Bir çox insanlar eksponensial bərabərsizliklərin çox mürəkkəb və anlaşılmaz bir şey olduğunu düşünür. Və onları həll etməyi öyrənmək, demək olar ki, böyük bir sənətdir, onu yalnız seçilmişlər dərk edə bilər...
Tam cəfəngiyyat! Eksponensial bərabərsizliklər asandır. Və onları həll etmək həmişə asandır. Yaxşı, demək olar ki, həmişə. :)
Bu gün biz bu mövzunu geniş şəkildə təhlil edəcəyik. Bu dərs məktəb riyaziyyatının bu bölməsini yeni anlamağa başlayanlar üçün çox faydalı olacaq. Sadə tapşırıqlardan başlayaq və daha mürəkkəb məsələlərə keçək. Bu gün heç bir tinny olmayacaq, amma indi oxuyacaqlarınız hər cür nəzarət və sistemdəki bərabərsizliklərin əksəriyyətini həll etmək üçün kifayət edəcəkdir. müstəqil iş. Həm də bu imtahanda.
Həmişə olduğu kimi, bir təriflə başlayaq. Eksponensial bərabərsizlik eksponensial funksiyanı ehtiva edən hər hansı bərabərsizlikdir. Başqa sözlə, həmişə formanın bərabərsizliyinə endirilə bilər
\[((a)^(x)) \gt b\]
Harada $b$-ın rolu adi bir rəqəm və ya bəlkə də daha sərt bir şey ola bilər. Nümunələr? Bəli, zəhmət olmasa:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ dördlük ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(hizalayın)\]
Məncə məna aydındır: $((a)^(x))$ eksponensial funksiyası var, onu nə iləsə müqayisə edirlər, sonra isə $x$ tapmağı xahiş edirlər. Xüsusilə klinik hallar$x$ dəyişəninin yerinə bəzi $f\left(x \right)$ funksiyası qoya və bununla da bərabərsizliyi bir qədər çətinləşdirə bilərlər. :)
Təbii ki, bəzi hallarda bərabərsizlik daha ağır görünə bilər. Misal üçün:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Və ya hətta bu:
Ümumiyyətlə, bu cür bərabərsizliklərin mürəkkəbliyi çox fərqli ola bilər, lakin sonda onlar yenə də sadə konstruksiyaya gəlirlər $((a)^(x)) \gt b$. Və biz bir şəkildə belə bir dizaynla məşğul olacağıq (xüsusilə klinik hallarda, heç bir şey ağlımıza gəlmədikdə, logarifmlər bizə kömək edəcəkdir). Buna görə də, indi belə sadə konstruksiyaları necə həll edəcəyimizi öyrənəcəyik.
Ən sadə eksponensial bərabərsizliklərin həlli
Çox sadə bir şeyə baxaq. Məsələn, burada:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Aydındır ki, sağdakı rəqəm ikinin gücü kimi yenidən yazıla bilər: $4=((2)^(2))$. Beləliklə, orijinal bərabərsizlik çox əlverişli formada yenidən yazılır:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
İndi isə əllər $x \gt 2$ cavabını almaq üçün dərəcələrin əsaslarında dayanan ikilikləri "xırdalamaq" üçün qaşınır. Ancaq bir şeyin üstündən xətt çəkməzdən əvvəl ikisinin gücünü xatırlayaq:
\[((2)^(1))=2;\dörd ((2)^(2))=4;\dörd ((2)^(3))=8;\dörd ((2)^( 4))=16;...\]
Gördüyünüz kimi, eksponentdəki rəqəm nə qədər böyükdürsə, çıxış nömrəsi bir o qədər böyükdür. "Sağ ol, Kap!" tələbələrdən biri qışqıracaq. Fərqli olurmu? Təəssüf ki, olur. Misal üçün:
\[((\left(\frac(1)(2) \sağ))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ sağ))^(2))=\frac(1)(4);\dörd ((\sol(\frac(1)(2) \sağ))^(3))=\frac(1)(8) );...\]
Burada da hər şey məntiqlidir: dərəcə nə qədər böyükdürsə, 0,5 rəqəmi özünə bir o qədər çox dəfə vurulur (yəni yarıya bölünür). Beləliklə, nəticədə ədədlərin ardıcıllığı azalır və birinci və ikinci ardıcıllıqlar arasındakı fərq yalnız əsasdadır:
- Əgər dərəcəsinin bazası $a \gt 1$ olarsa, $n$ eksponenti böyüdükcə $((a)^(n))$ sayı da artacaq;
- Əksinə, əgər $0 \lt a \lt 1$ olarsa, $n$ eksponenti artdıqca $((a)^(n))$ sayı azalacaq.
Bu faktları yekunlaşdıraraq, eksponensial bərabərsizliklərin bütün həllinin əsaslandığı ən vacib ifadəni alırıq:
Əgər $a \gt 1$ olarsa, onda $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ bərabərsizliyi $x \gt n$ bərabərsizliyinə ekvivalentdir. Əgər $0 \lt a \lt 1$ olarsa, onda $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ bərabərsizliyi $x \lt n$ bərabərsizliyinə ekvivalentdir.
Başqa sözlə, baza birdən böyükdürsə, onu sadəcə silə bilərsiniz - bərabərsizlik işarəsi dəyişməyəcək. Baza birdən azdırsa, o da çıxarıla bilər, lakin bərabərsizlik əlaməti də dəyişdirilməlidir.
Qeyd edək ki, biz $a=1$ və $a\le 0$ variantlarını nəzərdən keçirməmişik. Çünki bu hallarda qeyri-müəyyənlik yaranır. Tutaq ki, $((1)^(x)) \gt 3$ formasının bərabərsizliyini necə həll etmək olar? Hər hansı bir gücə bir yenə bir verəcək - heç vaxt üç və ya daha çox almayacağıq. Bunlar. həll yolları yoxdur.
Mənfi əsaslarla daha da maraqlıdır. Məsələn, aşağıdakı bərabərsizliyi nəzərdən keçirək:
\[((\left(-2 \sağ))^(x)) \gt 4\]
İlk baxışdan hər şey sadədir:
Düzdür? Amma yox! Həllin səhv olduğuna əmin olmaq üçün $x$ əvəzinə bir neçə cüt və bir neçə tək ədədi əvəz etmək kifayətdir. Bax:
\[\begin(align) & x=4\Sağ ox ((\left(-2 \sağ))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Sağ ox ((\sol(-2 \sağ))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Sağ ox ((\sol(-2 \sağ))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Sağ ox ((\sol(-2 \sağ))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Gördüyünüz kimi, işarələr bir-birini əvəz edir. Amma hələ də fraksiya dərəcələri və digər qalay var. Məsələn, $((\left(-2 \sağ))^(\sqrt(7)))$ (mənfi iki yeddinin kökünə qaldırılmış) saymağı necə əmr edərdiniz? Heç bir şəkildə!
Buna görə də, müəyyənlik üçün bütün eksponensial bərabərsizliklərdə (yeri gəlmişkən, tənliklərdə də) $1\ne a \gt 0$ olduğunu fərz edirik. Və sonra hər şey çox sadə şəkildə həll olunur:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Sağ ox \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \sağ), \\ & x \lt n\quad \sol(0 \lt a \lt 1 \sağ). \\\sonu(düzləşdirin) \sağa.\]
Ümumiyyətlə, bir daha əsas qaydanı xatırlayın: eksponensial tənlikdəki baza birdən böyükdürsə, onu sadəcə silə bilərsiniz; və əgər baza birdən azdırsa, onu da çıxarmaq olar, lakin bu, bərabərsizlik işarəsini dəyişəcək.
Həll nümunələri
Beləliklə, bir neçə sadə eksponensial bərabərsizliyi nəzərdən keçirin:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(hizalayın)\]
Əsas vəzifə bütün hallarda eynidir: bərabərsizlikləri ən sadə formaya endirmək $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. İndi hər bərabərsizliklə bunu edəcəyik və eyni zamanda güclərin xassələrini və eksponensial funksiyanı təkrarlayacağıq. Beləliklə, gedək!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Burada nə etmək olar? Yaxşı, solda artıq nümayişkaranə bir ifadəmiz var - heç nəyi dəyişdirmək lazım deyil. Ancaq sağda bir növ axmaqlıq var: kəsr və hətta məxrəcdə bir kök!
Bununla birlikdə, fraksiyalar və səlahiyyətlərlə işləmə qaydalarını xatırlayın:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(hizalayın)\]
Bunun mənası nədi? Birincisi, kəsri mənfi eksponentə çevirməklə asanlıqla xilas ola bilərik. İkincisi, məxrəc kök olduğu üçün onu dərəcəyə çevirmək yaxşı olardı - bu dəfə kəsr göstəricisi ilə.
Gəlin bu hərəkətləri ardıcıl olaraq bərabərsizliyin sağ tərəfinə tətbiq edək və nə baş verdiyini görək:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \sağ))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \sağ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \sağ)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Unutmayın ki, bir dərəcəni bir gücə qaldırarkən, bu dərəcələrin göstəriciləri əlavə olunur. Və ümumiyyətlə, eksponensial tənliklər və bərabərsizliklərlə işləyərkən, güclərlə işləmək üçün ən azı ən sadə qaydaları bilmək mütləq lazımdır:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \sağ))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(hizalayın)\]
Əslində biz son qaydanı tətbiq etdik. Beləliklə, orijinal bərabərsizliyimiz aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Sağ ox ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
İndi bazadakı ikizdən qurtuluruq. 2 > 1 olduğundan bərabərsizlik işarəsi eyni qalır:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty;\frac(2)(3) \sağ]. \\\end(align)\]
Bütün həll yolu budur! Əsas çətinlik eksponensial funksiyada deyil, orijinal ifadənin səriştəli çevrilməsindədir: diqqətlə və mümkün qədər tez onu ən sadə formasına gətirməlisiniz.
İkinci bərabərsizliyi nəzərdən keçirin:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Belə-belə. Burada onluq kəsrləri gözləyirik. Dəfələrlə dediyim kimi, səlahiyyətləri olan hər hansı ifadələrdə siz onluq kəsrlərdən xilas olmalısınız - tez-tez bu, tez və asan həlli görməyin yeganə yoludur. Nədən qurtulacağımız budur:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ sağa)))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Sağ ox ((\left(\frac(1)(10) \sağ))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \sağ))^(2)). \\\end(hizalayın)\]
Qarşımızda yenə ən sadə bərabərsizlik və hətta 1/10 bazası ilə, yəni. birdən azdır. Yaxşı, əsasları çıxarırıq, eyni zamanda işarəni "az"dan "daha böyük"ə dəyişdiririk və alırıq:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(hizalayın)\]
Son cavabı aldıq: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Nəzərə alın ki, cavab tam olaraq topludur və heç bir halda $x \lt -1$ formasının qurulması deyil. Çünki formal olaraq belə konstruksiya ümumiyyətlə çoxluq deyil, $x$ dəyişəninə münasibətdə bərabərsizlikdir. Bəli, çox sadədir, lakin bu, cavab deyil!
Vacib qeyd. Bu bərabərsizlik başqa bir şəkildə həll edilə bilər - hər iki hissəni birdən böyük bir gücə endirməklə. Bax:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Sağ ox ((\sol(((10)^(-1)) \sağ))^(1-x)) \ lt ((\sol(((10)^(-1)) \sağ))^(2))\Sağ ox ((10)^(-1\cdot \sol(1-x \sağ)) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Belə bir transformasiyadan sonra biz yenidən eksponensial bərabərsizlik alırıq, lakin bazası 10 > 1. Və bu o deməkdir ki, siz sadəcə onluğu kəsə bilərsiniz - bərabərsizlik işarəsi dəyişməyəcək. Biz əldə edirik:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(hizalayın)\]
Gördüyünüz kimi, cavab eynidir. Eyni zamanda, özümüzü işarəni dəyişdirmək və ümumiyyətlə orada bəzi qaydaları xatırlamaq ehtiyacından xilas etdik. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Bununla belə, bunun sizi qorxutmasına imkan verməyin. Göstəricilərdə nə olursa olsun, bərabərsizliyin həlli texnologiyasının özü eyni olaraq qalır. Buna görə də ilk olaraq qeyd edirik ki, 16 = 2 4 . Bu faktı nəzərə alaraq orijinal bərabərsizliyi yenidən yazaq:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Yaşasın! Adi kvadrat bərabərsizliyini əldə etdik! İşarə heç bir yerdə dəyişməyib, çünki əsas ikilikdir - birdən çox rəqəm.
Ədəd xəttində sıfır funksiyası
$f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ funksiyasının işarələrini düzürük - aydındır ki, onun qrafiki budaqları yuxarı olan parabola olacaq, ona görə də “artılar” olacaq. ” yanlarda. Funksiyanın olduğu sahə ilə maraqlanırıq sıfırdan azdır, yəni. $x\in \left(2;5 \right)$ orijinal məsələnin cavabıdır.
Nəhayət, başqa bərabərsizliyə nəzər salın:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Yenə biz əsasda onluq kəsrli eksponensial funksiya görürük. Bu kəsri ümumi kəsrə çevirək:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0) ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \sağ))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \sağ)))\end(align)\]
IN bu məsələəvvəllər verilmiş qeyddən istifadə etdik - sonrakı qərarımızı sadələşdirmək üçün bazanı 5\u003e 1 nömrəsinə endirdik. Sağ tərəflə də eyni şeyi edək:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \sağ))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ sağa))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Hər iki çevrilməni nəzərə alaraq orijinal bərabərsizliyi yenidən yazaq:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Sağ ox ((5)^(-1\cdot \sol(1+) ((x)^(2)) \sağ)))\ge ((5)^(-2))\]
Hər iki tərəfdəki əsaslar eyni və birdən böyükdür. Sağda və solda başqa terminlər yoxdur, ona görə də biz sadəcə beşləri “xırda edirik” və çox sadə bir ifadə alırıq:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Burada diqqətli olmaq lazımdır. Bir çox tələbə sadəcə çıxarmağı xoşlayır Kvadrat kök bərabərsizliyin hər iki hissəsini toplayın və $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ kimi bir şey yazın. Bunu heç vaxt etməməlisiniz, çünki dəqiq kvadratın kökü moduldur, və heç bir halda orijinal dəyişən:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\sol| x\right|\]
Bununla belə, modullarla işləmək ən xoş təcrübə deyil, elə deyilmi? Beləliklə, biz işləməyəcəyik. Bunun əvəzinə, biz sadəcə olaraq bütün şərtləri sola köçürürük və interval metodundan istifadə edərək adi bərabərsizliyi həll edirik:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \sol(x-1 \sağ)\sol(x+1 \sağ)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\dörd ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Yenidən alınan nöqtələri nömrə xəttində qeyd edirik və işarələrə baxırıq:
Diqqət edin: nöqtələr kölgəlidir. Qeyri-ciddi bərabərsizliyi həll etdiyimiz üçün qrafikdəki bütün nöqtələr kölgədədir. Buna görə də cavab belə olacaq: $x\in \left[ -1;1 \right]$ interval deyil, seqmentdir.
Ümumiyyətlə, qeyd etmək istərdim ki, eksponensial bərabərsizliklərdə mürəkkəb heç nə yoxdur. Bu gün həyata keçirdiyimiz bütün çevrilmələrin mənası sadə bir alqoritmə çevrilir:
- Bütün dərəcələri azaldacağımız əsası tapın;
- $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ formasının bərabərsizliyini almaq üçün çevirmələri diqqətlə yerinə yetirin. Təbii ki, $x$ və $n$ dəyişənlərinin yerinə daha çox ola bilər mürəkkəb funksiyalar, lakin bunun mənası dəyişməyəcək;
- Dərəcələrin əsaslarını kəsin. Bu halda əsas $a \lt 1$ olarsa bərabərsizlik işarəsi dəyişə bilər.
Əslində, bu, bütün belə bərabərsizliklərin həlli üçün universal bir alqoritmdir. Və bu mövzuda sizə deyiləcək hər şey, çevrilməni sadələşdirmək və sürətləndirmək üçün xüsusi tövsiyələr və fəndlərdir. İndi danışacağımız o hiylələrdən biri budur. :)
səmərələşdirmə üsulu
Başqa bir bərabərsizlik toplusunu nəzərdən keçirin:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi) \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \sağ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \sağ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \sağ))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \sağ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Yaxşı, onlar haqqında xüsusi nədir? Onlar həm də yüngüldür. Baxmayaraq ki, dayan! Pi gücə yüksəldilirmi? Nə cəfəngiyyatdır?
Və $2\sqrt(3)-3$ rəqəmini gücə necə qaldırmaq olar? Yoxsa $3-2\sqrt(2)$? Problemləri tərtib edənlər işə oturmazdan əvvəl çox "Yemişan" içiblər. :)
Əslində bu tapşırıqların heç bir qəbahəti yoxdur. Xatırladım: eksponensial funksiya $((a)^(x))$ formasının ifadəsidir, burada $a$ əsası bir istisna olmaqla istənilən müsbət ədəddir. π ədədi müsbətdir - biz bunu artıq bilirik. $2\sqrt(3)-3$ və $3-2\sqrt(2)$ rəqəmləri də müsbətdir - onları sıfırla müqayisə etsək bunu görmək asandır.
Belə çıxır ki, bütün bu “dəhşətli” bərabərsizliklər yuxarıda müzakirə olunan sadələrdən heç nə ilə fərqlənmir? Və eyni şəkildə edirlər? Bəli, tamamilə doğru. Ancaq onların nümunəsindən istifadə edərək, müstəqil işə və imtahanlara çox vaxt qənaət edən bir hiyləni nəzərdən keçirmək istərdim. Rasionallaşdırma üsulu haqqında danışacağıq. Beləliklə, diqqət:
$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ formasının istənilən eksponensial bərabərsizliyi $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) bərabərsizliyinə ekvivalentdir. sağa) \gt 0 $.
Bütün üsul budur. :) Növbəti oyunun bir növ olacağını düşünürdünüz? Bu kimi heç nə! Amma hərfi mənada bir sətirdə yazılmış bu sadə fakt işimizi xeyli asanlaşdıracaq. Bax:
\[\begin(matris) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Aşağı \\ \sol(x+7-\sol(((x)^(2)) -3x+2 \sağ) \sağ)\cdot \sol(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \sağ) \gt 0 \\\end(matris)\]
Burada daha eksponensial funksiyalar yoxdur! Və işarənin dəyişib-dəyişmədiyini xatırlamaq lazım deyil. Ancaq yeni bir problem yaranır: \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] lənətə gəlmiş çarpanla nə etməli? Bunun necə olduğunu bilmirik dəqiq qiymətπ rəqəmləri. Bununla belə, kapitan açıq-aydın eyham vurur:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\təxminən 3,14... \gt 3\Sağ ox \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]
Ümumiyyətlə, π-nin dəqiq dəyəri bizi o qədər də narahat etmir - yalnız bizim üçün hər bir halda $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 olduğunu başa düşmək vacibdir. $, t.e. müsbət sabitdir və bərabərsizliyin hər iki tərəfini ona görə bölmək olar:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \sağ) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \sol(x-5 \sağ)\sol(x+1 \sağ) \lt 0. \\\end(align)\]
Gördüyünüz kimi, in müəyyən bir an mənfi birə bölünməli idi və bərabərsizlik işarəsi dəyişdi. Sonda kvadrat trinomialı Vyeta teoreminə görə genişləndirdim - köklərin $((x)_(1))=5$ və $((x)_(2))=-ə bərabər olduğu aydındır. 1$. Sonra hər şeyə qərar verilir klassik üsul intervallar:
Bərabərsizliyi intervallar üsulu ilə həll edirik Orijinal bərabərsizlik ciddi olduğu üçün bütün nöqtələr deşilir. Mənfi dəyərləri olan sahə ilə maraqlanırıq, ona görə də cavab $x\in \left(-1;5 \right)$-dır. Həll yolu budur. :)
Növbəti tapşırığa keçək:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \sağ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Burada hər şey sadədir, çünki sağda vahid var. Və xatırlayırıq ki, vahid sıfırın gücünə qaldırılmış istənilən ədəddir. Bu rəqəm irrasional bir ifadə olsa belə, solda bazada dayanır:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \sağ))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\end(hizalayın)\]
Beləliklə, rasionallaşdıraq:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \sağ) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Yalnız əlamətlərlə məşğul olmaq qalır. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ çarpanında $x$ dəyişəni yoxdur - bu, sadəcə olaraq sabitdir və biz onun işarəsini tapmalıyıq. Bunu etmək üçün aşağıdakıları qeyd edin:
\[\begin(matris) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Aşağı \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \sağ) \lt 2\cdot \left(2) -2 \sağ)=0 \\\end(matris)\]
Belə çıxır ki, ikinci faktor sadəcə sabit deyil, mənfi sabitdir! Və ona bölündükdə, orijinal bərabərsizliyin işarəsi əksinə dəyişəcək:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \sağ) \gt 0. \\\end(align)\]
İndi hər şey aydın olur. Sağdakı kvadrat üçhəmin kökləri $((x)_(1))=0$ və $((x)_(2))=2$-dır. Onları rəqəm xəttində qeyd edirik və $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ funksiyasının işarələrinə baxırıq:
Bizi yanal intervallarla maraqlandıran vəziyyət Bizi plus işarəsi ilə qeyd olunan intervallar maraqlandırır. Yalnız cavabı yazmaq qalır:
Növbəti nümunəyə keçək:
\[((\left(\frac(1)(3) \sağ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ sağa))^(16-x))\]
Yaxşı, burada hər şey olduqca aydındır: əsaslar eyni sayda güclərdir. Buna görə də hər şeyi qısaca yazacağam:
\[\begin(matris) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Aşağı \\ ((\sol(((3)^(-1)) \sağ))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \sağ))^(16-x)) \\\end(matris)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ sol(16-x\sağ))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \sol(x+8 \sağ)\sol(x-4 \sağ) \lt 0. \\\end(align)\]
Gördüyünüz kimi, çevrilmə prosesində biz çoxalmalı olduq mənfi rəqəm, beləliklə bərabərsizlik işarəsi dəyişdi. Ən sonunda kvadrat trinomialı faktorlara ayırmaq üçün yenidən Vyeta teoremini tətbiq etdim. Nəticədə cavab belə olacaq: $x\in \left(-8;4 \right)$ - istəyənlər bunu ədəd xətti çəkərək, nöqtələri qeyd edərək və işarələri saymaqla yoxlaya bilərlər. Bu vaxt "dəstimizdən" sonuncu bərabərsizliyə keçəcəyik:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \sağ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Gördüyünüz kimi, əsas yenə irrasional ədəddir və vahid yenə sağdadır. Beləliklə, eksponensial bərabərsizliyimizi aşağıdakı kimi yenidən yazırıq:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \sağ))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ sağ)))^(0))\]
Gəlin rasionallaşdıraq:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \sağ) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \sağ)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Bununla belə, tamamilə aydındır ki, $1-\sqrt(2) \lt 0$, çünki $\sqrt(2)\təqribən 1,4... \gt 1$. Buna görə də, ikinci amil yenə mənfi sabitdir və bərabərsizliyin hər iki hissəsini bölmək olar:
\[\begin(matris) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Aşağıya doğru \ \\son (matris)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \sağ) \lt 0. \\\end(align)\]
Başqa bazaya keçin
Eksponensial bərabərsizliklərin həllində ayrıca problem “düzgün” əsasın axtarışıdır. Təəssüf ki, tapşırığa ilk baxışda nəyi əsas götürmək və bu əsasın dərəcəsi olaraq nə etmək həmişə aydın deyil.
Ancaq narahat olmayın: burada sehrli və "gizli" texnologiyalar yoxdur. Riyaziyyatda alqoritmləşdirilməsi mümkün olmayan hər hansı bir bacarıq təcrübə vasitəsilə asanlıqla inkişaf etdirilə bilər. Ancaq bunun üçün problemləri həll etməlisiniz müxtəlif səviyyələrdəçətinliklər. Məsələn, bunlar:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \sağ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \sağ))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \sağ))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \sağ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ bitir(düzləşdir)\]
Çətin? Qorxulu? Bəli, asfaltda toyuqdan daha asandır! Gəlin cəhd edək. Birinci bərabərsizlik:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Düşünürəm ki, burada hər şey aydındır:
Hər şeyi "iki" bazasına endirərək orijinal bərabərsizliyi yenidən yazırıq:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Sağ ox \sol(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \sağ)\cdot \sol(2-1 \sağ) \lt 0\]
Bəli, bəli, düzgün başa düşdünüz: mən sadəcə yuxarıda təsvir olunan səmərələşdirmə metodunu tətbiq etdim. İndi diqqətlə işləməliyik: kəsr-rasional bərabərsizlik əldə etdik (məxrəcdə dəyişən olan budur), buna görə də bir şeyi sıfıra bərabərləşdirməzdən əvvəl hər şeyi ortaq məxrəcə endirməli və sabit amildən qurtulmalısınız. .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \sağ)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
İndi istifadə edirik standart üsul intervallar. Numerator sıfırları: $x=\pm 4$. Məxrəc yalnız $x=0$ olduqda sıfıra keçir. Ümumilikdə, nömrə xəttində qeyd edilməli olan üç nöqtə var (bərabərsizlik işarəsi ciddi olduğu üçün bütün nöqtələr kəsilir). Biz əldə edirik:
Daha mürəkkəb vəziyyət: üç kök Təxmin etdiyiniz kimi, hatching soldakı ifadənin keçdiyi intervalları qeyd edir mənfi dəyərlər. Beləliklə, iki interval bir anda son cavaba daxil olacaq:
İlkin bərabərsizlik ciddi olduğundan intervalların ucları cavaba daxil edilmir. Bu cavabın əlavə təsdiqi tələb olunmur. Bu baxımdan, eksponensial bərabərsizliklər loqarifmiklərdən daha sadədir: DPV yoxdur, məhdudiyyət yoxdur və s.
Növbəti tapşırığa keçək:
\[((\left(\frac(1)(3) \sağ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Burada da heç bir problem yoxdur, çünki biz artıq bilirik ki, $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, ona görə də bütün bərabərsizliyi belə yenidən yazmaq olar:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Sağ ox ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\sol(-2\sağ)\sağ. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Diqqət yetirin: üçüncü sətirdə xırda şeylərə vaxt itirməməyə və dərhal hər şeyi (−2) ilə bölməyə qərar verdim. Minul ilk mötərizəyə girdi (indi hər yerdə müsbətlər var) və ikili sabit çarpanla azaldıldı. Müstəqil və üzərində real hesablamalar apararkən məhz bunu etməlisiniz nəzarət işi- hər bir hərəkəti və çevrilməni birbaşa rəngləməyə ehtiyac yoxdur.
Sonra, tanış olan intervallar üsulu işə düşür. Numeratorun sıfırları: lakin heç biri yoxdur. Çünki diskriminant mənfi olacaq. Öz növbəsində, məxrəc yalnız $x=0$ olduqda sıfıra təyin olunur — eynilə keçən dəfə olduğu kimi. Yaxşı, aydındır ki, $x=0$-ın sağında kəsr tutacaq müsbət dəyərlər, və solda mənfi olanlar. Bizi yalnız mənfi dəyərlər maraqlandırdığından, yekun cavab $x\in \left(-\infty ;0 \right)$-dır.
\[((\left(0,16 \sağ))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \sağ))^(x))\ge 1\]
Və eksponensial bərabərsizliklərdə onluq kəsrlərlə nə etmək lazımdır? Düzdür: onları adi olanlara çevirərək onlardan qurtulun. Tərcümə edirik:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Sağ ox ((\left(0,16 \sağ))^(1+2x)) =((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Sağ ox ((\sol(6,25 \sağ))^(x))=((\sol(\) frac(25)(4) \sağ))^(x)). \\\end(hizalayın)\]
Yaxşı, eksponensial funksiyaların əsaslarında nə əldə etdik? Və iki qarşılıqlı nömrə aldıq:
\[\frac(25)(4)=((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-1))\Sağ ox ((\sol(\frac(25)(4) \ sağ))^(x))=((\sol(((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-1)) \sağ))^(x))=((\\ sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-x))\]
Beləliklə, orijinal bərabərsizliyi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \sağ) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x+\left(-x \sağ)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(0) ). \\\end(hizalayın)\]
Əlbəttə ki, eyni baza ilə gücləri çarpan zaman onların göstəriciləri toplanır, bu da ikinci sətirdə baş verir. Bundan əlavə, biz sağdakı bölməni, həmçinin 4/25 bazasında güc olaraq təmsil etdik. Yalnız rasionallaşdırmaq qalır:
\[((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(0)) \Sağ ox \sol(x+1-0 \sağ)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \sağ)\ge 0\]
Qeyd edək ki, $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, yəni. ikinci amil mənfi sabitdir və ona bölündükdə bərabərsizlik işarəsi dəyişəcək:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Nəhayət, cari "dəst" dən sonuncu bərabərsizlik:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \sağ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Prinsipcə, burada həll ideyası da aydındır: bərabərsizliyi təşkil edən bütün eksponensial funksiyalar "3" bazasına endirilməlidir. Ancaq bunun üçün köklər və dərəcələrlə bir az məşğul olmalısınız:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3))))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\dörd 81=((3)^(4)). \\\end(hizalayın)\]
Bu faktları nəzərə alaraq, orijinal bərabərsizliyi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \sağ))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \sağ))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(hizalayın)\]
Hesablamaların 2-ci və 3-cü sətirlərinə diqqət yetirin: bərabərsizliklə bir şey etməzdən əvvəl onu dərsin əvvəlindən danışdığımız formaya gətirməyi unutmayın: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Nə qədər ki, sol və ya sağ sol çarpanlarınız, əlavə sabitlər və s. heç bir səmərələşdirmə və əsasların “xırdalanması” həyata keçirilə bilməz! Bu sadə həqiqətin səhv başa düşülməsi səbəbindən saysız-hesabsız tapşırıqlar səhv edildi. Mən özüm eksponensial və loqarifmik bərabərsizlikləri yenicə təhlil etməyə başlayanda tələbələrimlə bu problemi daim müşahidə edirəm.
Ancaq vəzifəmizə qayıdaq. Gəlin bu dəfə rasionallaşdırmadan etməyə çalışaq. Xatırlayırıq: dərəcənin əsası birdən böyükdür, buna görə də üçlü sadəcə kəsilə bilər - bərabərsizlik işarəsi dəyişməyəcək. Biz əldə edirik:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
Hamısı budur. Yekun cavab: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Stabil ifadəni vurğulamaq və dəyişəni əvəz etmək
Yekun olaraq, hazırlıqsız tələbələr üçün onsuz da olduqca çətin olan daha dörd eksponensial bərabərsizliyi həll etməyi təklif edirəm. Onların öhdəsindən gəlmək üçün dərəcələrlə işləmə qaydalarını xatırlamaq lazımdır. Xüsusilə, ümumi amilləri mötərizədən çıxarmaq.
Ancaq ən vacib şey başa düşməyi öyrənməkdir: dəqiq nəyi mötərizə etmək olar. Belə bir ifadə sabit adlanır - onu yeni dəyişən ilə işarələmək və beləliklə, eksponensial funksiyadan xilas olmaq olar. Beləliklə, tapşırıqlara baxaq:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \sağ))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
İlk sətirdən başlayaq. Bu bərabərsizliyi ayrıca yazaq:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Qeyd edək ki, $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, belə ki, sağ tərəf yenidən yazmaq olar:
Qeyd edək ki, bərabərsizlikdə $((5)^(x+1))$-dan başqa heç bir eksponensial funksiya yoxdur. Və ümumiyyətlə, $x$ dəyişəni başqa yerdə baş vermir, ona görə də yeni dəyişən təqdim edək: $((5)^(x+1))=t$. Aşağıdakı tikintini alırıq:
\[\başla(düzləşdir) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Orijinal dəyişənə qayıdırıq ($t=((5)^(x+1))$) və eyni zamanda 1=5 0 olduğunu xatırlayırıq. Bizdə:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(hizalayın)\]
Bütün həll yolu budur! Cavab: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. İkinci bərabərsizliyə keçək:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Burada hər şey eynidir. Qeyd edək ki, $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Sonra sol tərəf yenidən yazmaq olar:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \sağ. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Sağ ox x\in \left[ 2;+\infty \sağ). \\\end(hizalayın)\]
Həqiqi nəzarət və müstəqil iş haqqında qərar verməli olduğunuz təxminən belədir.
Yaxşı, daha çətin bir şeyə cəhd edək. Məsələn, burada bərabərsizlik var:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Burada problem nədir? Əvvəla, soldakı eksponensial funksiyaların əsasları fərqlidir: 5 və 25. Bununla belə, 25 \u003d 5 2, buna görə də birinci termin çevrilə bilər:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align) )\]
Gördüyünüz kimi, əvvəlcə hər şeyi eyni bazaya gətirdik, sonra birinci terminin asanlıqla ikinciyə endirildiyini gördük - sadəcə eksponenti genişləndirmək kifayətdir. İndi biz təhlükəsiz şəkildə yeni dəyişəni təqdim edə bilərik: $((5)^(2x+2))=t$ və bütün bərabərsizlik bu şəkildə yenidən yazılacaq:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
Yenə də problem yoxdur! Son cavab: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Bugünkü dərsdə yekun bərabərsizliyə keçək:
\[((\left(0,5 \sağ))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Diqqət yetirməli ilk şey, əlbəttə ki, onluq birinci dərəcənin əsasında. Ondan qurtulmaq və eyni zamanda bütün eksponensial funksiyaları eyni bazaya - "2" rəqəminə gətirmək lazımdır:
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Sağ ox ((\left(0,5 \sağ))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \sağ))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Sağ ox ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \sağ))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Əla, biz ilk addımı atdıq - hər şey eyni təmələ gətirib çıxardı. İndi biz vurğulamalıyıq ifadə təyin edin. Qeyd edək ki, $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Əgər yeni $((2)^(4x+6))=t$ dəyişəni təqdim etsək, onda ilkin bərabərsizlik aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(hizalayın)\]
Təbii ki, sual yarana bilər: 256 = 2 8 olduğunu necə bildik? Təəssüf ki, burada sadəcə ikinin səlahiyyətlərini (və eyni zamanda üç və beşin səlahiyyətlərini) bilmək lazımdır. Yaxşı, ya da nəticəni əldə edənə qədər 256-nı 2-yə bölün (bölmək olar, çünki 256 cüt ədəddir). Bu kimi bir şey görünəcək:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(align) )\]
Eyni şey üç ilə (9, 27, 81 və 243 nömrələri onun səlahiyyətləridir) və yeddi ilə (49 və 343 nömrələri də xatırlamaq yaxşı olardı). Bəli, beşinin də bilməli olduğunuz “gözəl” dərəcələri var:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(hizalayın)\]
Əlbəttə ki, bütün bu rəqəmləri, istəsəniz, sadəcə olaraq, ardıcıl olaraq bir-birinə çarparaq, şüurda bərpa etmək olar. Bununla belə, bir neçə eksponensial bərabərsizliyi həll etməli olduğunuzda və hər bir növbəti əvvəlkindən daha çətin olduqda, ən son düşünmək istədiyiniz şey oradakı bəzi ədədlərin səlahiyyətləridir. Və bu mənada bu problemlər interval üsulu ilə həll olunan “klassik” bərabərsizliklərdən daha mürəkkəbdir.
Əksər riyazi məsələlərin həlli bir növ ədədi, cəbri və ya funksional ifadələrin çevrilməsi ilə bağlıdır. Bu xüsusilə həllə aiddir. Riyaziyyatda İSTİFADƏ variantlarında bu tip tapşırıqlara, xüsusən də C3 tapşırığı daxildir. C3 tapşırıqlarını necə həll edəcəyinizi öyrənmək yalnız uğur qazanmaq üçün vacib deyil imtahandan keçmək, həm də ona görə ki, bu bacarıq ali təhsildə riyaziyyat kursunu oxuyarkən faydalıdır.
C3 tapşırıqlarını yerinə yetirərkən qərar verməlisiniz müxtəlif növlər tənliklər və bərabərsizliklər. Onların arasında rasional, irrasional, eksponensial, loqarifmik, triqonometrik, modulları (mütləq dəyərlər) ehtiva edən, həmçinin birləşdirilmiş olanları qeyd etmək olar. Bu məqalədə eksponensial tənliklərin və bərabərsizliklərin əsas növləri, həmçinin müxtəlif üsullar onların qərarları. C3 problemlərinin həlli üsullarına həsr olunmuş məqalələrdə "" başlığı altında digər növ tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli haqqında oxuyun. İSTİFADƏ seçimləri riyaziyyat.
Xüsusi analizə keçməzdən əvvəl eksponensial tənliklər və bərabərsizliklər, bir riyaziyyat müəllimi kimi sizə bizə lazım olacaq nəzəri materialların bəzilərini təzələmənizi təklif edirəm.
Eksponensial funksiya
Eksponensial funksiya nədir?
Baxış funksiyası y = a x, Harada a> 0 və a≠ 1, çağırılır eksponensial funksiya.
Əsas eksponensial funksiya xassələri y = a x:
Eksponensial funksiyanın qrafiki
Eksponensial funksiyanın qrafiki belədir sərgi iştirakçısı:
Eksponensial funksiyaların qrafikləri (eksponentlər)
Eksponensial tənliklərin həlli
göstərici naməlum dəyişənin yalnız istənilən gücün göstəricilərində tapıldığı tənliklər adlanır.
Həlllər üçün eksponensial tənliklər aşağıdakı sadə teoremi bilməli və istifadə edə bilməlisiniz:
Teorem 1. eksponensial tənlik a f(x) = a g(x) (Harada a > 0, a≠ 1) tənliyə ekvivalentdir f(x) = g(x).
Bundan əlavə, dərəcələrlə əsas düsturları və hərəkətləri xatırlamaq faydalıdır:
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Misal 1 Tənliyi həll edin:
Həll: yuxarıdakı düsturlardan istifadə edin və əvəz edin:
Sonra tənlik belə olur:
Alınan kvadrat tənliyin diskriminantı müsbətdir:
Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Bu o deməkdir ki, bu tənliyin iki kökü var. Onları tapırıq:
Əvəzediciliyə qayıdaraq, əldə edirik:
İkinci tənliyin heç bir kökü yoxdur, çünki eksponensial funksiya bütün tərif sahəsi üzərində ciddi şəkildə müsbətdir. İkincisini həll edək:
Teorem 1-də deyilənləri nəzərə alaraq, ekvivalent tənliyə keçirik: x= 3. Bu tapşırığın cavabı olacaq.
Cavab: x = 3.
Misal 2 Tənliyi həll edin:
Həll:ərazi məhdudiyyətləri icazə verilən dəyərlər tənlik yoxdur, çünki radikal ifadə istənilən dəyər üçün məna kəsb edir x(eksponensial funksiya y = 9 4 -x müsbət və sıfıra bərabər deyil).
Tənliyi güclərin vurma və bölmə qaydalarından istifadə edərək ekvivalent çevrilmələrlə həll edirik:
Sonuncu keçid Teorem 1-ə uyğun olaraq həyata keçirilmişdir.
Cavab:x= 6.
Misal 3 Tənliyi həll edin:
Həll: orijinal tənliyin hər iki tərəfini 0,2-ə bölmək olar x. Bu keçid ekvivalent olacaq, çünki bu ifadə Sıfırdan yuxarı istənilən dəyər üçün x(eksponensial funksiya öz domenində ciddi müsbətdir). Sonra tənlik aşağıdakı formanı alır:
Cavab: x = 0.
Misal 4 Tənliyi həll edin:
Həll: məqalənin əvvəlində verilmiş səlahiyyətlərin bölünməsi və vurulması qaydalarından istifadə edərək ekvivalent çevrilmələrlə tənliyi elementar birinə sadələşdiririk:
Tənliyin hər iki tərəfini 4-ə bölmək x, əvvəlki misalda olduğu kimi, ekvivalent çevrilmədir, çünki bu ifadə heç bir dəyər üçün sıfıra bərabər deyil. x.
Cavab: x = 0.
Misal 5 Tənliyi həll edin:
Həll: funksiyası y = 3x, tənliyin sol tərəfində duran, artır. Funksiya y = —x-2/3, tənliyin sağ tərəfində dayanaraq, azalır. Bu o deməkdir ki, bu funksiyaların qrafikləri kəsişirsə, o zaman ən çox bir nöqtədə. Bu halda, qrafiklərin nöqtədə kəsişdiyini təxmin etmək asandır x= -1. Başqa köklər olmayacaq.
Cavab: x = -1.
Misal 6 Tənliyi həll edin:
Həll: eksponensial funksiyanın hər hansı bir dəyər üçün sıfırdan ciddi şəkildə böyük olduğunu hər yerdə nəzərə alaraq tənliyi ekvivalent çevrilmələrlə sadələşdiririk x və məqalənin əvvəlində verilmiş məhsulun və qismən səlahiyyətlərin hesablanması qaydalarından istifadə etməklə:
Cavab: x = 2.
Eksponensial bərabərsizliklərin həlli
göstərici naməlum dəyişənin yalnız bəzi güclərin eksponentlərində olduğu bərabərsizliklər adlanır.
Həlllər üçün eksponensial bərabərsizliklər aşağıdakı teoremi bilmək tələb olunur:
Teorem 2.Əgər a> 1, sonra bərabərsizlik a f(x) > a g(x) eyni mənalı bərabərsizliyə bərabərdir: f(x) > g(x). Əgər 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) əks mənalı bərabərsizliyə bərabərdir: f(x) < g(x).
Misal 7 Bərabərsizliyi həll edin:
Həll: orijinal bərabərsizliyi aşağıdakı formada ifadə edin:
Bu bərabərsizliyin hər iki tərəfini 3 2-yə bölün x, və (funksiyanın müsbətliyinə görə y= 3 2x) bərabərsizlik işarəsi dəyişməyəcək:
Əvəzetmədən istifadə edək:
Sonra bərabərsizlik aşağıdakı formanı alır:
Beləliklə, bərabərsizliyin həlli intervaldır:
əks əvəzliyə keçərək, alırıq:
Eksponensial funksiyanın müsbətliyinə görə sol bərabərsizlik avtomatik olaraq yerinə yetirilir. Loqarifmin məlum xassəsindən istifadə edərək ekvivalent bərabərsizliyə keçirik:
Dərəcənin əsası birdən böyük ədəd olduğundan, ekvivalent (teorem 2 ilə) aşağıdakı bərabərsizliyə keçid olacaqdır:
Beləliklə, nəhayət əldə edirik cavab:
Misal 8 Bərabərsizliyi həll edin:
Həll: Güclərin vurma və bölgü xassələrindən istifadə edərək bərabərsizliyi aşağıdakı formada yenidən yazırıq:
Gəlin yeni dəyişən təqdim edək:
Bu əvəzetmə ilə bərabərsizlik aşağıdakı formanı alır:
Kəsrin payını və məxrəcini 7-yə vursaq, aşağıdakı ekvivalent bərabərsizliyi əldə edirik:
Beləliklə, bərabərsizlik dəyişənin aşağıdakı qiymətləri ilə ödənilir t:
Sonra əvəzetməyə qayıdaraq, alırıq:
Burada dərəcənin əsası birdən böyük olduğundan bərabərsizliyə keçmək (2-ci teorem üzrə) bərabərdir:
Nəhayət alırıq cavab:
Misal 9 Bərabərsizliyi həll edin:
Həll:
Bərabərsizliyin hər iki tərəfini aşağıdakı ifadə ilə bölürük:
O, həmişə sıfırdan böyükdür (çünki eksponensial funksiya müsbətdir), ona görə də bərabərsizlik işarəsinin dəyişdirilməsinə ehtiyac yoxdur. Biz əldə edirik:
t intervalında olanlar:
Əks əvəzetməyə keçdikdə, ilkin bərabərsizliyin iki halda ayrıldığını görürük:
Birinci bərabərsizliyin eksponensial funksiyanın müsbətliyinə görə həlli yoxdur. İkincisini həll edək:
Misal 10 Bərabərsizliyi həll edin:
Həll:
Parabola budaqları y = 2x+2-x 2 aşağıya doğru yönəldilmişdir, ona görə də yuxarıdan təpəsində çatdığı dəyərlə məhdudlaşır:
Parabola budaqları y = x 2 -2x Göstəricidə olan +2 yuxarıya doğru yönəldilir, yəni aşağıdan yuxarıya çatdığı dəyərlə məhdudlaşır:
Eyni zamanda, funksiya aşağıdan məhdudlaşır y = 3 x 2 -2x+2 tənliyin sağ tərəfində. Ona çatır ən kiçik dəyər eksponentdəki parabola ilə eyni nöqtədə və bu qiymət 3 1 = 3-dür. Deməli, ilkin bərabərsizlik yalnız o halda doğru ola bilər ki, soldakı funksiya və sağdakı funksiya bir nöqtədə 3 qiymətini alır ( bu funksiyaların diapazonlarını keçmək yalnız bu rəqəmdir). Bu şərt bir nöqtədə təmin edilir x = 1.
Cavab: x= 1.
Necə həll edəcəyinizi öyrənmək üçün eksponensial tənliklər və bərabərsizliklər, onların həllində daim məşq etməlisiniz. Bu çətin məsələdə müxtəlif tədris vəsaitləri, ibtidai sinif riyaziyyatından problem kitabları, rəqabətli məsələlər topluları, məktəbdə riyaziyyat dərsləri, həmçinin peşəkar repetitorla fərdi dərslər. Sizə səmimi qəlbdən hazırlıqda uğurlar və imtahanda parlaq nəticələr arzulayıram.
Sergey Valerieviç
P.S. Hörmətli qonaqlar! Zəhmət olmasa şərhlərdə tənliklərinizin həlli üçün sorğu yazmayın. Təəssüf ki, buna ümumiyyətlə vaxtım yoxdur. Belə mesajlar silinəcək. Zəhmət olmasa məqaləni oxuyun. Ola bilsin ki, siz tapşırığınızı öz başınıza həll etməyə imkan verməyən suallara cavab tapacaqsınız.
Bu dərsdə biz müxtəlif eksponensial bərabərsizlikləri nəzərdən keçirəcəyik və ən sadə eksponensial bərabərsizliklərin həlli metodu əsasında onların həllini öyrənəcəyik.
1. Eksponensial funksiyanın tərifi və xassələri
Eksponensial funksiyanın tərifini və əsas xassələrini xatırlayın. Bütün eksponensial tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli məhz xassələrə əsaslanır.
Eksponensial funksiya formasının funksiyasıdır, burada baza dərəcədir və Burada x müstəqil dəyişəndir, arqumentdir; y - asılı dəyişən, funksiya.
düyü. 1. Eksponensial funksiyanın qrafiki
Qrafik artan və azalan eksponenti göstərir, eksponensial funksiyanı müvafiq olaraq birdən böyük və birdən kiçik, lakin sıfırdan böyük bazada göstərir.
Hər iki əyri (0;1) nöqtəsindən keçir.
Eksponensial funksiyanın xassələri:
Domain: ;
Dəyərlər diapazonu: ;
Funksiya monotondur, kimi artır, kimi azalır.
Monoton funksiya öz dəyərinin hər birini arqumentin tək bir dəyəri ilə alır.
Arqument mənfidən üstəgəl sonsuza qədər artdıqda, funksiya daxil olmayan sıfırdan üstəgəl sonsuza qədər artdıqda, yəni arqumentin verilmiş qiymətləri üçün monoton artan funksiyaya sahibik (). Əksinə, arqument mənfidən üstəgəl sonsuza qədər artdıqda, funksiya sonsuzdan sıfıra, daxil olmaqla, yəni arqumentin verilmiş dəyərləri üçün monoton şəkildə azalan bir funksiyaya sahib oluruq ().
2. Ən sadə eksponensial bərabərsizliklər, həll texnikası, nümunə
Yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq, ən sadə eksponensial bərabərsizliklərin həlli üçün bir üsul təqdim edirik:
Bərabərsizliklərin həlli üsulu:
Dərəcələrin əsaslarını bərabərləşdirin;
Göstəriciləri müqayisə edin, bərabərsizliyin əks işarəsini saxlayaraq və ya dəyişdirin.
Mürəkkəb eksponensial bərabərsizliklərin həlli, bir qayda olaraq, onların ən sadə eksponensial bərabərsizliklərə endirilməsindən ibarətdir.
Dərəcənin bazası birdən böyükdür, yəni bərabərsizlik işarəsi qorunub saxlanılır:
Sağ tərəfi dərəcənin xüsusiyyətlərinə görə çevirək:
Dərəcənin əsası birdən kiçikdir, bərabərsizlik işarəsi tərsinə çevrilməlidir:
Kvadrat bərabərsizliyi həll etmək üçün müvafiq kvadrat tənliyi həll edirik:
Vyeta teoreminə əsasən, kökləri tapırıq:
Parabolanın budaqları yuxarıya doğru yönəldilmişdir.
Beləliklə, bərabərsizliyin həlli var:
Sağ tərəfin sıfır eksponentli bir güc kimi göstərilə biləcəyini təxmin etmək asandır:
Dərəcənin əsası birdən böyükdür, bərabərsizlik işarəsi dəyişmir, alırıq:
Belə bərabərsizliklərin həlli prosedurunu xatırlayın.
Kəsr rasional funksiyanı nəzərdən keçirək:
Tərif sahəsinin tapılması:
Funksiyanın köklərini tapırıq:
Funksiya tək kökə malikdir, 
İşarə sabitliyinin intervallarını ayırırıq və hər intervalda funksiyanın əlamətlərini təyin edirik:
düyü. 2. İşarənin sabitliyinin intervalları
Beləliklə, cavabı aldıq.
Cavab: 
3. Tipik eksponensial bərabərsizliklərin həlli
Göstəriciləri eyni, lakin əsasları fərqli olan bərabərsizlikləri nəzərdən keçirin.
Eksponensial funksiyanın xassələrindən biri də odur ki, arqumentin istənilən dəyəri üçün ciddi müsbət qiymətlər alır, yəni onu eksponensial funksiyaya bölmək olar. Verilmiş bərabərsizliyi sağ tərəfinə bölək:
Dərəcənin bazası birdən böyükdür, bərabərsizlik işarəsi saxlanılır.
Həll yolunu təsvir edək:
Şəkil 6.3-də funksiyaların qrafikləri və . Aydındır ki, arqument sıfırdan böyük olduqda, funksiyanın qrafiki yuxarıda yerləşir, bu funksiya daha böyük olur. Arqumentin dəyərləri mənfi olduqda, funksiya aşağıya keçir, daha azdır. Funksiyanın arqumentinin qiyməti bərabər olduqda, o zaman verilmiş nöqtə həm də verilmiş bərabərsizliyin həllidir.
düyü. 3. Misal üçün illüstrasiya 4
Verilmiş bərabərsizliyi dərəcənin xüsusiyyətlərinə görə çeviririk:
Budur oxşar üzvlər:
Gəlin hər iki hissəni aşağıdakılara ayıraq:
İndi biz nümunə 4-ə bənzər şəkildə həll etməyə davam edirik, hər iki hissəni aşağıdakılara bölürük:
Dərəcənin bazası birdən böyükdür, bərabərsizlik işarəsi saxlanılır:
4. Eksponensial bərabərsizliklərin qrafik həlli
Misal 6 - bərabərsizliyi qrafik şəkildə həll edin:
Sol və sağ tərəflərdəki funksiyaları nəzərdən keçirin və onların hər birinin qrafikini tərtib edin.
Funksiya eksponentdir, bütün tərif sahəsi üzrə, yəni arqumentin bütün real dəyərləri üçün artır.
Funksiya xəttidir, onun bütün tərif sahəsi üzrə, yəni arqumentin bütün real dəyərləri üçün azalır.
Bu funksiyalar kəsişirsə, yəni sistemin həlli varsa, belə bir həll unikaldır və asanlıqla təxmin edilə bilər. Bunu etmək üçün tam ədədlər üzərində təkrarlayın ()
Bu sistemin kökünün belə olduğunu görmək asandır:
Beləliklə, funksiya qrafikləri birə bərabər arqumentlə bir nöqtədə kəsişir.
İndi cavab almalıyıq. Verilmiş bərabərsizliyin mənası budur ki, göstərici xətti funksiyadan böyük və ya ona bərabər olmalıdır, yəni ondan böyük və ya ona bərabər olmalıdır. Cavab aydındır: (Şəkil 6.4)
düyü. 4. Misal üçün illüstrasiya 6
Beləliklə, biz müxtəlif tipik eksponensial bərabərsizliklərin həllini nəzərdən keçirdik. Sonra, daha mürəkkəb eksponensial bərabərsizliklərin nəzərdən keçirilməsinə müraciət edirik.
Biblioqrafiya
Mordkoviç A. G. Cəbr və başlanğıclar riyazi analiz. - M.: Mnemosin. Muravin G. K., Muravina O. V. Cəbr və riyazi analizin başlanğıcları. - M .: Bustard. Kolmoqorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. və başqaları Cəbr və riyazi analizin başlanğıcları. - M.: Maarifçilik.
Riyaziyyat. md. Riyaziyyat-təkrar. com. Diffur. kemsu. ru.
Ev tapşırığı
1. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-11-ci siniflər (A. N. Kolmoqorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsın) 1990, No 472, 473;
2. Bərabərsizliyi həll edin:
3. Bərabərsizliyi həll edin.
Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Əksponensial tənliklər və eksponensial bərabərsizliklər"
Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, rəy, rəy, təkliflərinizi bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılır.
11-ci sinif üçün "Integral" onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
9-11-ci siniflər üçün "Triqonometriya" interaktiv dərs vəsaiti
10-11-ci siniflər üçün interaktiv dərslik "Loqarifmlər"
Eksponensial tənliklərin tərifi
Uşaqlar, biz eksponensial funksiyaları öyrəndik, xassələrini öyrəndik və qrafiklər qurduq, eksponensial funksiyaların rast gəlindiyi tənlik nümunələrini təhlil etdik. Bu gün eksponensial tənlikləri və bərabərsizlikləri öyrənəcəyik.Tərif. Formanın tənlikləri: $a^(f(x))=a^(g(x))$, burada $a>0$, $a≠1$ eksponensial tənliklər adlanır.
"Eksponensial funksiya" mövzusunda öyrəndiyimiz teoremləri xatırlayaraq, yeni bir teorem təqdim edə bilərik:
Teorem. $a^(f(x))=a^(g(x))$ eksponensial tənliyi, burada $a>0$, $a≠1$ $f(x)=g(x) tənliyinə ekvivalentdir. $.
Eksponensial tənliklərin nümunələri
Misal.Tənlikləri həll edin:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3))))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Həll.
a) Biz yaxşı bilirik ki, $27=3^3$.
Gəlin tənliyimizi yenidən yazaq: $3^(3x-3)=3^3$.
Yuxarıdakı teoremdən istifadə edərək əldə edirik ki, tənliyimiz $3x-3=3$ tənliyinə endirir, bu tənliyi həll edərək $x=2$ alırıq.
Cavab: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Sonra tənliyimizi yenidən yazmaq olar: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) )=((\frac(2)(3))))^(0,2)$.
$2x+0,2=0,2$.
$x=0$.
Cavab: $x=0$.
C) İlkin tənlik tənliyə ekvivalentdir: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ və $x_2=-3$.
Cavab: $x_1=6$ və $x_2=-3$.
Misal.
Tənliyi həll edin: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Həll:
Biz ardıcıl olaraq bir sıra hərəkətlər edəcəyik və tənliyimizin hər iki hissəsini eyni əsaslara gətirəcəyik.
Sol tərəfdə bir sıra əməliyyatlar yerinə yetirək:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1)) (4)))^x$.
Sağ tərəfə keçək:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Orijinal tənlik tənliyə bərabərdir:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Cavab: $x=0$.
Misal.
Tənliyi həll edin: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Həll:
Gəlin tənliyimizi yenidən yazaq: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Dəyişənlərdə dəyişiklik edək, $a=3^x$ olsun.
Yenidə dəyişən tənlik formasını alır: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ və $a_2=3$.
Dəyişənlərin tərs dəyişməsini yerinə yetirək: $3^x=-12$ və $3^x=3$.
Keçən dərsdə eksponensial ifadələrin yalnız müsbət qiymətlər ala biləcəyini öyrəndik, qrafiki xatırlayın. Bu o deməkdir ki, birinci tənliyin həlli yoxdur, ikinci tənliyin bir həlli var: $x=1$.
Cavab: $x=1$.
Gəlin eksponensial tənliklərin həlli yollarını qeyd edək:
1. Qrafik üsul. Tənliyin hər iki hissəsini funksiya kimi təqdim edirik və onların qrafiklərini qururuq, qrafiklərin kəsişmə nöqtələrini tapırıq. (Bu üsuldan keçən dərsdə istifadə etmişdik).
2. Göstəricilərin bərabərliyi prinsipi. Prinsip ona əsaslanır ki, eyni əsaslara malik iki ifadə yalnız və yalnız bu əsasların dərəcələri (göstəriciləri) bərabər olduqda bərabərdir. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Dəyişənlərin dəyişdirilməsi metodu. Bu üsulƏgər tənlik dəyişənləri dəyişdirərkən onun formasını sadələşdirirsə və həlli daha asan olarsa istifadə edilməlidir.
Misal.
Tənliklər sistemini həll edin: $\begin (hallar) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(hallar)$.
Həll.
Sistemin hər iki tənliyini ayrıca nəzərdən keçirin:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
İkinci tənliyi nəzərdən keçirin:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Dəyişənlərin dəyişdirilməsi metodundan istifadə edək, $y=2^(x+y)$ olsun.
Sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ və $y_2=-3$.
İlkin dəyişənlərə keçək, birinci tənlikdən $x+y=2$ alırıq. İkinci tənliyin həlli yoxdur. Onda bizim ilkin tənliklər sistemimiz sistemə ekvivalentdir: $\begin (hallar) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(hallar)$.
Birinci tənlikdən ikinci tənliyi çıxarırıq, alırıq: $\begin (hallar) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(hallar)$.
$\begin (hallar) y=-1, \\ x=3. \end(hallar)$.
Cavab: $(3;-1)$.
eksponensial bərabərsizliklər
Gəlin bərabərsizliklərə keçək. Bərabərsizlikləri həll edərkən dərəcənin əsasına diqqət yetirmək lazımdır. Bərabərsizlikləri həll edərkən hadisələrin inkişafı üçün iki mümkün ssenari var.Teorem. Əgər $a>1$ olarsa, onda $a^(f(x))>a^(g(x))$ eksponensial bərabərsizliyi $f(x)>g(x)$ bərabərsizliyinə ekvivalentdir.
Əgər $0
Misal.
Bərabərsizlikləri həll edin:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Həll.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Bizim bərabərsizliyimiz bərabərsizliyə bərabərdir:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Bizim tənliyimizdə dərəcəsi az olan baza 1-dən çoxdur, onda bərabərsizliyi ekvivalentlə əvəz edərkən işarəni dəyişdirmək lazımdır.
$2x-4>2$.
$x>3$.
C) Bərabərsizliyimiz bərabərsizliyə bərabərdir:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Interval həll metodundan istifadə edək:
Cavab: $(-∞;-5]U)
Oxşar məqalələr
