Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir pateikti jums rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų, teismo tvarka, teisminio proceso tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Šiandien kviečiame kartu su mumis ištirti ir sudaryti funkcijų grafiką. Atidžiai išstudijavę šį straipsnį, jums nereikės ilgai prakaituoti, kad atliktumėte tokią užduotį. Išnagrinėti ir sudaryti funkcijos grafiką nėra lengva, darbas yra didelis, reikalaujantis maksimalaus atidumo ir skaičiavimų tikslumo. Kad būtų lengviau suvokti medžiagą, palaipsniui tyrinėsime tą pačią funkciją, paaiškinsime visus savo veiksmus ir skaičiavimus. Sveiki atvykę į nuostabius ir žavus pasaulis matematika! Pirmyn!

Domenas

Norėdami ištirti ir nubrėžti funkciją, turite žinoti keletą apibrėžimų. Funkcija yra viena iš pagrindinių (pagrindinių) matematikos sąvokų. Tai atspindi priklausomybę tarp kelių kintamųjų (dviejų, trijų ar daugiau) su pokyčiais. Funkcija taip pat parodo aibių priklausomybę.

Įsivaizduokite, kad turime du kintamuosius, kurie turi tam tikrą pokyčių diapazoną. Taigi, y yra x funkcija, su sąlyga, kad kiekviena antrojo kintamojo reikšmė atitinka vieną antrojo reikšmę. Šiuo atveju kintamasis y yra priklausomas ir vadinamas funkcija. Įprasta sakyti, kad kintamieji x ir y yra. Kad ši priklausomybė būtų aiškesnė, sudaromas funkcijos grafikas. Kas yra funkcijų grafikas? Tai koordinačių plokštumos taškų rinkinys, kur kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę. Grafikai gali būti skirtingi – tiesi linija, hiperbolė, parabolė, sinusoidė ir pan.

Funkcijų grafiko negalima nubraižyti be tyrinėjimo. Šiandien išmoksime atlikti tyrimus ir nubraižyti funkcijų grafiką. Tyrimo metu labai svarbu užsirašyti. Taigi bus daug lengviau susidoroti su užduotimi. Patogiausias studijų planas:

1. Domenas.
2. Tęstinumas.
3. Lyginis ar nelyginis.
4. Periodiškumas.
5. Asimptotės.
6. Nuliai.
7. Pastovumas.
8. Kylantis ir besileidžiantis.
9. Kraštutinumai.
10. Išgaubtumas ir įdubimas.

Pradėkime nuo pirmojo punkto. Raskime apibrėžimo sritį, tai yra, kokiais intervalais egzistuoja mūsų funkcija: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Mūsų atveju funkcija egzistuoja bet kurioms x reikšmėms, tai yra, apibrėžimo sritis yra R. Tai gali būti parašyta kaip xОR.

Tęstinumas

Dabar mes išnagrinėsime nepertraukiamumo funkciją. Matematikoje terminas „tęstinumas“ atsirado dėl judėjimo dėsnių tyrimo. Kas yra begalinis? Erdvė, laikas, kai kurios priklausomybės (pavyzdys yra kintamųjų S ir t priklausomybė judėjimo uždaviniuose), šildomo objekto temperatūra (vanduo, keptuvė, termometras ir pan.), ištisinė linija (tai yra vienas kurį galima nupiešti nenuimant jo nuo pieštuko).

Grafas laikomas tęstiniu, jei jis tam tikru momentu nenutrūksta. Vienas ryškiausių tokio grafiko pavyzdžių yra sinusinė banga, kurią galite pamatyti šios dalies paveikslėlyje. Funkcija yra ištisinė tam tikru momentu x0, jei tenkinamos kelios sąlygos:

• funkcija apibrėžta duotame taške;
• dešinės ir kairės ribos taške yra lygios;
• riba lygi funkcijos reikšmei taške x0.

Jei neįvykdoma bent viena sąlyga, sakoma, kad funkcija sugenda. O taškai, kuriuose funkcija nutrūksta, vadinami lūžio taškais. Funkcijos, kuri „nutrūks“, kai rodoma grafiškai, pavyzdys yra: y=(x+4)/(x-3). Be to, y neegzistuoja taške x = 3 (nes neįmanoma padalyti iš nulio).

Funkcijoje, kurią tiriame (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) viskas pasirodė paprasta, nes grafikas bus tęstinis.

Lyginis, nelyginis

Dabar patikrinkite pariteto funkciją. Pradėkime nuo mažos teorijos. Lyginė funkcija yra funkcija, kuri tenkina sąlygą f (-x) = f (x) bet kuriai kintamojo x reikšmei (iš reikšmių diapazono). Pavyzdžiai:

• modulis x (grafas atrodo kaip kėkštas, pirmojo ir antrojo grafiko ketvirčių pusiausvyra);
• x kvadratas (parabolė);
• kosinusas x (kosinuso banga).

Atkreipkite dėmesį, kad visi šie grafikai yra simetriški y ašies atžvilgiu.

Kas tada vadinama nelygine funkcija? Tai yra tos funkcijos, kurios tenkina sąlygą: f (-x) \u003d - f (x) bet kuriai kintamojo x reikšmei. Pavyzdžiai:

• hiperbolė;
• kubinė parabolė;
• sinusoidinė;
• tangentas ir pan.

Atkreipkite dėmesį, kad šios funkcijos yra simetriškos taško (0:0), ty pradžios, atžvilgiu. Remiantis tuo, kas buvo pasakyta šioje straipsnio dalyje, lyginė ir nelyginė funkcija turi turėti savybę: x priklauso apibrėžimų rinkiniui, o -x taip pat.

Panagrinėkime pariteto funkciją. Matome, kad ji neatitinka nė vieno apibūdinimo. Todėl mūsų funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Asimptotės

Pradėkime nuo apibrėžimo. Asimptotė yra kreivė, kuri yra kuo arčiau grafiko, tai yra, atstumas nuo tam tikro taško linkęs į nulį. Yra trys asimptotų tipai:

• vertikali, tai yra lygiagreti y ašiai;
• horizontaliai, ty lygiagrečiai x ašiai;
• įstrižas.

Kalbant apie pirmąjį tipą, šių eilučių reikėtų ieškoti kai kuriuose taškuose:

• tarpas;
• domeno galai.

Mūsų atveju funkcija yra ištisinė, o apibrėžimo sritis yra R. Todėl vertikalių asimptočių nėra.

Funkcijos grafikas turi horizontalią asimptotę, kuri atitinka tokį reikalavimą: jei x linkęs į begalybę arba minus begalybę, o riba lygi tam tikram skaičiui (pavyzdžiui, a). AT Ši byla y=a yra horizontali asimptotė. Mūsų tiriamoje funkcijoje nėra horizontalių asimptotų.

Įstrižinė asimptotė egzistuoja tik tada, kai tenkinamos dvi sąlygos:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Tada jį galima rasti pagal formulę: y=kx+b. Vėlgi, mūsų atveju nėra įstrižų asimptotų.

Funkcijos nuliai

Kitas žingsnis yra išnagrinėti nulių funkcijos grafiką. Taip pat labai svarbu pažymėti, kad užduotis, susijusi su funkcijos nulių radimu, atsiranda ne tik tiriant ir braižant funkciją, bet ir kaip savarankiška užduotis, ir kaip būdas išspręsti nelygybes. Gali reikėti surasti funkcijos nulius grafike arba naudoti matematinį žymėjimą.

Šių reikšmių radimas padės tiksliau nubraižyti funkciją. Jei kalbėti paprasta kalba, tada funkcijos nulis yra kintamojo x reikšmė, kai y=0. Jei grafike ieškote funkcijos nulių, tuomet turėtumėte atkreipti dėmesį į taškus, kuriuose grafikas susikerta su x ašimi.

Norint rasti funkcijos nulius, reikia išspręsti šią lygtį: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Atlikę reikiamus skaičiavimus, gauname tokį atsakymą:

ženklo pastovumas

Kitas funkcijos (grafikos) tyrimo ir konstravimo etapas yra ženklų pastovumo intervalų paieška. Tai reiškia, kad turime nustatyti, kokiais intervalais atliekama funkcija teigiama vertė o kai kuriose – neigiamas. Tai padaryti mums padės ankstesniame skyriuje rastų funkcijų nuliai. Taigi, turime sukurti tiesią liniją (atskirai nuo grafiko) ir paskirstyti funkcijos nulius išilgai jos teisinga tvarka nuo mažiausios iki didžiausios. Dabar reikia nustatyti, kuris iš gautų intervalų turi „+“ ženklą, o kuris – „-“.

Mūsų atveju funkcija įgauna teigiamą reikšmę intervaluose:

• nuo 1 iki 4;
• nuo 9 iki begalybės.

Neigiama reikšmė:

• nuo minus begalybės iki 1;
• nuo 4 iki 9.

Tai gana lengva nustatyti. Pakeiskite bet kurį skaičių iš intervalo į funkciją ir pažiūrėkite, koks yra atsakymo ženklas (minusas ar pliusas).

Funkcija didėjanti ir mažėjanti

Norėdami ištirti ir sukurti funkciją, turime žinoti, kur grafikas padidės (kils į viršų Oy), o kur kris (slinks žemyn išilgai y ašies).

Funkcija didėja tik tuo atveju, jei atitinka didesnę kintamojo x reikšmę didesnę vertę y. Tai reiškia, kad x2 yra didesnis nei x1, o f(x2) yra didesnis nei f(x1). Ir mes stebime visiškai priešingą reiškinį mažėjančioje funkcijoje (kuo daugiau x, tuo mažiau y). Norėdami nustatyti didėjimo ir mažėjimo intervalus, turite rasti:

• apimtis (jau turime);
• išvestinė (mūsų atveju: 1/3(3x^2-28x+49);
• išspręskite lygtį 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Atlikę skaičiavimus, gauname rezultatą:

Gauname: funkcija didėja intervalais nuo minus begalybės iki 7/3 ir nuo 7 iki begalybės, o mažėja intervalais nuo 7/3 iki 7.

Kraštutinumai

Ištirta funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) yra ištisinė ir egzistuoja bet kurioms kintamojo x reikšmėms. Ekstremalumo taškas rodo šios funkcijos maksimumą ir minimumą. Mūsų atveju jų nėra, o tai labai supaprastina statybos užduotį. Kitu atveju jie taip pat randami naudojant išvestinę funkciją. Radę nepamirškite juos pažymėti diagramoje.

Išgaubtumas ir įdubimas

Tęsiame funkcijos y(x) tyrimą. Dabar turime patikrinti, ar jis yra išgaubtas ir įgaubtas. Šių sąvokų apibrėžimai gana sunkiai suvokiami, geriau viską analizuoti su pavyzdžiais. Bandymui: funkcija yra išgaubta, jei ji yra nemažėjanti funkcija. Sutikite, tai nesuprantama!

Turime rasti antros eilės funkcijos išvestinę. Gauname: y=1/3(6x-28). Dabar lyginkite dešinioji pusė iki nulio ir išspręskite lygtį. Atsakymas: x=14/3. Mes radome vingio tašką, tai yra vietą, kur grafikas pasikeičia iš išgaubto į įgaubtą arba atvirkščiai. Intervale nuo minus begalybės iki 14/3 funkcija yra išgaubta, o nuo 14/3 iki plius begalybės – įgaubta. Taip pat labai svarbu atkreipti dėmesį, kad vingio taškas grafike būtų lygus ir minkštas, neturėtų būti aštrių kampų.

Papildomų taškų apibrėžimas

Mūsų užduotis yra ištirti ir nubraižyti funkcijų grafiką. Tyrimą baigėme, dabar bus nesunku nubraižyti funkciją. Norėdami tiksliau ir detaliau atkurti kreivę arba tiesę koordinačių plokštumoje, galite rasti keletą pagalbinių taškų. Juos apskaičiuoti gana paprasta. Pavyzdžiui, imame x=3, išsprendžiame gautą lygtį ir randame y=4. Arba x=5 ir y=-5 ir pan. Galite paimti tiek papildomų taškų, kiek jums reikia sukurti. Jų randama bent 3-5.

Braižybos

Mums reikėjo ištirti funkciją (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Koordinačių plokštumoje buvo padaryti visi skaičiavimo metu reikalingi ženklai. Belieka sukurti grafiką, tai yra sujungti visus taškus vienas su kitu. Taškų sujungimas vyksta sklandžiai ir tiksliai, tai įgūdžių reikalas – šiek tiek pasipraktikuokite ir jūsų tvarkaraštis bus tobulas.

Jau kurį laiką „TheBat“ (neaišku dėl kokios priežasties) integruota SSL sertifikatų duomenų bazė nustojo tinkamai veikti.

Tikrinus įrašą pasirodo klaida:

Nežinomas CA sertifikatas
Serveris seanso metu nepateikė šakninio sertifikato ir atitinkamas šakninis sertifikatas nerastas adresų knygoje.
Šis ryšys negali būti slaptas. Prašau
susisiekite su serverio administratoriumi.

Ir siūlomi atsakymų variantai – TAIP / NE. Ir taip kiekvieną kartą, kai siunčiate paštą.

Sprendimas

Tokiu atveju turite pakeisti S/MIME ir TLS diegimo standartą Microsoft CryptoAPI programoje TheBat!

Kadangi reikėjo sujungti visus failus į vieną, pirmiausia viską konvertavau doc failusį vieną pdf failą (naudojant Acrobat programą), o tada per internetinį konverterį perkeliama į fb2. Taip pat galite konvertuoti failus atskirai. Formatai gali būti visiškai bet kokie (šaltinis) ir doc, ir jpg, ir net ZIP archyvas!

Svetainės pavadinimas atitinka esmę:) Online Photoshop.

Atnaujinimas 2015 m. gegužės mėn

Radau dar vieną puikią svetainę! Dar patogiau ir funkcionaliau sukurti visiškai savavališką koliažą! Ši svetainė yra http://www.fotor.com/ru/collage/. Naudoti sveikatai. Ir pati naudosiu.

Gyvenime susidūrė su elektrinių viryklių remontu. Jau daug ką padariau, daug išmokau, bet su plytelėmis kažkaip mažai ką bendrauju. Reikėjo pakeisti reguliatorių ir degiklių kontaktus. Iškilo klausimas - kaip nustatyti degiklio skersmenį ant elektrinės viryklės?

Atsakymas pasirodė paprastas. Nereikia nieko matuoti, galite ramiai iš akies nustatyti, kokio dydžio jums reikia.

Mažiausias degiklis yra 145 milimetrai (14,5 centimetro)

Vidutinis degiklis yra 180 milimetrų (18 centimetrų).

Ir galiausiai labiausiai didelis degiklis yra 225 milimetrai (22,5 centimetro).

Pakanka nustatyti dydį akimis ir suprasti, kokio skersmens jums reikia degiklio. Kai aš to nežinojau, aš sklandžiau su šiais dydžiais, nežinojau, kaip išmatuoti, kurį kraštą naršyti ir pan. Dabar aš išmintingas :) Tikiuosi, kad tai padėjo ir jums!

Gyvenime susidūriau su tokia problema. Manau, kad ne aš vienas.

Instrukcija

Raskite funkcijos apimtį. Pavyzdžiui, funkcija sin(x) apibrėžiama visame intervale nuo –∞ iki +∞, o funkcija 1/x – nuo ​​–∞ iki +∞, išskyrus tašką x = 0.

Apibrėžkite tęstinumo sritis ir lūžio taškus. Paprastai funkcija yra ištisinė toje pačioje srityje, kurioje ji yra apibrėžta. Norėdami aptikti nutrūkimus, turite apskaičiuoti, kada argumentas artėja prie atskirų taškų apibrėžimo srityje. Pavyzdžiui, funkcija 1/x linkusi į begalybę, kai x→0+, ir į minus begalybę, kai x→0-. Tai reiškia, kad taške x = 0 jis turi antrojo tipo netolydumą.
Jei ribos nenutrūkstamumo taške yra baigtinės, bet nelygios, tai yra pirmosios rūšies netolydumas. Jei jie yra lygūs, tada funkcija laikoma tęstine, nors ji nėra apibrėžta izoliuotame taške.

Raskite vertikalius asimptotus, jei tokių yra. Čia jums padės ankstesnio veiksmo skaičiavimai, nes vertikali asimptotė beveik visada yra antrosios rūšies nepertraukiamumo taške. Tačiau kartais iš apibrėžimo srities išskiriami ne atskiri taškai, o ištisi taškų intervalai, o tada vertikaliosios asimptotės gali būti šių intervalų pakraščiuose.

Patikrinkite, ar funkcija turi specialių savybių: lyginių, nelyginių ir periodinių.
Funkcija bus net jei bet kuriam x srityje f(x) = f(-x). Pavyzdžiui, cos(x) ir x^2 yra lyginės funkcijos.

Periodiškumas yra savybė, kuri sako, kad yra tam tikras skaičius T, vadinamas periodu, kuris bet kuriam x f(x) = f(x + T). Pavyzdžiui, visos pagrindinės trigonometrinės funkcijos (sinusas, kosinusas, liestinė) yra periodinės.

Raskite taškus. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokite pateiktos funkcijos išvestinę ir suraskite tas x reikšmes, kuriose ji išnyksta. Pavyzdžiui, funkcija f(x) = x^3 + 9x^2 -15 turi išvestinę g(x) = 3x^2 + 18x, kuri išnyksta, kai x = 0 ir x = -6.

Norėdami nustatyti, kurie ekstremumo taškai yra maksimumai, o kurie - minimumai, atsekkite išvestinės ženklų kitimą rastuose nuliuose. g(x) pakeičia ženklą iš pliuso, kai x = -6 ir atgal iš minuso į pliusą, kai x = 0. Todėl funkcija f(x) pirmame taške turi minimumą, o antrajame – minimumą.

Taigi, jūs taip pat radote monotoniškumo sritis: f(x) monotoniškai didėja intervale -∞;-6, monotoniškai mažėja esant -6;0 ir vėl didėja esant 0;+∞.

Raskite antrą išvestinę. Jo šaknys parodys, kur tam tikros funkcijos grafikas bus išgaubtas, o kur įgaubtas. Pavyzdžiui, antroji funkcijos f(x) išvestinė bus h(x) = 6x + 18. Ji išnyksta ties x = -3, pakeisdama ženklą iš minuso į pliusą. Todėl grafikas f (x) prieš šį tašką bus išgaubtas, po jo – įgaubtas, o pats šis taškas bus vingio taškas.

Funkcija gali turėti kitų asimptotų, išskyrus vertikaliuosius, bet tik tuo atveju, jei jos apibrėžimo sritis apima . Norėdami juos rasti, apskaičiuokite f(x) ribą, kai x→∞ arba x→-∞. Jei jis baigtinis, tada jūs radote horizontalią asimptotę.

Įstrižinė asimptotė yra kx + b formos tiesi linija. Norėdami rasti k, apskaičiuokite f(x)/x ribą kaip x→∞. Rasti b - ribą (f(x) – kx) su tuo pačiu x→∞.

Viena iš svarbiausių užduočių diferencialinis skaičiavimas yra plėtra bendri pavyzdžiai funkcijų elgsenos tyrimai.

Jei funkcija y \u003d f (x) yra ištisinė intervale, o jos išvestinė yra teigiama arba lygi 0 intervale (a, b), tada y \u003d f (x) padidėja (f "(x) 0). Jei funkcija y \u003d f (x) yra ištisinė atkarpoje , o jos išvestinė yra neigiama arba lygi 0 intervale (a,b), tada y=f(x) sumažėja (f"( x)0)

Intervalai, kuriuose funkcija nemažėja arba nedidėja, vadinami funkcijos monotoniškumo intervalais. Funkcijos monotoniškumo pobūdis gali keistis tik tuose jos apibrėžimo srities taškuose, kuriuose kinta pirmosios išvestinės ženklas. Taškai, kuriuose pirmoji funkcijos išvestinė išnyksta arba nutrūksta, vadinami kritiniais taškais.

1 teorema (1-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegul funkcija y=f(x) yra apibrėžta taške x 0 ir tebūna tokia kaimynystė δ>0, kad funkcija būtų ištisinė atkarpoje , diferencijuojama intervale (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , o jo išvestinė kiekviename iš šių intervalų išlaiko pastovų ženklą. Tada jei ant x 0 -δ, x 0) ir (x 0, x 0 + δ) išvestinės ženklai yra skirtingi, tai x 0 yra ekstremumo taškas, o jei jie sutampa, tai x 0 nėra ekstremumo taškas . Be to, jei einant per tašką x0, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą (kairėje nuo x 0 atliekamas f "(x)> 0, tai x 0 yra maksimalus taškas; jei išvestinė keičia ženklą nuo minuso iki pliuso (dešinėje nuo x 0 vykdomas f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Didžiausias ir mažiausias taškai yra vadinami funkcijos ekstremumais, o funkcijos maksimumai ir minimumai – kraštutinėmis reikšmėmis.

2 teorema (būtinas lokalinio ekstremumo kriterijus).

Jei funkcija y=f(x) turi ekstremumą, kai srovė yra x=x 0, tada arba f'(x 0)=0, arba f'(x 0) neegzistuoja.
Diferencijuojamos funkcijos ekstremaliuose taškuose jos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai.

Ekstremo funkcijos tyrimo algoritmas:

1) Raskite funkcijos išvestinę.
2) Raskite kritinius taškus, t.y. taškai, kuriuose funkcija yra ištisinė, o išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
3) Apsvarstykite kiekvieno taško kaimynystę ir išnagrinėkite išvestinės ženklą į kairę ir į dešinę nuo šio taško.
4) Nustatykite kraštutinių taškų koordinates, šią kritinių taškų reikšmę pakeiskite šia funkcija. Naudodamiesi pakankamai ekstremaliomis sąlygomis, padarykite atitinkamas išvadas.

18 pavyzdys. Ištirkite funkciją y=x 3 -9x 2 +24x

Sprendimas.
1) y" = 3x 2 -18x + 24 = 3 (x-2) (x-4).
2) Išvestinę prilyginę nuliui, randame x 1 =2, x 2 =4. Šiuo atveju išvestinė apibrėžiama visur; taigi, be dviejų rastų taškų, kitų kritinių taškų nėra.
3) Išvestinės y ženklas "=3(x-2)(x-4) keičiasi priklausomai nuo intervalo, kaip parodyta 1 paveiksle. Einant per tašką x=2, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, o einant per tašką x=4 - nuo minuso iki pliuso.
4) Taške x=2 funkcija turi didžiausią y max =20, o taške x=4 - minimalų y min =16.

3. teorema (2-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegul f "(x 0) ir f "" (x 0) egzistuoja taške x 0. Jei f "" (x 0)> 0, tai x 0 yra mažiausias taškas, o jei f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Atkarpoje funkcija y \u003d f (x) gali pasiekti mažiausią (bent jau) arba didžiausią (daugiausia) reikšmę kritiniuose funkcijos taškuose, esančiuose intervale (a; b), arba galuose segmento.

Algoritmas, kaip rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos y=f(x) reikšmes atkarpoje:

1) Raskite f "(x).
2) Raskite taškus, kuriuose f "(x) = 0 arba f" (x) - neegzistuoja, ir pasirinkite iš jų tuos, kurie yra atkarpos viduje.
3) Apskaičiuokite funkcijos y \u003d f (x) reikšmę taškuose, gautuose 2 dalyje), taip pat atkarpos galuose ir pasirinkite didžiausią ir mažiausią iš jų: jie yra atitinkamai didžiausi ( didžiausios) ir mažiausios (mažiausios) funkcijos reikšmės segmente .

19 pavyzdys. Raskite atkarpoje didžiausią tolydžios funkcijos y=x 3 -3x 2 -45+225 reikšmę.

1) Segmente turime y "=3x 2 -6x-45
2) Išvestinė y" egzistuoja visiems x. Raskime taškus, kur y"=0; mes gauname:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę taškuose x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Atkarpai priklauso tik taškas x=5. Didžiausia iš rastų funkcijos reikšmių yra 225, o mažiausia yra skaičius 50. Taigi, kai max = 225, kai max = 50.

Išgaubtumo funkcijos tyrimas

Paveiksle pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai. Pirmasis iš jų pasukamas iškilimu į viršų, antrasis – su iškilimu žemyn.

Funkcija y=f(x) yra ištisinė atkarpoje ir diferencijuojama intervale (a;b), šiame atkarpoje vadinama išgaubta aukštyn (žemyn), jei axb jos grafikas yra ne aukščiau (ne žemiau) už liestinę. nubrėžta bet kuriame taške M 0 (x 0 ;f(x 0)), kur axb.

4 teorema. Tegul funkcija y=f(x) turi antrą išvestinę bet kuriame vidiniame atkarpos taške x ir yra tolydi šios atkarpos galuose. Tada, jei nelygybė f""(x)0 tenkinama intervale (a;b), tai funkcija yra žemyn išgaubta atkarpoje ; jei nelygybė f""(x)0 tenkinama intervale (а;b), tai funkcija yra išgaubta į viršų .

5 teorema. Jei funkcija y=f(x) turi antrąją išvestinę intervale (a;b) ir ji keičia ženklą eidama per tašką x 0 , tai M(x 0 ;f(x 0)) yra vingio taškas.

Posūkio taškų radimo taisyklė:

1) Raskite taškus, kuriuose f""(x) neegzistuoja arba išnyksta.
2) Išnagrinėkite ženklą f""(x) kairėje ir dešinėje nuo kiekvieno taško, rasto pirmame žingsnyje.
3) Remdamiesi 4 teorema, padarykite išvadą.

20 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ekstremumo taškus ir vingio taškus.

Turime f"(x)=12x3 -24x2 +12x=12x(x-1) 2. Akivaizdu, kad f"(x)=0, kai x 1 =0, x 2 =1. Išvestinė, eidama per tašką x=0, keičia ženklą iš minuso į pliusą, o eidama per tašką x=1 – ženklo nekeičia. Tai reiškia, kad x=0 yra mažiausias taškas (y min =12), o taške x=1 ekstremumo nėra. Toliau randame . Antroji išvestinė išnyksta taškuose x 1 =1, x 2 =1/3. Antrosios išvestinės ženklai kinta taip: Ant spindulio (-∞;) turime f""(x)>0, intervale (;1) turime f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Todėl x= yra funkcijos grafiko vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo žemyn į išgaubtą aukštyn), o x=1 taip pat yra vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo aukštyn į išgaubtą žemyn). Jei x=, tai y= ; jei, tai x=1, y=13.

Grafo asimptotės radimo algoritmas

I. Jei y=f(x) kaip x → a , tai x=a yra vertikali asimptotė.
II. Jei y=f(x) kaip x → ∞ arba x → -∞, tada y=A yra horizontalioji asimptotė.
III. Norėdami rasti įstrižą asimptotą, naudojame šį algoritmą:
1) Apskaičiuokite. Jei riba egzistuoja ir yra lygi b, tai y=b yra horizontalioji asimptotė; jei , tada pereikite prie antrojo veiksmo.
2) Apskaičiuokite. Jei ši riba neegzistuoja, tai asimptoto nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus k, pereikite prie trečio žingsnio.
3) Apskaičiuokite. Jei ši riba neegzistuoja, tai asimptoto nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus b, pereikite prie ketvirto žingsnio.
4) Užrašykite įstriosios asimptotės y=kx+b lygtį.

21 pavyzdys: Raskite funkcijos asimptotę

1)
2)
3)
4) Įstrižinė asimptotinė lygtis turi formą

Funkcijos tyrimo schema ir jos grafiko sudarymas

I. Raskite funkcijos sritį.
II. Raskite funkcijos grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.
III. Raskite asimptotus.
IV. Raskite galimo ekstremumo taškus.
V. Raskite kritinius taškus.
VI. Naudodami pagalbinį brėžinį ištirkite pirmojo ir antrojo vedinių ženklą. Nustatykite funkcijos didėjimo ir mažėjimo sritis, raskite grafiko išgaubimo kryptį, ekstremumo taškus ir vingio taškus.
VII. Sudarykite grafiką, atsižvelgdami į 1–6 dalyse atliktą tyrimą.

22 pavyzdys: Nubraižykite funkcijos grafiką pagal aukščiau pateiktą schemą

Sprendimas.
I. Funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė, išskyrus x=1.
II. Kadangi lygtis x 2 +1=0 neturi realių šaknų, tai funkcijos grafikas neturi susikirtimo taškų su Ox ašimi, o kerta Oy ašį taške (0; -1).
III. Išsiaiškinkime asimptotų egzistavimo klausimą. Tiriame funkcijos elgseną šalia nutrūkimo taško x=1. Kadangi y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+, tai tiesė x=1 yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.
Jei x → +∞(x → -∞), tai y → +∞(y → -∞); todėl grafikas neturi horizontalios asimptotės. Be to, nuo ribų egzistavimo

Išsprendę lygtį x 2 -2x-1=0, gauname du galimo ekstremumo taškus:
x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2

V. Norėdami rasti kritinius taškus, apskaičiuojame antrąją išvestinę:

Kadangi f""(x) neišnyksta, kritinių taškų nėra.
VI. Tiriame pirmojo ir antrojo darinių ženklą. Galimi ekstremumai, į kuriuos reikia atsižvelgti: x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2, padalinkite funkcijos egzistavimo sritį į intervalus (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) ir (1+√2;+∞).

Kiekviename iš šių intervalų vedinys išlaiko savo ženklą: pirmame - pliusas, antrasis - minusas, trečias - pliusas. Pirmosios išvestinės ženklų seka bus rašoma taip: +, -, +.
Gauname, kad funkcija ties (-∞;1-√2) didėja, ant (1-√2;1+√2) mažėja, o ant (1+√2;+∞) vėl didėja. Ekstremalūs taškai: maksimalus ties x=1-√2, be to f(1-√2)=2-2√2 minimumas, kai x=1+√2, be to, f(1+√2)=2+2√2. Ant (-∞;1) grafikas yra išgaubtas aukštyn, o ant (1;+∞) - žemyn.
VII Padarykime gautų reikšmių lentelę

VIII Remdamiesi gautais duomenimis sudarome funkcijos grafiko eskizą

Panašūs straipsniai