Məxfiliyiniz bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik siyasətimizi oxuyun və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik E-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Bizim tərəfimizdən yığılmışdır Şəxsi məlumat sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
• Zaman-zaman biz sizə vacib bildirişlər və mesajlar göndərmək üçün şəxsi məlumatlarınızdan istifadə edə bilərik.
• Biz şəxsi məlumatlardan audit, məlumatların təhlili və kimi daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik müxtəlif tədqiqatlar təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və xidmətlərimizlə bağlı sizə tövsiyələr vermək.
• Əgər siz uduş tirajı, müsabiqə və ya oxşar təşviqdə iştirak etsəniz, bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə açıqlama

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə icraatında və/və ya ictimai sorğu və ya müraciətlər əsasında dövlət qurumları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai maraq məqsədləri üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq üçüncü tərəfin varisinə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirlər də daxil olmaqla tədbirlər görürük.

Məxfiliyinizi şirkət səviyyəsində qorumaq

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik təcrübələrini əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Bu gün sizi bizimlə bir funksiya qrafikini araşdırmağa və qurmağa dəvət edirik. Bu məqaləni diqqətlə öyrəndikdən sonra bu cür işi başa çatdırmaq üçün uzun müddət tərləməyinizə ehtiyac olmayacaq. Bir funksiyanın qrafikini araşdırmaq və qurmaq asan deyil, iş həcmlidir, maksimum diqqət və hesablamaların dəqiqliyini tələb edir. Materialın qavranılmasını asanlaşdırmaq üçün biz tədricən eyni funksiyanı öyrənəcəyik, bütün hərəkətlərimizi və hesablamalarımızı izah edəcəyik. heyrətamiz və xoş gəlmisiniz füsunkar dünya riyaziyyat! Get!

Domen

Funksiyanı tədqiq etmək və qurmaq üçün bir neçə tərifi bilməlisiniz. Funksiya riyaziyyatda əsas (əsas) anlayışlardan biridir. Dəyişikliklərlə bir neçə dəyişən (iki, üç və ya daha çox) arasında asılılığı əks etdirir. Funksiya həmçinin çoxluqların asılılığını göstərir.

Təsəvvür edin ki, bizdə müəyyən dəyişiklik diapazonuna malik iki dəyişən var. Deməli, ikinci dəyişənin hər bir qiyməti ikincinin bir qiymətinə uyğun gələrsə, y x-in funksiyasıdır. Bu halda y dəyişəni asılı olur və ona funksiya deyilir. X və y dəyişənlərinin içərisində olduğunu söyləmək adətdir. Bu asılılığın daha aydın olması üçün funksiyanın qrafiki qurulur. Funksiya qrafiki nədir? Bu, koordinat müstəvisində x-in hər bir dəyəri y-nin bir dəyərinə uyğun gələn nöqtələr toplusudur. Qrafiklər müxtəlif ola bilər - düz xətt, hiperbola, parabola, sinusoid və s.

Tədqiqat aparılmadan funksiya qrafiki çəkilə bilməz. Bu gün biz tədqiqat aparmağı və funksiya qrafikini necə qurmağı öyrənəcəyik. Tədqiqat zamanı qeydlər etmək çox vacibdir. Beləliklə, tapşırığın öhdəsindən gəlmək daha asan olacaq. Ən əlverişli təhsil planı:

1. Domen.
2. Davamlılıq.
3. Cüt və ya tək.
4. Dövrilik.
5. Asimptotlar.
6. Sıfırlar.
7. Davamlılıq.
8. Artan və enən.
9. İfrat.
10. Qabarıqlıq və qabarıqlıq.

Birinci nöqtədən başlayaq. Tərif sahəsini, yəni funksiyamızın hansı intervallarda mövcud olduğunu tapaq: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Bizim vəziyyətimizdə funksiya x-in istənilən qiymətləri üçün mövcuddur, yəni tərif sahəsi R-dir. Bu xОР kimi yazıla bilər.

Davamlılıq

İndi kəsilmə funksiyasını araşdıracağıq. Riyaziyyatda “davamlılıq” termini hərəkət qanunlarının öyrənilməsi nəticəsində yaranmışdır. Sonsuz nədir? Məkan, zaman, bəzi asılılıqlar (məsələn, S və t dəyişənlərinin hərəkət məsələlərində asılılığı), qızdırılan obyektin temperaturu (su, tava, termometr və s.), davamlı xətt (yəni bir vərəqdən götürmədən çəkmək olar).

Qrafik müəyyən nöqtədə qırılmırsa, davamlı hesab olunur. Belə bir qrafikin ən bariz nümunələrindən biri sinus dalğasıdır ki, onu bu bölmədəki şəkildə görə bilərsiniz. Bir sıra şərtlər yerinə yetirildikdə, funksiya x0 nöqtəsində davamlıdır:

• funksiya verilmiş nöqtədə müəyyən edilir;
• bir nöqtədə sağ və sol sərhədlər bərabərdir;
• limit funksiyanın x0 nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir.

Ən azı bir şərt yerinə yetirilmədikdə, funksiyanın pozulduğu deyilir. Və funksiyanın kəsildiyi nöqtələrə qırılma nöqtələri deyilir. Qrafik olaraq göstərildikdə “qırılacaq” funksiyaya misal: y=(x+4)/(x-3). Üstəlik, x = 3 nöqtəsində y mövcud deyil (çünki sıfıra bölmək mümkün deyil).

Öyrəndiyimiz funksiyada (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) hər şey sadə oldu, çünki qrafik davamlı olacaq.

Hətta, qəribə

İndi funksiyanı paritet üçün yoxlayın. Bir az nəzəriyyə ilə başlayaq. Cüt funksiya x dəyişəninin hər hansı qiyməti üçün f (-x) = f (x) şərtini ödəyən funksiyadır (qiymətlər diapazonundan). Nümunələr bunlardır:

• modul x (qrafik cərgəyə bənzəyir, qrafikin birinci və ikinci rüblərinin bissektrisa);
• x kvadratı (parabola);
• kosinus x (kosinus dalğası).

Qeyd edək ki, bu qrafiklərin hamısı y oxuna görə simmetrikdir.

O zaman tək funksiya nə adlanır? Bunlar şərti ödəyən funksiyalardır: x dəyişəninin istənilən dəyəri üçün f (-x) \u003d - f (x). Nümunələr:

• hiperbola;
• kub parabola;
• sinusoid;
• tangens və s.

Nəzərə alın ki, bu funksiyalar nöqtəyə (0:0), yəni mənşəyə görə simmetrikdir. Məqalənin bu bölməsində deyilənlərə əsasən, cüt və tək funksiyanın xassələri olmalıdır: x təriflər çoxluğuna aiddir və -x də.

Paritet funksiyasını nəzərdən keçirək. Onun heç bir təsvirə uyğun gəlmədiyini görə bilərik. Deməli, bizim funksiyamız nə cüt, nə də təkdir.

Asimptotlar

Bir təriflə başlayaq. Asimptot qrafikə mümkün qədər yaxın olan əyridir, yəni hansısa nöqtədən olan məsafə sıfıra meyllidir. Üç növ asimptot var:

• şaquli, yəni y oxuna paralel;
• üfüqi, yəni x oxuna paralel;
• əyri.

Birinci növə gəldikdə, bu xətləri bəzi məqamlarda axtarmaq lazımdır:

• boşluq;
• domenin ucları.

Bizim vəziyyətimizdə funksiya fasiləsizdir və təyinetmə sahəsi R-dir. Buna görə də şaquli asimptotlar yoxdur.

Funksiya qrafiki aşağıdakı tələbə cavab verən üfüqi asimptota malikdir: əgər x sonsuzluğa və ya mənfi sonsuzluğa meyllidirsə və limit müəyyən ədədə bərabərdirsə (məsələn, a). AT bu məsələ y=a üfüqi asimptotdur. Öyrəndiyimiz funksiyada heç bir üfüqi asimptot yoxdur.

Maye asimptot yalnız iki şərt yerinə yetirildikdə mövcuddur:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Onda onu düsturla tapmaq olar: y=kx+b. Yenə bizim vəziyyətimizdə əyri asimptotlar yoxdur.

Funksiya sıfırları

Növbəti addım funksiyanın qrafikini sıfırlar üçün yoxlamaqdır. Onu da qeyd etmək çox vacibdir ki, funksiyanın sıfırlarının tapılması ilə bağlı tapşırıq təkcə funksiyanın öyrənilməsi və planlaşdırılması zamanı deyil, həm də müstəqil tapşırıq, və bərabərsizlikləri həll etmək üçün bir yol kimi. Sizdən qrafikdə funksiyanın sıfırlarını tapmaq və ya riyazi qeydlərdən istifadə etmək tələb oluna bilər.

Bu dəyərləri tapmaq, funksiyanı daha dəqiq qurmağa kömək edəcək. Danışsa sadə dil, onda funksiyanın sıfırı y=0 olan x dəyişəninin qiymətidir. Əgər siz qrafikdə funksiyanın sıfırlarını axtarırsınızsa, onda qrafikin x oxu ilə kəsişdiyi nöqtələrə diqqət yetirməlisiniz.

Funksiyanın sıfırlarını tapmaq üçün aşağıdakı tənliyi həll etmək lazımdır: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Lazımi hesablamaları etdikdən sonra aşağıdakı cavabı alırıq:

sabitlik işarəsi

Funksiyanın (qrafikanın) öyrənilməsi və qurulmasının növbəti mərhələsi işarə sabitliyinin intervallarının tapılmasıdır. Bu o deməkdir ki, biz funksiyanın hansı intervalları götürdüyünü müəyyən etməliyik müsbət dəyər, bəzilərində isə mənfi. Əvvəlki bölmədə tapılan funksiyaların sıfırları bunu etməkdə bizə kömək edəcəkdir. Beləliklə, bir düz xətt qurmalıyıq (qrafikdən ayrı) və onun boyunca funksiyanın sıfırlarını kiçikdən böyüyə doğru ardıcıllıqla paylamalıyıq. İndi ortaya çıxan intervallardan hansının “+” işarəsi, hansının isə “-” işarəsi olduğunu müəyyən etməlisiniz.

Bizim vəziyyətimizdə funksiya intervallarda müsbət qiymət alır:

• 1-dən 4-ə qədər;
• 9-dan sonsuza qədər.

Mənfi məna:

• mənfi sonsuzluqdan 1-ə qədər;
• 4-dən 9-a qədər.

Bunu müəyyən etmək kifayət qədər asandır. Funksiyaya intervaldan istənilən ədədi əvəz edin və cavabın hansı işarəyə malik olduğuna baxın (mənfi və ya artı).

Artan və azalan funksiya

Funksiyanı araşdırmaq və qurmaq üçün qrafikin harada artacağını (Oy üzərinə qalxın) və harada düşəcəyini (y oxu boyunca aşağı sürünəcəyini) bilməliyik.

Funksiya yalnız x dəyişəninin daha böyük dəyəri uyğun olduqda artır daha böyük dəyər y. Yəni x2 x1-dən, f(x2) isə f(x1)-dən böyükdür. Biz isə azalan funksiyada tamamilə əks hadisə müşahidə edirik (x nə qədər çox olarsa, y o qədər azdır). Artım və azalma intervallarını müəyyən etmək üçün aşağıdakıları tapmaq lazımdır:

• əhatə dairəsi (artıq bizdə var);
• törəmə (bizim halda: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 tənliyini həll edin.

Hesablamalardan sonra nəticəni alırıq:

Alırıq: funksiya mənfi sonsuzluqdan 7/3-ə və 7-dən sonsuza qədər olan intervallarda artır və 7/3-dən 7-ə qədər olan intervalda azalır.

İfrat

Tədqiq olunan y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) funksiyası davamlıdır və x dəyişəninin istənilən qiymətləri üçün mövcuddur. Ekstremum nöqtəsi bu funksiyanın maksimum və minimumunu göstərir. Bizim vəziyyətimizdə heç biri yoxdur, bu da tikinti işini çox asanlaşdırır. Əks halda, onlar törəmə funksiyasından istifadə etməklə də tapılır. Tapdıqdan sonra onları diaqramda qeyd etməyi unutmayın.

Qabarıqlıq və qabarıqlıq

y(x) funksiyasını öyrənməyə davam edirik. İndi onu qabarıqlıq və konkavlik üçün yoxlamaq lazımdır. Bu anlayışların təriflərini qəbul etmək olduqca çətindir, hər şeyi nümunələrlə təhlil etmək daha yaxşıdır. Test üçün: funksiya azalmayan funksiyadırsa, qabarıqdır. Razılaşın, bu anlaşılmazdır!

İkinci dərəcəli funksiyanın törəməsini tapmalıyıq. Alırıq: y=1/3(6x-28). İndi bərabərləşdirin sağ tərəf sıfıra endirin və tənliyi həll edin. Cavab: x=14/3. Biz əyilmə nöqtəsini, yəni qrafikin qabarıqdan konkave və ya əksinə dəyişdiyi yeri tapdıq. Mənfi sonsuzluqdan 14/3-ə qədər olan intervalda funksiya qabarıq, 14/3-dən üstəgəl sonsuzluğa qədər isə konkav olur. Qrafikdəki əyilmə nöqtəsinin hamar və yumşaq olması lazım olduğunu da qeyd etmək çox vacibdir, kəskin künclər olmamalıdır.

Əlavə nöqtələrin tərifi

Bizim vəzifəmiz funksiya qrafikini araşdırmaq və qurmaqdır. Tədqiqatı başa çatdırdıq, indi funksiyanın qrafikini çəkmək çətin olmayacaq. Bir əyrinin və ya düz xəttin koordinat müstəvisində daha dəqiq və ətraflı reproduksiyası üçün bir neçə köməkçi nöqtə tapa bilərsiniz. Onları hesablamaq olduqca asandır. Məsələn, x=3 götürürük, yaranan tənliyi həll edirik və y=4-ü tapırıq. Və ya x=5 və y=-5 və s. Siz qurmaq üçün lazım olan qədər əlavə xal götürə bilərsiniz. Onların ən azı 3-5-i tapılır.

Süjet qurmaq

(x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y funksiyasını araşdırmalı olduq. Hesablamalar zamanı bütün lazımi işarələr koordinat müstəvisində aparılmışdır. Yalnız bir qrafik qurmaq, yəni bütün nöqtələri bir-birinə bağlamaq qalır. Nöqtələri birləşdirmək hamar və dəqiqdir, bu bacarıq məsələsidir - bir az məşq edin və cədvəliniz mükəmməl olacaq.

Artıq bir müddətdir ki, TheBat-da (hansı səbəbdən aydın deyil) SSL üçün quraşdırılmış sertifikat bazası düzgün işləməyi dayandırıb.

Postu yoxlayan zaman xəta görünür:

Naməlum CA sertifikatı
Server sessiyada kök sertifikat təqdim etmədi və müvafiq kök sertifikatı ünvan kitabçasında tapılmadı.
Bu əlaqə gizli ola bilməz. Zəhmət olmasa
server administratorunuzla əlaqə saxlayın.

Və ona cavab seçimi təklif olunur - YES / NO. Və beləliklə, hər dəfə poçt göndərdiyiniz zaman.

Həll

Bu halda, S/MIME və TLS tətbiq standartını TheBat-da Microsoft CryptoAPI ilə əvəz etməlisiniz!

Bütün faylları birinə birləşdirməli olduğum üçün əvvəlcə hər şeyi çevirdim doc faylları bir pdf faylına (Acrobat proqramından istifadə edərək) və sonra onlayn çevirici vasitəsilə fb2-yə köçürülür. Faylları ayrıca çevirə bilərsiniz. Formatlar tamamilə hər hansı (mənbə) və sənəd, jpg və hətta zip arxivi ola bilər!

Saytın adı mahiyyətinə uyğun gəlir:) Online Photoshop.

Yeniləmə May 2015

Başqa bir gözəl sayt tapdım! Tamamilə ixtiyari bir kolaj yaratmaq üçün daha rahat və funksional! Bu sayt http://www.fotor.com/ru/collage/ dir. Sağlamlıq üçün istifadə edin. Və mən özüm istifadə edəcəm.

Elektrik sobalarının təmiri ilə həyatda qarşılaşdı. Onsuz da çox şey etdim, çox şey öyrəndim, amma bir şəkildə plitələrlə işim az idi. Tənzimləyicilər və ocaqlardakı kontaktları dəyişdirmək lazım idi. Sual yarandı - elektrik sobasında brülörün diametrini necə təyin etmək olar?

Cavabın sadə olduğu ortaya çıxdı. Heç bir şeyi ölçməyə ehtiyac yoxdur, hansı ölçüyə ehtiyacınız olduğunu gözünüzlə sakitcə müəyyən edə bilərsiniz.

Ən kiçik ocaq 145 millimetrdir (14,5 santimetr)

Orta ocaq 180 millimetrdir (18 santimetr).

Və nəhayət, ən çox böyük ocaq 225 millimetr (22,5 santimetr) təşkil edir.

Ölçüsü göz ilə müəyyən etmək və hansı diametrdə bir brülörə ehtiyacınız olduğunu başa düşmək kifayətdir. Bunu bilmədiyim zaman bu ölçülərlə uçurdum, necə ölçməli olduğumu, hansı kənarı gəzdirəcəyimi və s. bilmirdim. İndi mən müdrikəm :) Ümid edirəm ki, sizə də kömək etdi!

Həyatımda belə bir problemlə qarşılaşdım. Düşünürəm ki, tək mən deyiləm.

Təlimat

Funksiyanın əhatə dairəsini tapın. Məsələn, x = 0 nöqtəsi istisna olmaqla, sin(x) funksiyası -∞-dən +∞-a qədər olan bütün intervalda, 1/x funksiyası isə -∞-dən +∞-ə qədər müəyyən edilir.

Davamlılıq sahələrini və qırılma nöqtələrini müəyyənləşdirin. Adətən funksiya təyin olunduğu domendə davamlıdır. Davamsızlıqları aşkar etmək üçün arqumentin tərif sahəsi daxilində təcrid olunmuş nöqtələrə yaxınlaşdığını hesablamalısınız. Məsələn, 1/x funksiyası x→0+ olduqda sonsuzluğa, x→0- olduqda isə mənfi sonsuzluğa meyl edir. Bu o deməkdir ki, x = 0 nöqtəsində ikinci növ fasiləsizliyə malikdir.
Əgər kəsilmə nöqtəsindəki məhdudiyyətlər sonludur, lakin bərabər deyilsə, bu, birinci növ fasiləsizlikdir. Əgər onlar bərabərdirsə, onda funksiya təcrid olunmuş nöqtədə müəyyən edilməsə də, fasiləsiz hesab olunur.

Əgər varsa, şaquli asimptotları tapın. Əvvəlki addımdakı hesablamalar burada sizə kömək edəcək, çünki şaquli asimptot demək olar ki, həmişə ikinci növ kəsilmə nöqtəsindədir. Lakin bəzən tərif sahəsindən ayrı-ayrı nöqtələr deyil, nöqtələrin bütöv intervalları çıxarılır və sonra şaquli asimptotlar bu intervalların kənarlarında yerləşə bilər.

Funksiyanın xüsusi xüsusiyyətlərə malik olub olmadığını yoxlayın: cüt, tək və dövri.
Funksiya hətta f(x) = f(-x) sahəsində istənilən x üçün belə olacaqdır. Məsələn, cos(x) və x^2 cüt funksiyalardır.

Dövrilik, hər hansı bir x f(x) = f(x + T) üçün dövr adlanan müəyyən T ədədinin olduğunu söyləyən xüsusiyyətdir. Məsələn, bütün əsas triqonometrik funksiyalar (sinus, kosinus, tangens) dövri xarakter daşıyır.

Nöqtələri tapın. Bunu etmək üçün, verilmiş funksiyanın törəməsini hesablayın və onun itdiyi x dəyərlərini tapın. Məsələn, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 funksiyasının g(x) = 3x^2 + 18x törəməsi var ki, x = 0 və x = -6 olduqda yox olur.

Hansı ekstremum nöqtələrinin maksimal, hansının isə minimum olduğunu müəyyən etmək üçün tapılmış sıfırlarda törəmənin işarələrinin dəyişməsini izləyin. g(x) x = -6-da artı işarəsini, x = 0-da isə mənfidən artıya geri dəyişir. Buna görə də f(x) funksiyası birinci nöqtədə minimuma, ikinci nöqtədə isə minimuma malikdir.

Beləliklə, siz monotonluq sahələrini də tapdınız: f(x) -∞;-6 intervalında monoton artır, -6;0-da monoton şəkildə azalır və 0;+∞-də yenidən artır.

İkinci törəməni tapın. Onun kökləri verilmiş funksiyanın qrafikinin harada qabarıq, harada isə konkav olacağını göstərəcək. Məsələn, f(x) funksiyasının ikinci törəməsi h(x) = 6x + 18 olacaqdır. O, işarəsini mənfidən artıya dəyişən x = -3-də yox olur. Buna görə də, bu nöqtədən əvvəl f (x) qrafiki qabarıq, ondan sonra - konkav, bu nöqtənin özü isə əyilmə nöqtəsi olacaqdır.

Funksiya şaquli olanlar istisna olmaqla, başqa asimptotlara malik ola bilər, ancaq onun təyinetmə sahəsinə . Onları tapmaq üçün x→∞ və ya x→-∞ olduqda f(x) limitini hesablayın. Əgər sonludursa, onda siz üfüqi asimptot tapmısınız.

Maye asimptot kx + b formasının düz xəttidir. k tapmaq üçün f(x)/x limitini x→∞ kimi hesablayın. Eyni x→∞ ilə b - həddi (f(x) – kx) tapmaq üçün.

Ən vacib vəzifələrdən biridir diferensial hesab inkişafıdır ümumi nümunələr funksiyaların davranışının öyrənilməsi.

Əgər y \u003d f (x) funksiyası intervalda davamlıdırsa və onun törəməsi (a, b) intervalında müsbət və ya 0-a bərabərdirsə, y \u003d f (x) (f "(x) ilə artır. 0). Əgər y \u003d f (x) funksiyası seqmentdə davamlıdırsa və onun törəməsi (a,b) intervalında mənfi və ya 0-a bərabərdirsə, y=f(x) (f"() ilə azalır. x)0)

Funksiyanın azalmadığı və ya artmadığı intervallara funksiyanın monotonluq intervalları deyilir. Funksiyanın monotonluğunun təbiəti yalnız ilk törəmənin işarəsinin dəyişdiyi tərif sahəsinin o nöqtələrində dəyişə bilər. Funksiyanın birinci törəməsinin itdiyi və ya qırıldığı nöqtələrə kritik nöqtələr deyilir.

Teorem 1 (ekstremumun mövcudluğu üçün 1-ci kifayət qədər şərt).

y=f(x) funksiyası x 0 nöqtəsində müəyyən edilsin və δ>0 qonşuluğu olsun ki, funksiya seqmentdə kəsilməz olsun, (x 0 -δ,x 0)u( intervalında diferensial olsun. x 0 , x 0 +δ) və onun törəməsi bu intervalların hər birində sabit işarəni saxlayır. Əgər x 0 -δ, x 0) və (x 0, x 0 + δ) üzərində törəmənin işarələri fərqlidirsə, x 0 ekstremum nöqtəsidir, əgər uyğun gəlirsə, x 0 ekstremum nöqtəsi deyildir. . Bundan əlavə, x0 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəni artıdan mənfiyə dəyişirsə (x 0-ın solunda f "(x)> 0 yerinə yetirilirsə, x 0 maksimum nöqtədir; törəmə işarəni dəyişirsə mənfidən artıya (x 0-ın sağında f"(x) ilə yerinə yetirilir<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimum və minimum nöqtələrə funksiyanın ekstremum nöqtələri, funksiyanın maksimum və minimumlarına isə onun ifrat qiymətləri deyilir.

Teorem 2 (yerli ekstremum üçün zəruri meyar).

Əgər y=f(x) funksiyasının x=x 0 cərəyanında ekstremumu varsa, onda ya f'(x 0)=0, ya da f'(x 0) mövcud deyildir.
Diferensiallanan funksiyanın ekstremum nöqtələrində onun qrafikinə toxunan Ox oxuna paraleldir.

Ekstremum üçün funksiyanın öyrənilməsi alqoritmi:

1) funksiyanın törəməsini tapın.
2) Kritik nöqtələri tapın, yəni. funksiyanın davamlı olduğu və törəmənin sıfır olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələr.
3) Nöqtələrin hər birinin qonşuluğunu nəzərdən keçirin və bu nöqtənin solunda və sağında törəmənin işarəsini yoxlayın.
4) Ekstremal nöqtələrin koordinatlarını təyin edin, kritik nöqtələrin bu dəyəri üçün bu funksiyanı əvəz edin. Kifayət qədər ekstremal şərtlərdən istifadə edərək müvafiq nəticələr çıxarın.

Misal 18. y=x 3 -9x 2 +24x funksiyasını araşdırın

Həll.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Törəməni sıfıra bərabər tutaraq, x 1 =2, x 2 =4 tapırıq. Bu halda törəmə hər yerdə müəyyən edilir; deməli, tapılan iki nöqtədən başqa heç bir kritik nöqtə yoxdur.
3) y "=3(x-2)(x-4) törəməsinin işarəsi Şəkil 1-də göstərildiyi kimi intervaldan asılı olaraq dəyişir. x=2 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəni artıdan mənfiyə dəyişir, və x=4 nöqtəsindən keçərkən - mənfidən artıya.
4) x=2 nöqtəsində funksiya maksimum y max =20, x=4 nöqtəsində isə minimum y min =16 olur.

Teorem 3. (ekstremumun mövcudluğu üçün 2-ci kafi şərt).

Qoy f "(x 0) və f "" (x 0) x 0 nöqtəsində mövcud olsun. Əgər f "" (x 0)> 0 olarsa, x 0 minimum nöqtədir, əgər f "" (x 0) olarsa. )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Seqmentdə y \u003d f (x) funksiyası ya (a; b) intervalında yerləşən funksiyanın kritik nöqtələrində, ya da uclarında ən kiçik (ən azı) və ya ən böyük (ən çox) qiymətə çata bilər. seqmentin.

Seqmentdə y=f(x) fasiləsiz funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərinin tapılması alqoritmi:

1) f "(x) tapın.
2) f "(x) = 0 və ya f" (x) - mövcud olmayan nöqtələri tapın və onlardan seqmentin daxilində olanları seçin.
3) 2-ci bənddə alınan nöqtələrdə, həmçinin seqmentin uclarında y \u003d f (x) funksiyasının dəyərini hesablayın və onlardan ən böyüyünü və ən kiçiyini seçin: onlar müvafiq olaraq ən böyüyüdür ( intervalda ən böyük) və ən kiçik (ən kiçik üçün) funksiya dəyərləri.

Misal 19. y=x 3 -3x 2 -45+225 kəsilməz funksiyasının ən böyük qiymətini , seqmentində tapın.

1) Seqmentdə y "=3x 2 -6x-45 var
2) y" törəməsi bütün x üçün mövcuddur. y"=0 olduğu nöqtələri tapaq; alırıq:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 nöqtələrində funksiyanın qiymətini hesablayın.
Yalnız x=5 nöqtəsi seqmentə aiddir. Funksiyanın tapılan dəyərlərindən ən böyüyü 225, ən kiçiyi isə 50-dir. Beləliklə, max = 225-də, max = 50-dir.

Qabarıqlıq üzrə funksiyanın tədqiqi

Şəkildə iki funksiyanın qrafiki göstərilir. Onlardan birincisi qabarıq yuxarı, ikincisi aşağıya doğru əyilmişdir.

y=f(x) funksiyası seqmentdə fasiləsizdir və (a;b) intervalında diferensiallanır, axb üçün onun qrafiki tangensdən yüksək (aşağı olmayan) deyilsə, bu seqmentdə yuxarı (aşağı) qabarıq adlanır. istənilən nöqtədə çəkilmiş M 0 (x 0 ;f(x 0)), burada axb.

Teorem 4. y=f(x) funksiyasının seqmentin istənilən daxili x nöqtəsində ikinci törəməsi olsun və bu seqmentin uclarında kəsilməz olsun. Onda f""(x)0 bərabərsizliyi (a;b) intervalında ödənilirsə, onda funksiya seqmentdə aşağıya doğru qabarıq olur; f""(x)0 bərabərsizliyi (а;b) intervalında ödənilirsə, onda funksiya yuxarıya doğru qabarıqdır.

Teorem 5. Əgər y=f(x) funksiyasının (a;b) intervalında ikinci törəməsi varsa və x 0 nöqtəsindən keçərkən işarəsini dəyişirsə, M(x 0 ;f(x 0)) olur. əyilmə nöqtəsi.

Bükülmə nöqtələrini tapmaq qaydası:

1) f""(x)-in olmadığı və ya yox olduğu nöqtələri tapın.
2) Birinci addımda tapılan hər bir nöqtənin solunda və sağında f""(x) işarəsini yoxlayın.
3) 4-cü teorem əsasında nəticə çıxarın.

Misal 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 funksiyasının qrafasının ekstremum nöqtələrini və əyilmə nöqtələrini tapın.

Bizdə f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 var. Aydındır ki, x 1 =0, x 2 =1 üçün f"(x)=0. Törəmə x=0 nöqtəsindən keçərkən işarəni mənfidən artıya dəyişir, x=1 nöqtəsindən keçəndə isə işarəni dəyişmir. Bu o deməkdir ki, x=0 minimum nöqtədir (y min =12), x=1 nöqtəsində isə ekstremum yoxdur. Sonra, tapırıq . İkinci törəmə x 1 =1, x 2 =1/3 nöqtələrində yox olur. İkinci törəmənin əlamətləri aşağıdakı kimi dəyişir: (-∞;) şüasında f""(x)>0, (;1) intervalında f""(x) var.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Buna görə də, x= funksiya qrafikinin əyilmə nöqtəsidir (qabarlıqdan aşağı qabarığa yuxarıya keçid) və x=1 eyni zamanda əyilmə nöqtəsidir (qabarıqlıqdan yuxarı qabarıqlığa keçid). Əgər x=, onda y=; əgər, onda x=1, y=13.

Qrafikin asimptotunu tapmaq üçün alqoritm

I. X → a kimi y=f(x) olarsa, x=a şaquli asimptotdur.
II. Əgər y=f(x) x → ∞ və ya x → -∞ kimi olarsa, y=A üfüqi asimptotdur.
III. Əyri asimptotu tapmaq üçün aşağıdakı alqoritmdən istifadə edirik:
1) Hesablayın. Əgər limit mövcuddursa və b-yə bərabərdirsə, y=b üfüqi asimptotdur; varsa, ikinci addıma keçin.
2) Hesablayın. Əgər bu limit mövcud deyilsə, deməli asimptot yoxdur; varsa və k-yə bərabərdirsə, üçüncü addıma keçin.
3) Hesablayın. Əgər bu limit mövcud deyilsə, deməli asimptot yoxdur; varsa və b-ə bərabərdirsə, dördüncü addıma keçin.
4) y=kx+b əyri asimptotunun tənliyini yazın.

Misal 21: Funksiya üçün asimptot tapın

1)
2)
3)
4) Maye asimptot tənliyi formaya malikdir

Funksiyanın tədqiqi sxemi və onun qrafikinin qurulması

I. Funksiya sahəsini tapın.
II. Funksiya qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın.
III. Asimptotları tapın.
IV. Mümkün ekstremal nöqtələri tapın.
V. Kritik nöqtələri tapın.
VI. Köməkçi rəsmdən istifadə edərək birinci və ikinci törəmələrin işarəsini araşdırın. Funksiyanın artma və azalma sahələrini təyin edin, qrafikin qabarıqlığının, ekstremum nöqtələrinin və əyilmə nöqtələrinin istiqamətini tapın.
VII. 1-6-cı bəndlərdə aparılan araşdırmanı nəzərə alaraq qrafik qurun.

Nümunə 22: Yuxarıdakı sxemə uyğun olaraq funksiya qrafikini qurun

Həll.
I. Funksiya sahəsi x=1 istisna olmaqla, bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur.
II. x 2 +1=0 tənliyinin həqiqi kökləri olmadığı üçün funksiyanın qrafikinin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur, Oy oxunu (0; -1) nöqtəsində kəsir.
III. Asimptotların mövcudluğu məsələsinə aydınlıq gətirək. Biz x=1 kəsilmə nöqtəsi yaxınlığında funksiyanın davranışını araşdırırıq. x → -∞ üçün y → ∞, x → 1+ üçün y → +∞ olduğundan, x=1 xətti funksiyanın qrafikinin şaquli asimptotudur.
Əgər x → +∞(x → -∞), onda y → +∞(y → -∞); ona görə də qrafikin üfüqi asimptotası yoxdur. Bundan əlavə, məhdudiyyətlərin mövcudluğundan

x 2 -2x-1=0 tənliyini həll edərək, mümkün ekstremumun iki nöqtəsini alırıq:
x 1 =1-√2 və x 2 =1+√2

V. Kritik nöqtələri tapmaq üçün ikinci törəməni hesablayırıq:

f""(x) itmədiyi üçün kritik nöqtələr yoxdur.
VI. Birinci və ikinci törəmələrin işarəsini araşdırırıq. Nəzərə alınacaq mümkün ekstremum nöqtələri: x 1 =1-√2 və x 2 =1+√2, funksiyanın mövcudluq sahəsini intervallara bölün (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) və (1+√2;+∞).

Bu intervalların hər birində törəmə öz işarəsini saxlayır: birincidə - üstəlik, ikincidə - mənfi, üçüncüdə - üstəgəl. Birinci törəmənin işarələrinin ardıcıllığı aşağıdakı kimi yazılacaq: +, -, +.
Alırıq ki, (-∞;1-√2)-də funksiya artır, (1-√2;1+√2)-də azalır, (1+√2;+∞)-də isə yenidən artır. Ekstremal nöqtələr: maksimum x=1-√2, üstəlik f(1-√2)=2-2√2 minimum x=1+√2, üstəlik f(1+√2)=2+2√2. Onda (-∞;1) qrafik yuxarıya, (1;+∞) isə aşağıya doğru qabarıqdır.
VII Alınan qiymətlərin cədvəlini tərtib edək

VIII Alınan məlumatlar əsasında funksiyanın qrafikinin eskizini qururuq

Oxşar məqalələr