Algebrinių trupmenų pridėjimas ir atėmimas. Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimas ir atėmimas (8 klasė)

Pamokos tema: Algebrinių trupmenų sudėjimas ir atėmimas.

Pamokos tikslai:

Švietimas:

pakartokite sudėjimo ir atimties taisykles skaitinės trupmenos su tais pačiais vardikliais
įvesti algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles;
ugdyti gebėjimą atlikti sudėjimo ir atimties operacijas su algebrinėmis trupmenomis.

Švietimas:

ugdyti mąstymą, dėmesį, atmintį, gebėjimą analizuoti, lyginti, lyginti;
mokinių akiračio plėtimas;

žodyno papildymas;

Švietimas:

ugdyti pažintinį susidomėjimą šia tema.
Puoselėti protinio darbo kultūrą

Įranga:

kortelės – testo užduotys;
kompiuteris;
projektorius;
ekranas;
pamokos pristatymas

Šūkis:

Matematikos neišmoksi žiūrėdamas, kaip tai daro kaimynas!

2 skaidrė.

Pamokos planas.

Pamokos tikslo ir temos išdėstymas (2 min.);
Atnaujinti bendros žinios ir mokinio įgūdžius (4 min.);
Darbas žodžiu (5 min.);
Naujos medžiagos mokymasis (8 min.);
Kūno kultūros užsiėmimas (2 min.);
Naujos medžiagos sutvirtinimas (10 min.);
Testas su keliais pasirinkimais (10 min.);
Pamokos santrauka, išvados (2 min.);
Namų darbai. (2 minutės).

3 skaidrė.

Per užsiėmimus.

I. Organizacinis momentas:

1) pranešimas apie pamokos temą;

2) pamokos tikslų ir uždavinių perdavimas.

II. Žinių atnaujinimas:

Kokia trupmena vadinama algebrine? Pateikite pavyzdžių.

Ką reiškia sumažinti algebrinę trupmeną?

Kaip sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio?

4 skaidrė.

III. Darbas žodžiu:

Skaitykite trupmenas:
Raskite reiškinį, kuris yra perteklinis a) (a+c) 2 ; b) ; V); G) .
Atkurti iš dalies ištrintus įrašus: sumažinti iki bendro vardiklio

5 skaidrė.

Rask klaidą

6 skaidrė.

Kiekvienai trupmenai raskite lygią trupmeną naudodami skaičių ir raidžių atitiktį:

1) ; 2) 3) .

A) b) ; V) .

7.8 skaidrė

IV. Naujos medžiagos mokymasis.
1) Peržiūrėkite skaitinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles. Tada žodžiu išspręskite šiuos pavyzdžius:

2) Prisiminkite daugianario sudėties ir atėmimo taisykles ir raštu lentoje atlikite šiuos pratimus:

3) Mokiniai turi pasiūlyti lentoje užrašytų pavyzdžių atlikimo taisykles:

Aptariami pavyzdžių sprendimai. Jei mokiniai negali susitvarkyti patys, paaiškina mokytojas.

9 skaidrė.

Algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklės surašytos sąsiuvinyje.
, .

10 skaidrė.

V. Kūno kultūra akims

Pratimas 1. Atlikite 15 svyruojančių akių judesių horizontaliai iš dešinės į kairę, tada iš kairės į dešinę.

2 pratimas. Atlikite 15 svyruojančių judesių akimis vertikaliai aukštyn – žemyn ir žemyn – aukštyn.

3 pratimas. Taip pat 15, bet sukamaisiais akių judesiais iš kairės į dešinę.

4 pratimas. Tas pats, tik iš dešinės į kairę.

5 pratimas. Atlikite 15 sukamųjų sukamųjų judesių akimis iš pradžių į dešinę, tada į kairė pusė, tarsi akimis atsektų ant šono padėtą aštuonetą.

VI. Naujos medžiagos konsolidavimas.
1) Frontalinis darbas.

1) Išspręskite problemas

№ 462 (1,3)

2) Pridėkite trupmenas:

3) Atimkite trupmenas:

4) Atlikite veiksmus.

11 skaidrė.

2) Individualus darbas.
Ant lentos vaidina keturi mokiniai savarankiškas darbas siūlomos ant kortelių.

1 kortelė.

2 kortelė.

3 kortelė.

4 kortelė.

Likusi dalis sąsiuviniuose: atlikite trupmenų pridėjimą ir atimtį:
A) b)
V)

VII. Darbo atlikimas grupėse ir rezultatų analizė.

Kiekvienai grupei pateikiamos testinės užduotys, kurias atlikusios gauna žodį – žymaus matematiko vardą.

Pratimas	Galimas atsakymas	Laiškas







	x + 10

Pratimas	Galimas atsakymas	Laiškas

Pratimas	Galimas atsakymas	Laiškas

Pratimas	Galimas atsakymas	Laiškas

Atsakymų lentelė:

Darbo Nr.
Laiškas

Patikrinkite užduoties kokybę.

Ar iš gautų laiškų gavote žinomo matematiko vardą?

Jei teisingai atsakėte į visus klausimus, gavote įvertinimą "PUIKUS"!!!

Jei suklydai viename žingsnyje, tai nėra blogai, bet mokslininkas tikriausiai įsižeistų. Gavote įvertinimą „GERAS“!

Jei klystate dviem žingsniais, vadinasi, per pamoką prastai klausėte mokytojo ir temą teks skaityti algebros vadovėlyje. Gavote įvertinimą „PATINKAMAS“.

Jei suklydote daugiau nei dviem žingsniais, vadinasi, per pamoką visiškai neklausėte mokytojo ir teks labai atidžiai perskaityti algebros vadovėlį. Gavote įvertinimą „NEPATINKAMAS“.

13-17 skaidrė.

Jei yra laiko, išsprendžiamos šios užduotys:
1. Įrodykite, kad išraiška
visoms reikšmėms a2 įgyja teigiamas reikšmes.
2. Pateikite trupmeną kaip sveikojo skaičiaus išraiškos ir trupmenos sumą arba skirtumą:
A); b) c)

3. Žinodami tai, suraskite trupmenos reikšmę:
A); b) c)

VIII. Apibendrinant.

aš X. Namų darbai:Perskaitykite vadovėlio medžiagą, 26 pastraipą, išmokite šios pastraipos taisykles. Spręsti uždavinius Nr.462(2,4); sudaryti 5 algebrinių trupmenų sudėjimo ir atėmimo pavyzdžius; rasti informacijos apie matematikus, kurių vardus šiandien girdėjome.

Video pamoka „Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimas ir atėmimas“ yra Vaizdinė Pagalba, kurio pagalba pateikiama teorinė medžiaga, detaliai paaiškinami atimties ir sudėjimo su skirtingais vardikliais operacijų algoritmai ir ypatumai. Vadovo pagalba mokytojui lengviau ugdyti mokinių gebėjimą atlikti veiksmus su algebrinėmis trupmenomis. Vaizdo pamokos metu svarstoma nemažai pavyzdžių, kurių sprendimas detaliai aprašomas, atkreipiant dėmesį į svarbias detales.

Vaizdo pamokos naudojimas matematikos pamokoje leidžia mokytojui greitai pasiekti ugdymo tikslus ir padidinti mokymo efektyvumą. Demonstracijos aiškumas padeda mokiniams atsiminti medžiagą ir ją įsisavinti giliau, todėl vaizdo įrašas gali būti naudojamas kartu su mokytojo paaiškinimu. Jei šis vaizdo įrašas naudojamas kaip pamokos dalis, mokytojo laikas atlaisvinamas individualiam darbui tobulinti ir naudoti kitas mokymo priemones mokymo efektyvumui gerinti.

Demonstracija pradedama pristatant vaizdo pamokos temą. Pažymima, kad algebrinių trupmenų atimties ir sudėjimo operacijų atlikimas yra panašus į operacijų su paprastosiomis trupmenomis atlikimą. Man primena atimties, pridėjimo už mechanizmą paprastosios trupmenos- trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio, tada pačios operacijos atliekamos tiesiogiai.

Ekrane įgarsinamas ir aprašomas algebrinių trupmenų atėmimo ir pridėjimo algoritmas. Jį sudaro du etapai – trupmenų sumažinimas iki panašių vardklių, o tada trupmenų su vienodais vardikliais pridėjimas (arba atėmimas). Algoritmo taikymas svarstomas naudojant reiškinių a/4b 2 -a 2 /6b 3, taip pat x/(x+y)-x/(x-y) reikšmių radimo pavyzdį. Pažymima, kad norint išspręsti pirmąjį pavyzdį, reikia sumažinti abi trupmenas iki to paties vardiklio. Šis vardiklis bus 12b 3. Šių trupmenų sumažinimas iki vardiklio 12b 3 buvo išsamiai aptartas ankstesnėje vaizdo pamokoje. Transformacijos rezultate gaunamos dvi trupmenos su vienodais vardikliais 3ab/12b 3 ir 2a 2 /12b 3. Šios trupmenos sudedamos pagal trupmenų su vienodais vardikliais sudėjimo taisyklę. Sudėjus trupmenų skaitiklius, gaunama trupmena (3ab+2a 2)/12b 3. Toliau aprašomas pavyzdžio x/(x+y)-x/(x-y) sprendimas. Sumažinus trupmenas iki to paties vardiklio, gautos trupmenos yra (x 2 -xy)/(x 2 -y 2) ir (x 2 +xy)/(x 2 -y 2). Pagal trupmenų su lygiais vardikliais atėmimo taisyklę atliekame operaciją su skaitikliais, po kurių gauname trupmeną -2xy/(x 2 -y 2).

Pažymima, kad sunkiausias žingsnis sprendžiant uždavinius, susijusius su trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimu ir atėmimu, yra suvesti jas į bendrą vardiklį. Pateikiami patarimai, kaip lengviau ugdyti įgūdžius sprendžiant šias problemas. Analizuojamas bendrasis trupmenos vardiklis. Jį sudaro skaitinis koeficientas su kintamuoju, padidintu iki laipsnio. Matyti, kad išraišką galima suskirstyti į pirmosios ir antrosios trupmenos vardiklius. Šiuo atveju skaitinis koeficientas 12 yra mažiausias bendrasis trupmenų 4 ir 6 skaitinių koeficientų kartotinis. O kintamajame b yra abu vardikliai 4b 2 ir 6b 3. Šiuo atveju bendras vardiklis turi didžiausią kintamąjį tarp pradinių trupmenų vardikų. Taip pat svarstoma, kaip rasti x/(x+y) ir x/(x-y) bendrą vardiklį. Pažymima, kad bendras vardiklis (x+y)(x-y) dalijamas iš kiekvieno vardiklio. Taigi, sprendžiant problemą reikia surasti mažiausią bendrąjį turimų skaitinių koeficientų kartotinį, taip pat aukščiausias rodiklis laipsnis pažodiniam kintamajam, pasirodančiam daugiau nei vieną kartą. Tada, surinkus šias dalis į bendrą produktą, gaunamas bendras vardiklis.

Ekrane paskelbiamas ir suformuluojamas kelių trupmenų bendro vardiklio paieškos algoritmas. Šis algoritmas susideda iš keturių etapų, kurių pirmojoje vardikliai faktorinizuojami. Antrame algoritmo etape randamas mažiausias bendras turimų koeficientų kartotinis, įtrauktas į trupmenų vardiklius. Trečiajame etape sudaromas sandauga, į kurią įtraukiami vardiklio skilimų raidiniai faktoriai, o daugiausia parenkamas raidžių rodiklis, esantis keliuose vardikliuose. Ketvirtajame etape ankstesniuose etapuose rasti skaitiniai ir raidiniai faktoriai surenkami į vieną produktą. Tai bus bendras vardiklis. Apie svarstomą algoritmą daroma pastaba. Trupmenų a/4b 2 ir a 2 /6b 3 bendro vardiklio radimo pavyzdyje pažymima, kad be 12b 3 yra ir kiti vardikliai 24b 3 ir 48a 2 b 3. Ir kiekvienam trupmenų rinkiniui galite rasti daug bendrų vardklių. Tačiau vardiklis 12b 3 yra pats paprasčiausias ir patogiausias, todėl dar vadinamas mažiausiu bendruoju pradinių trupmenų vardikliu. Papildomi veiksniai yra dalinio bendro vardiklio ir pradinio trupmenos vardiklio rezultatas. Išsamiai, naudojant animaciją, parodyta, kaip trupmenų skaitiklis ir vardiklis dauginami iš papildomo koeficiento.

Toliau siūloma paprastesne forma panagrinėti algebrinių trupmenų redukavimo į bendrą vardiklį algoritmą, kad jis būtų suprantamesnis studentams. Jis taip pat susideda iš keturių žingsnių, iš kurių pirmasis yra vardiklių faktorinavimas. Tada siūloma išrašyti visus veiksnius iš pirmojo vardiklio, o sandaugą papildyti trūkstamais koeficientais iš likusių vardklių. Taip randamas bendras vardiklis. Kiekvienai trupmenai randami papildomi veiksniai iš tų vardiklio veiksnių, kurie nepatenka į bendrą vardiklį. Ketvirtasis žingsnis – kiekvienai trupmenai nustatyti naują skaitiklį, kuris yra senojo skaitiklio ir papildomo koeficiento sandauga. Tada kiekviena trupmena rašoma nauju skaitikliu ir vardikliu.

Toliau pateiktame pavyzdyje aprašomas reiškinio 3a/(4a 2 -1)-(a+1)/(2a 2 +a) supaprastinimas. Pirmajame sprendimo etape išskaičiuojami kiekvienos trupmenos vardikliai. Produktams bendras koeficientas yra (2a+1). Papildydami sandaugą likusiais koeficientais (2a-1) ir a, gauname bendrą a(2a-1)(2a+1) formos vardiklį. Konstruojama pagalbinė lentelė, kurioje nurodomas bendras vardiklis, vardikliai ir papildomi veiksniai. Antrame sprendimo etape kiekvienas skaitiklis padauginamas iš papildomo koeficiento ir atimama. Rezultatas yra trupmena (a 2 -a+1)/a(2a-1)(2a+1).

3 pavyzdyje nagrinėjamas reiškinio b/(2a 4 +4a 3 b+2a 2 b 2)-1/(3ab 2 -3a 3)+b/(6a 4 -6a 3 b) supaprastinimas. Taip pat žingsnis po žingsnio analizuojamas sprendimas, atkreipiamas dėmesys į esminius operacijų atlikimo ypatumus, trupmenų redukavimą iki bendro vardiklio, detaliai aprašomas operacijų su skaitikliu atlikimas. Skaičiavimų rezultate ir po transformacijos gaunama trupmena (2a 3 +6a 2 b-ab 2 +b 3)/6a 3 (a-b)(a+b) 2.

Vaizdo pamoka „Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimas ir atėmimas“ gali pasitarnauti kaip priemonė padidinti matematikos pamokos šia tema efektyvumą. Vadovas bus naudingas mokytojui jį įgyvendinant nuotolinio mokymosi, vizualiniam vaizdui mokomoji medžiaga. Mokiniams gali būti rekomenduojama vaizdo pamoka savarankiškas mokymasis, nes jame išsamiai ir aiškiai paaiškinamos tiriamų operacijų atlikimo ypatybės.

Šiame straipsnyje mes išsamiai išanalizuosime algebrinių trupmenų pridėjimas ir atėmimas. Pradėkime nuo algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo. Po to užrašome atitinkamą taisyklę trupmenoms su skirtingais vardikliais. Pabaigoje parodysime, kaip pridėti algebrinę trupmeną su daugianario ir kaip jas atimti. Kaip įprasta, visą informaciją pateiksime su tipiniais pavyzdžiais, paaiškinančiais kiekvieną sprendimo proceso žingsnį.

Puslapio naršymas.

Kai vardikliai yra vienodi

Principai perkeliami į algebrines trupmenas. Žinome, kad sudėjus ir atimant paprastąsias trupmenas su panašiais vardikliais, jų skaitikliai pridedami arba atimami, tačiau vardiklis išlieka tas pats. Pavyzdžiui, ir .

Suformuluota panašiai Taisyklė algebrinėms trupmenoms su panašiais vardikliais sudėti ir atimti: Norėdami pridėti arba atimti algebrines trupmenas su panašiais vardikliais, turite atitinkamai pridėti arba atimti trupmenų skaitiklius, palikdami vardiklį nepakeistą.

Iš šios taisyklės išplaukia, kad sudėjus ar atėmus algebrines trupmenas gaunama nauja algebrinė trupmena (konkrečiu atveju daugianario, mononario ar skaičiaus).

Pateiksime nurodytos taisyklės taikymo pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite algebrinių trupmenų sumą Ir .

Sprendimas.

Turime pridėti algebrines trupmenas su panašiais vardikliais. Taisyklė mums sako, kad turime pridėti šių trupmenų skaitiklius, bet vardiklį palikti tą patį. Taigi, susumuojame skaitikliuose rastus daugianorius: x 2 +2·x·y−5+3−x·y= x 2 +(2 x y−x y)−5+3=x 2 +x y−2. Todėl pradinių trupmenų suma yra lygi .

Praktikoje sprendimas dažniausiai rašomas trumpai lygybių grandinės forma, atspindinčia visus atliktus veiksmus. Mūsų atveju trumpoji sprendimo versija yra tokia:

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad jei sudėjus ar atimant algebrines trupmenas gaunama redukuojama trupmena, patartina ją sumažinti.

Pavyzdys.

Atimkite trupmenas iš algebrinių trupmenų.

Sprendimas.

Kadangi algebrinių trupmenų vardikliai yra lygūs, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios dalies skaitiklį ir vardiklį palikti tą patį: .

Nesunku suprasti, kad galima sumažinti algebrinę trupmeną. Norėdami tai padaryti, pakeičiame jo vardiklį taikydami kvadratinio skirtumo formulė. Mes turime.

Atsakymas:

Trys ar daugiau algebrinės trupmenos su tais pačiais vardikliais pridedamos arba atimamos lygiai taip pat. Pavyzdžiui, .

Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas

Prisiminkime, kaip pridedame ir atimame įprastas trupmenas su skirtingais vardikliais: pirmiausia jas suvedame į bendrą vardiklį, o tada pridedame šias trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pavyzdžiui, arba .

Yra panašus algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklė:

pirma, visos trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio;
po to gautos trupmenos su tais pačiais vardikliais pridedamos ir atimamos.

Norėdami sėkmingai taikyti nurodytą taisyklę, turite gerai suprasti algebrinių trupmenų sumažinimą iki bendro vardiklio. Tai mes darysime.

Algebrinių trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio.

Algebrinių trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio yra identiška pradinių trupmenų transformacija, po kurios visų trupmenų vardikliai tampa vienodi. Patogu naudoti toliau nurodytus algebrinių trupmenų mažinimo iki bendro vardiklio algoritmas:

Pirma, randamas bendras algebrinių trupmenų vardiklis;
Toliau kiekvienai trupmenai nustatomi papildomi koeficientai, kurių bendras vardiklis dalijamas iš pradinių trupmenų vardikų;
galiausiai pradinių algebrinių trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš atitinkamų papildomų koeficientų.

Pavyzdys.

Pateikite algebrines trupmenas Ir į bendrą vardiklį.

Sprendimas.

Pirmiausia nustatykime bendrą algebrinių trupmenų vardiklį. Norėdami tai padaryti, suskaičiuokite visų trupmenų vardiklius: 2 a 3 -4 a 2 = 2 a 2 (a - 2), 3 a 2 −6 a=3 a (a−2) ir 4 a 5 –16 a 3 =4 a 3 (a-2) (a+2). Iš čia randame bendrą vardiklį 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .

Dabar pradėkime ieškoti papildomų veiksnių. Norėdami tai padaryti, bendrąjį vardiklį padalijame iš pirmosios trupmenos vardiklio (patogu imti jos išplėtimą), turime 12 a 3 (a–2) (a+2):(2 a 2 (a–2))=6 a (a+2). Taigi, papildomas pirmosios trupmenos koeficientas yra 6·a·(a+2) . Panašiai randame papildomų faktorių antrajai ir trečiajai trupmenoms: 12 a 3 (a-2) (a+2):(3 a (a-2)) = 4 a 2 (a+2) Ir 12 a 3 (a-2) (a+2):(4 a 3 (a-2) (a+2))=3.

Belieka padauginti pradinių trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš atitinkamų papildomų koeficientų:

Tai užbaigia pradinių algebrinių trupmenų sumažinimą iki bendro vardiklio. Jei reikia, gautas trupmenas galima konvertuoti į algebrinių trupmenų formą, padauginus daugianario ir mononario skaitikliuose ir vardikliuose.

Taigi, mes sutvarkėme algebrinių trupmenų sumažinimą iki bendro vardiklio. Dabar esame pasirengę atlikti algebrinių trupmenų sudėjimą ir atimtį su skirtingais vardikliais. Taip, mes beveik pamiršome jus perspėti: bendras vardiklis iki pat paties paskutinė akimirka Patogu palikti pateikiamą sandaugos pavidalu – gali tekti sumažinti trupmeną, kuri susidaro po sudėjimo ar atėmimo.

Pavyzdys.

Atlikite algebrinių trupmenų sudėjimą ir .

Sprendimas.

Akivaizdu, kad pradinės trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl norint atlikti jų sudėjimą, pirmiausia reikia jas sumažinti iki bendro vardiklio. Norėdami tai padaryti, koeficientuokite vardiklius: x 2 +x=x·(x+1) ir x 2 +3·x+2=(x+1)·(x+2) , nes kvadratinio trinalio šaknys x 2 + 3 x+2 yra skaičiai –1 ir –2. Iš čia randame bendrą vardiklį, jo formą x·(x+1)·(x+2) . Tada pirmosios trupmenos papildomas koeficientas bus x+2, o antrosios trupmenos – x.

Taigi, ir.

Belieka pridėti trupmenas, sumažintas iki bendro vardiklio:

Gautą frakciją galima sumažinti. Iš tiesų, jei išimsite du iš skaitiklio skliaustų, pamatysite bendrą koeficientą x+1, kuriuo trupmena sumažinama: .

Galiausiai gautą trupmeną pavaizduojame kaip algebrinę trupmeną, kurios sandaugą vardiklyje pakeičiame daugianario: .

Suformuluokime trumpą sprendimą, kuriame atsižvelgsime į visus mūsų samprotavimus:

Atsakymas:

Ir dar vienas dalykas: prieš sudedant ar atimant algebrines trupmenas, patartina jas pirmiausia transformuoti, kad būtų supaprastintas (jei, žinoma, yra tokia galimybė).

Pavyzdys.

Atlikite algebrinių trupmenų atimtį ir .

Sprendimas.

Atlikime keletą algebrinių trupmenų transformacijų, galbūt jos supaprastins sprendimo procesą. Pirmiausia iš skliaustų išimkime vardiklyje esančių kintamųjų skaitinius koeficientus: Ir . Tai jau įdomu - tapo matomas bendras trupmenų vardikų veiksnys.

Paprastosios trupmenos.

Algebrinių trupmenų pridėjimas

Prisiminti!

Galite pridėti tik trupmenas su tais pačiais vardikliais!

Negalite pridėti trupmenų be konversijų

Galite pridėti trupmenas

Pridedant algebrines trupmenas su panašiais vardikliais:

pirmosios trupmenos skaitiklis pridedamas prie antrosios trupmenos skaitiklio;
vardiklis išlieka tas pats.

Pažiūrėkime į algebrinių trupmenų pridėjimo pavyzdį.

Kadangi abiejų trupmenų vardiklis yra „2a“, tai reiškia, kad trupmenas galima pridėti.

Sudėkime pirmosios trupmenos skaitiklį su antrosios trupmenos skaitikliu, o vardiklį palikime tą patį. Pridėdami trupmenas gautame skaitiklyje, pateikiame panašias.

Algebrinių trupmenų atėmimas

Atimant algebrines trupmenas su panašiais vardikliais:

Antrosios trupmenos skaitiklis atimamas iš pirmosios trupmenos skaitiklio.
vardiklis išlieka tas pats.

Svarbu!

Skliausteliuose būtinai įtraukite visą atimamos trupmenos skaitiklį.

Priešingu atveju, atidarydami atimamos trupmenos skliaustus, suklysite ženkluose.

Pažiūrėkime į algebrinių trupmenų atėmimo pavyzdį.

Kadangi abiejų algebrinių trupmenų vardiklis yra „2c“, tai reiškia, kad šias trupmenas galima atimti.

Atimkite antrosios trupmenos skaitiklį „(a − b)“ iš pirmosios trupmenos skaitiklio „(a + d)“. Nepamirškite skliausteliuose įrašyti trupmenos, kurią atimate, skaitiklio. Atidarydami skliaustus naudojame skliaustų atidarymo taisyklę.

Algebrinių trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Reikia pridėti algebrines trupmenas.

Šioje formoje trupmenų pridėti negalima, nes jos turi skirtingus vardiklius.

Prieš pridedant algebrines trupmenas, jos turi būti suvesti prie bendro vardiklio.

Algebrinių trupmenų mažinimo iki bendro vardiklio taisyklės labai panašios į paprastųjų trupmenų mažinimo iki bendro vardiklio taisykles. .

Dėl to turėtume gauti daugianarį, kuris bus padalintas be liekanos į kiekvieną ankstesnį trupmenų vardiklį.

Į sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio turite atlikti šiuos veiksmus.

Dirbame su skaitiniais koeficientais. Mes nustatome visų skaitinių koeficientų LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį).
Dirbame su daugianariais. Visus skirtingus daugianorius apibrėžiame didžiausiomis galiomis.
Skaitinio koeficiento ir visų įvairių daugianarių didžiausiais laipsniais sandauga bus bendras vardiklis.
Nustatykite, ko jums reikia, norint padauginti kiekvieną algebrinę trupmeną, kad gautumėte bendrą vardiklį.

Grįžkime prie mūsų pavyzdžio.

Apsvarstykite abiejų trupmenų vardiklius „15a“ ir „3“ ir suraskite jiems bendrą vardiklį.

Dirbame su skaitiniais koeficientais. Raskite LCM (mažiausias bendras kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno skaitinio koeficiento be liekanos). „15“ ir „3“ yra „15“.
Dirbame su daugianariais. Būtina visus daugianarius išvardyti didžiausiomis galiomis. Vardikliuose „15a“ ir „5“ yra tik
vienas monomis - „a“.
Padauginkime LCM iš 1 veiksmo „15“ ir monominį „a“ iš 2 veiksmo. Gauname „15a“. Tai bus bendras vardiklis.
Kiekvienai trupmenai užduodame sau klausimą: „Iš ko padauginti šios trupmenos vardiklį, kad gautume „15a“?

Pažiūrėkime į pirmąją trupmeną. Šios trupmenos vardiklis jau yra „15a“, o tai reiškia, kad jos nereikia dauginti iš nieko.

Pažvelkime į antrąją trupmeną. Užduokime klausimą: „Iš ko reikia padauginti „3“, kad gautumėte „15a“? Atsakymas yra „5a“.

Mažindami trupmeną iki bendro vardiklio, padauginkite iš „5a“ tiek skaitiklis, tiek vardiklis.

Sutrumpintas žymėjimas algebrinės trupmenos sumažinimui iki bendro vardiklio gali būti parašytas naudojant „namus“.

Norėdami tai padaryti, nepamirškite bendro vardiklio. Virš kiekvienos trupmenos viršuje „namuose“ rašome, iš ko padauginame kiekvieną trupmeną.

Dabar, kai trupmenos turi tuos pačius vardiklius, trupmenas galima pridėti.

Pažvelkime į trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimo pavyzdį.

Apsvarstykite abiejų trupmenų vardiklius „(x − y)“ ir „(x + y)“ ir raskite jiems bendrą vardiklį.

Vardikliuose „(x − y)“ ir „(x + y)“ yra du skirtingi daugianariai. Jų produktas bus bendras vardiklis, t.y. „(x − y)(x + y)“ yra bendras vardiklis.

Algebrinių trupmenų sudėjimas ir atėmimas naudojant sutrumpintas daugybos formules

Kai kuriuose pavyzdžiuose, norint sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio, turi būti naudojamos sutrumpintos daugybos formulės.

Pažiūrėkime į algebrinių trupmenų pridėjimo pavyzdį, kur turėsime panaudoti kvadratų skirtumo formulę.

Pirmoje algebrinėje trupmenoje vardiklis yra „(p 2 − 36)“. Akivaizdu, kad jai galima pritaikyti kvadratų skirtumo formulę.

Išskaidžius daugianarį „(p 2 − 36)“ į daugianario sandaugą
„(p + 6)(p − 6)“ aišku, kad polinomas „(p + 6)“ kartojasi trupmenomis. Tai reiškia, kad bendrasis trupmenų vardiklis bus daugianario sandauga „(p + 6)(p − 6)“.

Ši pamoka apims algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimą ir atėmimą. Mes jau žinome, kaip pridėti ir atimti bendrąsias trupmenas su panašiais vardikliais. Pasirodo, algebrinės trupmenos laikosi tų pačių taisyklių. Mokymasis dirbti su trupmenomis su panašiais vardikliais yra vienas iš kertinių akmenų mokantis dirbti su algebrinėmis trupmenomis. Visų pirma, supratę šią temą bus lengviau įsisavinti sudėtingesnę temą – sudėti ir atimti trupmenas su skirtingais vardikliais. Pamokos metu išnagrinėsime algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles, taip pat analizuosime keletą tipiškų pavyzdžių

Algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklė

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih trupmenos iš „vienas su tau -mi“ know-me-na-te-la-mi (ji sutampa su analogiška įprastų smūgių taisykle): Tai yra al-geb-ra-i-che-skih trupmenų sudėjimas arba skaičiavimas su vienas su tau know-me-on-the-la-mi būtina -ho-di-mo-sudaryti atitinkamą skaičių al-geb-ra-i-che-sum, o sign-me-na-tel palikti be jokių.

Šią taisyklę suprantame tiek įprastų ven-draw, tiek al-geb-ra-i-che-draw.hit pavyzdžiui.

Paprastųjų trupmenų taisyklės taikymo pavyzdžiai

1 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas

Sudėkime trupmenų skaičių ir palikime ženklą tą patį. Po to išskaidome skaičių ir pasirašome į paprastus dauginius ir derinius. Gaukime: .

Pastaba: standartinė klaida, kuri leidžiama sprendžiant panašaus tipo pavyzdžius, skirta -klu-cha-et-sya tokiame galimame sprendime: . Tai didelė klaida, nes ženklas išlieka toks pat, koks buvo pradinėse trupmenose.

2 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas

Šis niekuo nesiskiria nuo ankstesnio: .

Taisyklės algebrinėms trupmenoms taikymo pavyzdžiai

Nuo įprastų dro-beat'ų pereiname prie al-geb-ra-i-che-skim.

3 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas: kaip jau minėta aukščiau, al-geb-ra-i-che-frakcijų sudėtis niekuo nesiskiria nuo žodžio, tokia pati kaip įprastos šūvių kovos. Todėl sprendimo būdas yra tas pats: .

4 pavyzdys. Jūs esate trupmena: .

Sprendimas

You-chi-ta-nie iš al-geb-ra-i-che-skih trupmenų sudėjimo tik dėl to, kad skaičiuje pi-sy-va-et-sya skiriasi panaudotų trupmenų skaičius. Štai kodėl .

5 pavyzdys. Jūs esate trupmena: .

Sprendimas:.

6 pavyzdys. Supaprastinkite: .

Sprendimas:.

Taisyklės, po kurios seka sumažinimas, taikymo pavyzdžiai

Trupmenoje, kuri turi tą pačią reikšmę sudėties ar skaičiavimo rezultate, galimi deriniai nia. Be to, neturėtumėte pamiršti apie al-geb-ra-i-che-skih frakcijų ODZ.

7 pavyzdys. Supaprastinkite: .

Sprendimas:.

Kuriame. Apskritai, jei pradinių trupmenų ODZ sutampa su sumos ODZ, tada jo galima praleisti (juk trupmena yra atsakyme, taip pat nebus su atitinkamais reikšmingais pakeitimais). Bet jei naudojamų trupmenų ODZ ir atsakymas nesutampa, reikia nurodyti ODZ.

8 pavyzdys. Supaprastinkite: .

Sprendimas:. Tuo pačiu metu y (pradinių frakcijų ODZ nesutampa su rezultato ODZ).

Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti ir perskaityti al-geb-ra-i-che trupmenas su skirtingomis know-me-on-the-la-mi, atliekame ana-lo -giyu su įprastomis-ven-ny trupmenomis ir perkeliame į al-geb -ra-i-che trupmenos.

Pažvelkime į paprasčiausią paprastųjų trupmenų pavyzdį.

1 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Prisiminkime trupmenų pridėjimo taisykles. Norėdami pradėti nuo trupmenos, turite ją suvesti į bendrą ženklą. Atlikdami paprastųjų trupmenų bendrojo ženklo vaidmenį, jūs veikiate mažiausias bendras kartotinis(NOK) pradinius ženklus.

Apibrėžimas

Mažiausias skaičius, kuris tuo pačiu metu yra padalintas į skaičius ir.

Norėdami rasti NOC, turite suskirstyti žinias į paprastus rinkinius ir tada pasirinkti viską, ko yra daug, kurie yra įtraukti į abiejų ženklų skirstymą.

; . Tada skaičių LCM turi sudaryti du du ir du trejetukai: .

Suradus bendrąsias žinias, kiekvienai trupmenai reikia rasti pilną daugumos gyventoją (iš tikrųjų, bendrąjį ženklą supilti ant atitinkamos trupmenos ženklo).

Tada kiekviena trupmena padauginama iš pusiau pilno koeficiento. Paimkime kelias trupmenas iš tų pačių, kurias žinote, sudėkite ir perskaitykite.-studijuota ankstesnėse pamokose.

Pavalgykime: .

Atsakymas:.

Dabar pažvelkime į al-geb-ra-i-che-frakcijų su skirtingais ženklais sudėtį. Dabar pažiūrėkime į trupmenas ir pažiūrėkime, ar yra skaičių.

Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas

2 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Al-go-ritmas sprendimo ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen į ankstesnį pavyzdį. Nesunku paimti bendrąjį nurodytų trupmenų ženklą: ir papildomus daugiklius kiekvienai iš jų.