7 SKYRIUS DEŠIMTAINĖS TRUMPOS IR VEIKSMAI SU JOMIS
Skyriuje sužinosite:
kas yra dešimtainė trupmena ir kokia jos struktūra;
kaip lyginti dešimtainius skaičius;
kokios yra dešimtainių trupmenų pridėjimo ir atėmimo taisyklės;
kaip rasti sandaugą ir dviejų dešimtainių trupmenų dalinį;
kas yra skaičių apvalinimas ir kaip apvalinti skaičius;
kaip išmoktą medžiagą pritaikyti praktikoje
§ 29. KAS YRA DEŠIMTINĖ DALIS. DEŠIMTAINIŲ TRUMPŲ PALYGINIMAS
Pažvelkite į 220 pav. Matote, kad atkarpos AB ilgis yra 7 mm, o atkarpos DC ilgis yra 18 mm. Norėdami nurodyti šių segmentų ilgį centimetrais, turite naudoti trupmenas: 
Žinote daug kitų pavyzdžių, kai naudojamos trupmenos su vardikliais 10,100, 1000 ir panašiai. Taigi, 
Tokios trupmenos vadinamos dešimtainėmis. Daugiau nei patogi forma, kurią iš jūsų priedų pasiūlo liniuotė. Pažiūrėkime į nagrinėjamą pavyzdį.
Žinote, kad atkarpos DC ilgį (220 pav.) galima išreikšti mišriu skaičiumi
Jei po šio skaičiaus sveikosios dalies dėsime kablelį, o po jo trupmeninės dalies skaitiklį, gausime kompaktiškesnį žymėjimą: 1,8 cm. Atkarpai AB gausime: 0,7 cm. Išties trupmena yra teisingas, jis yra mažesnis už vieną, todėl jo sveikoji dalis yra 0. Skaičiai 1,8 ir 0,7 yra dešimtainių skaičių pavyzdžiai.
Dešimtainė trupmena 1,8 skaitoma taip: „vienas taškas aštuoni“, o trupmena 0,7 – „nulis taškas septyni“.
Kaip rašyti trupmenas 
dešimtaine forma? Norėdami tai padaryti, turite žinoti dešimtainio žymėjimo struktūrą.
Dešimtainėje žymėjime visada yra sveikasis skaičius ir trupmeninė dalis. jie atskiriami kableliu. Visoje dalyje klasės ir rangai yra tokie patys kaip ir natūraliuosius skaičius. Jūs žinote, kad tai yra vienetų klasės, tūkstančiai, milijonai ir tt, ir kiekvienas iš jų turi 3 skaitmenis - vienetus, dešimtis ir šimtus. Dešimtainės trupmenos trupmeninėje dalyje klasės neskiriamos, o skaitmenų gali būti bet koks skaičius, jų pavadinimai atitinka trupmenų vardikų pavadinimus – dešimtosios, šimtosios, tūkstantosios, dešimtosios tūkstantosios, šimtosios tūkstantosios, milijoninės, dešimtosios dalys. milijonines dalis ir kt. Dešimtoji vieta yra seniausia trupmeninėje kablelio dalyje.
40 lentelėje matote dešimtainių skaičių pavadinimus ir skaičių „šimtas dvidešimt trys sveikieji skaičiai ir keturi tūkstančiai penki šimtai šeši šimtai tūkstantosios dalys“ arba 
„Šimtatūkstantųjų“ trupmeninės dalies pavadinimas įprastoje trupmenoje nustato jos vardiklį, o dešimtainėje – paskutinį jos trupmeninės dalies skaitmenį. Tai matote trupmeninės skaičiaus dalies skaitiklyje 
vienu skaitmeniu mažiau nei nulių vardiklyje. Jei į tai nebus atsižvelgta, tada rašydami trupmeninę dalį gausime klaidą - vietoj 4506 šimtatūkstantinių parašysime 4506 dešimttūkstantines, bet 
Todėl rašydami šį skaičių kaip dešimtainę trupmeną, po kablelio (dešimtoje vietoje) turite įdėti 0: 123.04506.
Pastaba:
dešimtainėje trupmenoje po kablelio turi būti tiek skaitmenų, kiek atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklyje yra nulių.
Dabar galime rašyti trupmenas
dešimtainių skaičių forma.
Dešimtaines galima lyginti taip pat, kaip ir natūraliuosius skaičius. Jei dešimtainėse trupmenose yra daug skaitmenų, taikomos specialios taisyklės. Apsvarstykite pavyzdžius.
Užduotis. Palyginkite trupmenas: 1) 96,234 ir 830,123; 2) 3,574 ir 3,547.
Sprendimai. 1, Pirmosios trupmenos sveikoji dalis yra dviženklis skaičius 96, o antrosios trupmenos sveikoji dalis yra triženklis skaičius 830, taigi:
96,234 < 830,123.
2. Trupmenų įrašuose 3,574 ir 3,547 ir sveikosios dalys yra lygios. Todėl jų trupmenines dalis lyginame po truputį. Norėdami tai padaryti, šias trupmenas užrašome vieną po kitos:
Kiekviena trupmena turi 5 dešimtąsias. Tačiau pirmoje frakcijoje yra 7 šimtosios dalys, o antroje - tik 4 šimtosios dalys. Todėl pirmoji trupmena didesnė už antrąją: 3,574 > 3,547.
Dešimtainių trupmenų palyginimo taisyklės.
1. Iš dviejų dešimtainių trupmenų ta, kurios sveikoji dalis yra didesnė, yra didesnė.
2. Jei dešimtainių trupmenų sveikosios dalys yra lygios, tai jų trupmeninės dalys lyginamos po bitą, pradedant nuo reikšmingiausio skaitmens.
Kaip bendrosios trupmenos, dešimtainės trupmenos gali būti dedamos ant koordinačių pluošto. 221 paveiksle matote, kad taškai A, B ir C turi koordinates: A (0,2), B (0,9), C (1,6).
Sužinoti daugiau
Dešimtainės yra susijusios su dešimtaine padėties skaičių sistema. Tačiau jų išvaizda turi ilgesnę istoriją ir yra susijusi su iškilaus matematiko ir astronomo al-Kashi vardu. pilnas vardas- Jamshid ibn-Masudal-Kashi). Savo veikale „Aritmetikos raktas“ (XV a.) jis pirmiausia suformulavo veiksmų su dešimtainėmis trupmenomis taisykles, pateikė veiksmų su jomis atlikimo pavyzdžių. Nieko nežinodamas apie al-Kashi atradimą, flamandų matematikas ir inžinierius Simonas Stevinas antrą kartą „atrado“ dešimtaines trupmenas maždaug po 150 metų. S. Stevinas veikale „Dešimtainė“ (1585 p.) išdėstė dešimtainių trupmenų teoriją. Jis visais įmanomais būdais juos reklamavo, pabrėždamas dešimtainių trupmenų patogumą praktiniams skaičiavimams.
Atskirti sveikąją dalį nuo trupmeninės dešimtainės trupmenos buvo pasiūlyta įvairiais būdais. Taigi, al-Kashi parašė sveikąsias ir trupmenines dalis skirtingu rašalu arba uždėjo vertikalią liniją tarp jų. S. Stevinas įdėjo nulį apskritime, kad atskirtų sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies. Mūsų laikais priimtą kablelį pasiūlė garsus vokiečių astronomas Johannesas Kepleris (1571 - 1630).
Išspręskite IŠŠŪKIUS
1173. Užrašykite atkarpos AB ilgį centimetrais, jei:
1) AB = 5 mm; 2)AB = 8mm; 3)AB = 9mm; 4) AB = 2 mm.
1174. Skaitykite trupmenas:
1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;
2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.
Pavadinimas: a) visa trupmenos dalis; b) trupmenos dalis; c) trupmenos skaitmenys.
1175. Pateikite dešimtainės trupmenos pavyzdį, kai kablelis yra:
1) vienas skaitmuo; 2) dviejų skaitmenų; 3) trijų skaitmenų.
1176. Kiek skaičių po kablelio turi trupmena po kablelio, jei atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklis lygus:
1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?
1177. Kuri iš trupmenų turi didesnę sveikąją dalį:
1) 12,5 arba 115,2; 4) 789,154 arba 78,4569;
2) 5,25 arba 35,26; 5) 1258,00265 arba 125,0333;
3) 185,25 arba 56,325; 6) 1269.569 arba 16.12?
1178. Skaičiuje 1256897 paskutinį skaitmenį atskirkite kableliu ir perskaitykite gautą skaičių. Tada nuosekliai perdėliokite kablelį vienu skaitmeniu į kairę ir pavadinkite gautas trupmenas.
1179. Perskaitykite trupmenas ir parašykite jas kaip dešimtainę trupmeną:
1180 Perskaitykite trupmenas ir parašykite jas po kablelio:
1181. Paprastąja trupmena parašykite:
1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;
2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;
3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.
1182. Paprastąja trupmena parašykite:
1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.
1183. Užrašykite dešimtaine trupmena:
1) 8 ištisos 3 dešimtosios; 5) 145 14 punktas;
2) 12 ištisų 5 dešimtųjų; 6) 125 19 punktas;
3) 0 ištisų 5 dešimtųjų; 7) 0 ištisų 12 šimtųjų dalių;
4) 12 sveikų 34 šimtųjų dalių; 8) 0 ištisų 3 šimtųjų dalių.
1184. Dešimtaine trupmena parašykite:
1) nulis net aštuonių tūkstantųjų dalių;
2) dvidešimt keturių šimtų dalių;
3) trylika taškų penkios šimtosios dalys;
4) šimtas keturiasdešimt penki taškai dvi šimtosios dalys.
1185. Dalį parašykite kaip trupmeną, o po to kaip po kablelio:
1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;
2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.
1186. Parašykite kaip mišrų skaičių, o po to kaip dešimtainį:
1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;
2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.
1187. Parašykite mišrų skaičių, o po to dešimtainį skaičių:
1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;
2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.
1188. Ekspresas grivinomis:
1) 35 k.; 2) 6 k.; 3) 12 UAH 35 kapeikos; 4) 123 tūkst.
1189. Ekspresas grivinomis:
1) 58 k.; 2) 2 iki.; 3) 56 UAH 55 kapeikos; 4) 175 tūkst.
1190. Užsirašyk grivinomis ir kapeikomis:
1) 10,34 UAH; 2) 12,03 UAH; 3) 0,52 UAH; 4) 126,05 UAH
1191. Išreikškite metrais ir užrašykite atsakymą dešimtaine trupmena: 1) 5 m 7 dm; 2) 15m 58cm; 3) 5 m 2 mm; 4) 12 m 4 dm 3 cm 2 mm.
1192. Išreikškite kilometrais ir užrašykite atsakymą dešimtaine trupmena: 1) 3 km 175 m; 2) 45 km 47 m; 3) 15 km 2 m.
1193. Užrašykite metrais ir centimetrais:
1) 12,55 m; 2) 2,06 m; 3) 0,25 m; 4) 0,08 m.
1194. Didžiausias Juodosios jūros gylis – 2,211 km. Išreikškite jūros gylį metrais.
1195. Palyginkite trupmenas:
1) 15,5 ir 16,5; 5) 4.2 ir 4.3; 9) 1,4 ir 1,52;
2) 12,4 ir 12,5; 6) 14,5 ir 15,5; 10) 4,568 ir 4,569;
3) 45,8 ir 45,59; 7) 43,04 ir 43,1; 11)78.45178.458;
4) 0,4 ir 0,6; 8) 1,23 ir 1,364; 12) 2,25 ir 2,243.
1196. Palyginkite trupmenas:
1) 78,5 ir 79,5; 3) 78,3 ir 78,89; 5) 25.03 ir 25.3;
2) 22,3 ir 22,7; 4) 0,3 ir 0,8; 6) 23,569 ir 23,568.
1197. Užrašykite dešimtaines trupmenas didėjančia tvarka:
1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;
2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.
1198. Užrašykite dešimtaines trupmenas mažėjimo tvarka:
15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.
1199. Išreikškite kvadratiniais metrais ir parašykite dešimtaine trupmena:
1) 5 dm2; 2) 15 cm2; 3)5dm212cm2.
1200 . Kambarys yra stačiakampio formos. Jo ilgis – 90 dm, plotis – 40 dm. Raskite kambario plotą. Atsakymą parašykite kvadratiniais metrais.
1201 . Palyginkite trupmenas:
1) 0,04 ir 0,06; 5) 1,003 ir 1,03; 9) 120,058 ir 120,051;
2) 402,0022 ir 40,003; 6) 1,05 ir 1,005; 10) 78,05 ir 78,58;
3) 104,05 ir 105,05; 7) 4,0502 ir 4,0503; 11) 2,205 ir 2,253;
4) 40,04 ir 40,01; 8) 60.4007і60.04007; 12) 20.12 ir 25.012.
1202. Palyginkite trupmenas:
1) 0,03 ir 0,3; 4) 6.4012 ir 6.404;
2) 5,03 ir 5,003; 5) 450,025 ir 450,2054;
1203. Užrašykite penkias dešimtaines trupmenas, kurios yra tarp trupmenų koordinačių pluošte:
1) 6.2 ir 6.3; 2) 9,2 ir 9,3; 3) 5,8 ir 5,9; 4) 0,4 ir 0,5.
1204. Užrašykite penkias dešimtaines trupmenas, kurios yra tarp trupmenų koordinačių pluošte: 1) 3,1 ir 3,2; 2) 7.4 ir 7.5.
1205. Tarp kurių dviejų gretimų natūraliųjų skaičių dedama dešimtainė trupmena:
1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?
1206. Užrašykite penkias dešimtaines trupmenas, kurių nelygybė yra teisinga:
1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;
2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.
1207. Užrašykite penkias dešimtaines trupmenas, kurioms teisinga nelygybė:
1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.
1208. Užsirašykite didžiausią dešimtainis:
1) su dviem skaitmenimis po kablelio, mažesniu nei 2;
2) su vienu skaitmeniu po kablelio, mažesniu nei 3;
3) su trimis skaitmenimis po kablelio, mažesniu nei 4;
4) su keturiais skaitmenimis po kablelio, mažesniu nei 1.
1209. Užrašykite mažiausią dešimtainę trupmeną:
1) su dviem skaitmenimis po kablelio, kuris yra didesnis nei 2;
2) su trimis skaitmenimis po kablelio, kuris yra didesnis nei 4.
1210. Užrašykite visus skaičius, kuriuos galima įdėti vietoj žvaigždutės, kad gautumėte teisingą nelygybę:
1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;
2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.
1211. Kokį skaičių galima įdėti vietoj žvaigždutės, kad gautume teisingą nelygybę:
1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?
1212. Užrašykite visas po kablelio trupmenas, kurių visa dalis yra 6, o trupmeninėje dalyje yra trys skaitmenys po kablelio, parašyti kaip 7 ir 8. Parašykite šias trupmenas mažėjimo tvarka.
1213. Užrašykite šešias dešimtaines trupmenas, kurių visa dalis lygi 45, o trupmeninę dalį sudaro keturi skirtingi skaičiai: 1, 2, 3, 4. Parašykite šias trupmenas didėjimo tvarka.
1214. Kiek galima sudaryti dešimtainių trupmenų, kurių visa dalis lygi 86, o trupmeninė dalis susideda iš trijų skirtingų skaitmenų: 1,2,3?
1215. Kiek galima sudaryti dešimtainių trupmenų, kurių visa dalis lygi 5, o trupmeninė – triženklė, rašoma 6 ir 7? Parašykite šias trupmenas mažėjimo tvarka.
1216. Nubraukite tris nulius iš skaičiaus 50.004007, kad susidarytų:
1) didžiausias skaičius; 2) mažiausias skaičius.
TAIKYTI PRAKTIKOJE
1217. Išmatuokite savo sąsiuvinio ilgį ir plotį milimetrais ir užrašykite atsakymą decimetrais.
1218. Užrašykite savo ūgį metrais naudodami dešimtainę trupmeną.
1219. Išmatuokite savo kambario matmenis ir apskaičiuokite jo perimetrą bei plotą. Atsakymą parašykite metrais ir kvadratiniais metrais.
KARTOTOJI UŽDUOTYS
1220. Kokioms x reikšmėms trupmena yra netinkama?
1221. Išspręskite lygtį:
1222. Parduotuvė turėjo parduoti 714 kg obuolių. Pirmą dieną buvo parduoti visi obuoliai, o antrą – iš to, kas buvo parduota pirmą dieną. Kiek obuolių parduota per 2 dienas?
1223. Kubo kraštas sumažintas 10 cm ir gautas kubas, kurio tūris 8 dm3. Raskite pirmojo kubo tūrį.
Trupmeną vadinsime viena ar keliomis lygiomis vienos visumos dalimis. Trupmena rašoma naudojant du natūraliuosius skaičius, kurie yra atskirti linija. Pavyzdžiui, 1/2, 14/4, ¾, 5/9 ir kt.
Virš juostos esantis skaičius vadinamas trupmenos skaitikliu, o skaičius žemiau juostos – trupmenos vardikliu.
Trupmeniniams skaičiams, kurių vardiklis yra 10, 100, 1000 ir kt. sutiko parašyti skaičių be vardiklio. Norėdami tai padaryti, pirmiausia parašykite sveikąją skaičiaus dalį, padėkite kablelį ir parašykite šio skaičiaus trupmeninę dalį, tai yra trupmeninės dalies skaitiklį.
Pavyzdžiui, vietoj 6 * (7/10) jie rašo 6.7.
Toks įrašas vadinamas dešimtaine trupmena.
Kaip palyginti du skaitmenis po kablelio
Išsiaiškinkime, kaip palyginti dvi dešimtaines trupmenas. Norėdami tai padaryti, pirmiausia patikriname vieną pagalbinį faktą.
Pavyzdžiui, tam tikro segmento ilgis yra 7 centimetrai arba 70 mm. Taip pat 7 cm = 7 / 10 dm arba dešimtainiu ženklu 0,7 dm.
Kita vertus, 1 mm = 1/100 dm, tada 70 mm = 70/100 dm arba dešimtainiu būdu 0,70 dm.
Taigi gauname, kad 0,7 = 0,70.
Iš to darome išvadą, kad jei dešimtainės trupmenos pabaigoje pridedamas nulis arba jis atmetamas, tada bus gauta trupmena, lygi duotajam. Kitaip tariant, trupmenos vertė nepasikeis.
Trupmenos su tais pačiais vardikliais
Tarkime, kad turime palyginti du dešimtainius 4,345 ir 4,36.
Pirmiausia turite išlyginti skaičių po kablelio skaičių, pridėdami arba išmesdami nulius dešinėje. Jūs gaunate 4,345 ir 4,360.
Dabar juos reikia rašyti kaip netinkamas trupmenas:
- 4,345 = 4345 / 1000 ;
- 4,360 = 4360 / 1000 .
Gautos trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Pagal trupmenų palyginimo taisyklę žinome, kad šiuo atveju didesnė trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis. Taigi trupmena 4,36 yra didesnė už trupmeną 4,345.
Taigi, norėdami palyginti dvi dešimtaines trupmenas, pirmiausia turite išlyginti jų skaičių po kablelio, vienam iš jų dešinėje priskirdami nulius, o tada atmesdami kablelį, kad palygintumėte gautus natūraliuosius skaičius.
Dešimtainės dalys gali būti pavaizduotos kaip taškai skaičių eilutėje. Ir todėl kartais, kai vienas skaičius yra didesnis už kitą, jie sako, kad šis skaičius yra kito dešinėje, o jei mažesnis, tada kairėje.
Jei dvi dešimtainės trupmenos yra lygios, tada skaičių eilutėje jos vaizduojamos tuo pačiu tašku.
Naujų žinių įsisavinimo ir įtvirtinimo pamoka
Tema : Dešimtainis palyginimas
Dambaeva Valentina Matveevna
Matematikos mokytojas
MAOU „Vidurinė mokykla Nr. 25“, Ulan Udė
Tema. Dešimtainių trupmenų palyginimas.
Didaktinis tikslas: išmokyti mokinius palyginti dvi dešimtaines trupmenas. Supažindinkite mokinius su palyginimo taisykle. Suformuoti gebėjimą rasti didelę (mažesnę) frakciją.
edukacinis tikslas. Ugdyti mokinių kūrybinę veiklą pavyzdžių sprendimo procese. Ugdykite domėjimąsi matematika, atranka įvairių tipų užduotys. Ugdykite išradingumą, išradingumą, ugdykite lankstų mąstymą. Toliau ugdyti mokinių gebėjimą savikritiškai susieti su atlikto darbo rezultatais.
Pamokos įranga. Dalomoji medžiaga. Signalinės kortelės, užduočių kortelės, anglies popierius.
Vaizdinės priemonės. Užduočių lentelės, plakatų taisyklės.
Klasės tipas. Naujų žinių įsisavinimas. Naujų žinių įtvirtinimas.
Pamokos planas
Laiko organizavimas. 1 minutę.
Apžiūra namų darbai. 3 min.
Kartojimas. 8 min.
Naujos temos paaiškinimas. 18-20 min.
Konsolidavimas. 25-27 min.
Apibendrinant darbą. 3 min.
Namų darbai. 1 minutę.
Išreikškite diktantą. 10-13 min
Per užsiėmimus.
1. Organizacinis momentas.
2. Namų darbų tikrinimas. Sąsiuvinių kolekcija.
3. Kartojimas(žodžiu).
a) palyginkite paprastąsias trupmenas (darbas su signalinėmis kortelėmis).
4/5 ir 3/5; 4/4 ir 13/40; 1 ir 3/2; 4/2 ir 12/20; 3 5/6 ir 5 5/6;
b) Kurioje kategorijoje yra 4 vienetai, 2 vienetai ... ..?
57532, 4081
c) palyginkite natūraliuosius skaičius
99 ir 1111; 5 4 4 ir 5 3 4, 556 ir 55 9 ; 4 366 ir 7 366;
Kaip palyginti skaičius su tuo pačiu skaitmenų skaičiumi?
(Skaičiai su vienodu skaitmenų skaičiumi lyginami po bitą, pradedant reikšmingiausiu skaitmeniu. Plakato taisyklė).
Galima įsivaizduoti, kad „konkuruoja“ to paties pavadinimo skaitmenys, kurių skaitmenų terminas didesnis: vienas su vienetais, dešimtys su dešimtimis ir t.t.
4. Naujos temos paaiškinimas.
a) Koks ženklas (>,< или =) следует заменить вопросительный знак между десятичными дробями на рисунке.
Plakato užduotis
3425, 672678 ? 3425, 672478
14, 24000 ? 14, 24
Norėdami atsakyti į šį klausimą, turite išmokti palyginti dešimtaines trupmenas.
12, 3 < 15,3
72,1 > 68,4 Kodėl?
Iš dviejų dešimtainių trupmenų ta, kurios sveikojo skaičiaus dalis yra didesnė, yra didesnė.
13,5 > 13,4
0, 327 > 0,321
Kodėl?
Jei lyginamų trupmenų sveikosios dalys yra lygios viena kitai, tai jų trupmeninė dalis lyginama skaitmenimis.
3. 0,800 ? 0,8
1,32 ? 1,3
Bet ką daryti, jei yra skirtingi šių skaičių skaičiai? Jei prie dešimtainės trupmenos dešinėje pridedamas vienas ar keli nuliai, trupmenos reikšmė nepasikeis.
Ir atvirkščiai, jei dešimtainė trupmena baigiasi nuliais, tada šiuos nulius galima išmesti, trupmenos reikšmė nuo to nepasikeis.
Apsvarstykite tris dešimtaines:
1,25 1,250 1,2500
Kuo jie skiriasi vienas nuo kito?
Tik nulių skaičius įrašo pabaigoje.
Kokius skaičius jie reiškia?
Norėdami tai sužinoti, kiekvienai trupmenai turite užrašyti bitų terminų sumą.
1,25 = 1+ 2/10 + 5/100
1,250 = 1+ 2/10 + 5/100 1 25/100 = 1,25
1,2500 = 1+ 2/10 + 5/100
Visose lygybėse ta pati suma parašyta dešinėje. Taigi visos trys trupmenos reiškia tą patį skaičių. Kitu atveju šios trys trupmenos yra lygios: 1,25 = 1,250 = 1,2500.
Dešimtainės trupmenos gali būti vaizduojamos koordinačių spindulyje taip pat, kaip ir paprastosios trupmenos. Pavyzdžiui, koordinačių pluošte pavaizduoti dešimtainę trupmeną 0,5. Pirmiausia pavaizduokime ją kaip paprastąją trupmeną: 0,5 = 5/10. Tada mes atidėjome penkias dešimtąsias vieno segmento nuo pluošto pradžios. Gaukite tašką A (0,5)
Vienodos dešimtainės trupmenos vaizduojamos koordinačių spindulyje tuo pačiu tašku.
Mažesnė dešimtainė trupmena yra ant koordinačių spindulio kairėje nuo didesniojo, o didesnė - dešinėje nuo mažesniojo.
b) Darbas su vadovėliu, su taisykle.
Dabar pabandykite atsakyti į klausimą, kuris buvo pateiktas paaiškinimo pradžioje: koks ženklas (>,< или =) следует заменить вопросительный знак.
5. Tvirtinimas.
№1
Palyginti: Darbas su signalinėmis kortelėmis
85,09 ir 67,99
55,7 ir 55,700
0,0025 ir 0,00247
98,52 m ir 65,39 m
149,63 kg ir 150,08 kg
3,55 0 С ir 3,61 0 С
6,784 val. ir 6,718 val
№ 2
Parašykite dešimtainį skaičių
a) su keturiais skaičiais po kablelio, lygus 0,87
b) su penkiais skaičiais po kablelio, lygus 0,541
c) su trimis skaitmenimis po kablelio, lygus 35
d) su dviem skaitmenimis po kablelio, lygus 8,40000
2 mokiniai dirba individualiose lentose
№ 3
Smekalkinas pasiruošė atlikti skaičių palyginimo užduotį ir į sąsiuvinį nukopijavo kelias skaičių poras, tarp kurių reikia įdėti ženklą > arba<. Вдруг он нечаянно уронил тетрадь на мокрый пол. Записи размазались, и некоторые цифры стало невозможно разобрать. Вот что получилось:
a) 4,3** ir 4,7**
b) **, 412 ir *, 9*
c) 0,742 ir 0,741*
d)*, *** ir **,**
e) 95,0** ir *4,*3*
Smekalkinui patiko, kad jis sugebėjo atlikti užduotį suteptais skaičiais. Juk vietoj užduoties išaiškėjo mįslės. Jis pats nusprendė sugalvoti mįsles su išteptais skaičiais ir jums siūlo. Tolesniuose įrašuose kai kurie skaičiai yra sutepti. Turite atspėti, kokie yra šie skaičiai.
a) 2.*1 ir 2.02
b) 6,431 ir 6,4 * 8
c) 1,34 ir 1,3*
d) 4.*1 ir 4.41
e) 4,5 * 8 ir 4 593
f) 5,657* ir 5,68
Užduotis plakate ir atskirose kortelėse.
Kiekvienos nustatytos žymos patikrinimas-pagrindimas.
№ 4
Aš patvirtinu:
a) 3,7 yra mažesnis nei 3,278
nes pirmas skaičius turi mažiau skaitmenų nei antrasis.
b) 25,63 yra lygus 2,563
Juk jie turi tuos pačius numerius ta pačia tvarka.
Pataisyk mano teiginį
„Priešpavyzdys“ (žodinis)
№ 5
Kokie natūralūs skaičiai yra tarp skaičių (rašyme).
a) 3, 7 ir 6.6
b) 18.2 ir 19.8
c) 43 ir 45,42
d) 15 ir 18
6. Pamokos rezultatas.
Kaip palyginti du dešimtainius skaičius su skirtingais sveikaisiais skaičiais?
Kaip palyginti du dešimtainius skaičius su tais pačiais sveikaisiais skaičiais?
Kaip palyginti du skaičius po kablelio su tuo pačiu skaičiumi po kablelio?
7. Namų darbai.
8. Išreikškite diktantą.
Parašykite skaičius trumpesnius
0,90 1,40
10,72000 61,610000
Palyginkite trupmenas
0,3 ir 0,31 0,4 ir 0,43
0,46 ir 0,5 0,38 ir 0,4
55,7 ir 55,700 88,4 ir 88,400
Išdėstyti eilės tvarka
Mažėjantis Didėjantis
3,456; 3465; 8,149; 8,079; 0,453
Kokie yra natūralieji skaičiai tarp skaičių?
7,5 ir 9,1 3,25 ir 5,5
84 ir 85,001 0,3 ir 4
Įveskite skaičius, kad nelygybė būtų teisinga:
15,*2 > 15,62 4,60 < 4,*3
6,99 6,8
Greitojo diktanto tikrinimas iš lentos
Papildoma užduotis.
1. Parašyk 3 pavyzdžius kaimynui ir patikrink!
Literatūra:
Stratilatovas P.V. „Apie matematikos mokytojo darbo sistemą“ Maskvos „Apšvietos“ 1984 m
Kabalevskis Yu.D. “ Savarankiškas darbas mokiniai matematikos mokymo procese „1988 m
Bulanova L.M., Dudnitsyn Yu.P. „Matematikos testavimo užduotys“,
Maskvos „Dedikacija“ 1992 m
V.G. Kovalenko" Didaktiniai žaidimai matematikos pamokose „Maskva“ Apšvietos „1990 m
Minaeva S.S. „Matematikos skaičiavimai klasėje ir popamokinė veikla“ Maskvos „Prosveščenie“ 1983 m.
Šioje temoje bus nagrinėjama, kaip bendra schema dešimtainių trupmenų palyginimas, taip pat išsami baigtinių ir palyginimo principo analizė begalinės trupmenos. Pataisykime teorinę dalį spręsdami tipines problemas. Taip pat pavyzdžiais analizuosime dešimtainių trupmenų palyginimą su natūraliąja arba mišrūs skaičiai, ir paprastosios trupmenos.
Paaiškinkime: toliau pateiktoje teorijoje bus lyginamos tik teigiamos dešimtainės trupmenos.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Bendras dešimtainių trupmenų palyginimo principas
Kiekvienai baigtinei dešimtainei trupmenai ir begalinei pasikartojančiai dešimtainei trupmenai yra atitinkamos tam tikros bendrosios trupmenos. Todėl baigtinių ir begalinių periodinių trupmenų palyginimas gali būti atliktas kaip atitinkamų paprastųjų trupmenų palyginimas. Tiesą sakant, šis teiginys yra bendras dešimtainių periodinių trupmenų palyginimo principas.
Remiantis bendruoju principu, suformuluotos dešimtainių trupmenų palyginimo taisyklės, kurių laikantis galima nekeisti lyginamų dešimtainių trupmenų į paprastąsias.
Tą patį galima pasakyti ir apie atvejus, kai periodinė dešimtainė trupmena lyginama su natūraliaisiais arba mišriaisiais skaičiais, paprastosiomis trupmenomis – pateikti skaičiai turi būti pakeisti juos atitinkančiomis paprastosiomis trupmenomis.
Jeigu Mes kalbame apie begalinių neperiodinių trupmenų palyginimą, tada jis dažniausiai redukuojamas iki baigtinių dešimtainių trupmenų palyginimo. Apsvarstymui imamas toks lyginamų begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų ženklų skaičius, kuris leis gauti palyginimo rezultatą.
Lygios ir nelygios dešimtainės dalys
1 apibrėžimasVienodos dešimtainės- tai dvi galutinės dešimtainės trupmenos, kurios atitinka tas pačias įprastas trupmenas. Kitu atveju yra kablelio nelygios.
Remiantis šiuo apibrėžimu, nesunku pagrįsti tokį teiginį: jei tam tikros dešimtainės trupmenos pabaigoje pasirašome arba, atvirkščiai, atmetame kelis skaitmenis 0, tada gauname jam lygią dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui: 0 , 5 = 0 , 50 = 0 , 500 = ... . Arba: 130 , 000 = 130 , 00 = 130 , 0 = 130 . Tiesą sakant, nulio pridėjimas arba atmetimas dešinėje esančios trupmenos pabaigoje reiškia atitinkamos paprastosios trupmenos skaitiklio ir vardiklio padauginimą arba padalijimą iš 10. Prie to, kas pasakyta, pridėkime pagrindinę trupmenų savybę (trumpos skaitiklį ir vardiklį padauginus arba padalijus iš to paties natūraliojo skaičiaus, gauname trupmeną, lygią pradinei) ir turime minėto teiginio įrodymą.
Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 0, 7 atitinka paprastąją trupmeną 7 10. Dešinėje pridėjus nulį, gauname dešimtainę trupmeną 0, 70, kuri atitinka paprastąją trupmeną 70 100, 7 70 100: 10 . T.y.: 0 , 7 = 0 , 70 . Ir atvirkščiai: atmetę nulį dešimtainėje trupmenoje 0, 70 dešinėje, gauname trupmeną 0, 7 - taigi iš dešimtainės trupmenos 70 100 pereiname prie trupmenos 7 10, bet 7 10 \u003d 70: 10 100 : 10 Tada: 0, 70 \u003d 0, 7 .
Dabar apsvarstykite lygių ir nelygių begalinių periodinių dešimtainių trupmenų sąvokos turinį.
2 apibrėžimas
Lygios begalinės periodinės trupmenos yra begalinės periodinės trupmenos, turinčios lygias įprastas jas atitinkančias trupmenas. Jei jas atitinkančios paprastosios trupmenos nėra lygios, tai palyginimui pateiktos periodinės trupmenos taip pat yra lygios nelygios.
Šis apibrėžimas leidžia padaryti tokias išvadas:
Jei duotų periodinių dešimtainių trupmenų įrašai yra vienodi, tai tokios trupmenos yra lygios. Pavyzdžiui, periodiniai dešimtainiai 0, 21 (5423) ir 0, 21 (5423) yra lygūs;
Jei duotose dešimtainėse periodinėse trupmenose taškai prasideda iš tos pačios padėties, pirmosios trupmenos periodas yra 0, o antrosios - 9; prieš 0 laikotarpį einančio skaitmens reikšmė yra vienu didesnė už skaitmens, buvusio prieš 9 laikotarpį, reikšmę, tada tokios begalinės periodinės dešimtainės trupmenos yra lygios. Pavyzdžiui, periodinės trupmenos 91 , 3 (0) ir 91 , 2 (9) yra lygios, taip pat trupmenos: 135 , (0) ir 134 , (9) ;
Bet kurios kitos dvi periodinės trupmenos nėra lygios. Pavyzdžiui: 8 , 0 (3) ir 6 , (32) ; 0, (42) ir 0, (131) ir kt.
Belieka atsižvelgti į lygias ir nelygias begalines neperiodines dešimtaines trupmenas. Tokios trupmenos yra neracionalūs skaičiai ir negali būti paverčiamos paprastosiomis trupmenomis. Todėl begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų palyginimas nėra redukuojamas į paprastųjų.
3 apibrėžimas
Vienodos begalinės, nepasikartojančios dešimtainės trupmenos yra neperiodinės dešimtainės trupmenos, kurių įrašai yra visiškai vienodi.
Klausimas būtų logiškas: kaip lyginti įrašus, jei neįmanoma pamatyti „baigto“ tokių trupmenų įrašo? Lyginant begalines neperiodines dešimtaines trupmenas, reikia atsižvelgti tik į tam tikrą baigtinį palyginimui pateiktų trupmenų ženklų skaičių, kad tai leistų padaryti išvadą. Tie. iš esmės begalinių nepasikartojančių dešimtainių skaičių lyginimas yra baigtinių dešimtainių dalių palyginimas.
Šis metodas leidžia teigti begalinių neperiodinių trupmenų lygybę tik iki nagrinėjamo skaitmens. Pavyzdžiui, trupmenos 6, 73451 ... ir 6, 73451 ... yra lygios šimtatūkstantosioms dalims, nes pabaigos kableliai 6, 73451 ir 6, 7345 yra lygūs. 20, 47 ... ir 20, 47 ... trupmenos yra lygios šimtosiose dalyse, nes trupmenos 20, 47 ir 20, 47 yra lygios ir pan.
Begalinių neperiodinių trupmenų nelygybė nustatyta gana konkrečiai su akivaizdžiais įrašų skirtumais. Pavyzdžiui, trupmenos 6, 4135 ... ir 6, 4176 ... arba 4, 9824 ... ir 7, 1132 ... ir taip toliau yra nelygios.
Dešimtainių trupmenų palyginimo taisyklės. Pavyzdžių sprendimas
Nustačius, kad dvi dešimtainės trupmenos nėra lygios, dažniausiai taip pat reikia nustatyti, kuri iš jų didesnė, o kuri mažesnė. Apsvarstykite dešimtainių trupmenų palyginimo taisykles, kurios leidžia išspręsti aukščiau pateiktą problemą.
Labai dažnai užtenka tik palyginti sveikąsias dešimtainių trupmenų dalis, pateiktas palyginimui.
4 apibrėžimas
Ta dešimtainė trupmena, kuri turi didesnę sveikojo skaičiaus dalį, yra didesnė. Mažoji trupmena yra ta, kurios sveikoji dalis yra mažesnė.
Ši taisyklė taikoma ir baigtinėms dešimtainėms trupmenoms, ir begalinėms trupmenoms.
1 pavyzdys
Būtina palyginti dešimtaines trupmenas: 7, 54 ir 3, 97823 ....
Sprendimas
Visiškai akivaizdu, kad pateiktos dešimtainės trupmenos nėra lygios. Jų visumos dalys atitinkamai lygios: 7 ir 3 . Nes 7 > 3, tada 7, 54 > 3, 97823 … .
Atsakymas: 7 , 54 > 3 , 97823 … .
Tuo atveju, kai palyginimui pateiktų trupmenų sveikosios dalys yra lygios, uždavinio sprendimas redukuojamas į trupmeninių dalių palyginimą. Trupmeninės dalys lyginamos po truputį – nuo dešimtos vietos iki žemesnių.
Pirmiausia apsvarstykite atvejį, kai reikia palyginti galines dešimtaines trupmenas.
2 pavyzdys
Norite palyginti paskutinius dešimtainius skaičius 0,65 ir 0,6411.
Sprendimas
Akivaizdu, kad pateiktų trupmenų sveikosios dalys yra (0 = 0) . Palyginkime trupmenines dalis: dešimtoje vietoje reikšmės yra (6 \u003d 6), o šimtojoje trupmenos 0, 65 reikšmė yra didesnė už šimtosios vietos reikšmę. trupmena 0, 6411 (5 > 4) . Taigi 0,65 > 0,6411 .
Atsakymas: 0 , 65 > 0 , 6411 .
Kai kuriose užduotyse lyginant galutines po kablelio trupmenas su skirtingu skaičiumi po kablelio, reikia priskirti reikiamą nulių skaičių į dešinę trupmeną, kurioje yra mažiau skaitmenų po kablelio. Patogu tokiu būdu išlyginti duotųjų trupmenų skaičių po kablelio skaičių dar prieš pradedant palyginimą.
3 pavyzdys
Būtina palyginti paskutinius dešimtainius 67 , 0205 ir 67 , 020542 .
Sprendimas
Šios trupmenos akivaizdžiai nėra lygios, nes jų įrašai skiriasi. Be to, jų sveikosios dalys yra lygios: 67 \u003d 67. Prieš pradėdami bitais lyginti duotųjų trupmenų trupmenines dalis, išlyginame skaičių po kablelio skaičių, trupmenose, kuriose yra mažiau skaitmenų po kablelio, pridėdami nulius į dešinę. Tada palyginimui gauname trupmenas: 67, 020500 ir 67, 020542. Atliekame bitų palyginimą ir matome, kad šimtatūkstantinėje vietoje reikšmė trupmenoje 67 , 020542 yra didesnė už atitinkamą reikšmę trupmenoje 67 , 020500 (4 > 0) . Taigi 67.020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .
Atsakymas: 67 , 0205 < 67 , 020542 .
Jei reikia palyginti baigtinę dešimtainę trupmeną su begaline, tada galutinė trupmena pakeičiama begaline, lygia jai, kurios periodas yra 0. Tada atliekamas bitų palyginimas.
4 pavyzdys
Būtina palyginti galutinę dešimtainę trupmeną 6, 24 su begaline neperiodine dešimtaine trupmena 6, 240012 ...
Sprendimas
Matome, kad duotųjų trupmenų sveikosios dalys yra (6 = 6) . Dešimtoje ir šimtoje vietose abiejų trupmenų reikšmės taip pat yra vienodos. Kad galėtume padaryti išvadą, tęsiame palyginimą, jai lygią galutinę dešimtainę trupmeną pakeisdami begaline, kurios taškas yra 0 ir gauname: 6, 240000 ... . Pasiekę penktą skaičių po kablelio, randame skirtumą: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .
Atsakymas: 6, 24< 6 , 240012 … .
Lyginant begalines dešimtaines trupmenas, taip pat naudojamas bitų palyginimas, kuris baigsis, kai kai kurių duotųjų trupmenų skaitmenų reikšmės bus skirtingos.
5 pavyzdys
Būtina palyginti begalines dešimtaines trupmenas 7, 41 (15) ir 7, 42172 ... .
Sprendimas
Pateiktose trupmenose yra lygios sveikos dalys, dešimtųjų reikšmės taip pat lygios, tačiau šimtojoje matome skirtumą: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .
Atsakymas: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .
6 pavyzdys
Reikia palyginti begalines periodines trupmenas 4 , (13) ir 4 , (131) .
Sprendimas:
Lygybės yra aiškios ir teisingos: 4 , (13) = 4 , 131313 … ir 4 , (133) = 4 , 131131 … . Palyginame sveikųjų skaičių dalis ir bitines trupmenines dalis, o neatitikimą nustatome ketvirtuoju skaitmeniu po kablelio: 3 > 1 . Tada: 4 , 131313 … > 4 , 131131 … ir 4 , (13) > 4, (131) .
Atsakymas: 4 , (13) > 4 , (131) .
Norėdami gauti dešimtainės trupmenos ir natūraliojo skaičiaus palyginimo rezultatą, turite palyginti sveikąją tam tikros trupmenos dalį su nurodytu natūraliuoju skaičiumi. Šiuo atveju reikėtų atsižvelgti į tai, kad periodinės trupmenos, kurių taškai yra 0 arba 9, pirmiausia turi būti vaizduojamos kaip galutinės dešimtainės trupmenos, lygios joms.
5 apibrėžimas
Jei tam tikros dešimtainės trupmenos sveikoji dalis yra mažesnė už duotą natūraliąjį skaičių, tai visa trupmena yra mažesnė tam tikro natūraliojo skaičiaus atžvilgiu. Jei duotosios trupmenos sveikoji dalis yra didesnė arba lygi tam tikram natūraliajam skaičiui, tai trupmena yra didesnė už duotąjį natūralųjį skaičių.
7 pavyzdys
Reikia lyginti natūralųjį skaičių 8 ir dešimtainę trupmeną 9, 3142 ... .
Sprendimas:
Nurodytas natūralusis skaičius yra mažesnis už sveikąją dešimtainės trupmenos dalį (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.
Atsakymas: 8 < 9 , 3142 … .
8 pavyzdys
Būtina palyginti natūralųjį skaičių 5 ir dešimtainę trupmeną 5, 6.
Sprendimas
Duotos trupmenos sveikoji dalis yra lygi tam tikram natūraliam skaičiui, tada pagal aukščiau pateiktą taisyklę 5< 5 , 6 .
Atsakymas: 5 < 5 , 6 .
9 pavyzdys
Reikia lyginti natūralųjį skaičių 4 ir periodinę dešimtainę trupmeną 3 , (9) .
Sprendimas
Duotos dešimtainės trupmenos periodas yra 9, o tai reiškia, kad prieš lyginant reikia duotą dešimtainę trupmeną pakeisti jai lygiu baigtiniu arba natūraliuoju skaičiumi. AT Ši byla: 3 , (9) = 4 . Taigi pradiniai duomenys yra lygūs.
Atsakymas: 4 = 3 , (9) .
Norėdami palyginti dešimtainę trupmeną su įprasta trupmena arba mišriu skaičiumi, turite:
Parašykite bendrąją trupmeną arba mišrų skaičių kaip dešimtainį skaičių ir palyginkite dešimtainius arba
- parašykite dešimtainę trupmeną kaip bendrąją trupmeną (išskyrus begalinę neperiodinę), tada palyginkite su duota bendrąja trupmena arba mišriu skaičiumi.
10 pavyzdys
Reikia palyginti dešimtainę trupmeną 0, 34 ir bendrąją trupmeną 1 3 .
Sprendimas
Išspręskime problemą dviem būdais.
- Duotą paprastąją trupmeną 1 3 įrašome kaip periodinę dešimtainę trupmeną, lygią jai: 0 , 33333 ... . Tada reikia palyginti dešimtaines trupmenas 0, 34 ir 0, 33333…. Gauname: 0 , 34 > 0 , 33333 ... , o tai reiškia 0 , 34 > 1 3 .
- Parašykime duotą dešimtainę trupmeną 0, 34 jai lygaus paprastojo pavidalo. T.y.: 0 , 34 = 34 100 = 17 50 . Palyginkite paprastąsias trupmenas su skirtingus vardiklius ir gauti: 17 50 > 1 3 . Taigi 0 , 34 > 1 3 .
Atsakymas: 0 , 34 > 1 3 .
11 pavyzdys
Turite palyginti begalinį nesikartojantį dešimtainį skaičių 4 , 5693 ... ir mišrų skaičių 4 3 8 .
Sprendimas
Begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena negali būti pavaizduota kaip mišrus skaičius, tačiau galima mišrų skaičių paversti netinkama trupmena, o tai, savo ruožtu, gali būti užrašoma kaip jam lygi dešimtainė trupmena. Tada: 4 3 8 = 35 8 ir
Tie.: 4 3 8 = 35 8 = 4, 375 . Palyginkime dešimtaines trupmenas: 4, 5693 ... ir 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) ir gausime: 4, 5693 ... > 4 3 8 .
Atsakymas: 4 , 5693 … > 4 3 8 .
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Šiame straipsnyje apžvelgsime temą dešimtainis palyginimas“. Pirmiausia aptarkime bendras principas lyginant po kablelio. Po to išsiaiškinsime, kurios dešimtainės trupmenos yra lygios, o kurios nelygios. Toliau sužinosime, kaip nustatyti, kuri dešimtainė trupmena yra didesnė, o kuri mažesnė. Norėdami tai padaryti, išnagrinėsime baigtinių, begalinių periodinių ir begalinių neperiodinių trupmenų palyginimo taisykles. Visą teoriją pateiksime pavyzdžiais su išsamiais sprendimais. Pabaigoje apsistokime ties dešimtainių trupmenų palyginimu su natūraliaisiais skaičiais, paprastosiomis trupmenomis ir mišriaisiais skaičiais.
Iš karto pasakykime, kad čia kalbėsime tik apie teigiamų dešimtainių trupmenų palyginimą (žr. teigiamus ir neigiamus skaičius). Likę atvejai analizuojami straipsniuose lyginant racionalius skaičius ir realiųjų skaičių palyginimas.
Puslapio naršymas.
Bendras dešimtainių trupmenų palyginimo principas
Remiantis šiuo palyginimo principu, išvedamos dešimtainių trupmenų palyginimo taisyklės, leidžiančios išsiversti lyginamųjų dešimtainių trupmenų pavertimo paprastosiomis trupmenomis. Šias taisykles ir jų taikymo pavyzdžius išanalizuosime tolesnėse pastraipose.
Panašiu principu baigtinės dešimtainės trupmenos arba begalinės periodinės dešimtainės trupmenos lyginamos su natūraliaisiais skaičiais, paprastosiomis trupmenomis ir mišriaisiais skaičiais: lyginami skaičiai pakeičiami juos atitinkančiomis paprastosiomis trupmenomis, o po to palyginamos paprastosios trupmenos.
Kalbant apie begalinių nepasikartojančių dešimtainių skaičių palyginimai, tada paprastai reikia palyginti galutines dešimtaines trupmenas. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite tokį skaičių palyginamų begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų ženklų, kurie leidžia gauti palyginimo rezultatą.
Lygios ir nelygios dešimtainės dalys
Pirmiausia pristatome vienodų ir nevienodų paskutinių dešimtainių skaičių apibrėžimai.
Apibrėžimas.
Vadinami du paskutiniai dešimtainiai skaitmenys lygus jei jų atitinkamos bendrosios trupmenos lygios, kitu atveju vadinamos šios dešimtainės trupmenos nelygios.
Remiantis šiuo apibrėžimu, nesunku pagrįsti tokį teiginį: jei tam tikros dešimtainės trupmenos pabaigoje priskiriame arba atmetame kelis skaitmenis 0, tai gauname jam lygią dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui, 0,3=0,30=0,300=… ir 140,000=140,00=140,0=140 .
Iš tiesų, nulio pridėjimas arba atmetimas dešimtainės trupmenos pabaigoje dešinėje reiškia atitinkamos paprastosios trupmenos skaitiklio ir vardiklio padauginimą arba padalijimą iš 10. Ir mes žinome pagrindinę trupmenos savybę, kuri sako, kad trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus arba padalijus iš to paties natūraliojo skaičiaus, gaunama trupmena, lygi pradinei. Tai įrodo, kad dešimtainės trupmenos trupmenos dalies dešinėje pridėjus arba atmetus nulius, gaunama trupmena, lygi pradinei.
Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 0,5 atitinka paprastąją trupmeną 5/10, pridėjus nulį į dešinę, gaunama dešimtainė trupmena 0,50, kuri atitinka paprastąją trupmeną 50/100 ir. Taigi 0,5 = 0,50. Ir atvirkščiai, jei dešimtainėje trupmenoje 0,50 atmeskite 0 dešinėje, tada gausime trupmeną 0,5, taigi iš paprastos trupmenos 50/100 gausime trupmeną 5/10, bet 
. Todėl 0,50=0,5 .
Pereikime prie lygių ir nelygių begalinių periodinių dešimtainių trupmenų apibrėžimas.
Apibrėžimas.
Dvi begalinės periodinės trupmenos lygus, jei jas atitinkančios paprastosios trupmenos lygios; jei jas atitinkančios paprastosios trupmenos nėra lygios, tai lyginamosios periodinės trupmenos taip pat yra lygios nėra lygus.
Iš šio apibrėžimo daromos trys išvados:
- Jei periodinių dešimtainių trupmenų įrašai yra visiškai vienodi, tai tokios begalinės periodinės dešimtainės trupmenos yra lygios. Pavyzdžiui, periodiniai dešimtainiai 0,34 (2987) ir 0,34 (2987) yra lygūs.
- Jei lyginamų dešimtainių periodinių trupmenų periodai prasideda iš tos pačios padėties, pirmosios trupmenos periodas yra 0, antrosios – 9, o skaitmens, esančio prieš laikotarpį 0, reikšmė yra vienu didesnė už skaitmens reikšmę. ankstesnį laikotarpį 9 , tada tokios begalinės periodinės dešimtainės trupmenos yra lygios. Pavyzdžiui, periodinės trupmenos 8.3(0) ir 8.2(9) yra lygios, o trupmenos 141,(0) ir 140,(9) taip pat yra lygios.
- Bet kurios kitos dvi periodinės trupmenos nėra lygios. Štai nelygių begalinių periodinių dešimtainių trupmenų pavyzdžiai: 9.0(4) ir 7,(21) , 0,(12) ir 0,(121) , 10,(0) ir 9.8(9) .
Belieka susitvarkyti lygios ir nelygios begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos. Kaip žinia, tokios dešimtainės trupmenos negali būti paverčiamos paprastosiomis trupmenomis (tokios dešimtainės trupmenos reiškia neracionalius skaičius), todėl begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų palyginimas negali būti redukuojamas į paprastųjų trupmenų palyginimą.
Apibrėžimas.
Du begaliniai nepasikartojantys kableliai lygus jei jų įrašai tiksliai sutampa.
Tačiau yra vienas niuansas: neįmanoma pamatyti „užbaigto“ begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų įrašo, todėl neįmanoma būti tikras dėl visiško jų įrašų sutapimo. Kaip būti?
Lyginant begalines neperiodines dešimtaines trupmenas, atsižvelgiama tik į baigtinį lyginamų trupmenų ženklų skaičių, o tai leidžia daryti reikiamas išvadas. Taigi begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų palyginimas sumažinamas iki baigtinių dešimtainių trupmenų palyginimo.
Taikant šį metodą, apie begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų lygybę galime kalbėti tik iki nagrinėjamo skaitmens. Pateikime pavyzdžių. Begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos 5,45839 ... ir 5,45839 ... yra lygios šimto tūkstantųjų dalių tikslumu, nes galutinės dešimtainės trupmenos 5,45839 ir 5,45839 yra lygios; nepasikartojančios dešimtainės trupmenos 19,54 ... ir 19,54810375 ... yra lygios artimiausiai šimtajai daliai, nes trupmenos 19,54 ir 19,54 yra lygios.
Begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų nelygybė šiuo metodu yra gana neabejotinai nustatyta. Pavyzdžiui, begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos 5,6789… ir 5,67732… nėra lygios, nes jų įrašų skirtumai yra akivaizdūs (galutinės dešimtainės trupmenos 5,6789 ir 5,6773 nėra lygios). Begaliniai dešimtainiai skaičiai 6.49354... ir 7.53789... taip pat nėra lygūs.
Dešimtainių trupmenų palyginimo taisyklės, pavyzdžiai, sprendiniai
Nustačius faktą, kad dvi dešimtainės trupmenos nėra lygios, dažnai reikia išsiaiškinti, kuri iš šių trupmenų yra didesnė, o kuri mažesnė už kitą. Dabar mes išanalizuosime dešimtainių trupmenų palyginimo taisykles, kad galėtume atsakyti į pateiktą klausimą.
Daugeliu atvejų pakanka palyginti sveikąsias lyginamų dešimtainių dalių dalis. Tai tiesa dešimtainio palyginimo taisyklė: didesnė už dešimtainę trupmeną, kurios sveikoji dalis yra didesnė, ir mažesnė už dešimtainę trupmeną, kurios sveikoji dalis yra mažesnė.
Ši taisyklė galioja ir baigtiniams, ir begaliniams dešimtainiams skaičiams. Panagrinėkime pavyzdžius.
Pavyzdys.
Palyginkite dešimtainius skaičius 9,43 ir 7,983023….
Sprendimas.
Akivaizdu, kad šios dešimtainės trupmenos nėra lygios. Galutinės dešimtainės trupmenos 9,43 sveikoji dalis yra lygi 9, o begalinės neperiodinės trupmenos 7,983023 ... sveikoji dalis yra lygi 7. Kadangi 9>7 (žr. natūraliųjų skaičių palyginimą), tada 9,43>7,983023.
Atsakymas:
9,43>7,983023 .
Pavyzdys.
Kuris iš dešimtainių skaičių 49,43(14) ir 1 045,45029... yra mažesnis?
Sprendimas.
Periodinės trupmenos 49.43(14) sveikoji dalis yra mažesnė už begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos sveikąją skaičių 1 045.45029..., todėl 49.43(14)<1 045,45029… .
Atsakymas:
49,43(14) .
Jei lyginamų dešimtainių trupmenų sveikosios dalys yra lygios, tai norint sužinoti, kuri iš jų didesnė, o kuri mažesnė, reikia palyginti trupmenines dalis. Dešimtainių trupmenų trupmeninių dalių palyginimas atliekamas po bitą– nuo dešimtokų kategorijos iki jaunesnių.
Pirmiausia pažvelkime į dviejų paskutinių dešimtainių trupmenų palyginimo pavyzdį.
Pavyzdys.
Palyginkite paskutinius dešimtainius 0,87 ir 0,8521 .
Sprendimas.
Šių dešimtainių trupmenų sveikosios dalys yra lygios (0=0 ), todėl pereikime prie trupmeninių dalių palyginimo. Dešimtosios vietos reikšmės yra lygios (8=8), o trupmenos 0,87 šimtosios vietos reikšmė yra didesnė už trupmenos šimtosios vietos reikšmę 0,8521 (7>5). Todėl 0,87>0,8521 .
Atsakymas:
0,87>0,8521 .
Kartais, norėdami palyginti paskutinius po kablelio skaitmenis su skirtingu kablelio skaičiumi, turite pridėti nulių skaičių trupmenos, kurioje yra mažiau dešimtainių skaičių, dešinėje. Gana patogu prieš pradedant lyginti galutines trupmenas po kablelio, pridedant tam tikrą skaičių nulių prie vienos iš jų dešinėje.
Pavyzdys.
Palyginkite paskutinius dešimtainius skaičius 18.00405 ir 18.0040532.
Sprendimas.
Akivaizdu, kad šios trupmenos yra nelygios, nes jų įrašai yra skirtingi, bet tuo pačiu turi lygias sveikųjų skaičių dalis (18=18).
Prieš bitais lyginant šių trupmenų trupmenines dalis, išlyginame skaičių po kablelio skaičių. Norėdami tai padaryti, trupmenos 18,00405 pabaigoje priskiriame du skaitmenis 0, o dešimtainę trupmeną gauname 18,0040500.
18,0040500 ir 18,0040532 dešimtainės vietos reikšmės yra lygios iki šimto tūkstantųjų dalių, o milijoninės vietos vertė yra 18,0040500 mažesnė vertė atitinkamas trupmenos skaitmuo 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
Atsakymas:
18,00405<18,0040532 .
Lyginant baigtinę dešimtainę trupmeną su begaline, galutinė trupmena pakeičiama begaline periodine trupmena, lygia jai, kurios periodas yra 0, o po to lyginama skaitmenimis.
Pavyzdys.
Palyginkite baigiamąjį dešimtainį skaičių 5.27 su begaliniu nepasikartojančiu dešimtainiu 5.270013….
Sprendimas.
Šių dešimtainių skaičių sveikosios dalys yra lygios. Šių trupmenų dešimtųjų ir šimtųjų dalių skaitmenų reikšmės yra lygios, o tolimesniam palyginimui galutinę dešimtainę trupmeną pakeičiame begaline periodine trupmena, lygia jai su formos periodu 0 5.270000 .... Prieš penktą dešimtainį skaičių po kablelio 5,270000... ir 5,270013... reikšmės yra lygios, o penktajame dešimtainiame skaitmenyje turime 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
Atsakymas:
5,27<5,270013… .
Begalinių dešimtainių trupmenų palyginimas taip pat atliekamas po truputį, ir baigiasi, kai kai kurių bitų reikšmės skiriasi.
Pavyzdys.
Palyginkite begalinius dešimtainius 6.23(18) ir 6.25181815….
Sprendimas.
Šių trupmenų sveikosios dalys yra lygios, dešimtosios vietos reikšmės taip pat yra lygios. O periodinės trupmenos 6.23(18) šimtosios vietos reikšmė yra mažesnė už begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos 6.25181815 šimtąją vietą..., todėl 6.23(18)<6,25181815… .
Atsakymas:
6,23(18)<6,25181815… .
Pavyzdys.
Kuris iš begalinių periodinių dešimtainių skaičių 3, (73) ir 3, (737) yra didesnis?
Sprendimas.
Akivaizdu, kad 3,(73)=3,73737373… ir 3,(737)=3,737737737…. Ketvirtuoju skaitmeniu po kablelio bitų palyginimas baigiasi, nes ten turime 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
Atsakymas:
3,(737) .
Palyginkite dešimtaines dalis su natūraliaisiais skaičiais, paprastosiomis trupmenomis ir mišriaisiais skaičiais.
Norėdami gauti dešimtainės trupmenos ir natūraliojo skaičiaus palyginimo rezultatą, galite palyginti sveikąją šios trupmenos dalį su nurodytu natūraliuoju skaičiumi. Šiuo atveju periodinės trupmenos, kurių taškai yra 0 arba 9, pirmiausia turi būti pakeistos jų lygiomis paskutinėmis dešimtainėmis trupmenomis.
Tai tiesa dešimtainės trupmenos ir natūraliojo skaičiaus palyginimo taisyklė: jei dešimtainės trupmenos sveikoji dalis yra mažesnė už duotąjį natūralųjį skaičių, tai visa trupmena yra mažesnė už šį natūraliąjį skaičių; jei sveikoji trupmenos dalis yra didesnė arba lygi tam tikram natūraliajam skaičiui, tai trupmena yra didesnė už duotąjį natūralųjį skaičių.
Apsvarstykite šios palyginimo taisyklės taikymo pavyzdžius.
Pavyzdys.
Palyginkite natūralųjį skaičių 7 su dešimtaine trupmena 8,8329….
Sprendimas.
Kadangi duotas natūralusis skaičius yra mažesnis už duotosios dešimtainės trupmenos sveikąją dalį, tai šis skaičius yra mažesnis už duotąją dešimtainę trupmeną.
Atsakymas:
7<8,8329… .
Pavyzdys.
Palyginkite natūralųjį skaičių 7 ir dešimtainį skaičių 7.1.
Panašūs straipsniai
