Pavyzdys
1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 ir kt.Proporcingumo koeficientas
Proporcingų dydžių pastovus ryšys vadinamas proporcingumo koeficientas. Proporcingumo koeficientas parodo, kiek vieno kiekio vienetų tenka kito vienetui.
Tiesioginis proporcingumas
Tiesioginis proporcingumas- funkcinė priklausomybė, kai tam tikras dydis priklauso nuo kito dydžio taip, kad jų santykis išlieka pastovus. Kitaip tariant, šie kintamieji keičiasi proporcingai, lygiomis dalimis, tai yra, jei argumentas pasikeičia du kartus bet kuria kryptimi, tada funkcija taip pat pasikeičia du kartus ta pačia kryptimi.
Matematiškai tiesioginis proporcingumas parašytas kaip formulė:
f(x) = ax,a = const
Atvirkštinis proporcingumas
Atvirkštinis proporcingumas- tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės padidėjimas (argumentas) sukelia proporcingą priklausomos reikšmės (funkcijos) sumažėjimą.
Matematiškai atvirkštinis proporcingumas parašytas kaip formulė:
Funkcijos savybės:
Šaltiniai
Wikimedia fondas. 2010 m.
Apie mokymosi naudojant vaizdo pamokas privalumus galime kalbėti be galo. Pirma, jie aiškiai ir suprantamai, nuosekliai ir struktūriškai pateikia savo mintis. Antra, jie užtrunka tam tikrą nustatytą laiką ir nėra dažnai ištęsti ir varginantys. Trečia, jos mokiniams įdomesnės nei įprastos pamokos, prie kurių jie įpratę. Galite juos apžiūrėti ramioje aplinkoje.
Daugelyje matematikos kurso uždavinių 6 klasės mokiniai susidurs su tiesioginiais ir atvirkščiai proporcingais ryšiais. Prieš pradedant studijuoti šią temą, verta prisiminti, kokios yra proporcijos ir kokios pagrindinės jų savybės.
Ankstesnė vaizdo pamoka skirta temai „Proporcijos“. Tai yra logiškas tęsinys. Verta paminėti, kad tema yra gana svarbi ir dažnai sutinkama. Verta kartą ir visiems laikams tinkamai suprasti.
Norėdami parodyti temos svarbą, vaizdo pamoka prasideda užduotimi. Sąlyga pasirodo ekrane ir praneša diktorius. Duomenų įrašas pateikiamas tam tikros diagramos pavidalu, kad vaizdo įrašą žiūrintis mokinys galėtų kuo geriau suprasti. Būtų geriau, jei iš pradžių jis laikytųsi šios įrašymo formos.
Nežinomybė, kaip įprasta daugeliu atvejų, žymima lotyniška raide x. Norėdami jį rasti, pirmiausia turite padauginti reikšmes skersai. Taigi bus gauta dviejų santykių lygybė. Tai rodo, kad tai susiję su proporcijomis ir verta prisiminti pagrindinę jų savybę. Atkreipkite dėmesį, kad visos vertės nurodytos tame pačiame matavimo vienete. Priešingu atveju reikėjo juos sumažinti iki vieno matmens.
Peržiūrėję vaizdo įraše pateiktą sprendimo būdą, su tokiomis problemomis neturėtų kilti jokių sunkumų. Diktorius komentuoja kiekvieną žingsnį, paaiškina visus veiksmus ir prisimena išstuduotą medžiagą, kuri buvo naudojama.
Iš karto pažiūrėję pirmąją video pamokos dalį „Tiesioginės ir atvirkštinės proporcinės priklausomybės“ galite paprašyti mokinio išspręsti tą pačią problemą be užuominų pagalbos. Po to galite pasiūlyti alternatyvią užduotį.
Atsižvelgiant į mokinio protinius gebėjimus, vėlesnių užduočių sunkumas gali būti palaipsniui didinamas.
Išnagrinėjus pirmą problemą, pateikiamas tiesiogiai proporcingų dydžių apibrėžimas. Apibrėžimą perskaito pranešėjas. Pagrindinė koncepcija paryškinta raudonai.
Toliau demonstruojama kita problema, kurios pagrindu paaiškinamas atvirkštinis proporcingas ryšys. Geriausia, kad mokinys šias sąvokas užsirašytų į sąsiuvinį. Jei reikia, prieš bandymai, mokinys gali lengvai rasti visas taisykles ir apibrėžimus ir perskaityti iš naujo.
Pažiūrėjęs šį filmuką, 6 klasės mokinys supras, kaip tam tikrose užduotyse naudoti proporcijas. Tai gana svarbi tema, kurios jokiu būdu negalima praleisti. Jei mokinys nesugeba suvokti mokytojo pateiktos medžiagos per pamoką tarp kitų mokinių, tai tokie mokomieji ištekliai bus puikus išsigelbėjimas!
Užbaigė: Čepkasovas Rodionas
6 klasės mokinys
MBOU "Vidurinė mokykla Nr. 53"
Barnaulas
Vadovas: Bulykina O.G.
matematikos mokytojas
MBOU "Vidurinė mokykla Nr. 53"
Barnaulas
Įvadas. 1
Santykiai ir proporcijos. 3
Tiesioginiai ir atvirkščiai proporcingi ryšiai. 4
Tiesioginės ir atvirkštinės proporcingumo taikymas 6
priklausomybės sprendžiant įvairias problemas.
Išvada. vienuolika
Literatūra. 12
Įvadas.
Žodis proporcija kilęs iš lotyniško žodžio proporcija, paprastai reiškiančio proporcingumą, dalių išlyginimą (tam tikrą dalių santykį viena su kita). Senovėje pitagoriečiai labai gerbė proporcijų doktriną. Su proporcijomis jie siejo mintis apie tvarką ir grožį gamtoje, apie priebalsių akordus muzikoje ir harmoniją visatoje. Kai kurias proporcijų rūšis jie vadino muzikinėmis arba harmoninėmis.
Dar senovėje žmogus atrado, kad visi gamtos reiškiniai yra tarpusavyje susiję, kad viskas nuolat juda, kinta, o išreikštas skaičiais atskleidžia nuostabius raštus.
Pitagoriečiai ir jų pasekėjai ieškojo skaitinės išraiškos viskam pasaulyje. Jie atrado; kad matematinėmis proporcijomis grindžiama muzika (stygos ilgio ir aukščio santykis, intervalų santykis, garsų santykis akorduose, kurie suteikia harmoningą garsą). Pitagoriečiai bandė matematiškai pagrįsti pasaulio vienybės idėją ir teigė, kad visatos pagrindas yra simetriškos geometrinės figūros. Pitagoriečiai ieškojo matematinio grožio pagrindo.
Po pitagoriečių viduramžių mokslininkas Augustinas grožį pavadino „skaitine lygybe“. Mokslininkas filosofas Bonaventure rašė: "Nėra grožio ir malonumo be proporcingumo, o proporcingumas visų pirma egzistuoja skaičiais. Būtina, kad viskas būtų skaičiuojama." Leonardo da Vinci savo traktate apie tapybą rašė apie proporcijos naudojimą mene: „Dailininkas proporcijos pavidalu įkūnija tuos pačius gamtoje paslėptus modelius, kuriuos mokslininkas žino skaitmeninio dėsnio forma“.
Sprendžiant buvo naudojamos proporcijos skirtingos užduotys tiek senovėje, tiek viduramžiais. Tam tikros problemos dabar lengvai ir greitai išsprendžiamos naudojant proporcijas. Proporcijos ir proporcingumas buvo ir yra naudojami ne tik matematikoje, bet ir architektūroje bei mene. Proporcija architektūroje ir mene reiškia tam tikrų dydžių santykių palaikymą skirtingos dalys pastatas, figūra, skulptūra ar kitas meno kūrinys. Proporcingumas tokiais atvejais yra teisingos ir gražios konstrukcijos bei vaizdavimo sąlyga
Savo darbe stengiausi svarstyti tiesioginių ir atvirkštinių proporcingų santykių panaudojimą įvairiose gyvenimo srityse, per užduotis atsekti ryšį su akademiniais dalykais.
Santykiai ir proporcijos.
Vadinamas dviejų skaičių koeficientas požiūrisšie numeriai.
Požiūris parodo, kiek kartų pirmasis skaičius yra didesnis už antrąjį arba kokia dalis pirmasis skaičius yra antrojo.
Užduotis.
Į parduotuvę atvežta 2,4 t kriaušių ir 3,6 t obuolių. Kokią dalį atnešamų vaisių sudaro kriaušės?
Sprendimas . Raskime, kiek vaisių atnešė: 2,4+3,6=6(t). Norėdami sužinoti, kokia dalis atneštų vaisių yra kriaušės, darome santykį 2,4:6=. Atsakymas gali būti parašytas ir formoje dešimtainis arba procentais: = 0,4 = 40%.
Abipusiai atvirkščiai paskambino numeriai, kurio sandaugai lygūs 1. Todėl santykiai vadinamas atvirkštiniu santykiu.
Apsvarstykite du vienodus santykius: 4,5:3 ir 6:4. Padėkime tarp jų lygybės ženklą ir gaukime proporciją: 4,5:3=6:4.
Proporcija yra dviejų santykių lygybė: a : b =c :d arba = 
, kur yra a ir d kraštutinės proporcijos sąlygos, c ir b – vidutiniai nariai(visos proporcijos sąlygos skiriasi nuo nulio).
Pagrindinė proporcijos savybė:
teisinga proporcija kraštutinių dėmenų sandauga yra lygi vidurinių narių sandaugai.
Taikydami daugybos komutacinę savybę, matome, kad teisinga proporcija kraštutiniai ar viduriniai nariai gali būti sukeisti. Gautos proporcijos taip pat bus teisingos.
Naudodami pagrindinę proporcijos savybę, galite rasti nežinomą jos terminą, jei žinomi visi kiti terminai.
Norėdami rasti nežinomą kraštutinį proporcijos narį, turite padauginti vidutinius narius ir padalyti iš žinomo kraštutinio nario. x : b = c : d , x = 
Norėdami rasti nežinomybę vidutinis narys proporcijas, reikia padauginti kraštutinius terminus ir padalyti iš žinomo vidurinio termino. a : b =x : d , x = 
.
Tiesioginiai ir atvirkščiai proporcingi ryšiai.
Dviejų skirtingų dydžių reikšmės gali būti viena nuo kitos priklausomos. Taigi, kvadrato plotas priklauso nuo jo kraštinės ilgio, ir atvirkščiai - kvadrato kraštinės ilgis priklauso nuo jo ploto.
Sakoma, kad du dydžiai yra proporcingi, jei didėja
(sumažinti) vieną iš jų kelis kartus, kitą tiek pat kartų padidinti (sumažinti).
Jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tada šių dydžių atitinkamų verčių santykiai yra lygūs.
Pavyzdys tiesiai proporcinga priklausomybė .
Degalinėje 2 litrai benzino sveria 1,6 kg. Kiek jie svers 5 litrai benzino?
Sprendimas:
Žibalo svoris yra proporcingas jo tūriui.
2l - 1,6 kg
5l - x kg
2:5=1,6:x,
x=5*1,6 x=4
Atsakymas: 4 kg.
Čia svorio ir tūrio santykis išlieka nepakitęs.
Du dydžiai vadinami atvirkščiai proporcingais, jei vienam iš jų padidėjus (sumažinus) kelis kartus, kitas mažėja (padidėja) tiek pat.
Jei dydžiai yra atvirkščiai proporcingi, tada vieno dydžio reikšmių santykis yra lygus kito dydžio atitinkamų verčių atvirkštiniam santykiui.
P pavyzdysatvirkščiai proporcingas ryšys.
Du stačiakampiai turi tą patį plotą. Pirmojo stačiakampio ilgis 3,6 m, plotis 2,4 m antrojo stačiakampio ilgis 4,8 m Raskite antrojo stačiakampio plotį.
Sprendimas:
1 stačiakampis 3,6 m 2,4 m
2 stačiakampiai 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8 m 2,4 m
x = 3,6 * 2,4 = 1,8 m
Atsakymas: 1,8 m.
Kaip matote, problemas, susijusias su proporcingais dydžiais, galima išspręsti naudojant proporcijas.
Ne kiekvienas du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi arba atvirkščiai proporcingi. Pavyzdžiui, vaiko ūgis didėja didėjant amžiui, tačiau šios reikšmės nėra proporcingos, nes amžiui padvigubėjus, vaiko ūgis nepadidėja.
Praktinis tiesioginės ir atvirkštinės proporcinės priklausomybės taikymas.
Užduotis Nr.1
Mokyklos bibliotekoje yra 210 matematikos vadovėlių, tai 15% viso bibliotekos fondo. Kiek knygų yra bibliotekos kolekcijoje?
Sprendimas:
Iš viso vadovėlių – ? – 100 proc.
matematikai - 210 -15 proc.
15% 210 akademinis.
X = 100* 210 = 1400 vadovėlių
100% x sąskaita. 15
Atsakymas: 1400 vadovėlių.
2 problema
Dviratininkas 75 km nuvažiuoja per 3 valandas. Kiek laiko užtruks dviratininkas tuo pačiu greičiu nuvažiuoti 125 km?
Sprendimas:
3 h – 75 km
A – 125 km
Todėl laikas ir atstumas yra tiesiogiai proporcingi dydžiai
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Atsakymas: per 5 valandas.
3 problema
8 identiški vamzdžiai pripildo baseiną per 25 minutes. Kiek minučių prireiks užpildyti baseiną 10 tokių vamzdžių?
Sprendimas:
8 vamzdžiai – 25 min
10 vamzdžių - ? minučių
Vamzdžių skaičius yra atvirkščiai proporcingas laikui, todėl
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Atsakymas: per 20 minučių.
Problema Nr.4
8 darbuotojų komanda užduotį atlieka per 15 dienų. Kiek darbuotojų gali atlikti užduotį per 10 dienų dirbdami tokiu pat našumu?
Sprendimas:
8 darbo dienos – 15 dienų
Darbuotojai - 10 dienų
Darbuotojų skaičius yra atvirkščiai proporcingas dienų skaičiui, taigi
x: 8 = 15:10,
x= 
,
x=12.
Atsakymas: 12 darbuotojų.
Problema Nr.5
Iš 5,6 kg pomidorų gaunami 2 litrai padažo. Kiek litrų padažo galima gauti iš 54 kg pomidorų?
Sprendimas:
5,6 kg – 2 l
54 kg - ? l
Pomidorų kilogramų skaičius yra tiesiogiai proporcingas gautam padažo kiekiui, todėl
5,6:54 = 2:x,
x = 
,
x = 19.
Atsakymas: 19 l.
Problema Nr.6
Mokyklos pastatui šildyti anglys buvo laikomos 180 dienų pagal vartojimo normą
0,6 tonos anglies per dieną. Kiek dienų pakaks šios atsargos, jei kasdien išleidžiama 0,5 tonos?
Sprendimas:
Dienų skaičius
Vartojimo norma
Todėl dienų skaičius yra atvirkščiai proporcingas anglies suvartojimo normai
180: x = 0,5: 0,6,
x = 180*0,6:0,5,
x = 216.
Atsakymas: 216 dienų.
Problema Nr.7
Geležies rūdoje 7 dalyse geležies yra 3 dalys priemaišų. Kiek tonų priemaišų yra rūdoje, kurioje yra 73,5 tonos geležies?
Sprendimas:
Dalių skaičius
Svoris
Geležis
73,5
Priemaišos
Todėl dalių skaičius yra tiesiogiai proporcingas masei
7:73,5 = 3:x.
x = 73,5 * 3:7,
x = 31,5.
Atsakymas: 31,5 t
Problema Nr.8
Automobilis nuvažiavo 500 km, naudodamas 35 litrus benzino. Kiek litrų benzino reikės nuvažiuoti 420 km?
Sprendimas:
Atstumas, km
Benzino, l
Atstumas yra tiesiogiai proporcingas benzino sąnaudoms, todėl
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29,4.
Atsakymas: 29,4 l
Problema Nr.9
Per 2 valandas pagavome 12 karosų. Kiek karosų bus sugauta per 3 valandas?
Sprendimas:
Karosų skaičius nepriklauso nuo laiko. Šie dydžiai nėra nei tiesiogiai, nei atvirkščiai proporcingi.
Atsakymas: atsakymo nėra.
10 problema
Kasybos įmonė už tam tikrą pinigų sumą turi įsigyti 5 naujas mašinas, kurių kaina yra 12 tūkstančių rublių. Kiek šių mašinų įmonė gali nusipirkti, jei vienos mašinos kaina bus 15 tūkstančių rublių?
Sprendimas:
Automobilių skaičius, vnt.
Kaina, tūkstantis rublių
Automobilių skaičius yra atvirkščiai proporcingas išlaidoms, todėl
5: x = 15:12,
x=5*12:15,
x=4.
Atsakymas: 4 automobiliai.
Problema Nr.11
Mieste N aikštėje P yra parduotuvė, kurios savininkas yra toks griežtas, kad už vėlavimą išskaičiuoja 70 rublių iš atlyginimo už 1 vėlavimą per dieną. Dvi merginos, Julija ir Nataša, dirba viename skyriuje. Jų darbo užmokestis priklauso nuo darbo dienų skaičiaus. Julija per 20 dienų gavo 4100 rublių, o Nataša per 21 dieną turėjo gauti daugiau, tačiau vėlavo 3 dienas iš eilės. Kiek rublių gaus Nataša?
Sprendimas:
Darbo dienos
Atlyginimas, rub.
Julija
4100
Nataša
Todėl atlyginimas yra tiesiogiai proporcingas darbo dienų skaičiui
20:21 = 4100:x,
x=4305.
4305 rub. Nataša turėjo jį gauti.
4305 – 3 * 70 = 4095 (rub.)
Atsakymas: Nataša gaus 4095 rublius.
12 problema
Atstumas tarp dviejų miestų žemėlapyje yra 6 cm. Raskite atstumą tarp šių miestų ant žemės, jei žemėlapio mastelis yra 1: 250000.
Sprendimas:
Atstumą tarp miestų žemėje pažymėkime x (centimetrais) ir raskime atkarpos ilgio žemėlapyje ir atstumo žemėje santykį, kuris bus lygus žemėlapio masteliui: 6: x = 1 : 250 000,
x = 6*250000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 km
Atsakymas: 15 km.
13 problema
4000 g tirpalo yra 80 g druskos. Kokia yra druskos koncentracija šiame tirpale?
Sprendimas:
Svoris, g
Koncentracija, %
Sprendimas
4000
Druska
4000:80 = 100:x,
x = 
,
x = 2.
Atsakymas: druskos koncentracija yra 2%.
14 problema
Bankas suteikia paskolą 10% per metus. Gavote 50 000 rublių paskolą. Kiek turėtum grąžinti bankui per metus?
Sprendimas:
50 000 rub.
100%
x patrinti.
50 000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x = 5000.
5000 rub. yra 10%.
50 000 + 5 000 = 55 000 (rub.)
Atsakymas: per metus bankas atgaus 55 000 rublių.
Išvada.
Kaip matome iš pateiktų pavyzdžių, tiesioginiai ir atvirkščiai proporcingi ryšiai galioja įvairiose gyvenimo srityse:
Ekonomika,
Prekyba,
Gamyboje ir pramonėje,
Maisto gaminimas,
Statyba ir architektūra.
Sportas,
Gyvulininkystė,
Topografijos,
Fizikai,
Chemija ir kt.
Rusų kalboje taip pat yra patarlių ir posakių, kurie nustato tiesioginį ir atvirkštinis ryšys:
Kai grįš, taip ir atsilieps.
Kuo aukštesnis kelmas, tuo didesnis šešėlis.
Kuo daugiau žmonių, tuo mažiau deguonies.
Ir jis paruoštas, bet kvailas.
Matematika yra vienas seniausių mokslų, jis atsirado remiantis žmonijos poreikiais ir norais. Perėjęs formavimosi istoriją nuo Senovės Graikija, ji vis dar išlieka aktuali ir reikalinga Kasdienybė bet koks asmuo. Tiesioginio ir atvirkštinio proporcingumo sąvoka buvo žinoma nuo seniausių laikų, nes būtent proporcijos dėsniai motyvavo architektus statant ar kuriant bet kokią skulptūrą.
Žinios apie proporcijas plačiai naudojamos visose žmogaus gyvenimo ir veiklos sferose – be jų neapsieinama tapant (peizažai, natiurmortai, portretai ir kt.), jos taip pat plačiai paplitusios tarp architektų ir inžinierių – apskritai sunku piešti. įsivaizduokite, kad ką nors sukursite nenaudodami žinių apie proporcijas ir jų santykius.
Literatūra.
Matematika-6, N.Ya. Vilenkin ir kt.
Algebra -7, G.V. Dorofejevas ir kiti.
Matematika-9, GIA-9, redagavo F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova
Matematika-6, didaktinė medžiaga, P.V. Chulkovas, A. B. Uedinovas
Matematikos uždaviniai 4-5 klasėms, I.V.Baranova ir kt., M. "Prosveščenie" 1988 m.
Matematikos 5-6 klasių uždavinių ir pavyzdžių rinkinys, N.A. Terešinas,
T.N. Tereshina, M. „Akvariumas“ 1997 m
I. Tiesiogiai proporcingi dydžiai.
Tegul vertė y priklauso nuo dydžio X. Jei didinant X kelis kartus didesnis adresu padidėja tiek pat, tada tokios vertės X Ir adresu vadinami tiesiogiai proporcingais.
Pavyzdžiai.
1 . Perkamų prekių kiekis ir pirkimo kaina (su fiksuota vieno prekės vieneto kaina - 1 vnt. arba 1 kg ir pan.) Kiek kartų daugiau buvo nupirkta prekių, tiek kartų daugiau sumokėjo.
2 . Nuvažiuotas atstumas ir jame praleistas laikas (pastoviu greičiu). Kiek kartų ilgesnis kelias, kiek kartų daugiau laiko prireiks jam užbaigti.
3 . Kūno tūris ir masė. ( Jei vienas arbūzas yra 2 kartus didesnis už kitą, tada jo masė bus 2 kartus didesnė)
II. Tiesioginio dydžių proporcingumo savybė.
Jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų pirmojo dydžio verčių santykis yra lygus dviejų atitinkamų antrojo dydžio verčių santykiui.
1 užduotis. Aviečių uogienei paėmėme 12 kg aviečių ir 8 kg Sachara. Kiek cukraus jums reikės, jei jį paimsite? 9 kg aviečių?
Sprendimas.
Mes samprotaujame taip: tegul taip reikia x kg cukraus už 9 kg aviečių Aviečių masė ir cukraus masė yra tiesiogiai proporcingi dydžiai: kiek kartų mažiau aviečių, tiek kartų mažiau cukraus reikia. Todėl paimtų aviečių santykis (pagal svorį) ( 12:9 ) bus lygus paimto cukraus santykiui ( 8:x). Gauname proporciją:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. Atsakymas:įjungta 9 kg aviečių reikia paimti 6 kg Sachara.
Problemos sprendimas Tai galima padaryti taip:
Leisk toliau 9 kg aviečių reikia paimti x kg Sachara.
(Paveikslėlyje esančios rodyklės nukreiptos viena kryptimi, o aukštyn ar žemyn nesvarbu. Reikšmė: kiek kartų skaičius 12 daugiau numerio 9 , tiek pat kartų 8 daugiau numerio X, t.y. čia yra tiesioginis ryšys).
Atsakymas:įjungta 9 kg Man reikia paimti aviečių 6 kg Sachara.
2 užduotis. Automobilis skirtas 3 valandos nukeliavo atstumą 264 km. Kiek laiko jam prireiks kelionės? 440 km, jei jis važiuoja tokiu pat greičiu?
Sprendimas.
Leisk už x valandos automobilis nueis atstumą 440 km.
Atsakymas: automobilis pravažiuos 440 km per 5 val.
Tiesioginio proporcingumo samprata
Įsivaizduokite, kad planuojate pirkti mėgstamus saldainius (ar bet ką, kas jums labai patinka). Saldainiai parduotuvėje turi savo kainą. Tarkime, 300 rublių už kilogramą. Kuo daugiau saldainių perkate, tuo daugiau pinigų sumokėsite. Tai jei nori 2 kilogramų, mokėk 600 rublių, o jei nori 3 kilogramų – 900 rublių. Atrodo, kad viskas aišku, tiesa?
Jei taip, tada jums dabar aišku, kas yra tiesioginis proporcingumas – tai sąvoka, apibūdinanti dviejų vienas nuo kito priklausomų dydžių ryšį. Ir šių dydžių santykis išlieka nepakitęs ir pastovus: kiek dalių viena jų didėja arba mažėja, tiek pat dalių proporcingai didėja arba mažėja antra.
Tiesioginį proporcingumą galima apibūdinti tokia formule: f(x) = a*x, o a šioje formulėje yra pastovi reikšmė (a = const). Mūsų pavyzdyje apie saldainius kaina yra pastovi vertė, konstanta. Jis nedidėja ir nemažėja, kad ir kiek saldainių nuspręstumėte nusipirkti. Nepriklausomas kintamasis (argumentas) x yra tai, kiek kilogramų saldainių ketinate pirkti. Ir priklausomas kintamasis f(x) (funkcija) yra tai, kiek pinigų galiausiai sumokėsite už pirkinį. Taigi galime pakeisti skaičius į formulę ir gauti: 600 rublių. = 300 rub. * 2 kg.
Tarpinė išvada tokia: jei argumentas didėja, funkcija taip pat didėja, jei argumentas mažėja, funkcija taip pat mažėja
Funkcija ir jos savybės
Tiesioginė proporcinga funkcija yra ypatingas tiesinės funkcijos atvejis. Jei tiesinė funkcija yra y = k*x + b, tai tiesioginiam proporcingumui ji atrodo taip: y = k*x, kur k vadinamas proporcingumo koeficientu, ir jis visada yra ne nulis skaičius. Apskaičiuoti k nesunku – jis randamas kaip funkcijos ir argumento koeficientas: k = y/x.
Kad būtų aiškiau, paimkime kitą pavyzdį. Įsivaizduokite, kad automobilis juda iš taško A į tašką B. Jo greitis yra 60 km/val. Jei darome prielaidą, kad judėjimo greitis išlieka pastovus, tada jį galima laikyti konstanta. Ir tada parašome sąlygas forma: S = 60*t, ir ši formulė yra panaši į tiesioginio proporcingumo y = k *x funkciją. Nubrėžkime paralelę toliau: jei k = y/x, tai automobilio greitį galima apskaičiuoti žinant atstumą tarp A ir B bei kelyje praleistą laiką: V = S /t.
O dabar, nuo tiesioginio proporcingumo žinių pritaikymo, grįžkime prie jo funkcijos. Kurių savybės apima:
jo apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė (taip pat ir jos poaibių);
funkcija nelyginė;
kintamųjų pokytis yra tiesiogiai proporcingas per visą skaičių linijos ilgį.
Tiesioginis proporcingumas ir jo grafikas
Tiesioginio proporcingumo funkcijos grafikas yra tiesė, kuri kerta pradžią. Norėdami jį pastatyti, pakanka pažymėti dar vieną tašką. Ir sujunkite jį ir koordinačių pradžią tiesia linija.
Grafo atveju k yra nuolydis. Jei nuolydis mažiau nei nulis(k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), grafikas ir x ašis sudaro smailųjį kampą, o funkcija didėja.
Ir dar viena tiesioginio proporcingumo funkcijos grafiko savybė yra tiesiogiai susijusi su nuolydžiu k. Tarkime, kad turime dvi neidentiškas funkcijas ir atitinkamai du grafikus. Taigi, jei šių funkcijų koeficientai k yra lygūs, jų grafikai yra lygiagrečiai koordinačių ašiai. O jei koeficientai k nelygūs vienas kitam, grafikai susikerta.
Pavyzdinės problemos
Dabar išspręskime porą tiesioginio proporcingumo problemų
Pradėkime nuo kažko paprasto.
1 problema: Įsivaizduokite, kad 5 vištos per 5 dienas padėjo 5 kiaušinius. O jei vištų yra 20, kiek kiaušinių jos padės per 20 dienų?
Sprendimas: Nežinomąjį pažymėkime kx. Ir samprotuosime taip: kiek kartų daugiau vištų atsirado? Padalinkite 20 iš 5 ir sužinokite, kad tai yra 4 kartus. Kiek kartų daugiau kiaušinių per tas pačias 5 dienas padės 20 vištų? Taip pat 4 kartus daugiau. Taigi, savo randame taip: 5*4*4 = 80 kiaušinių per 20 dienų padės 20 vištų.
Dabar pavyzdys yra šiek tiek sudėtingesnis, perfrazuokime problemą iš Newtono „Bendrosios aritmetikos“. 2 problema: rašytojas gali sukurti 14 naujos knygos puslapių per 8 dienas. Jei jis turėtų padėjėjų, kiek žmonių reikėtų parašyti 420 puslapių per 12 dienų?
Sprendimas: Manome, kad žmonių (rašytojo + padėjėjų) skaičius didėja didėjant darbo apimčiai, jei jį reikia atlikti per tiek pat laiko. Bet kiek kartų? Padalinę 420 iš 14, sužinome, kad jis padidėja 30 kartų. Bet kadangi pagal užduoties sąlygas darbui skiriama daugiau laiko, padėjėjų skaičius padidėja ne 30 kartų, o tokiu būdu: x = 1 (rašytojas) * 30 (kartų): 12/8 ( dienos). Transformuokime ir išsiaiškinkime, kad x = 20 žmonių per 12 dienų parašys 420 puslapių.
Išspręskime kitą problemą, panašią į pateiktą mūsų pavyzdžiuose.
3 problema: du automobiliai išvyko į tą pačią kelionę. Vienas važiavo 70 km/h greičiu ir tą patį atstumą įveikė per 2 valandas, o kitas užtruko 7 valandas. Raskite antrojo automobilio greitį.
Sprendimas: Kaip prisimenate, kelias nustatomas pagal greitį ir laiką - S = V *t. Kadangi abu automobiliai nuvažiavo tą patį atstumą, galime sulyginti dvi išraiškas: 70*2 = V*7. Kaip randame, kad antrojo automobilio greitis V = 70*2/7 = 20 km/h.
Ir dar pora užduočių pavyzdžių su tiesioginio proporcingumo funkcijomis. Kartais problemos reikalauja rasti koeficientą k.
4 užduotis: atsižvelgiant į funkcijas y = - x/16 ir y = 5x/2, nustatykite jų proporcingumo koeficientus.
Sprendimas: kaip prisimenate, k = y/x. Tai reiškia, kad pirmosios funkcijos koeficientas lygus -1/16, o antrosios k = 5/2.
Taip pat galite susidurti su tokia užduotimi kaip 5 užduotis: užrašykite tiesioginį proporcingumą naudodami formulę. Jo grafikas ir funkcijos y = -5x + 3 grafikas yra lygiagrečiai.
Sprendimas: funkcija, kuri mums suteikta sąlygoje, yra tiesinė. Žinome, kad tiesioginis proporcingumas yra ypatingas tiesinės funkcijos atvejis. Taip pat žinome, kad jei k funkcijų koeficientai yra lygūs, jų grafikai yra lygiagretūs. Tai reiškia, kad tereikia apskaičiuoti žinomos funkcijos koeficientą ir nustatyti tiesioginį proporcingumą naudojant mums žinomą formulę: y = k *x. Koeficientas k = -5, tiesioginis proporcingumas: y = -5*x.
Išvada
Dabar jūs sužinojote (arba prisiminėte, jei jau nagrinėjote šią temą anksčiau), kas vadinama tiesioginis proporcingumas, ir pažiūrėjo pavyzdžių. Taip pat kalbėjome apie tiesioginio proporcingumo funkciją ir jos grafiką bei išsprendėme keletą pavyzdinių uždavinių.
Jei šis straipsnis buvo naudingas ir padėjo suprasti temą, papasakokite apie tai komentaruose. Kad žinotume, ar galime jums būti naudingi.
blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.
Panašūs straipsniai
