Mötərizədən əvvəl mənfi işarə varsa, o zaman. Mötərizənin açılması: qaydalar və nümunələr (7-ci sinif)

Mötərizənin əsas funksiyası dəyərləri hesablayarkən hərəkətlərin sırasını dəyişdirməkdir. Misal üçün, ədədi ifadədə \(5 3+7\) əvvəlcə vurma, sonra isə toplama hesablanacaq: \(5 3+7 =15+7=22\). Lakin \(5·(3+7)\) ifadəsində əvvəlcə mötərizədə toplama, sonra isə vurma hesablanacaq: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Misal. Mötərizəni genişləndirin: \(-(4m+3)\).
Həll : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Misal. Mötərizəni genişləndirin və eyni şərtləri verin \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Həll : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Misal. Mötərizələri genişləndirin \(5(3-x)\).
Həll : Mötərizədə \(3\) və \(-x\), mötərizənin qarşısında isə beş var. Bu o deməkdir ki, mötərizənin hər bir üzvü \ (5 \) ilə vurulur - sizə xatırladıram riyaziyyatda rəqəmlə mötərizə arasındakı vurma işarəsi qeydlərin ölçüsünü azaltmaq üçün yazılmayıb..

Misal. Mötərizələri genişləndirin \(-2(-3x+5)\).
Həll : Əvvəlki nümunədə olduğu kimi, mötərizədə verilmiş \(-3x\) və \(5\) \(-2\) ilə vurulur.

Misal. İfadəni sadələşdirin: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Həll : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Son vəziyyəti nəzərdən keçirmək qalır.

Mötərizəni mötərizə ilə vurarkən birinci mötərizənin hər bir üzvü ikincinin hər bir üzvü ilə vurulur:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Misal. Mötərizələri genişləndirin \((2-x)(3x-1)\).
Həll : Mötərizələr məhsulumuz var və yuxarıdakı düsturdan istifadə etməklə dərhal açıla bilər. Ancaq çaşqın olmamaq üçün hər şeyi addım-addım edək.
Addım 1. Birinci mötərizəni çıxarın - onun hər bir üzvü ikinci mötərizə ilə vurulur:

Addım 2. Mötərizənin məhsullarını yuxarıda göstərildiyi kimi amillə genişləndirin:
- birinci birinci...

Sonra ikinci.

Addım 3. İndi biz çoxalırıq və oxşar şərtləri gətiririk:

Bütün çevrilmələri ətraflı şəkildə rəngləmək lazım deyil, dərhal çoxalda bilərsiniz. Ancaq mötərizələri açmağı öyrənirsinizsə - ətraflı yazın, səhv etmək şansı az olacaq.

Bütün bölməyə diqqət yetirin.Əslində, bütün dörd qaydanı xatırlamaq lazım deyil, yalnız birini xatırlamaq lazımdır, bu: \(c(a-b)=ca-cb\) . Niyə? Çünki c əvəzinə birini əvəz etsək, \((a-b)=a-b\) qaydasını alırıq. Mənfi birini əvəz etsək, \(-(a-b)=-a+b\) qaydasını alırıq. Yaxşı, c əvəzinə başqa mötərizəni əvəz etsəniz, sonuncu qaydanı əldə edə bilərsiniz.

mötərizə içərisində mötərizə

Bəzən praktikada digər mötərizələrin içərisinə yerləşdirilmiş mötərizədə problemlər yaranır. Belə bir tapşırığa bir nümunə: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifadəsini sadələşdirmək.

Bu vəzifələrdə uğurlu olmaq üçün sizə lazımdır:
- mötərizələrin yuvasını diqqətlə anlayın - hansının içərisindədir;
- məsələn, ən içindən başlayaraq, mötərizələri ardıcıl olaraq açın.

Mötərizədə birini açarkən vacibdir ifadənin qalan hissəsinə toxunmayın, sadəcə olduğu kimi yenidən yazın.
Nümunə olaraq yuxarıdakı tapşırığı götürək.

Misal. Mötərizələri açın və oxşar şərtləri verin \(7x+2(5-(3x+y))\).
Həll:

Misal. Mötərizələri genişləndirin və oxşar şərtləri verin \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Həll :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Bu, mötərizələrin üçlü yuvasıdır. Ən daxili ilə başlayırıq (yaşıl rənglə vurğulanır). Mötərizənin qarşısında bir artı var, ona görə də sadəcə çıxarılır.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		İndi ikinci mötərizəni açmalısınız, aralıq. Amma bundan əvvəl biz bu ikinci mötərizədə oxşar terminləri xəyal edərək ifadəni sadələşdirəcəyik.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		İndi ikinci mötərizəni açırıq (mavi rənglə vurğulanır). Mötərizənin qarşısında çarpan var - buna görə də mötərizədəki hər bir termin ona vurulur.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Və sonuncu mötərizəni açın. Mötərizədə minusdan əvvəl - bütün işarələr tərsinə çevrilir.

Mötərizənin açılması riyaziyyatda əsas bacarıqdır. Bu bacarıq olmadan 8 və 9-cu siniflərdə üçdən yuxarı qiymət almaq mümkün deyil. Buna görə də bu mövzunu yaxşı başa düşməyi tövsiyə edirəm.

Bu dərsdə siz mötərizələri olan ifadəni mötərizə olmayan ifadəyə çevirməyi öyrənəcəksiniz. Önündə artı və mənfi işarəsi olan mötərizələri necə açmağı öyrənəcəksiniz. Çarpmanın paylanma qanunundan istifadə edərək mötərizənin necə açılacağını xatırlayacağıq. Baxılan nümunələr yeni və əvvəllər öyrənilmiş materialı vahid bütövlükdə birləşdirməyə imkan verəcəkdir.

Mövzu: Tənliklərin həlli

Dərs: Mötərizənin genişləndirilməsi

Önündə "+" işarəsi olan mötərizələri necə açmaq olar. Toplamanın assosiativ qanununun istifadəsi.

Əgər bir ədədə iki ədədin cəmini əlavə etmək lazımdırsa, onda bu rəqəmə birinci termini, sonra isə ikincisini əlavə edə bilərsiniz.

Bərabər işarənin solunda mötərizəli ifadə, sağında isə mötərizəsiz ifadə yerləşir. Bu o deməkdir ki, bərabərliyin sol tərəfindən sağ tərəfə keçərkən mötərizələr açılmışdır.

Nümunələri nəzərdən keçirin.

Misal 1

Mötərizələri genişləndirərək əməliyyatların sırasını dəyişdirdik. Saymaq daha rahat oldu.

Misal 2

Misal 3

Qeyd edək ki, hər üç nümunədə biz sadəcə mötərizələri çıxardıq. Qaydanı formalaşdıraq:

Şərh.

Mötərizədə olan birinci termin işarəsizdirsə, o zaman artı işarəsi ilə yazılmalıdır.

Addım-addım nümunəni izləyə bilərsiniz. Əvvəlcə 889-a 445 əlavə edin. Bu zehni hərəkəti yerinə yetirmək olar, lakin çox asan deyil. Mötərizələri açaq və görək ki, əməliyyatların dəyişdirilmiş qaydası hesablamaları xeyli asanlaşdıracaq.

Göstərilən hərəkətlər sırasına əməl etsəniz, o zaman əvvəlcə 512-dən 345-i çıxarmalı, sonra nəticəyə 1345 əlavə etməlisiniz.

İllüstrativ nümunə və qayda.

Məsələni nəzərdən keçirək: . İfadənin dəyərini 2 və 5-i əlavə edib, sonra isə əks işarə ilə nəticələnən ədədi götürməklə tapa bilərsiniz. -7 alırıq.

Digər tərəfdən, əks ədədləri əlavə etməklə eyni nəticə əldə edilə bilər.

Qaydanı formalaşdıraq:

Misal 1

Misal 2

Mötərizədə iki deyil, üç və ya daha çox termin olarsa, qayda dəyişmir.

Misal 3

Şərh. İşarələr yalnız şərtlərin qarşısında tərsinə çevrilir.

Mötərizələri açmaq üçün, bu məsələ paylayıcı xassəni xatırlayın.

Əvvəlcə birinci mötərizəni 2-yə, ikincisini isə 3-ə vurun.

Birinci mötərizədən əvvəl "+" işarəsi qoyulur, yəni işarələr dəyişməz qalmalıdır. İkincidən əvvəl "-" işarəsi var, buna görə də bütün işarələr tərsinə çevrilməlidir

Biblioqrafiya

Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Riyaziyyat 6 sinif. - Gimnaziya, 2006.
Depman İ.Ya., Vilenkin N.Ya. Riyaziyyat dərsliyinin səhifələrinin arxasında. - Maarifçilik, 1989.
Rurukin A.N., Çaykovski İ.V. Riyaziyyat kursu üçün tapşırıqlar 5-6 sinif - ZSH MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sochilov S.V., Çaykovski K.G. Riyaziyyat 5-6. MEPhI qiyabi məktəbin 6-cı sinif şagirdləri üçün dərslik. - ZSH MEPhI, 2011.
Şevrin L.N., Gein A.G., Koryakov İ.O., Volkov M.V. Riyaziyyat: 5-6-cı siniflər üçün həmsöhbət dərsliyi Ali məktəb. Riyaziyyat müəlliminin kitabxanası. - Maarifçilik, 1989.

Onlayn riyaziyyat testləri ().
1.2-ci bənddə göstərilənləri yükləyə bilərsiniz. Kitablar().

Ev tapşırığı

Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (bax. link 1.2)
Ev tapşırığı: No 1254, No 1255, No 1256 (b, d)
Digər tapşırıqlar: No 1258(c), No 1248

Tədris mövzusunda bir sıra metodik məqalələri davam etdirirəm. Fərdi işin xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirməyin vaxtı gəldi 7-ci sinif şagirdləri ilə riyaziyyat müəllimi. Böyük məmnuniyyətlə onlardan birinin təqdimetmə formaları haqqında fikirlərimi bölüşəcəyəm əsas mövzular 7-ci sinifdə cəbr kursu - "açılış mötərizələri". Çoxhədsizliyi qəbul etməyə çalışmamaq üçün gəlin onun ilkin mərhələsində dayanaq və çoxhədli çoxhədliyə vurmaq üçün repetitorun metodologiyasını təhlil edək. Necə riyaziyyat müəllimi-də etibarlıdır çətin vəziyyətlər, Nə vaxt zəif tələbə klassik izahat formasını dərk etmir? Güclü yeddinci sinif şagirdi üçün hansı tapşırıqlar hazırlanmalıdır? Bu və digər sualları nəzərdən keçirək.

Deyəsən, yaxşı, bu qədər çətin nədir? "Mötərizələr asandır" deyər hər hansı yaxşı tələbə. “Monimlərlə işləmək üçün dərəcələrin paylanma qanunu və xassələri, istənilən sayda termin üçün ümumi alqoritm var. Hər birinə çarpın və bənzərini gətirin. Ancaq geridə qalanlarla işləməkdə hər şey o qədər də sadə deyil. Riyaziyyat müəlliminin səylərinə baxmayaraq, tələbələr ən sadə çevrilmələrdə belə müxtəlif çaplı səhvlərə yol verirlər. Səhvlərin təbiəti müxtəlifliyi ilə diqqəti cəlb edir: hərf və işarələrin kiçik buraxılmasından tutmuş ciddi “dayanma xətalarına” qədər.

Şagirdin transformasiyaları düzgün yerinə yetirməsinə nə mane olur? Niyə anlaşılmazlıq var?

Çox sayda fərdi problemlər var və materialın mənimsənilməsi və konsolidasiyası üçün əsas maneələrdən biri diqqətin vaxtında və tez dəyişdirilməsinin çətinliyi, böyük miqdarda məlumatın işlənməsinin çətinliyidir. Böyük həcmdən danışmağım kiməsə qəribə görünə bilər, amma 7-ci sinif zəif şagirdinin hətta dörd dövr üçün kifayət qədər yaddaş və diqqət ehtiyatı olmaya bilər. Əmsallar, dəyişənlər, dərəcələr (göstəricilər) müdaxilə edir. Şagird əməliyyatların ardıcıllığını çaşdırır, hansı monohəmin artıq çoxaldığını və hansının toxunulmamış qaldığını unudur, onların necə vurulduğunu xatırlaya bilmir və s.

Riyaziyyat müəlliminin ədədi yanaşması

Əlbəttə ki, alqoritmin özünü qurmağın məntiqinin izahı ilə başlamaq lazımdır. Bunu necə etmək olar? Tapşırığı təyin etməliyik: ifadədəki hərəkətlərin sırasını necə dəyişdirmək olar nəticəni dəyişmədən? Mən tez-tez müəyyən qaydaların konkret nömrələr üzərində işləməsini izah edən misallar verirəm. Sonra onları hərflərlə əvəz edirəm. Rəqəmsal yanaşmadan istifadə texnikası aşağıda təsvir olunacaq.

Motivasiya problemləri.
Dərsin əvvəlində riyaziyyat müəllimi öyrənilən şeyin aktuallığını başa düşmürsə, şagird toplamaq çətindir. 6-7-ci siniflər üçün proqram çərçivəsində çoxhədli vurma qaydasından istifadə nümunələri tapmaq çətindir. öyrənməyin vacibliyini vurğulayardım ifadələrdə hərəkətlərin ardıcıllığını dəyişdirin Bunun problemlərin həllinə kömək etməsi faktı, tələbə oxşar terminlərin əlavə edilməsi təcrübəsindən bilməlidir. Tənlikləri həll edərkən onları da əlavə etməli idi. Məsələn, 2x+5x+13=34-də həmin 2x+5x=7x-dən istifadə edir. Riyaziyyat müəllimi sadəcə olaraq tələbənin diqqətini buna yönəltməlidir.

Riyaziyyat müəllimləri tez-tez mötərizə açma texnikası adlandırırlar fəvvarə qaydası.

Bu şəkil yaxşı xatırlanır və istifadə edilməlidir. Bəs bu qayda necə sübut edilmişdir? Aşkar şəxsiyyət çevrilmələrindən istifadə edərək klassik formanı xatırlayın:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

Riyaziyyat müəllimi üçün burada nəyisə şərh etmək çətindir. Məktublar özləri üçün danışır. Bəli və güclü 7-ci sinif şagirdi üçün lazım deyil ətraflı izahatlar. Ancaq bu “əlifba çaşqınlığı”nda heç bir məzmun görməyən zəiflərə nə etmək lazımdır?

“Fəvvarə”nin klassik riyazi əsaslandırılmasının qavranılmasına mane olan əsas problem birinci amilin yazılmasının qeyri-adi formasıdır. Nə 5-ci sinifdə, nə də 6-cı sinifdə şagird birinci mötərizəni ikincinin hər bir hissəsinə çəkməli deyildi. Uşaqlar yalnız mötərizənin solunda yerləşən nömrələrlə (əmsallarla) məşğul olurdular, məsələn:

6-cı sinfin sonunda şagird obyektin vizual görüntüsünü - mötərizələrlə əlaqəli işarələrin (hərəkətlərin) müəyyən birləşməsini formalaşdırmışdır. Həm də adi baxışdan yeni bir şeyə doğru hər hansı bir sapma yeddinci sinif şagirdini çaşdıra bilər. Riyaziyyat müəlliminin izah edərkən dövriyyəyə buraxdığı “rəqəm + mötərizə” cütünün vizual təsviridir.

Aşağıdakı izahat təklif edilə bilər. Tərbiyəçi mübahisə edir: “Əgər mötərizənin qarşısında bir rəqəm olsaydı, məsələn, 5, onda biz fəaliyyət istiqamətini dəyişdirin bu ifadədə? Əlbəttə. O zaman bunu edək . Düşünün, 5 rəqəminin əvəzinə mötərizədə 2 + 3 cəmini daxil etsək, onun nəticəsi dəyişəcəkmi? İstənilən şagird repetitora deyəcək: “Necə yazmağın nə fərqi var: 5 və ya 2+3”. Möhtəşəm. Rekord əldə edin. Riyaziyyat müəllimi qısa fasilə verir ki, şagird obyektin şəklini vizual olaraq yadda saxlasın. Sonra o, diqqətini mötərizənin də rəqəm kimi hər bir terminə “paylanmasına” və ya “sıçramasına” yönəldir. Bu nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, bu əməliyyat təkcə rəqəmlə deyil, həm də mötərizə ilə həyata keçirilə bilər. Biz iki cüt faktor aldıq və . Tələbələrin çoxu onların öhdəsindən asanlıqla gələ bilər və nəticəni repetitora yaza bilər. Yaranan cütləri 2+3 və 6+4 mötərizələrinin məzmunu ilə müqayisə etmək vacibdir və onların necə açıldığı aydın olacaq.

Lazım gələrsə, rəqəmlərlə nümunədən sonra riyaziyyat müəllimi hərfi sübut aparır. Çıxır asan gəzməkəvvəlki alqoritmin eyni hissələri ilə.

Mötərizənin açılması bacarığının formalaşdırılması

Mötərizədə vurma bacarığının formalaşması bunlardan biridir mərhələlər mövzu ilə riyaziyyat müəlliminin işi. Və hətta "fəvvarə" qaydasının məntiqini izah etmək mərhələsindən daha vacibdir. Niyə? Dəyişikliklərin əsaslandırılması ertəsi gün unudulacaq və bacarıq, əgər vaxtında formalaşıb sabitləşərsə, qalacaq. Şagirdlər vurma cədvəlini yaddaşdan çıxaran kimi əməliyyatı mexaniki şəkildə yerinə yetirirlər. Buna nail olmaq lazımdır. Niyə? Şagird hər dəfə mötərizəni açanda onu niyə bu şəkildə açdığını xatırlayacaq və başqa cür deyil, həll etdiyi problemi unudacaq. Buna görə də riyaziyyat müəllimi dərsin qalan hissəsini qavrayışı əzbər əzbərə çevirməyə sərf edir. Bu strategiya tez-tez digər mövzularda da istifadə olunur.

Tərbiyəçi şagirddə mötərizə açmaq bacarığını necə inkişaf etdirə bilər? Bunun üçün 7-ci sinif şagirdi möhkəmlətmək üçün kifayət qədər miqdarda bir sıra məşqlər yerinə yetirməlidir. Bu, başqa problem yaradır. Zəif yeddinci sinif şagirdi artan çevrilmələrin öhdəsindən gələ bilməz. Hətta kiçiklər də. Və səhvlər bir-birinin ardınca gəlməyə davam edir. Riyaziyyat müəllimi nə etməlidir? Birincisi, hər bir termindən hər birinə oxları rəngləməyi tövsiyə etmək lazımdır. Əgər şagird çox zəifdirsə və bir iş növündən digərinə tez keçə bilmirsə, müəllimin sadə əmrlərini yerinə yetirərkən diqqəti itirirsə, riyaziyyat müəllimi bu oxları özü çəkir. Və hamısı birdən deyil. Əvvəlcə tərbiyəçi sol mötərizənin birinci həddini sağ mötərizənin hər bir üzvü ilə əlaqələndirir və müvafiq vurmanı yerinə yetirməyi xahiş edir. Yalnız bundan sonra oxlar ikinci termindən eyni sağ mötərizəyə keçir. Yəni repetitor prosesi iki mərhələyə bölür. Birinci və ikinci əməliyyat arasında kiçik bir müvəqqəti fasilə (5-7 saniyə) saxlamaq daha yaxşıdır.

1) Oxların bir dəsti ifadələrin üstündə, digəri isə onların altında çəkilməlidir.
2) Ən azı sətirlər arasında keçmək vacibdir cüt hüceyrə. Əks təqdirdə, rekord çox sıx olacaq və oxlar yalnız əvvəlki xəttə qalxmayacaq, həm də növbəti məşqdən oxlarla qarışacaq.

3) 3-ə 2 formatında mötərizələrin vurulması vəziyyətində qısa mötərizədən uzununa oxlar çəkilir. Əks halda, bu “fəvvarələr” iki yox, üç olacaq. Üçüncünün həyata keçirilməsi oxlar üçün boş yer olmaması səbəbindən nəzərəçarpacaq dərəcədə daha mürəkkəbdir.
4) oxlar həmişə bir nöqtədən yönəldilir. Tələbələrimdən biri onları yan-yana qoymağa çalışdı və bunu etdi:

Belə bir tənzimləmə tələbənin hər bir mərhələdə işlədiyi cari müddəti ayırmağa və düzəltməyə imkan vermir.

Tərbiyəçinin barmaqlarının işi

4) Diqqəti ayrıca vurulmuş şərtlər cütünə cəmləmək üçün riyaziyyat müəllimi iki barmağını onların üzərinə qoyur. Bunu elə etmək lazımdır ki, şagirdin nəzərinə mane olmasın. Ən diqqətsiz tələbələr üçün "pulsasiya" üsulundan istifadə edə bilərsiniz. Riyaziyyat müəllimi birinci barmağını oxun əvvəlinə (terminlərdən birinə) gətirir və onu düzəldir, ikincisi isə ucunu (ikinci hissədə) “döyür”. Pulsasiya diqqəti tələbənin çoxaldığı müddətə yönəltməyə kömək edir. Sağ mötərizə ilə ilk vurma yerinə yetirildikdən sonra riyaziyyat müəllimi deyir: “İndi biz başqa bir terminlə işləyirik”. Tərbiyəçi ona “sabit barmağı” hərəkət etdirir və “pulsasiya edən” başqa mötərizədəki şərtlərin üzərindən keçir. Pulsasiya avtomobildə “dönüş siqnalı” kimi işləyir və diqqətdən yayınan tələbənin diqqətini onun apardığı əməliyyata toplamağa imkan verir. Uşaq kiçik yazırsa, barmaqların yerinə iki qələm istifadə olunur.

Təkrarlanan optimallaşdırma

Cəbr kursunda hər hansı digər mövzunun öyrənilməsində olduğu kimi, çoxhədlilərin vurulması da əvvəllər keçilmiş materialla birləşdirilə bilər və edilməlidir. Bunun üçün riyaziyyat müəllimi müxtəlif riyazi obyektlərdə öyrənilənlərin tətbiqini tapmağa imkan verən xüsusi körpü tapşırıqlarından istifadə edir. Onlar təkcə mövzuları vahid bir bütövlükdə birləşdirmir, həm də bütün riyaziyyat kursunun təkrarını çox səmərəli təşkil edir. Və repetitor nə qədər çox körpü qursa, bir o qədər yaxşıdır.

Ənənəvi olaraq, 7-ci sinif üçün cəbr dərsliklərində mötərizələrin açılması həlli ilə birləşdirilir. xətti tənliklər. Rəqəmlər siyahısının sonunda həmişə aşağıdakı ardıcıllıqla tapşırıqlar var: tənliyi həll edin. Mötərizələr açılarkən kvadratlar kiçilir və tənlik 7-ci sinif vasitəsi ilə asanlıqla həll edilir. Bununla belə, nədənsə dərslik müəllifləri xətti funksiyanın qrafikini çəkməyi təhlükəsiz unudurlar. Bu çatışmazlığı düzəltmək üçün mən riyaziyyat müəllimlərinə məsləhət görərdim ki, məsələn xətti funksiyaların analitik ifadələrində mötərizələr daxil etsinlər. Bu cür məşğələlərdə şagird eyni çevrilmələri həyata keçirmək bacarıqlarını öyrədir, həm də qrafikləri təkrarlayır. Siz iki "canavarı"n kəsişmə nöqtəsini tapmağı, xətlərin nisbi mövqeyini təyin etməyi, onların oxlarla kəsişmə nöqtələrini tapmağı və s.

Kolpakov A.N. Stroginoda riyaziyyat müəllimi. Moskva

İndi biz sadəcə mötərizədə olan ifadənin ədədə və ya ifadəyə vurulduğu ifadələrdə mötərizələrin açılmasına keçəcəyik. Mötərizədə mənfi işarədən əvvəl mötərizələrin açılması qaydasını tərtib edək: mötərizələr mənfi işarəsi ilə birlikdə buraxılır və mötərizədə olan bütün terminlərin işarələri əks işarələrlə əvəz olunur.

İfadə çevrilməsinin bir növü mötərizələrin genişləndirilməsidir. Rəqəmli, hərfi və dəyişən ifadələr mötərizələrdən istifadə etməklə tərtib edilir, bu, hərəkətlərin yerinə yetirilmə ardıcıllığını göstərə bilər, mənfi rəqəm ehtiva edir və s. Tutaq ki, yuxarıda təsvir olunan ifadələrdə ədədlər və dəyişənlər əvəzinə istənilən ifadələr ola bilər.

Mötərizələr açarkən həllin yazılmasının xüsusiyyətləri ilə bağlı daha bir məqama diqqət yetirək. Əvvəlki paraqrafda biz mötərizə genişlənməsi adlanan şeylə məşğul olduq. Bunun üçün mötərizələrin açılması qaydaları var ki, onları indi nəzərdən keçiririk. Bu qayda müsbət ədədlərin mötərizəsiz yazılmasının adət olduğu, bu vəziyyətdə mötərizələrin lazımsız olması ilə diktə olunur. (−3.7)−(−2)+4+(−9) ifadəsini mötərizəsiz −3.7+2+4−9 kimi yazmaq olar.

Nəhayət, qaydanın üçüncü hissəsi sadəcə olaraq ifadədə solda mənfi ədədlərin yazılmasının özəllikləri ilə bağlıdır (mənfi ədədlərin yazılması üçün mötərizədə qeyd etmişik). Siz ədəddən, mənfi işarələrdən və çoxlu mötərizə cütlərindən ibarət ifadələrlə qarşılaşa bilərsiniz. Mötərizələri içəridən xaricə doğru genişləndirsəniz, həll yolu belə olacaq: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Mötərizələri necə açmaq olar?

Budur izahat: −(−2 x) +2 x-dir və bu ifadə birinci gəldiyi üçün +2 x 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= kimi yazıla bilər. −1/x və −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Mötərizənin açılması üçün yazılı qaydanın birinci hissəsi birbaşa mənfi ədədlərin vurulması qaydasından irəli gəlir. Onun ikinci hissəsi müxtəlif işarəli ədədlərin vurulması qaydasının nəticəsidir. Məhsullarda mötərizələrin genişləndirilməsi nümunələrinə və fərqli işarələri olan iki ədədin əmsallarına keçək.

Mötərizənin açılması: qaydalar, nümunələr, həllər.

Yuxarıdakı qayda bu hərəkətlərin bütün zəncirini nəzərə alır və mötərizələrin açılması prosesini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirir. Eyni qayda, cəmlər və fərqlər olmayan mənfi işarəli məhsullar və şəxsi ifadələr olan ifadələrdə mötərizələr açmağa imkan verir.

Bu qaydanın tətbiqinə dair nümunələri nəzərdən keçirin. Müvafiq qaydanı veririk. Yuxarıda −(a) və −(−a) formasının ifadələri ilə artıq qarşılaşmışıq ki, onlar mötərizəsiz müvafiq olaraq −a və a kimi yazılır. Məsələn, −(3)=3, və. Bunlar qeyd olunan qaydanın xüsusi hallarıdır. İndi cəmlər və ya fərqlər əlavə edildikdə mötərizələrin açılması nümunələrinə nəzər salın. Bu qaydanın istifadəsinə dair nümunələr göstərəcəyik. (b1+b2) ifadəsini b kimi işarələyin, bundan sonra mötərizəni əvvəlki abzasdakı ifadəyə vurma qaydasından istifadə edirik, (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

İnduksiya yolu ilə bu ifadə hər mötərizədə ixtiyari sayda terminlərə qədər genişləndirilə bilər. Qalır ki, əvvəlki abzaslardakı qaydalardan istifadə edərək, yaranan ifadədə mötərizələri açın, nəticədə 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3 alırıq.

Riyaziyyatda qayda, mötərizənin qarşısında (+) və (-) varsa, mötərizənin açılması, çox zəruri bir qaydadır.

Bu ifadə üç amilin (2+4), 3 və (5+7 8) hasilidir. Mötərizələr ardıcıl olaraq açılmalıdır. İndi mötərizəni ədədə vurma qaydasından istifadə edirik, bizdə ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) olur. Əsasları mötərizədə yazılmış bəzi ifadələr olan, natural göstəriciləri olan dərəcələr bir neçə mötərizənin hasili kimi qəbul edilə bilər.

Məsələn, (a+b+c)2 ifadəsini çevirək. Əvvəlcə onu iki mötərizənin hasili kimi (a + b + c) (a + b + c) yazırıq, indi mötərizəni mötərizəyə vururuq, a + a b + a c + b a + b b+b c+ alırıq. c a+c b+c c.

Biz onu da deyirik ki, iki ədədin cəmi və fərqini təbii gücə çatdırmaq üçün Nyuton binom düsturundan istifadə etmək məqsədəuyğundur. Məsələn, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Əvvəlcədən bölməni vurma ilə əvəz etmək və sonra məhsulda mötərizələri açmaq üçün müvafiq qaydadan istifadə etmək daha rahat deyil.

Nümunələrdən istifadə edərək mötərizələrin açılma qaydasını anlamaq qalır. (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7) ifadəsini götürün. Bu nəticələri orijinal ifadədə əvəz edin: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Mötərizənin açılmasını tamamlamaq qalır, nəticədə −5+3 2:4+6 7 əldə edirik. Bu o deməkdir ki, bərabərliyin sol tərəfindən sağ tərəfə keçərkən mötərizələr açılmışdır.

Qeyd edək ki, hər üç nümunədə biz sadəcə mötərizələri çıxardıq. Əvvəlcə 889-a 445 əlavə edin. Bu zehni hərəkəti yerinə yetirmək olar, lakin çox asan deyil. Mötərizələri açaq və görək ki, əməliyyatların dəyişdirilmiş qaydası hesablamaları xeyli asanlaşdıracaq.

Mötərizələri fərqli dərəcədə necə açmaq olar

İllüstrativ nümunə və qayda. Məsələni nəzərdən keçirək: . İfadənin dəyərini 2 və 5-i əlavə edib, sonra isə əks işarə ilə nəticələnən ədədi götürməklə tapa bilərsiniz. Mötərizədə iki deyil, üç və ya daha çox termin olarsa, qayda dəyişmir. Şərh. İşarələr yalnız şərtlərin qarşısında tərsinə çevrilir. Mötərizələri açmaq üçün bu halda paylayıcı xassəni xatırlatmalıyıq.

Mötərizədə tək ədədlər

Səhviniz işarələrdə deyil, kəsrlərlə səhv işinizdədir? 6-cı sinifdə biz müsbət və mənfi ədədlər. Nümunələri və tənlikləri necə həll edəcəyik?

Mötərizədə nə qədərdir? Bu ifadələr haqqında nə demək olar? Təbii ki, birinci və ikinci misalların nəticəsi eynidir, ona görə də onların arasına bərabər işarə qoya bilərsiniz: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Bəs mötərizələrlə nə etdik?

Mötərizənin açılması qaydaları ilə 6-cı slaydın nümayişi. Beləliklə, mötərizələrin açılması qaydaları bizə nümunələri həll etməyə, ifadələri sadələşdirməyə kömək edəcəkdir. Sonra tələbələr cüt-cüt işləməyə dəvət olunur: mötərizədə olan ifadəni oxlarla mötərizəsiz müvafiq ifadə ilə əlaqələndirmək lazımdır.

Slayd 11 Bir dəfə Günəşli şəhərdə Znayka və Dunno onlardan hansının tənliyi düzgün həll etdiyini mübahisə etdilər. Sonra tələbələr mötərizənin açılması qaydalarını tətbiq edərək tənliyi müstəqil həll edirlər. Tənliklərin həlli ”Dərsin məqsədləri: təhsil (mövzusunda ZUN-ları düzəltmək:“ Mötərizənin açılması.

Dərsin mövzusu: “Mötərizələrin açılması. Bu halda, birinci mötərizədə olan hər bir termini ikinci mötərizədə olan hər bir terminlə vurmalı və sonra nəticələri əlavə etməlisiniz. Əvvəlcə ilk iki amil götürülür, daha bir mötərizədə bağlanır və bu mötərizələrin içərisində artıq məlum olan qaydalardan birinə uyğun olaraq mötərizələr açılır.

rawalan.freezeet.ru

Mötərizənin açılması: qaydalar və nümunələr (7-ci sinif)

Mötərizənin əsas funksiyası dəyərləri hesablayarkən hərəkətlərin sırasını dəyişdirməkdir ədədi ifadələr . Misal üçün, ədədi ifadədə \(5 3+7\) əvvəlcə vurma, sonra isə toplama hesablanacaq: \(5 3+7 =15+7=22\). Lakin \(5·(3+7)\) ifadəsində əvvəlcə mötərizədə toplama, sonra isə vurma hesablanacaq: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Bununla belə məşğul olsaq cəbri ifadə ehtiva edir dəyişən- məsələn, belə: \ (2 (x-3) \) - onda mötərizədə dəyəri hesablamaq mümkün deyil, dəyişən müdaxilə edir. Buna görə də, bu vəziyyətdə, bunun üçün müvafiq qaydalardan istifadə edərək mötərizələr "açılır".

Mötərizənin genişləndirilməsi qaydaları

Mötərizədən əvvəl artı işarəsi varsa, mötərizə sadəcə çıxarılır, içindəki ifadə dəyişməz qalır. Başqa sözlə:

Burada aydınlaşdırmaq lazımdır ki, riyaziyyatda qeydləri azaltmaq üçün ifadədə birincidirsə artı işarəsini yazmamaq adətdir. Məsələn, iki müsbət ədədi, məsələn, yeddi və üçü əlavə etsək, yeddinin də müsbət ədəd olmasına baxmayaraq, \(+7+3\) deyil, sadəcə \(7+3\) yazırıq. . Eynilə, məsələn, \((5+x)\) ifadəsini görürsünüzsə - bunu bilin mötərizənin qabağında yazılmayan artı var.

Misal . Mötərizəni açın və oxşar şərtləri verin: \((x-11)+(2+3x)\).
Həll : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Mötərizənin qarşısında mənfi işarə varsa, mötərizə çıxarıldıqda onun içindəki ifadənin hər bir üzvü işarəni əksinə dəyişir:

Burada aydınlaşdırmaq lazımdır ki, a, mötərizədə olarkən, artı işarəsi var idi (bunu sadəcə yazmadılar) və mötərizəni çıxardıqdan sonra bu artı mənfi olaraq dəyişdi.

Misal : \(2x-(-7+x)\) ifadəsini sadələşdirin.
Həll : mötərizədə iki termin var: \(-7\) və \(x\), mötərizədən əvvəl isə mənfi işarə var. Bu o deməkdir ki, işarələr dəyişəcək - və yeddi artıq artı, x isə mənfi olacaq. mötərizəni açın və kimi şərtlər gətirin .

Misal. Mötərizəni genişləndirin və eyni şərtləri verin \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Həll : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Mötərizənin qarşısında bir amil varsa, mötərizənin hər bir üzvü ona vurulur, yəni:

Misal. Mötərizələri genişləndirin \(-2(-3x+5)\).
Həll : Əvvəlki nümunədə olduğu kimi, mötərizədə verilmiş \(-3x\) və \(5\) \(-2\) ilə vurulur.

Son vəziyyəti nəzərdən keçirmək qalır.

Mötərizəni mötərizə ilə vurarkən birinci mötərizənin hər bir üzvü ikincinin hər bir üzvü ilə vurulur:

Misal. Mötərizələri genişləndirin \((2-x)(3x-1)\).
Həll : Mötərizələr məhsulumuz var və yuxarıdakı düsturdan istifadə etməklə dərhal açıla bilər. Ancaq çaşqın olmamaq üçün hər şeyi addım-addım edək.
Addım 1. Birinci mötərizəni çıxarırıq - onun hər bir üzvü ikinci mötərizə ilə vurulur:

Addım 2. Mötərizənin məhsullarını yuxarıda göstərildiyi kimi amillə genişləndirin:
- birinci birinci...

Addım 3. İndi biz çoxalırıq və oxşar şərtləri gətiririk:

mötərizə içərisində mötərizə

Bəzən praktikada digər mötərizələrin içərisinə yerləşdirilmiş mötərizədə problemlər yaranır. Belə bir tapşırığa bir nümunə: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifadəsini sadələşdirmək.

Mötərizədə birini açarkən vacibdir ifadənin qalan hissəsinə toxunmayın, sadəcə olduğu kimi yenidən yazın.
Nümunə olaraq yuxarıdakı tapşırığı götürək.

Misal. Mötərizələri açın və oxşar şərtləri verin \(7x+2(5-(3x+y))\).
Həll:

Daxili mötərizəni (daxili) açaraq tapşırığa başlayaq. Onu açaraq, biz yalnız onunla birbaşa əlaqəli olması ilə məşğul oluruq - bu, mötərizənin özü və qarşısındakı mənfi cəhətdir (yaşıl rənglə vurğulanır). Qalan hər şey (seçilməmiş) olduğu kimi yenidən yazılır.

Riyaziyyatdan onlayn məsələlərin həlli

Onlayn kalkulyator.
Polinomun sadələşdirilməsi.
Çoxhədlilərin vurulması.

Bu riyaziyyat proqramı ilə siz çoxhədli sadələşdirə bilərsiniz.
Proqram işləyərkən:
- çoxhədliləri çoxaldır
- cəmi monomiallar (bənzərləri verir)
- mötərizələri açır
- Çoxhədlini gücə qaldırır

Çoxhədli sadələşdirmə proqramı yalnız problemin cavabını vermir, izahatlarla ətraflı həllini verir, yəni. riyaziyyat və/və ya cəbr biliklərinizi yoxlamaq üçün həll prosesini göstərir.

Bu proqram tələbələr üçün faydalı ola bilər ümumtəhsil məktəbləriüçün hazırlanır nəzarət işi və imtahanlar, imtahandan əvvəl bilikləri yoxlayarkən, valideynlər riyaziyyat və cəbrdən bir çox problemlərin həllinə nəzarət etsinlər. Yoxsa repetitor tutmaq və ya yeni dərsliklər almaq sizə çox baha başa gəlir? Yoxsa bunu mümkün qədər tez etmək istəyirsiniz? ev tapşırığı riyaziyyat yoxsa cəbr? Bu halda siz də ətraflı həlli ilə proqramlarımızdan istifadə edə bilərsiniz.

Bu yolla siz öz təliminizi və/və ya təliminizi keçirə bilərsiniz kiçik qardaşlar və ya bacılar, həll olunan vəzifələr sahəsində təhsil səviyyəsi yüksələrkən.

Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, müraciətiniz növbədədir.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Zəhmət olmasa saniyə gözləyin.

Bir az nəzəriyyə.

Monoformal və çoxhədlinin hasili. Polinom anlayışı

Cəbrdə nəzərə alınan müxtəlif ifadələr arasında monomialların cəmi mühüm yer tutur. Bu cür ifadələrə nümunələr:

Monoforalların cəminə çoxhədli deyilir. Çoxhədlinin üzvlərinə çoxhədli üzv deyilir. Mononomlara çoxhədlilər də deyilir, monomial bir üzvdən ibarət çoxhədli hesab olunur.

Biz bütün terminləri standart formanın monomialları kimi təqdim edirik:

Nəticə polinomunda oxşar şərtləri veririk:

Nəticə çoxhədlidir, onun bütün üzvləri standart formanın monomiallarıdır və onların arasında oxşarları yoxdur. Belə polinomlar deyilir standart formalı polinomlar.

Arxada polinom dərəcəsi standart forma onun üzvlərinin səlahiyyətlərinin ən böyük hissəsini alır. Deməli, binomun üçüncü dərəcəsi, üçhəmin ikinci dərəcəsi var.

Adətən, tərkibində bir dəyişən olan standart formalı çoxhədlilərin şərtləri onun eksponentlərinin azalma ardıcıllığı ilə düzülür. Misal üçün:

Bir neçə çoxhədlilərin cəmi standart forma çoxhədliyə çevrilə (sadələşdirilə bilər).

Bəzən çoxhədlinin üzvlərini qruplara bölmək, hər bir qrupu mötərizə içərisində almaq lazımdır. Mötərizələr mötərizələrin əksi olduğu üçün onu formalaşdırmaq asandır mötərizələrin açılması qaydaları:

Əgər + işarəsi mötərizələrdən əvvəl qoyulursa, mötərizədə alınan terminlər eyni işarələrlə yazılır.

Mötərizənin qarşısında "-" işarəsi qoyulursa, mötərizədə alınan terminlər əks işarələrlə yazılır.

Monoformal və çoxhədli məhsulun çevrilməsi (sadələşdirilməsi).

Vurmanın paylayıcı xassəsindən istifadə edərək, monomial və çoxhədlinin hasilini çoxhədliyə çevirmək (sadələşdirmək) olar. Misal üçün:

Bir çoxhədli ilə çoxhədlinin hasili bu monohəmin və çoxhədlinin hər birinin hasillərinin cəminə eyni dərəcədə bərabərdir.

Bu nəticə adətən bir qayda olaraq tərtib edilir.

Bir çoxhədli çoxhədli ilə vurmaq üçün bu monohəmi çoxhədlinin hər bir həddi ilə vurmaq lazımdır.

Biz dəfələrlə bu qaydanı cəminə vurmaq üçün istifadə etmişik.

Çoxhədlilərin hasili. İki çoxhədlinin hasilinin çevrilməsi (sadələşdirilməsi).

Ümumiyyətlə, iki çoxhədlinin hasili eyni dərəcədə bir çoxhədlinin hər bir üzvü ilə digərinin hər bir həddinin hasilinin cəminə bərabərdir.

Adətən aşağıdakı qaydadan istifadə edin.

Çoxhədlini çoxhədli ilə çoxaltmaq üçün bir çoxhədlinin hər həddini digərinin hər bir üzvünə vurmalı və nəticədə hasilləri əlavə etməlisiniz.

Qısaldılmış vurma düsturları. Cəm, Fərq və Fərq Kvadratları

Cəbri çevrilmələrdə bəzi ifadələr digərlərindən daha tez-tez işlənməlidir. Bəlkə də ən çox yayılmış ifadələr və yəni cəminin kvadratı, fərqin kvadratı və kvadratların fərqidir. Diqqət etdiniz ki, bu ifadələrin adları natamam görünür, buna görə də, məsələn, - bu, əlbəttə ki, cəminin kvadratı deyil, a və b cəminin kvadratıdır. Bununla belə, a və b cəminin kvadratı o qədər də ümumi deyil, bir qayda olaraq, a və b hərflərinin əvəzinə müxtəlif, bəzən kifayət qədər mürəkkəb ifadələr ehtiva edir.

İfadələri standart formanın çoxhədlilərinə çevirmək (sadələşdirmək) asandır, əslində polinomları vurarkən belə bir tapşırıqla qarşılaşmısınız:

Yaranan şəxsiyyətlər aralıq hesablamalar olmadan yadda saxlamaq və tətbiq etmək üçün faydalıdır. Qısa şifahi formulalar buna kömək edir.

- cəminin kvadratı kvadratların cəminə və hasilinin iki qatına bərabərdir.

- fərqin kvadratı ikiqat hasili olmayan kvadratların cəminə bərabərdir.

- kvadratların fərqi fərqin cəminə hasilinə bərabərdir.

Bu üç identiklik transformasiyalarda onların sol hissələrini sağlarla və əksinə - sağ hissələri sol olanlarla əvəz etməyə imkan verir. Bu vəziyyətdə ən çətin şey müvafiq ifadələri görmək və onlarda a və b dəyişənlərinin nə ilə əvəz olunduğunu başa düşməkdir. Qısaldılmış vurma düsturlarının istifadəsinə dair bir neçə nümunəyə baxaq.

Kitablar (dərsliklər) İmtahanın konspektləri və OGE testləri Onlayn Oyunlar, bulmacalar Funksiyaların qrafiki Rus dilinin orfoqrafik lüğəti Gənclərin jarqon lüğəti Rus məktəblərinin kataloqu Rusiyadakı orta məktəblərin kataloqu Rusiyadakı universitetlərin kataloqu Tapşırıqların siyahısı GCD və LCM-nin tapılması ədədi fraksiyalar Faizlə bağlı məsələlərin həlli Mürəkkəb ədədlər: cəm, fərq, hasil və hissə İki dəyişənli 2 xətti tənlik sistemləri Kvadrat tənliyin həlli Binom kvadratın çeşidlənməsi və kvadrat üçhəcmli faktorların ayrılması Bərabərsizliklərin həlli Bərabərsizlik sistemlərinin həlli Qrafikin çəkilməsi kvadrat funksiya Xətti-kəsr funksiyasının qrafikinin çəkilməsi Arifmetik və həndəsi irəliləyişlərin həlli Triqonometrik, eksponensial, loqarifmik tənliklərin həlli Limitlərin, törəmələrin, tangenslərin hesablanması İnteqral, əks törəmə Üçbucaqların həlli Vektorlarla hərəkətlərin hesablanması Xətlər və müstəvilərlə hərəkətlərin hesablanması Sahə həndəsi fiqurlar Həndəsi fiqurların perimetri Həndəsi cisimlərin həcmi Həndəsi cisimlərin səthinin sahəsi
Trafik vəziyyətləri konstruktoru
Hava - xəbərlər - ulduz falı

www.mathsolution.ru

Braketin genişləndirilməsi

Biz cəbrin əsaslarını öyrənməyə davam edirik. Bu dərsdə biz ifadələrdə mötərizələrin necə açılacağını öyrənəcəyik. Mötərizələri genişləndirmək bu mötərizələrin ifadəsini silmək deməkdir.

Mötərizələr açmaq üçün yalnız iki qaydanı əzbər öyrənmək lazımdır. At müntəzəm dərslər ilə mötərizələri aça bilərsiniz gözləri bağlandı, və yadda saxlanması lazım olan qaydalar təhlükəsiz şəkildə unudula bilər.

Mötərizənin genişlənməsinin birinci qaydası

Aşağıdakı ifadəni nəzərdən keçirin:

Bu ifadənin dəyəri 2 . Bu ifadədəki mötərizələri açaq. Mötərizələri genişləndirmək ifadənin mənasına təsir etmədən onlardan qurtulmaq deməkdir. Yəni mötərizələrdən qurtulduqdan sonra ifadənin dəyəri 8+(−9+3) yenə də ikiyə bərabər olmalıdır.

Birinci mötərizə genişlənməsi qaydası belə görünür:

Mötərizələri açarkən, mötərizədə mötərizədə bir artı varsa, mötərizələr ilə birlikdə bu artı buraxılır.

Beləliklə, ifadədə bunu görürük 8+(−9+3) mötərizənin qarşısında bir artı var. Bu artı mötərizələrlə birlikdə buraxılmalıdır. Başqa sözlə, mötərizələr onların qarşısında duran artı ilə birlikdə yox olacaq. Mötərizədə olanlar dəyişməz olaraq yazılacaq:

8−9+3 . Bu ifadə bərabərdir 2 , əvvəlki mötərizəli ifadə bərabər olduğu kimi 2 .

8+(−9+3) Və 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Misal 2İfadədəki mötərizələri genişləndirin 3 + (−1 − 4)

Mötərizənin qarşısında bir artı var, ona görə də mötərizələr ilə birlikdə bu artı buraxılmışdır. Mötərizədə olanlar dəyişməz qalacaq:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Misal 3İfadədəki mötərizələri genişləndirin 2 + (−1)

Bu misalda mötərizələrin genişləndirilməsi çıxmanın əlavə ilə əvəz edilməsinin bir növ tərs əməliyyatına çevrilmişdir. Bunun mənası nədi?

İfadədə 2−1 çıxma baş verir, lakin onu əlavə etməklə əvəz etmək olar. Sonra ifadəni alırsınız 2+(−1) . Amma ifadədə olarsa 2+(−1) mötərizələri açın, orijinalı alırsınız 2−1 .

Buna görə də, ilk mötərizə genişlənməsi qaydası bəzi transformasiyalardan sonra ifadələri sadələşdirmək üçün istifadə edilə bilər. Yəni, onu mötərizələrdən qurtarın və asanlaşdırın.

Məsələn, ifadəni sadələşdirək 2a+a−5b+b .

Bu ifadəni sadələşdirmək üçün oxşar terminlər əlavə edə bilərik. Xatırladaq ki, oxşar şərtləri azaltmaq üçün oxşar şərtlərin əmsallarını əlavə etməli və nəticəni ümumi hərf hissəsinə vurmalısınız:

İfadə var 3a+(−4b). Bu ifadədə mötərizələri açın. Mötərizələrdən əvvəl bir artı var, ona görə də mötərizələri açmaq üçün birinci qaydadan istifadə edirik, yəni mötərizələri bu mötərizələrdən əvvəl gələn artı ilə birlikdə buraxırıq:

Belə ki, ifadə 2a+a−5b+b qədər sadələşdirilmişdir 3a−4b .

Bir mötərizəni açdıqdan sonra digərləri yol boyu qarşılaşa bilər. Birinci qaydalara uyğun olaraq onlara da tətbiq edirik. Məsələn, aşağıdakı ifadədə mötərizələri genişləndirək:

Mötərizələri genişləndirməyiniz lazım olan iki yer var. Bu halda, mötərizələri genişləndirmək üçün birinci qayda tətbiq olunur, yəni bu mötərizələrdən əvvəl gələn artı ilə birlikdə mötərizələrin buraxılması:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Misal 3İfadədəki mötərizələri genişləndirin 6+(−3)+(−2)

Mötərizənin olduğu hər iki yerdə onlardan əvvəl artı işarəsi qoyulur. Burada yenə birinci mötərizə genişlənməsi qaydası tətbiq olunur:

Bəzən mötərizədə birinci termin işarəsiz yazılır. Məsələn, ifadədə 1+(2+3−4) mötərizədə birinci termin 2 işarəsiz yazılmışdır. Sual yaranır ki, mötərizələr və mötərizənin qarşısındakı artı işarəsi buraxıldıqdan sonra ikilikdən əvvəl hansı işarə gələcək? Cavab özünü göstərir - deuce qarşısında bir artı olacaq.

Əslində, mötərizədə olsa belə, ikilinin qarşısında bir artı var, amma yazılmadığı üçün bunu görmürük. Artıq müsbət ədədlərin tam qeydinin belə göründüyünü söylədik +1, +2, +3. Ancaq müsbət cəhətlər ənənəvi olaraq yazılmır, ona görə də bizə tanış olan müsbət rəqəmləri görürük. 1, 2, 3 .

Buna görə də ifadədə mötərizə açmaq üçün 1+(2+3−4) , bu mötərizələrin qarşısındakı artı ilə yanaşı, adi qaydada mötərizələri buraxmalısınız, lakin mötərizədə olan birinci termini artı işarəsi ilə yazın:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Misal 4İfadədəki mötərizələri genişləndirin −5 + (2 − 3)

Mötərizənin qarşısında bir artı var, ona görə də mötərizələri açmaq üçün birinci qaydanı tətbiq edirik, yəni mötərizələri bu mötərizələrdən əvvəl gələn artı ilə birlikdə buraxırıq. Ancaq artı işarəsi ilə mötərizədə yazılmış birinci termin:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Misal 5İfadədəki mötərizələri genişləndirin (−5)

Mötərizədən əvvəl artı var, amma ondan əvvəl başqa rəqəmlər və ifadələr olmadığı üçün yazılmır. Bizim vəzifəmiz, mötərizələri genişləndirmək üçün ilk qaydanı tətbiq etməklə, yəni mötərizələri bu artı ilə birlikdə buraxmaqla (görünməz olsa belə) mötərizələri çıxarmaqdır.

Misal 6İfadədəki mötərizələri genişləndirin 2a + (−6a + b)

Mötərizənin qarşısında bir artı var, ona görə də mötərizələr ilə birlikdə bu artı buraxılmışdır. Mötərizədə olanlar dəyişməz olaraq yazılacaq:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Misal 7İfadədəki mötərizələri genişləndirin 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Bu ifadədə mötərizələri açmalı olduğunuz iki yer var. Hər iki hissədə mötərizələrin qarşısında bir artı var, yəni mötərizələrlə birlikdə bu artı buraxılmışdır. Mötərizədə olanlar dəyişməz olaraq yazılacaq:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Mötərizənin açılması üçün ikinci qayda

İndi ikinci mötərizə genişlənmə qaydasına baxaq. Mötərizənin qarşısında mənfi işarə olduqda istifadə olunur.

Mötərizədə bir mənfi varsa, bu mənfi mötərizələr ilə birlikdə buraxılır, lakin mötərizədə olan şərtlər işarəsini əksinə dəyişir.

Məsələn, aşağıdakı ifadədəki mötərizələri genişləndirək

Mötərizələrdən əvvəl bir mənfi olduğunu görürük. Beləliklə, ikinci genişləndirmə qaydasını tətbiq etməlisiniz, yəni bu mötərizələrin qarşısında mənfi ilə birlikdə mötərizələri buraxın. Bu halda, mötərizədə olan terminlər işarəsini əksinə dəyişəcək:

Mötərizəsiz ifadə aldıq 5+2+3 . Əvvəlki mötərizəli ifadə 10-a bərabər olduğu kimi, bu ifadə 10-a bərabərdir.

Beləliklə, ifadələr arasında 5−(−2−3) Və 5+2+3 bərabər işarə qoya bilərsiniz, çünki onlar eyni qiymətə bərabərdirlər:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Misal 2İfadədəki mötərizələri genişləndirin 6 − (−2 − 5)

Mötərizədə bir mənfi var, ona görə də mötərizələri açmaq üçün ikinci qaydanı tətbiq edirik, yəni mötərizələri bu mötərizələrdən əvvəl gələn mənfi ilə birlikdə buraxırıq. Bu halda mötərizədə olan terminlər əks işarələrlə yazılır:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Misal 3İfadədəki mötərizələri genişləndirin 2 − (7 + 3)

Mötərizədə bir mənfi var, buna görə mötərizələri açmaq üçün ikinci qaydanı tətbiq edirik:

Misal 4İfadədəki mötərizələri genişləndirin −(−3 + 4)

Misal 5İfadədəki mötərizələri genişləndirin −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Mötərizələri genişləndirməyiniz lazım olan iki yer var. Birinci halda, mötərizələri açmaq üçün ikinci qaydanı tətbiq etməlisiniz və növbə ifadəyə gəldikdə +(−9−2) birinci qaydanı tətbiq etməlisiniz:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Misal 6İfadədəki mötərizələri genişləndirin −(−a−1)

Misal 7İfadədəki mötərizələri genişləndirin −(4a + 3)

Misal 8İfadədəki mötərizələri genişləndirin a −(4b + 3) + 15

Misal 9İfadədəki mötərizələri genişləndirin 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Mötərizələri genişləndirməyiniz lazım olan iki yer var. Birinci halda, mötərizələri genişləndirmək üçün ilk qaydanı tətbiq etməlisiniz və növbə ifadəyə gəldikdə −(3c+5) ikinci qaydanı tətbiq etməlisiniz:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Misal 10İfadədəki mötərizələri genişləndirin -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Mötərizələri genişləndirmək üçün lazım olan üç yer var. Əvvəlcə mötərizələri genişləndirmək üçün ikinci qaydanı, sonra birincini, sonra yenidən ikincini tətbiq etməlisiniz:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Mötərizənin genişləndirilməsi mexanizmi

İndi nəzərdən keçirdiyimiz mötərizələrin açılması qaydaları vurmanın paylayıcı qanununa əsaslanır:

Faktiki olaraq açılış mötərizələriümumi amil mötərizədə hər bir terminə vurulduqda proseduru çağırın. Belə çarpma nəticəsində mötərizələr yox olur. Məsələn, ifadədəki mötərizələri genişləndirək 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Buna görə də, əgər bir ədədi mötərizədəki ifadə ilə çoxaltmaq (və ya mötərizədəki ifadəni rəqəmlə çoxaltmaq) lazımdırsa, bunu söyləmək lazımdır. mötərizələri açın.

Bəs, vurmanın paylayıcı qanunu əvvəllər nəzərdən keçirdiyimiz mötərizələrin açılması qaydaları ilə necə əlaqəlidir?

Fakt budur ki, hər hansı bir mötərizədən əvvəl ümumi bir amil var. Nümunədə 3×(4+5)ümumi faktordur 3 . Və nümunədə a(b+c)ümumi amil dəyişəndir a.

Mötərizədə heç bir rəqəm və ya dəyişən yoxdursa, ümumi amildir 1 və ya −1 , mötərizədə hansı simvolun gəlməsindən asılı olaraq. Mötərizənin qarşısında bir artı varsa, ümumi amildir 1 . Mötərizələrdən əvvəl bir mənfi varsa, ümumi amildir −1 .

Məsələn, ifadədəki mötərizələri genişləndirək −(3b−1). Mötərizələrdən əvvəl bir mənfi var, buna görə mötərizələri açmaq üçün ikinci qaydadan istifadə etməlisiniz, yəni mötərizələrdən əvvəl mənfi ilə birlikdə mötərizələri buraxın. Mötərizədə olan ifadəni əks işarələrlə yazın:

Mötərizənin genişləndirilməsi qaydasından istifadə edərək mötərizələri genişləndirdik. Lakin bu eyni mötərizələr vurmanın paylayıcı qanunundan istifadə etməklə açıla bilər. Bunun üçün əvvəlcə mötərizənin qarşısına yazılmamış ümumi amil 1-i yazırıq:

Əvvəllər mötərizələrin qarşısında duran minus bu vahidə istinad edirdi. İndi vurmanın paylanma qanununu tətbiq etməklə mötərizələri aça bilərsiniz. Bunun üçün ümumi amil −1 mötərizədə hər bir terminə vurmaq və nəticələri əlavə etmək lazımdır.

Rahatlıq üçün mötərizədə olan fərqi cəmi ilə əvəz edirik:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Keçən dəfə olduğu kimi ifadəni aldıq −3b+1. Hamı razılaşacaq ki, bu dəfə belə sadə bir nümunənin həllinə daha çox vaxt sərf olunub. Buna görə də, bu dərsdə nəzərdən keçirdiyimiz mötərizələrin açılması üçün hazır qaydalardan istifadə etmək daha məqsədəuyğundur:

Ancaq bu qaydaların necə işlədiyini bilmək zərər vermir.

Bu dərsdə biz başqa bir eyni çevrilmə öyrəndik. Mötərizənin açılması, ümuminin mötərizədən çıxarılması və oxşar terminlərin gətirilməsi ilə birlikdə həll ediləcək vəzifələrin dairəsini bir qədər də genişləndirmək olar. Misal üçün:

Burada iki hərəkəti yerinə yetirmək lazımdır - əvvəlcə mötərizələri açın, sonra isə oxşar şərtləri gətirin. Beləliklə, ardıcıllıqla:

1) Mötərizələri genişləndirin:

2) Bənzər şərtləri veririk:

Nəticədə ifadədə −10b+(−1) mötərizələri aça bilərsiniz:

Misal 2 Mötərizələr açın və aşağıdakı ifadədə oxşar terminlər əlavə edin:

1) Mötərizələri genişləndirin:

2) Biz oxşar şərtləri təqdim edirik. Bu dəfə vaxta və yerə qənaət etmək üçün əmsalların ümumi hərf hissəsinə necə vurulduğunu yazmayacağıq.

Misal 3İfadəni sadələşdirin 8m+3m və dəyərini tapın m=−4

1) Əvvəlcə ifadəni sadələşdirək. İfadəni sadələşdirmək üçün 8m+3m, onda ümumi faktoru çıxara bilərsiniz m mötərizələr üçün:

2) İfadənin qiymətini tapın m(8+3) saat m=−4. Bunun üçün ifadədə m(8+3) dəyişən əvəzinə m nömrəni əvəz edin −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Tənliyin həmin hissəsi mötərizədə verilmiş ifadədir. Mötərizələri açmaq üçün mötərizələrin qarşısındakı işarəyə baxın. Artı işarəsi varsa, ifadə qeydində mötərizələri genişləndirərkən heç bir şey dəyişməyəcək: sadəcə mötərizələri çıxarın. Mənfi işarə varsa, mötərizələri açarkən, əvvəlcə mötərizədə olan bütün işarələri əks olanlara dəyişdirmək lazımdır. Məsələn, -(2x-3)=-2x+3.

İki mötərizənin vurulması.
Əgər tənlik iki mötərizənin hasilini ehtiva edirsə, standart qaydaya uyğun olaraq mötərizələri genişləndirin. Birinci mötərizənin hər bir üzvü ikinci mötərizənin hər bir üzvü ilə vurulur. Əldə edilən rəqəmlər ümumiləşdirilir. Bu zaman iki “artı” və ya iki “mənfi”nin hasili terminə “artı” işarəsini verir və əgər amillər varsa müxtəlif əlamətlər, sonra mənfi işarə alır.
Nəzərə alın.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Mötərizələri genişləndirərək, bəzən ifadəni . Kvadratlaşdırma və kublama düsturlarını əzbər bilmək və yadda saxlamaq lazımdır.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Üçdən çox ifadəni qaldırmaq üçün düsturlar Paskal üçbucağından istifadə etməklə edilə bilər.

Mənbələr:

mötərizə açma düsturu

Mötərizəyə alınmış riyazi əməliyyatlar dəyişənləri və ifadələri ehtiva edə bilər müxtəlif dərəcələrdəçətinliklər. Bu cür ifadələri çoxaltmaq üçün həll yolu axtarmaq lazımdır ümumi görünüş, mötərizələri genişləndirmək və nəticəni sadələşdirmək. Mötərizədə dəyişənlər olmadan, yalnız ədədi qiymətlərlə əməliyyatlar varsa, o zaman mötərizələri açmaq lazım deyil, çünki kompüter onun istifadəçisi üçün əlçatandırsa, çox əhəmiyyətli hesablama resursları mövcuddur - onlardan istifadə etmək sadələşdirməkdən daha asandır. ifadə.

Təlimat

Ümumi nəticə əldə etmək istəyirsinizsə, bir mötərizədə olan hər birini (və ya ondan kiçildilmiş) ardıcıl olaraq bütün digər mötərizələrin məzmununa vurun. Məsələn, orijinal ifadə belə yazılsın: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Sonra ardıcıl vurma (yəni mötərizələri genişləndirmək) aşağıdakı nəticəni verəcəkdir: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

İfadələri qısaltmaqla nəticədən sonra sadələşdirin. Məsələn, əvvəlki addımda alınan ifadə aşağıdakı kimi sadələşdirilə bilər: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Əgər x-i 4.75-ə, yəni (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2) vurmaq lazımdırsa, kalkulyatordan istifadə edin. Bu dəyəri hesablamaq üçün Google və ya Nigma axtarış sisteminin veb saytına daxil olun və sorğu sahəsinə ifadəni orijinal formada (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2) daxil edin. Google bir düyməyə basmadan dərhal 82.265625 göstərəcək, Nigma isə bir düyməni basmaqla məlumatları serverə göndərməlidir.