Panagrinėkime funkciją \(y= \frac(x^3)(1-x) \) ir sukurkime jos grafiką.

1. Apibrėžimo sritis.
Racionalios funkcijos (trupmenos) apibrėžimo sritis bus: vardiklis nelygus nuliui, t.y. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domenas $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Funkcijos lūžio taškai ir jų klasifikacija.
Funkcija turi vieną lūžio tašką x = 1
išnagrinėkite tašką x= 1. Raskite funkcijos ribą, esančios dešinėje ir kairėje nuo nutrūkimo taško, dešinėje $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x )) = -\infty $$ ir taško $$ kairėje \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ vienpusės ribos yra \(\infty\).

Tiesi linija \(x = 1\) yra vertikali asimptotė.

3. Funkcijos tolygumas.
Tikrinama, ar nėra lygybės \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \), funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

4. Funkcijos nuliai (susikirtimo su Ox ašimi taškai). Funkcijų pastovumo intervalai.
Funkcijos nuliai ( susikirtimo taškas su jaučio ašimi): prilyginkite \(y=0\), gausime \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Kreivė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi su koordinatėmis \((0;0)\).

Funkcijų pastovumo intervalai.
Nagrinėjamuose intervaluose \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) kreivė turi vieną susikirtimo tašką su ašimi Ox , todėl apibrėžimo sritį nagrinėsime trimis intervalais.

Nustatykime funkcijos ženklą apibrėžimo srities intervaluose:
intervalas \((-\infty; 0) \) suraskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervalas \((0; 1) \) raskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), šiame intervale funkcija yra teigiama \(f(x ) > 0 \), t.y. yra virš x ašies.
intervalas \((1;+\infty) \) suraskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Susikirtimo taškai su ašimi Oy: prilyginkite \(x=0 \), gausime \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Susikirtimo taško su Oy ašimi koordinatės \((0; 0)\)

6. Monotoniškumo intervalai. Funkcijų kraštutinumai.
Raskime kritinius (stacionarius) taškus, tam randame pirmąją išvestinę ir prilyginsime ją nuliui $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ prilygsta 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Raskite funkcijos reikšmę šiame taške \(f (0) = 0\) ir \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Gauti du kritiniai taškai su koordinatėmis \((0;0)\) ir \((1,5;-6,75)\)

Monotoniškumo intervalai.
Funkcija turi du kritinius taškus (galimus kraštutinumus), todėl monotoniškumą nagrinėsime keturiais intervalais:
intervalas \((-\infty; 0) \) suraskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
intervalas \((0;1)\) suraskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , funkcija didėja šiuo intervalu.
intervalas \((1;1.5)\) raskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))((1-x)^2 ) > 0\) , funkcija didėja šiuo intervalu.
intervalas \((1,5; +\infty)\) suraskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))((1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Funkcijų kraštutinumai.

Tiriant funkciją buvo gauti du kritiniai (stacionarūs) taškai apibrėžimo srities intervale. Išsiaiškinkime, ar jie yra ekstremumai. Apsvarstykite išvestinės ženklo pasikeitimą, kai einate per kritinius taškus:

taškas \(x = 0\) išvestinė keičia ženklą iš \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - taškas nėra ekstremumas.
taškas \(x = 1,5\) išvestinė keičia ženklą iš \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - taškas yra didžiausias taškas.

7. Išgaubimo ir įgaubimo intervalai. Posūkio taškai.

Norėdami rasti išgaubto ir įgaubto intervalus, randame antrąją funkcijos išvestinę ir prilygstame nuliui $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Nustatykite $$ lygų nuliui \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcija turi vieną kritinį antrojo tipo tašką su koordinatėmis \((0;0)\ ).
Apibrėžkime apibrėžimo srities intervalų išgaubą, atsižvelgdami į antrosios rūšies kritinį tašką (galimos vingio tašką).

intervalas \((-\infty; 0)\) suraskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervalas \((0; 1)\) suraskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), šiame intervale antroji funkcijos išvestinė yra teigiama \(f""(x) > 0 \) funkcija yra žemyn išgaubta (išgaubta).
intervalas \((1; \infty)\) suraskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Posūkio taškai.

Apsvarstykite antrosios išvestinės ženklo pokytį einant per antrojo tipo kritinį tašką:
Taške \(x =0\) antroji išvestinė keičia ženklą iš \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), funkcijos grafikas keičia išgaubtą, t.y. tai vingio taškas su koordinatėmis \((0;0)\).

8. Asimptotės.

Vertikali asimptotė. Funkcijos grafikas turi vieną vertikalią asimptotę \(x =1\) (žr. 2 punktą).
Įstrižas asimptotas.
Kad funkcijos \(y= \frac(x^3)(1-x) \) grafikas \(x \to \infty\) turėtų įstrižą asimptotę \(y = kx+b\) , būtina ir pakanka , kad būtų dvi ribos $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ rasti $$ \lim_(x \ iki \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ ir antra riba $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, nes \(k = \infty\) – įstrižos asimptotės nėra.

Horizontali asimptota: norint egzistuoti horizontalioji asimptotė, būtina, kad būtų riba $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$, raskite ją $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
Horizontalios asimptotės nėra.

9. Funkcijos grafikas.

Atskaitos taškai nagrinėjant funkcijas ir jų grafikų konstravimą yra būdingi taškai – nenutrūkstamumo, ekstremumo, vingio, susikirtimo su koordinačių ašimis taškai. Naudojant diferencialinis skaičiavimas galima įdiegti charakteristikos funkcijos pokyčiai: padidėjimas ir sumažėjimas, maksimumai ir minimumai, grafiko išgaubimo ir įgaubimo kryptis, asimptotų buvimas.

Funkcijų grafiko eskizą galima (ir reikia) nubraižyti radus asimptotes ir ekstremumo taškus, o tyrimo metu patogu pildyti funkcijos tyrimo suvestinę lentelę.

Paprastai naudojama tokia funkcijų tyrimo schema.

1.Raskite funkcijos domeną, tęstinumo intervalus ir lūžio taškus.

2.Patikrinkite lyginę ar nelyginę funkciją (ašinė arba centrinė grafiko simetrija.

3.Raskite asimptotus (vertikalius, horizontalius arba įstrižus).

4.Raskite ir ištirkite funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, jos kraštutinius taškus.

5.Raskite kreivės išgaubimo ir įgaubimo intervalus, jos vingio taškus.

6.Raskite kreivės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis, jei tokių yra.

7.Sudarykite apibendrintą tyrimo lentelę.

8.Sudarykite grafiką, atsižvelgdami į funkcijos tyrimą, atliktą pagal aukščiau nurodytus punktus.

Pavyzdys. Naršyti funkciją

ir suplanuoti.

7. Padarykime funkcijos tyrimo suvestinę lentelę, kurioje surašysime visus charakteringus taškus ir intervalus tarp jų. Atsižvelgdami į funkcijos paritetą, gauname tokią lentelę:

				Diagramos ypatybės
[-1, 0[			Didėja	Išgaubtas
				(0; 1) – maksimalus taškas
]0, 1[			Sumažėja	Išgaubtas
				Posūkio taškas, formuojasi su ašimi Jautis bukas kampas

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir pateikti jums rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų, teismo tvarka, teisminio proceso tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Išleisti pilnas tyrimas ir nubraižykite funkciją

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funkcijos apimtis. Kadangi funkcija yra trupmena, reikia rasti vardiklio nulius.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Iš funkcijos apibrėžimo srities pašaliname vienintelį tašką x=1x=1 ir gauname:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Ištirkime funkcijos elgesį netoli nutrūkimo taško. Raskite vienpuses ribas:

Kadangi ribos yra lygios begalybei, taškas x=1x=1 yra antrojo tipo nenutrūkstamumas, o tiesė x=1x=1 yra vertikali asimptotė.

3) Nustatykime funkcijos grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.

Raskime susikirtimo su ordinačių ašimi OyOy taškus, kuriems prilyginame x=0x=0:

Taigi susikirtimo taškas su ašimi OyOy turi koordinates (0;8)(0;8).

Raskime susikirtimo su abscisių ašimi OxOx taškus, kuriems nustatome y=0y=0:

Lygtis neturi šaknų, todėl nėra susikirtimo taškų su OxOx ašimi.

Atminkite, kad x2+8>0x2+8>0 bet kuriam xx. Todėl x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcija y>0y>0(užima teigiamas vertes, grafikas yra virš x ašies), x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funkcija y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė, nes:

5) Mes tiriame periodiškumo funkciją. Funkcija nėra periodinė, nes tai trupmeninė racionali funkcija.

6) Tiriame ekstremumo ir monotoniškumo funkciją. Norėdami tai padaryti, randame pirmąją funkcijos išvestinę:

Pirmąją išvestinę prilyginkime nuliui ir suraskime stacionarius taškus (kuriuose y′=0y′=0):

Gavome tris kritinius taškus: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Visą funkcijos sritį padalijame į intervalus duotais taškais ir kiekviename intervale nustatome išvestinės ženklus:

Jei x∈(−∞; −2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) išvestinė y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Jei x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) išvestinė y′>0y′>0, funkcija didėja šiais intervalais.

Šiuo atveju x=−2x=−2 yra lokalus minimumo taškas (funkcija mažėja, o po to didėja), x=4x=4 yra vietinis maksimalus taškas (funkcija didėja ir mažėja).

Raskime funkcijos reikšmes šiuose taškuose:

Taigi mažiausias taškas yra (−2;4)(−2;4), didžiausias (4;−8)(4;−8).

7) Nagrinėjame kreivumo ir išgaubimo funkciją. Raskime antrąją funkcijos išvestinę:

Antrąją išvestinę prilyginkite nuliui:

Gauta lygtis neturi šaknų, todėl nėra ir vingio taškų. Be to, kai x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 yra tenkinama, tai yra, funkcija yra įgaubta, kai x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Mes tiriame funkcijos elgseną begalybėje, ty ties .

Kadangi ribos yra begalinės, horizontalių asimptočių nėra.

Pabandykime nustatyti formos y=kx+by=kx+b pasvirusias asimptotes. K,bk,b reikšmes apskaičiuojame pagal žinomas formules:

Mes nustatėme, kad funkcija turi vieną įstrižą asimptotę y=-x-1y=-x-1.

9) Papildomi taškai. Apskaičiuokime funkcijos reikšmę kai kuriuose kituose taškuose, kad būtų galima tiksliau sudaryti grafiką.

y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.

10) Remdamiesi gautais duomenimis sudarysime grafiką, papildysime jį asimptotėmis x=1x=1 (mėlyna), y=−x−1y=−x−1 (žalia) ir pažymime būdingus taškus (sankirta su Ordinačių ašis yra violetinė, kraštutinumai yra oranžiniai, papildomi taškai yra juodi):

4 užduotis: geometrinės, ekonominės problemos (neįsivaizduoju kas, čia yra apytikslis uždavinių pasirinkimas su sprendimu ir formulėmis)

3.23 pavyzdys. a

Sprendimas. x ir y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kadangi x = a/4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkime, ar pereinant per šį tašką keičiasi išvestinės ženklas. Jei xa/4 S > 0 ir x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24 pavyzdys.

Sprendimas.
R = 2, H = 16/4 = 4.

3.22 pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ekstremalumą.

Sprendimas. Kadangi f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), tada kritiniai funkcijos taškai x 1 \u003d 2 ir x 2 \u003d 3. Kraštutiniai taškai gali būti būti tik šiuose taškuose. Taigi, kai eina per tašką x 1 \u003d 2, išvestinė keičia pliuso ženklą į minusą, tai šiuo metu funkcija turi maksimumą.Einant per tašką x 2 \u003d 3, išvestinė pakeičia minuso ženklą į pliusą, todėl taške x 2 \u003d 3 funkcija turi minimumą. Funkcijos reikšmių skaičiavimas taškais
x 1 = 2 ir x 2 = 3, randame funkcijos kraštutinumus: maksimalus f(2) = 14 ir minimalus f(3) = 13.

3.23 pavyzdys. Prie akmeninės sienos būtina pastatyti stačiakampį plotą, kad ji iš trijų pusių būtų aptverta vielos tinkleliu, o iš ketvirtos pusės priglustų prie sienos. Tam yra a tinklelio linijiniai metrai. Kokiu formatu svetainė turės didžiausią plotą?

Sprendimas. Pažymėkite svetainės puses per x ir y. Svetainės plotas S = xy. Leisti y yra kraštinės, esančios greta sienos, ilgis. Tada pagal sąlygą lygybė 2x + y = a turi galioti. Todėl y = a - 2x ir S = x(a - 2x), kur
0 ≤ x ≤ a/2 (srities ilgis ir plotis negali būti neigiami). S "= a - 4x, a - 4x = 0, jei x = a/4, iš kur
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kadangi x = a/4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkime, ar pereinant per šį tašką keičiasi išvestinės ženklas. Jei xa/4 S > 0 ir x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24 pavyzdys. Reikia pagaminti uždarą cilindrinę talpą V=16p ≈ 50 m 3 . Kokie turi būti bako išmatavimai (spindulys R ir aukštis H), kad jo gamybai būtų sunaudojama kuo mažiau medžiagų?

Sprendimas. Bendras cilindro paviršiaus plotas yra S = 2pR(R+H). Žinome cilindro tūrį V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Vadinasi, S(R) = 2p(R2 +16/R). Mes randame šios funkcijos išvestinę:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 R 3 \u003d 8, todėl
R = 2, H = 16/4 = 4.

Panaši informacija.

Norint visiškai ištirti funkciją ir sudaryti jos grafiką, rekomenduojama naudoti šią schemą:

1) rasti funkcijos apimtį;

2) rasti funkcijos ir vertikalių asimptočių (jei jos yra) nenutrūkstamų taškų taškus;

3) ištirti funkcijos elgseną begalybėje, rasti horizontaliąsias ir įstriąsias asimptotes;

4) ištirti lygumo (keistingumo) ir periodiškumo (trigonometrinių funkcijų) funkciją;

5) rasti funkcijos monotoniškumo ekstremumus ir intervalus;

6) nustato išgaubimo ir vingio taškų intervalus;

7) jei įmanoma, suraskite susikirtimo su koordinačių ašimis taškus ir keletą papildomų taškų, kurie patikslina grafiką.

Funkcijos tyrimas atliekamas kartu su jos grafiko konstravimu.

9 pavyzdys Ištirkite funkciją ir sukurkite grafiką.

1. Apibrėžimo sritis: ;

2. Funkcija nutrūksta taškuose
,
;

Mes tiriame vertikalių asimptotų buvimo funkciją.

;
,
─ vertikali asimptotė.

;
,
─ vertikali asimptotė.

3. Tiriame įstrižųjų ir horizontalių asimptotų buvimo funkciją.

Tiesiai
─ įstrižas asimptotas, jei
,
.

,
.

Tiesiai
─ horizontali asimptotė.

4. Funkcija lygi, nes
. Funkcijos paritetas rodo grafiko simetriją y ašies atžvilgiu.

5. Raskite funkcijos monotoniškumo ir ekstremalių intervalus.

Raskime kritinius taškus, t.y. taškai, kuriuose išvestinė yra 0 arba jos nėra:
;
. Turime tris taškus
;

. Šie taškai padalija visą realiąją ašį į keturis intervalus. Apibrėžkime ženklus ant kiekvieno iš jų.

Intervaluose (-∞; -1) ir (-1; 0) funkcija didėja, intervaluose (0; 1) ir (1; +∞) mažėja. Kai eina per tašką
išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, todėl šiuo metu funkcija turi maksimumą
.

6. Raskime išgaubimo intervalus, vingio taškus.

Raskime taškus, kur yra 0 arba neegzistuoja.

neturi tikrų šaknų.
,
,

taškų
ir
realiąją ašį padalinkite į tris intervalus. Apibrėžkime ženklą kiekvienu intervalu.

Taigi, intervalų kreivė
ir
išgaubtas žemyn, ant intervalo (-1;1) išgaubtas į viršų; vingio taškų nėra, nes funkcija taškuose
ir
nenustatyta.

7. Raskite susikirtimo su ašimis taškus.

su ašimi
funkcijos grafikas kertasi taške (0; -1), ir su ašimi
grafikas nesikerta, nes šios funkcijos skaitiklis neturi realių šaknų.

Pateiktos funkcijos grafikas parodytas 1 pav.

1 pav. ─ funkcijos grafikas

Išvestinės finansinės priemonės sampratos taikymas ekonomikoje. Funkcinis elastingumas

Ekonominiams procesams tirti ir kitoms taikomoms problemoms spręsti dažnai vartojama funkcijos elastingumo sąvoka.

Apibrėžimas. Funkcinis elastingumas
vadinama funkcijos santykinio prieaugio santykio riba iki santykinio kintamojo prieaugio adresu
, . (VII)

Funkcijos elastingumas parodo, kiek procentų maždaug pasikeis funkcija
kai keičiamas nepriklausomas kintamasis 1 %.

Funkcijos elastingumas naudojamas analizuojant paklausą ir vartojimą. Jei paklausos elastingumas (absoliučia verte)
, tada paklausa laikoma elastinga, jei
─ neutralus, jei
─ neelastingas kainos (arba pajamų) atžvilgiu.

10 pavyzdys Apskaičiuokite funkcijos elastingumą
ir suraskite tamprumo indekso reikšmę = 3.

Sprendimas: pagal (VII) formulę funkcijos elastingumas:

Tada tegul x = 3
Tai reiškia, kad jei nepriklausomas kintamasis padidės 1%, tai priklausomo kintamojo reikšmė padidės 1,42%.

11 pavyzdys Tegul paklausa veikia dėl kainos turi formą
, kur ─ pastovus koeficientas. Raskite paklausos funkcijos tamprumo indekso reikšmę, kai kaina x = 3 den. vienetų

Sprendimas: apskaičiuokite paklausos funkcijos elastingumą pagal formulę (VII)

Darant prielaidą
piniginių vienetų, gauname
. Tai reiškia, kad už kainą
piniginis vienetas 1% kainos padidėjimas sukels paklausos sumažėjimą 6%, t.y. paklausa yra elastinga.

Panašūs straipsniai