Bir dəyişənin funksiyasının törəməsi və onun tətbiqləri haqqında müəllif kursumda bu məqalənin gözlənilməz yeri çoxlarını təəccübləndirəcək. Axı, məktəbdən olduğu kimi: standart dərslik, ilk növbədə, törəmənin tərifini, onun həndəsi, mexaniki mənasını verir. Sonra tələbələr funksiyaların törəmələrini tərifinə görə tapırlar və əslində, yalnız bundan sonra diferensiasiya texnikası təkmilləşir. törəmə cədvəllər.

Amma mənim fikrimcə, aşağıdakı yanaşma daha praqmatikdir: ilk növbədə funksiyanın limitini YAXŞI DƏKƏLƏMƏK məsləhətdir və xüsusən, sonsuz kiçiklər. Fakt budur ki

törəmənin tərifi limit anlayışına əsaslanır , bu məktəb kursunda zəif nəzərə alınır. Buna görə qranit biliklərinin gənc istehlakçılarının əhəmiyyətli bir hissəsi törəmənin mahiyyətinə zəif nüfuz edir. Beləliklə, əgər siz diferensial hesablamaları yaxşı bilmirsinizsə və ya müdrik beyin illər ərzində bu yükdən uğurla xilas olubsa, lütfən, aşağıdakılardan başlayın: funksiya məhdudiyyətləri . Eyni zamanda usta / qərarlarını xatırlayın.

Eyni praktik məna ilk növbədə onun sərfəli olduğunu göstərir

törəmələri, o cümlədən törəmələri tapmağı öyrənin mürəkkəb funksiyalar. Nəzəriyyə nəzəriyyədir, amma necə deyərlər, həmişə fərqlənmək istəyirsən. Bu baxımdan, sadalanan əsas dərsləri hazırlamaq və bəlkə də olmaq daha yaxşıdır fərqləndirmə ustası hərəkətlərinin mahiyyətini belə dərk etmədən.

Məqaləni oxuduqdan sonra bu səhifədəki materiallara başlamağı məsləhət görürəm. Törəmə ilə bağlı ən sadə problemlər, burada xüsusilə funksiyanın qrafikinə toxunan məsələyə baxılır. Ancaq gecikdirilə bilər. Fakt budur ki, törəmənin bir çox tətbiqi onu başa düşməyi tələb etmir və nəzəri dərsin olduqca gec - izah etməli olduğum zaman ortaya çıxması təəccüblü deyil. artım/azalma intervallarının və ekstremumların tapılması funksiyaları. Üstəlik, o, kifayət qədər uzun müddət bu mövzuda idi " Funksiyalar və Qrafiklər”, əvvəllər yerləşdirməyə qərar verənə qədər.

Buna görə də, əziz çaydanlar, ac heyvanlar kimi törəmənin mahiyyətini udmağa tələsməyin, çünki doyma dadsız və natamam olacaq.

Funksiyanın artan, azalan, maksimum, minimumu anlayışı

Çox tədris təlimatları bəzi praktiki məsələlərin köməyi ilə törəmə anlayışına aparın və mən də maraqlı bir misal gətirdim. Təsəvvür edin ki, biz müxtəlif yollarla çata biləcəyimiz bir şəhərə səyahət etməliyik. Biz dərhal əyri dolama yollarını atırıq və yalnız düz xətləri nəzərdən keçirəcəyik. Bununla belə, düz xətt istiqamətləri də fərqlidir: şəhərə düz bir avtomobil yolu ilə gedə bilərsiniz. Və ya dağlıq bir magistralda - yuxarı və aşağı, yuxarı və aşağı. Başqa bir yol yalnız yoxuşa çıxır, digəri isə hər zaman enişlə gedir. Həyəcan axtaranlar sıldırım qaya və sıldırım yoxuşu olan dərədən keçən marşrut seçəcəklər.

Ancaq üstünlükləriniz nə olursa olsun, ərazini bilmək və ya heç olmasa onun yerini tapmaq məsləhətdir. topoqrafik xəritə. Bəs belə bir məlumat yoxdursa? Axı, məsələn, düz bir yol seçə bilərsiniz, amma nəticədə məzəli Finlərlə xizək yamacında büdrəyin. Fakt budur ki, naviqator və hətta

peyk görüntüsü etibarlı məlumat verəcəkdir. Ona görə də yolun relyefini riyaziyyat vasitəsi ilə rəsmiləşdirmək yaxşı olardı.

Bəzi yolu nəzərdən keçirin (yan görünüş):

Hər halda, sizə elementar bir faktı xatırladıram: səyahət soldan sağa baş verir. Sadəlik üçün funksiyanın nəzərdən keçirilən bölmədə davamlı olduğunu fərz edirik.

Bu qrafikin xüsusiyyətləri nələrdir?

Fasilələrlə funksiya artır, yəni onun hər bir sonrakı dəyəri əvvəlkindən böyükdür. Kobud desək, qrafik aşağıdan yuxarıya doğru gedir (təpəyə qalxırıq). Və intervalda funksiya azalır - hər növbəti dəyər əvvəlkindən azdır və qrafikimiz yuxarıdan aşağıya doğru gedir (biz yamacdan enirik).

Xüsusi məqamlara da diqqət yetirək. Bu nöqtədə biz

maksimuma çatırıq , yəni dəyərin ən böyük (ən yüksək) olacağı yolun elə bir hissəsi var. Eyni nöqtədə minimuma çatılır və dəyərin ən kiçik (ən aşağı) olduğu bir qonşuluq var.

Dərsdə daha ciddi terminologiya və təriflər nəzərdən keçiriləcək. funksiyanın ekstremumu haqqında biz daha birini öyrənərkən mühüm xüsusiyyət: arasında funksiya artır, lakin artır ilə fərqli sürət . Və diqqətinizi çəkən ilk şey interval qrafikinin yüksəlməsidir daha sərin intervaldan daha çox. Riyazi alətlərdən istifadə edərək yolun sıldırımını ölçmək mümkündürmü?

Funksiya dəyişmə dərəcəsi

İdeya budur: bir az dəyər verin

("delta x" oxuyun) , biz zəng edəcəyikarqument artımı, və gəlin yolumuzun müxtəlif nöqtələrində "sınamağa" başlayaq:

1) Ən çoxuna baxaq sol nöqtə: məsafəni keçərək, yamacı yüksəkliyə qalxırıq (yaşıl xətt). Kəmiyyət deyilir funksiya artımı, və bu halda bu artım müsbətdir (ox boyunca dəyərlər fərqi daha böyükdür

sıfır). Yolumuzun sıldırım ölçüsü olacaq nisbəti edək. Aydındır ki, bu çox konkret rəqəmdir və hər iki artım müsbət olduğundan.

Diqqət! Təyinat TƏK simvoldur, yəni siz "x"-dən "deltanı" qoparıb bu hərfləri ayrıca nəzərdən keçirə bilməzsiniz. Təbii ki, şərh funksiyanın artım simvoluna da aiddir.

Gəlin yaranan kəsrin təbiətini daha mənalı araşdıraq. Qoy

əvvəlcə biz 20 metr hündürlükdəyik (solda qara nöqtədə). Metr məsafəni (sol qırmızı xətt) qət edərək, 60 metr yüksəklikdə olacağıq. Sonra funksiyanın artımı olacaq

metr (yaşıl xətt) və:. Belə ki

Belə ki, yolun bu hissəsinin hər metrində hündürlüyü artır orta hesabla 4 metr ... dırmaşma avadanlıqlarınızı unutmusunuz? =) Başqa sözlə desək, qurulan nisbət funksiyanın ORTA DƏYİŞMƏ SƏRƏMƏsini (bu halda artım) xarakterizə edir.

Qeyd: Sözügedən nümunənin ədədi dəyərləri rəsmin nisbətlərinə yalnız təxminən uyğun gəlir.

2) İndi ən sağdakı qara nöqtədən eyni məsafəyə gedək. Burada yüksəliş daha yumşaqdır, buna görə də artım

(magenta xətt) nisbətən kiçikdir və nisbətdir

əvvəlki hal ilə müqayisədə çox təvazökar olacaq. Nisbətən desək, metr və funksiyanın böyümə sürəti

edir . Yəni burada yolun hər metrinə orta hesabla yarım metr qalxma düşür.

3) Dağ yamacında kiçik bir macəra. Gəlin yuxarıya baxaq qara nöqtə y oxunda yerləşir. Tutaq ki, bu 50 metrlik bir işarədir. Yenə məsafəni qət edirik, nəticədə özümüzü daha aşağı - 30 metr səviyyəsində tapırıq. Hərəkət yuxarıdan aşağıya (oxun "əks" istiqamətində) aparıldığı üçün final funksiyanın artımı (hündürlük) mənfi olacaq:metr (rəsmdə qəhvəyi xətt). Və bu halda biz sürətdən danışırıq

azalan funksiya: , yəni yolun hər metri üçün

Bu ərazidə hündürlük orta hesabla 2 metr azalır. Beşinci nöqtədə paltarlara diqqət yetirin.

İndi sual verək: istifadə etmək üçün "ölçmə standartının" ən yaxşı dəyəri nədir? 10 metrin çox kobud olduğu aydındır. Yaxşı bir çox qabar onlara asanlıqla uyğunlaşa bilər. Nə üçün qabar var, aşağıda dərin bir dərə ola bilər və bir neçə metrdən sonra - daha dik bir yüksəlişlə onun digər tərəfi. Beləliklə, on metr ilə biz keçən yolun bu cür hissələrinin başa düşülən xarakteristikasını əldə etməyəcəyik

münasibət.

Yuxarıdakı müzakirədən aşağıdakı nəticə çıxır: Necə az dəyər , yolun relyefini daha dəqiq təsvir edəcəyik. Üstəlik, ədalətli

Törəmə nədir?
Funksiya törəməsinin tərifi və mənası

Amma mənim nöqteyi-nəzərimdən aşağıdakı yanaşma daha praqmatikdir: ilk növbədə, YAXŞI DÜŞÜNMƏK məsləhətdir. funksiya həddi, və xüsusilə sonsuz kiçiklər. Fakt budur ki törəmənin tərifi limit anlayışına əsaslanır, bu məktəb kursunda zəif nəzərə alınır. Buna görə qranit biliklərinin gənc istehlakçılarının əhəmiyyətli bir hissəsi törəmənin mahiyyətinə zəif nüfuz edir. Beləliklə, əgər siz diferensial hesablamaları yaxşı bilmirsinizsə və ya müdrik beyin illər ərzində bu yükdən uğurla xilas olubsa, lütfən, aşağıdakılardan başlayın: funksiya məhdudiyyətləri. Eyni zamanda usta / qərarlarını xatırlayın.

Eyni praktik məna ilk növbədə onun sərfəli olduğunu göstərir törəmələri tapmağı öyrənin, o cümlədən mürəkkəb funksiyaların törəmələri. Nəzəriyyə nəzəriyyədir, amma necə deyərlər, həmişə fərqlənmək istəyirsən. Bu baxımdan, sadalanan əsas dərsləri hazırlamaq və bəlkə də olmaq daha yaxşıdır fərqləndirmə ustası hərəkətlərinin mahiyyətini belə dərk etmədən.

Məqaləni oxuduqdan sonra bu səhifədəki materiallara başlamağı məsləhət görürəm. Törəmə ilə bağlı ən sadə problemlər, burada xüsusilə funksiyanın qrafikinə toxunan məsələyə baxılır. Ancaq gecikdirilə bilər. Fakt budur ki, törəmənin bir çox tətbiqi onu başa düşməyi tələb etmir və nəzəri dərsin olduqca gec - izah etməli olduğum zaman ortaya çıxması təəccüblü deyil. artım/azalma intervallarının və ekstremumların tapılması funksiyaları. Üstəlik, o, kifayət qədər uzun müddət bu mövzuda idi " Funksiyalar və Qrafiklər”, əvvəllər yerləşdirməyə qərar verənə qədər.

Buna görə də, əziz çaydanlar, ac heyvanlar kimi törəmənin mahiyyətini udmağa tələsməyin, çünki doyma dadsız və natamam olacaq.

Funksiyanın artan, azalan, maksimum, minimumu anlayışı

Bir çox dərs vəsaitləri bəzi praktiki problemlərin köməyi ilə törəmə anlayışına gətirib çıxarır və mən də maraqlı bir nümunə ilə çıxış etdim. Təsəvvür edin ki, biz müxtəlif yollarla çata biləcəyimiz bir şəhərə səyahət etməliyik. Biz dərhal əyri dolama yollarını atırıq və yalnız düz xətləri nəzərdən keçirəcəyik. Bununla belə, düz xətt istiqamətləri də fərqlidir: şəhərə düz bir avtomobil yolu ilə gedə bilərsiniz. Və ya dağlıq bir magistralda - yuxarı və aşağı, yuxarı və aşağı. Başqa bir yol yalnız yoxuşa çıxır, digəri isə hər zaman enişlə gedir. Həyəcan axtaranlar sıldırım qaya və sıldırım yoxuşu olan dərədən keçən marşrut seçəcəklər.

Ancaq üstünlükləriniz nə olursa olsun, ərazini bilmək və ya heç olmasa onun topoqrafik xəritəsinin olması arzu edilir. Bəs belə bir məlumat yoxdursa? Axı, məsələn, düz bir yol seçə bilərsiniz, amma nəticədə məzəli Finlərlə xizək yamacında büdrəyin. Naviqatorun və hətta peyk şəklinin etibarlı məlumat verəcəyi faktı deyil. Ona görə də yolun relyefini riyaziyyat vasitəsi ilə rəsmiləşdirmək yaxşı olardı.

Bəzi yolu nəzərdən keçirin (yan görünüş):

Hər halda, sizə elementar bir faktı xatırladıram: səyahət baş verir soldan sağa. Sadəlik üçün funksiyanın olduğunu güman edirik davamlı baxılan sahədə.

Bu qrafikin xüsusiyyətləri nələrdir?

Fasilələrlə funksiyası artır, yəni onun növbəti dəyərinin hər biri daha çoxəvvəlki. Kobud desək, cədvəl gedir aşağı yuxarı(təpəyə qalxırıq). Və intervalda funksiya azalır- hər növbəti dəyər azəvvəlki və cədvəlimiz gedir yuxarıdan aşağı(yamacdan aşağı enir).

Xüsusi məqamlara da diqqət yetirək. Gəldiyimiz nöqtədə maksimum, yəni mövcuddur dəyərin ən böyük (ən yüksək) olacağı yolun belə bir hissəsi. Eyni zamanda, minimum, Və mövcuddur dəyərinin ən kiçik (ən aşağı) olduğu onun qonşuluğu belədir.

Dərsdə daha ciddi terminologiya və təriflər nəzərdən keçiriləcək. funksiyanın ekstremumu haqqında, lakin indi daha bir vacib xüsusiyyəti öyrənək: intervallarda funksiya artır, lakin artır müxtəlif sürətlərdə. Və diqqətinizi çəkən ilk şey qrafikin intervalda yüksəlməsidir daha sərin intervaldan daha çox. Riyazi alətlərdən istifadə edərək yolun sıldırımını ölçmək mümkündürmü?

Funksiya dəyişmə dərəcəsi

İdeya budur: bir az dəyər verin ("delta x" oxuyun), biz zəng edəcəyik arqument artımı, və gəlin yolumuzun müxtəlif nöqtələrində "sınamağa" başlayaq:

1) Ən sol nöqtəyə baxaq: məsafəni keçərək, yamacı yüksəkliyə qalxırıq (yaşıl xətt). Dəyər deyilir funksiya artımı, və bu halda bu artım müsbətdir (ox boyunca dəyərlər arasındakı fərq Sıfırdan yuxarı). Yolumuzun sıldırım ölçüsü olacaq nisbəti edək. Aydındır ki, çox spesifik rəqəmdir və hər iki artım müsbət olduğundan, .

Diqqət! Təyinat var BİR simvolu, yəni "x" dən "deltanı" qoparıb bu hərfləri ayrıca nəzərdən keçirə bilməzsiniz. Təbii ki, şərh funksiyanın artım simvoluna da aiddir.

Gəlin yaranan kəsrin təbiətini daha mənalı araşdıraq. Tutaq ki, əvvəlcə 20 metr hündürlükdəyik (solda qara nöqtədə). Metr məsafəni (sol qırmızı xətt) qət edərək, 60 metr yüksəklikdə olacağıq. Sonra funksiyanın artımı olacaq metr (yaşıl xətt) və: . Beləliklə, hər metrdə yolun bu hissəsi hündürlüyü artır orta 4 metr…dırmanma avadanlıqlarınızı unutmusunuz? =) Başqa sözlə desək, qurulan nisbət funksiyanın ORTA DƏYİŞMƏ SƏRƏMƏsini (bu halda artım) xarakterizə edir.

Qeyd : Sözügedən nümunənin ədədi dəyərləri rəsmin nisbətlərinə yalnız təxminən uyğun gəlir.

2) İndi ən sağdakı qara nöqtədən eyni məsafəyə gedək. Burada artım daha yumşaqdır, buna görə artım (qırmızı xətt) nisbətən kiçikdir və əvvəlki vəziyyətlə müqayisədə nisbət olduqca təvazökar olacaqdır. Nisbətən desək, metr və funksiyanın böyümə sürəti edir . Yəni burada yolun hər metri var orta yarım metr yuxarı.

3) Dağ yamacında kiçik bir macəra. Gəlin y oxunda yerləşən yuxarı qara nöqtəyə baxaq. Tutaq ki, bu 50 metrlik bir işarədir. Yenə məsafəni qət edirik, nəticədə özümüzü daha aşağı - 30 metr səviyyəsində tapırıq. Hərəkət edildiyi gündən yuxarıdan aşağı(oxun "əks" istiqamətində), sonra final funksiyanın artımı (hündürlük) mənfi olacaq: metr (rəsmdə qəhvəyi xətt). Və bu vəziyyətdə biz danışırıq çürümə dərəcəsi xüsusiyyətləri: , yəni bu hissənin yolunun hər metri üçün hündürlük azalır orta 2 metr. Beşinci nöqtədə paltarlara diqqət yetirin.

İndi sual verək: istifadə etmək üçün "ölçmə standartının" ən yaxşı dəyəri nədir? 10 metrin çox kobud olduğu aydındır. Yaxşı bir çox qabar onlara asanlıqla uyğunlaşa bilər. Nə üçün qabar var, aşağıda dərin bir dərə ola bilər və bir neçə metrdən sonra - daha dik bir yüksəlişlə onun digər tərəfi. Beləliklə, on metrlik bir nisbətlə yolun bu cür hissələrinin başa düşülən bir xüsusiyyətini əldə etməyəcəyik.

Yuxarıdakı müzakirədən aşağıdakı nəticə çıxır: dəyəri daha kiçikdir, yolun relyefini daha dəqiq təsvir edəcəyik. Bundan əlavə, aşağıdakı faktlar doğrudur:

– İstənilən üçün qaldırma nöqtələri bu və ya digər yüksəlişin hüdudlarına uyğun bir dəyər (çox kiçik də olsa) seçə bilərsiniz. Və bu o deməkdir ki, müvafiq hündürlük artımının müsbət olacağına zəmanət veriləcək və bərabərsizlik bu intervalların hər bir nöqtəsində funksiyanın böyüməsini düzgün göstərəcəkdir.

- Eynilə, hər hansı üçün yamac nöqtəsi, bu yamacda tamamilə uyğunlaşacaq bir dəyər var. Buna görə də, hündürlüyün müvafiq artımı birmənalı olaraq mənfidir və bərabərsizlik verilmiş intervalın hər bir nöqtəsində funksiyanın azalmasını düzgün göstərəcəkdir.

– Xüsusilə maraq doğuran məqam funksiyanın dəyişmə sürətinin sıfır olduğu haldır: . Birincisi, sıfır hündürlük artımı () bərabər yolun əlamətidir. İkincisi, digər maraqlı vəziyyətlər var, nümunələri şəkildə gördüyünüz. Təsəvvür edin ki, tale bizi qartalların uçduğu bir təpənin lap zirvəsinə və ya qurbağaların cırıldadığı dərənin dibinə aparıb. Hər hansı bir istiqamətdə kiçik bir addım atsanız, o zaman hündürlüyün dəyişməsi əhəmiyyətsiz olacaq və funksiyanın dəyişmə sürətinin əslində sıfır olduğunu söyləyə bilərik. Eyni nümunə nöqtələrdə müşahidə olunur.

Beləliklə, funksiyanın dəyişmə sürətini mükəmməl şəkildə xarakterizə etmək üçün heyrətamiz bir fürsətə yaxınlaşdıq. Hər şeydən sonra riyazi analiz arqumentin artımını sıfıra yönəltməyə imkan verir: , yəni onu düzəldin sonsuz kiçik.

Nəticədə başqa bir məntiqi sual yaranır: yol və onun qrafiki üçün tapmaq mümkündürmü? başqa funksiya, hansı bizə deyərdi bütün mənzillər, yoxuşlar, enişlər, zirvələr, aranlar, eləcə də yolun hər bir nöqtəsində artım / azalma sürəti haqqında?

Törəmə nədir? Törəmənin tərifi.
Törəmə və diferensialın həndəsi mənası

Zəhmət olmasa, diqqətlə oxuyun və çox tez deyil - material sadədir və hər kəs üçün əlçatandır! Bəzi yerlərdə bir şey çox aydın görünmürsə, hər zaman məqaləyə daha sonra qayıda bilərsiniz. Daha çox deyəcəyəm, bütün məqamları keyfiyyətcə başa düşmək üçün nəzəriyyəni bir neçə dəfə öyrənmək faydalıdır (məsləhət, xüsusən də "texnoloqlar" tələbələri üçün aktualdır. ali riyaziyyat tədris prosesində mühüm rol oynayır).

Təbii ki, bir nöqtədə törəmənin tərifində onu aşağıdakılarla əvəz edəcəyik:

Nəyə gəldik? Və belə bir nəticəyə gəldik ki, qanuna uyğun bir funksiya üçün düzülür digər funksiya, adlanır törəmə funksiyası(və ya sadəcə törəmə).

Törəmə səciyyələndirir dəyişmə dərəcəsi funksiyaları. Necə? Fikir yazının əvvəlindən qırmızı sap kimi gedir. Bir məqamı nəzərdən keçirin domenlər funksiyaları. Verilmiş nöqtədə funksiya diferensiallaşsın. Sonra:

1) Əgər , onda funksiya nöqtəsində artır. Və açıq-aydın var interval(çox kiçik olsa belə) funksiyanın böyüdüyü nöqtəni ehtiva edir və onun qrafiki “aşağıdan yuxarıya” gedir.

2) Əgər , onda funksiya nöqtəsində azalır. Və funksiyanın azaldığı bir nöqtəni ehtiva edən bir interval var (qrafik "yuxarıdan aşağıya" gedir).

3) Əgər , onda sonsuz yaxın nöqtəyə yaxın olduqda funksiya sürətini sabit saxlayır. Bu, qeyd edildiyi kimi, funksiya-sabit və üçün baş verir funksiyanın kritik nöqtələrində, xüsusilə minimum və maksimum nöqtələrdə.

Bəzi semantika. “Fərqlənmək” feli geniş mənada nə deməkdir? Fərqləndirmək bir xüsusiyyəti ayırmaq deməkdir. Funksiyanı fərqləndirərək, funksiyanın törəməsi şəklində onun dəyişmə sürətini "seçdik". Yeri gəlmişkən, "törəmə" sözü ilə nə nəzərdə tutulur? Funksiya baş verdi funksiyasından.

Terminlər törəmənin mexaniki mənasını çox uğurla şərh edir :
Zamandan asılı olan cismin koordinatlarının dəyişmə qanununu və verilmiş cismin hərəkət sürətinin funksiyasını nəzərdən keçirək. Funksiya cisim koordinatının dəyişmə sürətini xarakterizə edir, ona görə də funksiyanın zamana görə birinci törəməsidir: . Təbiətdə “bədənin hərəkəti” anlayışı olmasaydı, olmazdı törəmə"sürət" anlayışı.

Bədənin sürətlənməsi sürətin dəyişmə sürətidir, buna görə də: . Təbiətdə “bədən hərəkəti” və “bədən hərəkətinin sürəti” ilkin anlayışları olmasaydı, olmazdı törəmə cismin sürətlənməsi anlayışı.

Alternativ fiziki məna funksiyanın törəməsi anlayışı.

Nikolay Brylev

Öz başına düşünənlər üçün məqalə. Bilinməyənlərin köməyi ilə necə bilmək mümkün olduğunu başa düşə bilməyən və bu səbəbdən də idrak alətlərinə bilinməyən anlayışların daxil edilməsi ilə razılaşa bilməyənlər üçün: “sonsuzluq”, “sıfıra getmək”, “sonsuz kiçik”, "bir nöqtənin qonşuluğu" və s. .P.

Bu məqalənin məqsədi riyaziyyat və fizikaya çox faydalı fundamental konsepsiyanın daxil edilməsi ideyasını ləkələmək deyil. funksiyanın törəməsi anlayışları(diferensial) və onu dərindən dərk edin fiziki hiss, təbiət elminin ümumi qlobal asılılıqlarına əsaslanır. Məqsəd konsepsiyanı bəxş etməkdir törəmə funksiyası(diferensial) səbəb quruluşu və dərin məna qarşılıqlı təsir fizikası. Bu gün bu mənanı təxmin etmək mümkün deyil, çünki ümumi qəbul edilmiş konsepsiya diferensial hesablamanın şərti formal, qeyri-ciddi, riyazi yanaşmasına uyğunlaşdırılmışdır.

1.1 Funksiya törəməsinin klassik anlayışı.

Başlamaq üçün klassik halına gələn, demək olar ki, üç əsrdir mövcud olan, hamı tərəfindən istifadə olunan, ümumiyyətlə qəbul edilənlərə müraciət edək. funksiyanın törəməsinin (diferensial) riyazi anlayışı (tərifi).

Bu anlayış bütün çoxsaylı dərsliklərdə eyni şəkildə və təxminən belə izah olunur.

Qoy dəyər u kimi x arqumentindən asılıdır u = f(x). Əgər f(x ) arqument dəyərlərində iki nöqtədə sabitlənmişdir: x2, x1, , sonra miqdarları alırıq u 1 = f (x 1 ) və u 2 = f (x 2 ). İki arqument dəyərinin fərqi x 2 , x 1 arqumentin artımı adlanacaq və Δ kimi işarələnəcək x = x 2 - x 1 (buna görə də x 2=x1+ Δ x) . Arqument Δ-a dəyişibsə x \u003d x 2 - x 1, , onda funksiya funksiyanın iki dəyəri arasındakı fərq kimi dəyişdi (artdı). u 1 \u003d f (x 1), u 2 \u003d f (x 2) ) funksiyanın artımı ilə∆f. Adətən belə yazılır:

∆f= u 1 - u 2 \u003d f (x 2) - f (x 1 ) . Ya da bunu nəzərə alaraq x 2 = x 1 + Δ x , funksiyanın dəyişməsinin bərabər olduğunu yaza bilərik∆f= f (x 1 + Δx)- f (x 1 ). Və bu dəyişiklik təbii olaraq ərazidə baş verdi mümkün dəyərlər funksiyaları x2 və x1, .

Dəyərlər varsa inanılır x 2 və x 1, sonsuz yaxın bir-birinə böyüklükdə, sonra Δ x \u003d x 2 - x 1, - sonsuz kiçik.

Törəmə tərifi: Törəmə funksiyası f (x) x 0 nöqtəsində Δ funksiyasının artım nisbətinin həddi adlanır f bu nöqtədə Δx arqumentinin artımına, sonuncu sıfıra meyl etdikdə (sonsuz kiçik). Belə qeydə alınıb.

Lim Δx →0 (∆f(x0)/ Δx)=lim Δx→0 ((f (x + Δx)-f (x 0))/ Δx)=f ` (x0)

Törəmənin tapılması deyilir fərqləndirmə . Təqdim edildi diferensiallaşan funksiyanın tərifi : Funksiya f , hansısa intervalın hər bir nöqtəsində törəməsi olan, bu intervalda diferensiallanan adlanır.

1.2 Funksiya törəməsinin ümumi qəbul edilmiş fiziki mənası

Və indi törəmənin ümumi qəbul edilmiş fiziki mənası haqqında .

onun sözdə haqqında fiziki, daha doğrusu psevdofiziki və həndəsi mənaları da riyaziyyat üzrə istənilən dərslikdə oxumaq olar (material analizi, diferensial hesab). Mövzu ilə bağlı onların məzmununu qısaca xülasə edirəm onun fiziki təbiəti haqqında:

Törəmənin fiziki mənası x `(t ) davamlı funksiyadan x (t) t 0 nöqtəsində Δ arqumentinin dəyişməsi şərti ilə funksiyanın qiymətinin ani dəyişmə sürətidir. t sıfıra meyl edir.

Və bunu tələbələrə izah etmək fiziki məna müəllimlər, məsələn, belə edə bilərlər.

Təsəvvür edin ki, bir təyyarədə uçursunuz və əlinizdə bir saat var. Uçarkən təyyarənin sürətinə bərabər sürətiniz varmı?, - müəllim auditoriyaya müraciət edir.

Bəli, tələbələr cavab verir.

Və saatınızdakı hər an sizin və təyyarənin sürəti nədir?

Təyyarənin sürətinə bərabər sürət!, - yaxşı və əla şagirdlər bir ağızdan cavab verirlər.

Doğrudan da yox, müəllim deyir. - Sürət, fiziki bir anlayış olaraq, bir təyyarənin vaxt vahidinə (məsələn, bir saatda (km / saat)) qət etdiyi yoldur və saatınıza baxdığınız zaman cəmi bir an keçmişdir. Beləliklə, ani sürət (bir anda qət edilən məsafə) təyyarənin zamanla keçdiyi yolu təsvir edən funksiyanın törəməsidir. Ani sürət - bu törəmənin fiziki mənasıdır.

1.3 Funksiya törəməsinin riyazi anlayışının formalaşması metodologiyasının ciddiliyi məsələləri.

A tamaşaçıtəhsil sisteminə həlim alışmış tələbələr,dərhal və tamamiləşübhəli həqiqətləri öyrənmək, bir qayda olaraq, müəllimə haqqında daha çox sual vermir törəmə anlayışı və fiziki mənası. Amma tədqiqatçı, dərin və müstəqil düşünən insan bunu ciddi elmi həqiqət kimi mənimsəyə bilməz. O, şübhəsiz ki, bir sıra suallar verəcək, onlara açıq-aydın heç bir rütbəli müəllimdən əsaslandırılmış cavab gözləməyəcək. Suallar aşağıdakı kimidir.

1. "Dəqiq" elmin - riyaziyyatın dəqiq (düzgün, elmi, obyektiv dəyəri, səbəb mahiyyəti olan) anlayışları (ifadələri) bunlardır: an - sonsuz kiçik dəyər, sıfıra can atmaq, sonsuzluğa can atmaq, kiçiklik, sonsuzluq, istək? Necə olar bilmək dəyişikliyin miqyasında bəzi varlıqlar, bilinməyən anlayışlarla fəaliyyət göstərir, heç bir böyüklük var? Daha çox Böyük Aristotel (e.ə. 384-322) "FİZİKA" traktatının 4-cü fəslində qədim zamanlardan belə yayımlamışdır: “Əgər sonsuz, sonsuz olduğu üçün bilinməzdirsə, kəmiyyət və ya böyüklük baxımından sonsuz bilinməzdir, nə qədər böyükdür və natura etibarilə sonsuz olan bilinməzdir, onun keyfiyyəti nədir. Ondan əmələ gələnləri [şeyləri] bilmək qeyri-mümkündür: biz yalnız o zaman mürəkkəb bir şeyi bildiyimizə inanırıq ki, onun nədən və neçə [başlanğıcdan] ibarət olduğunu öyrənirik...” Aristotel , "Fizika", 4 ch.

2. Necə olar törəmə fiziki məna daşıyır ani sürət fiziki məfhum deyilsə, riyaziyyatın çox şərti, “qeyri-dəqiq” anlayışıdırsa, çünki bu funksiyanın həddi, həddi isə şərti riyazi anlayışdırsa?

3. Nə üçün törəmənin riyazi tərifində yalnız bir xassəyə - koordinata malik olan nöqtənin riyazi anlayışı (başqa xassələri olmayan: ölçü, sahə, interval) nöqtənin qonşuluğu anlayışı ilə əvəz olunur ki, bu da faktiki olaraq, interval, yalnız qeyri-müəyyən miqyasda. Çünki törəmə anlayışında Δ anlayışları və kəmiyyətlər x = x 2 - x 1 və x 0.

4. Düzgün ya ümumiyyətlə fiziki məna fiziki mənası olmayan riyazi anlayışlarla izah edin?

5. niyə səbəblilik (funksiyası), səbəbdən asılı olaraq (arqument, xüsusiyyət, parametr) özü olmalıdır miqyasında müəyyən edilmiş son beton limit səbəbin miqyasında böyük bir dəyişikliyə malik olmayan qeyri-müəyyən kiçik dəyişikliklər (nəticələr)?

6. Riyaziyyatda törəməsi olmayan funksiyalar var (hamar olmayan analizdə diferensiallaşdırılmayan funksiyalar). Bu o deməkdir ki, bu funksiyalarda onun arqumenti (parametri, xassəsi) dəyişdikdə funksiya (riyazi obyekt) dəyişmir. Ancaq təbiətdə elə bir cisim yoxdur ki, öz xassələri dəyişdikdə dəyişməsin. Bəs nə üçün riyaziyyat kainatın əsas səbəb-nəticə əlaqələrini nəzərə almayan riyazi modeldən istifadə etmək kimi azadlıqları təmin edə bilir?

cavab verəcəyəm. Təklif olunan, riyaziyyatda mövcud olan klassik konsepsiyada - ani sürət, törəmə, fiziki və ümumiyyətlə elmi, düzgün məna yoxdur və bunun üçün istifadə olunan anlayışların qeyri-elmi yanlışlığı və bilinməməsi ilə bağlı ola bilməz! “Sonsuzluq” məfhumunda, “ani” anlayışında, “sıfıra və ya sonsuzluğa can atmaq” anlayışında yoxdur.

Ancaq müasir fizika və riyaziyyatın boş anlayışlarından (sıfıra meyl, sonsuz kiçik dəyər, sonsuzluq və s.)

TÖRƏMƏ FUNKSİYASI KONSEPSİYASININ FİZİKİ MƏNASI VAR!

İndi müzakirə ediləcək şey budur.

1.4 Törəmənin həqiqi fiziki mənası və səbəb-nəticə quruluşu.

Qotfrid Leybniz (1646-1716) və onun davamçıları tərəfindən hələ də asılmış “əsrlik əriştənin qalın təbəqəsini qulaqlarınızdan silkələyin” fiziki mahiyyətini başa düşmək üçün, həmişə olduğu kimi, metodologiyaya müraciət etmək lazımdır. bilik və ciddi əsas prinsiplər. Düzdür, qeyd etmək lazımdır ki, hökm sürən relativizm səbəbindən hazırda elmdə bu prinsiplərə əməl olunmur.

İcazə verin, qısaca danışım.

Dərin və səmimi möminlər İsaak Nyuton (1643-1727) və Qotfrid Leybnisə görə, cisimlərin dəyişdirilməsi, onların xassələrinin dəyişdirilməsi Uca Tanrının iştirakı olmadan baş verməmişdir. Hər hansı bir təbiət alimi tərəfindən Qüdrətli dəyişkənlik mənbəyinin tədqiqi o dövrdə güclü bir kilsə tərəfindən təqiblərlə dolu idi və özünü qorumaq üçün həyata keçirilmirdi. Ancaq artıq 19-cu əsrdə təbiətşünaslar bunu anladılar HƏR OBYEKTİN XÜSUSİYYƏTLƏRİNİN DƏYİŞMƏSİNİN SƏBƏBİ MƏHİYYƏTİ - QARŞILIQLAR. "Qarşılıqlı əlaqə onun tam inkişafında qoyulmuş səbəb əlaqəsidir", qeyd etdi Hegel (1770-1831) “Ən yaxın şəkildə qarşılıqlı təsir, ehtimal olunan, bir-birini şərtləndirən maddələrin qarşılıqlı səbəb əlaqəsi kimi görünür; hər biri digərinə nisbətən həm aktiv, həm də passiv maddədir. . F. Engels (1820-1895) qeyd etdi: “Müasir təbiətşünaslıq nöqteyi-nəzərindən bütövlükdə hərəkət edən (dəyişən) materiyanı düşündüyümüz zaman qarşımıza çıxan ilk şey qarşılıqlı təsirdir... Beləliklə, təbiətşünaslıq təsdiq edir ki, ... qarşılıqlı təsir əsl causa finalisdir. şeylərin (son kök səbəbi). Biz bu qarşılıqlı əlaqə haqqında bilikdən kənara çıxa bilmərik, çünki bunun arxasında bilmək üçün başqa heç nə yoxdur. Buna baxmayaraq, dəyişkənliyin əsas səbəbini rəsmi şəkildə həll edərək, 19-cu əsrin parlaq rəhbərlərindən heç biri təbiət elminin binasını yenidən qurmağa başlamadı.Nəticədə, bina olduğu kimi qaldı - əsaslı "çürük" ilə. Nəticədə təbiət elminin əsas anlayışlarının (enerji, qüvvə, kütlə, yük, temperatur, sürət, impuls, ətalət və s.) böyük əksəriyyətində səbəb-nəticə quruluşu (qarşılıqlı təsir) hələ də yoxdur. funksiyanın törəməsinin riyazi anlayışı- təsvir edən riyazi model kimi " ani dəyişiklik miqdarı" obyektin səbəb parametrindəki "sonsuz kiçik" dəyişiklikdən. Hətta məlum dörd fundamental qarşılıqlı əlaqəni (elektromaqnit, qravitasiya, güclü, zəif) birləşdirən qarşılıqlı təsirlər nəzəriyyəsi hələ yaradılmayıb. İndi o, artıq daha çox "biçilib" və hər yerdə "tıxaclar" sürünür. Təcrübə - həqiqətin meyarı, universal və qlobal olduğunu iddia edən belə bir bina üzərində qurulmuş bütün nəzəri modelləri tamamilə pozur. Buna görə də, təbiət elminin binasını yenidən qurmaq lazım olacaq, çünki "üzmək üçün başqa yer yoxdur", elm çoxdan "poke" üsulu ilə inkişaf edir - axmaq, bahalı və səmərəsiz. Gələcəyin fizikası, 21-ci əsrin və sonrakı əsrlərin fizikası qarşılıqlı təsirlərin fizikasına çevrilməlidir. Fizikada isə sadəcə olaraq yeni fundamental anlayışı – “hadisə-qarşılıqlı əlaqəni” təqdim etmək lazımdır. Eyni zamanda, müasir fizika və riyaziyyatın əsas anlayışları və əlaqələri üçün əsas təməl verilir və yalnız bu halda kök düsturu olur."causa finalis" (son ilk səbəb) düstur praktikada işləyən bütün əsas düsturları əsaslandırmaq. Dünya sabitlərinin mənası və daha çox şey aydınlaşdırılır. İndi sizə, əziz oxucu, göstərəcəyəm.

Belə ki, problemin formalaşdırılması.

Modeli təsvir edək. Ölçüsü və təbiəti ilə tanınan mücərrəd bir idrak obyekti olsun (biz onu işarə edirik -u) müəyyən mahiyyəti (ölçüsü) və böyüklüyü olan nisbi tamdır. Obyekt və onun xassələri səbəb sistemidir. Obyekt dəyər baxımından onun xassələrinin, parametrlərinin dəyərindən, ölçüsündə isə ölçüsündən asılıdır. Buna görə də səbəb parametri - x, təhqiqat parametri isə - u ilə işarələnəcək. Riyaziyyatda belə səbəb əlaqəsi formal olaraq onun xassələrindən - u = f (x) parametrlərindən funksiya (asılılıq) ilə təsvir olunur. Dəyişən parametr (obyektin xassəsi) funksiyanın dəyərinin dəyişməsinə səbəb olur - nisbi tam ədəd. Üstəlik, bütövün (sayın) obyektiv olaraq müəyyən edilmiş dərk edilmiş dəyəri onun ayrı-ayrı hissəsinə münasibətdə əldə edilən nisbi dəyərdir (bütün bir obyektiv ümumi qəbul edilmiş vahid standarta - u at, Vahid standart rəsmi dəyərdir, lakin ümumiyyətlə obyektiv müqayisəli ölçü kimi qəbul edilir.

Sonra u =k*u mərtəbə . Parametrin (xassənin) obyektiv dəyəri parametrin (xassənin) vahid hissəsinə (standartına) münasibətidir -x= i* x bu. Tam ədədin ölçüləri və parametrin ölçüsü və onların vahid standartları eyni deyil. Oranlar k , iədədi olaraq u, x-ə bərabərdir, çünki u və istinad dəyərlərix busubaydırlar. Qarşılıqlı təsirlər nəticəsində parametr dəyişir və bu səbəbli dəyişiklik nəticə etibarilə funksiyanın (nisbi bütöv, obyekt, sistem) dəyişməsinə səbəb olur.

Müəyyən etmək tələb olunur formal obyektin dəyişməsinin böyüklüyünün qarşılıqlı təsirlərdən ümumi asılılığı - bu dəyişikliyin səbəbləri. Problemin bu ifadəsi doğru, səbəb, səbəb (F.Bekona görə) ardıcıl, yanaşmanı əks etdirir. qarşılıqlı təsir fizikası.

Qərar və nəticələr.

Qarşılıqlı təsir ümumi təkamül mexanizmidir - dəyişkənliyin səbəbi. Əslində qarşılıqlı təsir nədir (qısa məsafəli, uzun mənzilli)? Qarşılıqlı təsirin ümumi nəzəriyyəsindən bəri və nəzəri model obyektlərin qarşılıqlı əlaqəsi, təbiət elmində mütənasib xassələrin daşıyıcıları hələ də yoxdur, biz yaratmalı olacağıq.(bu barədə ətraflı).Amma düşünən oxucu bilmək istədiyi üçün törəmənin əsl fiziki mahiyyəti haqqında dərhal və indi, onda biz törəmənin mahiyyətini anlamaq üçün bu işdən yalnız qısa, lakin ciddi və zəruri nəticələrlə idarə edəcəyik.

“Obyektlərin istənilən, hətta ən mürəkkəb qarşılıqlı əlaqəsi elə bir zaman və məkan miqyasında (zamanla genişlənmiş və koordinat sistemində elə şəkildə göstərilmişdir) göstərilə bilər ki, zamanın hər anında, məkanın müəyyən bir nöqtəsində. , yalnız iki obyekt, iki mütənasib xassə daşıyıcısı qarşılıqlı təsir göstərəcək.Və bu anda onlar yalnız iki mütənasib xassələri ilə qarşılıqlı əlaqədə olacaqlar.

« Hər hansı bir obyektin müəyyən xarakterli hər hansı xassəsinin (parametrinin) hər hansı (xətti, qeyri-xətti) dəyişməsi formal məkan və zamana uyğun olaraq eyni xarakterli hadisələr-qarşılıqlı təsirlər nəticəsində (nəticəsində) parçalana (təqdim edilə bilər) müvafiq olaraq xətti və ya qeyri-xətti (vahid və ya qeyri-bərabər). Eyni zamanda, hər bir elementar, vahid hadisə-qarşılıqlı təsirdə (yaxın qarşılıqlı təsir) xassə xətti olaraq dəyişir, çünki dəyişikliyin yeganə səbəbi - elementar mütənasib qarşılıqlı təsir (və buna görə də bir dəyişənin funksiyası var) ilə bağlıdır. ... Müvafiq olaraq, qarşılıqlı təsirlər nəticəsində hər hansı dəyişiklik (xətti və ya qeyri-xətti), formal məkanda və zamanda xətti və ya qeyri-xətti olaraq sonrakı elementar xətti dəyişikliklərin cəmi kimi təqdim edilə bilər.”

« Eyni səbəbdən, istənilən qarşılıqlı təsir dəyişmə kvantlarına (bölünməz xətti hissələrə) parçalana bilər. İstənilən təbiətli (ölçülü) elementar kvant verilmiş təbiətə (ölçə) uyğun olaraq elementar hadisə-qarşılıqlı təsirin nəticəsidir. Kvantın böyüklüyü və ölçüsü qarşılıqlı təsir göstərən xassə və bu xüsusiyyətin təbiəti ilə müəyyən edilir. Məsələn, topların ideal, tamamilə elastik toqquşması ilə (istilik və digər enerji itkiləri nəzərə alınmadan) toplar öz momentlərini (mütənasib xassələri) dəyişdirirlər. Bir topun impulsunun dəyişməsi xətti enerjinin bir hissəsidir (ona verilmiş və ya ondan alınmışdır) - bucaq momentumunun ölçüsünə malik bir kvant var. Sabit impuls dəyərləri olan toplar qarşılıqlı təsir göstərirsə, onda hər hansı bir müşahidə edilən qarşılıqlı təsir intervalında hər bir topun bucaq momentum dəyərinin vəziyyəti "icazə verilən" dəyərdir (kvant mexanikasının baxışlarına bənzətməklə).»

Fiziki və riyazi formalizmdə hər hansı bir xüsusiyyətin istənilən vaxtda və məkanın istənilən nöqtəsində (sadəlik üçün xətti, bir koordinatı götürək) yazı ilə ifadə edilə bilən qiymətə malik olması ümumi qəbul edilmişdir.

(1)

ölçüsü haradadır.

Bu rekord, digər şeylər arasında, mahiyyəti və mürəkkəb ədədin dərin fiziki mənası, müstəvidə bir nöqtə kimi ümumi qəbul edilmiş həndəsi təsvirdən (Qaussa görə) fərqlidir..( Qeyd. müəllif)

Öz növbəsində, (1) bəndində qeyd olunan dəyişiklik modulu qarşılıqlı təsir hadisələri nəzərə alınmaqla, aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər.

(2)

fiziki məna Təbiət elminin ən məşhur əlaqələrinin çoxlu sayda əsası olan kök düstur ondan ibarətdir ki, zaman intervalında və homojen xətti (tək koordinatlı) fəza intervalında - mütənasib hadisələr - qısa diapazonlu funksiyalarına uyğun olaraq zaman və məkanda izləyən eyni xarakterli qarşılıqlı təsirlər - hadisələrin məkanda paylanması - və zaman. Hadisələrin hər biri bəzilərinə dəyişdi. Deyə bilərik ki, müəyyən bir məkan və zaman intervalında qarşılıqlı təsir obyektlərinin homojenliyi mövcud olduqda, söhbət bəziləri haqqında elementar dəyişmənin sabit, xətti, orta qiyməti - törəmə dəyər dəyişikliyin miqyası haqqında , qarşılıqlı təsir mühiti üçün xarakterik olan və ətraf mühiti və müəyyən xarakterli (ölçülü) qarşılıqlı təsir prosesini xarakterizə edən formal təsvir edilmiş funksiya. Nəzərə alsaq ki, ola bilər müxtəlif növlər hadisələrin məkan və zamanda paylanma funksiyaları , onda dəyişən məkan-zaman ölçüləri y var paylama funksiyalarının ayrılmaz hissəsi kimivaxtında hadisələr və boşluq , yəni [zaman - t] və[ koordinat - x ] k gücündə ola bilər(k - sıfıra bərabər deyil).

Əgər kifayət qədər homojen bir mühitdə hadisələr arasında orta vaxt intervalının qiymətini - , hadisələr arasında orta məsafə intervalının qiymətini - təyin etsək, onda yaza bilərik ki, zaman və məkan intervalında hadisələrin ümumi sayı. bərabərdir

(3)

Bu fundamental rekord(3) təbiət elminin əsas məkan-zaman eyniliklərinə (Maksvellin elektrodinamika, hidrodinamika, dalğa nəzəriyyəsi, Huk qanunu, Plankın enerji düsturu və s.) uyğundur və fiziki və riyazi konstruksiyaların məntiqi düzgünlüyünün əsl kök səbəbidir. . Bu giriş (3) riyaziyyatda məşhur olan "ortanın teoremi" ilə uyğundur. (3) nəzərə alaraq (2) yenidən yazaq.

(4) - vaxt nisbətləri üçün;

(5) - məkan münasibətləri üçün.

Bu tənliklərdən (3-5) belə çıxır ümumi hüquq qarşılıqlı əlaqələr:

obyektdə (xassədə) hər hansı dəyişikliyin dəyəri ona səbəb olan onunla mütənasib olan hadisələrin-qarşılıqlı təsirlərin (yaxın qarşılıqlı təsirlərin) sayı ilə mütənasibdir. Eyni zamanda, dəyişmənin xarakteri (zaman və məkanda asılılıq növü) bu hadisələrin zaman və məkanda ardıcıllığının xarakterinə uyğun gəlir.

Aldıq təbiət elminin ümumi əsas nisbətləri xətti məkan və zaman üçün sonsuzluq anlayışından təmizlənmiş, sıfıra olan istəklər, ani sürət və s. Eyni səbəbdən, sonsuz kiçik dt və dx təyinatları eyni səbəbdən istifadə edilmir. Onların yerinə sonlu Δti və Δxi . Bu ümumiləşdirmələrdən (2-6) belə çıxır:

- törəmə (diferensial) (4) və qradiyentin (5), həmçinin "dünya" sabitlərinin ümumi fiziki mənası, bir hadisə ilə funksiyanın (obyektin) orta (orta) xətti dəyişməsinin dəyərləri kimi -müəyyən ölçüyə (təbiətə) malik olan arqumentin (xassənin) digər obyektlərin mütənasib (eyni xarakterli) xassələri ilə qarşılıqlı əlaqəsi. Dəyişikliyin böyüklüyünün onu başlatan hadisə-qarşılıqlı təsirlərin sayına nisbəti əslində obyektin onun xassəsindən səbəb asılılığını əks etdirən funksiyanın törəməsinin qiymətidir.

; (7) - funksiyanın törəməsi

; (8) - funksiya qradiyenti

- inteqralın fiziki mənası, kimi hadisələr zamanı funksiyanın dəyərlərinin cəmi arqumentlə dəyişir

; (9)

- sonlu artımlar üçün Laqranj teoreminin əsaslandırılması (sübut və başa düşülən fiziki məna)(sonlu artımların düsturları), bir çox cəhətdən diferensial hesablama üçün əsasdır. Çünki xətti funksiyalar və onların inteqrallarının qiymətləri ilə (4)(5) ifadələrində yer alır. Sonra

(10)

(10.1)

Formula (10.1) -dir əslində sonlu artımlar üçün Laqranj düsturu [ 5].

Obyekti xassələrinin (parametrlərinin) dəsti ilə təyin edərkən onun xassələrinin (parametrlərinin) dəyişkənliyindən asılı olaraq obyektin dəyişkənliyi üçün oxşar asılılıqları əldə edirik və aydınlaşdırırıq. fiziki funksiyanın qismən törəməsinin mənası bir neçə dəyişən parametrlər.

(11)

Taylor düsturu həm də klassik hala gələn bir dəyişənli funksiya üçün,

formasına malikdir

(12)

Bir funksiyanın (formal səbəb sistemi) dəyişməsini bərabər olan sıraya parçalanmasını təmsil edir.

eyni xarakterli hadisələrin ümumi axınının müxtəlif aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olan alt axınlara parçalanması prinsipinə uyğun olaraq komponentlərə parçalanır. Hər bir alt axın məkanda və ya zamanda hadisələrin ardıcıllığının xəttiliyini (qeyri-xəttiliyini) xarakterizə edir. Budur Teylor düsturunun fiziki mənası . Beləliklə, məsələn, Taylor düsturunun birinci termini zaman (məkan) üzrə xətti sonrakı hadisələrin dəyişməsini müəyyən edir.

. İkinci saat qeyri-xətti aşağıdakı hadisələrə baxmaq və s.

- sabit dəyişmə sürətinin (hərəkətin) fiziki mənası[m/s], dəyərin (koordinatların, yolların) tək xətti yerdəyişməsi (dəyişikliyi, artımı) mənasını daşıyır, xətti ardıcıl olaraq sonrakı hadisələrlə.

(13)

Bu səbəbdən sürət formal olaraq seçilmiş koordinat sistemindən və ya zaman intervalından səbəb-nəticə asılılığı deyil. Sürət koordinatların dəyişməsinə səbəb olan hadisələrin zaman və məkanda ardıcıllıq funksiyasından (paylanmasından) qeyri-rəsmi asılılıqdır.

(14)

Və hər hansı bir mürəkkəb hərəkət komponentlərə parçalana bilər, burada hər bir komponent aşağıdakı xətti və ya qeyri-xətti hadisələrdən asılıdır. Bu səbəbdən nöqtə kinematikası (nöqtə tənliyi) Laqranj və ya Taylor düsturuna uyğun olaraq genişləndirilir.

Məhz hadisələrin xətti ardıcıllığı qeyri-xəttiyə dəyişdikdə sürət sürətlənməyə çevrilir.

- sürətlənmənin fiziki mənası- , bu yerdəyişməyə səbəb olan hadisələrin-qarşılıqlı təsirlərin qeyri-xətti ardıcıllığı ilə ədədi olaraq tək yerdəyişməyə bərabər olan qiymət kimi . Orada, və ya . Eyni zamanda, hadisələrin qeyri-xətti ardıcıllığı (hadisələrin ardıcıllığı sürətinin xətti dəyişməsi ilə) zamanı ümumi yerdəyişmə bərabərdir (15) - məktəbdən məlum olan düstur

- cismin sərbəst düşmə sürətinin fiziki mənası- , sabit bir dəyər olaraq, cismə təsir edən xətti qüvvənin nisbətinə ədədi olaraq bərabər (əslində, "ani" xətti yerdəyişmə ), sonrakı hadisələrin qeyri-xətti sayı ilə əlaqələndirilir - ətraf mühitlə qarşılıqlı əlaqə formal vaxtda bu qüvvəyə səbəb olur.

Müvafiq olaraq, ədədə bərabər bir dəyər qeyri-xətti aşağıdakı hadisələr və ya əlaqə - adını aldı Bədən çəkisi və dəyəri - Bədən çəkisi , istirahətdə olan bədənə (dəstəkdə) təsir edən qüvvələr kimi.Yuxarıdakıları izah edək, çünki geniş istifadə olunan, kütlənin əsas fiziki anlayışı müasir fizikada heç bir qarşılıqlı təsirdən səbəbli şəkildə qurulmur. Fizika isə cisimlərin daxilindəki müəyyən reaksiyalar (fiziki qarşılıqlı təsirlər) zamanı kütlələrinin dəyişməsi faktlarını bilir. Məsələn, radioaktiv parçalanma zamanı maddənin ümumi kütləsi azalır.Bir cisim Yer səthinə nisbətən sakit olduqda, hadisələrin ümumi sayı - bu cismin hissəciklərinin qradientli qeyri-homogen mühitlə (başqa cür cazibə sahəsi adlanır) qarşılıqlı təsiri dəyişmir. Və bu o deməkdir ki, bədənə təsir edən qüvvə dəyişmir və ətalət kütləsi bədənin cisimlərinin və ətraf mühitin cisimlərinin baş verən hadisələrin sayına mütənasibdir, qüvvənin sabit sürətlənməsinə nisbətinə bərabərdir. .

Cism qravitasiya sahəsində hərəkət etdikdə (düşərkən) ona təsir edən dəyişən qüvvənin dəyişən hadisələrin sayına nisbəti də sabit qalır və nisbət - qravitasiya kütləsinə uyğundur. bu nəzərdə tutur ətalət və qravitasiya kütləsinin analitik eyniliyi. Cism Yer səthinə qeyri-xətti, lakin üfüqi (Yerin qravitasiya sahəsinin sferik ekvipotensial səthi boyunca) hərəkət etdikdə, onda qravitasiya sahəsinin bu trayektoriyada qradiyenti yoxdur. Ancaq bədənə təsir edən hər hansı bir qüvvə bədəni həm sürətləndirən, həm də yavaşlatan hadisələrin sayına mütənasibdir. Yəni üfüqi hərəkət zamanı bədənin hərəkət səbəbi sadəcə olaraq dəyişir. Və hadisələrin qeyri-xətti dəyişən sayı cismə sürətlənmə verir və (Nyutonun 2-ci qanunu). Hadisələrin xətti ardıcıllığı ilə (həm sürətləndirici, həm də yavaşlayan) bədənin sürəti sabitdir və fiziki kəmiyyət belə hadisələr ardıcıllığı ilə fizikaya impuls deyilir.

- Bucaq momentumunun fiziki mənası, zamanla xətti olaraq izləyən hadisələrin təsiri altında bədənin hərəkəti kimi.

(16)

- Elektrik yükünün fiziki mənası sahənin nöqtəsində "yüklənmiş" cismə təsir edən qüvvənin (Lorentz qüvvəsi) sahənin nöqtəsinin yükünün dəyərinə nisbəti kimi sahəyə daxil edilən cisim. Çünki qüvvə sahəyə daxil edilən cismin və sahə obyektinin mütənasib xassələrinin qarşılıqlı təsirinin nəticəsidir. Qarşılıqlı təsir hər ikisinin bu mütənasib xassələrinin dəyişməsində ifadə olunur. Hər bir qarşılıqlı təsir nəticəsində cisimlər bir-birini dəyişdirərək, onların dəyişmə modullarını mübadilə edirlər ki, bu da fəza intervalında təsir edən qüvvənin törəməsi kimi onlara təsir edən “ani” qüvvənin dəyəridir. Lakin müasir fizikada xüsusi bir maddə növü olan sahənin, təəssüf ki, yükü yoxdur (onda yükdaşıyıcı cisimlər yoxdur), lakin fərqli bir xüsusiyyətə malikdir - intervaldakı gərginlik (potensiallar (yüklər) fərqi). müəyyən bir boşluqda). Beləliklə, doldurmaq onun böyüklüyündə yüklənmiş cismə təsir edən qüvvənin verilmiş nöqtədəki sahənin gücündən ("ani" qüvvədən) neçə dəfə fərqləndiyini göstərir. (17)

Sonra obyektin müsbət yükü– mütləq qiymətdə sahə nöqtəsinin yükünü aşan (daha böyük) yük, mənfi isə sahə nöqtəsinin yükündən az yük kimi görünür. Bu, itələmə və cazibə qüvvələrinin əlamətlərindəki fərqi nəzərdə tutur. Hansı ki, “itələmə – cazibə”nin təsiredici qüvvəsi üçün istiqamətin mövcudluğunu müəyyən edir. Belə çıxır ki, yük kəmiyyətcə onu hər bir hadisədə sahə gücünün böyüklüyü ilə dəyişən hadisələrin-qarşılıqlı təsirlərin sayına bərabərdir. yükün böyüklüyü, sayı (dəyər) anlayışına uyğun olaraq, istinad, vahid, sınaq ittihamı ilə əlaqədir -. Buradan . Yük hərəkət etdikdə, hadisələr xətti izlədikdə (sahə homojendir), inteqrallar və homojen sahə yükə nisbətən hərəkət etdikdə. Beləliklə, fizikanın məlum əlaqələri ;

- Elektrik sahəsinin gücünün fiziki mənası, yüklənmiş cismə təsir edən qüvvənin davam edən hadisələrin sayına nisbəti kimi - yüklənmiş cismin yüklənmiş mühitlə qarşılıqlı təsirləri. Elektrik sahəsinin daimi xarakteristikası var. O, həmçinin Lorentz qüvvəsinin koordinatına görə törəmədir.Elektrik sahəsinin gücü- bu, yüklənmiş cismin və sahənin (yüklənmiş mühitin) tək hadisə-qarşılıqlı təsirində () vahid yükə təsir edən qüvvəyə ədədi olaraq bərabər fiziki kəmiyyətdir.

(18)

-Potensial, cərəyan, gərginlik və müqavimətin fiziki mənası (elektrik keçiriciliyi).

Yükün böyüklüyünün dəyişməsinə gəldikdə

(19)

(20)

(21)

Harada sahə nöqtəsinin potensialı deyilir və o, verilmiş sahə nöqtəsinin enerji xarakteristikası kimi qəbul edilir, lakin əslində bu, sınaq (istinad) yükünün bir əmsalı ilə fərqlənən sahə nöqtəsinin yüküdür. Və ya: . Sahəyə daxil edilən yükün və sahənin nöqtəsinin yükünün qarşılıqlı təsiri zamanı mütənasib xassələrin - yüklərin mübadiləsi baş verir. Mübadilə "Lorentz qüvvəsi sahəyə daxil edilmiş yükə təsir edir" kimi təsvir edilən bir hadisədir, mütləq dəyəri yükün dəyişməsinin böyüklüyünə, eləcə də sahə nöqtəsinin potensialının nisbi dəyişməsinin böyüklüyünə bərabərdir. . Yerin sahəsinə bir yük daxil edildikdə, Yer sahəsindəki bir nöqtənin ümumi yükünün nəhəng dəyəri ilə müqayisədə bu dəyişikliyin nisbi kiçikliyinə görə son dəyişiklik laqeyd qala bilər.

(20)-dən nəzərə çarpır ki, cərəyan (I ) yükün yükü ilə bir hadisə-qarşılıqlı təsirdə (qısa məsafəli qarşılıqlı təsir) miqyasında yükü dəyişən zaman intervalında yük dəyişməsinin böyüklüyünün zaman törəməsidir. orta (sahə nöqtələri).

* İndiyə qədər fizikada belə hesab edilir ki, əgər: bir dirijor S sahəsinin kəsiyinə malikdirsə, hər bir hissəciyin yükü q 0-a bərabərdir və dirijorun həcmi 1 və 2 kəsiyi və uzunluğu ilə məhdudlaşır. (), hissəcikləri ehtiva edir, burada n hissəciklərin konsentrasiyasıdır. Bu ümumi ödənişdir. Əgər zərrəciklər orta sürət v ilə eyni istiqamətdə hərəkət edərlərsə, zaman keçdikcə nəzərdən keçirilən həcmə daxil olan bütün hissəciklər 2-ci en kəsiyindən keçəcəklər. Buna görə də cərəyan gücü

Eyni, metodoloji ümumiləşdirməmiz (3-6) vəziyyətində deyə bilərik ki, yalnız zərrəciklərin sayı əvəzinə, daha çox yüklü hissəciklər (hadisələr) olduğu üçün mənaca daha doğru olan hadisələrin sayını söyləməliyik. keçiricidə, məsələn, metaldakı elektronlardan daha çox. Asılılıq formada yenidən yazılacaq , buna görə də, in Bir daha(3-6) və bu işin digər ümumiləşdirmələrinin əsaslılığı təsdiq edilir.

Fərqli potensiala (yüklərə) malik, fəzada bir-birindən aralı yerləşən, homojen sahənin iki nöqtəsi bir-birinə nisbətən potensial enerjiyə malikdir, bu, potensialın dəyərdən -ə dəyişdirilməsi işinə ədədi olaraq bərabərdir. Onların fərqinə bərabərdir.

. (22)

Əks halda, Ohm qanununu düzgün şəkildə bərabərləşdirməklə yazmaq olar

. (23)

Bu vəziyyətdə, yükün miqyasını dəyişdirmək üçün lazım olan hadisələrin sayını göstərən müqavimət haradadır, bu şərtlə ki, hər bir hadisədə yükün xüsusiyyətlərindən asılı olaraq "ani" cərəyanın sabit dəyəri ilə dəyişsin. dirijor. Buradan belə nəticə çıxır ki, cərəyan kəmiyyətin və gərginlik anlayışının zaman törəməsidir. Yadda saxlamaq lazımdır ki, SI vahidlərində elektrik keçiriciliyi Siemens-də ölçü ilə ifadə edilir: Cm \u003d 1 / Ohm \u003d Amper / Volt \u003d kq -1 m -2 s ³A². Fizikada müqavimət elektrik keçiriciliyi məhsulunun (materialın vahid hissəsinin müqaviməti) və keçiricinin uzunluğunun əksidir. kimi yazmaq olar (ümumiləşdirmə mənasında (3-6)).

(24)

- İnduksiyanın fiziki mənası maqnit sahəsi. Empirik olaraq müəyyən edilmişdir ki, cərəyan keçiricisinə təsir edən qüvvə modulunun maksimum qiymətinin (Amper qüvvəsi) cərəyan gücünə - I keçiricinin uzunluğuna - l nisbəti cərəyan gücündən asılı deyildir. dirijorda, nə də dirijorun uzunluğunda. Dirijorun yerləşdiyi yerdə maqnit sahəsinin xarakteristikası kimi qəbul edilmişdir - maqnit sahəsinin induksiyası, sahənin strukturundan asılı olaraq bir dəyər - , uyğun gəlir.

(25)

və o vaxtdan bəri .

Çərçivəni maqnit sahəsində döndərdikdə biz ilk növbədə hadisələrin sayını artırırıq - çərçivənin yüklü cisimləri ilə sahənin yüklü cisimlərinin qarşılıqlı təsirləri. Bundan, çərçivədəki EMF və cərəyanın çərçivənin fırlanma sürətindən və çərçivənin yaxınlığındakı sahənin gücündən asılılığı gəlir. Biz çərçivəni dayandırırıq - qarşılıqlı əlaqə yoxdur - cərəyan yoxdur. W fırlanma (dəyişmək) sahə - cari çərçivədə getdi.

- Temperaturun fiziki mənası. Bu gün fizikada temperaturun ölçüsü anlayışı olduqca əhəmiyyətsiz deyil. Bir kelvin suyun üçqat nöqtəsinin termodinamik temperaturunun 1/273,16-sına bərabərdir. Şkalanın başlanğıcı (0 K) mütləq sıfırla üst-üstə düşür. Selsi dərəcələrinə çevrilmə: ° С \u003d K -273,15 (suyun üçqat nöqtəsinin temperaturu 0,01 ° C-dir).
2005-ci ildə kelvinin tərifi dəqiqləşdirildi. ITS-90 mətninə məcburi Texniki Əlavədə Termometriya üzrə Məsləhət Komitəsi suyun üçqat nöqtəsinin temperaturunun həyata keçirilməsi zamanı suyun izotop tərkibinə dair tələbləri müəyyən etdi.

Buna baxmayaraq, temperatur anlayışının fiziki mənası və mahiyyəti daha asan və aydındır. Temperatur öz mahiyyətinə görə maddənin daxilində baş verən həm “daxili”, həm də “xarici” səbəbləri olan hadisələr-qarşılıqlı təsirlərin nəticəsidir. Daha çox hadisələr - daha çox temperatur, daha az hadisələr - daha az temperatur. Beləliklə, bir çox kimyəvi reaksiyalarda temperaturun dəyişməsi fenomeni. P. L. Kapitsa da deyirdi "... temperaturun ölçüsü hərəkətin özü deyil, bu hərəkətin təsadüfi olmasıdır. Bədənin vəziyyətinin təsadüfi olması onun temperatur vəziyyətini müəyyən edir və bu fikir (ilk dəfə Boltsman tərəfindən hazırlanmışdır) müəyyən bir temperatur vəziyyətidir. Bədənin təbiəti ümumiyyətlə hərəkət enerjisi ilə deyil, bu hərəkətin təsadüfiliyi ilə müəyyən edilir və temperatur hadisələrinin təsvirində istifadə etməli olduğumuz yeni konsepsiyadır ... " (Laureatın hesabatı Nobel mükafatı 1978 Peter Leonidoviç Kapitsa "Maye heliumun xüsusiyyətləri", konfransda oxunan "Problemlər" müasir elm"21 dekabr 1944-cü ildə Moskva Universitetində)
Xaos ölçüsündə rəqəmin kəmiyyət xarakteristikasını başa düşmək lazımdır hadisə-qarşılıqlı əlaqələr maddənin vahid həcmində vaxt vahidinə - onun temperatur. Təsadüfi deyil ki, Beynəlxalq Çəkilər və Ölçülər Komitəsi 2011-ci ildə “suyun üçqat nöqtəsi”nin çoxalması çətin olan şərtlərdən xilas olmaq üçün kelvinin (temperatur ölçüsü) tərifini dəyişməyə hazırlaşır. Yeni tərifdə kelvin ikinci və Boltzman sabitinin qiyməti ilə ifadə olunacaq. Hansı ki, bu işin əsas ümumiləşdirməsinə (3-6) tam uyğun gəlir. Bu zaman Boltsman sabiti bir hadisə zamanı müəyyən miqdarda maddənin vəziyyətinin dəyişməsini ifadə edir (bax, törəmənin fiziki mənası), zamanın böyüklüyü və ölçüsü isə zaman intervalında baş verən hadisələrin sayını xarakterizə edir. . Bu, bunu bir daha sübut edir temperaturun səbəb strukturu - hadisələr-qarşılıqlı təsirlər. Hadisələr-qarşılıqlı təsirlər nəticəsində hər bir hadisədə cisimlər kinetik enerji (kürələrin toqquşmasında olduğu kimi impuls anları) mübadiləsi aparır və mühit sonda termodinamik tarazlıq əldə edir (termodinamikanın birinci qanunu).

- Enerji və gücün fiziki mənası.

Müasir fizikada E enerjisi fərqli ölçüyə (təbiətə) malikdir. Nə qədər təbiət, bu qədər enerji. Misal üçün:

Uzunluğa vurulan qüvvə (E ≈ F l≈N*m);

Təzyiq vaxtlarının həcmi (E ≈ P V≈N*m 3 /m 2 ≈N*m);

Sürətlə vurulan impuls (E ≈ p v≈kg * m / s * m / s ≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈ N * m);

Kütləvi sürətin kvadratına (E ≈ m v 2 ≈N*m);

Gərginliklə vurulan cərəyan (E ≈ I U ≈

Bu münasibətlərdən zərif enerji konsepsiyası və enerjinin, hadisələrin və dəyişikliyin vahid standartı (ölçü vahidi) ilə əlaqə yaranır.

Enerji, – eyni ölçülü hadisələrin-qarşılıqlı təsirlərin təsiri altında maddənin hər hansı fiziki parametrinin dəyişməsinin kəmiyyət xarakteristikasıdır və bu dəyişikliyə səbəb olur. Əks halda deyə bilərik ki, enerji bir müddət (müəyyən məsafədə) xarici təsir edən qüvvənin xassəsinə tətbiq edilən kəmiyyət xarakteristikasıdır. Enerjinin böyüklüyü (sayı) müəyyən bir təbiət dəyişikliyinin miqyasının bu təbiətin formal, ümumi qəbul edilmiş enerji standartına nisbətidir. Enerjinin ölçüsü formal, ümumi qəbul edilmiş enerji standartının ölçüsüdür. Səbəb olaraq enerjinin böyüklüyü və ölçüsü, onun zaman və məkanda dəyişməsi formal olaraq etalon və etalon ölçüsü ilə bağlı dəyişikliyin ümumi miqyasından, qeyri-rəsmi olaraq isə hadisələrin ardıcıllığının xarakterindən asılıdır.

Dəyişikliyin ümumi dəyəri - bir hadisədə ümumi dəyişikliyin qiymətini - orta hesablanmış vahid qüvvə ilə - törəmə dəyərlə dəyişən hadisələr-qarşılıqlı təsirlərin sayından asılıdır.

Müəyyən bir təbiətin (ölçünün) enerji standartı ümumi konsepsiyaya uyğun olmalıdır standart (təklik, ümumilik, dəyişməzlik), məkan-zamanda hadisələrin ardıcıllığı funksiyasının ölçüsünə və dəyişilmiş qiymətə malikdir.

Bu nisbətlər, əslində, maddədəki hər hansı bir dəyişikliyin enerjisi üçün ümumidir.

Güc haqqında. və dəyəri və yaəslində enerjini dəyişən eyni “ani” qüvvə var.

. (26)

Beləliklə, altında ümumi anlayışƏtalət bir hadisə-qarşılıqlı təsirin təsiri altında enerjinin elementar nisbi dəyişməsinin dəyəri kimi başa düşülməlidir (qüvvədən fərqli olaraq, intervalın böyüklüyü ilə əlaqələndirilmir, lakin hərəkətin dəyişməzliyi intervalının ehtimal olunan olması), növbəti hadisəyə qədər onun dəyişməzliyinin faktiki vaxt intervalına (fəza intervalına) malik olan.

İnterval, bunun başlanğıcı ilə növbəti müqayisə edilə bilən hadisələr-qarşılıqlı təsirlər və ya iki nöqtə-kosmosdakı hadisələrin koordinatları arasındakı fərqdir.

Ətalət enerji ölçüsünə malikdir, çünki enerji hadisələr-qarşılıqlı təsirlərin təsiri altında zamandakı ətalət dəyərlərinin ayrılmaz cəmidir. Enerji dəyişməsinin miqdarı ətalətin cəminə bərabərdir

(27)

Əks halda deyə bilərik ki, ci hadisə-qarşılıqlı təsirin mücərrəd xassə verdiyi ətalət növbəti hadisə-qarşılıqlı təsirə qədər müəyyən qədər dəyişməzliyə malik olan xassə dəyişmə enerjisidir;

- zamanın fiziki mənası dəyişmə müddətinin (invariantlığın) ölçüsünü bilmənin formal yolu kimi, müddətin formal standartı ilə müqayisədə müddətin böyüklüyünü ölçmə üsulu kimi, dəyişmə müddətinin (müddəti, müddəti) ölçüsü kimi

Və təbiət elminin bu əsas konsepsiyasının təfsiri ilə bağlı çoxsaylı fərziyyələri dayandırmağın vaxtı gəldi.

- koordinat fəzasının fiziki mənası , dəyişmənin dəyərləri (ölçüləri) kimi (yollar, məsafələr),

(32)

kosmosda hadisələrin ardıcıllığı funksiyasının ayrılmaz hissəsi kimi koordinatın formal, unitar standartı ölçüsünə (koordinatlara) və koordinat dəyərinə malik olan , interval üzrə koordinat standartlarının ümumi sayına bərabərdir. Koordinatı ölçərkən, rahatlıq üçün xətti dəyişən inteqral inteqralı vahid koordinatların formal seçilmiş istinad intervallarının sayına bərabər olan funksiya;

- bütün əsasların fiziki mənası fiziki xassələri mühitlə elementar mütənasib qarşılıqlı təsir zamanı xassələrini xarakterizə edən (parametrlər) (dielektrik və maqnit keçiriciliyi, Plank sabiti, sürtünmə və səthi gərginlik əmsalları, xüsusi istilik, dünya sabitləri və s.).

Beləliklə, vahid orijinal qeyd formasına və vahid metodoloji cəhətdən vahid səbəb-nəticə mənasına malik olan yeni asılılıqlar əldə edilir. Və bu səbəb-nəticə mənası qlobal fiziki prinsipin – “hadisə-qarşılıqlı təsir”in təbiət elminə yeridilməsi ilə əldə edilir.

Budur, əziz oxucu, ən ümumi mənada nə olmalıdır fiziki məna və əminliklə bəxş edilmiş yeni riyaziyyat Və 21-ci əsrin yeni qarşılıqlı təsir fizikası , əhəmiyyətsiz bir sürüdən təmizlənmiş, əminlik, ölçü və ölçüyə malik olmayan və dolayısıyla sağlam düşüncə anlayışları. Belə, məsələn, Necə klassik törəmə və ani sürət - çox az ortaqlığı var sürətin fiziki anlayışı. Necə ətalət anlayışı - orqanizmlərin müəyyən sürəti saxlamaq qabiliyyəti... Necə inertial istinad sistemi (ISO) ilə heç bir əlaqəsi olmayan istinad çərçivəsi anlayışı(CO). ISO üçün, adi istinad çərçivəsindən (CO) fərqli olaraq hərəkətin (dəyişikliyin) miqyası haqqında obyektiv bilik sistemi deyil. ISO-ya nisbətən, tərifinə görə, cisimlər yalnız düz bir xəttdə və ya bərabər şəkildə istirahət edir və ya hərəkət edir. Həm də əsrlər boyu sarsılmaz həqiqətlər kimi axmaqcasına təkrarlanan bir çox başqa şeylər. Baza halına gələn bu psevdohəqiqətlər artıq əsaslı, ardıcıl və səbəbli olaraq ümumi asılılıqlarla təsvir edin kainatın çoxsaylı hadisələri, təbiətin vahid qanunlarına uyğun olaraq mövcud olan və dəyişən.

1. Ədəbiyyat.

1. Hegel G.W.F. Fəlsəfə Elmləri Ensiklopediyası: 3 cilddə 1-ci cild: Məntiq elmi. M., 197 3

2. Hegel G.W.F. , Soch., 5-ci cild, M., 1937, səh. 691.

3. F. Engels. PSS. c. 20, səh. 546.

1.1 Fizikanın bəzi problemləri 3

2. Törəmə

2.1 Funksiya dəyişmə sürəti 6

2.2 Törəmə funksiyası 7

2.3 Güc funksiyasının törəməsi 8

2.4 Törəmə 10-un həndəsi mənası

2.5 Funksiyaların diferensiallaşdırılması

2.5.1 Arifmetik əməllərin nəticələrinin diferensiallaşdırılması 12

2.5.2 Mürəkkəb və tərs funksiyaların diferensiallaşdırılması 13

2.6 Parametrli təyin olunmuş funksiyaların törəmələri 15

3. Diferensial

3.1 Diferensial və onun həndəsi mənası 18

3.2 Diferensial xassələr 21

4. Nəticə

4.1 Əlavə 1. 26

4.2 Əlavə 2. 29

5. İstifadə olunmuş ədəbiyyatın siyahısı 32

1. Giriş

1.1 Fizikanın bəzi problemləri. Sadə fiziki hadisələri nəzərdən keçirin: düzxətli hərəkət və xətti kütlə paylanması. Onları öyrənmək üçün müvafiq olaraq hərəkət sürəti və sıxlıq təqdim olunur.

Hərəkət sürəti və əlaqəli anlayışlar kimi bir fenomeni təhlil edək.

Bədənin düz bir xəttlə hərəkət etməsinə icazə verin və biz məsafəni bilirik , hər biri üçün bədən tərəfindən keçdi vaxt verilmişdir , yəni məsafəni zaman funksiyası kimi bilirik:

tənlik
çağırdı hərəkət tənliyi və müəyyən etdiyi xətt ox sistemində
- hərəkət cədvəli.

Zaman intervalında bədənin hərəkətini nəzərə alın
bir andan ana qədər
. Zaman keçdikcə bədən bir cığır keçdi, zaman keçdikcə bir cığır keçdi
. Deməli, zaman vahidləri ilə məsafə qət etmişdir

Hərəkət vahiddirsə, deməli xətti funksiya var:

Bu halda
, və əlaqə
zaman vahidi üçün yolun neçə vahid olduğunu göstərir; eyni zamanda zamanın hansı anından asılı olmayaraq sabit qalır zamanın hansı artımla alındığı deyil, götürülür . Bu, daimi bir münasibətdir çağırdı vahid sürət.

Ancaq hərəkət qeyri-bərabərdirsə, nisbət asılıdır

-dan , və . dan vaxt intervalında orta hərəkət sürəti adlanır ilə işarələnir :

Bu zaman intervalında, eyni məsafə qət edildikdə, hərəkət ən müxtəlif yollarla baş verə bilər; qrafik olaraq, bu, təyyarənin iki nöqtəsi arasında olması ilə təsvir olunur (bal
şək. 1) müxtəlif xətlər çəkə bilərsiniz
- müəyyən bir zaman intervalında hərəkətlərin qrafikləri və bütün bu müxtəlif hərəkətlər eyni orta sürətə uyğundur.

Xüsusilə, nöqtələr arasında düz xəttdən keçir
, intervalda vahid formanın qrafiki olan
hərəkat. Beləliklə, orta sürət eyni vaxt intervalında keçmək üçün bərabər şəkildə necə sürətlə hərəkət etməyiniz lazım olduğunu göstərir eyni məsafə
.

Eyni tərk , azaldaq. Dəyişdirilmiş interval üçün hesablanmış orta sürət
, verilmiş intervalın daxilində uzanan, təbii ki, ilə müqayisədə fərqli ola bilər; interval boyunca . Buradan belə çıxır ki, orta sürəti hərəkətin qənaətbəxş xarakteristikası hesab etmək olmaz: o (orta sürət) hesablamanın aparıldığı intervaldan asılıdır. İntervaldakı orta sürətə əsaslanaraq hesab edilməlidir ki, hərəkəti nə qədər yaxşı xarakterizə edirsə, bir o qədər azdır , Gəlin onu sıfıra endirək. Eyni zamanda orta sürətdə məhdudiyyət varsa, o zaman hərəkət sürəti kimi qəbul edilir .

Tərif. sürət Müəyyən bir zaman anında düzxətli hərəkət, sıfıra meyl edərkən intervala uyğun gələn orta sürətin həddi adlanır:

Misal. Sərbəst düşmə qanununu yazaq:

Zaman intervalında orta düşmə sürəti üçün bizdə var

və hazırda sürət üçün

Bu, sərbəst düşmə sürətinin hərəkət (düşmə) vaxtı ilə mütənasib olduğunu göstərir.

2. Törəmə

Funksiyanın dəyişmə sürəti. Törəmə funksiyası. Güc funksiyasının törəməsi.

2.1 Funksiyanın dəyişmə sürəti. Dörd xüsusi anlayışın hər biri: hərəkət sürəti, sıxlıq, istilik tutumu,

Kimyəvi reaksiyanın sürəti, fiziki mənalarındakı əhəmiyyətli fərqə baxmayaraq, riyazi nöqteyi-nəzərdən, görmək asan olduğu kimi, eynidir. müvafiq funksiyanın xarakteristikası. Onların hamısı hədd anlayışının köməyi ilə müəyyən edilmiş funksiyanın dəyişmə sürətinin xüsusi növləri, habelə sadalanan xüsusi anlayışlardır.

Ona görə də gəlin təhlil edək ümumi görünüş funksiyanın dəyişmə sürəti haqqında sual
, dəyişənlərin fiziki mənasından abstraksiya
.

Əvvəlcə qoy
- xətti funksiya:

Müstəqil dəyişən olarsa artım əldə edir
, sonra funksiya burada artım əldə edir
. Münasibət
hansı funksiyanın nəzərdən keçirildiyindən, hansının götürülməsindən asılı olmayaraq sabit qalır .

Bu əlaqə adlanır dəyişmə dərəcəsi xətti funksiya. Amma əgər funksiyası xətti deyil, onda əlaqə

da asılıdır , və . Bu nisbət yalnız "orta hesabla" müstəqil dəyişən veriləndən dəyişdikdə funksiyanı xarakterizə edir
; verilmiş belə xətti funksiyanın sürətinə bərabərdir eyni artıma malikdir
.

Tərif.Münasibət çağırdıorta sürəti funksiya intervalında dəyişir
.

Aydındır ki, nəzərə alınan interval nə qədər kiçik olsa, orta sürət funksiyanın dəyişməsini bir o qədər yaxşı xarakterizə edir, ona görə də biz məcbur edirik. sıfıra meyl edir. Eyni zamanda orta sürətdə bir məhdudiyyət varsa, o zaman bir ölçü kimi qəbul edilir, verilən üçün funksiyanın dəyişmə sürəti , Və funksiyanın dəyişmə sürəti adlanır.

Tərif. Funksiya dəyişmə dərəcəsi Vverilmiş nöqtə intervalda funksiyanın orta dəyişmə sürətinin həddi adlanır sıfıra gedərkən:

2.2 Törəmə funksiyası. Funksiya dəyişmə dərəcəsi

aşağıdakı hərəkətlər ardıcıllığı ilə müəyyən edilir:

1) artımla , bu dəyərə təyin edilir , funksiyanın müvafiq artımını tapın

;

2) münasibət tərtib edilir;

3) bu nisbətin həddini tapın (əgər varsa)

sıfıra ixtiyari meyli ilə.

Artıq qeyd edildiyi kimi, əgər bu funksiya xətti deyil

sonra münasibət da asılıdır , və dən . Bu nisbətin həddi yalnız seçilmiş dəyərdən asılıdır. və buna görə də funksiyasıdır . Əgər funksiyası xətti, onda nəzərdən keçirilən hədd -dən asılı deyil, yəni sabit qiymət olacaqdır.

Bu hədd adlanır funksiyanın törəməsi və ya sadəcə funksiya törəməsi və belə qeyd olunur:
.Oxuyun: "ef stroke from » və ya "ef prim from".

Tərif. törəmə bu funksiyanın ixtiyari aspirasiya ilə müstəqil dəyişənin artımına funksiya artımının nisbətinin həddi deyilir, bu artım sıfıra bərabərdir:

Hər hansı bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin qiyməti adətən işarə olunur
.

Törəmənin təqdim edilmiş tərifindən istifadə edərək deyə bilərik ki:

1) Düzxətli hərəkətin sürəti törəməsidir

funksiyaları By (zamana görə yolun törəməsi).

2.3 Güc funksiyasının törəməsi.

Bəzi sadə funksiyaların törəmələrini tapaq.

Qoy
. bizdə var

yəni törəmə
1-ə bərabər sabit qiymətdir. Bu, aydındır, çünki - xətti funksiya və dəyişmə sürəti sabitdir.

Əgər
, Bu

Qoy
, Sonra

Güc funksiyasının törəmələri üçün ifadələrdə nümunəni görmək asandır
saat
. Sübut edək ki, ümumiyyətlə, hər hansı müsbət tam göstərici üçün törəmədir bərabərdir
.

Numeratordakı ifadə Nyuton binom düsturu ilə çevrilir :

Son bərabərliyin sağ tərəfində birincisi -dən asılı olmayan şərtlərin cəmi, qalanları isə sıfıra meyllidir. . Buna görə də

Beləliklə, müsbət tam ədədi olan güc funksiyasının törəməsi aşağıdakılara bərabərdir:

At
tapılandan ümumi formula yuxarıda alınan düsturlar aşağıdakılardır.

Bu nəticə istənilən göstərici üçün doğrudur, məsələn:

İndi sabitin törəməsini ayrıca nəzərdən keçirək

Bu funksiya müstəqil dəyişənin dəyişməsi ilə dəyişmədiyinə görə
. Beləliklə,

T. e. sabitin törəməsi sıfırdır.

2.4 Törəmənin həndəsi mənası.

Funksiya törəməsi çox sadə və aydın həndəsi mənaya malikdir ki, bu da xəttə toxunan anlayışı ilə sıx bağlıdır.

Tərif. Tangens
xəttinə
onun nöqtəsində
(Şəkil 2). nöqtədən keçən xəttin həddi mövqeyi adlanır, və başqa bir məqam
bu nöqtə verilmiş nöqtə ilə birləşməyə meylli olduqda xətlər.

.Dərslik

Orta var sürətdəyişikliklərfunksiyaları düz xəttin istiqamətində. 1 törəmə adlanır funksiyaları istiqamətində və göstərilir. Beləliklə - (1) - sürətdəyişikliklərfunksiyaları nöqtədə...

Funksiyanın limiti və davamlılığı

Öyrənmək

Törəmənin fiziki mənası. Törəmə səciyyələndirir sürətdəyişikliklər bir fiziki kəmiyyət münasibətdə... . Arqumentin hansı dəyərində bərabərdir sürətdəyişikliklərfunksiyaları və Qərar. , və, və. Törəmənin fiziki mənasından istifadə etməklə...

Bir dəyişənli funksiya anlayışı və funksiyaları təyin etmək üsulları

Sənəd

Diferensial hesablama anlayışı sürətdəyişikliklərfunksiyaları; P. edir funksiyası, hər x... davamlı törəmə üçün müəyyən edilmişdir ( diferensial hesablama xarakterizə edir sürətdəyişikliklərfunksiyaları Bu nöqtədə). Sonra və...

§ 5 Kompleks funksiyaların qismən törəmələri Kompleks funksiyaların diferensialları 1 Kompleks funksiyanın qismən törəmələri

Sənəd

Mövcuddur və sonludur) olacaq sürətdəyişikliklərfunksiyaları vektor istiqamətində bir nöqtədə. Onun ... və və ya işarələyin. Böyüklüyünə əlavə olaraq sürətdəyişikliklərfunksiyaları, təbiətini müəyyən etməyə imkan verir dəyişikliklərfunksiyaları vektor istiqamətində bir nöqtədə...

Funksiyanın törəməsi ən çətin mövzulardan biridir məktəb kurikulumu. Törəmənin nə olduğu sualına hər məzun cavab verməyəcək.

Bu məqalə törəmənin nə olduğunu və nə üçün lazım olduğunu sadə və aydın şəkildə izah edir.. İndi biz təqdimatın riyazi sərtliyinə can atmayacağıq. Ən əsası mənasını anlamaqdır.

Tərifi xatırlayaq:

Törəmə funksiyanın dəyişmə sürətidir.

Şəkil üç funksiyanın qrafiklərini göstərir. Sizcə hansı daha sürətli böyüyür?

Cavab aydındır - üçüncü. Ən yüksək dəyişmə sürətinə malikdir, yəni ən böyük törəmədir.

Budur, başqa bir nümunə.

Kostya, Qrişa və Matvey eyni vaxtda işə düzəldilər. Gəlin onların il ərzində gəlirlərinin necə dəyişdiyini görək:

Diaqramda hər şeyi dərhal görə bilərsiniz, elə deyilmi? Altı ayda Kostyanın gəliri iki dəfədən çox artıb. Qrişanın da gəliri artdı, ancaq bir az. Və Metyu gəliri sıfıra endi. Başlanğıc şərtləri eynidır, lakin funksiyanın dəyişmə sürəti, yəni. törəmə, - fərqli. Matveyə gəlincə, onun gəlirinin törəməsi ümumiyyətlə mənfidir.

İntuitiv olaraq funksiyanın dəyişmə sürətini asanlıqla təxmin edə bilərik. Bəs biz bunu necə edək?

Həqiqətən baxdığımız şey, funksiyanın qrafikinin nə qədər kəskin şəkildə yuxarı (və ya aşağı) getdiyidir. Başqa sözlə, y x ilə nə qədər sürətlə dəyişir. Aydındır ki, müxtəlif nöqtələrdə eyni funksiya törəmənin fərqli dəyərinə malik ola bilər - yəni daha sürətli və ya daha yavaş dəyişə bilər.

Funksiyanın törəməsi ilə işarələnir.

Qrafikdən istifadə edərək necə tapmağı göstərək.

Bəzi funksiyaların qrafiki çəkilir. Bir absis ilə bir nöqtə çəkin. Bu nöqtədə funksiyanın qrafikinə bir tangens çəkin. Biz funksiyanın qrafikinin nə qədər dik qalxdığını qiymətləndirmək istəyirik. Bunun üçün əlverişli bir dəyər tangensin yamacının tangensi.

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi həmin nöqtədə funksiyanın qrafikinə çəkilmiş tangensin yamacının tangensinə bərabərdir.

Diqqət yetirin - tangensin meyl bucağı olaraq, oxun müsbət istiqaməti ilə tangens arasındakı bucağı alırıq.

Bəzən tələbələr funksiyanın qrafikinə tangensin nə olduğunu soruşurlar. Bu, bizim şəkildə göstərildiyi kimi, bu bölmədəki qrafiklə yeganə ortaq nöqtəyə malik düz xəttdir. Bir dairəyə toxunan kimi görünür.

tapaq. Xatırlayırıq ki, düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucağın tangensi əks ayağın qonşuya nisbətinə bərabərdir. Üçbucaqdan:

Biz funksiyanın düsturunu belə bilmədən qrafikdən istifadə edərək törəməni tapdıq. Bu cür tapşırıqlara tez-tez riyaziyyatdan imtahanda nömrə altında rast gəlinir.

Başqa bir mühüm əlaqə var. Xatırladaq ki, düz xətt tənliklə verilir

Bu tənlikdəki kəmiyyət deyilir düz xəttin yamacı. Düz xəttin oxa meyl bucağının tangensinə bərabərdir.

Bunu anlayırıq

Bu düsturu xatırlayaq. Törəmənin həndəsi mənasını ifadə edir.

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi bucaq əmsalı həmin nöqtədə funksiyanın qrafikinə çəkilmiş tangens.

Başqa sözlə, törəmə tangensin yamacının tangensinə bərabərdir.

Artıq dedik ki, eyni funksiya müxtəlif nöqtələrdə müxtəlif törəmələrə malik ola bilər. Gəlin görək törəmə funksiyanın davranışı ilə necə əlaqəlidir.

Bəzi funksiyaların qrafikini çəkək. Qoy bu funksiya bəzi sahələrdə artsın, bəzilərində azalsın və fərqli templərlə. Və bu funksiyanın maksimum və minimum nöqtələri olsun.

Bir nöqtədə funksiya artır. Nöqtədə çəkilmiş qrafikə toxunan iti bucaq əmələ gətirir; müsbət ox istiqaməti ilə. Beləliklə, törəmə nöqtədə müsbətdir.

Bu nöqtədə funksiyamız azalır. Bu nöqtədəki tangens küt bucaq əmələ gətirir; müsbət ox istiqaməti ilə. Küt bucağın tangensi mənfi olduğundan, nöqtədəki törəmə mənfi olur.

Nə baş verir:

Əgər funksiya artırsa, onun törəməsi müsbətdir.

Əgər azalırsa, onun törəməsi mənfi olur.

Bəs maksimum və minimum nöqtələrdə nə baş verəcək? Biz (maksimum nöqtədə) və (minimum nöqtədə) tangensin üfüqi olduğunu görürük. Odur ki, bu nöqtələrdə tangensin yamacının tangensi sıfır, törəməsi də sıfırdır.

Nöqtə maksimum nöqtədir. Bu zaman funksiyanın artması azalma ilə əvəz olunur. Nəticə etibarilə törəmənin işarəsi nöqtədə “artı”dan “mənfi”yə dəyişir.

Nöqtədə - minimum nöqtədə - törəmə də sıfıra bərabərdir, lakin onun işarəsi "mənfi"dən "artı"ya dəyişir.

Nəticə: törəmənin köməyi ilə funksiyanın davranışı ilə bağlı bizi maraqlandıran hər şeyi öyrənə bilərsiniz.

Törəmə müsbət olarsa, funksiya artır.

Törəmə mənfi olarsa, funksiya azalır.

Maksimum nöqtədə törəmə sıfırdır və işarəni artıdan mənfiyə dəyişir.

Minimum nöqtədə törəmə də sıfırdır və işarəni mənfidən artıya dəyişir.

Bu tapıntıları cədvəl şəklində yazırıq:

	artır	maksimum nöqtə	azalır	minimum nöqtə	artır
+	0	-	0	+

Gəlin iki kiçik dəqiqləşdirmə aparaq. Problemi həll edərkən onlardan birinə ehtiyacınız olacaq. Başqa bir - birinci ildə, funksiyaların və törəmələrin daha ciddi öyrənilməsi ilə.

Hər hansı bir nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfıra bərabər olduqda, lakin bu nöqtədə funksiyanın nə maksimumu, nə də minimumu yoxdur. Bu sözdə :

Bir nöqtədə qrafikə toxunan üfüqi, törəmə isə sıfırdır. Ancaq nöqtədən əvvəl funksiya artdı və nöqtədən sonra artmağa davam edir. Törəmə işarəsi dəyişmir - olduğu kimi müsbət olaraq qaldı.

Bu da olur ki, maksimum və ya minimum nöqtəsində törəmə mövcud deyil. Qrafikdə bu, müəyyən bir nöqtədə bir tangens çəkmək mümkün olmadıqda kəskin qırılmaya uyğundur.