Yamac faktorunu necə tapmaq olar? Tənliyin yamacını necə tapmaq olar.

Funksiyaların törəmələrini götürməyi öyrənin. Törəmə bu funksiyanın qrafikində yerləşən müəyyən bir nöqtədə funksiyanın dəyişmə sürətini xarakterizə edir. IN bu məsələ Qrafik düz xətt və ya əyri xətt ola bilər. Yəni törəmə zamanın müəyyən nöqtəsində funksiyanın dəyişmə sürətini xarakterizə edir. Yadda saxla ümumi qaydalar hansı törəmələr alınır və yalnız bundan sonra növbəti addıma keçin.

Məqaləni oxu.
Ən sadə törəmələri necə götürmək olar, məsələn, törəmə eksponensial tənlik, təsvir edilmişdir. Hesablamalar təqdim olunur növbəti addımlar, onda təsvir edilən üsullara əsaslanacaq.

Yamacın funksiyanın törəməsi baxımından hesablanması lazım olan məsələləri ayırd etməyi öyrənin. Tapşırıqlarda funksiyanın yamacını və ya törəməsini tapmaq həmişə tövsiyə edilmir. Məsələn, sizdən A(x, y) nöqtəsində funksiyanın dəyişmə sürətini tapmaq tələb oluna bilər. Sizdən həmçinin A(x, y) nöqtəsindəki tangensin yamacını tapmaq tələb oluna bilər. Hər iki halda funksiyanın törəməsini götürmək lazımdır.

Verilmiş funksiyanın törəməsini götürün. Burada qrafik qurmağa ehtiyac yoxdur - sizə yalnız funksiyanın tənliyi lazımdır. Bizim nümunəmizdə funksiyanın törəməsini götürək. Yuxarıda göstərilən məqalədə göstərilən üsullara uyğun olaraq törəmə götürün:

Törəmə:

Yamacı hesablamaq üçün sizə verilən nöqtənin koordinatlarını tapılmış törəmə ilə əvəz edin. Funksiyanın törəməsi müəyyən bir nöqtədəki yamaca bərabərdir. Başqa sözlə, f "(x) funksiyanın istənilən nöqtədə (x, f (x)) meylidir. Bizim nümunəmizdə:

Funksiyanın meylini tapın f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) nöqtəsində.
Funksiya törəməsi:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
Verilmiş nöqtənin x koordinatının qiymətini əvəz edin:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
Yamacı tapın:
Funksiya meyli f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) nöqtəsində 22-dir.

Mümkünsə, cavabınızı qrafikdə yoxlayın. Unutmayın ki, yamac əmsalı hər nöqtədə hesablana bilməz. Diferensial hesablama hesab edir mürəkkəb funksiyalar və mürəkkəb qrafiklər, burada yamacın hər nöqtədə hesablanması mümkün deyil, bəzi hallarda isə nöqtələr ümumiyyətlə qrafiklərin üzərində yerləşmir. Mümkünsə, sizə verilən funksiyanın yamacının düzgün olduğunu yoxlamaq üçün qrafik kalkulyatorundan istifadə edin. Əks halda, verilmiş nöqtədə qrafikə tangens çəkin və tapdığınız yamacın qiymətinin qrafikdə gördüyünüzlə uyğun olub-olmadığını nəzərdən keçirin.

Tangens müəyyən bir nöqtədə funksiya qrafiki ilə eyni yamacda olacaq. Verilmiş nöqtədə tangens çəkmək üçün x oxunda sağa/sola (bizim nümunəmizdə 22 dəyər sağa) və sonra y oxunda bir yuxarı hərəkət edin.Nöqtəni qeyd edin və sonra onu verdiyiniz nöqtəyə birləşdirin. Bizim nümunəmizdə nöqtələri (4,2) və (26,3) koordinatları ilə birləşdirin.

y = f(x) düz xətti x0 nöqtəsində şəkildə göstərilən qrafikə toxunan olacaq, bir şərtlə ki, ondan keçsin. verilmiş nöqtə koordinatları (x0; f (x0)) ilə və f "(x0) mailliyi var. Tangensin xüsusiyyətlərini nəzərə alaraq bu əmsalı tapmaq çətin deyil.

Sizə lazım olacaq

- riyazi məlumat kitabçası;
- notebook;
- sadə qələm;
- qələm;
- iletki;
- dairəvi.

Təlimat

Nəzərə alın ki, f(x) diferensiallanan funksiyasının x0 nöqtəsində qrafiki tangens seqmentindən fərqlənmir. Buna görə də (х0; f(х0)) və (х0+Δx; f(x0 + Δx)) nöqtələrindən keçən l seqmentinə kifayət qədər yaxındır. Əmsalları (x0; f(x0)) olan A nöqtəsindən keçən düz xətti təyin etmək üçün onun yamacını təyin edin. Eyni zamanda sekant tangensinin Δy/Δx-ə bərabərdir (Δх→0), həm də f‘(x0) ədədinə meyl edir.
Əgər f‘(x0) qiymətləri yoxdursa, onda ola bilsin ki, tangens yoxdur və ya şaquli şəkildə işləyir. Buna əsasən, funksiyanın törəməsinin x0 nöqtəsində olması funksiyanın qrafiki ilə (x0, f(x0)) nöqtəsində təmasda olan qeyri-şaquli tangensin olması ilə izah olunur. Bu zaman tangensin mailliyi f "(x0)-a bərabər olur. Törəmənin həndəsi mənası aydın olur, yəni tangensin yamacının hesablanması.
Yəni tangensin yamacını tapmaq üçün təmas nöqtəsində funksiyanın törəməsinin qiymətini tapmaq lazımdır. Nümunə: absis X0 \u003d 1 nöqtəsində y \u003d x³ funksiyasının qrafikinə toxunan meylini tapın. Həlli: Bu funksiyanın y΄ (x) \u003d 3x2 törəməsini tapın; X0 = 1 nöqtəsində törəmənin qiymətini tapın. y΄(1) = 3 × 1² = 3. X0 = 1 nöqtəsindəki tangensin mailliyi 3-dür.
Şəkildə əlavə tangenslər çəkin ki, onlar aşağıdakı nöqtələrdə funksiyanın qrafiki ilə təmasda olsunlar: x1, x2 və x3. Bu tangenslərin yaratdığı bucaqları absis oxu ilə qeyd edin (bucaq müsbət istiqamətdə - oxdan tangens xəttinə qədər ölçülür). Məsələn, çəkilmiş tangens xətti OX oxuna paralel olduğundan birinci bucaq α1 iti, ikinci (α2) küt, üçüncü (α3) isə sıfıra bərabər olacaq. Bu halda küt bucağın tangensi belədir mənfi məna, və kəskin bucağın tangensi müsbətdir, tg0-da və nəticə sıfırdır.

Məxfiliyiniz bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik siyasətimizi oxuyun və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik E-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

Bizim tərəfimizdən yığılmışdır Şəxsi məlumat Sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
Zaman-zaman biz sizə vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün şəxsi məlumatlarınızdan istifadə edə bilərik.
Biz şəxsi məlumatlardan audit, məlumatların təhlili və kimi daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik müxtəlif tədqiqatlar təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və xidmətlərimizlə bağlı sizə tövsiyələr vermək.
Əgər siz uduş tirajı, müsabiqə və ya oxşar təşviqdə iştirak etsəniz, bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə açıqlama

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə icraatında və/və ya ictimai sorğu və ya müraciətlər əsasında dövlət qurumları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai maraq məqsədləri üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq üçüncü tərəfin varisinə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirlər də daxil olmaqla tədbirlər görürük.

Məxfiliyinizi şirkət səviyyəsində qorumaq

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik təcrübələrini əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Siz artıq funksiyanın qrafikinə tangens anlayışı ilə tanışsınız. x 0 yaxınlığında x 0 nöqtəsində diferensiallanan f funksiyasının qrafiki praktiki olaraq tangens seqmentindən fərqlənmir, bu o deməkdir ki, o, (x 0; f (x 0)) və (x 0 + Δx; f (x 0 + Δx)) nöqtələrindən keçən l sekantasının seqmentinə yaxındır. Bu sekantlardan hər hansı biri qrafikin A (x 0; f (x 0)) nöqtəsindən keçir (şək. 1). Verilmiş A nöqtəsindən keçən düz xətti unikal şəkildə təyin etmək üçün onun yamacını müəyyən etmək kifayətdir. Δx→0-da sekantanın Δy / Δx yamacı f ‘(x 0) ədədinə meyl edir (biz onu tangensin yamacı kimi qəbul edəcəyik) Onlar deyirlər ki, tangens Δх→0-da sekantın məhdudlaşdırıcı mövqeyidir.

Əgər f’(x 0) mövcud deyilsə, onda tangens ya mövcud deyildir ((0; 0 nöqtəsində y = |x| funksiyası kimi), şəklə bax), ya da şaquli ((0; 0) nöqtəsindəki funksiyanın qrafiki kimi, şək. 2).

Deməli, f funksiyasının törəməsinin xo nöqtəsində olması qrafikin (x 0, f (x 0)) nöqtəsində (qeyri-şaquli) tangensin mövcudluğuna bərabərdir, halbuki tangens yamac f "(x 0) bərabərdir. Budur törəmənin həndəsi mənası

Xo nöqtəsində diferensiallanan f funksiyasının qrafikinə toxunan nöqtə (x 0; f (x 0)) nöqtəsindən keçən və f ‘(x 0) maili olan düz xəttdir.

f funksiyasının qrafikinə x 1, x 2, x 3 nöqtələrində toxunanları çəkirik (şəkil 3) və onların x oxu ilə yaratdığı bucaqları qeyd edirik. (Bu, oxun müsbət istiqamətindən düz xəttə doğru müsbət istiqamətdə hesablanan bucaqdır.) l xətti Ox oxuna paralel olduğundan α 1 bucağının iti, α 3 bucağının küt, α 2 bucağının isə sıfır olduğunu görürük. Kəskin bucağın tangensi müsbət, küt - mənfi, tg 0 \u003d 0. Buna görə də

F "(x 1)> 0, f'(x 2) \u003d 0, f'(x 3)
Ayrı-ayrı nöqtələrdə tangenslərin qurulması qrafiklərin eskizlərini daha dəqiq qurmağa imkan verir. Beləliklə, məsələn, sinus funksiyasının qrafikinin eskizini qurmaq üçün əvvəlcə tapırıq ki, 0 nöqtələrində; π/2 və π sinusun törəməsi 1-dir; müvafiq olaraq 0 və -1. (0; 0), (π / 2.1) və (π, 0) nöqtələrindən keçən, müvafiq olaraq 1, 0 və -1 olan xətlər qururuq (şək. 4) Bu xətlərin və Ox xəttinin yaratdığı nəticədə trapesiyaya, sinus qrafikini elə yazmaq qalır ki, x bərabər olduqda / π π xəttinə toxunur və ona toxunur.

Qeyd edək ki, sıfıra yaxın sinusun qrafiki y \u003d x düz xəttindən praktiki olaraq fərqlənmir. Məsələn, baltalar boyunca tərəzilər seçilsin ki, vahid 1 sm seqmentə uyğun olsun. Bizdə günah 0,5 ≈ 0,479425, yəni |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02 və seçilmiş miqyasda bu, 0,2 mm uzunluğunda bir seqmentə uyğundur. Buna görə də, y \u003d sin x funksiyasının qrafiki (-0,5; 0,5) intervalında (şaquli istiqamətdə) y \u003d x düz xəttindən 0,2 mm-dən çox olmayan kənara çıxacaq ki, bu da təxminən çəkilən xəttin qalınlığına uyğundur.

Riyaziyyatda düz xəttin Dekart koordinat müstəvisində mövqeyini təsvir edən parametrlərdən biri də bu düz xəttin mailliyidir. Bu parametr düz xəttin x oxuna olan meylini xarakterizə edir. Yamacın necə tapılacağını başa düşmək üçün əvvəlcə XY koordinat sistemində düz xəttin tənliyinin ümumi formasını xatırlayın.

IN ümumi görünüş istənilən sətir ax+by=c ifadəsi ilə göstərilə bilər, burada a, b və c ixtiyari həqiqi ədədlərdir, lakin mütləq a 2 + b 2 ≠ 0 olur.

Sadə çevrilmələrin köməyi ilə belə bir tənliyi y=kx+d formasına gətirmək olar, burada k və d həqiqi ədədlərdir. k ədədi yamacdır və bu cür düz xəttin tənliyi yamaclı tənlik adlanır. Belə çıxır ki, yamacı tapmaq üçün sadəcə orijinal tənliyi yuxarıdakı formaya gətirmək lazımdır. Daha yaxşı başa düşmək üçün xüsusi bir nümunə nəzərdən keçirin:

Tapşırıq: 36x - 18y = 108 tənliyi ilə verilmiş xəttin yamacını tapın.

Həlli: Orijinal tənliyi çevirək.

Cavab: Bu xəttin istənilən yamacı 2-dir.

Əgər tənliyin çevrilməsi zamanı x = const tipli bir ifadə əldə etmişiksə və nəticədə y-ni x-in funksiyası kimi təqdim edə bilmiriksə, onda X oxuna paralel düz xəttlə məşğul oluruq.Belə düz xəttin mailliyi sonsuzluğa bərabərdir.

Y = const kimi tənliklə ifadə olunan xətlər üçün yamac sıfırdır. Bu, x oxuna paralel düz xətlər üçün xarakterikdir. Misal üçün:

Tapşırıq: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 tənliyi ilə verilmiş xəttin yamacını tapın.

Həlli: Orijinal tənliyi ümumi formaya gətiririk

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Yaranan ifadədən y ifadəsi mümkün deyil, ona görə də bu xəttin yamacı sonsuza bərabərdir və xəttin özü Y oxuna paralel olacaqdır.

həndəsi məna

Daha yaxşı başa düşmək üçün şəklə baxaq:

Şəkildə y = kx tipli funksiyanın qrafikini görürük. Sadələşdirmək üçün c = 0 əmsalını götürürük. OAB üçbucağında BA tərəfinin AO tərəfinə nisbəti k yamacına bərabər olacaqdır. Eyni zamanda, BA / AO nisbəti OAB düzbucaqlı üçbucağında α kəskin bucağının tangensidir. Belə çıxır ki, düz xəttin mailliyi bu düz xəttin koordinatlar şəbəkəsinin x oxu ilə etdiyi bucağın tangensinə bərabərdir.

Düz xəttin yamacının necə tapılması məsələsini həll edərək, onunla koordinatlar şəbəkəsinin x oxu arasındakı bucağın tangensini tapırıq. Baxılan xətt koordinat oxlarına paralel olduqda sərhəd halları yuxarıda göstərilənləri təsdiqləyir. Həqiqətən də y=const tənliyi ilə təsvir olunan düz xətt üçün onunla x oxu arasındakı bucaq sıfıra bərabərdir. Sıfır bucağın tangensi də sıfırdır və yamac da sıfırdır.

X oxuna perpendikulyar olan və x=const tənliyi ilə təsvir olunan düz xətlər üçün onlarla x oxu arasındakı bucaq 90 dərəcədir. Düz bucağın tangensi sonsuzluğa, oxşar düz xətlərin mailliyi isə sonsuzluğa bərabərdir ki, bu da yuxarıda yazılanları təsdiqləyir.

Tangent yamac

Təcrübədə tez-tez rast gəlinən bir vəzifə də müəyyən bir nöqtədə funksiya qrafikinə toxunan meylin tapılmasıdır. Tangens düz xəttdir, ona görə də yamac anlayışı ona da şamil edilir.

Tangensin yamacının necə tapılacağını anlamaq üçün törəmə anlayışını xatırlamalıyıq. Hər hansı bir funksiyanın hansısa nöqtədə törəməsi, bu funksiyanın qrafikinin müəyyən edilmiş nöqtəsindəki tangens ilə absis oxu arasında əmələ gələn bucağın tangensinə ədədi olaraq bərabər sabitdir. Belə çıxır ki, x 0 nöqtəsindəki tangensin yamacını təyin etmək üçün bu nöqtədə orijinal funksiyanın törəməsinin qiymətini hesablamalıyıq k \u003d f "(x 0). Məsələni nəzərdən keçirək: