istifadə edə bilərsiniz. Onda lim → ln1 4 sin3 lim → 43 43 . Gördüyünüz kimi, hər şey çox sadədir. № 2. Həddi tapın: lim → √ 1 1 . Həlli: ½ √ 1 1 ¾ →0 və º » →0 →0 olduğu üçün asimptotik düsturları tətbiq edə bilərik. √ 1 ~1 3 ,. Yəni dummies üçün Ali riyaziyyat. Funksiyanın həddi 2011 67 lim → √ 1 1 lim → 1 3 1 lim → 3 13 . № 3. Həddini tapın: lim !→ 1 cos1 cos sin . Həlli: º 1 cos1 cos » → 0 və º sin » → 0 → 0 olduğundan asimptotik düsturları tətbiq edə bilərik. cos ~1 2, sin ~. Yəni lim !→ 1 cos1 cos sin lim !→ 1 cos!1 1 2 # sin lim !→ 1 cos 2 Nümunə sadələşdirilib, lakin bu, bizim üçün kifayət deyil. Buna görə də, 2 1 cos ildən! → 0 və º » → 0 kimi →0, onda biz asimptotik düsturları tətbiq edə bilərik. cos ~1 2 . lim !→ 1 cos1 cos sin lim !→ 1 cos!1 1 2 # sin lim !→ 1 cos 2 lim !→ 1 p r 1 ! 2 # 2 s u lim!→ 8 v 18 . № 4. Həddi tapın: lim → √ 1 2 3 1 . Həlli: ½√ 1 2 3 1 ¾ → 0 → 0 olduğundan asimptotik düsturları tətbiq edə bilərik. 1 ~ 1. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya Limiti 2011 68 Bu halda 1/2. Beləliklə, əldə etdiyimiz budur: lim → √ 1 2 3 1 lim → 1 2 3 2 1 12 lim → 2 3 12 lim → 2 3 7 12 ∙ 2 8 1. #5. Limiti tapın: lim → lnln . Həlli: º lnln » →0 kimi → olduğundan asimptotik düsturları tətbiq edə bilərik. ln 1 ¼ ~ ¼. Beləliklə, alırıq: lim → lnln lim → lnln 1 1 lim → ln1 ln 1 lim → ln 1 lim → ln ln lim → ln lim → ln 1 ] 1^ 2 ln 1 ] 1^ → → 1 kimi → 1 lim → 1 . Düzünü desəm, hədd ən sadələrdən biri deyil. Burada çaşqın olmaq kifayət qədər asandır, ona görə də əgər siz “çaydan” bu həddi götürmüsünüzsə, deməli, bu kitabı oxumazdan əvvəl olduğunuz kimi olmaqdan çox uzaqsınız. Siz artıq yaxşı bir institutun orta tələbəsisiniz! № 6. Limiti tapın: lim → log 1 2 . Həlli: º log 1 » →0 kimi → 2 olduğundan asimptotik düsturları tətbiq edə bilərik. ln 1 ¼ ~ ¼. Alırıq: lim → log 1 2 lim → log log 2 2 lim → log 2 2 lim → ln/2 ln2 2 1 ln2 lim → ln/2 2 1 ln2 lim → ln 1 ] 2 1^ 2 1 ln2 lim →2 1 2 1 2 ln2 lim → 2 2 1 2 ln2 . № 7. Limiti tapın: Dummies üçün Ali Riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 69 lim → sin 1 1 . Həlli: º sin 1 » →0 →1 kimi olduğundan asimptotik düsturları tətbiq edə bilərik. Sinus üçün bu düsturumuz var: sin~. Ona görə də yeni dəyişənə keçək. Qoy 1. Sonra → 0 →1 kimi olsun. Limit ¿lim !→ sin 1 1-ə bərabər olur. Sonra cəbri eynilikdən istifadə edirik: 1 4 6 4 1 Beləliklə, həddi tapırıq: ¿lim !→ sin 1 1 sin~lim !→ 4 6 4 lim !→ 1 4 6 4 14 . № 8. Həddi tapın: lim → lncos √ 1 1 . Həlli: º lncos » →0 və ½√ 1 1 2 →0 →0 olduğu üçün biz asimptotik düsturları tətbiq edə bilərik. √ 1 ~1 w ,ln 1 ~. Onda həddi ¿lim → lncos √ 1 1 lim → ln1 cos 1 !1 3 #1 lim → cos 1 /3 3 lim → 1 cos ¦1 cos ~ 2 §3 lim → 2 32 lim → 32 kimi yazmaq olar. № 9. Həddini tapın: lim → sinsintg! 2#lncos3. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Function Limit 2011 70 Həll yolu: Ürkütücü nümunə kimi görünür, elə deyilmi? Narahat olmayın ☺! Biz həmişə hər şeyin öhdəsindən gəlirik. Gəlin bu misalda da “² small” istifadə edək ki, cavabımız mütləq doğru olsun. Biz sinus və tangens üçün asimptotik düsturlardan və “² kiçik” xassələrindən istifadə edərək payın asimptotik genişlənməsini yazırıq: sinsintg d 2 e = sinsin 2 +² d 2 e ¡ = sin À 2 +² d 2 e +² 2 + ² d 2 e ¡ Á = sin 2 +² +² ¡ = sin 2 +² ¡ = 2 +². Burada ² d +² ] ^ e = ²() və ² +² = ²() faktından istifadə etdik. İndi kosinus və loqarifm üçün asimptotik düsturlardan istifadə edərək məxrəcin asimptotik genişlənməsini əldə edirik: lncos3 = ln1 − 3 2 +² 3 ¡ = lnn1 + − 9 2 +² ¡o = − 9 2 +² ¡ +² − 9 2 +² ¡ = − 9 2 +² +² = − 9 2 +². Burada ² 3 = ² ,² − 9 2 +² ¡ = ² ,² +² = ² olması faktından istifadə etdik. Beləliklə, bu hədd lim → sinsintqdir! 2 # lncos 3 = lim → 2 +²() − 9 2 +²() = lim → 12 + ²() − 92 + ²() = 12 +lim → ²() − 92 + lim → ²() = − 19. Burada biz ondan istifadə etdik ki, “² kiçik” simvolunun tərifinə görə lim → ² = 0. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Function Limit 2011 71 Müəllifdən: Deməliyəm ki, əgər bu səhifəyə çatmısınızsa, deməli, çaynikdən uzaqsınız! Onsuz da lap yaxşısan təhsilli insan, funksiyalar daxilində yaxşı təhlil edir. Bu mövzunu sizə mümkün qədər aydın şəkildə izah etməyə çalışmışam. Ümid edirəm ki, bunu bacardım. Sonra sizi böyük və çox vacib bir mövzu gözləyir. Bunlar törəmələr və diferensiallardır. Sonra mənim planlarımda "qeyri-müəyyən inteqral", daha sonra - "fasiləsiz və diferensiallanan funksiyalar haqqında əsas teoremlər" mövzusu var. Amma bütün bunlar hələlik planlarda var. Mən bu hissəni yazdım və bundan çox məmnunam. Şübhəsiz ki, kitabda həm qrammatik səhvlər, həm də riyazi səhvlər (işarənin itirilməsi) var. Zəhmət olmasa, bu barədə mənə poçtla yazın ... İndi siz təhlükəsiz şəkildə əlavə fəsillərə keçə bilərsiniz ☺. Uğurlar! Hörmətlə, Sizin Viosagmir I.A. [email protected] Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 72 Fəsil 4. Əlavə üsullar. nəzərdən keçirək əlavə üsullar , bununla biz limitlərimizi hesablaya bilərik. Bəzi hallarda bu üsullardan istifadə etmək artıq keçdiyimiz üsullardan daha asandır. Ancaq sizə xəbərdarlıq etməliyəm ki, burada bir funksiyanı necə fərqləndirə biləcəyinizi və necə fərqləndirəcəyini bilməlisiniz. İndi bu mövzuya toxunmayacağam, çünki bu mövzu mənim ikinci kitabımda geniş şəkildə müzakirə olunur. Bəs, bu L'Hopital metodu niyə bu qədər xüsusidir? O, V 0 0 v W və ∞ ∞ ⁄ formasının qeyri-müəyyənliklərini aşkar edə bilməsi ilə xüsusidir. Yadınızdadırsa, biz müxtəlif qeyri-müəyyənlikləri açıqlamaq üçün artıq bir çox yollardan keçmişik, lakin bunu açıqlamağın çətin olduğu, yaxşı və ya ən azı əlverişsiz olduğu hallar var. Ancaq yenə də L'Hopital qaydası bütün hallarda tətbiq edilmir. Ümumi tərtibat belə görünür: Müəyyən şəraitdə funksiyaların nisbətinin həddi onların törəmələrinin nisbətinin həddi ilə bərabərdir. Gəlin bu şərtlərə baxaq☺. 1. lim → lim → O0or∞ 2. və O deşilmiş məhəllədə diferensiallaşır 3. O 0 0 deşilmiş məhəllədə 4. lim → ′ O′ ∞ mövcuddur Onda, şərtlər 1 2 3 4 → lim → O olarsa lim → ' O ' . Qeyd edək ki, → və bir növ sonsuzluğa və ya hətta sıfıra deyil. Bu funksiyaların limitinin sonsuza və ya sıfıra bərabər olması bizim üçün vacibdir! Bir çox insan əvvəlcə bununla çaşır, buna görə də bu, qulaqlarınızdan keçməsin ☺. Məzmun: 1) L'Hopital qaydası 2) Taylor seriyasında genişlənmə. 1-ci hissə 3) Taylor seriyasında genişlənmə. 2-ci hissə 1.L'Hopital qaydası Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 73 Məncə burada əlavə nəzəriyyə verməyə ehtiyac yoxdur. Kitabım daha çox praktikaya yönəlib, ona görə də indi ona keçirik. №1. Limit həddi tapın → +5 3 . Həlli: Əvvəlcə () və O() = +5,O = 3 funksiyalarımızı yazırıq. İndi şərtlərimizi yoxlayırıq 1. lim → () = lim → +5 = 0,lim → O() = lim → 3 = 0 → ! 2. () və O() deşilmiş məhəllədə diferensiallaşır. Bunlar. = 0 − nöqtəsində bu funksiyaların törəməsini götürə bilərik! 3. O 0 = 3 ≠ 0 deşilmiş məhəllədə 0 −! 4. lim → ′() O′() à = lim → 2 +5 3 v − mövcuddur! Buna öyrəşdiyiniz zaman qiymətli vaxtınızı yoxlamağa sərf etməyəcəksiniz. Bunu necə edəcəyinizi sizə göstərdim. İndi yalnız birinci elementi yoxlayacağam. Sizə sözlər ayırın - hər bir elementi yoxlayın! Çünki hər şey mümkündür. lim → +5 3 = 7 00 − ÄÅ 8 = lim → +5 0 3 0 = lim → 2 +5 3 = 7 0 +5 3 − 8 = 53 Bu nümunə üçün ən yaxşı həll budur! 1 - qeyri-müəyyənliyi müəyyənləşdirin; 2 − biz törəmələri rəngləyirik; 3 - törəmələri nəzərdən keçiririk və eyni zamanda () və O()-nun 0-a meylli olub-olmamasına baxırıq; 4 - qeyri-müəyyənlik üçün müəyyən etmək; 5 - cavabı yazın. Asanlıqla? Bəli! Ancaq çaşqınlığa düşməmək üçün təcrübə lazımdır. № 2. lim → +4 +7 +3 həddi tapın Həlli: = +4 +7 → ∞ →∞ kimi və O = +3 → ∞ →∞ kimi. Ona görə də L'Hospital qaydasını tətbiq edə bilərik ☺. lim → +4 +7 +3 = ∞∞ = lim → +4 +7 0 +3 0 = lim → 3 +8 +7 3 +6 = ∞∞ = lim → 3 +8 +7 ′ 3 +6 ′ = lim → 6 +8 6 +6 = ∞∞ = lim → 6 +8 ′ 6 +6 ′ = lim → 66 = 7 66 8 = 1 Buteynlər üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 74 Burada L'Hopital qaydasını 3 dəfə tətbiq etməli olduq, çünki əminlik ayrılmaq istəmədi! Fərqləndirməyə başlamazdan əvvəl funksiyalardakı şərtləri yoxlamaq lazımdır. Burada şərtləri 4 dəfə yoxladınız! Onlar qırmızı rənglə qeyd olunub - keçməzdən əvvəl şərtləri yoxladığınız addımlar növbəti addım. Deməliyəm ki, yəqin ki, artıq başa düşmüsünüz ki, bu nümunə üçün bu metod açıq şəkildə optimal deyil. Burada bu kitabın yarısını etdiyimizdən istifadə etmək daha yaxşıdır - say və məxrəcdən çıxarın. lim → +4 +7 +3 = lim → ]1 + 4 + 7 ^ ]1 + 3 ^ = lim → 1 + 4 + 7 1 + 3 = 7 1 +0 +0 1 +0 8 = 1 və bunu edin : lim → +4 +7 +3 = ∞∞ = lim → +4 +7 0 +3 0 = lim → 3 +8 +7 3 +6 = lim → ]3 + 8 + 7 ^ ]3 + 6 ^ = lim → 3 + 8 + 7 3 + 6 = 7 1 +0 +0 3 +0 8 = 33 = 1 bunu daha iki dəfə edəcək. Vaxtımıza qənaət etmək üçün çıxarırıq ən yüksək dərəcə saya daxil edin ki, sonsuz kiçik funksiyalar əldə edək. Niyə mən buna çox vaxt sərf edirəm? İstəyirəm ki, hər şeyi başa düşəsiniz və müxtəlif üsulların bir-biri ilə qarışdırıla biləcəyini başa düşəsiniz! Eyni zamanda, hər bir belə üsulda şərtləri unutmaq olmaz. № 3. Limit həddi tapın lim → ln 1 +2lnsin Həll: Belə hallar üçün bizdə L'Hospital qaydası var. Ancaq fərqli olaraq necə qərar vermək olar? Yaxşı, bəlkə bir növ əvəz. Bütün şərtlər yerinə yetirildiyi üçün (onları özünüz yoxlayın), biz L'Hopital qaydasını tətbiq edə bilərik. lim → ln 1 +2lnsin = ∞∞ = lim → ln 0 1 +2lnsin 0 = lim → 1 2 ∙ cos sin = lim → sin 2 cos Buna bənzər misal əvvəllər ☺ yox idimi? Məncə, bu, ilk diqqətəlayiq hədddir. Gəlin daha gözəl yazaq: lim → sin 2 cos = 12 ∙ lim → 7! sin #∙ 1 cos 8 = 12 ∙ 1 ∙ lim → 1 cos = 12 Dummies üçün qabaqcıl riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 75 Buna görə də lim → ln 1 +2lnsin = 12 . Görürsünüz, L'Hopital qaydası bizə müəyyən yerə çatmağa kömək edir. Sonra sizinlə daha əvvəl yaşadıqlarımızı tətbiq edirik ☺. Davam edir... #4. Limit həddi tapın → 1 − cos 4 Həlli: Bütün şərtlər yerinə yetirildiyi üçün (onları özünüz yoxlayın), biz L'Hopital qaydasını tətbiq edə bilərik. lim → 1 − cos 4 = 7 00 8 = lim → 1 − cos 4 0 0 = lim → 4sin4 2 = 7 00 8 = lim → (4sin4)′ (2)′ = lim → 16cos 4 2 = 8 L'Hopital's iki dəfə qayda. Yeri gəlmişkən, burada L'Hospital qaydasının ilk tətbiqindən sonra ilk diqqətəlayiq limitin köməyi ilə həll edilə bilər. Biz bunu istərdik lim → 4sin4 2 = lim → ! sin4 4 #∙ 8 = 8 #5. Limit həddi tapın → ln Həlli: Gördüyünüz kimi burada kəsrlər yoxdur. Buna görə də L'Hopital qaydasını tətbiq edə bilmərik. Amma biz fərasətliyik, ona görə də indi kəsri özümüz edəcəyik ☺. ln = ln 1 v İndi hər şey düzgündür! Şərtləri özünüz yoxlayın və L'Hospital qaydasını tətbiq etmək hüququmuz olduğuna əmin olun. lim → ln = 0 ∙ ∞ = lim → ln 1 v = 7 00 8 = lim → ln ′ P 1 v Q ′ = lim → 1 − 1 = −lim → = 0 = 0 №6. Limit həddi tapın → ! 1 −1 − 1 ln # Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 76 Həlli: Əvvəlki nümunədə olduğu kimi burada da kəsr etmək lazımdır. Ümid edirəm ki, kəsrləri necə əlavə etməyi bilirsiniz müxtəlif məxrəclər☺. 1 −1 − 1 ln = ln − +1 −1 ln İndi hər şey düzgündür! Şərtləri özünüz yoxlayın və L'Hospital qaydasını tətbiq etmək hüququmuz olduğuna əmin olun. lim → ! 1 −1 − 1 ln #= ∞−∞ = lim → ln − +1 −1 ln = 7 00 8 = lim → (ln − +1)′ (−1 ln)′ = lim → 1 −1 ln + − 1 = lim → 1 − ln + −1 = 7 00 8 = lim → (1 −)′ (ln + −1)′ = lim → −1 1 +ln +1 = 7 − 12 8 = − 12 keçid etdik fraksiyalar, sonra L'Hospital qaydasını iki dəfə ardıcıl olaraq tətbiq etdi. № 7. Limit həddi tapın → 1 + Həll: Burada ikinci əlamətdar həddi keçməyə cəhd edə bilərik. Teylor qaydasını tətbiq etməyə çalışacağıq. Bunu etmək üçün bir kəsir etmək lazımdır. Bunu olduqca hiyləgərcəsinə edək - üçün 1 + işarələyin. Yəni, 1 + = →ln = 1 ∙ ln 1 + = ln 1 + İndi biz çox faydalı istifadə edirik Bu an xassə: Ä davamlı funksiya olduğundan, lnlim → = lim → ln mərc edirəm ki, yarınız heç nə başa düşmədi ☺. Qısacası, bu nümunədə biz prosesdə limitləri dəyişdirməyi xatırlayaraq bir funksiyadan digərinə keçirik. º → 0 kimi | →∞atln » Düzdür? Bəli! Loqarifmin qrafikini xatırlayın. Müvafiq olaraq, limitləri dəyişdirərək, L'Hopital qaydasından istifadə edərək limiti axtarmağa başlayırıq. lim → ln = lim → ln 1 + = ∞∞ = lim → ln 1 + ′ ′ = lim → 2 1 + = ∞∞ = lim → (2)′ 1 + ′ = lim → 2 2 = 0 tərsinə! Bunlar. Dummies üçün Ali Riyaziyyat alırıq. Funksiya həddi 2011 77 lim → = və ya lim → 1 + = 1 Maraqlı nümunə ☺? Anlamağınız üçün ən vacib şey eyni nümunədə həll edə biləcəyinizdir fərqli yollar, yalnız bir deyil. № 8. lim → −2arctg ln həddi tapın Həlli: Kəsr olmadığı üçün L'Hospital qaydasını tətbiq edə bilmərik. Buna görə də biz bunu edirik −2arctg ln = −2arctg 1 ln Siz 4 xassəni yoxlayırsınız və L'Hopital qaydasını tətbiq edə biləcəyinizi başa düşürsünüz. lim → −2arctg ln = lim → −2arctg 1 ln = () 7 00 8 = lim → −2arctg ′ ] 1 ln ^ ′ = lim → − 2 1 + − 1 ln = lim → 2 ln + = () ∞ = lim → (2 ln)′ (1 +)′ = lim → 2ln +4ln 2 = () ∞∞ = lim → (2ln +4ln)′ (2)′ = lim → 4 ∙ ln + 4 2 = 2 lim → ln +1 = () ∞∞ = lim → (ln +1)′ ′ = lim → 1 v 1 = lim → 1 = 0 Biz burada dörd L'Hospital qaydasından istifadə etdik! Görünüşdə həlli təbii ki, gözəldir☺. Sizə demək istəyirəm ki, bu cür nümunələr hər bir universitetdə qərar verməkdən uzaqdır. Qərar vermənizi istəyirəm! Onlar, belə desək, “çaynik” deyildilər. № 9. Limit həddi tapın → arcsin 1 Həll yolu: Bu da bir az çətin məsələdir ☺. arcsin 1 = 1∙23/.& = 23/.& /1 loqarifm xassəsindən istifadə etməliyik. Bunu necə etdik? Hər şey sadədir. Belə bir düstur var: = Biz sadəcə ondan istifadə edirik və Dummies üçün Ali Riyaziyyat əldə edirik. Funksiya həddi 2011 il 78 arcsin 1 = 4 23/.& 5 = 1∙23/.& = 23/.& /1 Yəni hamımız bunu belə yaza bilərik: lim → arcsin 1 = &" → 6 1∙ 23/ .& 7 = &" → 9 23/.& /1: = ;< = &" → 9 23/.& 0 (/1)0: = &" → 9 .& √ ∙23/.& : = &" → 9 ∙ : = = 1 Вот этот пример уже не шутка. Это полноценный, выше среднего уровня, пример! №10. Найти предел lim → ctg Решение: Здесь делаем то же самое, что и в предыдущем примере. Таким образом у нас получается lim → ctg = &" → /1 = ; < = &" → /1 0 ()0 = &" → .& ∙/1 = &" → .&∙/. = = 1 №11. Найти предел lim → −sin +sin Решение: Здесь нельзя применять правило Лопиталя! Проверьте все условия и поймите, что я говорю все верно ☺! Здесь нужно вычислять предел вот так lim → −sin +sin = lim → ]1 − sin ^ ]1 + sin ^ = lim → 1 − sin 1 + sin = 1 №12. Найти предел lim → ! sin # Решение: lim → ! sin # = &" → = .& >∙ = &" → .& = ; < = &" → .& ()0 = &" → /. = ; < = &" → = Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 79 На этом мы заканчиваем правило Лопиталя. Запомните одну важную вещь! Не стоит применять это правило езде и вся. Сначала определите, а нужно ли вообще его здесь применять? Когда у вас логарифмы, синусы, корни, то оно может помочь. Но если у вас простые выражения, оно может только затруднить вашу работу. Так что никуда не спешите ☺. Высшая математика для чайников. Предел функции 2011 год 80 В данном разделе мы рассмотрим предел функции вида O ⁄ . Что такое разложение ряда Тейлора и все его подробности я рассказывать не буду, так как это все написано в моей второй книге. В данном разделе я на примерах объясню принцип данной работы. В таблице представлены основные разложения по формуле Тейлора при условии, что →0. Их можно не запоминать, просто распечатайте и пользуйтесь ими. А сейчас мы разберем метод Тейлора на конкретных примерах. Я называю данные примеры crash-примерами. Сейчас поймете, почему именно такое название ☺. №1. Найти предел lim → cos arctg ln 1 Решение: Так как в знаменателе одна функция, то представим ее формулой Маклорена до остаточного члена ² , то есть sin 6 & 120 & 6 cos 1 2 & 24 & 6 7 Y & 6 & 120 & 6 " Y 1 & 2 & 24 & 6 tg & 3 & 2 15 & 6 8 Y 3 & 2 15 & 6 arcsin & 6 & 3 40 & 6 arctg 3 & 5 & 6 ln 1 & 2 & 3 4 & 6 ln 1 2 3 4 & 6 ln > & Z 1 & E 6 & 3 40 & 6 1 1 & 1 & & & 6 1 1 1 & & & & & 6 √ 1 & 1 & 2 8 & 16 & 6 2. Taylor genişlənməsi. 1-ci hissə ali riyaziyyat buteynlər üçün. Funksiya həddi 2011 81 O = − ∙ +² = − +²() Kəsirin məxrəci asanlıqla Maklaurin seriyası kimi təqdim edilə bilər. Bizə bütün üzvlərə ehtiyac yoxdur, ona görə də sıfırdan çox olmayan birincini götürürük. İndi saya baxaq. Məxrəci ² qalıq üzvünə parçaladığımız üçün, payı tam olaraq eyni qalıq üzvünə parçalamalıyıq. cos = 1 − 2 +² → ∙ cos = − 2 +² arctg = − 3 +² . Nəticə olaraq, parçalanmış sayımız budur: = - 2 +² - - 3 +² ¡ = - 6 +² Sonra lim → () O() = lim → - 6 +² - +²() = 16 Burada biz edilir və birinci hədd hesablanır ☺. Qarışıq? Bəli. Lakin Taylor seriyasının köməyi ilə çox mürəkkəb və “keçilməz” hədləri hesablamaq olar. Bunu necə edəcəyinizi bilərək, limiti tapmaq üçün kifayət qədər vaxt sərf edəcəksiniz, amma sonda onu hesablayacaqsınız! Qalib siz olacaqsınız☺. № 2. lim → sin həddi tapın] 1 − ^ +ln(1 −) − 2 tg(Åℎ) −arctg Həlli: Əvvəlcə məxrəci nəzərdən keçirin və O() funksiyasını tapmağa çalışın. Bunun üçün biz tg(Åℎ) və arctg funksiyalarımızı genişləndiririk. İndi sual yaranır ki, biz hansı qalıq termini genişləndirməliyik? Yaxşı, yeni başlayanlar üçün ²()-dən əvvəl cəhd edək. Åℎ = +²() O = +² , burada = Åℎ İndi əvəz edin və O(Åℎ) O Åℎ = +² +² P +² Q = +²() dummies üçün ali riyaziyyatı tapın. Funksiya Limiti 2011 82 Amma gəlin saya baxaq. Orada, genişlənmədə qalan müddət ²()-dən böyük olacaq. Dediyim kimi, qalan hər yerdə eyni olmalıdır. Ona görə də biz ²-ə qədər genişlənməli olacağıq. Åℎ = + 3! +² O = + 3 +² , burada = Åℎ İndi əvəz edin və O(Åℎ) O Åℎ = + 3 +² = + 3-ü tapın! +² ¡ + d + 3! +² e 3 +² + 3! +² ¡ İndi ikinci terminə diqqət yetirək, yəni. d + 3-ə qədər! +² e 3 Saxlayıcıdakı mötərizələri açsaq, + 2 + % 4 + 19 +² alırıq. Bizə lazım deyil, əvvəl razılaşdığımız kimi lazımdır. Beləliklə, 2 + % 4 + 19 şərtlərindən xilas ola bilərik, çünki bizə ² verirlər. Bir daha təkrar edirəm, əgər bizim nümunəmizdə qalıq terminin ² şəklində təqdim ediləcəyinə qərar versək, hər bir termində tam olaraq belə olmalıdır, başqa cür deyil! Buna uyğun olaraq bunu yaza bilərik: O Åℎ = + 3 +² = + 3! +² ¡ + P +² Q 3 +² = + 2 +² Məxrəcdə ikinci həddi genişləndirin. Cədvəldə artıq var arctg = − 3 +² Beləliklə, məxrəc funksiyası O() O = + 2 +² ¡ − − 3 +² ¡ = 5 6 +² Butaforlar üçün ali riyaziyyat kimi parçalanır. Funksiya həddi 2011 83 İndi keçək paylayıcıya. Başlamaq üçün 1-i nəzərdən keçirin - 1-ci fraksiyanın növü üçün bir düsturumuz var 1 - Biz bunu çətin edəcəyik. Gəlin kəsri qalan ² termininə qədər genişləndirək, çünki o zamana vurulduqda biz təxmin ² alırıq. Və o, bizə lazım olan şeydir! 1 1 − = 1 + + +² Onda, vurduğumuz zaman 1 − = P 1 + + +² Q = + + +² sin genişlənir, burada = 1 − v . Bu düstur bizə də məlumdur (cədvəldə). günah = -3! +² Burada biz də ²-yə parçalandıq, çünki günahla çoxalmamız yoxdur. İndi hər şeyi altında əvəz edirik və günah alırıq] 1 - ^ = P + + +² Q - P + + +² Q 3! +² ] P + + +² Q ^ İndi P + + +² Q 3 kəsrimizə nəzər salın! Numeratora diqqət yetirin. Mötərizələri açsaq, təxminimiz xeyli artacaq və buna ehtiyacımız yoxdur. Hesabın ² qalması üçün bizə lazımdır. Nə etməli? Qalan üzvlərdən qurtulun! Beləliklə, fraksiya bir az fərqli bir forma alacaq P +² Q 3! Əlbəttə ki, istəsəniz, bütün mötərizələri aça bilərsiniz P + + +² Q , və sonra dərəcəsi 3-dən böyük olan hər şeyi ata bilərsiniz. Ümumilikdə, biz butaforlar üçün Ali Riyaziyyatı əldə edirik. Funksiya həddi 2011 84 sin] 1 − ^ = P + + +² Q − P +² Q 3! +² = + + +² − +² 3! = + + 5 6 +² Hissədə ikinci hədiyə nəzər salaq, yəni ln(1 −) Allaha şükürlər olsun ki, onun parçalanması artıq cədvəldə var ln(1 −) = − 2 − 3 +² Ümumilikdə, () funksiyamızı yaza bilərik = + + 5 6 +² ¡ +− − 2 − 3 +² ¡ − 2 = 2 +² İndi biz () və O() funksiyalarını parçaladıq. Limitimizi tapa bilərik lim → () O() = lim → 2 +² 5 6 +² = 35 Limiti tapdıq! Bunu demək istəyirəm ən yüksək səviyyə! Bu, "çaydan" deyil, "orta" deyil. Bu, çox şey edə bilən meqa-tələbədir. Cənablar, belə misalları həll etməklə özünüzə hörmətinizi yüksəldin və özünüzü başqalarından üstün hiss edin ☺. Şəxsən mən səmimi qəlbdən ümid edirəm ki, hamınız sizə söylədiyim hər şeyi başa düşəcəksiniz (və bəlkə də artıq başa düşmüsünüz). Yaxşı!? Riyaziyyatın zirvələrini fəth etmək üçün daha da irəli gedək ☺! № 3. lim → O P Q − ln Eℎ arctg(cos) −tg Həlli: Gözəllik, elə deyilmi ☺? Heç nə, əvvəlkinin öhdəsindən gəldik, bunu da fəth edəcəyik! Əvvəlki nömrələrdə olduğu kimi ²-ə qədər dəqiqliklə təmsil edəcəyik. O() funksiyasını çıxarmağa çalışaq. Bunu etmək üçün hesab edin cos (biz onun parçalanmasını bilirik) cos \u003d 1 − 2 +² Qalan termin ² kimi təmsil olunur, çünki biz cos ilə çoxalırıq, bu da bizə özümüzü verir. ən yaxşı təxmin² . Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 85 cos = 1 − 2 +² ¡ = − 2 +² İndi arctg-ni genişləndiririk, burada = cos (həmçinin cədvələ uyğun olaraq) EO = - 3 +² Onda arctg(cos) arctg(cos) genişləndirə bilərik. = − 2 +² ¡ − d − 2 +² e 3 +² n − 2 +² ¡ o mötərizələri genişləndirərkən heç bir şəkildə ² almayacağıq. y dərəcəsi daha yüksək olacaq. Buna görə də bizə lazım olmayan terminlərdən qurtulub arctg(cos) = - 2 +² ¡ - +² 3 +² = - 5 6 +² O = + 3 məxrəcində sonuncu həddi genişləndirməliyik. +² O() funksiyasını tapmaq üçün bizə məlumat verin. O = arctg(cos) −tg = − 5 6 +² ¡ − + 3 +² ¡ = − 7 6 +²() Əla! Məxrəci ² daxilində təmsil edə bildik. Buna görə də, biz təhlükəsiz şəkildə paylayıcıya keçə bilərik. Biz O P Q − ln Eℎ-ni parçalamalıyıq, yəqin ki, artıq başa düşdüyünüz kimi, biz bundan başlayırıq. daxili funksiyalar. Beləliklə, əvvəlcə onu parçalayaq! , burada = − . ! = 1 + +²() Dummies üçün qabaqcıl riyaziyyat. Function Limit 2011 86 Gördüyünüz kimi, biz ²() dəqiqliyi ilə parçalayırıq, çünki bu, bizə ² və − ² dəqiqliyini verəcəkdir. = 1 − +² = P 1 − +² Q = − +² İndi O-nu genişləndiririk, burada = . O = + 3 +² Əvəz edin və O P Q = P − +² Q + P − +² Q 3 +² ] P − +² Q ^ alın ² heç bir dəqiqlik olmayacaq, ona görə də biz sadəcə digər şərtlərdən xilas olaq. O P Q = P − +² Q + P +² Q 3 +² = − 2 3 +² Əla! Biz bir termin təqdim edə bildik. İndi ikinci ln Eℎ-i nəzərdən keçirək. Burada bir hiylə də var. Bölmə apardığımız üçün payı ²-ə qədər dəqiqliklə təmsil etməliyik ki, bölmə zamanı bütün kəsrin dəqiqliyi ² olsun. ln(Eℎ) = 2ln(Eℎ) Burada sadəcə olaraq loqarifmin xassəsini tətbiq etdik. Eℎ = 1 + 2 + 24 +² İndi ln(+1)-i genişləndiririk, burada = Eℎ −1. Biz ln(+1)-ni genişləndiririk, çünki ln üçün genişləndirmə düsturlarımız yoxdur. = Eℎ −1 - birimizi belə kompensasiya edirik. Butaforlar üçün ali riyaziyyat. Funksiya həddi 2011 87 ln(+1) = − 2 + 3 − 4 +² = 1 + 2 + 24 +² ¡ − d 1 + 2 + 24 +² e 2 + d 1 + 2 + 24 +² e 3 − d 1 + 2 + 24 +² e 4 +² n1 + 2 + 24 +² ¡ o Yaxşı, onda. Burada xalın artmaması, həm də ² səviyyəsində qalması üçün bütün şərtləri atmalıyıq. Bu, ln(Eℎ) = 2ln(Eℎ) = 2ln1 + 2 + 24 +² ¡ = 2 p q q r 2 + 24 +² − d 2 +² e 2 +² s t t u = 2 2 + 24 + ² ilə nəticələnirik. − 8 +² ¡ = − 6 +² Beləliklə, funksiyamızı () = − 2 3 +² ¡ − 1 − 6 +² ¡ = − 2 +² yaza bilərik. Buradan lim → () O həddi tapa bilərik. ( ) = lim → - 2 +² - 7 6 +²() = 37 Dummies üçün ali riyaziyyat. Funksiya limiti 2011 88 Bu mövzuda biz formanın funksiyasının limitini nəzərdən keçirəcəyik? . Əvvəlki bölmədə olduğu kimi, hər şeyə nümunələrlə baxaq. №1. lim → d √1 cos e funksiyasının limitini tapın Həlli: Funksiyanın genişlənməsini yazın. Bunu etmək asandır, çünki cədvəldə bütün genişləndirmələrimiz var. √1 cos 1 12 18 ² 1 12 1 24 ² d 1 12 18 ² eÆ 1 d 12 1 24 ² e 2 ² ¡ ² Ç 1 2 8 ² ¡1 2 5 24 ² ¡1 6 ² Buradan asanlıqla limiti tapın →? lim → 1 6 ² ¡ / İkinci gözəl həddi necə hesablamaq olar, biz artıq keçdik, buna görə də indi buna vaxt itirməyəcəyəm. 3. Taylor seriyasında genişlənmə. 2-ci hissə

Limitlər nəzəriyyəsi- riyazi analiz bölmələrindən biri, hansını mənimsəmək olar, digərləri həddi çətinliklə hesablayır. Həddi tapmaq məsələsi olduqca ümumidir, çünki onlarla hiylə var həlləri məhdudlaşdırır müxtəlif növlər. Eyni məhdudiyyətlər həm L'Hopital qaydası ilə, həm də onsuz tapıla bilər. Belə olur ki, sonsuz kiçik funksiyalar seriyasındakı cədvəl istədiyiniz nəticəni tez bir zamanda əldə etməyə imkan verir. İstənilən mürəkkəblik funksiyasının həddini tapmağa imkan verən bir sıra fəndlər və fəndlər var. Bu yazıda praktikada ən çox rast gəlinən əsas məhdudiyyət növlərini anlamağa çalışacağıq. Burada limitin nəzəriyyəsini və tərifini verməyəcəyik, İnternetdə bunun çeynəndiyi bir çox resurs var. Ona görə də gəlin praktiki hesablamalar aparaq, məhz buradan başlayırsınız "Bilmirəm! Bilmirəm necə! Bizə öyrədilməyib!"

Əvəzetmə üsulu ilə limitlərin hesablanması

Misal 1 Funksiyanın limitini tapın
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Həll yolu: Nəzəri olaraq bu cür nümunələr adi əvəzetmə ilə hesablanır

Limit 18/11-dir.
Belə məhdudiyyətlər içərisində mürəkkəb və müdrik bir şey yoxdur - dəyəri əvəz etdilər, hesabladılar, cavab olaraq limit yazdılar. Bununla belə, belə məhdudiyyətlər əsasında hər kəsə öyrədilir ki, ilk növbədə funksiyaya dəyər əvəz etmək lazımdır. Bundan əlavə, məhdudiyyətlər mürəkkəbləşdirir, sonsuzluq, qeyri-müəyyənlik və s. anlayışını təqdim edir.

Sonsuzluğa bölünən qeyri-müəyyənlik növü ilə limit. Qeyri-müəyyənliyin açıqlanması üsulları

Misal 2 Funksiyanın limitini tapın
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=sonsuzluq).
Həlli: Çoxhədli çoxhədliyə bölünən forma həddi verilmişdir və dəyişən sonsuzluğa meyllidir.

Dəyişənin hədləri tapmalı olduğu dəyərin sadə əvəzi kömək etməyəcək, sonsuzluğa bölünən sonsuzluq formasının qeyri-müəyyənliyini alırıq.
Limitlərin pot nəzəriyyəsi Limitin hesablanması alqoritmi pay və ya məxrəcdə ən böyük "x" dərəcəsini tapmaqdır. Sonra onun üzərində say və məxrəc sadələşdirilir və funksiyanın həddi tapılır

Dəyişən sonsuzluğa getdikdə dəyər sıfıra meylli olduğundan, bunlar nəzərə alınmır və ya son ifadədə sıfır kimi yazılır.

Təcrübədən dərhal hesablamalarda işarə olan iki nəticə əldə edə bilərsiniz. Dəyişən sonsuzluğa meyllidirsə və payın dərəcəsi məxrəcin dərəcəsindən böyükdürsə, həddi sonsuzluğa bərabərdir. Əks halda, məxrəcdəki çoxhədli saydakından daha yüksək sıralıdırsa, hədd sıfırdır.
Limit düsturu kimi yazıla bilər

Əgər kəsrsiz adi log formasının funksiyası varsa, onda onun həddi sonsuzluğa bərabərdir.

növbəti növ limitlər sıfıra yaxın funksiyaların davranışına aiddir.

Misal 3 Funksiyanın limitini tapın
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Həlli: Burada çoxhədlinin aparıcı çarpanını çıxarmaq tələb olunmur. Bunun tam əksi, pay və məxrəcin ən kiçik gücünü tapmaq və həddi hesablamaq lazımdır.

x^2 dəyəri; Dəyişən sıfıra meyl etdikdə x sıfıra meyllidir Buna görə də, onlar nəzərə alınmır, beləliklə biz

ki, limit 2.5-dir.

İndi bilirsən funksiyanın limitini necə tapmaq olar Dəyişən sonsuzluğa və ya 0-a meyl edirsə, çoxhədli çoxhədliyə bölünür. Lakin bu, nümunələrin yalnız kiçik və asan hissəsidir. Aşağıdakı materialdan öyrənəcəksiniz funksiyanın limitlərinin qeyri-müəyyənliklərini necə açmaq olar.

0/0 tipli qeyri-müəyyənlik limiti və onun hesablanması üsulları

Dərhal hər kəs sıfıra bölmək mümkün olmayan qaydanı xatırlayır. Lakin bu kontekstdə limitlər nəzəriyyəsi sonsuz kiçik funksiyalar deməkdir.
Nümunə üçün bir neçə misala baxaq.

Misal 4 Funksiyanın limitini tapın
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Həlli: x = -1 dəyişəninin qiymətini məxrəcdə əvəz etdikdə sıfır alırıq, payda da eynisini alırıq. Beləliklə, bizdə var 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyi.
Belə qeyri-müəyyənliklə məşğul olmaq asandır: polinomu faktorlara ayırmaq, daha doğrusu, funksiyanı sıfıra çevirən əmsalı seçmək lazımdır.

Parçalanmadan sonra funksiyanın həddi kimi yazmaq olar

Bu, funksiyanın limitini hesablamaq üçün bütün texnikadır. Çoxhədlinin çoxhədliyə bölünən formasının həddi varsa, eyni şeyi edirik.

Misal 5 Funksiyanın limitini tapın
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Həlli: Birbaşa əvəzetmə göstərir
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
nəyimiz var qeyri-müəyyənlik növü 0/0.
Çoxhədliləri təkliyi təqdim edən faktora bölün


Müəllimlər var ki, 2-ci tərtibli çoxhədliləri, yəni “kvadrat tənliklər”in növünü diskriminant vasitəsilə həll etmək lazımdır. Amma real təcrübə daha uzun və daha mürəkkəb olduğunu göstərir, ona görə də göstərilən alqoritm daxilində xüsusiyyətlərdən xilas olun. Beləliklə, funksiyanı sadə amillər şəklində yazırıq və limitdə hesablayırıq

Gördüyünüz kimi, bu cür limitlərin hesablanmasında mürəkkəb bir şey yoxdur. Limitləri öyrənərkən çoxhədliləri necə bölməyi bilirsiniz, heç olmasa proqrama uyğun olaraq, artıq keçməlisiniz.
üçün tapşırıqlar arasında qeyri-müəyyənlik növü 0/0 qısaldılmış vurma düsturlarını tətbiq etmək lazım olanlar var. Ancaq onları bilmirsinizsə, o zaman çoxhədli monohəmə bölməklə istədiyiniz düsturu əldə edə bilərsiniz.

Misal 6 Funksiyanın limitini tapın
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Həlli: 0/0 tipli qeyri-müəyyənliyimiz var. Numeratorda biz qısaldılmış vurma üçün düsturdan istifadə edirik

və istədiyiniz limiti hesablayın

Konyuqata vurmaqla qeyri-müəyyənliyin açıqlanması üsulu

Metod irrasional funksiyaların qeyri-müəyyənlik yaratdığı hədlərə tətbiq edilir. Hesablama nöqtəsində say və ya məxrəc sıfıra çevrilir və sərhədin necə tapılacağı məlum deyil.

Misal 7 Funksiyanın limitini tapın
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Həll: Dəyişəni limit düsturunda təmsil edək

Əvəz edərkən 0/0 tipli qeyri-müəyyənlik əldə edirik.
Limitlər nəzəriyyəsinə görə, bu təklikdən yan keçmək sxemi irrasional ifadəni onun konjugatı ilə vurmaqdan ibarətdir. İfadəni dəyişməz saxlamaq üçün məxrəci eyni qiymətə bölmək lazımdır

Kvadratlar qaydasının fərqi ilə biz payı sadələşdiririk və funksiyanın limitini hesablayırıq

Limitdə təklik yaradan şərtləri sadələşdiririk və əvəzləməni həyata keçiririk

Misal 8 Funksiyanın limitini tapın
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Həlli: Birbaşa əvəzetmə limitin 0/0 formasının təkliyinə malik olduğunu göstərir.

Genişləndirmək, çoxaltmaq və paylayıcı ilə birləşmək üçün bölmək

Kvadratların fərqini yazın

Təkliyi təqdim edən şərtləri sadələşdiririk və funksiyanın limitini tapırıq

Misal 9 Funksiyanın limitini tapın
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Həlli: Düsturdakı ikiliyi əvəz edin

alın qeyri-müəyyənlik 0/0.
Məxrəc birləşdirici ifadə ilə vurulmalı, payda isə kvadrat tənliyi həll etməli və ya təkliyi nəzərə alaraq faktorlara ayırmalısınız. 2-nin kök olduğu bilindiyi üçün ikinci kök Vyeta teoremi ilə tapılır

Beləliklə, rəqəmi formada yazırıq

və həddi qoyun

Kvadratların fərqini azaldaraq, pay və məxrəcdəki xüsusiyyətlərdən xilas oluruq

Yuxarıdakı şəkildə, bir çox nümunədə təklikdən xilas ola bilərsiniz və əvəz edərkən köklərin verilmiş fərqinin sıfıra çevrildiyi hər yerdə tətbiq diqqət yetirilməlidir. Limitlərin digər növləri eksponensial funksiyalara, sonsuz kiçik funksiyalara, loqarifmlərə, tək limitlərə və digər üsullara aiddir. Ancaq bu barədə limitlər haqqında aşağıdakı məqalələrdə oxuya bilərsiniz.

Oxşar məqalələr