Medžioklinis šūvis yra šovinių įkrovimo komponentas, kuris jau seniai tapo neatsiejama bet kurio medžiotojo gyvenimo dalimi. Būtent su jo pagalba dažnai žūva medžiojamieji elniai (stirniukai, antys, tetervinai, tetervinai, fazanai). Skirtingai nuo kitų kasečių komponentų, gamybos ir išvaizdaŠi amunicija iš tikrųjų nepasikeitė per 150 metų nuo jo išradimo.

Trupmenų rūšys

Taigi, kas yra trupmena? Tai nedideli švininiai rutuliukai (iki 5 mm dydžio), naudojami įvairių gyvūnų (pavyzdžiui, tetervinų, tetervinų, kiškių, fazanų) medžioklei. Tačiau yra daug jo tipų:

Medžiaga

Pagal medžiagą, iš kurios jis pagamintas:

Vadovauti. Švino naudojimas yra labai plačiai paplitęs, nes ši medžiaga turi visas reikalingos savybės- sunkus, pigus, lydantis. Tai lengva padaryti patiems namuose. Tačiau tokios granulės yra per minkštos, be to, švinas yra toksiškas ir ardo aplinką. Vakaruose panašūs šratai medžioklei spaudžiami „žaliųjų“ šiandien iš tikrųjų nebenaudojami.
Plienas. Toks šovinys nedeformuojasi, o greičiau praranda greitį ir pažeidžia kiaurymę.
Karštai raudona. Tas pats šūvis yra švinas, bet į jį dedama alavo, arseno, stibio ar kokių nors kitų cheminių medžiagų.
Aprengtas. Švino šratai, padengti nikeliu arba vario nikeliu. Įjungta Šis momentas geriausias pagal charakteristikas ir brangiausias pasirinkimas rinkoje.

Skersmuo

Atminkite, kad klasifikacija pagal skersmenį skiriasi priklausomai nuo kilmės šalies (žemiau bus pateikta rusiška lentelė, o norint susipažinti su užsienio klasifikacija rekomenduojama remtis kilmės šalies pateiktomis medžiagomis).

Trupmenų numeracija Rusijos klasifikacijoje:

Dydis
Dalis 0000 (4/0) dydžio	5 mm skersmens
000 (3/0) dydžio	4,75 mm skersmuo
00 (2/0) dydis	4,5 mm skersmens
0 dydis	4,25 mm skersmuo
1 dydis	4 mm skersmens
2 dydis	3,75 mm skersmuo
3 dydis	3,5 mm skersmens
4 dydis	3,25 mm skersmuo
5 dydis	3 mm skersmens
6 dydis	2,75 mm skersmuo
7 dydis	2,5 mm skersmens
8 dydis	2,25 mm skersmuo
9 dydis	2mm skersmens
10 dydis	1,75 mm skersmens
11 dydis	1,50 mm skersmens
12 dydis	1,25 mm skersmens – mažiausias šūvis

Kaip pastebėsite, mažėjant dydžiui šios amunicijos milimetras sumažėja ketvirtadaliu (0,25) milimetro.

Ši klasifikacija yra per sudėtinga, todėl trupmeną galite rūšiuoti skirtingai:

Mažas (10-6 skaičius);
Vidutinis (5-1 skaičius);
Didelis(0, 00,000, 000);

Šūvis, šūvis ar kulka?

Daugelis naujų medžiotojų dažnai painioja šias sąvokas, todėl būtų malonu, kad skirtumas būtų akivaizdesnis:

Maži, centre esantys rutuliukai, kurių forma artima sferai. Puikiai tinka mažiems žaidimams.

Didesni nei 5 mm šoviniai (naudojami medžiojant stambesnius medžiojamus gyvūnus, pavyzdžiui, stirnas).

Pilno metalo sviedinys. Jų yra daug veislių, tačiau jie, kaip ir skroblai, naudojami stirnų, šernų ir kitų stambių medžiojamųjų gyvūnų medžioklei.

Kurį kadrą turėčiau naudoti kokiam žaidimui?

Daugelis medžiotojų klausia, ką (žąsį, teterviną, fazaną, kiškį, teterviną) reikia naikinti ir kokiais kiautais? Daugiau informacijos apie tai, kam ir kuo reikia smogti, rasite žemiau:

Nustatydami reikiamą šūvių skaičių atminkite, kad į žaidimą turėtų pataikyti apie 4-5 granulės, todėl šaudant į mažus taikinius (žąsį, antį, kiškį, fazaną, kurtinį) šaudymu geriausiu atveju Pataikys 1-2 granulės, vadinasi, liksite sužeistas. Kita vertus, jei šūvio kritimas vis tiek bus patenkintas, tada žvėriena (antis, tetervinas, tetervinas, fazanas, kiškis) bus tiesiog suplėšytas į gabalus ir praras visą savo vertę.

Kita vertus, jei šaudysite per mažus sviedinius, neprasiskverbsite pro tetervino ar žąsies plunksną, taip pat į stirnos odą, tad šaudysite veltui.

Kaip pagerinti kovos taiklumą medžiokliniais šūviais?

Daugelis žmonių klausia, kokia prasmė gaminti šovinius savo rankomis, jei yra geros parduotuvės pakabos? Jei gaminsite šratą namuose, jis bus daug pigesnis, net jei jis bus prastesnės kokybės nei gamyklinis. Be to, daugelis senųjų medžiotojų mieliau gamina šovinius (priklausomai nuo to, ką medžioja: teterviną, antį, teterviną, kiškį ar žąsį), kad įsitikintų kovos kokybe. Liejimo metu paprastai gaunami aukšti arba vidutiniai / dideli skaičiai. Švinas paimamas iš kabelio arba akumuliatoriaus laido (gnybtų) ir sumaišomas santykiu 1/3.

Yra įvairių būdų, kaip padaryti šratą namuose, tačiau visos galimybės yra susijusios su vienokiu ar kitokiu laipsniu. Štai vienas iš šių metodų:

Viskas prasideda nuo šautuvo štampai, kurį reikia padaryti vieną kartą, o tada naudoti visą gyvenimą. Tai atrodo kaip du metalo gabalai su grioveliais, kuriuos jungia vyriai su rankenomis. Abiejose pusėse darome įdubas įvairių dydžių granulės (nuo buckshot iki 2 numerio). Susidariusios pusrutulio formos įdubos yra sujungtos viena su kita grioveliais. Visi grioveliai, surinkti kartu, patenka į lataką. Kuo geriau padaryti grioveliai, tuo aukštesnė smūgio kokybė.
Į lataką pilame išlydytą šratinį šviną (pagal aukščiau pateiktą receptūrą), o išliejus granulės tiesiog metalinėmis žirklėmis nupjaunamos viena nuo kitos.

Pasiruošę! Prieš ką nors šaudant juo, rekomenduojama jį apvolioti ant šratinio volo, kitaip nukentės ugnies tikslumas ir nuotolis (sumedžioti stirną, teterviną, antį, žąsį ar teterviną – iš ko negalima kalbėti).

Gyvenime su trupmenomis susiduriame daug anksčiau, nei pradedame jas mokytis mokykloje. Jei visą obuolį perpjauname per pusę, gauname ½ vaisių. Supjaustykime dar kartą – bus ¼. Tai trupmenos. Ir viskas atrodė paprasta. Suaugusiam žmogui. Vaikui (o ši tema pradedama nagrinėti baigiant pradinę mokyklą) abstrakčios matematinės sąvokos vis dar bauginančiai nesuprantamos, o mokytojas turi aiškiai paaiškinti, kas yra tinkama ir netinkama trupmena, bendroji ir dešimtainė, kokias operacijas galima atlikti. su jais ir, svarbiausia, kam viso to reikia.

Kas yra trupmenos?

Naujos temos įvedimas mokykloje pradedamas nuo paprastųjų trupmenų. Juos nesunku atpažinti iš horizontalios linijos, skiriančios du skaičius – viršuje ir apačioje. Viršutinė vadinama skaitikliu, o apatinė – vardikliu. Taip pat yra mažųjų raidžių parinktis, skirta rašyti netinkamas ir tinkamas paprastas trupmenas - per pasvirąjį brūkšnį, pavyzdžiui: ½, 4/9, 384/183. Ši parinktis naudojama, kai linijos aukštis yra ribotas ir negalima naudoti „dviejų aukštų“ įvesties formos. Kodėl? Taip, nes taip patogiau. Tai pamatysime šiek tiek vėliau.

Be paprastųjų trupmenų, yra ir dešimtainių trupmenų. Juos atskirti labai paprasta: jei vienu atveju naudojamas horizontalus arba pasvirasis brūkšnys, kitu skaičių sekoms atskirti naudojamas kablelis. Pažiūrėkime į pavyzdį: 2,9; 163,34; 1.953. Skaičiams atskirti tyčia naudojome kabliataškį kaip skyriklį. Pirmasis iš jų skambės taip: „du taškai devyni“.

Naujos koncepcijos

Grįžkime prie paprastųjų trupmenų. Jie būna dviejų tipų.

Tinkamos trupmenos apibrėžimas yra toks: tai trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Kodėl tai svarbu? Pamatysime dabar!

Turite kelis obuolius, perpjautus per pusę. Viso - 5 dalys. Kaip pasakytumėte: ar turite „du su puse“ ar „penki su puse“ obuolių? Žinoma, pirmasis variantas skamba natūraliau, ir mes jį naudosime kalbėdami su draugais. Bet jei reikia paskaičiuoti, kiek vaisių gaus kiekvienas žmogus, jei įmonėje yra penki žmonės, užrašysime skaičių 5/2 ir padalinsime iš 5 - matematiniu požiūriu tai bus aiškiau .

Taigi, norint pavadinti tinkamas ir netinkamas trupmenas, galioja tokia taisyklė: jei trupmenoje galima išskirti visą dalį (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), tai ji yra netaisyklinga. Jei to negalima padaryti, kaip ½, 13/16, 9/10 atveju, tai bus teisinga.

Pagrindinė trupmenos savybė

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis vienu metu dauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, jo reikšmė nesikeičia. Įsivaizduokite: jie supjaustė pyragą į 4 lygias dalis ir davė jums vieną. Tą patį pyragą jie supjaustė į aštuonias dalis ir davė jums dvi. Ar tai tikrai svarbu? Juk ¼ ir 2/8 yra tas pats!

Sumažinimas

Matematikos vadovėliuose pateikiamų problemų ir pavyzdžių autoriai dažnai siekia suklaidinti mokinius, siūlydami trupmenas, kurias sunku rašyti, bet iš tikrųjų galima sutrumpinti. Štai tinkamos trupmenos pavyzdys: 167/334, kuris, atrodytų, atrodo labai „baisus“. Bet iš tikrųjų galime parašyti kaip ½. Skaičius 334 dalijasi iš 167 be liekanos – atlikę šią operaciją gauname 2.

Mišrūs skaičiai

Netinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip mišrus skaičius. Tai yra tada, kai visa dalis pakeliama į priekį ir parašyta horizontalios linijos lygyje. Tiesą sakant, išraiška yra sumos forma: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 ir pan.

Norėdami išimti visą dalį, skaitiklį turite padalyti iš vardiklio. Likusią padalijimo dalį parašykite viršuje, virš linijos, o visą dalį - prieš išraišką. Taigi gauname dvi struktūrines dalis: sveiki vienetai + tinkama trupmena.

Taip pat galite atlikti atvirkštinę operaciją - norėdami tai padaryti, turite padauginti sveikojo skaičiaus dalį iš vardiklio ir pridėti gautą reikšmę prie skaitiklio. Nieko sudėtingo.

Daugyba ir dalyba

Kaip bebūtų keista, trupmenas dauginti yra lengviau nei sudėti. Viskas, ko reikia, yra išplėsti horizontalią liniją: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Dalijant viskas taip pat paprasta: reikia padauginti trupmenas skersai: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Trupmenų pridėjimas

Ką daryti, jei reikia atlikti sudėjimą arba jų vardiklis yra skirtingi skaičiai? Nepavyks daryti to paties, kaip dauginant - čia turėtumėte suprasti tinkamos trupmenos apibrėžimą ir jos esmę. Būtina suvesti terminus į bendrą vardiklį, tai yra, apatinėje abiejų trupmenų dalyje turi būti vienodi skaičiai.

Norėdami tai padaryti, turėtumėte naudoti pagrindinę trupmenos savybę: padauginkite abi dalis iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kaip pasirinkti, į kurį vardiklį sumažinti terminus? Tai turi būti mažiausias skaičius, kuris yra abiejų skaičių kartotinis trupmenų vardikliuose: 1/3 ir 1/9 jis bus 9; ½ ir 1/7 - 14, nes nėra mažesnės vertės, dalijamos iš 2 ir 7 be liekanos.

Naudojimas

Kam naudojamos netinkamos trupmenos? Juk daug patogiau iš karto išsirinkti visą dalį, gauti mišrų skaičių – ir viskas! Pasirodo, jei reikia padauginti ar padalyti dvi trupmenas, naudingiau naudoti netaisyklingas.

Paimkime tokį pavyzdį: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Atrodytų, išvis nėra ką kirpti. Bet ką daryti, jei pridėjimo rezultatą pirmuose skliausteliuose parašytume kaip netinkama trupmena? Žiūrėkite: (37/17) / (37/68)

Dabar viskas stoja į savo vietas! Parašykime pavyzdį taip, kad viskas taptų akivaizdu: (37*68) / (17*37).

Panaikinkime 37 skaitiklyje ir vardiklyje ir galiausiai padalinkime viršutinę ir apatinę dalį iš 17. Ar prisimenate pagrindinę taisyklę dėl tinkamų ir netinkamų trupmenų? Mes galime juos padauginti ir padalyti iš bet kurio skaičiaus, jei tai darome skaitikliui ir vardikliui tuo pačiu metu.

Taigi, gauname atsakymą: 4. Pavyzdys atrodė sudėtingas, tačiau atsakyme yra tik vienas skaičius. Tai dažnai nutinka matematikoje. Svarbiausia nebijoti ir laikytis paprastų taisyklių.

Daznos klaidos

Įgyvendindamas mokinys gali lengvai padaryti vieną iš dažniausiai pasitaikančių klaidų. Dažniausiai jie atsiranda dėl neatidumo, o kartais ir dėl to, kad tiriama medžiaga dar nebuvo tinkamai sukaupta galvoje.

Dažnai skaičių suma skaitiklyje sukelia norą sumažinti atskirus jo komponentus. Tarkime, pavyzdyje: (13 + 2) / 13, parašyta be skliaustų (su horizontalia linija), daugelis studentų dėl nepatyrimo išbraukia 13 aukščiau ir žemiau. Tačiau tai neturėtų būti daroma jokiomis aplinkybėmis, nes tai yra didelė klaida! Jei vietoj sudėjimo būtų daugybos ženklas, atsakyme gautume skaičių 2. Bet atliekant sudėjimą, neleidžiami jokie veiksmai su vienu iš narių, tik su visa suma.

Vaikinai taip pat dažnai klysta dalindami trupmenas. Paimkime dvi tinkamas neredukuojamas trupmenas ir padalinkime viena iš kitos: (5/6) / (25/33). Mokinys gali sumaišyti ir parašyti gautą išraišką kaip (5*25) / (6*33). Bet taip atsitiktų dauginant, bet mūsų atveju viskas bus kiek kitaip: (5*33) / (6*25). Sumažiname tai, kas įmanoma, ir atsakymas bus 11/10. Gautą neteisingą trupmeną rašome dešimtainiu – 1,1.

Skliausteliuose

Atminkite, kad bet kurioje matematinėje išraiškoje operacijų eiliškumą lemia operacijos ženklų pirmenybė ir skliaustų buvimas. Jei visi kiti dalykai yra vienodi, veiksmų tvarka skaičiuojama iš kairės į dešinę. Tai pasakytina ir apie trupmenas – išraiška skaitiklyje arba vardiklyje apskaičiuojama griežtai pagal šią taisyklę.

Juk tai vieno skaičiaus padalijimo iš kito rezultatas. Jei jie nėra tolygiai padalinti, tai tampa trupmena – tiek.

Kaip kompiuteryje parašyti trupmeną

Kadangi standartiniai įrankiai ne visada leidžia sukurti trupmeną, susidedančią iš dviejų „pakopų“, studentai kartais griebiasi įvairių gudrybių. Pavyzdžiui, jie nukopijuoja skaitiklius ir vardiklius į "Paint" grafinį redaktorių ir suklijuoja juos, nubrėždami tarp jų horizontalią liniją. Žinoma, yra ir paprastesnis variantas, kuris, beje, suteikia daug papildomų funkcijų, kurios jums pravers ateityje.

Atidarykite „Microsoft Word“. Viena iš ekrano viršuje esančių skydelių vadinama „Įterpti“ – spustelėkite ją. Dešinėje, toje pusėje, kur yra lango uždarymo ir sumažinimo piktogramos, yra mygtukas „Formulė“. Tai yra būtent tai, ko mums reikia!

Jei naudosite šią funkciją, ekrane atsiras stačiakampė sritis, kurioje galėsite naudoti bet kokius matematinius ženklus, kurių nėra klaviatūroje, taip pat rašyti trupmenas klasikine forma. Tai yra, skaitiklio ir vardiklio padalijimas horizontalia linija. Galbūt net nustebsite, kad tokią tinkamą trupmeną taip lengva užrašyti.

Išmok matematikos

Jei esate 5–6 klasėse, netrukus matematikos žinių (įskaitant gebėjimą dirbti su trupmenomis!) prireiks daugelyje. mokykliniai dalykai. Beveik bet kurioje fizikos užduotyje, matuojant medžiagų masę chemijoje, geometrijoje ir trigonometrijoje, neapsieisite be trupmenų. Netrukus išmoksite viską skaičiuoti mintyse, net nerašydami posakių ant popieriaus, bet vis daugiau sudėtingų pavyzdžių. Todėl sužinokite, kas yra tinkama trupmena ir kaip su ja dirbti, neatsilikti mokymo planas, atlikite namų darbus laiku ir jums pavyks.

Paprastoji trupmena

Ketvirčiai

Tvarkingumas. a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai identifikuoti vieną ir tik vieną iš trijų santykių tarp jų: “< », « >" arba " = ". Ši taisyklė vadinama užsakymo taisyklė ir yra suformuluotas taip: du neneigiami skaičiai ir yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip du sveikieji skaičiai ir ; du neteigiami skaičiai a Ir b yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir du neneigiami skaičiai ir ; jei staiga a ne neigiamas, bet b- Tada neigiamai a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Trupmenų pridėjimas
Papildymo operacija. Bet kokiems racionaliems skaičiams a Ir b yra vadinamasis sumavimo taisyklė c. Be to, pats skaičius c paskambino suma numeriai a Ir b ir žymimas , ir vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas sumavimas. Sumavimo taisyklė turi tokią formą: .
Daugybos operacija. Bet kokiems racionaliems skaičiams a Ir b yra vadinamasis daugybos taisyklė, kuris jiems priskiria tam tikrą racionalų skaičių c. Be to, pats skaičius c paskambino dirbti numeriai a Ir b ir žymimas , taip pat vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas daugyba. Daugybos taisyklė atrodo taip: .
Užsakymo santykio tranzityvumas. Bet kuriam racionaliųjų skaičių trigubui a , b Ir c Jeigu a mažiau b Ir b mažiau c, Tai a mažiau c, ir jeigu a lygus b Ir b lygus c, Tai a lygus c. 6435">Sudėties komutaciškumas. Pakeitus racionalių terminų vietas, suma nekeičiama.
Papildymo asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių, kai pridedamas.
Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, kurį pridėjus gaunamas 0.
Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.
Daugybos asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
Vieneto prieinamumas. Yra racionalusis skaičius 1, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių padauginus.
Abipusių skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, kurį padauginus iš gaunamas 1.
Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu. Daugybos operacija derinama su sudėjimo operacija pagal paskirstymo dėsnį:
Užsakymo santykio ryšys su papildymo operacija.Į kairę ir dešinioji pusė Norėdami gauti racionalią nelygybę, galite pridėti tą patį racionalųjį skaičių. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Archimedo aksioma. Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, galite paimti tiek vienetų, kad jų suma viršytų a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Papildomos savybės

Visos kitos racionaliesiems skaičiams būdingos savybės nėra išskiriamos kaip pagrindinės, nes paprastai jos nebėra tiesiogiai pagrįstos sveikųjų skaičių savybėmis, o gali būti įrodytos remiantis nurodytomis pagrindinėmis savybėmis arba tiesiogiai apibrėžiant kokį nors matematinį objektą. . Toks papildomos savybės tiek daug. Tikslinga čia išvardyti tik keletą iš jų.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Aibės skaičiuojamumas

Racionaliųjų skaičių numeracija

Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių.

Paprasčiausias iš šių algoritmų atrodo taip. Kiekviename yra sudaryta begalinė paprastųjų trupmenų lentelė i- kiekvienoje eilutėje j stulpelis, kurio trupmena yra. Aiškumo dėlei daroma prielaida, kad šios lentelės eilutės ir stulpeliai yra sunumeruoti pradedant nuo vieno. Lentelės langeliai žymimi , kur i- lentelės eilutės, kurioje yra langelis, numeris ir j- stulpelio numeris.

Gauta lentelė perkeliama naudojant „gyvatę“ pagal šį formalų algoritmą.

Šios taisyklės ieškomos iš viršaus į apačią ir pagal pirmąsias rungtynes pasirenkama kita pozicija.

Tokio perėjimo procese kiekvienas naujas racionalus skaičius susiejamas su kitu natūralusis skaičius. Tai yra, trupmena 1/1 priskiriama skaičiui 1, trupmena 2/1 – skaičiui 2 ir tt Reikia pažymėti, kad numeruojamos tik neredukuojamos trupmenos. Formalus neredukuojamumo požymis yra tas, kad didžiausias bendrasis trupmenos skaitiklio ir vardiklio daliklis yra lygus vienetui.

Vadovaudamiesi šiuo algoritmu, galime surašyti visus teigiamus racionalius skaičius. Tai reiškia, kad teigiamų racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Nesunku nustatyti bijekciją tarp teigiamų ir neigiamų racionaliųjų skaičių aibių, tiesiog kiekvienam racionaliajam skaičiui priskiriant priešingą. Tai. neigiamų racionaliųjų skaičių aibė taip pat yra skaičiuojama. Jų sąjunga taip pat skaičiuojama pagal skaičiuojamų aibių savybę. Racionaliųjų skaičių aibė taip pat skaičiuojama kaip skaičiuojamos aibės sąjunga su baigtiniu.

Teiginys apie racionaliųjų skaičių aibės skaičiuojamumą gali sukelti tam tikrą painiavą, nes iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad ji yra daug platesnė nei natūraliųjų skaičių aibė. Tiesą sakant, taip nėra ir yra pakankamai natūraliųjų skaičių, kad būtų galima surašyti visus racionalius.

Racionalių skaičių trūkumas

Tokio trikampio hipotenuzė negali būti išreikšta jokiu racionaliu skaičiumi

1 formos racionalieji skaičiai / n laisvėje n galima išmatuoti savavališkai mažus kiekius. Šis faktas sukuria klaidinantį įspūdį, kad racionalūs skaičiai gali būti naudojami bet kokiems geometriniams atstumams matuoti. Nesunku parodyti, kad tai netiesa.

Iš Pitagoro teoremos žinome, kad stačiojo trikampio hipotenuzė išreiškiama kaip kvadratinė šaknis iš jo kojų kvadratų sumos. Tai. lygiašonio stačiojo trikampio su vienetine kojele hipotenuzės ilgis lygus , t.y. skaičiui, kurio kvadratas yra 2.

Jei darysime prielaidą, kad skaičių galima pavaizduoti kokiu nors racionaliu skaičiumi, tai yra toks sveikasis skaičius m ir toks natūralusis skaičius n, kad , o trupmena yra neredukuojama, t.y. skaičiai m Ir n- abipusiai paprasta.

Jei tada , t.y. m 2 = 2n 2. Todėl skaičius m 2 yra lyginis, bet dviejų nelyginių skaičių sandauga yra nelyginė, o tai reiškia, kad pats skaičius m taip pat net. Taigi yra natūralusis skaičius k, kad numeris m gali būti pavaizduotas formoje m = 2k. Skaičių kvadratas mŠia prasme m 2 = 4k 2, bet kita vertus m 2 = 2n 2 reiškia 4 k 2 = 2n 2, arba n 2 = 2k 2. Kaip parodyta anksčiau su numeriu m, tai reiškia, kad skaičius n- net kaip m. Bet tada jie nėra palyginti pagrindiniai, nes abu yra padalinti į dvi dalis. Gautas prieštaravimas įrodo, kad tai nėra racionalus skaičius.

Trupmenos

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Vidurinėje mokykloje trupmenos nėra daug nepatogumų. Kol kas. Kol nesusidursite su galiomis su racionaliais rodikliais ir logaritmais. Ir ten... Paspaudžiate ir spaudžiate skaičiuotuvą ir rodomas visas kai kurių skaičių ekranas. Galvoti reikia kaip trečioje klasėje.

Pagaliau išsiaiškinkime trupmenas! Na, kiek galima juose susipainioti!? Be to, viskas paprasta ir logiška. Taigi, kokios yra trupmenų rūšys?

Trupmenų rūšys. Transformacijos.

Yra trijų tipų trupmenos.

1. Paprastosios trupmenos , Pavyzdžiui:

Kartais vietoj horizontalios linijos dedamas pasvirasis brūkšnys: 1/2, 3/4, 19/5, gerai ir pan. Čia mes dažnai vartosime šią rašybą. Skambinama aukščiausiu numeriu skaitiklis, apatinis - vardiklis. Jei nuolat painiojate šiuos pavadinimus (taip atsitinka...), pasakykite sau frazę: " Zzzzz Prisiminti! Zzzzz vardiklis – žiūrėk zzzzz oh!" Žiūrėkite, viskas bus zzzz prisiminta.)

Brūkšnys, horizontalus arba pasviręs, reiškia padalinys nuo viršutinio skaičiaus (skaitiklio) iki apatinio (vardiklio). Tai viskas! Vietoj brūkšnio visiškai įmanoma įdėti padalijimo ženklą - du taškus.

Kai įmanomas visiškas padalijimas, tai reikia padaryti. Taigi, vietoj trupmenos „32/8“ daug maloniau rašyti skaičių „4“. Tie. 32 tiesiog padalintas iš 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Aš net nekalbu apie trupmeną „4/1“. Kuris taip pat yra tik „4“. Ir jei jis nėra visiškai dalinamas, paliekame jį kaip trupmeną. Kartais reikia atlikti priešingą operaciją. Paverskite sveiką skaičių į trupmeną. Bet apie tai vėliau.

2. Dešimtainės , Pavyzdžiui:

Būtent šioje formoje turėsite užsirašyti atsakymus į užduotis „B“.

3. Mišrūs skaičiai , Pavyzdžiui:

Mišrūs skaičiai vidurinėje mokykloje praktiškai nenaudojami. Norint su jais dirbti, jie turi būti paversti įprastomis trupmenomis. Bet jūs tikrai turite sugebėti tai padaryti! Priešingu atveju jūs susidursite su tokiu numeriu problemoje ir sustingsite... Iš niekur. Bet mes prisiminsime šią procedūrą! Šiek tiek žemiau.

Pats universaliausias bendrosios trupmenos. Pradėkime nuo jų. Beje, jei trupmenoje yra visokių logaritmų, sinusų ir kitokių raidžių, tai nieko nekeičia. Ta prasme, kad viskas veiksmai su trupmenomis nesiskiria nuo veiksmų su paprastosiomis trupmenomis!

Pagrindinė trupmenos savybė.

Taigi, eime! Visų pirma, aš jus nustebinsiu. Visą trupmenų transformacijų įvairovę suteikia viena nuosavybė! Taip ir vadinasi pagrindinė trupmenos savybė. Prisiminti: Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami (padalinami) iš to paties skaičiaus, trupmena nesikeičia. Tie:

Aišku, kad galima toliau rašyti, kol pamėlyna. Neleiskite sinusams ir logaritmams jūsų suklaidinti, mes su jais nagrinėsime toliau. Svarbiausia suprasti, kad visos šios įvairios išraiškos yra ta pati trupmena . 2/3.

Ar mums to reikia, visos šios transformacijos? Ir kaip! Dabar pamatysite patys. Pirmiausia naudokime pagrindinę trupmenos savybę redukuojančios frakcijos. Atrodytų, elementarus dalykas. Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus ir viskas! Neįmanoma suklysti! Bet... žmogus yra kurianti būtybė. Klysti galite bet kur! Ypač jei reikia sumažinti ne trupmeną kaip 5/10, o trupmeninę išraišką su visokiomis raidėmis.

Kaip teisingai ir greitai sumažinti trupmenas neatliekant papildomo darbo, skaitykite specialiame 555 skyriuje.

Normalus mokinys nesivargina skaitiklio ir vardiklio dalyti iš to paties skaičiaus (arba išraiškos)! Jis tiesiog perbraukia viską, kas yra tas pats aukščiau ir apačioje! Čia jis slypi tipiška klaida, blooper, jei norite.

Pavyzdžiui, jums reikia supaprastinti išraišką:

Čia nėra ko galvoti, perbraukite raidę "a" viršuje ir dvi apačioje! Mes gauname:

Viskas teisinga. Bet iš tikrųjų jūs pasidalinote visi skaitiklis ir visi vardiklis yra "a". Jei esate įpratę tiesiog perbraukti, tada paskubėdami galite išbraukti posakyje „a“.

ir vėl gauk

Kas būtų kategoriška netiesa. Nes čia visi skaitiklis ant "a" jau yra nepasidalinta! Šios dalies sumažinti negalima. Beje, toks sumažinimas – hm... rimtas iššūkis mokytojui. Tai neatleista! Ar prisimeni? Mažinant reikia padalinti visi skaitiklis ir visi vardiklis!

Sumažinus trupmenas gyvenimas tampa daug lengvesnis. Kažkur gausite trupmeną, pavyzdžiui, 375/1000. Kaip aš galiu toliau dirbti su ja dabar? Be skaičiuotuvo? Padaugink, tarkim, pridėk, kvadratu!? O jei netingi, ir atsargiai sumažink jį penkiais, dar penkiais, ir net... kol trumpinama, trumpai tariant. Gaukime 3/8! Daug gražiau, tiesa?

Pagrindinė trupmenos savybė leidžia paprastąsias trupmenas konvertuoti į dešimtaines ir atvirkščiai be skaičiuotuvo! Tai svarbu vieningam valstybiniam egzaminui, tiesa?

Kaip paversti trupmenas iš vienos rūšies į kitą.

Su dešimtainėmis trupmenomis viskas paprasta. Kaip girdima, taip ir parašyta! Tarkime, 0,25. Tai yra nulis dvidešimt penkių šimtųjų dalių. Taigi rašome: 25/100. Sumažiname (skaitiklį ir vardiklį padalijame iš 25), gauname įprastą trupmeną: 1/4. Visi. Taip atsitinka, ir nieko nesumažėja. Kaip 0,3. Tai trys dešimtosios, t.y. 3/10.

Ką daryti, jei sveikieji skaičiai nėra nuliai? Viskas gerai. Užrašome visą trupmeną be jokių kablelių skaitiklyje, o vardiklyje – tai, kas išgirsta. Pavyzdžiui: 3.17. Tai yra trys taškai septyniolika šimtųjų dalių. Skaitiklyje rašome 317, o vardiklyje 100. Gauname 317/100. Niekas nesumažėja, tai reiškia viską. Tai yra atsakymas. Elementarus Vatsonas! Iš viso to, kas pasakyta, naudinga išvada: bet kurią dešimtainę trupmeną galima konvertuoti į paprastąją trupmeną .

Tačiau kai kurie žmonės negali atlikti atvirkštinio konvertavimo iš paprasto į dešimtainį skaičių be skaičiuotuvo. Ir tai būtina! Kaip surašysite atsakymą į vieningą valstybinį egzaminą!? Atidžiai perskaitykite ir įvaldykite šį procesą.

Kokia yra dešimtainės trupmenos charakteristika? Jos vardiklis yra Visada kainuoja 10, 100, 1000, 10 000 ir pan. Jei jūsų bendroji trupmena turi tokį vardiklį, nėra jokių problemų. Pavyzdžiui, 4/10 = 0,4. Arba 7/100 = 0,07. Arba 12/10 = 1,2. Ką daryti, jei „B“ skyriaus užduoties atsakymas buvo 1/2? Ką rašysime atsakydami? Reikalingi dešimtainiai...

Prisiminkime pagrindinė trupmenos savybė ! Matematika palankiai leidžia padauginti skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus. Bet ko, beje! Žinoma, išskyrus nulį. Taigi išnaudokime šią nuosavybę savo naudai! Iš ko galima padauginti vardiklį, t.y. 2, kad jis taptų 10, ar 100, arba 1000 (žinoma, kad mažesnis geriau...)? 5, aišku. Nedvejodami padauginkite vardiklį (tai yra mus būtina) iš 5. Bet tada skaitiklį taip pat reikia padauginti iš 5. Tai jau yra matematikos poreikiai! Gauname 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Tai viskas.

Tačiau visokių vardiklių pasitaiko. Jūs susidursite, pavyzdžiui, trupmeną 3/16. Pabandykite ir sugalvokite, iš ko padauginti 16, kad gautumėte 100 ar 1000... Ar tai neveikia? Tada galite tiesiog padalinti 3 iš 16. Jei nėra skaičiuoklės, teks dalyti kampu, ant popieriaus lapo, kaip mokė pradinėje mokykloje. Gauname 0,1875.

Ir yra labai blogų vardklių. Pavyzdžiui, nėra galimybės trupmenos 1/3 paversti geru dešimtainiu. Ir ant skaičiuotuvo, ir ant popieriaus lapo gauname 0,3333333... Tai reiškia, kad 1/3 yra tiksli dešimtainė trupmena neverčia. Tas pats kaip 1/7, 5/6 ir pan. Jų daug, neišverčiamų. Tai atveda mus prie kitos naudingos išvados. Ne kiekviena trupmena gali būti konvertuojama į dešimtainį skaičių !

Beje, šis naudingos informacijos savęs patikrinimui. Skiltyje „B“ savo atsakyme turite užrašyti dešimtainę trupmeną. Ir jūs gavote, pavyzdžiui, 4/3. Ši trupmena nekonvertuojama į dešimtainę dalį. Tai reiškia, kad kažkur pakeliui padarėte klaidą! Grįžkite ir patikrinkite sprendimą.

Taigi, mes išsiaiškinome paprastas ir dešimtaines trupmenas. Belieka susidoroti su mišriais skaičiais. Norint dirbti su jais, jie turi būti paversti įprastomis trupmenomis. Kaip tai padaryti? Galite pagauti šeštoką ir jo paklausti. Tačiau šeštokas ne visada bus po ranka... Turėsite tai padaryti patys. Tai nėra sunku. Trupmeninės dalies vardiklį reikia padauginti iš visos dalies ir pridėti trupmeninės dalies skaitiklį. Tai bus bendrosios trupmenos skaitiklis. O vardiklis? Vardiklis išliks toks pat. Skamba sudėtingai, bet iš tikrųjų viskas paprasta. Pažiūrėkime į pavyzdį.

Tarkime, kad išsigandote pamatę problemos numerį:

Ramiai, be panikos, galvojame. Visa dalis yra 1. Vienetas. Trupmeninė dalis yra 3/7. Todėl trupmeninės dalies vardiklis yra 7. Šis vardiklis bus paprastosios trupmenos vardiklis. Skaičiuojame skaitiklį. 7 padauginame iš 1 (sveikoji dalis) ir pridedame 3 (trumposios dalies skaitiklis). Gauname 10. Tai bus bendrosios trupmenos skaitiklis. Tai viskas. Tai atrodo dar paprasčiau matematiškai:

Ar aišku? Tada užsitikrinkite savo sėkmę! Konvertuoti į paprastas trupmenas. Turėtumėte gauti 10/7, 7/2, 23/10 ir 21/4.

Atvirkštinis veiksmas – netinkamos trupmenos konvertavimas į mišrų skaičių – retai reikalingas vidurinėje mokykloje. Na, jei taip... O jei nesate vidurinėje mokykloje, galite pažvelgti į specialų 555 skyrių. Beje, ten sužinosite ir apie netinkamąsias trupmenas.

Na, tai praktiškai viskas. Jūs prisiminėte trupmenų tipus ir supratote Kaip perkelti juos iš vienos rūšies į kitą. Klausimas išlieka: Kam daryk? Kur ir kada pritaikyti šias gilias žinias?

Aš atsakau. Bet koks pavyzdys pats savaime rodo būtinus veiksmus. Jei pavyzdyje paprastosios trupmenos, dešimtainės dalys ir net mišrūs skaičiai, viską paverčiame paprastosiomis trupmenomis. Tai visada galima padaryti. Na, o jei parašyta kažkas panašaus į 0,8 + 0,3, tai mes skaičiuojame taip, be jokio vertimo. Kodėl mums reikia papildomo darbo? Mes pasirenkame patogų sprendimą mus !

Jei užduotis yra visos po kablelio trupmenos, bet hm... kažkokios blogos, eikite į paprastas ir pabandykite! Žiūrėk, viskas susitvarkys. Pavyzdžiui, skaičių 0,125 turėsite paversti kvadratu. Tai nėra taip paprasta, jei nesate įpratę naudotis skaičiuokle! Reikia ne tik padauginti skaičius stulpelyje, bet ir pagalvoti, kur dėti kablelį! Tai tikrai neveiks jūsų galvoje! O kas, jei pereitume prie paprastosios trupmenos?

0,125 = 125/1000. Sumažiname 5 (pradedant). Gauname 25/200. Dar kartą iki 5. Gauname 5/40. O, vis dar mažėja! Grįžti į 5! Gauname 1/8. Mes lengvai jį kvadratu (galvoje!) ir gauname 1/64. Viskas!

Apibendrinkime šią pamoką.

1. Yra trijų tipų trupmenos. Bendrieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai.

2. Dešimtainės ir mišrūs skaičiai Visada galima konvertuoti į paprastąsias trupmenas. Atvirkštinis perkėlimas ne visada prieinama.

3. Trupmenų tipo pasirinkimas darbui su užduotimi priklauso nuo pačios užduoties. Dalyvaujant skirtingi tipai trupmenos vienoje užduotyje, patikimiausias dalykas yra pereiti prie įprastų trupmenų.

Dabar galite treniruotis. Pirmiausia konvertuokite šias dešimtaines trupmenas į įprastas trupmenas:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Turėtumėte gauti tokius atsakymus (netvarkoje!):

Užbaikime tai. Šioje pamokoje atnaujinome atmintį Pagrindiniai klausimai trupmenomis. Tačiau būna, kad nėra ko ypatingai atsigaivinti...) Jei kas visiškai pamiršo, ar dar neįvaldė... Tada galite eiti į specialų 555 skyrių. Ten išsamiai aprašyti visi pagrindai. Daugelis staiga viską suprasti prasideda. Ir jie greitai išsprendžia trupmenas).

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Trupmenos skaitiklis ir vardiklis. Trupmenų rūšys. Toliau žiūrėkime į trupmenas. Pirma, mažas atsisakymas – kol svarstome trupmenas ir atitinkamus jų pavyzdžius, kol kas dirbsime tik su skaitiniu jo vaizdavimu. Taip pat yra trupmeninių raidžių išraiškų (su skaičiais ir be jų).Tačiau jiems taip pat galioja visi „principai“ ir taisyklės, tačiau apie tokius posakius kalbėsime atskirai ateityje. Rekomenduoju apsilankyti ir žingsnis po žingsnio pastudijuoti (prisiminti) trupmenų temą.

Svarbiausia suprasti, prisiminti ir suvokti, kad TRUMPA yra SKAIČIUS!!!

Paprastoji trupmena yra formos skaičius:

Skaičius, esantis „viršuje“ (in tokiu atveju m) vadinamas skaitikliu, žemiau esantis skaičius (skaičius n) vadinamas vardikliu. Tie, kurie ką tik palietė temą, dažnai susimąsto, kaip jie tai vadina.

Štai gudrybė, kaip amžinai atsiminti, kur yra skaitiklis, o kur vardiklis. Ši technika siejamas su žodine-vaizdine asociacija. Įsivaizduokite stiklainį su drumzlinas vanduo. Yra žinoma, kad nusėdus vandeniui, švarus vanduo lieka viršuje, o drumstumas (nešvarumai) nusėda, atminkite:

CHISS tirpstantis vanduo AUKŠTYJE (CHISS litel top)

Grya Z33NN vanduo yra žemiau (ZNNNN amenatorius yra žemiau)

Taigi, kai tik iškilo poreikis prisiminti, kur yra skaitiklis, o kur vardiklis, iškart vaizdžiai įsivaizdavome nusistovėjusio vandens indelį su Tyras vanduo, ir žemiau purvinas vanduo. Yra ir kitų atminties gudrybių, jei jos jums padeda, tada gerai.

Paprastųjų trupmenų pavyzdžiai:

Ką reiškia horizontali linija tarp skaičių? Tai ne kas kita, kaip padalijimo ženklas. Pasirodo, dalybos veiksmo pavyzdžiu galima laikyti trupmeną. Šis veiksmas tiesiog įrašomas šioje formoje. Tai yra, viršutinis skaičius (skaitiklis) yra padalintas iš apatinio (vardiklio):

Be to, yra ir kita žymėjimo forma – trupmeną galima parašyti taip (per pasvirąjį brūkšnį):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 ir taip toliau...

Aukščiau pateiktas trupmenas galime parašyti taip:

Padalijimo rezultatas yra tai, kaip žinomas šis skaičius.

Mes tai išsiaiškinome – TAI TRUMPOS SKAIČIUS!!!

Kaip jau pastebėjote, bendrojoje trupmenoje skaitiklis gali būti mažesnis už vardiklį, gali būti didesnis už vardiklį ir gali būti jam lygus. Yra daug svarbius punktus, kurie yra intuityviai suprantami, be jokių teorinių patikslinimų. Pavyzdžiui:

1. 1 ir 3 trupmenas galima užrašyti kaip 0,5 ir 0,01. Šiek tiek pašokime į priekį – tai yra dešimtainės trupmenos, apie jas kalbėsime šiek tiek žemiau.

2. Iš 4 ir 6 trupmenų gaunamas sveikasis skaičius 45:9=5, 11:1 = 11.

3. 5 trupmena gaunasi viena 155:155 = 1.

Kokios išvados siūlo pačios? Kitas:

1. Skaitiklis, padalytas iš vardiklio, gali duoti baigtinį skaičių. Tai gali neveikti, padalinkite su 7 stulpeliu iš 13 arba 17 iš 11 – jokiu būdu! Galite skirstyti be galo, bet apie tai taip pat kalbėsime toliau.

2. Trupmenos rezultatas gali būti sveikas skaičius. Todėl bet kurį sveikąjį skaičių galime pavaizduoti kaip trupmeną, tiksliau, begalinę trupmenų seką, žiūrėk, visos šios trupmenos lygios 2:

Daugiau! Bet kurį sveikąjį skaičių visada galime parašyti trupmena – pats skaičius yra skaitiklyje, vienetas – vardiklyje:

3. Vienetą visada galime pavaizduoti kaip trupmeną su bet kokiu vardikliu:

*Šie taškai yra nepaprastai svarbūs dirbant su trupmenomis skaičiavimų ir transformacijų metu.

Trupmenų rūšys.

O dabar apie teorinį paprastųjų trupmenų padalijimą. Jie skirstomi į Teisingai ir neteisingai.

Trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, vadinama tinkama trupmena. Pavyzdžiai:

Trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus, vadinama netinkamąja trupmena. Pavyzdžiai:

Mišri frakcija(mišrus skaičius).

Mišri trupmena yra trupmena, parašyta kaip sveikas skaičius ir tinkama trupmena ir suprantama kaip šio skaičiaus ir jo trupmeninės dalies suma. Pavyzdžiai:

Mišrią trupmeną visada galima pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną ir atvirkščiai. Eikime toliau!

Dešimtainės trupmenos.

Mes jau palietėme juos aukščiau, tai yra (1) ir (3) pavyzdžiai, dabar išsamiau. Štai dešimtainių trupmenų pavyzdžiai: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Trupmena, kurios vardiklis yra 10 laipsnis, pvz., 10, 100, 1000 ir kt., vadinama dešimtaine dalimi. Pirmąsias tris nurodytas trupmenas nesunku parašyti įprastų trupmenų pavidalu:

Ketvirtasis yra mišri frakcija(mišrūs skaičiai):

Dešimtainė trupmena turi tokią formą - suprasideda visa dalis, tada sveikosios ir trupmeninės dalių skyriklis yra taškas arba kablelis, o tada trupmeninė dalis, trupmeninės dalies skaitmenų skaičius griežtai nustatomas pagal trupmeninės dalies matmenį: jei tai yra dešimtosios, trupmeninė dalis rašoma vienu skaitmeniu; jei tūkstantosios - trys; dešimt tūkstančių dalių – keturios ir kt.

Šios trupmenos gali būti baigtinės arba begalinės.

Dešimtainių trupmenų pabaigos pavyzdžiai: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.

Pavyzdžių yra begalė. Pavyzdžiui, skaičius Pi yra begalinis dešimtainis, daugiau – 0,333333333333…... 0,16666666666…. ir kiti. Taip pat skaičių 3, 5, 7 ir kt. šaknies ištraukimo rezultatas. bus begalinė trupmena.

Trupmeninė dalis gali būti ciklinė (joje yra ciklas), du aukščiau pateikti pavyzdžiai yra būtent tokie ir daugiau pavyzdžių:

0.123123123123…. ciklas 123

0.781781781718...... ciklas 781

0,0250102501… ciklas 02501

Jie gali būti parašyti kaip 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Skaičius Pi nėra ciklinė trupmena, kaip, pavyzdžiui, trijų šaknis.

Toliau pateiktuose pavyzdžiuose skambės tokie žodžiai, kaip „apversti“ trupmeną – tai reiškia, kad skaitiklis ir vardiklis yra sukeisti. Tiesą sakant, tokia trupmena turi pavadinimą – reciprokinę trupmeną. Abipusių trupmenų pavyzdžiai: