Bu yazıda məhdudiyyətləri necə tapacağını öyrənmək istəyənlər üçün bu barədə danışacağıq. Nəzəriyyəyə dərindən girməyəcəyik, adətən müəllimlər tərəfindən mühazirələrdə verilir. Beləliklə, "darıxdırıcı nəzəriyyə" dəftərlərinizdə təsvir edilməlidir. Yoxdursa, o zaman kitabxanadan götürülmüş dərslikləri oxuya bilərsiniz Təhsil müəssisəsi və ya digər onlayn resurslar.

Beləliklə, kursun öyrənilməsində limit anlayışı olduqca vacibdir ali riyaziyyat, xüsusilə inteqral hesabla rastlaşdığınız zaman və hədd və inteqral arasındakı əlaqəni başa düşdüyünüz zaman. Cari materialda nəzərə alınacaq sadə nümunələr, habelə onların həlli yolları.

Həll nümunələri

Misal 1
Hesablayın a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Həll
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Biz tez-tez bu limitləri həll etmək üçün kömək istəmək üçün bizə göndərilir. Onları ayrıca bir nümunə kimi vurğulamaq və izah etmək qərarına gəldik ki, bu məhdudiyyətlər, bir qayda olaraq, sadəcə xatırlanmalıdır. Probleminizi həll edə bilmirsinizsə, bizə göndərin. Biz ətraflı bir həll təqdim edəcəyik. Siz hesablamanın gedişatı ilə tanış ola və məlumat toplaya biləcəksiniz. Bu, müəllimdən vaxtında kredit almağa kömək edəcək!
Cavab verin
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Formanın qeyri-müəyyənliyi ilə nə etməli: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Misal 3
$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ həll edin
Həll
Həmişə olduğu kimi, biz $ x $ dəyərini limit işarəsi altındakı ifadəyə əvəz etməklə başlayırıq. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Sonra nə var? Nəticə nə olmalıdır? Bu qeyri-müəyyənlik olduğundan, bu hələ cavab deyil və hesablamağa davam edirik. Saylarda çoxhədli olduğumuz üçün onu tanış olan $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ düsturundan istifadə edərək amillərə parçalayırıq. Yadda? Əla! İndi davam edin və mahnı ilə tətbiq edin :) Alırıq ki, $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Yuxarıdakı çevrilməni nəzərə alaraq həll etməyə davam edirik: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Cavab verin
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Son iki misaldakı limiti sonsuzluğa götürək və qeyri-müəyyənliyi nəzərdən keçirək: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Misal 5
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ hesablayın
Həll
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Nə etməli? Necə olmaq? Panik etməyin, çünki qeyri-mümkün mümkündür. Həm saydakı, həm də X məxrəcindəki mötərizələri çıxarıb, sonra azaltmaq lazımdır. Bundan sonra limiti hesablamağa çalışın. Çalışılır... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Nümunə 2-dəki tərifdən istifadə edərək və sonsuzluğu x-i əvəz edərək, əldə edirik: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Cavab verin
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Limitlərin hesablanması alqoritmi

Beləliklə, təhlil edilən nümunələri qısaca ümumiləşdirək və limitlərin həlli üçün alqoritm yaradaq:

Limit işarəsindən sonrakı ifadədə x nöqtəsini əvəz edin. Müəyyən bir ədəd və ya sonsuzluq əldə edilirsə, o zaman hədd tamamilə həll olunur. Əks təqdirdə, qeyri-müəyyənliyimiz var: "sıfıra bölünən sıfır" və ya "sonsuzluğa bölünən sonsuzluq" və təlimatın növbəti bəndlərinə keçin.
"Sıfırı sıfıra bölmək" qeyri-müəyyənliyini aradan qaldırmaq üçün siz pay və məxrəci faktorlara ayırmalısınız. Oxşar azaldın. İfadədəki x nöqtəsini həddi işarənin altına qoyun.
Əgər qeyri-müəyyənlik “sonsuzluğa bölünən sonsuzluqdur”sa, onda biz həm sayda, həm də ən böyük dərəcədə x məxrəcində çıxarırıq. X-ləri qısaldırıq. Limitin altındakı x dəyərlərini qalan ifadəyə əvəz edirik.

Bu yazıda siz Riyaziyyat kursunda tez-tez istifadə olunan limitlərin həllinin əsasları ilə tanış oldunuz. Əlbəttə ki, bunlar imtahan verənlərin təklif etdiyi bütün növ problemlər deyil, yalnız ən sadə həddlərdir. Gələcək məqalələrdə digər növ tapşırıqlar haqqında danışacağıq, lakin davam etmək üçün əvvəlcə bu dərsi öyrənməlisiniz. Köklər, dərəcələr varsa nə edəcəyimizi müzakirə edəcəyik, sonsuz kiçik ekvivalent funksiyaları, gözəl hədləri, L'Hopital qaydasını öyrənəcəyik.

Məhdudiyyətləri özünüz müəyyənləşdirə bilmirsinizsə, panik etməyin. Biz həmişə kömək etməkdən məmnunuq!

İlk diqqətəlayiq hədd aşağıdakı bərabərlik adlanır:

\begin(tənlik)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(tənlik)

$\alpha\to(0)$ üçün bizdə $\sin\alpha\to(0)$ olduğuna görə deyirik ki, birinci gözəl hədd$\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyini ortaya qoyur. Ümumiyyətlə, (1) düsturunda $\alpha$ dəyişəninin əvəzinə sinus işarəsi altında və məxrəcdə iki şərt yerinə yetirildiyi təqdirdə istənilən ifadə yerləşdirilə bilər:

Sinus işarəsi altında və məxrəcdəki ifadələr eyni vaxtda sıfıra meyllidir, yəni. $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi var.
Sinus işarəsinin altındakı və məxrəcdəki ifadələr eynidir.

İlk əlamətdar həddən gələn nəticələr də tez-tez istifadə olunur:

\begin(tənlik) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(tənlik) \begin(tənlik) \lim_(\alpha\to(0)) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(tənlik) \begin(tənlik) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(tənlik)

On bir nümunə bu səhifədə həll olunur. 1 nömrəli misal (2)-(4) düsturlarının isbatına həsr edilmişdir. Nümunələr #2, #3, #4 və #5 ətraflı şərhləri olan həlləri ehtiva edir. 6-10-cu misallarda təfərrüatlı izahatlar əvvəlki nümunələrdə verildiyi üçün az və ya heç bir şərh verilməyən həllər var. Həll edərkən tapıla bilən bəzi triqonometrik düsturlardan istifadə olunur.

Qeyd edim ki, triqonometrik funksiyaların mövcudluğu $\frac (0) (0)$ qeyri-müəyyənliyi ilə birləşərək, ilk diqqətəlayiq həddi tətbiq etmək lazım olduğunu bildirmir. Bəzən sadə triqonometrik çevrilmələr kifayətdir - məsələn, bax.

Nümunə №1

Sübut edin ki, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ olduğundan, onda:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ və $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ olduğundan, Bu:

$$ \lim_(\alfa\to(0))\frac(\sin(\alfa))(\alpha\cos(\alfa)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alfa\to(0)) \ frac (\ sin (\ alfa)) (\ alfa)) (\ displaystyle \ lim_ (\ alfa \ to (0)) \ cos (\ alfa)) =\ frac (1) (1) =1. $$

b) $\alpha=\sin(y)$ əvəzini edək. $\sin(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ şərtindən bizdə $y\to(0)$ olur. Bundan əlavə, $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ olduğu sıfırın qonşuluğu var, belə ki:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ bərabərliyi sübut edilmişdir.

c) $\alpha=\tg(y)$ əvəzini edək. $\tg(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ və $y\to(0)$ şərtləri ekvivalentdir. Bundan əlavə, $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ olduğu sıfır məhəlləsi var, buna görə də a) nöqtəsinin nəticələrinə əsaslanaraq, əldə edəcəyik:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ bərabərliyi sübut edilmişdir.

a), b), c) bərabərlikləri tez-tez ilk əlamətdar həddi ilə birlikdə istifadə olunur.

Nümunə №2

Hesablama limiti $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Çünki $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ və $\lim_( x) \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, yəni. və kəsrin payı və məxrəci eyni vaxtda sıfıra meyllidir, onda burada biz $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq, yəni. edildi. Bundan əlavə, sinus işarəsinin altındakı və məxrəcdəki ifadələrin eyni olduğunu görmək olar (yəni, təmin olunur):

Beləliklə, səhifənin əvvəlində qeyd olunan hər iki şərt yerinə yetirilir. Buradan belə çıxır ki, formula tətbiq olunur, yəni. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\sağ))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Cavab verin: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\sağ))(\frac(x^2-4)(x) +7))=1$.

Nümunə №3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ tapın.

$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ və $\lim_(x\to(0))x=0$ olduğundan, biz $\frac( formasının qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. 0 )(0)$, yəni, edildi. Lakin sinus işarəsinin altındakı və məxrəcdəki ifadələr uyğun gəlmir. Burada məxrəcdəki ifadəni uyğunlaşdırmaq tələb olunur istədiyiniz forma. Məxrəcdə olmaq üçün bizə $9x$ ifadəsi lazımdır - o zaman doğru olacaq. Əsasən, məxrəcdə $9$ faktorunu əldən vermişik, bunu daxil etmək o qədər də çətin deyil, məxrəcdəki ifadəni $9$-a vurmaq kifayətdir. Təbii ki, vurmanı $9$-a kompensasiya etmək üçün dərhal $9$-a bölməli və bölməli olacaqsınız:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\sağ| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin) (9x))(9x) $$

İndi məxrəcdəki və sinus işarəsinin altındakı ifadələr eynidir. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ limitinin hər iki şərti təmin edilir. Beləliklə, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Və bu o deməkdir ki:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Nümunə №4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ tapın.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ və $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ olduğundan, burada biz qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. $\frac(0)(0)$ forması. Ancaq ilk diqqətəlayiq hədd forması pozulur. Tərkibində $\sin(5x)$ olan pay məxrəcdə $5x$ tələb edir. Bu vəziyyətdə, ən asan yol, payı $5x$-a bölmək və dərhal $5x$-a vurmaqdır. Bundan əlavə, $\tg(8x)$-nı $8x$-a vurub bölmək üçün məxrəclə oxşar əməliyyat həyata keçirəcəyik:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\sağ| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ azaldıb $\frac(5)(8)$ sabitini limit işarəsindən çıxarsaq, əldə edirik:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Qeyd edək ki, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ birinci əlamətdar həddi tələblərə tam cavab verir. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ tapmaq üçün aşağıdakı düstur tətbiq olunur:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Nümunə №5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ tapın.

$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (xatırlayın ki, $\cos(0)=1$) və $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, onda biz $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. Bununla belə, ilk gözəl həddi tətbiq etmək üçün sinuslara (sonra düsturu tətbiq etmək üçün) və ya tangenslərə (sonra düsturu tətbiq etmək üçün) keçərək, saydakı kosinusdan xilas olmalısınız. Bunu aşağıdakı transformasiya ilə edə bilərsiniz:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\sol(1-\cos^2(5x)\sağ)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Gəlin limitə qayıdaq:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\sol(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\sağ) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kəsir artıq ilk əlamətdar hədd üçün tələb olunan formaya yaxındır. Gəlin $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kəsri ilə bir az işləyək, onu ilk gözəl həddə uyğunlaşdıraq (qeyd edək ki, saydakı və sinusun altındakı ifadələr uyğun olmalıdır):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\sol(\frac(\sin(5x))(5x)\sağ)^2$$

Nəzərə alınan limitə qayıdaq:

$$ \lim_(x\to(0))\sol(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\sağ) =\lim_(x\to(0) ))\sol(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\sağ)^2\sağ)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\sağ)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Nümunə №6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ limitini tapın.

$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ və $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ olduğundan, onda biz $\frac(0)(0)$ qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. İlk diqqətəlayiq limitin köməyi ilə açaq. Bunun üçün kosinuslardan sinuslara keçək. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ olduğundan, onda:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Verilmiş həddi sinuslara keçsək, əldə edəcəyik:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sol(\) frac(\sin(3x))(3x)\sağ)^2\cdot(9x^2))(\sol(\frac(\sin(x))(x)\sağ)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\sol(\frac(\sin(3x))(3x)\sağ)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Nümunə №7

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ limitini hesablayın $\alpha\neq\ beta $.

Ətraflı izahatlar əvvəllər verilmişdi, lakin burada sadəcə qeyd edirik ki, yenə $\frac(0)(0)$ qeyri-müəyyənliyi var. Düsturdan istifadə edərək kosinuslardan sinuslara keçək

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\sağ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\sağ)\cdot\sin\sol(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\sağ))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\sağ))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alfa-\beta)(2)\sağ))(x)\sağ)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\sağ))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\sol(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\sağ))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\sağ)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\sağ))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\sağ))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alfa^2)(2). $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Nümunə №8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ limitini tapın.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (xatırlayın ki, $\sin(0)=\tg(0)=0$) və $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, onda biz burada $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. Gəlin bunu belə bölək:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\sağ))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\sağ))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\sağ)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\sağ) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Nümunə №9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ limitini tapın.

$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ və $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, onda $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi var. Onun genişləndirilməsinə keçməzdən əvvəl dəyişəni elə dəyişdirmək rahatdır ki, yeni dəyişən sıfıra meyl etsin (düsturlarda $\alpha \dan 0$ dəyişəninə diqqət yetirin). Ən asan yol $t=x-3$ dəyişənini təqdim etməkdir. Bununla belə, sonrakı çevrilmələrin rahatlığı üçün (bu faydanı aşağıdakı həll prosesində görmək olar) aşağıdakı əvəzetməni etməyə dəyər: $t=\frac(x-3)(2)$. Qeyd edək ki, hər iki əvəzetmə tətbiq olunur bu məsələ, sadəcə ikinci əvəzləmə fraksiyalarla daha az işləməyə imkan verəcək. $x\to(3)$ olduğundan, sonra $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\sağ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin) (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\sol(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\sağ) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Nümunə №10

Limiti tapın $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Yenə biz $\frac(0)(0)$ qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. Onun genişlənməsinə keçməzdən əvvəl dəyişən dəyişikliyini elə etmək rahatdır ki, yeni dəyişən sıfıra meyl etsin (qeyd edək ki, düsturlarda dəyişən $\alpha\to(0)$-dır). Ən asan yol $t=\frac(\pi)(2)-x$ dəyişənini təqdim etməkdir. $x\to\frac(\pi)(2)$ olduğundan, sonra $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\sol(\frac(\pi)(2)-x\sağ)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\sağ))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\sağ)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Cavab verin: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\sağ)^2) =\frac(1)(2)$.

Nümunə №11

Limitləri tapın $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Bu vəziyyətdə, ilk gözəl limitdən istifadə etmək məcburiyyətində deyilik. Diqqət edin: həm birinci, həm də ikinci həddə yalnız triqonometrik funksiyalar və rəqəmlər var. Çox vaxt bu cür nümunələrdə limit işarəsi altında yerləşən ifadəni sadələşdirmək mümkündür. Bu zaman qeyd olunan sadələşdirmə və bəzi amillərin azaldılmasından sonra qeyri-müəyyənlik aradan qalxır. Mən bu nümunəni yalnız bir məqsədlə verdim: triqonometrik funksiyaların limit işarəsi altında olmasının mütləq birinci əlamətdar həddin tətbiqi demək olmadığını göstərmək.

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ olduğundan (xatırlayın ki, $\sin\frac(\pi)(2)=1$) və $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (xatırlayın ki, $\cos\frac(\pi)(2)=0$), onda qeyri-müəyyənliklə məşğul oluruq $\frac(0)(0)$ şəklində. Ancaq bu, heç də o demək deyil ki, ilk diqqətəlayiq həddi istifadə etməliyik. Qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək üçün onu nəzərə almaq kifayətdir ki, $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Demidoviçin həll kitabında (No 475) oxşar həll var. İkinci limitə gəlincə, bu bölmənin əvvəlki nümunələrində olduğu kimi, bizdə $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi var. Niyə yaranır? $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ və $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ olduğuna görə yaranır. Bu dəyərləri say və məxrəcdəki ifadələri çevirmək üçün istifadə edirik. Hərəkətlərimizin məqsədi: ədədi və məxrəcdəki cəmini hasil olaraq yazın. Yeri gəlmişkən, yeni dəyişənin sıfıra meyl etməsi üçün oxşar forma daxilində dəyişəni dəyişdirmək çox vaxt rahatdır (məsələn, bu səhifədə 9 və ya 10 nömrəli nümunələrə baxın). Bununla belə, bu misalda dəyişəni əvəz etməyin mənası yoxdur, baxmayaraq ki, istəsəniz $t=x-\frac(2\pi)(3)$ dəyişəninin dəyişdirilməsini həyata keçirmək asandır.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\sol(\cos(x)+\frac(1)(2)\sağ )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\sol(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\sağ))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \sol(x-\frac(2\pi)(3)\sağ))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\sağ))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\sağ)\cdot\left( -\frac(1)(2)\sağ)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Gördüyünüz kimi, ilk gözəl limiti tətbiq etməli deyildik. Əlbəttə ki, istəsəniz bu edilə bilər (aşağıdakı qeydə baxın), lakin bu lazım deyil.

İlk əlamətdar limitdən istifadə edərək həll yolu nə olardı? göstərmək/gizlətmək

İlk əlamətdar həddi istifadə edərək, əldə edirik:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\sol(x-\frac(2\pi)(3)\sağ))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ sağda))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\sağ) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\sağ)\cdot\left(-\frac(1)(2)\sağ)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Cavab verin: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Sonsuzluqda funksiya limiti:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Koşi limitinin tərifi
f funksiyası olsun (x)|x| üçün sonsuzluq nöqtəsinin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilir > a sayı funksiyanın həddi adlanır f (x) kimi x sonsuzluğa meyllidir (), əgər hər hansı ixtiyari kiçik müsbət ədəd ε üçün > 0 , N ε ədədi mövcuddur > K, ε -dən asılı olaraq, bütün x, |x| üçün > N ε, funksiyanın qiymətləri a nöqtəsinin ε qonşuluğuna aiddir:
|f (x) - a|< ε .
Sonsuzluqda funksiyanın həddi aşağıdakı kimi işarələnir:
.
Yaxud da.

Aşağıdakı qeydlər də tez-tez istifadə olunur:
.

Bu tərifi varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək yazırıq:
.
Burada dəyərlərin funksiyanın əhatə dairəsinə aid olduğu güman edilir.

Birtərəfli məhdudiyyətlər

Sonsuzluqda funksiyanın sol həddi:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Çox vaxt funksiyanın yalnız müsbət və ya üçün müəyyən edildiyi hallar olur mənfi dəyərlər dəyişən x (daha doğrusu, nöqtənin yaxınlığında və ya ). Həmçinin x-in müsbət və mənfi dəyərləri üçün sonsuzluq məhdudiyyətləri ola bilər müxtəlif mənalar. Sonra birtərəfli məhdudiyyətlər istifadə olunur.

Sonsuzluqda sol limit və ya x-in mənfi sonsuzluğa () meyl etdiyi hədd aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
.
Sonsuzluqda sağ hədd və ya x üstəgəl sonsuzluğa () meyl etdiyi üçün məhdudlaşdırın:
.
Sonsuzluqda birtərəfli limitlər çox vaxt belə yazılır:
; .

Sonsuzluqda sonsuz funksiya limiti

Sonsuzluqda sonsuz funksiya limiti:
|f(x)| > M |x| üçün > N

Koşiyə görə sonsuz həddinin tərifi
f funksiyası olsun (x)|x| üçün sonsuzluq nöqtəsinin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilir > K , burada K müsbət ədəddir. Funksiya həddi f (x) x sonsuzluğa meyl etdikdə (), sonsuzluğa bərabərdir, əgər varsa, özbaşına böyük rəqəm M > 0 , N M nömrəsi var > K, M -dən asılı olaraq, bütün x üçün |x| > N M, funksiyanın dəyərləri nöqtənin sonsuzluqdakı qonşuluğuna aiddir:
|f (x) | > M.
X sonsuzluğa meyl etdiyi üçün sonsuz hədd aşağıdakı kimi işarələnir:
.
Yaxud da.

Varlığın və universallığın məntiqi simvollarından istifadə edərək funksiyanın sonsuz həddinin tərifini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
.

Müəyyən işarələrin sonsuz hüdudlarının tərifləri oxşar şəkildə təqdim olunur:
.
.

Sonsuzluqda birtərəfli limitlərin tərifləri.
Sol məhdudiyyətlər.
.
.
.
Doğru məhdudiyyətlər.
.
.
.

Heineyə görə funksiyanın limitinin təyini

f funksiyası olsun (x) x sonsuzluğundakı nöqtənin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilir 0 , harada və ya .
a sayı (sonlu və ya sonsuzda) f funksiyasının həddi adlanır (x) x nöqtəsində 0 :
,
hər hansı bir ardıcıllıq üçün ( x n ), x-ə yaxınlaşır 0 : ,
kimin elementləri məhəllə , ardıcıllığa aiddir (f(xn)) birləşir:
.

Sonsuzluqda işarəsiz nöqtənin qonşuluğunu qonşuluq kimi götürsək: , onda x sonsuzluğa meyl etdiyi üçün funksiyanın limitinin tərifini alırıq, . X sonsuzluğundakı nöqtənin sol və ya sağ qonşuluğunu götürsək 0 : və ya, onda biz limitin tərifini alırıq, çünki x müvafiq olaraq mənfi sonsuzluğa və üstəgəl sonsuzluğa meyl edir.

Limitin Heine və Koşi tərifləri ekvivalentdir.

Nümunələr

Misal 1

Koşi tərifindən istifadə edərək bunu göstərin
.

Qeydi təqdim edək:
.
Funksiya sahəsini tapın. Kəsirin payı və məxrəci çoxhədlilər olduğundan, məxrəcin itdiyi nöqtələrdən başqa bütün x üçün funksiya müəyyən edilir. Gəlin bu nöqtələri tapaq. Kvadrat tənliyi həll edirik. ;
.
Tənliyin kökləri:
; .
O vaxtdan, o vaxtdan və.
Buna görə də funksiya üçün müəyyən edilmişdir. Bundan gələcəkdə istifadə edəcəyik.

Koşiyə görə sonsuzluqda funksiyanın son həddinin tərifini yazırıq:
.
Fərqi çevirək:
.
Payı və məxrəci bölmək və vurmaq -1 :
.

Qoy .
Sonra
;
;
;
.

Beləliklə, biz tapdıq ki,
.
.
Buna görə də belə çıxır
, və .

Artırmaq həmişə mümkün olduğu üçün alırıq. Sonra hər hansı
at.
Bu o deməkdir ki.

Misal 2

Qoy .
Cauchy limitinin tərifindən istifadə edərək göstərin ki:
1) ;
2) .

1) Mənfi sonsuzluğa meyl edən x üçün həll

Çünki, onda funksiya bütün x üçün müəyyən edilir.
Mənfi sonsuzluğa bərabər olan funksiyanın limitinin tərifini yazaq:
.

Qoy . Sonra
;
.

Beləliklə, biz tapdıq ki,
.
Müsbət ədədləri daxil edirik və:
.
Buradan belə nəticə çıxır ki, hər hansı müsbət M ədədi üçün bir ədəd var, ona görə də ,
.

Bu o deməkdir ki.

2) üstəgəl sonsuzluğa meyl edən x üçün həll

Orijinal funksiyanı çevirək. Kəsrin payını və məxrəcini çoxaldın və kvadratlar fərqini tətbiq edin:
.
Bizdə:

.
üçün funksiyanın sağ limitinin tərifini yazaq:
.

Qeydi təqdim edək: .
Fərqi çevirək:
.
Numeratoru və məxrəci vur:
.

Qoy
.
Sonra
;
.

Beləliklə, biz tapdıq ki,
.
Müsbət ədədləri daxil edirik və:
.
Buna görə də belə çıxır
və .

Bu, hər hansı bir müsbət ədəd üçün keçdiyi üçün
.

İstinadlar:
SANTİMETR. Nikolski. Yaxşı riyazi analiz. 1-ci cild. Moskva, 1983.

Limitlər nəzəriyyəsi- riyazi analiz bölmələrindən biri, hansını mənimsəmək olar, digərləri həddi çətinliklə hesablayır. Həddi tapmaq məsələsi olduqca ümumidir, çünki onlarla hiylə var həlləri məhdudlaşdırır müxtəlif növlər. Eyni məhdudiyyətlər həm L'Hopital qaydası ilə, həm də onsuz tapıla bilər. Belə olur ki, sonsuz kiçik funksiyalar seriyasındakı cədvəl istədiyiniz nəticəni tez bir zamanda əldə etməyə imkan verir. İstənilən mürəkkəblik funksiyasının həddini tapmağa imkan verən bir sıra fəndlər və fəndlər var. Bu yazıda praktikada ən çox rast gəlinən əsas məhdudiyyət növlərini anlamağa çalışacağıq. Burada limitin nəzəriyyəsini və tərifini verməyəcəyik, İnternetdə bunun çeynəndiyi bir çox resurs var. Ona görə də gəlin praktiki hesablamalar aparaq, məhz buradan başlayırsınız "Bilmirəm! Bilmirəm necə! Bizə öyrədilməyib!"

Əvəzetmə üsulu ilə limitlərin hesablanması

Misal 1 Funksiyanın limitini tapın
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Həll yolu: Nəzəri olaraq bu cür nümunələr adi əvəzetmə ilə hesablanır

Limit 18/11-dir.
Belə məhdudiyyətlər içərisində mürəkkəb və müdrik bir şey yoxdur - dəyəri əvəz etdilər, hesabladılar, cavab olaraq limit yazdılar. Bununla belə, belə məhdudiyyətlər əsasında hər kəsə öyrədilir ki, ilk növbədə funksiyaya dəyər əvəz etmək lazımdır. Bundan əlavə, məhdudiyyətlər mürəkkəbləşdirir, sonsuzluq, qeyri-müəyyənlik və s. anlayışını təqdim edir.

Sonsuzluğa bölünən qeyri-müəyyənlik növü ilə limit. Qeyri-müəyyənliyin açıqlanması üsulları

Misal 2 Funksiyanın limitini tapın
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=sonsuzluq).
Həlli: Çoxhədli çoxhədliyə bölünən forma həddi verilmişdir və dəyişən sonsuzluğa meyllidir.

Dəyişənin hədləri tapmalı olduğu dəyərin sadə əvəzi kömək etməyəcək, sonsuzluğa bölünən sonsuzluq formasının qeyri-müəyyənliyini alırıq.
Limitlərin pot nəzəriyyəsi Limitin hesablanması alqoritmi pay və ya məxrəcdə ən böyük "x" dərəcəsini tapmaqdır. Sonra onun üzərində say və məxrəc sadələşdirilir və funksiyanın həddi tapılır

Dəyişən sonsuzluğa getdikdə dəyər sıfıra meylli olduğundan, bunlar nəzərə alınmır və ya son ifadədə sıfır kimi yazılır.

Təcrübədən dərhal hesablamalarda işarə olan iki nəticə əldə edə bilərsiniz. Dəyişən sonsuzluğa meyllidirsə və payın dərəcəsi məxrəcin dərəcəsindən böyükdürsə, həddi sonsuzluğa bərabərdir. Əks halda, məxrəcdəki çoxhədli saydakından daha yüksək sıralıdırsa, hədd sıfırdır.
Limit düsturu kimi yazıla bilər

Əgər kəsrsiz adi log formasının funksiyası varsa, onda onun həddi sonsuzluğa bərabərdir.

növbəti növ limitlər sıfıra yaxın funksiyaların davranışına aiddir.

Misal 3 Funksiyanın limitini tapın
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Həlli: Burada çoxhədlinin aparıcı çarpanını çıxarmaq tələb olunmur. Bunun tam əksi, pay və məxrəcin ən kiçik gücünü tapmaq və həddi hesablamaq lazımdır.

x^2 dəyəri; Dəyişən sıfıra meyl etdikdə x sıfıra meyllidir Buna görə də, onlar nəzərə alınmır, beləliklə biz

ki, limit 2.5-dir.

İndi bilirsən funksiyanın limitini necə tapmaq olar Dəyişən sonsuzluğa və ya 0-a meyl edirsə, çoxhədli çoxhədliyə bölünür. Lakin bu, nümunələrin yalnız kiçik və asan hissəsidir. Aşağıdakı materialdan öyrənəcəksiniz funksiyanın limitlərinin qeyri-müəyyənliklərini necə açmaq olar.

0/0 tipli qeyri-müəyyənlik limiti və onun hesablanması üsulları

Dərhal hər kəs sıfıra bölmək mümkün olmayan qaydanı xatırlayır. Lakin bu kontekstdə limitlər nəzəriyyəsi sonsuz kiçik funksiyalar deməkdir.
Nümunə üçün bir neçə misala baxaq.

Misal 4 Funksiyanın limitini tapın
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Həlli: x = -1 dəyişəninin qiymətini məxrəcdə əvəz etdikdə sıfır alırıq, payda da eynisini alırıq. Beləliklə, bizdə var 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyi.
Belə qeyri-müəyyənliklə məşğul olmaq asandır: polinomu faktorlara ayırmaq, daha doğrusu, funksiyanı sıfıra çevirən əmsalı seçmək lazımdır.

Parçalanmadan sonra funksiyanın həddi kimi yazmaq olar

Bu, funksiyanın limitini hesablamaq üçün bütün texnikadır. Çoxhədlinin çoxhədliyə bölünən formasının həddi varsa, eyni şeyi edirik.

Misal 5 Funksiyanın limitini tapın
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Həlli: Birbaşa əvəzetmə göstərir
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
neyimiz var qeyri-müəyyənlik növü 0/0.
Çoxhədliləri təkliyi təqdim edən faktora bölün

Müəllimlər var ki, 2-ci tərtibli çoxhədliləri, yəni “kvadrat tənliklər”in növünü diskriminant vasitəsilə həll etmək lazımdır. Amma real təcrübə daha uzun və daha mürəkkəb olduğunu göstərir, ona görə də göstərilən alqoritm daxilində xüsusiyyətlərdən xilas olun. Beləliklə, funksiyanı sadə amillər şəklində yazırıq və limitdə hesablayırıq

Gördüyünüz kimi, bu cür limitlərin hesablanmasında mürəkkəb bir şey yoxdur. Limitləri öyrənərkən çoxhədliləri necə bölməyi bilirsiniz, heç olmasa proqrama uyğun olaraq, artıq keçməlisiniz.
üçün tapşırıqlar arasında qeyri-müəyyənlik növü 0/0 qısaldılmış vurma düsturlarını tətbiq etmək lazım olanlar var. Ancaq onları bilmirsinizsə, o zaman çoxhədli monohəmə bölməklə istədiyiniz düsturu əldə edə bilərsiniz.

Misal 6 Funksiyanın limitini tapın
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Həlli: 0/0 tipli qeyri-müəyyənliyimiz var. Numeratorda biz qısaldılmış vurma üçün düsturdan istifadə edirik

və istədiyiniz limiti hesablayın

Konyuqata vurmaqla qeyri-müəyyənliyin açıqlanması üsulu

Metod irrasional funksiyaların qeyri-müəyyənlik yaratdığı hədlərə tətbiq edilir. Hesablama nöqtəsində say və ya məxrəc sıfıra çevrilir və sərhədin necə tapılacağı məlum deyil.

Misal 7 Funksiyanın limitini tapın
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Həll: Dəyişəni limit düsturunda təmsil edək

Əvəz edərkən 0/0 tipli qeyri-müəyyənlik əldə edirik.
Limitlər nəzəriyyəsinə görə, bu təklikdən yan keçmək sxemi irrasional ifadəni onun konjugatı ilə vurmaqdan ibarətdir. İfadəni dəyişməz saxlamaq üçün məxrəci eyni qiymətə bölmək lazımdır

Kvadratlar qaydasının fərqi ilə biz payı sadələşdiririk və funksiyanın limitini hesablayırıq

Limitdə təklik yaradan şərtləri sadələşdiririk və əvəzləməni həyata keçiririk

Misal 8 Funksiyanın limitini tapın
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Həlli: Birbaşa əvəzetmə limitin 0/0 formasının təkliyinə malik olduğunu göstərir.

Genişləndirmək, çoxaltmaq və paylayıcı ilə birləşmək üçün bölmək

Kvadratların fərqini yazın

Təkliyi təqdim edən şərtləri sadələşdiririk və funksiyanın limitini tapırıq

Misal 9 Funksiyanın limitini tapın
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Həlli: Düsturdakı ikiliyi əvəz edin

alın qeyri-müəyyənlik 0/0.
Məxrəc birləşdirici ifadə ilə vurulmalı, payda isə kvadrat tənliyi həll etməli və ya təkliyi nəzərə alaraq faktorlara ayırmalısınız. 2-nin kök olduğu bilindiyi üçün ikinci kök Vyeta teoremi ilə tapılır

Beləliklə, rəqəmi formada yazırıq

və həddi qoyun

Kvadratların fərqini azaldaraq, pay və məxrəcdəki xüsusiyyətlərdən xilas oluruq

Yuxarıdakı şəkildə, bir çox nümunədə təklikdən xilas ola bilərsiniz və əvəz edərkən köklərin verilmiş fərqinin sıfıra çevrildiyi hər yerdə tətbiq diqqət yetirilməlidir. Digər məhdudiyyət növləri aiddir eksponensial funksiyalar, sonsuz kiçik funksiyalar, loqarifmlər, tək limitlər və digər üsullar. Ancaq bu barədə limitlər haqqında aşağıdakı məqalələrdə oxuya bilərsiniz.

İllüstrativ nümunələrə baxaq.

X ədədi dəyişən, X onun dəyişmə diapazonu olsun. X-ə aid olan hər bir x rəqəmi hansısa y rəqəmi ilə əlaqələndirilirsə, X dəstində funksiyanın müəyyən edildiyini söyləyirlər və y \u003d f (x) yazırlar.
Bu vəziyyətdə X dəsti iki koordinat oxundan ibarət olan müstəvidir - 0X və 0Y. Məsələn, y \u003d x 2 funksiyasını çəkək. 0X və 0Y oxları X forması - onun dəyişmə sahəsi. Şəkil funksiyanın necə davrandığını aydın şəkildə göstərir. Bu halda deyirik ki, y \u003d x 2 funksiyası X dəstində müəyyən edilmişdir.

Funksiyanın bütün özəl qiymətlərinin Y çoxluğuna f(x) qiymətlər çoxluğu deyilir. Başqa sözlə, dəyərlər dəsti funksiyanın təyin olunduğu 0Y oxu boyunca intervaldır. Təsvir edilən parabola aydın şəkildə göstərir ki, f(x) > 0 , çünki x2 > 0. Buna görə də diapazon olacaq. Dəyərlər dəstinə 0Y ilə baxırıq.

Bütün x-in məcmusuna f(x) dairəsi deyilir. Biz təriflər dəstinə 0X, bizim vəziyyətimizdə isə sahə ilə baxırıq icazə verilən dəyərlər[-; +].

Əgər a nöqtəsinin hər hansı qonşuluğunda a nöqtəsindən başqa X çoxluğunun nöqtələri varsa, a (a aid və ya X) nöqtəsi X çoxluğunun həddi nöqtəsi adlanır.

Anlamaq vaxtıdır - funksiyanın həddi nədir?

X a sayına meyl etdikdə funksiyanın meyl etdiyi xalis b adlanır funksiya həddi. Aşağıdakı kimi yazılır:

Məsələn, f (x) \u003d x 2. Funksiyanın x 2-də nəyə meyl etdiyini (bərabər olmadığını) öyrənməliyik. Əvvəlcə limiti yazaq:

Diaqrama baxaq.

0X oxundakı 2 nöqtəsindən 0Y oxuna paralel bir xətt çəkin. Qrafikimizdən (2;4) nöqtəsində keçəcək. Gəlin bu nöqtədən 0Y oxuna perpendikulyar salaq - və biz 4 nöqtəsinə çatacağıq. Bizim funksiyamız x 2-də buna çalışır. Əgər indi f (x) funksiyasında 2 qiymətini əvəz etsək, cavab olacaq. eyni olsun.

İndi keçməzdən əvvəl limit hesablanması, biz əsas tərifləri təqdim edirik.

19-cu əsrdə fransız riyaziyyatçısı Augustin Lui Koşi tərəfindən təqdim edilmişdir.

Tutaq ki, f(x) funksiyası x = A nöqtəsini ehtiva edən hansısa intervalda müəyyən edilib, lakin f(A) dəyərinin təyin olunması heç də lazım deyil.

Sonra, Cauchy-nin tərifinə görə, funksiya həddiƏgər hər bir C > 0 üçün D > 0 rəqəmi varsa, f(x) x-də A-ya meyl edən bəzi B rəqəmi olacaq ki,

Bunlar. x A-da f(x) funksiyası B həddi ilə məhdudlaşırsa, bu belə yazılır

Ardıcıllıq limiti hər hansı bir ixtiyari kiçik müsbət ədəd B > 0 üçün elə bir N ədədi varsa, müəyyən A ədədi çağırılır ki, n > N vəziyyətindəki bütün qiymətlər bərabərsizliyi təmin etsin.

Bu limit belə görünür.

Limiti olan ardıcıllığa konvergent, deyilsə, divergent deyilir.

Artıq qeyd etdiyiniz kimi, limitlər lim işarəsi ilə göstərilir, bunun altında dəyişən üçün bəzi şərt yazılır və sonra funksiyanın özü artıq yazılır. Belə bir çoxluq "şərt altında funksiyanın həddi ..." kimi oxunacaqdır. Misal üçün:

x 1-ə meyl etdiyi üçün funksiyanın həddidir.

"1-ə gedir" ifadəsi o deməkdir ki, x ardıcıl olaraq 1-ə sonsuz yaxınlaşan dəyərləri qəbul edir.

İndi aydın olur ki, bu limiti hesablamaq üçün x əvəzinə 1 dəyərini əvəz etmək kifayətdir:

Xüsusi ədədi dəyərdən əlavə, x də sonsuzluğa meyl edə bilər. Misal üçün:

X ifadəsi x-in daim artdığını və sonsuzluğa yaxınlaşdığını bildirir. Buna görə də, x əvəzinə sonsuzluğu əvəz edərkən, 1-x funksiyasının meyl göstərəcəyi aydın olur, lakin əks işarə ilə:

Beləliklə, limit hesablanması onun xüsusi dəyərini və ya limitlə məhdudlaşan funksiyanın düşdüyü müəyyən bir sahəni tapmağa gəlir.

Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, məhdudiyyətləri hesablayarkən bir neçə qaydadan istifadə etmək vacibdir:

həyata keçirmək limitin mahiyyəti və əsas qaydalar limit hesablamaları, siz onları necə həll etmək barədə əsas fikir əldə edəcəksiniz. Hansı limit sizə çətinlik yaradacaqsa, şərhlərdə yazın və biz sizə mütləq kömək edəcəyik.

Qeyd: Hüquq elmləri, münaqişələrdə və digər həyat çətinliklərində kömək edən qanunlar elmidir.