Bu yazıda bir funksiyanın öyrənilməsi sxemini nəzərdən keçirəcəyik, həmçinin verilmiş funksiyanın ekstremal, monotonluq və asimptotlarının öyrənilməsinə dair nümunələr verəcəyik.

Sxem

1. Funksiyanın mövcudluq sahəsi (ODZ).
2. Koordinat oxları, funksiya işarələri, paritet, dövrilik ilə funksiya kəsişməsi (əgər varsa).
3. Kəsmə nöqtələri (onların növləri). Davamlılıq. Asimptotlar şaqulidir.
4. Monotonluq və ekstremal nöqtələr.
5. Bükülmə nöqtələri. qabarıq.
6. Asimptotlar üçün sonsuzluqda funksiyanın tədqiqi: üfüqi və maili.
7. Qrafikin qurulması.

Monotonluq üçün öyrənin

Teorem.Əgər funksiyası g davam edir , ilə fərqlənir (a; b) və g'(x) ≥ 0 (g'(x)≤0), xє(а; b), sonra g artan (azalmaq) .

Misal:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: dairR

y' = x 2 + 6x + 5.

Daimi işarələrin intervallarını tapın y'. Çünki y' elementar funksiyadır, onda yalnız sıfıra çevrildiyi və ya mövcud olmadığı nöqtələrdə işarələri dəyişə bilər. Onun ODZ: dairR.

Törəmənin 0 (sıfır) olduğu nöqtələri tapaq:

y' = 0;

x = -1; -5.

Belə ki, y artır (-∞; -5] və davam edir [-bir; +∞), y enən .

Ekstremallar üçün araşdırma

T. x0çoxluğun maksimum nöqtəsi (maksimum) adlanır AMMA funksiyaları g funksiya tərəfindən bu nöqtədə maksimum qiymət alındıqda g(x 0) ≥ g(x), xєA.

T. x0 funksiyanın minimum nöqtəsi (min) adlanır g setdə AMMAən kiçik qiymət bu nöqtədə funksiya tərəfindən qəbul edildikdə g(x 0) ≤ g(x), xєА.

Setdə AMMA maksimum (maksimum) və minimum (min) nöqtələrə ekstremum nöqtələr deyilir g. Belə ekstremallara setdə mütləq ekstremal da deyilir .

Əgər a x0- funksiyanın ekstremum nöqtəsi g sonra hansısa rayonda x0 funksiyanın yerli və ya yerli ekstremum nöqtəsi (maksimum və ya min) adlanır g.

Teorem (zəruri şərt).Əgər a x0- (yerli) funksiyanın ekstremum nöqtəsi g, onda törəmə mövcud deyil və ya bu nöqtədə 0-a (sıfır) bərabərdir.

Tərif. Mövcud olmayan və ya 0 (sıfır) törəməsi olan nöqtələr kritik adlanır. Ekstremum üçün şübhəli olan bu məqamlardır.

Teorem (kafi şərt No 1).Əgər funksiyası g bəzi rayonlarda davamlıdır. x0 və törəmə keçdikdə işarə bu nöqtədən dəyişir, onda verilmiş nöqtə t ekstremum var g.

Teorem (kafi şərt No 2). Və nöqtəsinin hansısa qonşuluğunda funksiya iki dəfə diferensiallana bilsin g' = 0 və g'' > 0 (g''< 0) , sonra bu nöqtə funksiyanın maksimum (maksimum) və ya minimum (min) nöqtəsidir.

Qabarıqlıq testi

Funksiya intervalda aşağıya doğru qabarıq (və ya konkav) adlanır (a,b) funksiyanın qrafiki istənilən x ilə intervalda sekantdan yüksək olmayanda yerləşdikdə (a,b) ki, bu nöqtələrdən keçir .

Funksiya ciddi şəkildə aşağı konveks olacaq (a,b), əgər - qrafik interval üzrə sekantdan aşağıda yerləşir.

Funksiya intervalda yuxarıya doğru qabarıq (qabarıq) adlanır (a,b), əgər hər hansı t xal ilə (a,b) interval üzrə funksiyanın qrafiki bu nöqtələrdə absislərdən keçən sekantdan aşağı deyil .

Funksiya ciddi şəkildə yuxarıya doğru qabarıq olacaq (a, b), əgər - interval üzrə qrafik sekantın üstündə yerləşir.

Əgər funksiya nöqtənin hansısa qonşuluğundadırsa davamlı və vasitəsilə t.x 0 keçid zamanı funksiya qabarıqlığını dəyişir, onda bu nöqtə funksiyanın əyilmə nöqtəsi adlanır.

Asimptotların öyrənilməsi

Tərif. Düz xətt asimptot adlanır g(x), əgər başlanğıcdan sonsuz məsafədə olarsa, funksiyanın qrafikinin nöqtəsi ona yaxınlaşır: d(M,l).

Asimptotlar şaquli, üfüqi və ya əyri ola bilər.

Tənlik ilə şaquli xətt x = x 0 g funksiyasının şaquli qrafikinin asimptotu olacaq , əgər x 0 nöqtəsində sonsuz boşluq varsa, bu nöqtədə ən azı bir sol və ya sağ sərhəd var - sonsuzluq.

Seqmentdə funksiyanın ən kiçik və ən böyük dəyəri üçün tədqiqi

Əgər funksiya davamlıdırsa , onda Weierstrass teoremi ilə bu seqmentdə ən böyük qiymət və ən kiçik qiymət var, yəni t var. aid eynək belə g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . Monotonluq və ekstremallar haqqında teoremlərdən funksiyanı ən az və ən çox intervalda öyrənmək üçün aşağıdakı sxemi əldə edirik. daha böyük dəyər.

Plan

1. Törəmə tapın g'(x).
2. Bir funksiyanın dəyərinə baxın g bu nöqtələrdə və seqmentin uclarında.
3. Tapılan dəyərləri müqayisə edin və ən kiçik və ən böyüyü seçin.

Şərh. Sonlu intervalda funksiyanı öyrənmək lazımdırsa (a,b), və ya sonsuz üzərində (-∞; b); (-∞; +∞) maksimum və min dəyərlərində, sonra planda, intervalın sonundakı funksiyanın dəyərləri əvəzinə, müvafiq birtərəfli sərhədləri axtarırlar: əvəzinə f(a) axtarmaq f(a+) = limf(x), əvəzinə f(b) axtarmaq f(-b). Beləliklə, ODZ funksiyasını intervalda tapa bilərsiniz, çünki mütləq ekstremumlar mütləq mövcud deyil bu məsələ.

Bəzi kəmiyyətlərin ekstremumu üçün tətbiq olunan məsələlərin həllində törəmənin tətbiqi

1. Bu dəyəri məsələnin şərtindən başqa kəmiyyətlərlə ifadə edin ki, o, yalnız bir dəyişənin funksiyası olsun (mümkünsə).
2. Bu dəyişənin dəyişmə intervalı müəyyən edilir.
3. Maksimum və min dəyərlərinin intervalında funksiyanın tədqiqini aparın.

Bir tapşırıq. Divarın yaxınlığında bir şəbəkə sayğacından istifadə edərək düzbucaqlı bir platforma qurmaq lazımdır ki, bir tərəfdən divara bitişik olsun, digər üç tərəfdən isə bir şəbəkə ilə hasarlanır. Hansı aspekt nisbətində belə bir saytın sahəsi ən böyük olacaq?

S=xy 2 dəyişənin funksiyasıdır.

S = x(a - 2x)- 1-ci dəyişənin funksiyası ; x є .

S = balta - 2x2; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- ən yüksək dəyər;

S(0)=0.

Düzbucaqlının digər tərəfini tapın: saat = a: 2.

Aspekt nisbəti: y:x=2.

Cavab verin.Ən böyük sahə olacaq a 2/8 divara paralel olan tərəf digər tərəfdən 2 dəfə çox olarsa.

Funksiya tədqiqatı. Nümunələr

Misal 1

Mövcuddur y=x 3: (1-x) 2 . Araşdırma aparın.

1. ODZ: haqqında(-∞; 1) U (1; ∞).
2. Ümumi funksiya (nə cüt, nə də tək deyil) 0 (sıfır) nöqtəsinə görə simmetrik deyil.
3. Funksiya əlamətləri. Funksiya elementardır, ona görə də işarəni yalnız 0-a (sıfır) bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələrdə dəyişə bilər.
4. Funksiya elementardır, buna görə də ODZ-də davamlıdır: (-∞; 1) U (1; ∞).

Boşluq: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- 2-ci növ fasiləsizlik (sonsuz), buna görə də 1-ci nöqtədə şaquli asimptot var;

x = 1- şaquli asimptotun tənliyi.

5. y' = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ODZ (y'): x ≠ 1;

x = 1 kritik məqamdır.

y' = 0;

0; 3 kritik nöqtələrdir.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4 ;

Tənqidi t.: 1, 0;

x= 0 - əyilmə nöqtəsi, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- üfüqi asimptota yoxdur, lakin o, əyri ola bilər.

k = 1- nömrə;

b = 2- nömrə.

Buna görə də, əyri asimptot var y=x+2+ ∞ və - ∞.

Misal 2

verilmiş y = (x 2 + 1) : (x - 1). İstehsal et və istintaq. Qrafik qurun.

1. Mövcudluq sahəsi sözdə istisna olmaqla, bütün say xəttidir. x=1.

2. y OY (mümkünsə) daxil olmaqla keçir. (0;g(0)). Biz tapdıq y(0) = -1 - OY kəsişmə nöqtəsi .

ilə qrafikin kəsişmə nöqtələri ÖKÜZ tənliyini həll etməklə tapın y=0. Tənliyin həqiqi kökləri yoxdur, ona görə də bu funksiya kəsişmir ÖKÜZ.

3. Funksiya dövri deyil. İfadəsini nəzərdən keçirin

g(-x) ≠ g(x) və g(-x) ≠ -g(x). Bu o deməkdir ki ümumi görünüş funksiyası (nə cüt, nə də tək).

4. T. x=1 kəsilmə ikinci növdür. Bütün digər nöqtələrdə funksiya davamlıdır.

5. Ekstremum üçün funksiyanın öyrənilməsi:

(x 2 - 2x - 1) : (x - 1)2=y"

və tənliyi həll edin y" = 0.

Belə ki, 1 - √2, 1 + √2, 1 - kritik nöqtələr və ya mümkün ekstremal nöqtələr. Bu nöqtələr say xəttini dörd intervala bölür .

Hər bir intervalda törəmə müəyyən bir işarəyə malikdir, onu intervallar üsulu ilə və ya ayrı-ayrı nöqtələrdə törəmənin dəyərlərini hesablamaqla təyin etmək olar. Fasilələrlə (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , müsbət törəmə, yəni funksiya böyüyür; əgər xє(1 - √2 ; 1) Ü(1; 1 + √2 ) , onda funksiya azalır, çünki törəmə bu intervallarda mənfi olur. t vasitəsilə. x 1 keçid zamanı (hərəkət soldan sağa gedir) törəmə işarəni "+"-dan "-"yə dəyişir, buna görə də bu nöqtədə yerli maksimum, tapın

y maksimum = 2 - 2 √2 .

Keçən zaman x2 törəmə işarəsini "-"-dən "+"-a dəyişir, buna görə də bu nöqtədə yerli minimum var və

y qarışığı = 2 + 2√2.

T. x=1 o qədər də ekstremal deyil.

6.4: (x - 1) 3 = y"".

Üstündə (-∞; 1 ) 0 > y"" , deməli, əyri bu intervalda qabarıq olur; əgər xє (1 ; ∞) - əyri konkavdır. t-də nöqtə 1 heç bir funksiya müəyyən edilməyib, ona görə də bu nöqtə əyilmə nöqtəsi deyil.

7. 4-cü bəndin nəticələrindən belə çıxır ki x=1əyrinin şaquli asimptotudur.

Üfüqi asimptotlar yoxdur.

x + 1 = y bu əyrinin yamacının asimptotudur. Başqa asimptotlar yoxdur.

8. Aparılmış tədqiqatları nəzərə alaraq, qrafik qururuq (yuxarıdakı şəklə bax).

Diferensial hesablamanın ən mühüm vəzifələrindən biri işlənib hazırlanmasıdır ümumi nümunələr funksiyaların davranışının öyrənilməsi.

Əgər y \u003d f (x) funksiyası intervalda davamlıdırsa və onun törəməsi (a, b) intervalında müsbət və ya 0-a bərabərdirsə, y \u003d f (x) (f "(x) ilə artır. 0). Əgər y \u003d f (x) funksiyası seqmentdə davamlıdırsa və onun törəməsi (a,b) intervalında mənfi və ya 0-a bərabərdirsə, y=f(x) (f"() ilə azalır. x)0)

Funksiyanın azalmadığı və ya artmadığı intervallara funksiyanın monotonluq intervalları deyilir. Funksiyanın monotonluğunun təbiəti yalnız ilk törəmənin işarəsinin dəyişdiyi tərif sahəsinin o nöqtələrində dəyişə bilər. Funksiyanın birinci törəməsinin itdiyi və ya qırıldığı nöqtələrə kritik nöqtələr deyilir.

Teorem 1 (ekstremumun mövcudluğu üçün 1-ci kifayət qədər şərt).

y=f(x) funksiyası x 0 nöqtəsində müəyyən edilsin və δ>0 qonşuluğu olsun ki, funksiya seqmentdə kəsilməz olsun, (x 0 -δ,x 0)u( intervalında diferensial olsun. x 0 , x 0 +δ) və onun törəməsi bu intervalların hər birində sabit işarəni saxlayır. Əgər x 0 -δ, x 0) və (x 0, x 0 + δ) üzərində törəmənin işarələri fərqlidirsə, x 0 ekstremum nöqtəsidir, əgər uyğun gəlirsə, x 0 ekstremum nöqtəsi deyildir. . Bundan əlavə, x0 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəni artıdan mənfiyə dəyişirsə (x 0-ın solunda f "(x)> 0 yerinə yetirilirsə, x 0 maksimum nöqtədir; törəmə işarəni dəyişirsə mənfidən artıya (x 0-ın sağında f"(x) ilə yerinə yetirilir<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimum və minimum nöqtələrə funksiyanın ekstremum nöqtələri, funksiyanın maksimum və minimumlarına isə onun ifrat qiymətləri deyilir.

Teorem 2 (yerli ekstremum üçün zəruri meyar).

Əgər y=f(x) funksiyasının x=x 0 cərəyanında ekstremumu varsa, onda ya f'(x 0)=0, ya da f'(x 0) mövcud deyildir.
Diferensiallanan funksiyanın ekstremum nöqtələrində onun qrafikinə toxunan Ox oxuna paraleldir.

Ekstremum üçün funksiyanın öyrənilməsi alqoritmi:

1) funksiyanın törəməsini tapın.
2) Kritik nöqtələri tapın, yəni. funksiyanın davamlı olduğu və törəmənin sıfır olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələr.
3) Nöqtələrin hər birinin qonşuluğunu nəzərdən keçirin və bu nöqtənin solunda və sağında törəmənin işarəsini yoxlayın.
4) Ekstremal nöqtələrin koordinatlarını təyin edin, kritik nöqtələrin bu dəyəri üçün bu funksiyanı əvəz edin. Kifayət qədər ekstremal şərtlərdən istifadə edərək müvafiq nəticələr çıxarın.

Misal 18. y=x 3 -9x 2 +24x funksiyasını araşdırın

Həll.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Törəməni sıfıra bərabər tutaraq, x 1 =2, x 2 =4 tapırıq. Bu halda törəmə hər yerdə müəyyən edilir; deməli, tapılan iki nöqtədən başqa heç bir kritik nöqtə yoxdur.
3) y "=3(x-2)(x-4) törəməsinin işarəsi Şəkil 1-də göstərildiyi kimi intervaldan asılı olaraq dəyişir. x=2 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəni artıdan mənfiyə dəyişir, və x=4 nöqtəsindən keçərkən - mənfidən artıya.
4) x=2 nöqtəsində funksiya maksimum y max =20, x=4 nöqtəsində isə minimum y min =16 olur.

Teorem 3. (ekstremumun mövcudluğu üçün 2-ci kafi şərt).

Qoy f "(x 0) və f "" (x 0) x 0 nöqtəsində mövcud olsun. Əgər f "" (x 0)> 0 olarsa, x 0 minimum nöqtədir, əgər f "" (x 0) olarsa. )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Seqmentdə y \u003d f (x) funksiyası ya (a; b) intervalında yerləşən funksiyanın kritik nöqtələrində, ya da uclarında ən kiçik (ən azı) və ya ən böyük (ən çox) qiymətə çata bilər. seqmentin.

Seqmentdə y=f(x) fasiləsiz funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərinin tapılması alqoritmi:

1) f "(x) tapın.
2) f "(x) = 0 və ya f" (x) - mövcud olmayan nöqtələri tapın və onlardan seqmentin daxilində olanları seçin.
3) 2-ci bənddə alınan nöqtələrdə, həmçinin seqmentin uclarında y \u003d f (x) funksiyasının dəyərini hesablayın və onlardan ən böyüyünü və ən kiçiyini seçin: onlar müvafiq olaraq ən böyüyüdür ( seqmentdə ən böyük) və ən kiçik (ən kiçik üçün) funksiya dəyərləri .

Misal 19. y=x 3 -3x 2 -45+225 kəsilməz funksiyasının ən böyük qiymətini , seqmentində tapın.

1) Seqmentdə y "=3x 2 -6x-45 var
2) y" törəməsi bütün x üçün mövcuddur. y"=0 olduğu nöqtələri tapaq; alırıq:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 nöqtələrində funksiyanın qiymətini hesablayın.
Yalnız x=5 nöqtəsi seqmentə aiddir. Funksiyanın tapılan dəyərlərindən ən böyüyü 225, ən kiçiyi isə 50-dir. Beləliklə, max = 225-də, max = 50-dir.

Qabarıqlıq üzrə funksiyanın tədqiqi

Şəkildə iki funksiyanın qrafiki göstərilir. Onlardan birincisi qabarıq yuxarı, ikincisi aşağıya doğru əyilmişdir.

y=f(x) funksiyası seqmentdə fasiləsizdir və (a;b) intervalında diferensiallanır, axb üçün onun qrafiki tangensdən yüksək (aşağı olmayan) deyilsə, bu seqmentdə yuxarı (aşağı) qabarıq adlanır. istənilən nöqtədə çəkilmiş M 0 (x 0 ;f(x 0)), burada axb.

Teorem 4. y=f(x) funksiyasının seqmentin istənilən daxili x nöqtəsində ikinci törəməsi olsun və bu seqmentin uclarında kəsilməz olsun. Onda f""(x)0 bərabərsizliyi (a;b) intervalında ödənilirsə, onda funksiya seqmentdə aşağıya doğru qabarıq olur; f""(x)0 bərabərsizliyi (а;b) intervalında ödənilirsə, onda funksiya yuxarıya doğru qabarıqdır.

Teorem 5. Əgər y=f(x) funksiyasının (a;b) intervalında ikinci törəməsi varsa və x 0 nöqtəsindən keçərkən işarəsini dəyişirsə, M(x 0 ;f(x 0)) olur. əyilmə nöqtəsi.

Bükülmə nöqtələrini tapmaq qaydası:

1) f""(x)-in olmadığı və ya yox olduğu nöqtələri tapın.
2) Birinci addımda tapılan hər bir nöqtənin solunda və sağında f""(x) işarəsini yoxlayın.
3) 4-cü teorem əsasında nəticə çıxarın.

Misal 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 funksiyasının qrafasının ekstremum nöqtələrini və əyilmə nöqtələrini tapın.

Bizdə f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 var. Aydındır ki, x 1 =0, x 2 =1 üçün f"(x)=0. Törəmə x=0 nöqtəsindən keçərkən işarəni mənfidən artıya dəyişir, x=1 nöqtəsindən keçəndə isə işarəni dəyişmir. Bu o deməkdir ki, x=0 minimum nöqtədir (y min =12), x=1 nöqtəsində isə ekstremum yoxdur. Sonra, tapırıq . İkinci törəmə x 1 =1, x 2 =1/3 nöqtələrində yox olur. İkinci törəmənin əlamətləri aşağıdakı kimi dəyişir: (-∞;) şüasında f""(x)>0, (;1) intervalında f""(x) var.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Buna görə də, x= funksiya qrafikinin əyilmə nöqtəsidir (qabarlıqdan aşağı qabarıqlığa keçid) və x=1 eyni zamanda əyilmə nöqtəsidir (qabarıqlıqdan yuxarı qabarıqlığa keçid). Əgər x=, onda y=; əgər, onda x=1, y=13.

Qrafikin asimptotunu tapmaq üçün alqoritm

I. X → a kimi y=f(x) olarsa, x=a şaquli asimptotdur.
II. Əgər y=f(x) x → ∞ və ya x → -∞ kimi olarsa, y=A üfüqi asimptotdur.
III. Əyri asimptotu tapmaq üçün aşağıdakı alqoritmdən istifadə edirik:
1) Hesablayın. Əgər limit mövcuddursa və b-yə bərabərdirsə, y=b üfüqi asimptotdur; varsa, ikinci addıma keçin.
2) Hesablayın. Əgər bu limit mövcud deyilsə, deməli asimptot yoxdur; varsa və k-yə bərabərdirsə, üçüncü addıma keçin.
3) Hesablayın. Əgər bu limit mövcud deyilsə, deməli asimptot yoxdur; varsa və b-ə bərabərdirsə, dördüncü addıma keçin.
4) y=kx+b əyri asimptotunun tənliyini yazın.

Misal 21: Funksiya üçün asimptot tapın

1)
2)
3)
4) Maye asimptot tənliyi formaya malikdir

Funksiyanın tədqiqi sxemi və onun qrafikinin qurulması

I. Funksiya sahəsini tapın.
II. Funksiya qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın.
III. Asimptotları tapın.
IV. Mümkün ekstremal nöqtələri tapın.
V. Kritik nöqtələri tapın.
VI. Köməkçi rəsmdən istifadə edərək birinci və ikinci törəmələrin işarəsini araşdırın. Funksiyanın artım və azalma sahələrini təyin edin, qrafikin qabarıqlığının, ekstremum nöqtələrinin və əyilmə nöqtələrinin istiqamətini tapın.
VII. 1-6-cı bəndlərdə aparılan araşdırmanı nəzərə alaraq qrafik qurun.

Nümunə 22: Yuxarıdakı sxemə uyğun olaraq funksiya qrafikini qurun

Həll.
I. Funksiya sahəsi x=1 istisna olmaqla, bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur.
II. x 2 +1=0 tənliyinin həqiqi kökləri olmadığı üçün funksiyanın qrafikinin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur, Oy oxunu (0; -1) nöqtəsində kəsir.
III. Asimptotların mövcudluğu məsələsinə aydınlıq gətirək. Biz x=1 kəsilmə nöqtəsi yaxınlığında funksiyanın davranışını araşdırırıq. x → -∞ üçün y → ∞, x → 1+ üçün y → +∞ olduğundan, x=1 xətti funksiyanın qrafikinin şaquli asimptotudur.
Əgər x → +∞(x → -∞), onda y → +∞(y → -∞); ona görə də qrafikin üfüqi asimptotası yoxdur. Bundan əlavə, məhdudiyyətlərin mövcudluğundan

x 2 -2x-1=0 tənliyini həll edərək, mümkün ekstremumun iki nöqtəsini alırıq:
x 1 =1-√2 və x 2 =1+√2

V. Kritik nöqtələri tapmaq üçün ikinci törəməni hesablayırıq:

f""(x) itmədiyi üçün kritik nöqtələr yoxdur.
VI. Birinci və ikinci törəmələrin işarəsini araşdırırıq. Nəzərə alınmalı mümkün ekstremal nöqtələr: x 1 =1-√2 və x 2 =1+√2, funksiyanın mövcudluq sahəsini intervallara bölün (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) və (1+√2;+∞).

Bu intervalların hər birində törəmə öz işarəsini saxlayır: birincidə - üstəlik, ikincidə - mənfi, üçüncüdə - üstəgəl. Birinci törəmənin işarələrinin ardıcıllığı aşağıdakı kimi yazılacaq: +, -, +.
Alırıq ki, (-∞;1-√2)-də funksiya artır, (1-√2;1+√2)-də azalır, (1+√2;+∞)-də isə yenidən artır. Ekstremal nöqtələr: maksimum x=1-√2, üstəlik f(1-√2)=2-2√2 minimum x=1+√2, üstəlik f(1+√2)=2+2√2. Onda (-∞;1) qrafik yuxarıya, (1;+∞) isə aşağıya doğru qabarıqdır.
VII Alınan qiymətlərin cədvəlini tərtib edək

VIII Alınan məlumatlar əsasında funksiyanın qrafikinin eskizini qururuq

xərcləyin tam təhsil və funksiyanın qrafikini çəkin

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funksiya əhatə dairəsi. Funksiya kəsr olduğundan məxrəcin sıfırlarını tapmaq lazımdır.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Yeganə x=1x=1 nöqtəsini funksiyanın təyini sahəsindən xaric edirik və əldə edirik:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Kesiklik nöqtəsi yaxınlığında funksiyanın davranışını öyrənək. Birtərəfli məhdudiyyətləri tapın:

Sərhədlər sonsuzluğa bərabər olduğundan x=1x=1 nöqtəsi ikinci növ kəsikdir, x=1x=1 xətti şaquli asimptotdur.

3) Funksiyanın qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini təyin edək.

X=0x=0 bərabərləşdirdiyimiz OyOy ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tapaq:

Beləliklə, OyOy oxu ilə kəsişmə nöqtəsi (0;8)(0;8) koordinatlarına malikdir.

y=0y=0 təyin etdiyimiz OxOx absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tapaq:

Tənliyin kökləri yoxdur, ona görə də OxOx oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur.

Qeyd edək ki, istənilən xx üçün x2+8>0x2+8>0. Buna görə də x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) üçün y>0y>0 funksiyası (müsbət qiymətlər alır, qrafik x oxundan yuxarıdır), x∈(1;+∞) üçün )x∈(1; +∞) funksiyası y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funksiya nə cüt, nə də tək deyil, çünki:

5) Funksiyanı dövrilik üçün araşdırırıq. Bu funksiya kəsr rasional funksiya olduğu üçün dövri deyil.

6) Biz ekstremumlar və monotonluq üçün funksiyanı araşdırırıq. Bunun üçün funksiyanın birinci törəməsini tapırıq:

Gəlin birinci törəməni sıfıra bərabərləşdirək və stasionar nöqtələri tapaq (burada y′=0y′=0):

Üç kritik nöqtə əldə etdik: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Funksiyanın bütün oblastını verilmiş nöqtələrlə intervallara bölürük və hər intervalda törəmənin əlamətlərini təyin edirik:

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) üçün y′ törəməsi<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) y′>0y′>0 törəməsi üçün funksiya bu intervallarda artır.

Bu halda x=−2x=−2 lokal minimum nöqtədir (funksiya azalır və sonra artır), x=4x=4 lokal maksimum nöqtədir (funksiya artır və sonra azalır).

Bu nöqtələrdə funksiyanın qiymətlərini tapaq:

Beləliklə, minimum nöqtə (−2;4)(−2;4), maksimum nöqtə (4;−8)(4;−8).

7) Funksiyanı bükülmə və qabarıqlıq üçün yoxlayırıq. Funksiyanın ikinci törəməsini tapaq:

İkinci törəməni sıfıra bərabərləşdirin:

Yaranan tənliyin kökləri yoxdur, ona görə də əyilmə nöqtələri yoxdur. Üstəlik, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 ödənildikdə, yəni x∈(1;+∞)x∈(1) olduqda funksiya konkav olur. ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Biz funksiyanın sonsuzluqda, yəni -də davranışını araşdırırıq.

Sərhədlər sonsuz olduğundan üfüqi asimptotlar yoxdur.

y=kx+by=kx+b formasının əyri asimptotlarını təyin etməyə çalışaq. K,bk,b dəyərlərini məlum düsturlara əsasən hesablayırıq:

Biz tapdıq ki, funksiyanın bir əyri asimptot y=−x−1y=−x−1 var.

9) Əlavə nöqtələr. Qrafiki daha dəqiq qurmaq üçün funksiyanın başqa nöqtələrdəki qiymətini hesablayaq.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Əldə edilmiş məlumatlara əsasən, biz bir qrafik quracağıq, onu x=1x=1 (mavi), y=−x−1y=−x−1 (yaşıl) asimptotlarla tamamlayacağıq və xarakterik nöqtələri (şəkillə kəsişməni) qeyd edəcəyik. ordinat oxu bənövşəyi, ekstremal narıncı, əlavə nöqtələr qara) :

Tapşırıq 4: Həndəsi, İqtisadi problemlər (nə bilmirəm, burada həlli və düsturları olan problemlərin təxmini seçimi var)

Misal 3.23. a

Həll. x və y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. x = a/4 yeganə kritik nöqtə olduğundan, bu nöqtədən keçərkən törəmənin işarəsinin dəyişib-dəyişmədiyini yoxlayaq. xa/4 S "> 0 və x >a/4 S " üçün< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет ən yüksək dəyər funksiyaları. Beləliklə, məsələnin verilmiş şərtlərində saytın ən əlverişli aspekt nisbəti y = 2x-dir.

Misal 3.24.

Həll.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Misal 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 funksiyasının ekstremumunu tapın.

Həll. f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3) olduğundan, x 1 \u003d 2 və x 2 \u003d 3 funksiyasının kritik nöqtələri. Ekstremal nöqtələr ola bilər. yalnız bu nöqtələrdə olsun.Belə ki, x 1 \u003d 2 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəsini artı mənfiyə dəyişir, onda bu nöqtədə funksiya maksimuma malikdir. x 2 \u003d 3 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəsini mənfi olaraq artıya dəyişir, buna görə də x 2 \u003d 3 nöqtəsində funksiya minimuma malikdir.
x 1 = 2 və x 2 = 3 olduqda, funksiyanın ekstremumunu tapırıq: maksimum f(2) = 14 və minimum f(3) = 13.

Misal 3.23. Daş divarın yanında düzbucaqlı sahə tikmək lazımdır ki, o, üç tərəfdən məftillə hasarlanıb, dördüncü tərəfdən isə divara bitişik olsun. Bunun üçün var aşəbəkənin xətti metrləri. Sayt hansı aspekt nisbətində ən böyük sahəyə sahib olacaq?

Həll. Saytın tərəflərini vasitəsilə işarələyin x və y. Saytın sahəsi S = xy-dir. Qoy y divara bitişik tərəfin uzunluğudur. Sonra şərtə görə 2x + y = a bərabərliyi olmalıdır. Buna görə də y = a - 2x və S = x(a - 2x), burada
0 ≤ x ≤ a/2 (sahənin uzunluğu və eni mənfi ola bilməz). S "= a - 4x, a - 4x = 0 üçün x = a/4, haradandır
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. x = a/4 yeganə kritik nöqtə olduğundan, bu nöqtədən keçərkən törəmənin işarəsinin dəyişib-dəyişmədiyini yoxlayaq. xa/4 S "> 0 və x >a/4 S " üçün< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Misal 3.24. V=16p ≈ 50 m 3 tutumu olan qapalı silindrik çənin hazırlanması tələb olunur. İstehsalında ən az miqdarda material istifadə etmək üçün tankın ölçüləri (radius R və hündürlüyü H) nə olmalıdır?

Həll. Silindrlərin ümumi səth sahəsi S = 2pR(R+H) təşkil edir. Biz silindrin həcmini bilirik V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Deməli, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Bu funksiyanın törəməsini tapırıq:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). R 3 \u003d 8 üçün S " (R) \u003d 0, buna görə də,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Oxşar məlumat.

Tapşırıqda f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 funksiyasının qrafikinin qurulması ilə tam tədqiq etmək lazımdırsa, bu prinsipi ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Bu tip problemi həll etmək üçün əsas elementar funksiyaların xassələrindən və qrafiklərindən istifadə etmək lazımdır. Tədqiqat alqoritmi aşağıdakı addımları əhatə edir:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tərif sahəsinin tapılması

Tədqiqat funksiyanın domenində aparıldığı üçün bu addımdan başlamaq lazımdır.

Misal 1

Verilmiş misal məxrəcin sıfırlarını tapmaq üçün onları DPV-dən çıxarmağı nəzərdə tutur.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Nəticədə köklər, loqarifmlər və s. Sonra ODZ-də g (x) 4 tipli cüt dərəcənin kökünü g (x) ≥ 0 bərabərsizliyi ilə, log a g (x) loqarifmi üçün g (x) > 0 bərabərsizliyi ilə axtarmaq olar.

ODZ sərhədlərinin tədqiqi və şaquli asimptotaların tapılması

Belə nöqtələrdə birtərəfli hədlər sonsuz olduqda, funksiyanın sərhədlərində şaquli asimptotlar var.

Misal 2

Məsələn, sərhəd nöqtələrini x = ± 1 2-yə bərabər hesab edin.

Sonra birtərəfli həddi tapmaq üçün funksiyanı öyrənmək lazımdır. Onda bunu alırıq: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Bu, birtərəfli hədlərin sonsuz olduğunu göstərir, yəni x = ± 1 2 xətləri qrafikin şaquli asimptotlarıdır.

Funksiyanın tədqiqi və cüt və ya tək üçün

y (- x) = y (x) şərti yerinə yetirildikdə, funksiya cüt hesab olunur. Bu, qrafikin O y-ə nisbətən simmetrik yerləşdiyini göstərir. y (- x) = - y (x) şərti yerinə yetirildikdə, funksiya tək hesab olunur. Bu o deməkdir ki, simmetriya koordinatların mənşəyinə görə gedir. Ən azı bir bərabərsizlik uğursuz olarsa, ümumi formalı bir funksiya əldə edirik.

y (- x) = y (x) bərabərliyinin yerinə yetirilməsi funksiyanın cüt olduğunu göstərir. Quraşdırarkən nəzərə almaq lazımdır ki, O y ilə bağlı simmetriya olacaq.

Bərabərsizliyi həll etmək üçün müvafiq olaraq f "(x) ≥ 0 və f" (x) ≤ 0 şərtləri ilə artım və azalma intervallarından istifadə edilir.

Tərif 1

Stasionar nöqtələr törəməni sıfıra çevirən nöqtələrdir.

Kritik nöqtələr funksiyanın törəməsinin sıfıra bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı sahənin daxili nöqtələridir.

Qərar qəbul edərkən aşağıdakı məqamlar nəzərə alınmalıdır:

• f "(x) > 0 formalı bərabərsizliyin mövcud artım və azalma intervalları üçün kritik nöqtələr həllə daxil edilmir;
• funksiyanın sonlu törəmə olmadan müəyyən edildiyi nöqtələr artım və azalma intervallarına daxil edilməlidir (məsələn, y \u003d x 3, burada x \u003d 0 nöqtəsi funksiyanı təyin edir, törəmə sonsuzluq dəyərinə malikdir bu nöqtədə y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 artım intervalına daxil edilir);
• fikir ayrılıqlarının qarşısını almaq üçün Təhsil Nazirliyinin tövsiyə etdiyi riyazi ədəbiyyatdan istifadə etmək tövsiyə olunur.

Kritik nöqtələrin funksiyanın oblastını təmin etdiyi halda artan və azalan intervallara daxil edilməsi.

Tərif 2

üçün funksiyanın artım və azalma intervallarını təyin edərək tapmaq lazımdır:

• törəmə;
• kritik nöqtələr;
• kritik nöqtələrin köməyi ilə tərif sahəsini intervallara bölmək;
• intervalların hər birində törəmənin işarəsini təyin edin, burada + artım və - azalmadır.

Misal 3

f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) domenində törəməni tapın. 2 .

Həll

Həll etmək üçün sizə lazımdır:

• stasionar nöqtələri tapın, bu nümunədə x = 0 var;
• məxrəcin sıfırlarını tapın, misal x = ± 1 2-də sıfır qiymətini alır.

Hər bir interval üzrə törəməni müəyyən etmək üçün ədədi oxda nöqtələri ifşa edirik. Bunun üçün intervaldan istənilən nöqtəni götürüb hesablama aparmaq kifayətdir. At müsbət nəticə qrafikdə + təsvir edirik, bu funksiyanın artması deməkdir və - onun azalması deməkdir.

Məsələn, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, yəni soldakı ilk intervalın + işarəsi var. Nömrəni nəzərdən keçirin. xətt.

Cavab:

• intervalda funksiyada artım var - ∞ ; - 1 2 və (- 1 2 ; 0 ] ;
• intervalında azalma var [ 0 ; 1 2) və 1 2 ; +∞ .

Diaqramda + və - istifadə edərək, funksiyanın müsbət və mənfi cəhətləri təsvir olunur və oxlar azalma və artım göstərir.

Funksiyanın ekstremum nöqtələri funksiyanın təyin olunduğu və törəmənin işarəni dəyişdirdiyi nöqtələrdir.

Misal 4

X \u003d 0 olan bir nümunəni nəzərdən keçirsək, onda funksiyanın dəyəri f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0-dır. Törəmə işarəsi +-dan --ə dəyişdikdə və x \u003d 0 nöqtəsindən keçdikdə, koordinatları (0; 0) olan nöqtə maksimum nöqtə hesab olunur. İşarəni --dən +-a dəyişdirdikdə minimum nöqtəni alırıq.

Qabarıqlıq və qabarıqlıq f "" (x) ≥ 0 və f "" (x) ≤ 0 formalı bərabərsizliklərin həlli ilə müəyyən edilir. Daha az tez-tez onlar qabarıqlıq əvəzinə qabarıqlıq və qabarıqlıq əvəzinə qabarıqlıq adından istifadə edirlər.

Tərif 3

üçün qabarıqlıq və qabarıqlıq boşluqlarının müəyyən edilməsi zəruri:

• ikinci törəməni tapın;
• ikinci törəmə funksiyasının sıfırlarını tapın;
• intervallarda görünən nöqtələrlə tərif sahəsini qırmaq;
• boşluğun işarəsini müəyyənləşdirin.

Misal 5

Tərif sahəsindən ikinci törəməni tapın.

Həll

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Biz payın və məxrəcin sıfırlarını tapırıq, burada nümunəmizdən istifadə edərək, məxrəcin sıfırlarının x = ± 1 2 olduğunu görürük.

İndi nömrə xəttinə nöqtələr qoymalı və hər intervaldan ikinci törəmənin işarəsini təyin etməlisiniz. Bunu anlayırıq

Cavab:

• funksiya - 1 2 intervalından qabarıqdır; 12;
• funksiya boşluqlardan konkavdır - ∞ ; - 1 2 və 1 2 ; +∞ .

Tərif 4

əyilmə nöqtəsi x 0 formasının nöqtəsidir; f(x0) . Funksiya qrafikinə tangensi olduqda, x 0-dan keçəndə funksiya işarəsini əksinə dəyişir.

Başqa sözlə desək, bu elə bir nöqtədir ki, ikinci törəmə keçib işarəni dəyişir, nöqtələrin özlərində isə sıfıra bərabərdir və ya yoxdur. Bütün nöqtələr funksiyanın oblastı hesab olunur.

Nümunədə göründü ki, ikinci törəmə x = ± 1 2 nöqtələrindən keçərkən işarəni dəyişir, çünki əyilmə nöqtələri yoxdur. Onlar, öz növbəsində, tərif sahəsinə daxil edilmir.

Üfüqi və əyri asimptotların tapılması

Funksiyanı sonsuzluqda təyin edərkən üfüqi və əyri asimptotları axtarmaq lazımdır.

Tərif 5

Oblik asimptotlar y = k x + b tənliyi ilə verilmiş xətlərdən istifadə etməklə çəkilir, burada k = lim x → ∞ f (x) x və b = lim x → ∞ f (x) - k x .

k = 0 və sonsuzluğa bərabər olmayan b üçün, əyri asimptotun olduğunu görürük. üfüqi.

Başqa sözlə, asimptotlar funksiyanın qrafikinin sonsuzluğa yaxınlaşdığı xətlərdir. Bu, funksiyanın qrafikinin sürətli qurulmasına kömək edir.

Əgər asimptotlar yoxdursa, lakin funksiya hər iki sonsuzluqda müəyyən edilibsə, funksiyanın qrafikinin necə davranacağını anlamaq üçün bu sonsuzluqlarda funksiyanın limitini hesablamaq lazımdır.

Misal 6

Nümunə olaraq bunu nəzərdən keçirək

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

üfüqi asimptotdur. Funksiyanı araşdırdıqdan sonra onu qurmağa başlaya bilərsiniz.

Aralıq nöqtələrdə funksiyanın qiymətinin hesablanması

Planlaşdırmanı ən dəqiq etmək üçün ara nöqtələrdə funksiyanın bir neçə dəyərini tapmaq tövsiyə olunur.

Misal 7

Baxdığımız nümunədən x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 nöqtələrində funksiyanın dəyərlərini tapmaq lazımdır. Funksiya bərabər olduğundan, dəyərlərin bu nöqtələrdəki dəyərlərlə üst-üstə düşdüyünü əldə edirik, yəni x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4 alırıq.

Yazıb həll edək:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Funksiyanın maksimal və minimumlarını, əyilmə nöqtələrini, ara nöqtələrini təyin etmək üçün asimptotlar qurmaq lazımdır. Rahat təyinat üçün artım, azalma, qabarıqlıq, konkavlik intervalları müəyyən edilir. Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

İşarələnmiş nöqtələr vasitəsilə qrafik xətləri çəkmək lazımdır ki, bu da oxlardan sonra asimptotlara yaxınlaşmağa imkan verəcək.

Bu, funksiyanın tam öyrənilməsini yekunlaşdırır. Həndəsi çevrilmələrin istifadə edildiyi bəzi elementar funksiyaların qurulması halları var.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Bu gün sizi bizimlə bir funksiya qrafikini araşdırmağa və qurmağa dəvət edirik. Bu məqaləni diqqətlə öyrəndikdən sonra bu cür işi başa çatdırmaq üçün uzun müddət tərləməyinizə ehtiyac olmayacaq. Bir funksiyanın qrafikini araşdırmaq və qurmaq asan deyil, iş həcmlidir, maksimum diqqət və hesablamaların dəqiqliyini tələb edir. Materialın qavranılmasını asanlaşdırmaq üçün biz tədricən eyni funksiyanı öyrənəcəyik, bütün hərəkətlərimizi və hesablamalarımızı izah edəcəyik. heyrətamiz və xoş gəlmisiniz füsunkar dünya riyaziyyat! Get!

Domen

Funksiyanı tədqiq etmək və qurmaq üçün bir neçə tərifi bilməlisiniz. Funksiya riyaziyyatda əsas (əsas) anlayışlardan biridir. Dəyişikliklərlə bir neçə dəyişən (iki, üç və ya daha çox) arasında asılılığı əks etdirir. Funksiya həmçinin çoxluqların asılılığını göstərir.

Təsəvvür edin ki, bizdə müəyyən dəyişiklik diapazonuna malik iki dəyişən var. Deməli, ikinci dəyişənin hər bir qiyməti ikincinin bir qiymətinə uyğun gələrsə, y x-in funksiyasıdır. Bu halda y dəyişəni asılı olur və ona funksiya deyilir. X və y dəyişənlərinin içərisində olduğunu söyləmək adətdir. Bu asılılığın daha aydın olması üçün funksiyanın qrafiki qurulur. Funksiya qrafiki nədir? Bu, koordinat müstəvisində x-in hər bir dəyəri y-nin bir dəyərinə uyğun gələn nöqtələr toplusudur. Qrafiklər müxtəlif ola bilər - düz xətt, hiperbola, parabola, sinusoid və s.

Tədqiqat aparılmadan funksiya qrafiki çəkilə bilməz. Bu gün biz tədqiqat aparmağı və funksiya qrafikini necə qurmağı öyrənəcəyik. Tədqiqat zamanı qeydlər etmək çox vacibdir. Beləliklə, tapşırığın öhdəsindən gəlmək daha asan olacaq. Ən əlverişli təhsil planı:

1. Domen.
2. Davamlılıq.
3. Cüt və ya tək.
4. Dövrilik.
5. Asimptotlar.
6. Sıfırlar.
7. Davamlılıq.
8. Artan və enən.
9. İfrat.
10. Qabarıqlıq və qabarıqlıq.

Birinci nöqtədən başlayaq. Tərif sahəsini, yəni funksiyamızın hansı intervallarda mövcud olduğunu tapaq: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Bizim vəziyyətimizdə funksiya x-in istənilən qiymətləri üçün mövcuddur, yəni tərif sahəsi R-dir. Bu xОР kimi yazıla bilər.

Davamlılıq

İndi kəsilmə funksiyasını araşdıracağıq. Riyaziyyatda “davamlılıq” termini hərəkət qanunlarının öyrənilməsi nəticəsində yaranmışdır. Sonsuz nədir? Məkan, zaman, bəzi asılılıqlar (məsələn, S və t dəyişənlərinin hərəkət məsələlərində asılılığı), qızdırılan obyektin temperaturu (su, tava, termometr və s.), davamlı xətt (yəni bir vərəqdən götürmədən çəkmək olar).

Qrafik müəyyən nöqtədə qırılmırsa, davamlı hesab olunur. Belə bir qrafikin ən bariz nümunələrindən biri sinus dalğasıdır ki, onu bu bölmədəki şəkildə görə bilərsiniz. Bir sıra şərtlər yerinə yetirildikdə, funksiya x0 nöqtəsində davamlıdır:

• funksiya verilmiş nöqtədə müəyyən edilir;
• bir nöqtədə sağ və sol sərhədlər bərabərdir;
• limit funksiyanın x0 nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir.

Ən azı bir şərt yerinə yetirilmədikdə, funksiyanın pozulduğu deyilir. Və funksiyanın kəsildiyi nöqtələrə qırılma nöqtələri deyilir. Qrafik olaraq göstərildikdə “qırılacaq” funksiyaya misal: y=(x+4)/(x-3). Üstəlik, x = 3 nöqtəsində y mövcud deyil (çünki sıfıra bölmək mümkün deyil).

Öyrəndiyimiz funksiyada (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) hər şey sadə oldu, çünki qrafik davamlı olacaq.

Hətta, qəribə

İndi funksiyanı paritet üçün yoxlayın. Bir az nəzəriyyə ilə başlayaq. Cüt funksiya x dəyişəninin hər hansı qiyməti üçün f (-x) = f (x) şərtini ödəyən funksiyadır (qiymətlər diapazonundan). Nümunələr bunlardır:

• modul x (qrafik cərgəyə bənzəyir, qrafikin birinci və ikinci rüblərinin bissektrisa);
• x kvadratı (parabola);
• kosinus x (kosinus dalğası).

Qeyd edək ki, bu qrafiklərin hamısı y oxuna görə simmetrikdir.

O zaman tək funksiya nə adlanır? Bunlar şərti ödəyən funksiyalardır: x dəyişəninin istənilən dəyəri üçün f (-x) \u003d - f (x). Nümunələr:

• hiperbola;
• kub parabola;
• sinusoid;
• tangens və s.

Nəzərə alın ki, bu funksiyalar nöqtəyə (0:0), yəni mənşəyə görə simmetrikdir. Məqalənin bu bölməsində deyilənlərə əsasən, cüt və tək funksiyanın xassələri olmalıdır: x təriflər çoxluğuna aiddir və -x də.

Paritet funksiyasını nəzərdən keçirək. Onun heç bir təsvirə uyğun gəlmədiyini görə bilərik. Deməli, bizim funksiyamız nə cüt, nə də təkdir.

Asimptotlar

Bir təriflə başlayaq. Asimptot qrafikə mümkün qədər yaxın olan əyridir, yəni hansısa nöqtədən olan məsafə sıfıra meyllidir. Üç növ asimptot var:

• şaquli, yəni y oxuna paralel;
• üfüqi, yəni x oxuna paralel;
• əyri.

Birinci növə gəldikdə, bu xətləri bəzi məqamlarda axtarmaq lazımdır:

• boşluq;
• domenin ucları.

Bizim vəziyyətimizdə funksiya fasiləsizdir və təyinetmə sahəsi R-dir. Buna görə də şaquli asimptotlar yoxdur.

Funksiya qrafiki aşağıdakı tələbə cavab verən üfüqi asimptota malikdir: əgər x sonsuzluğa və ya mənfi sonsuzluğa meyllidirsə və limit müəyyən ədədə bərabərdirsə (məsələn, a). Bu halda y=a üfüqi asimptotdur. Öyrəndiyimiz funksiyada heç bir üfüqi asimptot yoxdur.

Maye asimptot yalnız iki şərt yerinə yetirildikdə mövcuddur:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Onda onu düsturla tapmaq olar: y=kx+b. Yenə bizim vəziyyətimizdə əyri asimptotlar yoxdur.

Funksiya sıfırları

Növbəti addım funksiyanın qrafikini sıfırlar üçün yoxlamaqdır. Onu da qeyd etmək çox vacibdir ki, funksiyanın sıfırlarının tapılması ilə bağlı tapşırıq təkcə funksiyanın öyrənilməsi və planlaşdırılması zamanı deyil, həm də müstəqil vəzifə, və bərabərsizlikləri həll etmək üçün bir yol kimi. Sizdən qrafikdə funksiyanın sıfırlarını tapmaq və ya riyazi qeydlərdən istifadə etmək tələb oluna bilər.

Bu dəyərləri tapmaq, funksiyanı daha dəqiq qurmağa kömək edəcək. Danışsa sadə dil, onda funksiyanın sıfırı y=0 olan x dəyişəninin qiymətidir. Əgər siz qrafikdə funksiyanın sıfırlarını axtarırsınızsa, onda qrafikin x oxu ilə kəsişdiyi nöqtələrə diqqət yetirməlisiniz.

Funksiyanın sıfırlarını tapmaq üçün aşağıdakı tənliyi həll etmək lazımdır: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Lazımi hesablamaları etdikdən sonra aşağıdakı cavabı alırıq:

sabitlik işarəsi

Funksiyanın (qrafikanın) öyrənilməsi və qurulmasının növbəti mərhələsi işarə sabitliyinin intervallarının tapılmasıdır. Bu o deməkdir ki, biz funksiyanın hansı intervalları götürdüyünü müəyyən etməliyik müsbət dəyər, bəzilərində isə mənfi. Əvvəlki bölmədə tapılan funksiyaların sıfırları bunu etməkdə bizə kömək edəcəkdir. Beləliklə, bir düz xətt qurmalıyıq (qrafikdən ayrı) və onun boyunca funksiyanın sıfırlarını kiçikdən böyüyə doğru ardıcıllıqla paylamalıyıq. İndi ortaya çıxan intervallardan hansının “+” işarəsi, hansının isə “-” işarəsi olduğunu müəyyən etməlisiniz.

Bizim vəziyyətimizdə funksiya intervallarda müsbət qiymət alır:

• 1-dən 4-ə qədər;
• 9-dan sonsuza qədər.

Mənfi məna:

• mənfi sonsuzluqdan 1-ə qədər;
• 4-dən 9-a qədər.

Bunu müəyyən etmək kifayət qədər asandır. Funksiyaya intervaldan istənilən ədədi əvəz edin və cavabın hansı işarəyə malik olduğuna baxın (mənfi və ya artı).

Artan və azalan funksiya

Funksiyanı araşdırmaq və qurmaq üçün qrafikin harada artacağını (Oy üzərinə qalxın) və harada düşəcəyini (y oxu boyunca aşağı sürünəcəyini) bilməliyik.

Funksiya yalnız x dəyişəninin daha böyük qiyməti y-nin böyük dəyərinə uyğun gələrsə artır. Yəni x2 x1-dən, f(x2) isə f(x1)-dən böyükdür. Biz isə azalan funksiyada tamamilə əks hadisə müşahidə edirik (x nə qədər çox olarsa, y o qədər azdır). Artım və azalma intervallarını müəyyən etmək üçün aşağıdakıları tapmaq lazımdır:

• əhatə dairəsi (artıq bizdə var);
• törəmə (bizim halda: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 tənliyini həll edin.

Hesablamalardan sonra nəticəni alırıq:

Alırıq: funksiya mənfi sonsuzluqdan 7/3-ə və 7-dən sonsuza qədər olan intervallarda artır və 7/3-dən 7-ə qədər olan intervalda azalır.

İfrat

Tədqiq olunan y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) funksiyası davamlıdır və x dəyişəninin istənilən qiymətləri üçün mövcuddur. Ekstremum nöqtəsi bu funksiyanın maksimum və minimumunu göstərir. Bizim vəziyyətimizdə heç biri yoxdur, bu da tikinti işini çox asanlaşdırır. Əks halda, onlar törəmə funksiyasından istifadə etməklə də tapılır. Tapdıqdan sonra onları diaqramda qeyd etməyi unutmayın.

Qabarıqlıq və qabarıqlıq

y(x) funksiyasını öyrənməyə davam edirik. İndi onu qabarıqlıq və konkavlik üçün yoxlamaq lazımdır. Bu anlayışların təriflərini qəbul etmək olduqca çətindir, hər şeyi nümunələrlə təhlil etmək daha yaxşıdır. Test üçün: funksiya azalmayan funksiyadırsa, qabarıqdır. Razılaşın, bu anlaşılmazdır!

İkinci dərəcəli funksiyanın törəməsini tapmalıyıq. Alırıq: y=1/3(6x-28). İndi bərabərləşdirin sağ tərəf sıfıra endirin və tənliyi həll edin. Cavab: x=14/3. Biz əyilmə nöqtəsini, yəni qrafikin qabarıqdan konkave və ya əksinə dəyişdiyi yeri tapdıq. Mənfi sonsuzluqdan 14/3-ə qədər olan intervalda funksiya qabarıq, 14/3-dən üstəgəl sonsuzluğa qədər isə konkav olur. Qrafikdəki əyilmə nöqtəsinin hamar və yumşaq olması lazım olduğunu da qeyd etmək çox vacibdir, kəskin künclər olmamalıdır.

Əlavə nöqtələrin tərifi

Bizim vəzifəmiz funksiya qrafikini araşdırmaq və qurmaqdır. Tədqiqatı başa çatdırdıq, indi funksiyanın qrafikini çəkmək çətin olmayacaq. Bir əyrinin və ya düz xəttin koordinat müstəvisində daha dəqiq və ətraflı reproduksiyası üçün bir neçə köməkçi nöqtə tapa bilərsiniz. Onları hesablamaq olduqca asandır. Məsələn, x=3 götürürük, yaranan tənliyi həll edirik və y=4-ü tapırıq. Və ya x=5 və y=-5 və s. Siz qurmaq üçün lazım olan qədər əlavə xal götürə bilərsiniz. Onların ən azı 3-5-i tapılır.

Süjet qurmaq

(x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y funksiyasını araşdırmalı olduq. Hesablamalar zamanı bütün lazımi işarələr koordinat müstəvisində aparılmışdır. Yalnız bir qrafik qurmaq, yəni bütün nöqtələri bir-birinə bağlamaq qalır. Nöqtələri birləşdirmək hamar və dəqiqdir, bu bacarıq məsələsidir - bir az məşq edin və cədvəliniz mükəmməl olacaq.

Oxşar məqalələr