Qrafik y x 2 3. Qrafiklərin qurulması funksiyaları

Təyyarədə düzbucaqlı bir koordinat sistemi seçirik və arqumentin dəyərlərini absis oxuna çəkirik. X, və y oxunda - funksiyanın dəyərləri y = f(x).

Funksiya Qrafiki y = f(x) bütün nöqtələrin çoxluğu çağırılır, bunun üçün absislər funksiyanın təyinat sahəsinə aiddir və ordinatlar funksiyanın müvafiq qiymətlərinə bərabərdir.

Başqa sözlə, y \u003d f (x) funksiyasının qrafiki müstəvidəki bütün nöqtələrin, koordinatların dəstidir. X, saat münasibəti təmin edən y = f(x).

Əncirdə. 45 və 46 funksiyaların qrafikləridir y = 2x + 1 Və y \u003d x 2 - 2x.

Düzünü desək, bir funksiyanın qrafiki (dəqiq riyazi tərifi yuxarıda verilmişdir) və həmişə qrafikin yalnız az və ya çox dəqiq eskizini verən (və hətta bir qayda olaraq) çəkilmiş əyrini ayırd etmək lazımdır. bütün qrafiki deyil, yalnız onun təyyarənin son hissələrində yerləşən hissəsi). Bununla belə, bundan sonra biz adətən "diaqram eskizinə" deyil, "diaqrama" istinad edəcəyik.

Qrafikdən istifadə edərək, bir nöqtədə funksiyanın dəyərini tapa bilərsiniz. Məhz, əgər nöqtə x = a funksiyasının əhatə dairəsinə aiddir y = f(x), sonra nömrəni tapmaq üçün f(a)(yəni nöqtədəki funksiya dəyərləri x = a) belə etməlidir. Bir absis ilə bir nöqtə vasitəsilə lazımdır x = a y oxuna paralel düz xətt çəkmək; bu xətt funksiyanın qrafiki ilə kəsişir y = f(x) bir nöqtədə; bu nöqtənin ordinatı qrafikin tərifinə görə bərabər olacaqdır f(a)(Şəkil 47).

Məsələn, funksiya üçün f(x) = x 2 - 2x qrafikdən (şəkil 46) istifadə edərək f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 və s.

Funksiya qrafiki funksiyanın davranışını və xassələrini əyani şəkildə göstərir. Məsələn, Şəklin nəzərdən keçirilməsindən. 46 funksiyası olduğu aydındır y \u003d x 2 - 2x zaman müsbət dəyərlər alır X< 0 və at x > 2, mənfi - 0-da< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x qəbul edir x = 1.

Funksiyanı çəkmək üçün f(x) təyyarənin bütün nöqtələrini, koordinatlarını tapmaq lazımdır X,saat tənliyi təmin edən y = f(x). Əksər hallarda bu mümkün deyil, çünki belə məqamlar sonsuzdur. Buna görə də, funksiyanın qrafiki təxminən təsvir edilmişdir - daha çox və ya daha az dəqiqliklə. Ən sadəsi çox nöqtəli planlama üsuludur. Bu arqumentin olmasından ibarətdir X sonlu sayda dəyərlər verin - deyək ki, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k və funksiyanın seçilmiş qiymətlərini ehtiva edən cədvəl yaradın.

Cədvəl belə görünür:

Belə bir cədvəl tərtib edərək, funksiyanın qrafikində bir neçə nöqtəni qeyd edə bilərik y = f(x). Sonra bu nöqtələri hamar bir xəttlə birləşdirərək, funksiyanın qrafikinin təxmini görünüşünü alırıq y = f(x).

Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, çox nöqtəli qrafik metodu çox etibarsızdır. Əslində, qrafikin işarələnmiş nöqtələr arasındakı davranışı və alınan ekstremal nöqtələr arasındakı seqmentdən kənar davranışı naməlum olaraq qalır.

Misal 1. Bir funksiyanın qrafikini çəkmək üçün y = f(x) kimsə arqument və funksiya dəyərləri cədvəlini tərtib etdi:

Müvafiq beş nöqtə Şəkildə göstərilmişdir. 48.

Bu nöqtələrin yerləşdiyi yerə əsaslanaraq o, belə nəticəyə gəldi ki, funksiyanın qrafiki düz xəttdir (şəkil 48-də nöqtəli xəttlə göstərilmişdir). Bu qənaəti etibarlı hesab etmək olarmı? Bu qənaəti dəstəkləmək üçün əlavə mülahizələr olmasa, onu etibarlı hesab etmək mümkün deyil. etibarlı.

Təsdiqimizi əsaslandırmaq üçün funksiyanı nəzərdən keçirək

Hesablamalar göstərir ki, bu funksiyanın -2, -1, 0, 1, 2 nöqtələrindəki dəyərləri yuxarıdakı cədvəldə təsvir edilmişdir. Lakin bu funksiyanın qrafiki heç də düz xətt deyil (şəkil 49-da göstərilmişdir). Başqa bir nümunə funksiyadır y = x + l + sinx; onun mənaları da yuxarıdakı cədvəldə təsvir edilmişdir.

Bu misallar onu göstərir ki, “saf” formada çoxnöqtəli qrafik metodu etibarsızdır. Buna görə də, verilmiş funksiyanın qrafikini çəkmək üçün, bir qayda olaraq, aşağıdakı kimi hərəkət edin. Əvvəlcə bu funksiyanın xassələri öyrənilir, onun köməyi ilə qrafikin eskizini qurmaq mümkündür. Sonra bir neçə nöqtədə funksiyanın qiymətlərini hesablayaraq (seçimi funksiyanın təyin olunmuş xassələrindən asılıdır) qrafikin uyğun nöqtələri tapılır. Və nəhayət, bu funksiyanın xassələrindən istifadə edərək qurulmuş nöqtələr vasitəsilə əyri çəkilir.

Qrafikin eskizini tapmaq üçün istifadə edilən funksiyaların bəzi (ən sadə və tez-tez istifadə olunan) xassələrini daha sonra nəzərdən keçirəcəyik və indi biz qrafiklərin tərtib edilməsi üçün bir sıra çox istifadə olunan üsulları təhlil edəcəyik.

y = |f(x)| funksiyasının qrafiki.

Çox vaxt funksiyanın qrafikini çəkmək lazımdır y = |f(x)|, harada f(x) - verilmiş funksiya. Bunun necə edildiyini xatırlayın. Ədədin mütləq dəyərinin tərifi ilə yazmaq olar

Bu o deməkdir ki, funksiyanın qrafiki y=|f(x)| qrafikdən, funksiyalardan əldə etmək olar y = f(x) aşağıdakı kimi: funksiyanın qrafikinin bütün nöqtələri y = f(x), ordinatları mənfi olmayan, dəyişməz qalmalıdır; daha sonra, funksiyanın qrafikinin nöqtələri əvəzinə y = f(x), mənfi koordinatları olan funksiyanın qrafikinin müvafiq nöqtələrini qurmaq lazımdır y = -f(x)(yəni funksiya qrafikinin bir hissəsi
y = f(x), oxun altında yerləşir X, ox ətrafında simmetrik şəkildə əks olunmalıdır X).

Misal 2 Funksiya qrafası y = |x|.

Funksiyanın qrafikini götürürük y = x(Şəkil 50, a) və bu qrafikin bir hissəsi ilə X< 0 (oxun altında uzanır X) ox ətrafında simmetrik şəkildə əks olunur X. Nəticədə funksiyanın qrafikini alırıq y = |x|(Şəkil 50, b).

Misal 3. Funksiya qrafası y = |x 2 - 2x|.

Əvvəlcə funksiyanın qrafikini çəkirik y = x 2 - 2x. Bu funksiyanın qrafiki paraboladır, budaqları yuxarıya doğru yönəldilir, parabolanın yuxarı hissəsi koordinatlara malikdir (1; -1), onun qrafiki absis oxunu 0 və 2 nöqtələrində kəsir. (0; 2) intervalında ) funksiya mənfi qiymətlər alır, ona görə də qrafikin bu hissəsi x oxuna simmetrik olaraq əks olunur. Şəkil 51-də funksiyanın qrafiki göstərilir y \u003d |x 2 -2x |, funksiyanın qrafiki əsasında y = x 2 - 2x

y = f(x) + g(x) funksiyasının qrafiki

Funksiyanın qrafikinin qurulması problemini nəzərdən keçirək y = f(x) + g(x). funksiyaların qrafikləri verilmişdirsə y = f(x) Və y = g(x).

Qeyd edək ki, y = |f(x) + g(х)| funksiyasının oblastı hər iki y = f(x) və y = g(x) funksiyalarının təyin olunduğu x-in bütün qiymətlərinin çoxluğudur, yəni bu tərif sahəsi tərif sahələrinin, f(x) funksiyalarının kəsişməsidir. ) və g(x).

Qoy xallar (x 0, y 1) Və (x 0, y 2) müvafiq olaraq funksiya qrafiklərinə aiddir y = f(x) Və y = g(x), yəni y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Onda (x0;. y1 + y2) nöqtəsi funksiyanın qrafikinə aiddir y = f(x) + g(x)(üçün f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. və funksiyanın qrafikinin istənilən nöqtəsi y = f(x) + g(x) bu yolla əldə etmək olar. Beləliklə, funksiyanın qrafiki y = f(x) + g(x) funksiya qrafiklərindən əldə etmək olar y = f(x). Və y = g(x) hər bir nöqtəni əvəz etməklə ( x n, y 1) funksional qrafika y = f(x) nöqtə (x n, y 1 + y 2), Harada y 2 = g(x n), yəni hər nöqtəni dəyişdirərək ( x n, y 1) funksiya qrafiki y = f(x) ox boyunca saat məbləğinə görə y 1 \u003d g (x n). Bu halda yalnız belə məqamlar nəzərə alınır. X hər iki funksiyanın müəyyən edildiyi n y = f(x) Və y = g(x).

Funksiya qrafikinin qurulmasının bu üsulu y = f(x) + g(x) funksiyaların qrafiklərinin toplanması adlanır y = f(x) Və y = g(x)

Misal 4. Şəkildə, qrafiklərin əlavə edilməsi üsulu ilə funksiyanın qrafiki qurulur
y = x + sinx.

Bir funksiyanın qrafikini qurarkən y = x + sinx bunu güman etdik f(x) = x, A g(x) = sinx. Funksiya qrafikini qurmaq üçün absis -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 olan nöqtələri seçirik. f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx seçilmiş nöqtələrdə hesablayacağıq və nəticələri cədvələ yerləşdirəcəyik.

Funksiya qurun

Bütün hüquqları şirkətə məxsus olan funksiya qrafiklərinin onlayn tərtib edilməsi xidmətini diqqətinizə çatdırırıq Desmos. Funksiyaları daxil etmək üçün sol sütundan istifadə edin. Siz əl ilə və ya pəncərənin altındakı virtual klaviaturadan istifadə edərək daxil edə bilərsiniz. Diaqram pəncərəsini böyütmək üçün həm sol sütunu, həm də virtual klaviaturanı gizlədə bilərsiniz.

Onlayn diaqramın üstünlükləri

Təqdim edilmiş funksiyaların vizual nümayişi
Çox mürəkkəb qrafiklərin qurulması
Gizli müəyyən edilmiş qrafiklərin tərtib edilməsi (məsələn, ellips x^2/9+y^2/16=1)
İnternetdə hər kəs üçün əlçatan olan qrafikləri saxlamaq və onlara keçid əldə etmək imkanı
Ölçəyə nəzarət, xətt rəngi
Qrafikləri nöqtələr üzrə çəkmək bacarığı, sabitlərdən istifadə
Eyni zamanda bir neçə funksiya qrafikinin qurulması
Qütb koordinatlarında qrafiklər (r və θ(\theta) istifadə edin)

Bizimlə onlayn olaraq müxtəlif mürəkkəblikdə qrafiklər qurmaq asandır. Tikinti dərhal həyata keçirilir. Xidmət funksiyaların kəsişmə nöqtələrini tapmaq, problemlərin həlli üçün illüstrasiyalar kimi Word sənədinə sonrakı köçürülməsi üçün qrafiklərin göstərilməsi, funksiya qrafiklərinin davranış xüsusiyyətlərinin təhlili üçün tələb olunur. Saytın bu səhifəsində qrafiklərlə işləmək üçün ən yaxşı brauzer Google Chrome-dur. Digər brauzerlərdən istifadə edərkən düzgün işləməyə zəmanət verilmir.

Mövzu üzrə dərs: "$y=x^3$ funksiyasının qrafiki və xassələri. Xəttlərin qurulması nümunələri"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, rəy, rəy, təkliflərinizi bildirməyi unutmayın. Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılır.

7-ci sinif üçün "Integral" onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
7-ci sinif üçün elektron dərslik "Cəbr 10 dəqiqədə"
Təhsil kompleksi 1C "Cəbr, 7-9-cu siniflər"

$y=x^3$ funksiyasının xassələri

Bu funksiyanın xüsusiyyətlərini təsvir edək:

1. x müstəqil dəyişən, y asılı dəyişəndir.

2. Tərif sahəsi: aydındır ki, (x) arqumentinin istənilən qiyməti üçün (y) funksiyasının qiymətini hesablamaq mümkündür. Müvafiq olaraq, bu funksiyanın tərif sahəsi bütün ədəd xəttidir.

3. Qiymətlər diapazonu: y istənilən ola bilər. Müvafiq olaraq, diapazon həm də bütün nömrə xəttidir.

4. Əgər x= 0 olarsa, y= 0 olar.

$y=x^3$ funksiyasının qrafiki

1. Dəyərlər cədvəlini yaradaq:

2. X-in müsbət qiymətləri üçün $y=x^3$ funksiyasının qrafiki budaqları OY oxuna daha çox “basılan” parabolaya çox bənzəyir.

3. $y=x^3$ funksiyası x-in mənfi qiymətləri üçün əks qiymətlərə malik olduğundan, funksiyanın qrafiki mənbəyə görə simmetrikdir.

İndi koordinat müstəvisində nöqtələri qeyd edək və qrafik quraq (şək. 1-ə bax).

Bu əyri kub parabola adlanır.

Nümunələr

I. Kiçik gəminin şirin suyu bitdi. Şəhərdən kifayət qədər su gətirmək lazımdır. Su əvvəlcədən sifariş edilir və bir az az doldursanız belə, tam kub üçün ödənilir. Əlavə kub üçün artıq pul ödəməmək və çəni tam doldurmamaq üçün neçə kub sifariş etmək lazımdır? Məlumdur ki, çən 1,5 m-ə bərabər olan eyni uzunluğa, enə və hündürlüyə malikdir.Hesablamalar aparmadan bu məsələni həll edək.

Həll:

1. $y=x^3$ funksiyasının qrafikini çəkək.
2. 1,5-ə bərabər olan A nöqtəsini, x koordinatını tapın. Funksiya koordinatının 3 və 4 qiymətləri arasında olduğunu görürük (bax Şəkil 2). Beləliklə, 4 kub sifariş etməlisiniz.

y=x^2 funksiyasına kvadrat funksiya deyilir. Kvadrat funksiyanın qrafiki paraboladır. Parabolanın ümumi görünüşü aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir.

kvadrat funksiya

Şəkil 1. Parabolanın ümumi görünüşü

Qrafikdən göründüyü kimi Oy oxuna görə simmetrikdir. Oy oxuna parabolanın simmetriya oxu deyilir. Bu o deməkdir ki, diaqramda bu oxun üstündən Ox oxuna paralel düz xətt çəksəniz. Sonra parabolanı iki nöqtədə kəsir. Bu nöqtələrdən y oxuna qədər olan məsafə eyni olacaq.

Simmetriya oxu parabolanın qrafikini sanki iki hissəyə bölür. Bu hissələrə parabolanın qolları deyilir. Parabolanın simmetriya oxu üzərində yerləşən nöqtəsinə isə parabolanın təpəsi deyilir. Yəni simmetriya oxu parabolanın yuxarı hissəsindən keçir. Bu nöqtənin koordinatları (0;0) təşkil edir.