İlk diqqətəlayiq hədd aşağıdakı bərabərlik adlanır:

\begin(tənlik)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(tənlik)

$\alpha\to(0)$ üçün bizdə $\sin\alpha\to(0)$ olduğuna görə deyirik ki, ilk diqqətəlayiq hədd $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyini ortaya qoyur. Ümumiyyətlə, (1) düsturunda $\alpha$ dəyişəninin əvəzinə sinus işarəsi altında və məxrəcdə iki şərt yerinə yetirildiyi təqdirdə istənilən ifadə yerləşdirilə bilər:

Sinus işarəsi altında və məxrəcdəki ifadələr eyni vaxtda sıfıra meyllidir, yəni. $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi var.
Sinus işarəsinin altındakı və məxrəcdəki ifadələr eynidir.

İlk əlamətdar həddən gələn nəticələr də tez-tez istifadə olunur:

\begin(tənlik) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(tənlik) \begin(tənlik) \lim_(\alpha\to(0)) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(tənlik) \begin(tənlik) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(tənlik)

On bir nümunə bu səhifədə həll olunur. 1 nömrəli misal (2)-(4) düsturlarının isbatına həsr edilmişdir. Nümunələr #2, #3, #4 və #5 ətraflı şərhləri olan həlləri ehtiva edir. 6-10-cu misallarda təfərrüatlı izahatlar əvvəlki nümunələrdə verildiyi üçün az və ya heç bir şərh verilməyən həllər var. Həll edərkən tapıla bilən bəzi triqonometrik düsturlardan istifadə olunur.

Qeyd edim ki, triqonometrik funksiyaların mövcudluğu $\frac (0) (0)$ qeyri-müəyyənliyi ilə birləşərək, ilk diqqətəlayiq həddi tətbiq etmək lazım olduğunu bildirmir. Bəzən sadə triqonometrik çevrilmələr kifayətdir - məsələn, bax.

Nümunə №1

Sübut edin ki, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ olduğundan, onda:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ və $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ olduğundan, Bu:

$$ \lim_(\alfa\to(0))\frac(\sin(\alfa))(\alpha\cos(\alfa)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alfa\to(0)) \ frac (\ sin (\ alfa)) (\ alfa)) (\ displaystyle \ lim_ (\ alfa \ to (0)) \ cos (\ alfa)) =\ frac (1) (1) =1. $$

b) $\alpha=\sin(y)$ əvəzini edək. $\sin(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ şərtindən bizdə $y\to(0)$ olur. Bundan əlavə, $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ olduğu sıfırın qonşuluğu var, belə ki:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ bərabərliyi sübut edilmişdir.

c) $\alpha=\tg(y)$ əvəzini edək. $\tg(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ və $y\to(0)$ şərtləri ekvivalentdir. Bundan əlavə, $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ olduğu sıfır məhəlləsi var, buna görə də a) nöqtəsinin nəticələrinə əsaslanaraq, əldə edəcəyik:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ bərabərliyi sübut edilmişdir.

a), b), c) bərabərlikləri tez-tez ilk əlamətdar həddi ilə birlikdə istifadə olunur.

Nümunə №2

Hesablama limiti $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Çünki $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ və $\lim_( x) \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, yəni. və kəsrin payı və məxrəci eyni vaxtda sıfıra meyllidir, onda burada biz $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq, yəni. edildi. Bundan əlavə, sinus işarəsinin altındakı və məxrəcdəki ifadələrin eyni olduğunu görmək olar (yəni, təmin olunur):

Beləliklə, səhifənin əvvəlində qeyd olunan hər iki şərt yerinə yetirilir. Buradan belə çıxır ki, formula tətbiq olunur, yəni. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\sağ))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Cavab verin: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\sağ))(\frac(x^2-4)(x) +7))=1$.

Nümunə №3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ tapın.

$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ və $\lim_(x\to(0))x=0$ olduğundan, biz $\frac( formasının qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. 0 )(0)$, yəni, edildi. Lakin sinus işarəsinin altındakı və məxrəcdəki ifadələr uyğun gəlmir. Burada məxrəcdəki ifadəni uyğunlaşdırmaq tələb olunur istədiyiniz forma. Məxrəcdə olmaq üçün bizə $9x$ ifadəsi lazımdır - o zaman doğru olacaq. Əsasən, məxrəcdə $9$ faktorunu əldən vermişik, bunu daxil etmək o qədər də çətin deyil, məxrəcdəki ifadəni $9$-a vurmaq kifayətdir. Təbii ki, vurmanı $9$-a kompensasiya etmək üçün dərhal $9$-a bölməli və bölməli olacaqsınız:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\sağ| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin) (9x))(9x) $$

İndi məxrəcdəki və sinus işarəsinin altındakı ifadələr eynidir. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ limitinin hər iki şərti təmin edilir. Beləliklə, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Və bu o deməkdir ki:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Nümunə №4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ tapın.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ və $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ olduğundan, burada biz qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. $\frac(0)(0)$ forması. Ancaq ilk diqqətəlayiq hədd forması pozulur. Tərkibində $\sin(5x)$ olan pay məxrəcdə $5x$ tələb edir. Bu vəziyyətdə, ən asan yol, payı $5x$-a bölmək və dərhal $5x$-a vurmaqdır. Bundan əlavə, $\tg(8x)$-nı $8x$-a vurub bölmək üçün məxrəclə oxşar əməliyyat həyata keçirəcəyik:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\sağ| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ azaldıb $\frac(5)(8)$ sabitini limit işarəsindən çıxarsaq, əldə edirik:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Qeyd edək ki, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ birinci əlamətdar həddi tələblərə tam cavab verir. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ tapmaq üçün aşağıdakı düstur tətbiq olunur:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Nümunə №5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ tapın.

$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (xatırlayın ki, $\cos(0)=1$) və $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, onda biz $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. Bununla belə, ilk gözəl həddi tətbiq etmək üçün sinuslara (sonra düsturu tətbiq etmək üçün) və ya tangenslərə (sonra düsturu tətbiq etmək üçün) keçərək, saydakı kosinusdan xilas olmalısınız. Bunu aşağıdakı transformasiya ilə edə bilərsiniz:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\sol(1-\cos^2(5x)\sağ)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Gəlin limitə qayıdaq:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\sol(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\sağ) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kəsir artıq ilk əlamətdar hədd üçün tələb olunan formaya yaxındır. Gəlin $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kəsri ilə bir az işləyək, onu ilk gözəl həddə uyğunlaşdıraq (qeyd edək ki, saydakı və sinusun altındakı ifadələr uyğun olmalıdır):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\sol(\frac(\sin(5x))(5x)\sağ)^2$$

Nəzərə alınan limitə qayıdaq:

$$ \lim_(x\to(0))\sol(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\sağ) =\lim_(x\to(0) ))\sol(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\sağ)^2\sağ)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\sağ)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Nümunə №6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ limitini tapın.

$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ və $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ olduğundan, onda biz $\frac(0)(0)$ qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. İlk diqqətəlayiq limitin köməyi ilə açaq. Bunun üçün kosinuslardan sinuslara keçək. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ olduğundan, onda:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Verilmiş həddi sinuslara keçsək, əldə edəcəyik:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sol(\) frac(\sin(3x))(3x)\sağ)^2\cdot(9x^2))(\sol(\frac(\sin(x))(x)\sağ)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\sol(\frac(\sin(3x))(3x)\sağ)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Nümunə №7

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ limitini hesablayın $\alpha\neq\ beta $.

Ətraflı izahatlar əvvəllər verilmişdi, lakin burada sadəcə qeyd edirik ki, yenə $\frac(0)(0)$ qeyri-müəyyənliyi var. Düsturdan istifadə edərək kosinuslardan sinuslara keçək

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\sağ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\sağ)\cdot\sin\sol(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\sağ))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\sağ))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alfa-\beta)(2)\sağ))(x)\sağ)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\sağ))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\sol(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\sağ))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\sağ)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\sağ))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\sağ))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alfa^2)(2). $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Nümunə №8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ limitini tapın.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (xatırlayın ki, $\sin(0)=\tg(0)=0$) və $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, onda biz burada $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. Gəlin bunu belə bölək:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\sağ))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\sağ))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\sağ)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\sağ) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Nümunə №9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ limitini tapın.

$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ və $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, onda $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi var. Onun genişləndirilməsinə keçməzdən əvvəl dəyişəni elə dəyişdirmək rahatdır ki, yeni dəyişən sıfıra meyl etsin (düsturlarda $\alpha \dan 0$ dəyişəninə diqqət yetirin). Ən asan yol $t=x-3$ dəyişənini təqdim etməkdir. Bununla belə, sonrakı çevrilmələrin rahatlığı üçün (bu faydanı aşağıdakı həll prosesində görmək olar) aşağıdakı əvəzetməni etməyə dəyər: $t=\frac(x-3)(2)$. Qeyd edək ki, hər iki əvəzetmə tətbiq olunur bu məsələ, sadəcə ikinci əvəzləmə fraksiyalarla daha az işləməyə imkan verəcək. $x\to(3)$ olduğundan, sonra $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\sağ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin) (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\sol(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\sağ) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Nümunə №10

Limiti tapın $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Yenə biz $\frac(0)(0)$ qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. Onun genişlənməsinə keçməzdən əvvəl dəyişən dəyişikliyini elə etmək rahatdır ki, yeni dəyişən sıfıra meyl etsin (qeyd edək ki, düsturlarda dəyişən $\alpha\to(0)$-dır). Ən asan yol $t=\frac(\pi)(2)-x$ dəyişənini təqdim etməkdir. $x\to\frac(\pi)(2)$ olduğundan, sonra $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\sol(\frac(\pi)(2)-x\sağ)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\sağ))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\sağ)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Cavab verin: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\sağ)^2) =\frac(1)(2)$.

Nümunə №11

Limitləri tapın $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Bu vəziyyətdə, ilk gözəl limitdən istifadə etmək məcburiyyətində deyilik. Diqqət edin: həm birinci, həm də ikinci həddə yalnız triqonometrik funksiyalar və rəqəmlər var. Çox vaxt bu cür nümunələrdə limit işarəsi altında yerləşən ifadəni sadələşdirmək mümkündür. Bu zaman qeyd olunan sadələşdirmə və bəzi amillərin azaldılmasından sonra qeyri-müəyyənlik aradan qalxır. Mən bu nümunəni yalnız bir məqsədlə verdim: triqonometrik funksiyaların limit işarəsi altında olmasının mütləq birinci əlamətdar həddin tətbiqi demək olmadığını göstərmək.

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ olduğundan (xatırlayın ki, $\sin\frac(\pi)(2)=1$) və $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (xatırlayın ki, $\cos\frac(\pi)(2)=0$), onda qeyri-müəyyənliklə məşğul oluruq $\frac(0)(0)$ şəklində. Ancaq bu, heç də o demək deyil ki, ilk diqqətəlayiq həddi istifadə etməliyik. Qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək üçün onu nəzərə almaq kifayətdir ki, $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Demidoviçin həll kitabında (No 475) oxşar həll var. İkinci limitə gəlincə, bu bölmənin əvvəlki nümunələrində olduğu kimi, bizdə $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi var. Niyə yaranır? $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ və $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ olduğuna görə yaranır. Bu dəyərləri say və məxrəcdəki ifadələri çevirmək üçün istifadə edirik. Hərəkətlərimizin məqsədi: ədədi və məxrəcdəki cəmini hasil olaraq yazın. Yeri gəlmişkən, yeni dəyişənin sıfıra meyl etməsi üçün oxşar forma daxilində dəyişəni dəyişdirmək çox vaxt rahatdır (məsələn, bu səhifədə 9 və ya 10 nömrəli nümunələrə baxın). Bununla belə, bu misalda dəyişəni əvəz etməyin mənası yoxdur, baxmayaraq ki, istəsəniz $t=x-\frac(2\pi)(3)$ dəyişəninin dəyişdirilməsini həyata keçirmək asandır.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\sol(\cos(x)+\frac(1)(2)\sağ )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\sol(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\sağ))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \sol(x-\frac(2\pi)(3)\sağ))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\sağ))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\sağ)\cdot\left( -\frac(1)(2)\sağ)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Gördüyünüz kimi, ilk gözəl limiti tətbiq etməli deyildik. Əlbəttə ki, istəsəniz bu edilə bilər (aşağıdakı qeydə baxın), lakin bu lazım deyil.

İlk əlamətdar limitdən istifadə edərək həll yolu nə olardı? göstərmək/gizlətmək

İlk əlamətdar həddi istifadə edərək, əldə edirik:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\sol(x-\frac(2\pi)(3)\sağ))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ sağda))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\sağ) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\sağ)\cdot\left(-\frac(1)(2)\sağ)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Cavab verin: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Bu onlayn riyaziyyat kalkulyatoru sizə lazım olsa kömək edəcək funksiya limitini hesablayın. Proqram həlləri məhdudlaşdırır nəinki problemin cavabını verir, həm də yol göstərir izahatlarla ətraflı həll, yəni. limit hesablanmasının gedişatını göstərir.

Bu proqram orta məktəb tələbələri üçün faydalı ola bilər ümumtəhsil məktəbləriüçün hazırlanır nəzarət işi və imtahanlar, imtahandan əvvəl bilikləri yoxlayarkən, valideynlər riyaziyyat və cəbrdən bir çox problemlərin həllinə nəzarət etsinlər. Yoxsa repetitor tutmaq və ya yeni dərsliklər almaq sizə çox baha başa gəlir? Yoxsa bunu mümkün qədər tez etmək istəyirsiniz? ev tapşırığı riyaziyyat yoxsa cəbr? Bu halda siz də ətraflı həlli ilə proqramlarımızdan istifadə edə bilərsiniz.

Bu yolla siz öz təliminizi və/və ya təliminizi keçirə bilərsiniz kiçik qardaşlar və ya bacılar, həll olunan vəzifələr sahəsində təhsil səviyyəsi yüksələrkən.

Funksiya ifadəsini daxil edin
Limiti hesablayın

Məlum olub ki, bu tapşırığı həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlər yüklənməyib və proqram işləməyə bilər.
Sizdə AdBlock aktiv ola bilər.
Bu halda onu söndürün və səhifəni yeniləyin.

Brauzerinizdə JavaScript deaktiv edilib.
Həllin görünməsi üçün JavaScript aktivləşdirilməlidir.
Brauzerinizdə JavaScript-i necə aktivləşdirmək barədə təlimatlar buradadır.

Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, müraciətiniz növbədədir.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Zəhmət olmasa, gözləyin san...

Əgər sən həllində səhv olduğunu gördü, sonra bu barədə Əlaqə Formunda yaza bilərsiniz.
Unutma hansı vəzifəni göstərin nə qərar verərsən sahələrə daxil olun.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulyatorlarımız:

Bir az nəzəriyyə.

X-> x 0-da funksiyanın limiti

Bəzi X çoxluğunda f(x) funksiyası müəyyən edilsin və $x_0 \in X $ və ya \(x_0 \X deyil) nöqtəsi olsun.

X-dən x 0-dan başqa nöqtələr ardıcıllığını götürün:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x*-a yaxınlaşır. Bu ardıcıllığın nöqtələrindəki funksiya dəyərləri də ədədi ardıcıllıq təşkil edir
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
və onun hüdudunun mövcudluğu məsələsi qoyula bilər.

Tərif. A sayı, x arqumentinin hər hansı bir ardıcıllığı (1) üçün x \u003d x 0 (və ya x -> x 0) nöqtəsində f (x) funksiyasının həddi adlanır. x 0-a yaxınlaşan, x 0-dan fərqli olaraq, dəyər funksiyasının müvafiq ardıcıllığı (2) A sayına yaxınlaşır.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

f(x) funksiyasının x 0 nöqtəsində yalnız bir limiti ola bilər. Bu, ardıcıllığın olmasından irəli gəlir
(f(x n)) yalnız bir limitə malikdir.

Funksiya limitinin başqa bir tərifi var.

Tərif Hər hansı $\varepsilon > 0 $ ədədi üçün $\delta > 0 $ ədəd varsa, x = x 0 nöqtəsində A rəqəmi f(x) funksiyasının həddi adlanır. (x \in X, \; x \neq x_0 \) bərabərsizliyini təmin edən $|x-x_0| Məntiqi simvollardan istifadə edərək, bu tərif belə yazıla bilər:
\((\forall \varepsilon > 0) (\mövcud \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Qeyd edək ki, bərabərsizliklər \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| Birinci tərif ədədi ardıcıllığın həddi anlayışına əsaslanır, ona görə də onu çox vaxt "ardıcıllıq dili" tərifi adlandırırlar. İkinci tərif "\(\varepsilon - \delta) adlanır. $" tərifi.
Funksiya limitinin bu iki tərifi ekvivalentdir və siz onlardan hər hansı birini, konkret məsələnin həlli üçün hansı daha əlverişlidirsə, istifadə edə bilərsiniz.

Qeyd edək ki, funksiyanın həddinin “ardıcıllıq dilində” təyini həm də Heineyə görə funksiyanın limitinin təyini, funksiyanın həddi isə “dilində $\varepsilon -) adlanır. \delta $" Koşiyə görə funksiyanın limitinin tərifi də adlanır.

Funksiya limiti x->x 0 - və x->x 0 +-da

Bundan sonra funksiyanın birtərəfli hədləri anlayışlarından istifadə edəcəyik ki, bunlar aşağıdakı kimi müəyyən edilir.

Tərif X 0-a yaxınlaşan, x n elementləri x 0-dan böyük (kiçik) olan hər hansı ardıcıllıq (1) üçün müvafiq ardıcıllıq varsa, A rəqəmi f (x) funksiyasının x 0 nöqtəsində sağ (sol) həddi adlanır. (2) A-a yaxınlaşır.

Simvolik olaraq belə yazılır:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \sağ) $$

"$\varepsilon - \delta $ dilində" funksiyanın birtərəfli hədlərinin ekvivalent tərifini vermək olar:

Tərif hər hansı bir $\varepsilon > 0 $ üçün $\delta > 0 $ varsa, x 0 nöqtəsində f(x) funksiyasının sağ (sol) həddi A sayı adlanır ki, bütün x üçün qaneedicidir. bərabərsizliklər \(x_0 Simvolik qeydlər:

\((\forall \varepsilon > 0) (\mövcud \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Bu yazıda məhdudiyyətləri necə tapacağını öyrənmək istəyənlər üçün bu barədə danışacağıq. Nəzəriyyəyə dərindən girməyəcəyik, adətən müəllimlər tərəfindən mühazirələrdə verilir. Beləliklə, "darıxdırıcı nəzəriyyə" dəftərlərinizdə təsvir edilməlidir. Yoxdursa, o zaman kitabxanadan götürülmüş dərslikləri oxuya bilərsiniz Təhsil müəssisəsi və ya digər onlayn resurslar.

Beləliklə, kursun öyrənilməsində limit anlayışı olduqca vacibdir ali riyaziyyat, xüsusilə inteqral hesabla rastlaşdığınız zaman və hədd və inteqral arasındakı əlaqəni başa düşdüyünüz zaman. Cari materialda nəzərə alınacaq sadə nümunələr, habelə onların həlli yolları.

Həll nümunələri

Misal 1
Hesablayın a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Həll
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Biz tez-tez bu limitləri həll etmək üçün kömək istəmək üçün bizə göndərilir. Onları ayrıca bir nümunə kimi vurğulamaq və izah etmək qərarına gəldik ki, bu məhdudiyyətlər, bir qayda olaraq, sadəcə xatırlanmalıdır. Probleminizi həll edə bilmirsinizsə, bizə göndərin. Biz ətraflı bir həll təqdim edəcəyik. Siz hesablamanın gedişatı ilə tanış ola və məlumat toplaya biləcəksiniz. Bu, müəllimdən vaxtında kredit almağa kömək edəcək!
Cavab verin
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Formanın qeyri-müəyyənliyi ilə nə etməli: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Misal 3
$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ həll edin
Həll
Həmişə olduğu kimi, biz $ x $ dəyərini limit işarəsi altındakı ifadəyə əvəz etməklə başlayırıq. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Sonra nə var? Nəticə nə olmalıdır? Bu qeyri-müəyyənlik olduğundan, bu hələ cavab deyil və hesablamağa davam edirik. Saylarda çoxhədli olduğumuz üçün onu tanış olan $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ düsturundan istifadə edərək amillərə parçalayırıq. Yadda? Əla! İndi davam edin və mahnı ilə tətbiq edin :) Alırıq ki, $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Yuxarıdakı çevrilməni nəzərə alaraq həll etməyə davam edirik: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Cavab verin
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Son iki misaldakı limiti sonsuzluğa götürək və qeyri-müəyyənliyi nəzərdən keçirək: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Misal 5
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ hesablayın
Həll
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Nə etməli? Necə olmaq? Panik etməyin, çünki qeyri-mümkün mümkündür. Həm saydakı, həm də X məxrəcindəki mötərizələri çıxarıb, sonra azaltmaq lazımdır. Bundan sonra limiti hesablamağa çalışın. Çalışılır... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Nümunə 2-dəki tərifdən istifadə edərək və sonsuzluğu x-i əvəz edərək, əldə edirik: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Cavab verin
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Limitlərin hesablanması alqoritmi

Beləliklə, təhlil edilən nümunələri qısaca ümumiləşdirək və limitlərin həlli üçün alqoritm yaradaq:

Limit işarəsindən sonrakı ifadədə x nöqtəsini əvəz edin. Müəyyən bir ədəd və ya sonsuzluq əldə edilirsə, o zaman hədd tamamilə həll olunur. Əks təqdirdə, qeyri-müəyyənliyimiz var: "sıfıra bölünən sıfır" və ya "sonsuzluğa bölünən sonsuzluq" və təlimatın növbəti bəndlərinə keçin.
"Sıfırı sıfıra bölmək" qeyri-müəyyənliyini aradan qaldırmaq üçün siz pay və məxrəci faktorlara ayırmalısınız. Oxşar azaldın. İfadədəki x nöqtəsini həddi işarənin altına qoyun.
Əgər qeyri-müəyyənlik “sonsuzluğa bölünən sonsuzluqdur”sa, onda biz həm sayda, həm də ən böyük dərəcədə x məxrəcində çıxarırıq. X-ləri qısaldırıq. Limitin altındakı x dəyərlərini qalan ifadəyə əvəz edirik.

Bu yazıda siz kursda tez-tez istifadə olunan limit həllinin əsasları ilə tanış oldunuz. Riyazi Analiz. Əlbəttə ki, bunlar imtahan verənlərin təklif etdiyi bütün növ problemlər deyil, yalnız ən sadə həddlərdir. Gələcək məqalələrdə digər növ tapşırıqlar haqqında danışacağıq, lakin davam etmək üçün əvvəlcə bu dərsi öyrənməlisiniz. Köklər, dərəcələr varsa nə edəcəyimizi müzakirə edəcəyik, sonsuz kiçik ekvivalent funksiyaları, gözəl hədləri, L'Hopital qaydasını öyrənəcəyik.

Məhdudiyyətləri özünüz müəyyənləşdirə bilmirsinizsə, panik etməyin. Biz həmişə kömək etməkdən məmnunuq!

Növ və forma qeyri-müəyyənliyi limitlərin həlli zamanı həll edilməli olan ən ümumi qeyri-müəyyənliklərdir.

Şagirdlərin qarşısına çıxan hədlər üzrə tapşırıqların əksəriyyəti sadəcə olaraq belə qeyri-müəyyənliklər daşıyır. Onları aşkara çıxarmaq, daha dəqiq desək, qeyri-müəyyənliklərdən qaçmaq üçün həddi işarə altında ifadə formasını dəyişdirmək üçün bir neçə süni üsul var. Bu üsullar aşağıdakılardır: payın və məxrəcin dəyişənin ən yüksək gücünə bölünməsi, qoşma ifadəsi ilə vurma və kvadrat tənliklərin həlli və qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edərək sonrakı azalma üçün faktorlara ayırma.

Növlərin qeyri-müəyyənliyi

Misal 1

n 2-ə bərabərdir. Buna görə də, pay və məxrəci hədlərə bölürük:

İfadənin sağ tərəfinə şərh yazın. Oxlar və rəqəmlər fraksiyaların əvəz edildikdən sonra nəyə meyl etdiyini göstərir n sonsuz dəyərlər. Burada, misal 2-də olduğu kimi, dərəcə n məxrəcdə saydan daha çox şey var, bunun nəticəsində bütün kəsr sonsuz kiçik qiymətə və ya "super kiçik ədədə" meyl edir.

Cavab alırıq: sonsuzluğa meylli dəyişənlə bu funksiyanın həddi .

Misal 2 .

Həll. Burada dəyişənin ən yüksək gücü x 1-ə bərabərdir. Buna görə də say və məxrəci hədlərə bölürük x:

Həll prosesinin şərhi. Numeratorda üçüncü dərəcənin kökünün altında "x" çəkirik və onun ilkin dərəcəsi (1) dəyişməz qalması üçün onu kök ilə eyni dərəcə təyin edirik, yəni 3. Oxlar və əlavələr yoxdur. bu girişdəki ədədləri zehni olaraq sınayın, lakin əvvəlki nümunə ilə bənzətmə edərək, "x" üçün sonsuzluğu əvəz etdikdən sonra pay və məxrəcdəki ifadələrin nəyə meyl etdiyini müəyyənləşdirin.

Cavab aldıq: sonsuzluğa meylli dəyişən ilə bu funksiyanın həddi sıfıra bərabərdir.

Növlərin qeyri-müəyyənliyi

Misal 3 Qeyri-müəyyənliyi üzə çıxarın və həddi tapın.

Həll. Numerator kubların fərqidir. Məktəb riyaziyyat kursundan qısaldılmış vurma düsturundan istifadə edərək onu faktorlara ayıraq:

Məxrəc kvadrat tənliyi həll etməklə (yenidən kvadrat tənliklərin həllinə istinad) faktorlara ayırdığımız kvadrat trinomdur.

Çevrilmələr nəticəsində alınan ifadəni yazaq və funksiyanın limitini tapaq:

Misal 4 Qeyri-müəyyənliyi üzə çıxarın və həddi tapın

Həll. Kəmiyyət həddi teoremi burada tətbiq edilmir, çünki

Buna görə də, biz kəsri eyni şəkildə çeviririk: say və məxrəci binom konjugatı ilə məxrəcə vuraraq və azaldırıq. x+1. Teorem 1-in nəticəsinə əsasən, həll edərək istədiyimiz həddi tapdığımız bir ifadə alırıq:

Misal 5 Qeyri-müəyyənliyi üzə çıxarın və həddi tapın

Həll. Birbaşa dəyərin dəyişdirilməsi x Verilmiş funksiyaya = 0 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Bunu aşkar etmək üçün eyni çevrilmələri həyata keçiririk və nəticədə istədiyimiz həddi əldə edirik:

Misal 6 Hesablayın

Həll: limit teoremlərindən istifadə edin

Cavab: 11

Misal 7 Hesablayın

Həll: bu misalda say və məxrəcin hədləri 0-dır:

; . Biz əldə etdik, buna görə də hissə həddi teoreminin tətbiqi mümkün deyil.

Kəsri sıfıra meylli ümumi əmsalla azaltmaq üçün payı və məxrəci faktorlara ayıraq və deməli, mümkün tətbiq teorem 3.

Nümeratorda kvadrat üçhəcmini düsturla genişləndiririk, burada x 1 və x 2 trinomialın kökləridir. Faktorinq və məxrəc, kəsri (x-2) azaldın, sonra 3-cü teoremi tətbiq edin.

Cavab:

Misal 8 Hesablayın

Həll:Üçün, pay və məxrəc sonsuzluğa meyllidir, ona görə də Teorem 3-ü birbaşa tətbiq edərkən qeyri-müəyyənliyi təmsil edən ifadəni alırıq. Bu cür qeyri-müəyyənlikdən xilas olmaq üçün pay və məxrəci arqumentin ən yüksək gücünə bölün. Bu nümunədə, bölmək lazımdır X:

Cavab:

Misal 9 Hesablayın

Həll: x 3:

Cavab: 2

Misal 10 Hesablayın

Həll: Say və məxrəc sonsuzluğa meyllidir. Numerator və məxrəci arqumentin ən yüksək gücünə bölürük, yəni. x 5:

Kəsirin payı 1-ə, məxrəci 0-a, buna görə də kəsr sonsuzluğa meyllidir.

Cavab:

Misal 11. Hesablayın

Həll: Say və məxrəc sonsuzluğa meyllidir. Numerator və məxrəci arqumentin ən yüksək gücünə bölürük, yəni. x 7:

Cavab: 0

törəmə.

y = f(x) funksiyasının x arqumentinə görə törəməsi onun y artımının x arqumentinin x artımına nisbətinin həddi arqumentin artımı sıfıra meyl etdikdə çağırılır: . Bu hədd sonludursa, o zaman funksiya y = f(x) x nöqtəsində diferensiallanan adlanır. Əgər bu hədd varsa, o zaman funksiya deyirik y = f(x) x-də sonsuz törəmə var.

Əsas elementar funksiyaların törəmələri:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

Fərqləndirmə qaydaları:

Misal 1 Funksiyanın törəməsini tapın

Həll:Əgər kəsrin diferensiasiyası qaydası ilə ikinci həddin törəməsini tapsaq, onda birinci hədd mürəkkəb funksiyadır, törəməsi düsturla tapılır:

Harada , Sonra

Həll edərkən aşağıdakı düsturlardan istifadə edilmişdir: 1,2,10, a, c, d.

Cavab:

Misal 21. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll: hər iki termin - mürəkkəb funksiyalar, burada birinci üçün , , ikincisi üçün , , onda

Cavab:

Törəmə tətbiqləri.

1. Sürət və sürətlənmə

s(t) funksiyası təsvir olunsun mövqe t zamanında bəzi koordinat sistemindəki obyekt. Onda s(t) funksiyasının birinci törəməsi ani olur sürət obyekt:
v=s′=f′(t)
s(t) funksiyasının ikinci törəməsi anidir sürətlənmə obyekt:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Tangens tənliyi
y−y0=f′(x0)(x−x0),
burada (x0,y0) toxunma nöqtəsinin koordinatları, f′(x0) təmas nöqtəsində f(x) funksiyasının törəməsinin qiymətidir.

3. Normal tənlik
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

burada (x0,y0) normalın çəkildiyi nöqtənin koordinatları, f′(x0) f(x) funksiyasının verilmiş nöqtədəki törəməsinin qiymətidir.

4. Artan və azalan funksiya
Əgər f′(x0)>0 olarsa, funksiya x0 nöqtəsində artır. Aşağıdakı şəkildə funksiya x-də artır x2.
Əgər f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Əgər f′(x0)=0 və ya törəmə mövcud deyilsə, bu xüsusiyyət funksiyanın x0 nöqtəsində monotonluğunun xarakterini müəyyən etməyə imkan vermir.

5. Funksiyanın yerli ekstremumları
f(x) funksiyası var yerli maksimum x1 nöqtəsində x1 nöqtəsinin elə bir qonşuluğu varsa, bu qonşuluqdakı bütün x üçün f(x1)≥f(x) bərabərsizliyi yerinə yetirilsin.
Eynilə, f(x) funksiyası var yerli minimum x2 nöqtəsində, əgər x2 nöqtəsinin elə qonşuluğu varsa, bu qonşuluqdakı bütün x üçün f(x2)≤f(x) bərabərsizliyi yerinə yetirilsin.

6. Kritik nöqtələr
x0 nöqtəsidir kritik nöqtə f(x) funksiyası onda olan f′(x0) törəməsi sıfıra bərabərdirsə və ya mövcud deyilsə.

7. Ekstremumun mövcudluğunun ilk kifayət qədər əlaməti
Əgər f(x) funksiyası müəyyən intervalda (a,x1] bütün x üçün artır (f′(x)>0) və azalırsa (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) intervaldan bütün x üçün)