Qüvvət funksiyasının törəməsi üçün düsturun törəməsi (x-dən a-nın qüvvəsinə). Köklərin x-dən törəmələri nəzərə alınır. Daha yüksək dərəcəli güc funksiyasının törəməsi üçün düstur. Törəmələrin hesablanması nümunələri.

X-in a-nın gücünə törəməsi, x-in mənfi bir qüvvəsinə çarpdırılmasıdır:
(1) .

x-in n-ci kökünün m-ci gücünə törəməsi belədir:
(2) .

Qüvvət funksiyasının törəməsi üçün düsturun törəməsi

Case x > 0

a eksponenti olan x dəyişəninin güc funksiyasını nəzərdən keçirək:
(3) .
Burada a ixtiyari həqiqi ədəddir. Əvvəlcə məsələni nəzərdən keçirək.

(3) funksiyasının törəməsini tapmaq üçün güc funksiyasının xassələrindən istifadə edib onu aşağıdakı formaya çeviririk:
.

İndi tətbiq etməklə törəməni tapırıq:
;
.
Budur.

Formula (1) sübut edilmişdir.

x-in n dərəcəsinin kökünün m dərəcəsinin törəməsi üçün düsturun törəməsi

İndi aşağıdakı formanın kökü olan funksiyanı nəzərdən keçirək:
(4) .

Törəmə tapmaq üçün kökü güc funksiyasına çeviririk:
.
(3) düsturu ilə müqayisə etsək, bunu görürük
.
Sonra
.

Formula (1) görə törəməni tapırıq:
(1) ;
;
(2) .

Praktikada (2) düsturu yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur. Əvvəlcə kökləri güc funksiyalarına çevirmək, sonra (1) düsturundan istifadə edərək onların törəmələrini tapmaq daha rahatdır (səhifənin sonundakı nümunələrə baxın).

Hal x = 0

Əgər , onda eksponensial funksiya x = dəyişəninin qiyməti üçün də müəyyən edilir 0 . (3) funksiyasının x = üçün törəməsini tapaq 0 . Bunun üçün törəmənin tərifindən istifadə edirik:
.

x = əvəz edin 0 :
.
Bu halda, törəmə dedikdə, bunun üçün sağ əl həddi nəzərdə tutulur.

Beləliklə, tapdıq:
.
Buradan da görmək olar ki, , .
, .
, .
Bu nəticə də düstur (1) ilə alınır:
(1) .
Buna görə də (1) düstur x = üçün də etibarlıdır 0 .

hal x< 0

(3) funksiyasını yenidən nəzərdən keçirin:
(3) .
a sabitinin bəzi dəyərləri üçün o da müəyyən edilir mənfi dəyərlər dəyişən x . Məhz, a rasional ədəd olsun. Onda onu azaldılmayan kəsr kimi təqdim etmək olar:
,
burada m və n ümumi bölməsi olmayan tam ədədlərdir.

Əgər n təkdirsə, eksponensial funksiya x dəyişəninin mənfi qiymətləri üçün də müəyyən edilir. Məsələn, n = üçün 3 və m = 1 bizdə x-in kub kökü var:
.
O, həmçinin x-in mənfi dəyərləri üçün müəyyən edilir.

Müəyyən olunduğu a sabitinin rasional qiymətləri üçün (3) güc funksiyasının törəməsini tapaq. Bunun üçün x-i aşağıdakı formada təmsil edirik:
.
Sonra ,
.
Törəmə işarəsindən sabiti çıxararaq və mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq etməklə törəməni tapırıq:

.
Budur. Amma
.
O vaxtdan bəri
.
Sonra
.
Yəni düstur (1) aşağıdakılar üçün də etibarlıdır:
(1) .

Daha yüksək sifarişlərin törəmələri

İndi güc funksiyasının daha yüksək dərəcəli törəmələrini tapırıq
(3) .
Artıq birinci dərəcəli törəməni tapdıq:
.

Törəmə işarəsindən a sabitini çıxararaq, ikinci dərəcəli törəməni tapırıq:
.
Eynilə, üçüncü və dördüncü sıraların törəmələrini tapırıq:
;

.

Buradan aydın olur ki ixtiyari n-ci sıranın törəməsi aşağıdakı formaya malikdir:
.

qeyd et ki a olarsa natural ədəd , , onda n-ci törəmə sabitdir:
.
Sonra bütün sonrakı törəmələr sıfıra bərabərdir:
,
at.

Törəmə nümunələri

Misal

Funksiyanın törəməsini tapın:
.

Həll

Kökləri güclərə çevirək:
;
.
Sonra orijinal funksiya formanı alır:
.

Dərəcələrin törəmələrini tapırıq:
;
.
Sabitin törəməsi sıfırdır:
.

Bunun üzərinə ən sadə törəmələri təhlil etdik, həmçinin diferensiallaşdırma qaydaları və törəmələri tapmaq üçün bəzi üsullarla tanış olduq. Beləliklə, əgər siz funksiyaların törəmələri ilə çox yaxşı deyilsinizsə və ya bu məqalənin bəzi məqamları tam aydın deyilsə, əvvəlcə yuxarıdakı dərsi oxuyun. Zəhmət olmasa ciddi əhval-ruhiyyəyə kökləyin - material asan deyil, amma yenə də onu sadə və aydın şəkildə təqdim etməyə çalışacağam.

Təcrübədə törəmə ilə mürəkkəb funksiyaçox tez-tez qarşılaşmalısan, hətta deyərdim ki, demək olar ki, həmişə, törəmələri tapmaq üçün sizə tapşırıqlar verildikdə.

Mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün qaydada (№ 5) cədvələ baxırıq:

Biz başa düşürük. İlk öncə nota nəzər salaq. Burada iki funksiyamız var - və , və funksiya, obrazlı desək, funksiyada yuvalanıb. Bu cür funksiyaya (bir funksiya digərinin içində yerləşdikdə) mürəkkəb funksiya adlanır.

Funksiyanı çağıracağam xarici funksiya, və funksiyası – daxili (və ya yuvalanmış) funksiya.

! Bu təriflər nəzəri deyil və tapşırıqların yekun tərtibatında əks olunmamalıdır. Mən “xarici funksiya”, “daxili” funksiya kimi qeyri-rəsmi ifadələrdən yalnız sizin materialı başa düşməyinizi asanlaşdırmaq üçün istifadə edirəm.

Vəziyyəti aydınlaşdırmaq üçün düşünün:

Misal 1

Funksiyanın törəməsini tapın

Sinusun altında bizdə təkcə "x" hərfi deyil, bütün ifadə var, ona görə də dərhal cədvəldən törəməni tapmaq işləməyəcək. Onu da görürük ki, burada ilk dörd qaydanı tətbiq etmək mümkün deyil, görünür, fərq var, amma fakt budur ki, sinusunu “parçalamaq” mümkün deyil:

Bu misalda artıq intuitiv şəkildə mənim izahlarımdan aydın olur ki, funksiya mürəkkəb funksiyadır, çoxhədli isə daxili funksiya(yerləşdirmə) və - xarici funksiya.

İlk addım, mürəkkəb funksiyanın törəməsi tapılarkən yerinə yetirilməli olan to hansı funksiyanın daxili, hansının xarici olduğunu anlayın.

Nə vaxt sadə nümunələr polinomun sinusun altında yuvalandığı aydın görünür. Bəs aydın deyilsə? Hansı funksiyanın xarici, hansının daxili olduğunu dəqiq necə müəyyən etmək olar? Bunu etmək üçün zehni olaraq və ya qaralama üzərində həyata keçirilə bilən aşağıdakı texnikadan istifadə etməyi təklif edirəm.

Təsəvvür edək ki, ifadənin dəyərini kalkulyatorla hesablamalıyıq (bir əvəzinə istənilən rəqəm ola bilər).

Əvvəlcə nəyi hesablayırıq? Hər şeydən əvvəl aşağıdakı hərəkəti yerinə yetirməli olacaqsınız: , beləliklə, polinom daxili funksiya olacaq:

İkincisi tapmaq lazımdır, buna görə də sinus xarici funksiya olacaq:

Bizdən sonra ANLAYIN daxili və xarici funksiyalarla, mürəkkəb funksiyaların fərqləndirmə qaydasını tətbiq etməyin vaxtı gəldi .

Qərar verməyə başlayırıq. Dərsdən Törəməni necə tapmaq olar? hər hansı bir törəmənin həllinin dizaynının həmişə belə başladığını xatırlayırıq - ifadəni mötərizələrə daxil edirik və yuxarı sağda bir vuruş qoyuruq:

Əvvəlcə törəməni tapın xarici funksiya(sinus), elementar funksiyaların törəmələri cədvəlinə baxın və qeyd edin ki . Bütün cədvəl düsturları hətta "x" mürəkkəb ifadə ilə əvəz edilsə belə tətbiq olunur, V bu məsələ:

Qeyd edək ki, daxili funksiya dəyişməyib, toxunmuruq.

Bax, bu, tamamilə aydındır

Düsturun tətbiqinin nəticəsi təmiz belə görünür:

Sabit amil adətən ifadənin əvvəlində yerləşdirilir:

Hər hansı bir anlaşılmazlıq olarsa, qərarı kağıza yazın və izahatları yenidən oxuyun.

Misal 2

Funksiyanın törəməsini tapın

Misal 3

Funksiyanın törəməsini tapın

Həmişə olduğu kimi yazırıq:

Xarici funksiyanın harada olduğunu və daxili funksiyanın harada olduğunu anlayırıq. Bunun üçün biz (zehni və ya qaralama üzərində) üçün ifadənin dəyərini hesablamağa çalışırıq. Əvvəlcə nə etmək lazımdır? Hər şeydən əvvəl, bazanın nəyə bərabər olduğunu hesablamalısınız:, yəni polinom daxili funksiyadır:

Və yalnız bundan sonra eksponentasiya həyata keçirilir, buna görə də güc funksiyası xarici funksiyadır:

Formula görə , əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini, bu halda dərəcəsini tapmaq lazımdır. Cədvəldə istədiyiniz düsturu axtarırıq:. Bir daha təkrar edirik: istənilən cədvəl formul təkcə “x” üçün deyil, həm də mürəkkəb ifadə üçün etibarlıdır. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasının tətbiqinin nəticəsi sonrakı:

Bir daha vurğulayıram ki, xarici funksiyanın törəməsini götürəndə daxili funksiya dəyişmir:

İndi daxili funksiyanın çox sadə törəməsini tapmaq və nəticəni bir az "daraqlamaq" qalır:

Misal 4

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu bir nümunədir müstəqil qərar(cavab dərsin sonunda verilir).

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi haqqında anlayışı möhkəmləndirmək üçün şərhsiz bir nümunə verəcəyəm, onu özünüz anlamağa çalışın, səbəb, xarici və daxili funksiya haradadır, niyə vəzifələr bu şəkildə həll olunur?

Misal 5

a) Funksiyanın törəməsini tapın

b) funksiyanın törəməsini tapın

Misal 6

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada bir kök var və kökü fərqləndirmək üçün onu dərəcə kimi göstərmək lazımdır. Beləliklə, diferensiallaşma üçün əvvəlcə funksiyanı düzgün formaya gətiririk:

Funksiyanı təhlil edərək belə nəticəyə gəlirik ki, üç həddin cəmi daxili funksiya, eksponentasiya isə xarici funksiyadır. Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik :

Dərəcə yenidən radikal (kök) kimi təmsil olunur və daxili funksiyanın törəməsi üçün cəmini fərqləndirmək üçün sadə bir qayda tətbiq edirik:

Hazır. Siz həmçinin ifadəni mötərizədə ortaq məxrəcə gətirə və hər şeyi bir kəsr kimi yaza bilərsiniz. Bu, əlbəttə ki, gözəldir, lakin çətin uzun törəmələr əldə edildikdə, bunu etməmək daha yaxşıdır (çaşmaq, lazımsız səhv etmək asandır və müəllimin yoxlaması əlverişsiz olacaq).

Misal 7

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Maraqlıdır ki, bəzən mürəkkəb funksiyanı diferensiasiya etmək qaydası əvəzinə, bölməni fərqləndirmək qaydasından istifadə etmək olar. , lakin belə bir həll qeyri-adi bir pozğunluq kimi görünəcək. Budur tipik bir nümunə:

Misal 8

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada əmsalın diferensiallaşdırılması qaydasından istifadə edə bilərsiniz , lakin törəməni mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırma qaydası ilə tapmaq daha sərfəlidir:

Funksiyanı diferensiasiya üçün hazırlayırıq - törəmənin mənfi işarəsini çıxarırıq və kosinusu paylayıcıya qaldırırıq:

Kosinus daxili funksiyadır, eksponentasiya xarici funksiyadır.
Qaydamızdan istifadə edək :

Daxili funksiyanın törəməsini tapırıq, kosinusu geri qaytarırıq:

Hazır. Baxılan nümunədə işarələrdə çaşqınlıq yaratmamaq vacibdir. Yeri gəlmişkən, bunu qayda ilə həll etməyə çalışın , cavablar uyğun olmalıdır.

Misal 9

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

İndiyə qədər kompleks funksiyada yalnız bir yuva qurduğumuz halları nəzərdən keçirdik. Praktik tapşırıqlarda siz tez-tez törəmələrə rast gələ bilərsiniz, burada yuva quran kuklalar kimi, biri digərinin içərisində, 3 və ya hətta 4-5 funksiya eyni anda yerləşmişdir.

Misal 10

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu funksiyanın əlavələrini başa düşürük. Eksperimental dəyərdən istifadə edərək ifadəni qiymətləndirməyə çalışırıq. Bir kalkulyatora necə güvənə bilərik?

Əvvəlcə tapmaq lazımdır, yəni arcsine ən dərin yuvadır:

Bu birlik qövsünün kvadratı alınmalıdır:

Və nəhayət, yeddini gücə qaldırırıq:

Yəni, bu nümunədə üç fərqli funksiya və iki yuva var, ən daxili funksiya arksinus, ən xarici funksiya isə eksponensial funksiyadır.

Qərar verməyə başlayırıq

Qaydaya görə əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini götürməlisiniz. Törəmələr cədvəlinə baxırıq və törəməni tapırıq eksponensial funksiya: Yeganə fərq ondadır ki, "x" əvəzinə biz bu düsturun etibarlılığını inkar etməyən mürəkkəb ifadəmiz var. Deməli, mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasının tətbiqinin nəticəsi növbəti.

Törəmə tapmaq əməliyyatına diferensiasiya deyilir.

Ən sadə (və çox sadə olmayan) funksiyalar üçün törəmələrin tapılması məsələlərinin həlli nəticəsində, törəməni artımın arqumentin artımına nisbətinin həddi kimi təyin etməklə, törəmələr cədvəli meydana çıxdı və tam olaraq. müəyyən qaydalar fərqləndirmə. Törəmələrin tapılması sahəsində ilk iş görənlər İsaak Nyuton (1643-1727) və Qotfrid Vilhelm Leybniz (1646-1716) olmuşdur.

Ona görə də bizim dövrümüzdə hər hansı funksiyanın törəməsini tapmaq üçün funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin yuxarıda qeyd olunan həddini hesablamaq lazım deyil, sadəcə cədvəldən istifadə etmək kifayətdir. törəmələrin və diferensiasiya qaydaları. Törəmə tapmaq üçün aşağıdakı alqoritm uyğundur.

Törəmə tapmaq üçün, vuruş işarəsi altında bir ifadə lazımdır sadə funksiyaları parçalayın və hansı hərəkətləri müəyyənləşdirin (məhsul, cəmi, əmsal) bu funksiyalar əlaqəlidir. Bundan əlavə, elementar funksiyaların törəmələrini törəmələr cədvəlində, hasil, cəmi və hissənin törəmələri üçün düsturları isə diferensiallaşdırma qaydalarında tapırıq. Törəmələr cədvəli və fərqləndirmə qaydaları ilk iki nümunədən sonra verilmişdir.

Misal 1 Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Diferensiasiya qaydalarından məlum olur ki, funksiyaların cəminin törəməsi funksiyaların törəmələrinin cəmidir, yəni.

Törəmələr cədvəlindən məlum olur ki, "X"-in törəməsi birə bərabərdir, sinusun törəməsi isə kosinusdur. Bu dəyərləri törəmələrin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan törəməni tapırıq:

Misal 2 Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Sabit əmsalı olan ikinci həddi törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar ki, cəminin törəməsi kimi fərqləndirin:

Bir şeyin haradan gəldiyi ilə bağlı hələ də suallar varsa, onlar, bir qayda olaraq, törəmələr cədvəlini və ən sadə fərqləndirmə qaydalarını oxuduqdan sonra aydın olur. Biz indi onların yanına gedirik.

Sadə funksiyaların törəmələri cədvəli

1. Sabitin (ədədin) törəməsi. Funksiya ifadəsində olan istənilən ədəd (1, 2, 5, 200...). Həmişə sıfır. Bunu xatırlamaq çox vacibdir, çünki çox vaxt tələb olunur
2. Müstəqil dəyişənin törəməsi. Çox vaxt "x". Həmişə birə bərabərdir. Bunu xatırlamaq da vacibdir
3. Dərəcənin törəməsi. Problemləri həll edərkən, kvadrat olmayan kökləri gücə çevirmək lazımdır.
4. Dəyişənin -1 dərəcəsinə görə törəməsi
5. Kvadrat kökün törəməsi
6. Sinus törəməsi
7. Kosinus törəməsi
8. Tangens törəməsi
9. Kotangensin törəməsi
10. Arksinusun törəməsi
11. Qövs kosinusunun törəməsi
12. Qövs tangensinin törəməsi
13. Tərs tangensin törəməsi
14. Natural loqarifmin törəməsi
15. Loqarifmik funksiyanın törəməsi
16. Göstəricinin törəməsi
17. Eksponensial funksiyanın törəməsi

Fərqləndirmə qaydaları

1. Cəmin və ya fərqin törəməsi
2. Məhsulun törəməsi
2a. Sabit əmsala vurulan ifadənin törəməsi
3. Bölmənin törəməsi
4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Qayda 1funksiyaları varsa

bir nöqtədə diferensiallaşır, sonra eyni nöqtədə funksiyalar

və

olanlar. funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.

Nəticə. Əgər iki diferensiallanan funksiya sabit ilə fərqlənirsə, onların törəmələri belədir, yəni.

Qayda 2funksiyaları varsa

müəyyən nöqtədə diferensiallana bilirlər, onda onların hasilləri də eyni nöqtədə diferensiallaşır

və

olanlar. iki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin hasilinin və digərinin törəməsinin cəminə bərabərdir.

Nəticə 1. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar:

Nəticə 2. Bir neçə diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi amillərin hər birinin və bütün digərlərinin törəməsinin hasillərinin cəminə bərabərdir.

Məsələn, üç çarpan üçün:

Qayda 3funksiyaları varsa

müəyyən nöqtədə fərqlənə bilər Və , onda bu nöqtədə onların nisbəti də diferensiallaşır.u/v , və

olanlar. iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi, payı məxrəcin hasilləri ilə payın törəməsi və payın və məxrəcin törəməsi arasındakı fərq olan kəsrə bərabərdir, məxrəc isə əvvəlki payın kvadratıdır. .

Başqa səhifələrdə hara baxmaq olar

Həqiqi məsələlərdə hasilin törəməsini və əmsalını taparkən həmişə birdən bir neçə diferensiasiya qaydasını tətbiq etmək lazımdır, ona görə də məqalədə bu törəmələrə dair daha çox nümunə var."Məhsulun törəməsi və əmsal".

Şərh. Sabiti (yəni rəqəmi) cəmdəki terminlə sabit faktor kimi qarışdırmamalısınız! Müddətdə onun törəməsi sıfıra bərabərdir, sabit əmsalda isə törəmələrin işarəsindən çıxarılır. Bu tipik səhv, baş verən ilkin mərhələ törəmələri öyrənir, lakin onlar bir-iki komponentli bir neçə nümunəni həll etdikcə orta tələbə artıq bu səhvi etmir.

Bir məhsulu və ya bir hissəni fərqləndirərkən, bir termininiz varsa u"v, hansında u- bir ədəd, məsələn, 2 və ya 5, yəni sabit, onda bu ədədin törəməsi sıfıra bərabər olacaq və buna görə də bütün müddət sıfıra bərabər olacaq (belə bir hal 10-cu misalda təhlil edilir) .

Digər ümumi səhv mürəkkəb funksiyanın törəməsinin sadə funksiyanın törəməsi kimi mexaniki həllidir. Buna görə də mürəkkəb funksiyanın törəməsi ayrıca məqaləyə həsr olunub. Ancaq əvvəlcə sadə funksiyaların törəmələrini tapmağı öyrənəcəyik.

Yolda, ifadələrin çevrilməsi olmadan edə bilməzsiniz. Bunu etmək üçün, yeni pəncərə təlimatlarında açmaq lazım ola bilər Gücləri və kökləri olan hərəkətlər Və Kəsrlərlə hərəkətlər .

Gücləri və kökləri olan törəmələrin həlli yollarını axtarırsınızsa, yəni funksiya nə zaman görünür , sonra dərsi izləyin " Kəsrlərin həcmi və kökləri cəminin törəməsi".

kimi bir vəzifəniz varsa , onda siz "Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri" dərsindəsiniz.

Addım-addım nümunələr - törəməni necə tapmaq olar

Misal 3 Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Funksiya ifadəsinin hissələrini müəyyənləşdiririk: bütün ifadə məhsulu təmsil edir, onun amilləri isə cəmidir, ikincisində isə şərtlərdən biri sabit amil ehtiva edir. Məhsulun fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik: iki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin hasilinin və digərinin törəməsinin cəminə bərabərdir:

Sonra cəminin diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik: funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir. Bizim vəziyyətimizdə hər bir cəmdə mənfi işarəsi olan ikinci müddət. Hər bir cəmdə həm törəməsi birə bərabər olan müstəqil dəyişən, həm də törəməsi sıfıra bərabər olan sabit (ədəd) görürük. Beləliklə, "x" birinə, mənfi 5 isə sıfıra çevrilir. İkinci ifadədə "x" 2-yə vurulur, ona görə də ikisini "x"-in törəməsi ilə eyni vahidə vururuq. Törəmələrin aşağıdakı dəyərlərini alırıq:

Tapılmış törəmələri hasillərin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan bütün funksiyanın törəməsini alırıq:

Misal 4 Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bizdən hissənin törəməsini tapmaq tələb olunur. Hissənin diferensiallaşdırılması düsturunu tətbiq edirik: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi, payı məxrəcin hasilləri ilə payın və payın törəməsi və məxrəcin törəməsi arasındakı fərq olan kəsrə bərabərdir və məxrəc əvvəlki payın kvadratıdır. Biz əldə edirik:

Artıq 2-ci misalda payda olan amillərin törəməsini tapmışıq.Onu da unutmayaq ki, indiki misaldakı payda ikinci amil olan hasil mənfi işarə ilə alınır:

Əgər siz köklərin və dərəcələrin davamlı yığınının olduğu funksiyanın törəməsini tapmaq lazım olan problemlərin həlli yollarını axtarırsınızsa, məsələn, sonra sinifə xoş gəldiniz "Kəsrlərin gücü və kökləri cəminin törəməsi" .

Əgər sinusların, kosinusların, tangenslərin və digər triqonometrik funksiyaların törəmələri haqqında daha çox öyrənmək lazımdırsa, yəni funksiya nə zaman görünür , onda dərsiniz var "Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri" .

Misal 5 Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada faktorlarından biri müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan hasil görürük ki, törəməsi ilə törəmələr cədvəlində tanış olduq. Məhsulun fərqləndirmə qaydasına və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərinə görə alırıq:

Misal 6 Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada dividend müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan hissəni görürük. 4-cü misalda təkrar etdiyimiz və tətbiq etdiyimiz hissənin diferensiallaşdırılması qaydasına və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərinə görə alırıq:

Hissədə kəsrdən xilas olmaq üçün payı və məxrəci ilə vurun.

Oxşar məqalələr