İdeya budur: bir az dəyər verin ("delta x" oxuyun) , biz zəng edəcəyik arqument artımı, və gəlin yolumuzun müxtəlif nöqtələrində "sınamağa" başlayaq:

1) Ən çoxuna baxaq sol nöqtə: məsafəni keçərək, yamacı yüksəkliyə qalxırıq (yaşıl xətt). Dəyər deyilir funksiya artımı, və içində bu məsələ bu artım müsbətdir (ox boyunca dəyərlər arasındakı fərq Sıfırdan yuxarı). Yolumuzun sıldırım ölçüsü olacaq nisbəti edək. Aydındır ki, çox spesifik rəqəmdir və hər iki artım müsbət olduğundan, .

Diqqət! Təyinat varBİRsimvolu, yəni "x" dən "deltanı" qoparıb bu hərfləri ayrıca nəzərdən keçirə bilməzsiniz. Təbii ki, şərh funksiyanın artım simvoluna da aiddir.

Gəlin yaranan kəsrin təbiətini daha mənalı araşdıraq. Tutaq ki, əvvəlcə 20 metr hündürlükdəyik (solda qara nöqtədə). Metr məsafəni (sol qırmızı xətt) qət edərək, 60 metr yüksəklikdə olacağıq. Sonra funksiyanın artımı olacaq metr (yaşıl xətt) və: . Beləliklə, hər metrdə yolun bu hissəsi hündürlüyü artırorta 4 metr…dırmanma avadanlıqlarınızı unutmusunuz? =) Başqa sözlə desək, qurulan nisbət funksiyanın ORTA DƏYİŞMƏ SƏRƏMƏsini (bu halda artım) xarakterizə edir.

Qeyd : Sözügedən nümunənin ədədi dəyərləri rəsmin nisbətlərinə yalnız təxminən uyğun gəlir.

2) İndi ən sağdakı qara nöqtədən eyni məsafəyə gedək. Burada artım daha yumşaqdır, buna görə artım (qırmızı xətt) nisbətən kiçikdir və əvvəlki vəziyyətlə müqayisədə nisbət olduqca təvazökar olacaqdır. Nisbətən desək, metr və funksiyanın böyümə sürəti edir . Yəni burada yolun hər metri var orta yarım metr yuxarı.

3) Dağ yamacında kiçik bir macəra. Gəlin yuxarıya baxaq qara nöqtə y oxunda yerləşir. Tutaq ki, bu 50 metrlik bir işarədir. Yenə məsafəni qət edirik, nəticədə özümüzü daha aşağı - 30 metr səviyyəsində tapırıq. Hərəkət edildiyi gündən yuxarıdan aşağı(oxun "əks" istiqamətində), sonra final funksiyanın artımı (hündürlük) mənfi olacaq: metr (rəsmdə qəhvəyi xətt). Və bu vəziyyətdə biz danışırıq çürümə dərəcəsi xüsusiyyətləri: , yəni bu hissənin yolunun hər metri üçün hündürlük azalır orta 2 metr. Beşinci nöqtədə paltarlara diqqət yetirin.

İndi sual verək: istifadə etmək üçün "ölçmə standartının" ən yaxşı dəyəri nədir? 10 metrin çox kobud olduğu aydındır. Yaxşı bir çox qabar onlara asanlıqla uyğunlaşa bilər. Nə üçün qabar var, aşağıda dərin bir dərə ola bilər və bir neçə metrdən sonra - daha dik bir yüksəlişlə onun digər tərəfi. Beləliklə, on metrlik bir nisbətlə yolun bu cür hissələrinin başa düşülən bir xüsusiyyətini əldə etməyəcəyik.

Yuxarıdakı müzakirədən aşağıdakı nəticə çıxır: Necə az dəyər , yolun relyefini daha dəqiq təsvir edəcəyik. Bundan əlavə, aşağıdakı faktlar doğrudur:

– İstənilən üçün qaldırma nöqtələri bu və ya digər yüksəlişin hüdudlarına uyğun bir dəyər (çox kiçik də olsa) seçə bilərsiniz. Və bu o deməkdir ki, müvafiq hündürlük artımının müsbət olacağına zəmanət veriləcək və bərabərsizlik bu intervalların hər bir nöqtəsində funksiyanın böyüməsini düzgün göstərəcəkdir.

- Eynilə, hər hansı üçün yamac nöqtəsi, bu yamacda tamamilə uyğunlaşacaq bir dəyər var. Buna görə də, hündürlüyün müvafiq artımı birmənalı olaraq mənfidir və bərabərsizlik verilmiş intervalın hər bir nöqtəsində funksiyanın azalmasını düzgün göstərəcəkdir.

– Xüsusilə maraq doğuran məqam funksiyanın dəyişmə sürətinin sıfır olduğu haldır: . Birincisi, sıfır hündürlük artımı () bərabər yolun əlamətidir. İkincisi, digər maraqlı vəziyyətlər var, nümunələri şəkildə gördüyünüz. Təsəvvür edin ki, tale bizi qartalların uçduğu bir təpənin lap zirvəsinə və ya qurbağaların cırıldadığı dərənin dibinə aparıb. Hər hansı bir istiqamətdə kiçik bir addım atsanız, o zaman hündürlüyün dəyişməsi əhəmiyyətsiz olacaq və funksiyanın dəyişmə sürətinin əslində sıfır olduğunu söyləyə bilərik. Eyni nümunə nöqtələrdə müşahidə olunur.

Beləliklə, funksiyanın dəyişmə sürətini mükəmməl şəkildə xarakterizə etmək üçün heyrətamiz bir fürsətə yaxınlaşdıq. Hər şeydən sonra riyazi analiz arqumentin artımını sıfıra yönəltməyə imkan verir: , yəni onu düzəldin sonsuz kiçik.

Nəticədə başqa bir məntiqi sual yaranır: yol və onun qrafiki üçün tapmaq mümkündürmü? başqa funksiya, hansı bizə deyərdi bütün mənzillər, yoxuşlar, enişlər, zirvələr, aranlar, eləcə də yolun hər bir nöqtəsində artım / azalma sürəti haqqında?

Törəmə nədir? Törəmənin tərifi.
Törəmə və diferensialın həndəsi mənası

Zəhmət olmasa, diqqətlə oxuyun və çox tez deyil - material sadədir və hər kəs üçün əlçatandır! Bəzi yerlərdə bir şey çox aydın görünmürsə, hər zaman məqaləyə daha sonra qayıda bilərsiniz. Daha çox deyəcəyəm, bütün məqamları keyfiyyətcə başa düşmək üçün nəzəriyyəni bir neçə dəfə öyrənmək faydalıdır (məsləhət xüsusilə ali riyaziyyatın tədris prosesində mühüm rol oynadığı “texniki” tələbələr üçün aktualdır).

Nağıllarından nümunə götürərək funksiyanın davamlılığı, mövzunun "təbliğatı" fenomenin bir nöqtədə öyrənilməsi ilə başlayır və yalnız bundan sonra ədədi intervallara qədər uzanır.

Törəmə nədir?
Funksiya törəməsinin tərifi və mənası

Bir dəyişənin funksiyasının törəməsi və onun tətbiqləri haqqında müəllif kursumda bu məqalənin gözlənilməz yeri çoxlarını təəccübləndirəcək. Axı, məktəbdən olduğu kimi: standart bir dərslik, ilk növbədə, törəmənin tərifini, onun həndəsi, mexaniki mənasını verir. Sonra tələbələr funksiyaların törəmələrini tərifinə görə tapırlar və əslində, yalnız bundan sonra diferensiasiya texnikası təkmilləşir. törəmə cədvəllər.

Amma mənim nöqteyi-nəzərimdən aşağıdakı yanaşma daha praqmatikdir: ilk növbədə, YAXŞI DÜŞÜNMƏK məsləhətdir. funksiya həddi, və xüsusilə sonsuz kiçiklər. Fakt budur ki törəmənin tərifi limit anlayışına əsaslanır, bu məktəb kursunda zəif nəzərə alınır. Buna görə qranit biliklərinin gənc istehlakçılarının əhəmiyyətli bir hissəsi törəmənin mahiyyətinə zəif nüfuz edir. Beləliklə, əgər siz zəif oriyentasiyasınızsa diferensial hesablama və ya müdrik beyin üçün uzun illər bu baqaj uğurla atılırsa, lütfən ondan başlayın funksiya məhdudiyyətləri. Eyni zamanda usta / qərarlarını xatırlayın.

Eyni praktik məna ilk növbədə onun sərfəli olduğunu göstərir törəmələri tapmağı öyrənin, o cümlədən mürəkkəb funksiyaların törəmələri. Nəzəriyyə nəzəriyyədir, amma necə deyərlər, həmişə fərqlənmək istəyirsən. Bu baxımdan, sadalanan əsas dərsləri hazırlamaq və bəlkə də olmaq daha yaxşıdır fərqləndirmə ustası hərəkətlərinin mahiyyətini belə dərk etmədən.

Məqaləni oxuduqdan sonra bu səhifədəki materiallara başlamağı məsləhət görürəm. Törəmə ilə ən sadə problemlər, burada xüsusilə funksiyanın qrafikinə toxunan məsələyə baxılır. Ancaq gecikdirilə bilər. Fakt budur ki, törəmənin bir çox tətbiqi onu başa düşməyi tələb etmir və nəzəri dərsin olduqca gec - izah etməli olduğum zaman ortaya çıxması təəccüblü deyil. artım/azalma intervallarının və ekstremumların tapılması funksiyaları. Üstəlik, o, kifayət qədər uzun müddət bu mövzuda idi " Funksiyalar və Qrafiklər”, əvvəllər yerləşdirməyə qərar verənə qədər.

Buna görə də, əziz çaydanlar, ac heyvanlar kimi törəmənin mahiyyətini udmağa tələsməyin, çünki doyma dadsız və natamam olacaq.

Funksiyanın artan, azalan, maksimum, minimumu anlayışı

Çox tədris təlimatları bəzi praktiki məsələlərin köməyi ilə törəmə anlayışına aparın və mən də maraqlı bir misal gətirdim. Təsəvvür edin ki, biz müxtəlif yollarla çata biləcəyimiz bir şəhərə səyahət etməliyik. Biz dərhal əyri dolama yollarını atırıq və yalnız düz xətləri nəzərdən keçirəcəyik. Bununla belə, düz xətt istiqamətləri də fərqlidir: şəhərə düz bir avtomobil yolu ilə gedə bilərsiniz. Və ya dağlıq bir magistralda - yuxarı və aşağı, yuxarı və aşağı. Başqa bir yol yalnız yoxuşa çıxır, digəri isə hər zaman enişlə gedir. Həyəcan axtaranlar sıldırım qaya və sıldırım yoxuşu olan dərədən keçən marşrut seçəcəklər.

Ancaq üstünlükləriniz nə olursa olsun, ərazini bilmək və ya heç olmasa onun yerini tapmaq məsləhətdir. topoqrafik xəritə. Bəs belə bir məlumat yoxdursa? Axı, məsələn, düz bir yol seçə bilərsiniz, amma nəticədə məzəli Finlərlə xizək yamacında büdrəyin. Naviqatorun və hətta peyk şəklinin etibarlı məlumat verəcəyi faktı deyil. Ona görə də yolun relyefini riyaziyyat vasitəsi ilə rəsmiləşdirmək yaxşı olardı.

Bəzi yolu nəzərdən keçirin (yan görünüş):

Hər halda, sizə elementar bir faktı xatırladıram: səyahət baş verir soldan sağa. Sadəlik üçün funksiyanın olduğunu güman edirik davamlı baxılan sahədə.

Bu qrafikin xüsusiyyətləri nələrdir?

Fasilələrlə funksiyası artır, yəni onun növbəti dəyərinin hər biri daha çoxəvvəlki. Kobud desək, qrafik gedir aşağı yuxarı(təpəyə qalxırıq). Və intervalda funksiya azalır- hər növbəti dəyər azəvvəlki və cədvəlimiz gedir yuxarıdan aşağı(yamacdan aşağı enir).

Xüsusi məqamlara da diqqət yetirək. Gəldiyimiz nöqtədə maksimum, yəni mövcuddur dəyərin ən böyük (ən yüksək) olacağı yolun belə bir hissəsi. Eyni zamanda, minimum, Və mövcuddur dəyərinin ən kiçik (ən aşağı) olduğu onun qonşuluğu belədir.

Dərsdə daha ciddi terminologiya və təriflər nəzərdən keçiriləcək. funksiyanın ekstremumu haqqında, lakin indi daha bir vacib xüsusiyyəti öyrənək: intervallarda funksiya artır, lakin artır ilə fərqli sürət . Və diqqətinizi çəkən ilk şey qrafikin intervalda yüksəlməsidir daha sərin intervaldan daha çox. Riyazi alətlərdən istifadə edərək yolun sıldırımını ölçmək mümkündürmü?

Funksiya dəyişmə dərəcəsi

İdeya budur: bir az dəyər verin ("delta x" oxuyun), biz zəng edəcəyik arqument artımı, və gəlin yolumuzun müxtəlif nöqtələrində "sınamağa" başlayaq:

1) Ən sol nöqtəyə baxaq: məsafəni keçərək, yamacı yüksəkliyə qalxırıq (yaşıl xətt). Dəyər deyilir funksiya artımı, və bu halda bu artım müsbətdir (ox boyunca dəyərlər fərqi sıfırdan böyükdür). Yolumuzun sıldırım ölçüsü olacaq nisbəti edək. Aydındır ki, çox spesifik rəqəmdir və hər iki artım müsbət olduğundan, .

Diqqət! Təyinat var BİR simvolu, yəni "x" dən "deltanı" qoparıb bu hərfləri ayrıca nəzərdən keçirə bilməzsiniz. Təbii ki, şərh funksiyanın artım simvoluna da aiddir.

Gəlin yaranan kəsrin təbiətini daha mənalı araşdıraq. Tutaq ki, əvvəlcə 20 metr hündürlükdəyik (solda qara nöqtədə). Metr məsafəni (sol qırmızı xətt) qət edərək, 60 metr yüksəklikdə olacağıq. Sonra funksiyanın artımı olacaq metr (yaşıl xətt) və: . Beləliklə, hər metrdə yolun bu hissəsi hündürlüyü artır orta 4 metr…dırmanma avadanlıqlarınızı unutmusunuz? =) Başqa sözlə desək, qurulan nisbət funksiyanın ORTA DƏYİŞMƏ SƏRƏMƏsini (bu halda artım) xarakterizə edir.

Qeyd : Sözügedən nümunənin ədədi dəyərləri rəsmin nisbətlərinə yalnız təxminən uyğun gəlir.

3) Dağ yamacında kiçik bir macəra. Gəlin y oxunda yerləşən yuxarı qara nöqtəyə baxaq. Tutaq ki, bu 50 metrlik bir işarədir. Yenə məsafəni qət edirik, nəticədə özümüzü daha aşağı - 30 metr səviyyəsində tapırıq. Hərəkət edildiyi gündən yuxarıdan aşağı(oxun "əks" istiqamətində), sonra final funksiyanın artımı (hündürlük) mənfi olacaq: metr (rəsmdə qəhvəyi xətt). Və bu vəziyyətdə biz danışırıq çürümə dərəcəsi xüsusiyyətləri: , yəni bu hissənin yolunun hər metri üçün hündürlük azalır orta 2 metr. Beşinci nöqtədə paltarlara diqqət yetirin.

Yuxarıdakı müzakirədən aşağıdakı nəticə çıxır: dəyəri daha kiçikdir, yolun relyefini daha dəqiq təsvir edəcəyik. Bundan əlavə, aşağıdakı faktlar doğrudur:

Beləliklə, funksiyanın dəyişmə sürətini mükəmməl şəkildə xarakterizə etmək üçün heyrətamiz bir fürsətə yaxınlaşdıq. Axı, riyazi təhlil bizə arqumentin artımını sıfıra yönəltməyə imkan verir: yəni onu etmək. sonsuz kiçik.

Törəmə nədir? Törəmənin tərifi.
Törəmə və diferensialın həndəsi mənası

Təbii ki, bir nöqtədə törəmənin tərifində onu aşağıdakılarla əvəz edəcəyik:

Nəyə gəldik? Və belə bir nəticəyə gəldik ki, qanuna uyğun bir funksiya üçün düzülür digər funksiya, adlanır törəmə funksiyası(və ya sadəcə törəmə).

Törəmə səciyyələndirir dəyişmə dərəcəsi funksiyaları. Necə? Fikir yazının əvvəlindən qırmızı sap kimi gedir. Bir məqamı nəzərdən keçirin domenlər funksiyaları. Verilmiş nöqtədə funksiya diferensiallaşsın. Sonra:

1) Əgər , onda funksiya nöqtəsində artır. Və açıq-aydın var interval(çox kiçik olsa belə) funksiyanın böyüdüyü nöqtəni ehtiva edir və onun qrafiki “aşağıdan yuxarıya” gedir.

2) Əgər , onda funksiya nöqtəsində azalır. Və funksiyanın azaldığı bir nöqtəni ehtiva edən bir interval var (qrafik "yuxarıdan aşağıya" gedir).

3) Əgər , onda sonsuz yaxın nöqtəyə yaxın olduqda funksiya sürətini sabit saxlayır. Bu, qeyd edildiyi kimi, funksiya-sabit və üçün baş verir funksiyanın kritik nöqtələrində, xüsusilə minimum və maksimum nöqtələrdə.

Bəzi semantika. “Fərqlənmək” feli geniş mənada nə deməkdir? Fərqləndirmək bir xüsusiyyəti ayırmaq deməkdir. Funksiyanı fərqləndirərək, funksiyanın törəməsi şəklində onun dəyişmə sürətini "seçdik". Yeri gəlmişkən, "törəmə" sözü ilə nə nəzərdə tutulur? Funksiya baş verdi funksiyasından.

Terminlər törəmənin mexaniki mənasını çox uğurla şərh edir :
Zamandan asılı olan cismin koordinatlarının dəyişmə qanununu və verilmiş cismin hərəkət sürətinin funksiyasını nəzərdən keçirək. Funksiya cisim koordinatının dəyişmə sürətini xarakterizə edir, ona görə də funksiyanın zamana görə birinci törəməsidir: . Təbiətdə “bədənin hərəkəti” anlayışı olmasaydı, olmazdı törəmə"sürət" anlayışı.

Bədənin sürətlənməsi sürətin dəyişmə sürətidir, buna görə də: . Təbiətdə “bədən hərəkəti” və “bədən hərəkətinin sürəti” ilkin anlayışları olmasaydı, olmazdı törəmə cismin sürətlənməsi anlayışı.

İndi bilirik ki, Z = +2-də N(Z) funksiyasının ani dəyişmə sürəti -0,1079968336-dır. Bu, dövr ərzində yuxarı/aşağı deməkdir, ona görə də Z = +2 olduqda N(Z) əyrisi -0,1079968336 yüksəlir. Bu vəziyyət Şəkil 3-13-də göstərilmişdir.

“Mütləq” həssaslığın ölçüsünü funksiyanın dəyişmə sürəti adlandırmaq olar. Verilmiş nöqtədə funksiyanın həssaslığının ölçüsü (“ani sürət”) törəmə adlanır.

Ay/Ax nisbətini təyin etsək, y dəyişəninin x dəyişənindəki dəyişikliklərə mütləq həssaslıq dərəcəsini ölçə bilərik. Həssaslığın belə tərifinin dezavantajı ondan ibarətdir ki, o, təkcə arqumentdəki dəyişikliyin nəzərə alındığı "ilkin" XQ nöqtəsindən deyil, həm də sürətin təyin olunduğu Dx intervalının çox qiymətindən asılıdır. . Bu çatışmazlığı aradan qaldırmaq üçün törəmə anlayışı (funksiyanın bir nöqtədə dəyişmə sürəti) tətbiq edilir. Bir nöqtədə funksiyanın dəyişmə sürətini təyin edərkən, Dx intervalını sıfıra yönəldərək XQ və xj nöqtələri bir araya gətirilir. XQ nöqtəsində f (x) funksiyasının dəyişmə sürəti və x nöqtəsində f (x) funksiyasının törəməsi adlanır.XQ nöqtəsində funksiyanın dəyişmə sürətinin həndəsi mənası ondan ibarətdir ki, XQ nöqtəsində funksiyanın qrafikinə toxunan meyl bucağı ilə müəyyən edilir. Törəmə, funksiya qrafikinə toxunanın yamacının tangensidir.

Əgər y törəməsi / funksiyasının dəyişmə sürəti kimi qəbul edilirsə, y /y dəyəri onun nisbi dəyişmə sürətidir. Buna görə də, loqarifmik törəmə (y-də)

İstiqamət üzrə törəmə - MO (ZhO, UO) nöqtəsində z - f (x, y) funksiyasının istiqamətdə dəyişmə sürətini xarakterizə edir.

Funksiyaların dəyişmə sürəti nisbi 124.188

İndiyə qədər funksiyanın dəyişmə sürətini tapmağa imkan verən funksiyanın birinci törəməsini nəzərdən keçirdik. Dəyişmə sürətinin sabit olub olmadığını müəyyən etmək üçün funksiyanın ikinci törəməsi götürülməlidir. Bu kimi işarələnir

Burada və aşağıda əsas diferensiasiya deməkdir ki, h funksiyasının h artıq təklifin artmasına nisbətən dəyişmə sürətidir).

"Mütləq" həssaslıq ölçüsü - bir funksiyanın dəyişmə sürəti (orta (dəyişikliklər nisbəti) və ya marjinal (törəmə))

Dəyərin, arqumentin, funksiyanın artımı. Funksiya dəyişmə dərəcəsi

İnterval üzrə funksiyanın dəyişmə sürəti (orta nisbət).

Sürətin belə tərifinin dezavantajı ondan ibarətdir ki, bu sürət təkcə arqumentin dəyişməsinin nəzərə alındığı x0 nöqtəsindən deyil, həm də arqumentin özündəki dəyişikliyin miqyasından asılıdır, yəni. sürətin təyin olunduğu Dx intervalının qiyməti üzrə. Bu çatışmazlığı aradan qaldırmaq üçün bir nöqtədə funksiyanın dəyişmə sürəti (ani sürət) anlayışı təqdim olunur.

Bir nöqtədə funksiyanın dəyişmə sürəti (ani sürət).

J Q nöqtəsində funksiyanın dəyişmə sürətini təyin etmək üçün x və x0 nöqtələri Ax intervalını sıfıra yönəldərək bir araya gətirilir. Davamlı funksiyanın dəyişməsi də sıfıra meyl edəcək. Bu zaman funksiyanın sıfıra meylli dəyişməsinin arqumentin sıfıra meylli dəyişməsinə nisbəti funksiyanın x0 nöqtəsində (ani sürət), daha dəqiq desək, sonsuz kiçik intervalda nisbi dəyişmə sürətini verir. nöqtəyə xd.

Məhz Dx) funksiyasının x0 nöqtəsində dəyişmə sürəti xa nöqtəsində Dx) funksiyasının törəməsi adlanır.

Təbii ki, y-nin dəyərinin dəyişmə sürətini xarakterizə etmək üçün daha sadə göstəricidən, məsələn, y-nin L-ə münasibətdə törəməsindən istifadə etmək olar. Əvəzetmənin elastikliyinə o böyük üstünlüyə malik olduğuna görə üstünlük verilir. - praktikada istifadə olunan əksər istehsal funksiyaları üçün sabitdir, yəni hansısa izokvant boyunca hərəkət edərkən nəinki dəyişmir, həm də izoqvantanın seçimindən asılı deyil.

Nəzarətin vaxtında olması o deməkdir ki, effektiv nəzarət vaxtında aparılmalıdır. Onun vaxtında olması nəzarət edilən göstəricilərin ölçülməsi və qiymətləndirilməsinin vaxt intervalının, bütövlükdə təşkilatın konkret fəaliyyəti prosesinin mütənasibliyindədir. Belə intervalın fiziki dəyəri (ölçmələrin tezliyi) nəzarət edilən göstəricilərin dəyişmə sürəti və nəzarət əməliyyatlarının həyata keçirilməsi xərcləri nəzərə alınmaqla ölçülmüş prosesin (planın) vaxt çərçivəsi ilə müəyyən edilir. Nəzarət funksiyasının ən vacib vəzifəsi təşkilatı kritik vəziyyətə gətirməzdən əvvəl sapmaları aradan qaldırmaqdır.

TV = 0-da homojen sistem üçün M = 0 5 də yox olur, belə ki, sağ hissə ifadəsi (6.20) heterojenliklə bağlı ümumi rifah funksiyasının dəyişmə sürətinə bərabərdir.

Törəmənin mexaniki mənası. x zamanla dəyişən y = f(x) funksiyası üçün y = f(xo] törəməsi XQ zamanı y-nin dəyişmə sürətidir.

y = f(x) funksiyasının nisbi dəyişmə sürəti (sürəti) loqarifmik törəmə ilə müəyyən edilir.

x dəyişənləri istehsal vasitələrinin müvafiq növü üzrə tələb və təklif arasındakı fərqin böyüklüyünü bildirir x = s - p. x(f) funksiyası zamana görə davamlı diferensiallanır. x" dəyişənləri tələb və təklif arasındakı fərqin dəyişmə sürətini bildirir. x (t) trayektoriyası tələb və təklifin dəyişmə sürətinin tələb və təklif arasındakı fərqin miqyasından asılılığını bildirir ki, bu da öz növbəsində asılıdır. Bizim vəziyyətimizdə vəziyyət fəzası (faza sahəsi) ikiölçülüdür, yəni faza müstəvisi formasına malikdir.

a kəmiyyətinin bu cür xassələri onu izah edir ki, y əvəzetmənin marjinal sürətinin dəyişmə sürəti hər hansı digər göstəricinin, məsələn, y-nin x>-ə münasibətdə törəməsinin köməyi ilə deyil, onun əsasında xarakterizə olunur. Üstəlik, əhəmiyyətli sayda funksiyalar üçün əvəzetmə elastikliyi təkcə izoklinlər boyunca deyil, həm də izokvantlar boyunca sabitdir. Beləliklə, (2.20) istehsal funksiyası üçün, izokli-

Qısa müddətli dəyişiklik sürətində çəkilə bilən bir çox hiylə var. Bu model bir dövr istifadə edir

Birinci səviyyə

Funksiya törəməsi. Hərtərəfli bələdçi (2019)

Təsəvvür edin ki, düz bir yol dağlıq ərazidən keçir. Yəni yuxarı-aşağı gedir, amma sağa-sola dönmür. Ox yol boyunca üfüqi və şaquli olaraq yönəldilirsə, yol xətti bəzi davamlı funksiyanın qrafikinə çox oxşar olacaq:

Ox, sıfır hündürlüyün müəyyən bir səviyyəsidir, həyatda biz dəniz səviyyəsindən istifadə edirik.

Belə bir yolda irəliləyərək, biz də yuxarı və ya aşağı hərəkət edirik. Həm də deyə bilərik: arqument dəyişdikdə (absis oxu boyunca hərəkət edərkən), funksiyanın qiyməti dəyişir (ordinat oxu boyunca hərəkət edir). İndi gəlin fikirləşək, yolumuzun “sıldırımlığını” necə müəyyən edək? Bu dəyər nə ola bilər? Çox sadə: müəyyən bir məsafədə irəliləyərkən hündürlük nə qədər dəyişəcək. Həqiqətən, yolun müxtəlif hissələrində, bir kilometr irəli (absis boyunca) irəliləyərək, dəniz səviyyəsinə nisbətən (ordinat boyunca) fərqli sayda metr yüksələcəyik və ya enəcəyik.

İrəli irəliləyişi ifadə edirik ("delta x" oxuyun).

Yunan hərfi (delta) riyaziyyatda "dəyişiklik" mənasını verən prefiks kimi istifadə olunur. Yəni - bu böyüklükdə dəyişiklikdir, - dəyişiklik; onda bu nədir? Düzdür, ölçüdə dəyişiklik.

Vacibdir: ifadə tək varlıq, bir dəyişəndir. Heç vaxt "x" və ya başqa hərfdən "delta"nı qoparmamalısınız! Yəni, məsələn, .

Beləliklə, biz irəlilədik, üfüqi, irəli getdik. Əgər yolun xəttini funksiyanın qrafiki ilə müqayisə etsək, onda yüksəlişi necə işarə edək? Şübhəsiz ki, . Yəni irəliləyərkən biz daha yüksəklərə qalxırıq.

Dəyəri hesablamaq asandır: əgər başlanğıcda hündürlükdə idiksə və hərəkət etdikdən sonra hündürlükdə idik. Son nöqtənin başlanğıc nöqtəsindən aşağı olduğu ortaya çıxsa, mənfi olacaq - bu o deməkdir ki, biz yüksələn deyil, azalırıq.

"Sikliyə" qayıt: bu, vahid məsafəyə irəliləyərkən hündürlüyün nə qədər (sıldırım) artdığını göstərən dəyərdir:

Tutaq ki, yolun hansısa hissəsində km irəliləyərkən yol km-lə qalxır. Sonra bu yerdəki diklik bərabərdir. Bəs yol, m irəliləyərkən, km batdı? Sonra yamac bərabərdir.

İndi bir təpənin zirvəsini düşünün. Bölmənin əvvəlini yarım kilometr yuxarıya, sonunu isə ondan yarım kilometr sonra götürsəniz, hündürlüyün demək olar ki, eyni olduğunu görə bilərsiniz.

Yəni bizim məntiqimizə görə, belə çıxır ki, buradakı maillik demək olar ki, sıfıra bərabərdir, bu, açıq-aşkar doğru deyil. Bir neçə mil məsafədə çox şey dəyişə bilər. Sıldırımın daha adekvat və dəqiq qiymətləndirilməsi üçün daha kiçik sahələr nəzərə alınmalıdır. Məsələn, bir metr hərəkət edərkən hündürlüyün dəyişməsini ölçsəniz, nəticə daha dəqiq olacaqdır. Amma hətta bu dəqiqlik də bizim üçün yetərli olmaya bilər - axı, yolun ortasında dirək varsa, biz sadəcə olaraq oradan sürüşə bilərik. O zaman hansı məsafəni seçməliyik? Santimetr? Millimetr? Daha az daha yaxşıdır!

IN həqiqi həyatən yaxın millimetrə qədər olan məsafəni ölçmək kifayətdir. Amma riyaziyyatçılar həmişə mükəmməlliyə can atırlar. Buna görə də konsepsiya belə idi sonsuz kiçik, yəni modulun dəyəri ad verə biləcəyimiz istənilən ədəddən kiçikdir. Məsələn, siz deyirsiniz: trilyonda biri! Nə qədər azdır? Və bu rəqəmi bölünürsən - və daha da az olacaq. Və s. Qiymətin sonsuz kiçik olduğunu yazmaq istəsək, belə yazırıq: (“x sıfıra meyllidir” oxuyuruq). Anlamaq çox vacibdir ki, bu rəqəm sıfıra bərabər deyil! Amma çox yaxındır. Bu o deməkdir ki, onu bölmək olar.

Sonsuz kiçik anlayışın əksi sonsuz böyükdür (). Yəqin ki, siz bərabərsizliklər üzərində işləyərkən bununla artıq qarşılaşmısınız: bu rəqəm modul baxımından ağılınıza gələn hər hansı bir rəqəmdən daha böyükdür. Mümkün olan ən böyük rəqəmi tapsanız, onu ikiyə vurun və daha çoxunu əldə edin. Sonsuzluq isə baş verənlərdən daha çoxdur. Əslində, sonsuz böyük və sonsuz kiçik bir-birinə tərsdir, yəni at və əksinə: at.

İndi yolumuza qayıdın. İdeal hesablanmış yamac yolun sonsuz kiçik bir seqmenti üçün hesablanmış yamacdır, yəni:

Qeyd edim ki, sonsuz kiçik yerdəyişmə ilə hündürlüyün dəyişməsi də sonsuz kiçik olacaq. Amma sizə xatırlatım ki, sonsuz kiçik sıfıra bərabər demək deyil. Sonsuz kiçik ədədləri bir-birinə bölsəniz, tamamilə adi bir ədəd əldə edə bilərsiniz, məsələn,. Yəni bir kiçik dəyər digərindən tam iki dəfə böyük ola bilər.

Bütün bunlar niyə? Yol, sıldırım... Mitinqə getmirik, amma riyaziyyat öyrənirik. Riyaziyyatda isə hər şey tam eynidir, yalnız fərqli adlanır.

Törəmə anlayışı

Funksiyanın törəməsi arqumentin sonsuz kiçik artımında funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətidir.

Artırma riyaziyyatda dəyişiklik deyilir. Ox boyunca hərəkət edərkən arqumentin () nə qədər dəyişdiyi deyilir arqument artımı və ilə işarələnir, ox boyunca bir məsafə irəliləyərkən funksiyanın (hündürlüyün) nə qədər dəyişdiyi deyilir funksiya artımı və qeyd olunur.

Deməli, funksiyanın törəməsi nə vaxta münasibətdir. Törəməni funksiya ilə eyni hərflə, yalnız yuxarı sağdan vuruşla işarə edirik: və ya sadəcə. Beləliklə, bu qeydlərdən istifadə edərək törəmə düsturunu yazaq:

Yolun analoqunda olduğu kimi burada da funksiya artdıqda törəmə müsbət, azaldıqda isə mənfi olur.

Bəs törəmə sıfıra bərabərdirmi? Əlbəttə. Məsələn, düz üfüqi yolda sürürüksə, sıldırım sıfırdır. Həqiqətən, hündürlük heç dəyişmir. Beləliklə, törəmə ilə: sabit funksiyanın törəməsi (sabit) sıfıra bərabərdir:

çünki belə bir funksiyanın artımı hər hansı bir funksiya üçün sıfırdır.

Təpənin zirvəsini nümunə götürək. Məlum oldu ki, seqmentin uclarını belə təşkil etmək mümkün olub müxtəlif tərəflər yuxarıdan, uclardakı hündürlüyün eyni olduğunu, yəni seqmentin oxa paralel olduğunu:

Lakin böyük seqmentlər qeyri-dəqiq ölçmə əlamətidir. Seqmentimizi özünə paralel yuxarı qaldıracağıq, sonra uzunluğu azalacaq.

Nəhayət, yuxarıya sonsuz yaxın olduğumuz zaman, seqmentin uzunluğu sonsuz dərəcədə kiçik olacaqdır. Ancaq eyni zamanda, oxa paralel olaraq qaldı, yəni uclarındakı hündürlük fərqi sıfıra bərabərdir (meyilli deyil, lakin bərabərdir). Beləliklə, törəmə

Bunu belə başa düşmək olar: ən zirvədə dayandığımız zaman, sola və ya sağa kiçik bir sürüşmə boyumuzu əhəmiyyətsiz dərəcədə dəyişir.

Sırf cəbri izahı da var: yuxarıdan solda funksiya artır, sağda isə azalır. Əvvəllər öyrəndiyimiz kimi, funksiya artdıqda törəmə müsbət, azaldıqda isə mənfi olur. Amma rəvan, sıçrayışsız dəyişir (çünki yol heç bir yerdə yamacını kəskin dəyişmir). Buna görə mənfi və arasında müsbət dəyərlər olmalıdır. Bu, funksiyanın nə artdığı, nə də azaldığı yerdə olacaq - təpə nöqtəsində.

Eyni şey vadiyə də aiddir (funksiyanın solda azaldığı və sağda artdığı sahə):

Artımlar haqqında bir az daha.

Beləliklə, arqumenti dəyərə dəyişdiririk. Hansı dəyərdən dəyişirik? O (arqument) indi nə oldu? İstənilən nöqtəni seçə bilərik və indi oradan rəqs edəcəyik.

Koordinatı olan bir nöqtəni nəzərdən keçirin. Ondakı funksiyanın dəyəri bərabərdir. Sonra eyni artımı edirik: koordinatı artırın. İndi arqument nədir? Çox asan: . İndi funksiyanın dəyəri nədir? Arqument hara gedirsə, funksiya da oraya gedir: . Bəs funksiya artımı? Yeni heç nə yoxdur: bu hələ də funksiyanın dəyişdiyi məbləğdir:

Artımları tapmaq üçün məşq edin:

Arqumentin artımı bərabər olan nöqtədə funksiyanın artımını tapın.
Eyni nöqtədə funksiya üçün.

Həll yolları:

Müxtəlif nöqtələrdə, arqumentin eyni artımı ilə funksiyanın artımı fərqli olacaq. Bu o deməkdir ki, hər bir nöqtədəki törəmənin özünəməxsusluğu var (bunu əvvəldə müzakirə etdik - müxtəlif nöqtələrdə yolun sıldırımlılığı fərqlidir). Buna görə də, törəmə yazarkən hansı nöqtəni göstərməliyik:

Güc funksiyası.

Güc funksiyası arqumentin müəyyən dərəcədə olduğu funksiya adlanır (məntiqlidir, elə deyilmi?).

Və - istənilən dərəcədə: .

Ən sadə hal eksponent olduqda:

Bir nöqtədə onun törəməsini tapaq. Törəmə tərifini xatırlayın:

Beləliklə, arqument -dən dəyişir. Funksiya artımı nədir?

Artımdır. Lakin istənilən nöqtədə funksiya öz arqumentinə bərabərdir. Buna görə də:

Törəmə belədir:

törəməsi belədir:

b) İndi düşünün kvadrat funksiya (): .

İndi bunu xatırlayaq. Bu o deməkdir ki, artımın dəyəri laqeyd edilə bilər, çünki o, sonsuz kiçikdir və buna görə də başqa bir terminin fonunda əhəmiyyətsizdir:

Beləliklə, başqa bir qaydamız var:

c) Məntiqi silsiləyə davam edirik: .

Bu ifadə müxtəlif yollarla sadələşdirilə bilər: cəminin kubunun qısaldılmış vurulması düsturundan istifadə edərək birinci mötərizəni açın və ya kubların fərqi düsturundan istifadə edərək bütün ifadəni amillərə parçalayın. Təklif olunan üsullardan hər hansı birini özünüz etməyə çalışın.

Beləliklə, mən aşağıdakıları aldım:

Və bunu bir daha xatırlayaq. Bu o deməkdir ki, biz aşağıdakıları ehtiva edən bütün şərtləri laqeyd edə bilərik:

Alırıq: .

d) Oxşar qaydalar böyük dövlətlər üçün də əldə edilə bilər:

e) Belə çıxır ki, bu qayda hətta tam ədəd deyil, ixtiyari eksponentli dərəcə funksiyası üçün ümumiləşdirilə bilər:

(2)

Qaydanı aşağıdakı sözlərlə tərtib edə bilərsiniz: "dərəcə bir əmsal kimi irəli sürülür və sonra azalır".

Bu qaydanı sonra (demək olar ki, ən sonunda) sübut edəcəyik. İndi bir neçə nümunəyə baxaq. Funksiyaların törəmələrini tapın:

(iki yolla: düsturla və törəmənin tərifindən istifadə etməklə - funksiyanın artımını hesablamaqla);

. İnanın ya inanmayın, bu güc funksiyasıdır. kimi suallarınız varsa, “Necədir? Və dərəcə haradadır? "," Mövzunu xatırlayın!
Bəli, bəli, kök də dərəcədir, yalnız kəsrdir:.
Belə ki, bizim Kvadrat kök yalnız eksponentli dərəcədir:
.
Bu yaxınlarda öyrənilmiş düsturdan istifadə edərək törəməni axtarırıq:
Bu nöqtədə yenidən aydın deyilsə, "" mövzusunu təkrarlayın !!! (mənfi göstərici ilə dərəcə haqqında)
. İndi eksponent:
İndi tərif vasitəsilə (hələ unutmusunuz?):
;
.
İndi, həmişə olduğu kimi, aşağıdakıları ehtiva edən termini laqeyd edirik:
.
. Əvvəlki halların birləşməsi: .

triqonometrik funksiyalar.

Burada bir faktdan istifadə edəcəyik ali riyaziyyat:

İfadə edərkən.

Siz sübutu institutun birinci kursunda öyrənəcəksiniz (və ora çatmaq üçün imtahandan yaxşı keçmək lazımdır). İndi mən bunu sadəcə qrafik olaraq göstərəcəyəm:

Görürük ki, funksiya mövcud olmadıqda - qrafikdəki nöqtə deşilir. Lakin dəyərə nə qədər yaxın olsa, funksiya da bir o qədər yaxındır.

Bundan əlavə, bu qaydanı kalkulyatorla yoxlaya bilərsiniz. Hə, hə, utanma, kalkulyator götür, hələ imtahanda deyilik.

Beləliklə, cəhd edək: ;

Kalkulyatoru Radians rejiminə keçirməyi unutmayın!

və s. Görürük ki, nə qədər kiçik olsa, nisbət dəyəri bir o qədər yaxındır.

a) funksiyanı nəzərdən keçirək. Həmişə olduğu kimi, artımını tapırıq:

Sinusların fərqini məhsula çevirək. Bunu etmək üçün düsturdan istifadə edirik ("" mövzusunu xatırlayın):.

İndi törəmə:

Əvəz edək: . Onda sonsuz kiçik üçün o da sonsuz kiçikdir: . ifadəsi formanı alır:

İndi biz bunu ifadə ilə xatırlayırıq. Həm də cəmində (yəni, at) sonsuz kiçik bir dəyər laqeyd qala bilsə nə olar.

Beləliklə, alırıq növbəti qayda:sinusun törəməsi kosinusa bərabərdir:

Bunlar əsas (“cədvəl”) törəmələrdir. Budur, onlar bir siyahıdadır:

Daha sonra onlara bir neçə daha əlavə edəcəyik, lakin bunlar ən vacibdir, çünki ən çox istifadə olunur.

Təcrübə:

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın;
Funksiyanın törəməsini tapın.

Həll yolları:

Əvvəlcə törəməni tapırıq ümumi görünüş, və sonra onun dəyərini əvəz edin:
;
.
Burada güc funksiyasına bənzər bir şey var. Gəlin onu gətirməyə çalışaq
normal görünüş:
.
Yaxşı, indi formuladan istifadə edə bilərsiniz:
.
.
. Eeeeeee.... Bu nədir????

Tamam, düz deyirsən, biz hələ belə törəmələri necə tapacağımızı bilmirik. Burada bir neçə növ funksiyanın birləşməsinə sahibik. Onlarla işləmək üçün daha bir neçə qaydanı öyrənməlisiniz:

Eksponent və natural loqarifm.

Riyaziyyatda belə bir funksiya var ki, onun törəməsi hər hansı biri üçün funksiyanın özünün dəyərinə bərabərdir. O, "eksponent" adlanır və eksponensial funksiyadır

Bu funksiyanın əsası sabitdir - sonsuzdur onluq, yəni irrasional ədəd (məsələn). O, "Euler nömrəsi" adlanır, buna görə də hərflə işarələnir.

Beləliklə, qayda belədir:

Yadda saxlamaq çox asandır.

Yaxşı, uzağa getməyəcəyik, dərhal tərs funksiyanı nəzərdən keçirəcəyik. Eksponensial funksiyanın tərsi nədir? Loqarifm:

Bizim vəziyyətimizdə əsas rəqəmdir:

Belə bir loqarifmə (yəni əsası olan loqarifmə) "təbii" deyilir və biz bunun üçün xüsusi qeyddən istifadə edirik: əvəzinə yazırıq.

Nəyə bərabərdir? Əlbəttə, .

Təbii loqarifmin törəməsi də çox sadədir:

Nümunələr:

Funksiyanın törəməsini tapın.
Funksiyanın törəməsi nədir?

Cavablar: Göstərici və natural loqarifm törəmə baxımından bənzərsiz sadə olan funksiyalardır. İstənilən digər baza ilə eksponensial və loqarifmik funksiyalar fərqli törəmələrə sahib olacaqlar ki, biz diferensiasiya qaydalarından keçdikdən sonra onu daha sonra təhlil edəcəyik.

Fərqləndirmə qaydaları

Hansı qaydalar? Yenə yeni termin, yenə?!...

Fərqləndirmə törəmənin tapılması prosesidir.

Yalnız və hər şey. Bu proses üçün başqa söz nədir? Proizvodnovanie deyil... Riyaziyyatın diferensialına at funksiyasının çox artımı deyilir. Bu termin Latın diferensiyası - fərqdən gəlir. Budur.

Bütün bu qaydaları çıxararkən iki funksiyadan istifadə edəcəyik, məsələn, və. Onların artımları üçün düsturlara da ehtiyacımız olacaq:

Ümumilikdə 5 qayda var.

Sabit törəmənin işarəsindən çıxarılır.

Əgər - bəzi sabit ədəd (sabit), onda.

Aydındır ki, bu qayda fərq üçün də işləyir: .

Gəlin bunu sübut edək. Qoy, ya da daha asan.

Nümunələr.

Funksiyaların törəmələrini tapın:

nöqtədə;
nöqtədə;
nöqtədə;
nöqtədə.

Həll yolları:

(törəmə bütün nöqtələrdə eynidir, çünki o, xətti funksiyadır, xatırlayırsınız?);

Məhsulun törəməsi

Burada hər şey eynidir: təqdim edirik yeni xüsusiyyət və artımını tapın:

Törəmə:

Nümunələr:

və funksiyalarının törəmələrini tapın;
Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.

Həll yolları:

Eksponensial funksiyanın törəməsi

İndi sizin bilikləriniz kifayətdir ki, hər hansı eksponensial funksiyanın törəməsinin tapılmasını öyrənmək kifayətdir, nəinki eksponent (siz hələ onun nə olduğunu unutmusunuz?).

Beləliklə, bir nömrə haradadır.

Biz artıq funksiyanın törəməsini bilirik, ona görə də funksiyamızı yeni bazaya gətirməyə çalışaq:

Bunun üçün istifadə edirik sadə qayda: . Sonra:

Yaxşı, işlədi. İndi törəməni tapmağa çalışın və bu funksiyanın mürəkkəb olduğunu unutmayın.

baş verdi?

Budur, özünüzü yoxlayın:

Düstur eksponentin törəməsinə çox bənzəyirdi: olduğu kimi qalır, yalnız bir amil meydana çıxdı, bu sadəcə bir rəqəmdir, lakin dəyişən deyil.

Nümunələr:
Funksiyaların törəmələrini tapın:

Cavablar:

Bu, sadəcə kalkulyator olmadan hesablana bilməyən bir rəqəmdir, yəni onu daha çox yazmaq üçün bir yol yoxdur. sadə forma. Buna görə də cavabda bu formada qalır.

Loqarifmik funksiyanın törəməsi

Burada da oxşardır: təbii loqarifmin törəməsini artıq bilirsiniz:

Buna görə də, fərqli əsaslı loqarifmadan ixtiyari tapmaq üçün, məsələn:

Bu loqarifmanı bazaya gətirməliyik. Loqarifmin əsasını necə dəyişdirmək olar? Ümid edirəm ki, bu formulu xatırlayırsınız:

Yalnız indi əvəzinə yazacağıq:

Məxrəc sadəcə sabit (dəyişənsiz sabit ədəd) oldu. Törəmə çox sadədir:

Eksponensial və loqarifmik funksiyaların törəmələri imtahanda demək olar ki, tapılmır, lakin onları bilmək artıq olmaz.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

Nə baş verdi " mürəkkəb funksiya"? Xeyr, bu loqarifm deyil, qövs tangensi də deyil. Bu funksiyaları başa düşmək çətin ola bilər (baxmayaraq ki, əgər loqarifm sizə çətin görünürsə, "Loqarifmlər" mövzusunu oxuyun və hər şey düzələcək), lakin riyaziyyat baxımından "mürəkkəb" sözü "çətin" mənasını vermir.

Kiçik bir konveyer təsəvvür edin: iki nəfər oturub bəzi əşyalarla bəzi hərəkətlər edir. Məsələn, birincisi şokolad çubuğunu sarğıya bükür, ikincisi isə lentlə bağlayır. Belə bir kompozit obyekt çıxır: bir lentlə bükülmüş və bağlanmış bir şokolad çubuğu. Şokolad çubuğu yemək üçün tərs ardıcıllıqla əks addımları yerinə yetirmək lazımdır.

Bənzər bir riyazi boru xətti yaradaq: əvvəlcə ədədin kosinusunu tapacağıq, sonra isə nəticədə alınan ədədi kvadratlaşdıracağıq. Beləliklə, bizə bir nömrə (şokolad) verirlər, mən onun kosinusunu (bağımını) tapıram, sonra mənim aldığımı kvadrat edirsən (lentlə bağla). Nə olub? Funksiya. Bu, mürəkkəb funksiyaya misaldır: onun dəyərini tapmaq üçün birbaşa dəyişənlə birinci hərəkəti, sonra isə birincinin nəticəsində baş verənlərlə ikinci hərəkəti yerinə yetirdikdə.

Eyni hərəkətləri tərs qaydada edə bilərik: əvvəlcə kvadrat, sonra nəticədə çıxan ədədin kosinusunu axtarıram:. Nəticənin demək olar ki, həmişə fərqli olacağını təxmin etmək asandır. Əhəmiyyətli xüsusiyyət mürəkkəb funksiyalar: hərəkətlərin sırasını dəyişdirdiyiniz zaman funksiya dəyişir.

Başqa sözlə, Mürəkkəb funksiya arqumenti başqa funksiya olan funksiyadır: .

Birinci misal üçün, .

İkinci misal: (eyni). .

Etdiyimiz son hərəkət çağırılacaq "xarici" funksiya, və birinci yerinə yetirilən hərəkət - müvafiq olaraq "daxili" funksiya(bunlar qeyri-rəsmi adlardır, mən onlardan yalnız materialı sadə dildə izah etmək üçün istifadə edirəm).

Hansı funksiyanın xarici, hansının daxili olduğunu özünüz müəyyənləşdirməyə çalışın:

Cavablar: Daxili və xarici funksiyaların ayrılması dəyişənlərin dəyişməsinə çox oxşardır: məsələn, funksiyada

İlk olaraq hansı tədbiri görəcəyik? Əvvəlcə sinusu hesablayırıq və yalnız sonra onu bir kuba qaldırırıq. Deməli, bu, xarici deyil, daxili funksiyadır.
Və orijinal funksiyası onların tərkibidir: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .

dəyişənləri dəyişirik və funksiya alırıq.

Yaxşı, indi şokoladımızı çıxaracağıq - törəməni axtarın. Prosedur həmişə tərsinə çevrilir: əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini axtarırıq, sonra nəticəni daxili funksiyanın törəməsi ilə çarpırıq. Orijinal nümunə üçün bu belə görünür:

Başqa bir misal:

Beləliklə, nəhayət rəsmi qaydanı formalaşdıraq:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

Hər şey sadə görünür, elə deyilmi?

Nümunələrlə yoxlayaq:

Həll yolları:

1) Daxili: ;

Xarici: ;

2) Daxili: ;

(sadəcə indi azaltmağa çalışmayın! Kosinusun altından heç nə çıxarılmır, xatırlayırsınız?)

3) Daxili: ;

Xarici: ;

Dərhal aydın olur ki, burada üç səviyyəli kompleks funksiya var: axı bu, artıq özlüyündə mürəkkəb funksiyadır və biz hələ də ondan kök çıxarırıq, yəni üçüncü hərəkəti edirik (şokolad qablaşdırmaya qoyun) və portfeldə lentlə). Ancaq qorxmaq üçün heç bir səbəb yoxdur: hər halda, biz bu funksiyanı həmişəki kimi eyni qaydada "açacağıq": sondan.

Yəni əvvəlcə kökü, sonra kosinusu və yalnız bundan sonra mötərizədə ifadəni fərqləndiririk. Və sonra hamısını çoxaldırıq.

Belə hallarda hərəkətləri nömrələmək rahatdır. Yəni bildiyimizi təsəvvür edək. Bu ifadənin dəyərini hesablamaq üçün hərəkətləri hansı ardıcıllıqla yerinə yetirəcəyik? Bir misala baxaq:

Hərəkət nə qədər gec yerinə yetirilərsə, uyğun funksiya bir o qədər "xarici" olacaqdır. Hərəkətlərin ardıcıllığı - əvvəlki kimi:

Burada yuvalama ümumiyyətlə 4 səviyyəlidir. Fəaliyyət istiqamətini müəyyən edək.

1. Radikal ifadə. .

2. Kök. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hamısını bir yerə toplamaq:

TÖRƏVVƏ. ƏSAS HAQQINDA QISA

Funksiya törəməsi- funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı ilə arqumentin artımına nisbəti:

Əsas törəmələr:

Fərqləndirmə qaydaları:

Sabit törəmənin işarəsindən çıxarılır:

Cəmin törəməsi:

Törəmə məhsul:

Hissənin törəməsi:

Kompleks funksiyanın törəməsi:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

"Daxili" funksiyanı təyin edirik, onun törəməsini tapırıq.
“Xarici” funksiyanı təyin edirik, onun törəməsini tapırıq.
Birinci və ikinci nöqtələrin nəticələrini çoxaldırıq.

Yaxşı, mövzu bitdi. Əgər bu sətirləri oxuyursansa, deməli, çox gözəlsən.

Çünki insanların yalnız 5%-i nəyisə təkbaşına mənimsəməyi bacarır. Əgər sona qədər oxumusunuzsa, deməli siz 5%-dəsiniz!

İndi ən vacib şey.

Bu mövzuda nəzəriyyəni başa düşdünüz. Və təkrar edirəm, bu... sadəcə superdir! Siz artıq yaşıdlarınızın böyük əksəriyyətindən daha yaxşısınız.

Problem ondadır ki, bu kifayət olmaya bilər...

Nə üçün?

üçün uğurlu çatdırılma Büdcə və ən əsası ömürlük instituta qəbul üçün Vahid Dövlət İmtahanı.

Sizi heç nəyə inandırmayacağam, sadəcə bir şey deyəcəm...

Qəbul edən insanlar yaxşı təhsil, almayanlardan daha çox qazanın. Bu statistikadır.

Ancaq bu, əsas məsələ deyil.

Əsas odur ki, onlar DAHA XOŞBƏXTDİR (belə araşdırmalar var). Bəlkə ona görə ki, onların qarşısında daha çox imkanlar açılır və həyat daha parlaq olur? Bilmirəm...

Amma özünüz düşünün...

İmtahanda başqalarından daha yaxşı olmaq və nəticədə ... daha xoşbəxt olmaq üçün nə lazımdır?

BU MÖVZUDA MƏSƏLƏLƏRİ HƏLL EDƏN ƏLİNİZİ DOLDURUN.

İmtahanda sizdən nəzəriyyə soruşulmayacaq.

Sizə lazım olacaq problemləri vaxtında həll etmək.

Əgər siz onları həll etməmisinizsə (ÇOX!), Siz mütləq haradasa axmaq bir səhv edəcəksiniz və ya sadəcə vaxtında bunu edə bilməyəcəksiniz.

İdmanda olduğu kimi - əmin olmaq üçün dəfələrlə təkrarlamaq lazımdır.

İstədiyiniz yerdə kolleksiya tapın mütləq həlləri ilə ətraflı təhlil və qərar verin, qərar verin, qərar verin!

Siz bizim tapşırıqlarımızdan istifadə edə bilərsiniz (lazım deyil) və biz onları mütləq tövsiyə edirik.

Tapşırıqlarımızın köməyi ilə kömək etmək üçün hazırda oxuduğunuz YouClever dərsliyinin ömrünü uzatmağa kömək etməlisiniz.

Necə? İki seçim var:

Bu məqalədəki bütün gizli tapşırıqlara girişi açın - 299 rub.
Dərsliyin bütün 99 məqaləsində bütün gizli tapşırıqlara girişi açın - 999 rub.

Bəli, dərslikdə 99 belə məqaləmiz var və bütün tapşırıqlar və hamısı üçün giriş var gizli mətnlər dərhal açıla bilər.

İkinci halda sizə verəcəyik simulyator "Hər bir mövzu üçün, bütün mürəkkəblik səviyyələri üçün həllər və cavabları olan 6000 tapşırıq." İstənilən mövzuda problemləri həll etmək üçün əlinizi almaq mütləq kifayətdir.

Əslində, bu, sadəcə bir simulyatordan daha çox şeydir - bütöv bir təlim proqramı. Lazım gələrsə, siz də PULSUZ istifadə edə bilərsiniz.

Bütün mətnlərə və proqramlara giriş saytın bütün ömrü boyu təmin edilir.

Yekun olaraq...

Tapşırıqlarımızı bəyənmirsinizsə, başqalarını tapın. Yalnız nəzəriyyə ilə dayanmayın.

"Başa düşdüm" və "Mən necə həll edəcəyimi bilirəm" tamamilə fərqli bacarıqlardır. Hər ikisinə ehtiyacınız var.

Problemləri tapın və həll edin!

cədvəl 2

Cədvəl 1

Dəyişən həddi anlayışı. Funksiya törəməsi. Törəmə cədvəli. Fərqləndirmə qaydaları

Funksiyaların təyin edilməsi yolları. Elementar funksiyaların növləri

Funksiyanı müəyyən etmək, arqumentin verilmiş dəyərinin uyğun olduğu qayda və ya qanunu müəyyən etmək deməkdir X funksiyanın müvafiq qiyməti müəyyən edilir saat.

düşünün funksiyanı təyin etmək yolları .

1. Analitik üsul - düsturlardan istifadə edərək funksiya təyin etmək. Məsələn, məhlulların hazırlanmasında dərman maddələrinin tabletlərdən həll edilməsi tənliyə tabe olur. m \u003d m 0 e - kt, Harada m0 Və m- müvafiq olaraq, ilkin və ləğvetmə zamanı qalan t kəmiyyət dərman maddəsi tabletdə k- bəzi sabit müsbət dəyər.

2. Qrafik üsul - bu, qrafik şəklində olan funksiyanın tapşırığıdır. Məsələn, kağız üzərində və ya kompüter monitorunun ekranında elektrokardioqrafdan istifadə edərək, ürəyin işi zamanı baş verən biopotensial fərqin dəyəri qeyd olunur. U zaman funksiyası kimi t: U = f(t).

3. Cədvəl yolu cədvəldən istifadə edərək funksiya təyinatıdır. Funksiyanı təyin etməyin bu üsulu təcrübələrdə və müşahidələrdə istifadə olunur. Məsələn, müəyyən fasilələrlə xəstənin bədən istiliyini ölçməklə bədən temperaturu qiymətlərinin cədvəlini tərtib etmək mümkündür. T zaman funksiyası kimi t. Cədvəl məlumatları əsasında bəzən arqumentlə funksiya arasındakı uyğunluğu düsturla təqribi qiymətləndirmək mümkündür. Belə düsturlar empirik adlanır, yəni. təcrübədən əldə edilmişdir.

Riyaziyyatda biri fərqləndirir ibtidai Və kompleks funksiyaları. Elementar funksiyaların əsas növləri bunlardır:

1. Güc funksiyası – y = f(x) = x n, Harada X- mübahisə n- istənilən həqiqi ədəd ( 1, 2, - 2, və s.).

2. Eksponensial funksiya – y = f(x) = a x, Harada A birdən başqa sabit müsbət ədəddir ( a > 0, a ≠ 0), Misal üçün:

y=10x(a=10);

y = e x ; y \u003d e -x (a \u003d e ≈ 2.718 ...)

Son iki funksiyanı ayırırıq, onlar adlanır eksponensial funksiyalar və ya sərgi iştirakçıları və müxtəlif fiziki, biofiziki, kimyəvi və sosial prosesləri təsvir edir. Və y = e x - artan eksponent, y=e-x azalan göstəricidir.

3. Loqarifmik funksiya hər hansı bir səbəblə A: y = log x, Harada y, verilmiş x ədədini, yəni a y \u003d x əldə etmək üçün a funksiyasının əsasının qaldırılmalı olduğu gücdür.

Baza varsa a = 10, Bu yçağırdı x-in onluq loqarifmi və işarələnmişdir y = log x; Əgər a=e, Bu yçağırdı x-in təbii loqarifmi və işarələnmişdir y \u003d 1n x.

Bəzilərini xatırlayın loqarifm qaydaları :

İki ədəd verilsin A Və b, Sonra:

· lg (a b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

Xarakteri əvəz edəndə heç nə dəyişməyəcək lg haqqında ln.

Bunu da xatırlamaqda fayda var lg 10 = 1, ln e = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Triqonometrik funksiyalar: y=sinx, y=cosx, y=tgx və s.

Budur bəzi elementar funksiyaların qrafikləri (bax. Şəkil 1):

Dəyişən dəyər elə dəyişə bilər ki, artım və ya azalma prosesində onun həddi olan hansısa sonlu sabit qiymətə yaxınlaşır.

A-prior x dəyişəninin həddi A sabit dəyəridir, x dəyişəni onun dəyişməsi prosesində ona yaxınlaşır ki, x və A arasındakı fərqin modulu, yəni. | x - A |, sıfıra meyllidir.

Limit qeydi: x → A və ya lim x = A(burada → limit keçidinin əlamətidir, latın dilindən lim məhduddur, rus dilinə tərcümə olunur - limit). Elementar bir nümunəyə nəzər salın:

x: 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), çünki

| x - A |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.

anlayışları təqdim edək arqument artımı və funksiya artımı.

Əgər dəyişən X dəyərindən dəyişir x 1əvvəl x 2, sonra fərq x 2 - x 1 \u003d Δx arqumentin artımı adlanır və Δx(delta oxuyun X) tək artım simvoludur. Müvafiq funksiya dəyişikliyi y 2 - y 1 \u003d Δy funksiya artımı adlanır. Onu funksiyanın qrafikində göstərək y = f(x)(Şəkil 2). Həndəsi olaraq arqumentin artımı əyrinin nöqtəsinin absisinin artımı ilə, funksiyanın artımı isə bu nöqtənin ordinatının artımıdır.

X arqumentinə görə verilmiş y \u003d f (x) funksiyasının törəməsi, Δy funksiyasının artımının Δx arqumentinin artımına nisbətinin həddi, sonuncu sıfıra meyl etdikdə (Δx → 0) ).

Funksiyanın törəməsi işarə olunur (oxumaq " saat vuruş") və ya , və ya dy/dx("de y tərəfindən de x"). Beləliklə, funksiyanın törəməsi y = f(x) bərabərdir:

(4)

Funksiyanın törəməsinin tapılması qaydası y = f(x) arqumentlə X bu dəyərin tərifində var: arqumentin artımını təyin etməlisiniz Δх, funksiya artımını tapın Δy, nisbət qurun və bu nisbətin həddini nə zaman tapın Δх→ 0.

Törəmənin tapılması prosesi funksiyanın diferensiallaşdırılması adlanır. Bu, ali riyaziyyatın "Diferensial hesablama" adlı bölməsidir.

Yuxarıdakı qayda ilə alınan əsas elementar funksiyaların törəmələri cədvəli aşağıda verilmişdir.

№ p / p	Funksiya növləri	Funksiya törəməsi
	Sabit y=c	y" = 0
	Güc funksiyası y = x n (n müsbət, mənfi, tam, kəsr ola bilər)	y" = nx n-1
	Eksponensial funksiya y = a x (a > 0; a ≠ 1) y = e x y \u003d e -x, y \u003d e -kx (k \u003d const)	y" = a x log a y" = e x y" \u003d - e -x, y" \u003d -k e -kx
	loqarifmik funksiya y = log a x (a > 0; a ≠ 1) y = log x	y" = y" =
	Triqonometrik funksiyalar: y = günah x y = cos x y = tg x y = ctg x	y" = cos x y" = - sin x y" = y" =

Törəmə tapılmalı olan ifadə bir neçə funksiyanın cəmi, fərqi, hasili və ya hissəsidirsə, məsələn, sən, v , z, sonra aşağıdakı fərqləndirmə qaydalarından istifadə olunur (Cədvəl 2).

Cədvəl 1 və 2-dən istifadə edərək törəmələrin hesablanmasına dair bəzi nümunələr.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x sin x)" = (x)" sin x + x (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5tgx)" = 5(tgx)" = .

fiziki məna törəmə funksiyanın dəyişmə sürətini (sürətini) təyin etməsidir.

Düzxətli hərəkət nümunəsini nəzərdən keçirək. Bədənin sürəti yolun nisbətinə bərabərdir ∆S müddət ərzində bədən tərəfindən keçdi Δt, bu zaman intervalına v = . Hərəkət qeyri-bərabərdirsə, nisbət yolun bu hissəsindəki orta sürət və hər birinə uyğun olan sürətdir. indiki an vaxt deyilir ani sürət və nisbətin həddi kimi müəyyən edilir Δt→0, yəni.

Alınan nəticəni ümumiləşdirərək, funksiyanın törəməsi olduğunu iddia etmək olar f(x) zamanla t funksiyanın ani dəyişmə sürətidir. Ani sürət anlayışı təkcə mexaniki hərəkətlərə deyil, həm də zamanla inkişaf edən istənilən proseslərə aiddir. Əzələnin daralma və ya boşalma sürətini, məhlulun kristallaşma sürətini, doldurucu materialın sərtləşmə sürətini, epidemik xəstəliyin yayılma sürətini və s.

Bütün bu proseslərdə ani sürətlənmənin dəyəri sürət funksiyasının zaman törəməsinə bərabərdir:

. (5)

Mexanikada zamana görə yolun ikinci törəməsi.

Törəmə anlayışı funksiyanın dəyişmə sürətini xarakterizə edən kəmiyyət kimi istifadə olunur müxtəlif asılılıqlar. Məsələn, uclarından biri qızdırıldıqda, metal çubuq boyunca temperaturun nə qədər tez dəyişdiyini öyrənməlisiniz. Bu halda temperatur koordinatın funksiyasıdır x, yəni. T = f(x) və kosmosda temperaturun dəyişmə sürətini xarakterizə edir.

Bəzi f(x) funksiyasının x koordinatına görə törəməsi deyilir gradient bu funksiya(lat. gradientdən olan grad abreviaturası tez-tez istifadə olunur). Müxtəlif dəyişənlərin qradiyenti həmişə yönləndirilmiş vektor kəmiyyətlərdir dəyişənlərin qiymətinin artırılması istiqamətində .

Qeyd edək ki, çoxlu kəmiyyətlərin gradientləri əsas səbəblərdən biridir metabolik proseslər bioloji sistemlərdə baş verir. Bunlar, məsələn, konsentrasiya qradiyenti, elektrokimyəvi potensial qradiyenti (μ yunanca “mu” hərfidir), elektrik potensialı qradiyentidir.

Kiçikdə Δx yazmaq olar:

. (6)