) ir vardiklį pagal vardiklį (gauname sandaugos vardiklį).

Trupmenų dauginimo formulė:

Pavyzdžiui:

Prieš pradėdami dauginti skaitiklius ir vardiklius, turite patikrinti, ar trupmeną galima sumažinti. Jei galite sumažinti trupmeną, jums bus lengviau atlikti tolesnius skaičiavimus.

Paprastosios trupmenos dalijimas iš trupmenos.

Trupmenų, susijusių su natūraliaisiais skaičiais, dalyba.

Tai nėra taip baisu, kaip atrodo. Kaip ir sudėjimo atveju, sveikąjį skaičių paverčiame trupmena, kurios vardiklyje yra vienas. Pavyzdžiui:

Mišrių trupmenų dauginimas.

Trupmenų (mišrių) dauginimo taisyklės:

• mišrias frakcijas paversti netinkamomis frakcijomis;
• trupmenų skaitiklius ir vardiklius dauginant;
• sumažinti frakciją;
• Jei gausite netinkamą trupmeną, tada netinkamą trupmeną paverčiame mišriąja trupmena.

Pastaba! Norėdami padauginti mišrią trupmeną iš kitos mišrios trupmenos, pirmiausia turite jas konvertuoti į netinkamų trupmenų formą, o tada padauginti pagal paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklę.

Antrasis būdas padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.

Gali būti patogiau naudoti antrąjį bendrosios trupmenos padauginimo iš skaičiaus metodą.

Pastaba! Norėdami padauginti trupmeną iš natūralusis skaičius Iš šio skaičiaus reikia padalyti trupmenos vardiklį, o skaitiklį palikti nepakeistą.

Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matyti, kad šią parinktį patogiau naudoti, kai trupmenos vardiklis be liekanos dalijamas iš natūraliojo skaičiaus.

Daugiaaukštės trupmenos.

Vidurinėje mokykloje dažnai susiduriama su trijų aukštų (ar daugiau) trupmenomis. Pavyzdys:

Kad tokia trupmena taptų įprasta forma, naudokite padalijimą iš 2 taškų:

Pastaba! Dalijant trupmenas labai svarbi dalybos tvarka. Būkite atsargūs, čia lengva susipainioti.

Pastaba, Pavyzdžiui:

Padalijus vieną iš bet kurios trupmenos, rezultatas bus ta pati trupmena, tik apversta:

Praktiniai patarimai, kaip dauginti ir dalyti trupmenas:

1. Svarbiausias dalykas dirbant su trupmeninėmis išraiškomis yra tikslumas ir atidumas. Atlikite visus skaičiavimus kruopščiai ir tiksliai, koncentruotai ir aiškiai. Geriau juodraštyje parašyk keletą papildomų eilučių, nei pasiklysti mintyse.

2. Užduotyse su skirtingi tipai trupmenos - eikite į paprastųjų trupmenų formą.

3. Sumažiname visas trupmenas, kol mažinti nebeįmanoma.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas paverčiame įprastinėmis, naudodami dalijimą per 2 taškus.

5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.

Paskutinį kartą išmokome sudėti ir atimti trupmenas (žr. pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“). Dauguma sunkus momentasšie veiksmai buvo susiję su trupmenų suvedimu į bendrą vardiklį.

Dabar atėjo laikas spręsti daugybos ir dalybos klausimus. Geros naujienos yra tai, kad šios operacijos yra dar paprastesnės nei sudėjimas ir atėmimas. Pirma, pažiūrėkime paprasčiausias atvejis, kai yra dvi teigiamos trupmenos be atskirtos sveikojo skaičiaus dalies.

Norėdami padauginti dvi trupmenas, jų skaitiklius ir vardiklius turite padauginti atskirai. Pirmasis skaičius bus naujos trupmenos skaitiklis, o antrasis – vardiklis.

Norėdami padalyti dvi trupmenas, turite padauginti pirmąją trupmeną iš „apverstos“ antrosios trupmenos.

Pavadinimas:

Iš apibrėžimo matyti, kad trupmenų padalijimas redukuojasi iki daugybos. Norėdami „apversti“ trupmeną, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Todėl per visą pamoką daugiausia svarstysime daugybą.

Dėl dauginimo gali atsirasti redukuojama trupmena (ir dažnai atsiranda) - ją, žinoma, reikia sumažinti. Jei po visų sumažinimų trupmena pasirodė neteisinga, reikia paryškinti visą dalį. Tačiau dauginant tikrai nepavyks, tai sumažinimas iki bendro vardiklio: jokių kryžminių metodų, didžiausių veiksnių ir mažiausiai bendrų kartotinių.

Pagal apibrėžimą turime:

Trupmenų dauginimas iš sveikųjų dalių ir neigiamų trupmenų

Jei trupmenose yra sveikoji dalis, jas reikia konvertuoti į netinkamas ir tik tada padauginti pagal aukščiau pateiktas schemas.

Jei trupmenos skaitiklyje, vardiklyje arba prieš jį yra minusas, jį galima išimti iš daugybos arba iš viso pašalinti pagal šias taisykles:

1. Plius prie minuso duoda minusą;
2. Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Iki šiol su šiomis taisyklėmis susidurdavo tik sudėjus ir atimant. neigiamos trupmenos kai reikėjo atsikratyti visos dalies. Kūriniui juos galima apibendrinti, kad vienu metu būtų „sudeginti“ keli trūkumai:

1. Neiginius perbraukiame poromis, kol jie visiškai išnyks. IN kaip paskutinė priemonė, gali išgyventi vienas minusas – tas, kuriam nebuvo poros;
2. Jei minusų neliks, operacija baigta – galima pradėti dauginti. Jei paskutinis minusas nenubrauktas, nes jam nebuvo poros, išimame jį už daugybos ribų. Rezultatas yra neigiama trupmena.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Visas trupmenas paverčiame netinkamomis, o tada iš daugybos išimame minusus. Tai, kas liko, padauginame pagal įprastas taisykles. Mes gauname:

Dar kartą priminsiu, kad minusas, esantis prieš trupmeną su paryškinta visa dalimi, konkrečiai reiškia visą trupmeną, o ne tik visą jos dalį (tai taikoma dviem paskutiniams pavyzdžiams).

Taip pat atkreipkite dėmesį neigiami skaičiai: Dauginant jie rašomi skliausteliuose. Tai daroma siekiant atskirti minusus nuo daugybos ženklų ir padaryti visą žymėjimą tikslesnį.

Dalių mažinimas skrydžio metu

Daugyba yra labai daug darbo reikalaujanti operacija. Skaičiai čia yra gana dideli, o norėdami supaprastinti problemą, galite pabandyti dar labiau sumažinti trupmeną prieš dauginimą. Iš tiesų, iš esmės trupmenų skaitikliai ir vardikliai yra įprasti veiksniai, todėl juos galima sumažinti naudojant pagrindinę trupmenos savybę. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pagal apibrėžimą turime:

Visuose pavyzdžiuose raudonai pažymėti skaičiai, kurie buvo sumažinti ir kas iš jų liko.

Atkreipkite dėmesį: pirmuoju atveju daugikliai buvo visiškai sumažinti. Vietoj jų lieka vienetai, kurių paprastai nereikia rašyti. Antrame pavyzdyje nebuvo įmanoma pasiekti visiško sumažinimo, tačiau bendra skaičiavimų suma vis tiek sumažėjo.

Tačiau niekada nenaudokite šios technikos pridėdami ir atimdami trupmenas! Taip, kartais būna panašių skaičių, kuriuos tiesiog norisi sumažinti. Štai, žiūrėk:

Jūs negalite to padaryti!

Klaida atsiranda todėl, kad sudėjus trupmenos skaitiklis sukuria sumą, o ne skaičių sandaugą. Todėl neįmanoma taikyti pagrindinės trupmenos savybės, nes šioje savybėje mes kalbame apie konkrečiai apie skaičių dauginimą.

Kitų priežasčių mažinti trupmenas tiesiog nėra teisingas sprendimas Ankstesnė užduotis atrodo taip:

Teisingas sprendimas:

Kaip matote, teisingas atsakymas pasirodė ne toks gražus. Apskritai būkite atsargūs.

Sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos nėra sudėtinga užduotis. Tačiau yra subtilybių, kurias tikriausiai supratote mokykloje, bet vėliau pamiršote.

Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos – keli terminai

Jei prisimenate, kas yra skaitiklis, vardiklis ir kuo jie skiriasi tinkama trupmena iš neteisingos – praleiskite šią pastraipą. Jis skirtas tiems, kurie visiškai pamiršo teoriją.

Skaitiklis yra viršutinė dalis trupmenomis dalijame. Vardiklis yra mažesnis. Tai iš ko skirstome.
Tinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Netinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus.

Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos

Sveikojo skaičiaus dauginimo iš trupmenos taisyklė labai paprasta – skaitiklį dauginame iš sveikojo skaičiaus, bet vardiklio neliečiame. Pavyzdžiui: du padauginus iš penktadalio – gauname du penktadalius. Keturi, padauginti iš trijų šešioliktųjų, yra lygūs dvylikai šešioliktųjų.

Sumažinimas

Antrame pavyzdyje gautą frakciją galima sumažinti.
Ką tai reiškia? Atkreipkite dėmesį, kad šios trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš keturių. Abu skaičių dalijimas iš bendro daliklio vadinamas trupmenos sumažinimu. Mes gauname tris ketvirtadalius.

Netinkamos trupmenos

Bet tarkime, kad padauginsime keturis iš dviejų penktadalių. Paaiškėjo, kad aštuoni penktadaliai. Tai netinkama trupmena.
Ją būtinai reikia atvesti tinkamos rūšies. Norėdami tai padaryti, turite iš jo pasirinkti visą dalį.
Čia reikia naudoti padalijimą su likusia dalimi. Mes gauname vieną ir tris kaip likutį.
Viena visuma ir trys penktadaliai yra mūsų tinkama trupmena.

Trisdešimt penkias aštuntąsias suvesti į teisingą formą yra šiek tiek sunkiau. Artimiausias skaičius trisdešimt septyni, kuris dalijasi iš aštuonių, yra trisdešimt du. Padalinus gauname keturis. Iš trisdešimt penkių atimkite trisdešimt du ir gausime tris. Rezultatas: keturios sveikos ir trys aštuntosios.

Skaitiklio ir vardiklio lygybė. O čia viskas labai paprasta ir gražu. Jei skaitiklis ir vardiklis yra lygūs, rezultatas yra tiesiog vienas.

Trupmenų dauginimas ir dalijimas.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ši operacija yra daug malonesnė nei sudėjimas-atimtis! Nes taip lengviau. Primename, kad norint padauginti trupmeną iš trupmenos, reikia padauginti skaitiklius (tai bus rezultato skaitiklis) ir vardiklius (tai bus vardiklis). Tai yra:

Pavyzdžiui:

Viskas nepaprastai paprasta. Ir prašau neieškoti bendro vardiklio! Nereikia čia jo...

Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite apversti antra(tai svarbu!) trupmeną ir jas padauginkite, t.y.:

Pavyzdžiui:

Jei susiduriate su daugyba ar padalijimu su sveikaisiais skaičiais ir trupmenomis, viskas gerai. Kaip ir sudėjus, iš sveikojo skaičiaus sudarome trupmeną, kurios vardiklyje yra vienas – ir pirmyn! Pavyzdžiui:

Vidurinėje mokykloje dažnai tenka susidurti su triaukštėmis (ar net keturaukštėmis!) trupmenomis. Pavyzdžiui:

Kaip padaryti, kad ši frakcija atrodytų tinkamai? Taip, labai paprasta! Naudokite dviejų taškų padalijimą:

Tačiau nepamirškite apie padalijimo tvarką! Skirtingai nuo daugybos, tai čia labai svarbu! Žinoma, nepainiosime nei 4:2, nei 2:4. Tačiau trijų aukštų trupmenoje suklysti lengva. Atkreipkite dėmesį, pavyzdžiui:

Pirmuoju atveju (išraiška kairėje):

Antroje (išraiška dešinėje):

Ar jaučiate skirtumą? 4 ir 1/9!

Kas lemia padalijimo tvarką? Arba su skliaustais, arba (kaip čia) su horizontalių linijų ilgiu. Lavink akis. O jei nėra skliaustų ar brūkšnių, pvz.:

tada padalinti ir dauginti eilės tvarka, iš kairės į dešinę!

Ir taip pat labai paprasta ir svarbi technika. Veiksmuose su laipsniais tai bus jums labai naudinga! Padalinkime vieną iš bet kurios trupmenos, pavyzdžiui, iš 13/15:

Kadras apsivertė! Ir tai visada atsitinka. Padalijus 1 iš bet kurios trupmenos, gaunama ta pati trupmena, tik apversta.

Štai tiek operacijoms su trupmenomis. Dalykas yra gana paprastas, tačiau jis suteikia daugiau nei pakankamai klaidų. Pastaba praktinių patarimų, ir jų (klaidų) bus mažiau!

Praktiniai patarimai:

1. Svarbiausia dirbant su trupmeninėmis išraiškomis – tikslumas ir atidumas! Tai ne bendri žodžiai, ne geri linkėjimai! Tai labai reikalinga! Atlikite visus vieningo valstybinio egzamino skaičiavimus kaip visavertę užduotį, sutelktą ir aiškią. Geriau juodraštyje parašyti dvi papildomas eilutes, nei suktis atliekant mintis skaičiavimus.

2. Pavyzdžiuose su skirtingų tipų trupmenomis pereiname prie paprastųjų trupmenų.

3. Sumažiname visas trupmenas, kol jos sustos.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas redukuojame į įprastas, naudodami padalijimą per du taškus (laikomės dalybos tvarkos!).

5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.

Štai užduotys, kurias būtinai turite atlikti. Atsakymai pateikiami po visų užduočių. Pasinaudokite šia tema skirta medžiaga ir praktiniais patarimais. Įvertinkite, kiek pavyzdžių sugebėjote teisingai išspręsti. Pirmasis kartas! Be skaičiuoklės! Ir padaryti teisingas išvadas...

Atminkite – teisingas atsakymas yra gautas iš antro (ypač trečio) karto nesiskaito! Toks tas atšiaurus gyvenimas.

Taigi, išspręsti egzamino režimu ! Tai, beje, jau pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui. Išsprendžiame pavyzdį, patikriname, išsprendžiame kitą. Viską nusprendėme – dar kartą patikrinome nuo pirmos iki paskutinės. Bet tik Tada pažiūrėk atsakymus.

Apskaičiuoti:

Ar apsisprendei?

Ieškome atsakymų, atitinkančių jūsų. Sąmoningai surašiau juos netvarkingai, atokiau nuo pagundos, taip sakant... Štai jie, atsakymai, parašyti kabliataškiais.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Dabar darome išvadas. Jei viskas pavyko, aš džiaugiuosi už jus! Pagrindiniai skaičiavimai su trupmenomis nėra jūsų problema! Galite užsiimti rimtesniais dalykais. Jei ne...

Taigi jūs turite vieną iš dviejų problemų. Arba abu iš karto.) Žinių trūkumas ir (ar) neatidumas. Bet tai išsprendžiamas Problemos.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Įprasti trupmeniniai skaičiai pirmą kartą susitinka su moksleiviais 5 klasėje ir lydi juos visą gyvenimą, nes kasdieniame gyvenime dažnai reikia svarstyti ar naudoti objektą ne kaip visumą, o atskirais gabalais. Pradėkite studijuoti šią temą – dalinkitės. Akcijos yra lygios dalys, į kurią padalintas tas ar kitas objektas. Juk ne visada galima išreikšti, pavyzdžiui, gaminio ilgį ar kainą sveiku skaičiumi, reikėtų atsižvelgti į kurio nors mato dalis ar trupmenas. Sudarytas iš veiksmažodžio „skilti“ - padalyti į dalis ir turintis arabiškas šaknis, pats žodis „frakcija“ rusų kalboje atsirado VIII amžiuje.

Trupmeninės išraiškos ilgą laiką buvo laikomos sunkiausia matematikos šaka. XVII amžiuje, kai pasirodė pirmieji matematikos vadovėliai, jie buvo vadinami „skaldytais skaičiais“, o tai žmonėms buvo labai sunku suprasti.

Šiuolaikinė išvaizda paprastas trupmenines liekanas, kurių dalis skiria horizontali linija, pirmasis iškėlė Fibonacci – Leonardo iš Pizos. Jo darbai datuojami 1202 m. Tačiau šio straipsnio tikslas yra paprastai ir aiškiai paaiškinti skaitytojui, kaip dauginamos mišrios trupmenos skirtingus vardiklius.

Trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas

Iš pradžių verta nustatyti trupmenų rūšys:

• teisingas;
• neteisingas;
• sumaišytas.

Toliau reikia prisiminti, kaip dauginami trupmeniniai skaičiai su tais pačiais vardikliais. Pačią šio proceso taisyklę nesunku suformuluoti savarankiškai: paprastų trupmenų su vienodais vardikliais dauginimo rezultatas yra trupmeninė išraiška, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis yra šių trupmenų vardiklių sandauga. . Tai yra, iš tikrųjų naujasis vardiklis yra vieno iš iš pradžių buvusio vardiklio kvadratas.

Dauginant paprastosios trupmenos su skirtingais vardikliais dėl dviejų ar daugiau veiksnių taisyklė nesikeičia:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Vienintelis skirtumas yra tas, kad suformuotas skaičius po trupmenine linija bus skirtingų skaičių sandauga ir, žinoma, jo negalima pavadinti vienos skaitinės išraiškos kvadratu.

Verta apsvarstyti trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimą naudojant pavyzdžius:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Pavyzdžiuose naudojami trupmeninių išraiškų mažinimo metodai. Skaitiklio skaičius galite sumažinti tik vardiklio skaičiais; gretimų veiksnių, esančių virš arba žemiau trupmenos linijos, sumažinti negalima.

Kartu su paprastosiomis trupmenomis yra ir mišrių trupmenų sąvoka. Mišrus skaičius susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies, tai yra, tai yra šių skaičių suma:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kaip veikia dauginimas?

Pateikiami keli pavyzdžiai.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Pavyzdyje naudojamas skaičiaus dauginimas iš paprastoji trupmeninė dalis, šio veiksmo taisyklė gali būti parašyta taip:

a* b/c = a*b /c.

Tiesą sakant, tokia sandauga yra identiškų trupmeninių liekanų suma, o terminų skaičius rodo šį natūralųjį skaičių. Ypatinga byla:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Yra ir kitas sprendimas, kaip skaičių padauginti iš trupmeninės liekanos. Jums tereikia padalyti vardiklį iš šio skaičiaus:

d* e/f = e/f: d.

Šią techniką naudinga naudoti, kai vardiklis dalijamas iš natūraliojo skaičiaus be liekanos arba, kaip sakoma, iš sveikojo skaičiaus.

Konvertuokite mišrius skaičius į netinkamas trupmenas ir gaukite sandaugą anksčiau aprašytu būdu:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Šiame pavyzdyje pateikiamas būdas pateikti mišrią trupmeną kaip netinkamą trupmeną, ji taip pat gali būti pavaizduota kaip bendroji formulė:

a bc = a*b+ c / c, kur naujos trupmenos vardiklis susidaro padauginus visą dalį iš vardiklio ir pridedant ją su pradinės trupmenos liekanos skaitikliu, o vardiklis lieka toks pat.

Šis procesas taip pat veikia išvirkščia pusė. Norėdami atskirti visą dalį ir trupmeninę likutį, netinkamos trupmenos skaitiklį turite padalyti iš vardiklio, naudodami „kampą“.

Netinkamų trupmenų dauginimas pagaminti visuotinai priimtu būdu. Rašydami po viena trupmenos eilute, turite kiek reikia sumažinti trupmenas, kad šiuo metodu sumažintumėte skaičius ir būtų lengviau apskaičiuoti rezultatą.

Internete yra daug pagalbininkų, padedančių išspręsti net sudėtingas matematines problemas įvairiose programų variacijose. Pakankamas tokių paslaugų skaičius siūlo savo pagalbą apskaičiuojant trupmenų su skirtingais skaičiais vardikliuose dauginimą – tai vadinamieji internetiniai trupmenoms skaičiuoti skirti skaičiuotuvai. Jie sugeba ne tik dauginti, bet ir atlikti visas kitas paprastas aritmetines operacijas paprastosios trupmenos ir mišrūs skaičiai. Dirbti su juo nesudėtinga – užpildote atitinkamus svetainės puslapio laukus, pasirenkate matematinės operacijos ženklą ir spaudžiate „skaičiuoti“. Programa apskaičiuoja automatiškai.

Aritmetinių veiksmų su trupmenomis tema aktuali per visą vidurinių ir aukštųjų mokyklų mokinių ugdymą. Vidurinėje mokykloje jie nebelaiko paprasčiausių rūšių, bet sveikųjų skaičių trupmeninės išraiškos, tačiau anksčiau gautos transformacijos ir skaičiavimo taisyklių žinios taikomos pirmine forma. Gerai įsisavintos pagrindinės žinios daugeliui suteikia visišką pasitikėjimą sėkmingu sprendimu sudėtingos užduotys.

Pabaigoje prasminga cituoti Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus žodžius, kurie rašė: „Žmogus yra trupmena. Padidinti savo skaitiklį – savo nuopelnus – žmogus negali, bet kiekvienas gali sumažinti savo vardiklį – nuomonę apie save, ir su tuo mažėjimu priartėti prie savo tobulumo.

Panašūs straipsniai