Šiame straipsnyje apžvelgsime funkcijos tyrimo schemą, taip pat pateiksime tam tikros funkcijos ekstremalumo, monotoniškumo ir asimptočių tyrimo pavyzdžių.

Schema

1. Funkcijos egzistavimo sritis (ODZ).
2. Funkcijų susikirtimas (jei yra) su koordinačių ašimis, funkcijos ženklais, paritetu, periodiškumu.
3. Lūžio taškai (jų rūšis). Tęstinumas. Asimptotės yra vertikalios.
4. Monotoniškumas ir ekstremalumo taškai.
5. Posūkio taškai. Išgaubtas.
6. Funkcijos tyrimas begalybėje, asimptotams: horizontaliai ir įstrižai.
7. Grafo sudarymas.

Monotoniškumo tyrimas

Teorema. Jei funkcija g nuolatinis , skiriasi pagal (a; b) ir g'(x) ≥ 0 (g'(x) ≤0), xє(а; b), tada g didėja (mažėja) .

Pavyzdys:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: хєR

y' = x 2 + 6x + 5.

Raskite pastovių ženklų intervalus tu. Nes tu yra elementari funkcija, tada ji gali keisti ženklus tik tuose taškuose, kur tampa nuliu arba neegzistuoja. Jos ODZ: хєR.

Raskime taškus, kur išvestinė lygi 0 (nulis):

y' = 0;

x = -1; -5.

Taigi, y auga toliau (-∞; -5] ir toliau [-vienas; +∞), y nusileidžiant toliau .

Tyrimai dėl kraštutinumų

T. x0 vadinamas didžiausiu tašku (max) aibėje BET funkcijas g kai šioje vietoje funkcija ima didžiausią reikšmę g(x 0) ≥ g(x), xєA.

T. x0 vadinamas minimaliu funkcijos tašku (min). g filmavimo aikštelėje BET kai funkcija šiame taške užima mažiausią reikšmę g(x 0) ≤ g(x), xєА.

Filmavimo aikštelėje BET maksimalus (max) ir minimalus (min) taškai vadinami ekstremumais g. Tokie ekstremumai filmavimo aikštelėje dar vadinami absoliučiais ekstremumais .

Jeigu x0- funkcijos ekstremalus taškas g tada kokiame nors rajone x0 vadinamas funkcijos lokalinio arba lokalinio ekstremumo tašku (max arba min). g.

Teorema (būtina sąlyga). Jeigu x0- (vietinės) funkcijos kraštutinis taškas g, tada išvestinė neegzistuoja arba yra lygi 0 (nulis) šiame taške.

Apibrėžimas. Taškai, kurių išvestis neegzistuoja arba lygi 0 (nuliui), vadinami kritiniais. Būtent šie taškai yra įtartini ekstremumui.

Teorema (pakankama sąlyga Nr. 1). Jei funkcija g yra tęstinis kai kuriame rajone. x0 o ženklas pasikeičia per šį tašką, kai išvestinė eina, tada duotas taškas yra t.extremum g.

Teorema (pakankama sąlyga Nr. 2). Tegul funkcija yra du kartus diferencijuojama kurioje nors taško ir kaimynystėje g' = 0 ir g'' > 0 (g''< 0) , tada šis taškas yra funkcijos maksimumo (max) arba minimumo (min) taškas.

Išgaubtumo testas

Funkcija intervale vadinama žemyn išgaubta (arba įgaubta). (a, b) kai funkcijos grafikas yra ne aukščiau už intervalo sekantą bet kuriam x su (a, b) kuris eina per šiuos taškus .

Funkcija bus išgaubta griežtai žemyn (a, b), jei - grafikas yra žemiau intervalo sekanto.

Funkcija intervale vadinama aukštyn išgaubta (išgaubta). (a, b), jei dėl kokių nors t taškų Su (a, b) funkcijos grafikas intervale yra ne žemesnis nei sekantas, einantis per abscises šiuose taškuose .

Funkcija bus griežtai išgaubta į viršų (a, b), jei - intervalo grafikas yra virš sekanto.

Jei funkcija yra tam tikroje taško kaimynystėje nenutrūkstamai ir per visą t. x 0 perėjimo metu funkcija keičia savo išgaubimą, tada šis taškas vadinamas funkcijos vingio tašku.

Asimptotų tyrimas

Apibrėžimas. Tiesi linija vadinama asimptote g(x), jei begaliniu atstumu nuo pradžios, funkcijos grafiko taškas artėja prie jo: d(M,l).

Asimptotės gali būti vertikalios, horizontalios arba įstrižos.

Vertikali linija su lygtimi x = x 0 bus funkcijos g vertikalaus grafiko asimptotė , jei taškas x 0 turi begalinį tarpą, tai šiame taške yra bent viena kairioji arba dešinioji riba – begalybė.

Funkcijos tyrimas segmente, kurio reikšmė yra mažiausia ir didžiausia

Jei funkcija nuolat įjungta , tada pagal Weierstrasso teoremą šiame segmente yra didžiausia ir mažiausia reikšmė, tai yra, yra t priklausantys akiniai toks kad g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . Iš teoremų apie monotoniškumą ir ekstremalumą gauname tokią schemą, skirtą funkcijos tyrimui intervale mažiausiai ir daugiausia didesnę vertę.

Planuoti

1. Rasti išvestinę g'(x).
2. Ieškokite funkcijos reikšmės gšiuose taškuose ir atkarpos galuose.
3. Palyginkite rastas vertes ir pasirinkite mažiausią bei didžiausią.

komentuoti. Jei reikia ištirti baigtinio intervalo funkciją (a, b), arba ant begalybės (-∞; b); (-∞; +∞) ant maksimalių ir min. verčių, tada plane vietoj funkcijos reikšmių intervalo galuose jie ieško atitinkamų vienpusių ribų: vietoj f(a) Ieškoti f(a+) = limf(x), vietoj f(b) Ieškoti f(-b). Taigi intervale galite rasti ODZ funkciją, nes absoliutus kraštutinumas nebūtinai egzistuoja Ši byla.

Išvestinės taikymas taikomųjų uždavinių sprendimui kai kurių dydžių ekstremumui

1. Išreikškite šią reikšmę kitais dydžiais iš uždavinio sąlygos, kad ji būtų tik vieno kintamojo funkcija (jei įmanoma).
2. Nustatomas šio kintamojo kitimo intervalas.
3. Atlikite maks. ir min. verčių intervalo funkcijos tyrimą.

Užduotis. Stačiakampę platformą, naudojant tinklinius metrus, reikia pastatyti prie sienos taip, kad iš vienos pusės ji būtų greta sienos, o iš kitų trijų ji būtų aptverta tinkleliu. Kokiu formatu tokios svetainės plotas bus didžiausias?

S = xy yra 2 kintamųjų funkcija.

S = x(a - 2x)- 1-ojo kintamojo funkcija ; x є .

S = kirvis - 2x2; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- didžiausia vertė;

S(0)=0.

Raskite kitą stačiakampio kraštą: adresu = a: 2.

Kraštinių santykis: y:x=2.

Atsakymas. Didžiausias plotas bus a 2/8 jei kraštinė, kuri lygiagreti sienai, yra 2 kartus didesnė už kitą pusę.

Funkcijų tyrimas. Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Yra y=x 3: (1-x) 2 . Atlikti mokslinius tyrimus.

1. ODZ: хє(-∞; 1) U (1; ∞).
2. Bendroji funkcija (nei lyginė, nei nelyginė) nėra simetriška taško 0 (nulio) atžvilgiu.
3. Funkciniai ženklai. Funkcija yra elementari, todėl ji gali keisti ženklą tik taškuose, kur ji lygi 0 (nulis) arba neegzistuoja.
4. Funkcija yra elementari, todėl tęstinė ODZ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Tarpas: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- 2-osios rūšies (begalinis) tęstinumas, todėl 1 taške yra vertikali asimptotė;

x = 1- vertikaliosios asimptotės lygtis.

5. y' = x 2 (3 - x): (1 - x) 3;

ODZ (y'): x ≠ 1;

x = 1 yra kritinis taškas.

y' = 0;

0; 3 yra kritiniai taškai.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4;

Kritinis t.: 1, 0;

x= 0 – vingio taškas, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- nėra horizontalios asimptotės, bet ji gali būti įstriža.

k = 1- numeris;

b = 2- numeris.

Todėl yra įstrižas asimptotas y=x+2 iki + ∞ ir iki - ∞.

2 pavyzdys

Duota y = (x 2 + 1) : (x - 1). Gaminti ir tyrimą. Sukurkite grafiką.

1. Egzistencijos sritis yra visa skaičių eilutė, išskyrus vadinamąją. x=1.

2. y kerta OY (jei įmanoma) įsk. (0;g(0)). Mes randame y(0) = -1 - sankirtos taškas OY .

Grafiko susikirtimo taškai su JAUTIS rasti išsprendę lygtį y=0. Lygtis neturi realių šaknų, todėl ši funkcija nesikerta JAUTIS.

3. Funkcija yra neperiodinė. Apsvarstykite išraišką

g(-x) ≠ g(x) ir g(-x) ≠ -g(x). Tai reiškia, kad tai bendras vaizdas funkcija (nei lyginė, nei nelyginė).

4. T. x=1 nenuoseklumas yra antrosios rūšies. Visuose kituose taškuose funkcija yra nuolatinė.

5. Ekstremo funkcijos tyrimas:

(x 2 - 2x - 1) : (x - 1)2=y"

ir išspręskite lygtį y" = 0.

Taigi, 1 - √2, 1 + √2, 1 - kritiniai taškai arba galimo ekstremumo taškai. Šie taškai padalija skaičių liniją į keturis intervalus .

Kiekviename intervale išvestinė turi tam tikrą ženklą, kurį galima nustatyti intervalų metodu arba apskaičiuojant išvestinės reikšmes atskiruose taškuose. Protarpiais (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , teigiama išvestinė, o tai reiškia, kad funkcija auga; jeigu xє(1 - √2 ; 1) U(1; 1 + √2 ) , tada funkcija mažėja, nes išvestinė šiuose intervaluose yra neigiama. Per t. x 1 perėjimo metu (judėjimas vyksta iš kairės į dešinę) išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“, todėl šioje vietoje yra vietinis maksimumas, rasti

y maks. = 2–2 √2 .

Pravažiuojant x2 pakeičia išvestinį ženklą iš „-“ į „+“, todėl šiuo metu yra vietinis minimumas ir

y mišinys = 2 + 2√2.

T. x=1 ne toks ekstremalus.

6.4: (x – 1) 3 = y".

Ant (-∞; 1 ) 0 > y"" , vadinasi, kreivė šiame intervale yra išgaubta; jei xє (1 ; ∞) - kreivė įgaubta. Į t 1 punktas nėra apibrėžta jokia funkcija, todėl šis taškas nėra vingio taškas.

7. Iš 4 dalies rezultatų matyti, kad x=1 yra vertikali kreivės asimptotė.

Horizontalių asimptočių nėra.

x + 1 = y yra šios kreivės nuolydžio asimptotas. Kitų asimptotų nėra.

8. Atsižvelgdami į atliktus tyrimus, sudarome grafiką (žr. paveikslėlį aukščiau).

Vienas iš svarbiausių diferencialinio skaičiavimo uždavinių yra kūrimas bendri pavyzdžiai funkcijų elgsenos tyrimai.

Jei funkcija y \u003d f (x) yra ištisinė intervale, o jos išvestinė yra teigiama arba lygi 0 intervale (a, b), tada y \u003d f (x) padidėja (f "(x) 0). Jei funkcija y \u003d f (x) yra ištisinė atkarpoje , o jos išvestinė yra neigiama arba lygi 0 intervale (a,b), tada y=f(x) sumažėja (f"( x)0)

Intervalai, kuriuose funkcija nemažėja arba nedidėja, vadinami funkcijos monotoniškumo intervalais. Funkcijos monotoniškumo pobūdis gali keistis tik tuose jos apibrėžimo srities taškuose, kuriuose kinta pirmosios išvestinės ženklas. Taškai, kuriuose pirmoji funkcijos išvestinė išnyksta arba nutrūksta, vadinami kritiniais taškais.

1 teorema (1-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegul funkcija y=f(x) yra apibrėžta taške x 0 ir tebūna tokia kaimynystė δ>0, kad funkcija būtų ištisinė atkarpoje , diferencijuojama intervale (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , o jo išvestinė kiekviename iš šių intervalų išlaiko pastovų ženklą. Tada jei ant x 0 -δ, x 0) ir (x 0, x 0 + δ) išvestinės ženklai yra skirtingi, tai x 0 yra ekstremumo taškas, o jei jie sutampa, tai x 0 nėra ekstremumo taškas . Be to, jei einant per tašką x0, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą (kairėje nuo x 0 atliekamas f "(x)> 0, tai x 0 yra maksimalus taškas; jei išvestinė keičia ženklą nuo minuso iki pliuso (dešinėje nuo x 0 vykdomas f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Didžiausias ir mažiausias taškai yra vadinami funkcijos ekstremumais, o funkcijos maksimumai ir minimumai – kraštutinėmis reikšmėmis.

2 teorema (būtinas lokalinio ekstremumo kriterijus).

Jei funkcija y=f(x) turi ekstremumą, kai srovė yra x=x 0, tada arba f'(x 0)=0, arba f'(x 0) neegzistuoja.
Diferencijuojamos funkcijos ekstremaliuose taškuose jos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai.

Ekstremo funkcijos tyrimo algoritmas:

1) Raskite funkcijos išvestinę.
2) Raskite kritinius taškus, t.y. taškai, kuriuose funkcija yra ištisinė, o išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
3) Apsvarstykite kiekvieno taško kaimynystę ir išnagrinėkite išvestinės ženklą į kairę ir į dešinę nuo šio taško.
4) Nustatykite kraštutinių taškų koordinates, šią kritinių taškų reikšmę pakeiskite šia funkcija. Naudodamiesi pakankamai ekstremaliomis sąlygomis, padarykite atitinkamas išvadas.

18 pavyzdys. Ištirkite funkciją y=x 3 -9x 2 +24x

Sprendimas.
1) y" = 3x 2 -18x + 24 = 3 (x-2) (x-4).
2) Išvestinę prilyginę nuliui, randame x 1 =2, x 2 =4. Šiuo atveju išvestinė apibrėžiama visur; taigi, be dviejų rastų taškų, kitų kritinių taškų nėra.
3) Išvestinės y ženklas "=3(x-2)(x-4) keičiasi priklausomai nuo intervalo, kaip parodyta 1 paveiksle. Einant per tašką x=2, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, o einant per tašką x=4 - nuo minuso iki pliuso.
4) Taške x=2 funkcija turi didžiausią y max =20, o taške x=4 - minimalų y min =16.

3. teorema (2-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegul f "(x 0) ir f "" (x 0) egzistuoja taške x 0. Jei f "" (x 0)> 0, tai x 0 yra mažiausias taškas, o jei f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Atkarpoje funkcija y \u003d f (x) gali pasiekti mažiausią (bent jau) arba didžiausią (daugiausia) reikšmę kritiniuose funkcijos taškuose, esančiuose intervale (a; b), arba galuose segmento.

Algoritmas, kaip rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos y=f(x) reikšmes atkarpoje:

1) Raskite f "(x).
2) Raskite taškus, kuriuose f "(x) = 0 arba f" (x) - neegzistuoja, ir pasirinkite iš jų tuos, kurie yra atkarpos viduje.
3) Apskaičiuokite funkcijos y \u003d f (x) reikšmę taškuose, gautuose 2 dalyje), taip pat atkarpos galuose ir pasirinkite didžiausią ir mažiausią iš jų: jie yra atitinkamai didžiausi ( didžiausios) ir mažiausios (mažiausios) funkcijos reikšmės intervale .

19 pavyzdys. Raskite atkarpoje didžiausią tolydžios funkcijos y=x 3 -3x 2 -45+225 reikšmę.

1) Segmente turime y "=3x 2 -6x-45
2) Išvestinė y" egzistuoja visiems x. Raskime taškus, kur y"=0; mes gauname:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę taškuose x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Atkarpai priklauso tik taškas x=5. Didžiausia iš rastų funkcijos reikšmių yra 225, o mažiausia yra skaičius 50. Taigi, kai max = 225, kai max = 50.

Išgaubtumo funkcijos tyrimas

Paveiksle pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai. Pirmasis iš jų pasukamas iškilimu į viršų, antrasis – su iškilimu žemyn.

Funkcija y=f(x) yra ištisinė atkarpoje ir diferencijuojama intervale (a;b), šiame atkarpoje vadinama išgaubta aukštyn (žemyn), jei axb jos grafikas yra ne aukščiau (ne žemiau) už liestinę. nubrėžta bet kuriame taške M 0 (x 0 ;f(x 0)), kur axb.

4 teorema. Tegul funkcija y=f(x) turi antrą išvestinę bet kuriame vidiniame atkarpos taške x ir yra tolydi šios atkarpos galuose. Tada, jei nelygybė f""(x)0 tenkinama intervale (a;b), tai funkcija yra žemyn išgaubta atkarpoje ; jei nelygybė f""(x)0 tenkinama intervale (а;b), tai funkcija yra išgaubta į viršų .

5 teorema. Jei funkcija y=f(x) turi antrąją išvestinę intervale (a;b) ir ji keičia ženklą eidama per tašką x 0 , tai M(x 0 ;f(x 0)) yra vingio taškas.

Posūkio taškų radimo taisyklė:

1) Raskite taškus, kuriuose f""(x) neegzistuoja arba išnyksta.
2) Išnagrinėkite ženklą f""(x) kairėje ir dešinėje nuo kiekvieno taško, rasto pirmame žingsnyje.
3) Remdamiesi 4 teorema, padarykite išvadą.

20 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ekstremumo taškus ir vingio taškus.

Turime f"(x)=12x3 -24x2 +12x=12x(x-1) 2. Akivaizdu, kad f"(x)=0, kai x 1 =0, x 2 =1. Išvestinė, eidama per tašką x=0, keičia ženklą iš minuso į pliusą, o eidama per tašką x=1 – ženklo nekeičia. Tai reiškia, kad x=0 yra mažiausias taškas (y min =12), o taške x=1 ekstremumo nėra. Toliau randame . Antroji išvestinė išnyksta taškuose x 1 =1, x 2 =1/3. Antrosios išvestinės ženklai kinta taip: Ant spindulio (-∞;) turime f""(x)>0, intervale (;1) turime f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Todėl x= yra funkcijos grafiko vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo žemyn į išgaubtą aukštyn), o x=1 taip pat yra vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo aukštyn į išgaubtą žemyn). Jei x=, tai y= ; jei, tai x=1, y=13.

Grafo asimptotės radimo algoritmas

I. Jei y=f(x) kaip x → a , tai x=a yra vertikali asimptotė.
II. Jei y=f(x) kaip x → ∞ arba x → -∞, tada y=A yra horizontalioji asimptotė.
III. Norėdami rasti įstrižą asimptotą, naudojame šį algoritmą:
1) Apskaičiuokite. Jei riba egzistuoja ir yra lygi b, tai y=b yra horizontalioji asimptotė; jei , tada pereikite prie antrojo veiksmo.
2) Apskaičiuokite. Jei ši riba neegzistuoja, tai asimptoto nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus k, pereikite prie trečio žingsnio.
3) Apskaičiuokite. Jei ši riba neegzistuoja, tai asimptoto nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus b, pereikite prie ketvirto žingsnio.
4) Užrašykite įstriosios asimptotės y=kx+b lygtį.

21 pavyzdys: Raskite funkcijos asimptotę

1)
2)
3)
4) Įstrižinė asimptotinė lygtis turi formą

Funkcijos tyrimo schema ir jos grafiko sudarymas

I. Raskite funkcijos sritį.
II. Raskite funkcijos grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.
III. Raskite asimptotus.
IV. Raskite galimo ekstremumo taškus.
V. Raskite kritinius taškus.
VI. Naudodami pagalbinį brėžinį ištirkite pirmojo ir antrojo vedinių ženklą. Nustatykite funkcijos didėjimo ir mažėjimo sritis, raskite grafiko išgaubimo kryptį, ekstremumo taškus ir vingio taškus.
VII. Sudarykite grafiką, atsižvelgdami į 1–6 dalyse atliktą tyrimą.

22 pavyzdys: Nubraižykite funkcijos grafiką pagal aukščiau pateiktą schemą

Sprendimas.
I. Funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė, išskyrus x=1.
II. Kadangi lygtis x 2 +1=0 neturi realių šaknų, tai funkcijos grafikas neturi susikirtimo taškų su Ox ašimi, o kerta Oy ašį taške (0; -1).
III. Išsiaiškinkime asimptotų egzistavimo klausimą. Tiriame funkcijos elgseną šalia nutrūkimo taško x=1. Kadangi y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+, tai tiesė x=1 yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.
Jei x → +∞(x → -∞), tai y → +∞(y → -∞); todėl grafikas neturi horizontalios asimptotės. Be to, nuo ribų egzistavimo

Išsprendę lygtį x 2 -2x-1=0, gauname du galimo ekstremumo taškus:
x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2

V. Norėdami rasti kritinius taškus, apskaičiuojame antrąją išvestinę:

Kadangi f""(x) neišnyksta, kritinių taškų nėra.
VI. Tiriame pirmojo ir antrojo darinių ženklą. Galimi ekstremumai, į kuriuos reikia atsižvelgti: x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2, padalinkite funkcijos egzistavimo sritį į intervalus (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) ir (1+√2;+∞).

Kiekviename iš šių intervalų vedinys išlaiko savo ženklą: pirmame - pliusas, antrasis - minusas, trečias - pliusas. Pirmosios išvestinės ženklų seka bus rašoma taip: +, -, +.
Gauname, kad funkcija ties (-∞;1-√2) didėja, ant (1-√2;1+√2) mažėja, o ant (1+√2;+∞) vėl didėja. Ekstremalūs taškai: maksimalus ties x=1-√2, be to f(1-√2)=2-2√2 minimumas, kai x=1+√2, be to, f(1+√2)=2+2√2. Ant (-∞;1) grafikas yra išgaubtas aukštyn, o ant (1;+∞) - žemyn.
VII Padarykime gautų reikšmių lentelę

VIII Remdamiesi gautais duomenimis sudarome funkcijos grafiko eskizą

Išleisti pilnas tyrimas ir nubraižykite funkciją

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funkcijos apimtis. Kadangi funkcija yra trupmena, reikia rasti vardiklio nulius.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Iš funkcijos apibrėžimo srities pašaliname vienintelį tašką x=1x=1 ir gauname:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Ištirkime funkcijos elgesį netoli nutrūkimo taško. Raskite vienpuses ribas:

Kadangi ribos yra lygios begalybei, taškas x=1x=1 yra antrojo tipo nenutrūkstamumas, o tiesė x=1x=1 yra vertikali asimptotė.

3) Nustatykime funkcijos grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.

Raskime susikirtimo su ordinačių ašimi OyOy taškus, kuriems prilyginame x=0x=0:

Taigi susikirtimo taškas su ašimi OyOy turi koordinates (0;8)(0;8).

Raskime susikirtimo su abscisių ašimi OxOx taškus, kuriems nustatome y=0y=0:

Lygtis neturi šaknų, todėl nėra susikirtimo taškų su OxOx ašimi.

Atminkite, kad x2+8>0x2+8>0 bet kuriam xx. Todėl x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcija y>0y>0 (įima teigiamas reikšmes, grafikas yra virš x ašies), kai x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funkcija y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė, nes:

5) Mes tiriame periodiškumo funkciją. Funkcija nėra periodinė, nes tai trupmeninė racionali funkcija.

6) Tiriame ekstremumo ir monotoniškumo funkciją. Norėdami tai padaryti, randame pirmąją funkcijos išvestinę:

Pirmąją išvestinę prilyginkime nuliui ir suraskime stacionarius taškus (kuriuose y′=0y′=0):

Gavome tris kritinius taškus: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Visą funkcijos sritį padalijame į intervalus duotais taškais ir kiekviename intervale nustatome išvestinės ženklus:

Jei x∈(−∞; −2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) išvestinė y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Jei x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) išvestinė y′>0y′>0, funkcija didėja šiais intervalais.

Šiuo atveju x=−2x=−2 yra lokalus minimumo taškas (funkcija mažėja, o po to didėja), x=4x=4 yra vietinis maksimalus taškas (funkcija didėja ir mažėja).

Raskime funkcijos reikšmes šiuose taškuose:

Taigi mažiausias taškas yra (−2;4)(−2;4), didžiausias (4;−8)(4;−8).

7) Nagrinėjame kreivumo ir išgaubimo funkciją. Raskime antrąją funkcijos išvestinę:

Antrąją išvestinę prilyginkite nuliui:

Gauta lygtis neturi šaknų, todėl nėra ir vingio taškų. Be to, kai x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 yra tenkinama, tai yra, funkcija yra įgaubta, kai x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Mes tiriame funkcijos elgseną begalybėje, ty ties .

Kadangi ribos yra begalinės, horizontalių asimptočių nėra.

Pabandykime nustatyti formos y=kx+by=kx+b pasvirusias asimptotes. K,bk,b reikšmes apskaičiuojame pagal žinomas formules:

Mes nustatėme, kad funkcija turi vieną įstrižą asimptotę y=-x-1y=-x-1.

9) Papildomi taškai. Apskaičiuokime funkcijos reikšmę kai kuriuose kituose taškuose, kad būtų galima tiksliau sudaryti grafiką.

y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.

10) Remdamiesi gautais duomenimis sudarysime grafiką, papildysime jį asimptotėmis x=1x=1 (mėlyna), y=−x−1y=−x−1 (žalia) ir pažymime būdingus taškus (sankirta su Ordinačių ašis yra violetinė, kraštutinumai yra oranžiniai, papildomi taškai yra juodi):

4 užduotis: geometrinės, ekonominės problemos (neįsivaizduoju kas, čia yra apytikslis uždavinių pasirinkimas su sprendimu ir formulėmis)

3.23 pavyzdys. a

Sprendimas. x ir y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kadangi x = a/4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkime, ar pereinant per šį tašką keičiasi išvestinės ženklas. Jei xa/4 S > 0 ir x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет didžiausia vertė funkcijas. Taigi palankiausias svetainės kraštinių santykis nurodytomis problemos sąlygomis yra y = 2x.

3.24 pavyzdys.

Sprendimas.
R = 2, H = 16/4 = 4.

3.22 pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ekstremalumą.

Sprendimas. Kadangi f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), tada kritiniai funkcijos taškai x 1 \u003d 2 ir x 2 \u003d 3. Kraštutiniai taškai gali būti būti tik šiuose taškuose. Taigi, kai eina per tašką x 1 \u003d 2, išvestinė keičia pliuso ženklą į minusą, tai šiuo metu funkcija turi maksimumą.Einant per tašką x 2 \u003d 3, išvestinė pakeičia minuso ženklą į pliusą, todėl taške x 2 \u003d 3 funkcija turi minimumą. Funkcijos reikšmių skaičiavimas taškais
x 1 = 2 ir x 2 = 3, randame funkcijos kraštutinumus: maksimalus f(2) = 14 ir minimalus f(3) = 13.

3.23 pavyzdys. Prie akmeninės sienos būtina pastatyti stačiakampį plotą, kad ji iš trijų pusių būtų aptverta vielos tinkleliu, o iš ketvirtos pusės priglustų prie sienos. Tam yra a tinklelio linijiniai metrai. Kokiu formatu svetainė turės didžiausią plotą?

Sprendimas. Pažymėkite svetainės puses per x ir y. Svetainės plotas S = xy. Leisti y yra kraštinės, esančios greta sienos, ilgis. Tada pagal sąlygą lygybė 2x + y = a turi galioti. Todėl y = a - 2x ir S = x(a - 2x), kur
0 ≤ x ≤ a/2 (srities ilgis ir plotis negali būti neigiami). S "= a - 4x, a - 4x = 0, jei x = a/4, iš kur
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kadangi x = a/4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkime, ar pereinant per šį tašką keičiasi išvestinės ženklas. Jei xa/4 S > 0 ir x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24 pavyzdys. Reikia pagaminti uždarą cilindrinę talpą V=16p ≈ 50 m 3 . Kokie turi būti bako išmatavimai (spindulys R ir aukštis H), kad jo gamybai būtų sunaudojama kuo mažiau medžiagų?

Sprendimas. Bendras cilindro paviršiaus plotas yra S = 2pR(R+H). Žinome cilindro tūrį V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Vadinasi, S(R) = 2p(R2 +16/R). Mes randame šios funkcijos išvestinę:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 R 3 \u003d 8, todėl
R = 2, H = 16/4 = 4.

Panaši informacija.

Jei užduotyje būtina atlikti išsamų funkcijos f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 tyrimą su jos grafiko konstravimu, tada mes išsamiai apsvarstysime šį principą.

Norint išspręsti tokio tipo problemą, reikia naudoti pagrindinių elementariųjų funkcijų savybes ir grafikus. Tyrimo algoritmas apima šiuos veiksmus:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Apibrėžimo srities radimas

Kadangi tyrimai atliekami funkcijos srityje, būtina pradėti nuo šio žingsnio.

1 pavyzdys

Pateiktame pavyzdyje reikia rasti vardiklio nulius, kad juos būtų galima pašalinti iš DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Dėl to galite gauti šaknis, logaritmus ir pan. Tada g (x) 4 tipo lyginio laipsnio šaknies ODZ galima ieškoti pagal nelygybę g (x) ≥ 0 , logaritmo log a g (x) – pagal nelygybę g (x) > 0 .

ODZ ribų tyrimas ir vertikalių asimptotų radimas

Funkcijos ribose yra vertikalios asimptotės, kai vienpusės ribos tokiuose taškuose yra begalinės.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, apsvarstykite kraštinius taškus, lygius x = ± 1 2 .

Tada reikia ištirti funkciją, kad būtų galima rasti vienpusę ribą. Tada gauname, kad: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = rib x → ​​1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = rib x → ​​1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Tai rodo, kad vienpusės ribos yra begalinės, o tai reiškia, kad tiesės x = ± 1 2 yra vertikalios grafiko asimptotės.

Funkcijų ir lyginių ar nelyginių tyrimas

Kai įvykdoma sąlyga y (- x) = y (x), funkcija laikoma lygine. Tai rodo, kad grafikas yra simetriškai O y atžvilgiu. Kai įvykdoma sąlyga y (- x) = - y (x), funkcija laikoma nelygine. Tai reiškia, kad simetrija eina koordinačių pradžios atžvilgiu. Jei bent viena nelygybė nepavyksta, gauname bendrosios formos funkciją.

Lygybės y (- x) = y (x) įvykdymas rodo, kad funkcija yra lygi. Statant reikia atsižvelgti į tai, kad bus simetrija O y atžvilgiu.

Nelygybei išspręsti naudojami didėjimo ir mažėjimo intervalai su sąlygomis f "(x) ≥ 0 ir f" (x) ≤ 0.

1 apibrėžimas

Stacionarūs taškai yra taškai, kurie išvestinę paverčia nuliu.

Kritiniai taškai yra vidiniai taškai iš srities, kurioje funkcijos išvestinė lygi nuliui arba jos nėra.

Priimant sprendimą reikia atsižvelgti į šiuos dalykus:

• esamiems f "(x) > 0 formos nelygybės didėjimo ir mažėjimo intervalams kritiniai taškai į sprendinį neįtraukiami;
• taškai, kuriuose funkcija apibrėžiama be baigtinės išvestinės, turi būti įtraukiami į didėjimo ir mažėjimo intervalus (pavyzdžiui, y \u003d x 3, kur taškas x \u003d 0 apibrėžia funkciją, išvestinė turi begalybės reikšmę šiuo metu y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 įtrauktas į didinimo intervalą);
• siekiant išvengti nesutarimų, rekomenduojama naudotis matematine literatūra, kurią rekomenduoja Švietimo ministerija.

Kritinių taškų įtraukimas į didėjimo ir mažėjimo intervalus, jei jie atitinka funkcijos sritį.

2 apibrėžimas

Dėl nustatant funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, būtina rasti:

• darinys;
• kritiniai taškai;
• suskaidyti apibrėžimo sritį kritinių taškų pagalba į intervalus;
• nustatykite išvestinės ženklą kiekviename intervale, kur + yra padidėjimas ir - sumažėjimas.

3 pavyzdys

Raskite išvestinę srityje f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Sprendimas

Norėdami išspręsti jums reikia:

• rasti stacionarius taškus, šiame pavyzdyje x = 0 ;
• rasti vardiklio nulius, pavyzdyje reikšmė nulis, kai x = ± 1 2 .

Mes atskleidžiame taškus skaitinėje ašyje, kad nustatytume kiekvieno intervalo išvestinę. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kurį tašką iš intervalo ir atlikti skaičiavimą. At teigiamas rezultatas grafike pavaizduojame +, kuris reiškia funkcijos padidėjimą, o - reiškia jos sumažėjimą.

Pavyzdžiui, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, o tai reiškia, kad pirmasis intervalas kairėje turi + ženklą. Apsvarstykite skaičių linija.

Atsakymas:

• yra funkcijos padidėjimas intervale - ∞ ; - 1 2 ir (- 1 2 ; 0 ] ;
• yra intervalo sumažėjimas [0; 1 2) ir 1 2; +∞ .

Diagramoje, naudojant + ir -, pavaizduotas funkcijos teigiamumas ir neigiamumas, o rodyklės rodo mažėjimą ir didėjimą.

Funkcijos ekstremumai yra taškai, kuriuose funkcija apibrėžiama ir per kuriuos išvestinė keičia ženklą.

4 pavyzdys

Jei apsvarstysime pavyzdį, kur x \u003d 0, tada funkcijos reikšmė jame yra f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kai išvestinės ženklas pasikeičia iš + į - ir eina per tašką x \u003d 0, tada taškas su koordinatėmis (0; 0) laikomas maksimaliu tašku. Pakeitus ženklą iš - į +, gauname minimalų tašką.

Išgaubtumas ir įgaubimas nustatomi sprendžiant formos f "" (x) ≥ 0 ir f "" (x) ≤ 0 nelygybes. Rečiau jie vartoja pavadinimą „išsipūtimas žemyn“, o ne „įgaubtas“, o „išsipūtęs“, o ne „išpūstas“.

3 apibrėžimas

Dėl nustatant įgaubimo ir išgaubimo tarpus būtina:

• rasti antrą išvestinę;
• rasti antrosios išvestinės funkcijos nulius;
• suskaidyti apibrėžimo sritį taškais, atsirandančiais į intervalus;
• nustatyti tarpo ženklą.

5 pavyzdys

Raskite antrąją išvestinę iš apibrėžimo srities.

Sprendimas

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Mes randame skaitiklio ir vardiklio nulius, kur, naudojant mūsų pavyzdį, gauname, kad vardiklio x nuliai yra ± 1 2

Dabar reikia sudėti taškus skaičių eilutėje ir nustatyti antrosios išvestinės iš kiekvieno intervalo ženklą. Mes tai gauname

Atsakymas:

• funkcija yra išgaubta iš intervalo - 1 2 ; 12;
• funkcija įgaubta iš tarpų - ∞ ; - 1 2 ir 1 2 ; +∞ .

4 apibrėžimas

Vingio taškas yra x 0 formos taškas; f(x0) . Kai ji turi funkcijos grafiko liestinę, tada, kai ji eina per x 0, funkcija keičia ženklą į priešingą.

Kitaip tariant, tai yra toks taškas, per kurį praeina antra išvestinė ir keičia ženklą, o pačiuose taškuose yra lygus nuliui arba jo nėra. Visi taškai laikomi funkcijos sritimi.

Pavyzdyje buvo matyti, kad vingio taškų nėra, nes antroji išvestinė, eidama per taškus x = ± 1 2, keičia ženklą. Jie savo ruožtu neįtraukti į apibrėžimo sritį.

Horizontalių ir įstrižų asimptotų radimas

Apibrėžiant funkciją begalybėje, reikia ieškoti horizontalių ir įstrižų asimptočių.

5 apibrėžimas

Įstrižai asimptotai brėžiamos naudojant tieses, gautas pagal lygtį y = k x + b, kur k = lim x → ∞ f (x) x ir b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Jei k = 0 ir b nėra lygus begalybei, matome, kad įstrižoji asimptotė tampa horizontaliai.

Kitaip tariant, asimptotės yra linijos, prie kurių funkcijos grafikas artėja prie begalybės. Tai prisideda prie greito funkcijos grafiko sudarymo.

Jei asimptotų nėra, bet funkcija apibrėžta abiejose begalybėse, reikia apskaičiuoti funkcijos ribą šiose begalybėse, kad suprastume, kaip elgsis funkcijos grafikas.

6 pavyzdys

Kaip pavyzdį apsvarstykite tai

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

yra horizontali asimptotė. Ištyrę funkciją, galite pradėti ją kurti.

Funkcijos reikšmės apskaičiavimas tarpiniuose taškuose

Kad braižymas būtų tiksliausias, tarpiniuose taškuose rekomenduojama rasti kelias funkcijos reikšmes.

7 pavyzdys

Iš mūsų nagrinėjamo pavyzdžio reikia rasti funkcijos reikšmes taškuose x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Kadangi funkcija yra lygi, gauname, kad reikšmės sutampa su reikšmėmis šiuose taškuose, tai yra, gauname x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Parašykime ir spręskime:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Norint nustatyti funkcijos maksimumus ir minimumus, vingio taškus, tarpinius taškus, reikia sudaryti asimptotes. Patogiam žymėjimui fiksuojami didėjimo, mažėjimo, išgaubimo, įdubimo intervalai. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Per pažymėtus taškus būtina nubrėžti grafiko linijas, kurios leis priartėti prie asimptočių, vadovaujantis rodyklėmis.

Tai užbaigia visą funkcijos tyrimą. Yra atvejų, kai sukonstruojamos kai kurios elementarios funkcijos, kurioms naudojamos geometrinės transformacijos.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šiandien kviečiame kartu su mumis ištirti ir sudaryti funkcijų grafiką. Atidžiai išstudijavę šį straipsnį, jums nereikės ilgai prakaituoti, kad atliktumėte tokią užduotį. Išnagrinėti ir sudaryti funkcijos grafiką nėra lengva, darbas yra didelis, reikalaujantis maksimalaus atidumo ir skaičiavimų tikslumo. Kad būtų lengviau suvokti medžiagą, palaipsniui tyrinėsime tą pačią funkciją, paaiškinsime visus savo veiksmus ir skaičiavimus. Sveiki atvykę į nuostabius ir žavus pasaulis matematika! Pirmyn!

Domenas

Norėdami ištirti ir nubrėžti funkciją, turite žinoti keletą apibrėžimų. Funkcija yra viena iš pagrindinių (pagrindinių) matematikos sąvokų. Tai atspindi priklausomybę tarp kelių kintamųjų (dviejų, trijų ar daugiau) su pokyčiais. Funkcija taip pat parodo aibių priklausomybę.

Įsivaizduokite, kad turime du kintamuosius, kurie turi tam tikrą pokyčių diapazoną. Taigi, y yra x funkcija, su sąlyga, kad kiekviena antrojo kintamojo reikšmė atitinka vieną antrojo reikšmę. Šiuo atveju kintamasis y yra priklausomas ir vadinamas funkcija. Įprasta sakyti, kad kintamieji x ir y yra. Kad ši priklausomybė būtų aiškesnė, sudaromas funkcijos grafikas. Kas yra funkcijų grafikas? Tai koordinačių plokštumos taškų rinkinys, kur kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę. Grafikai gali būti skirtingi – tiesi linija, hiperbolė, parabolė, sinusoidė ir pan.

Funkcijų grafiko negalima nubraižyti be tyrinėjimo. Šiandien išmoksime atlikti tyrimus ir nubraižyti funkcijų grafiką. Tyrimo metu labai svarbu užsirašyti. Taigi bus daug lengviau susidoroti su užduotimi. Patogiausias studijų planas:

1. Domenas.
2. Tęstinumas.
3. Lyginis ar nelyginis.
4. Periodiškumas.
5. Asimptotės.
6. Nuliai.
7. Pastovumas.
8. Kylantis ir besileidžiantis.
9. Kraštutinumai.
10. Išgaubtumas ir įdubimas.

Pradėkime nuo pirmojo punkto. Raskime apibrėžimo sritį, tai yra, kokiais intervalais egzistuoja mūsų funkcija: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Mūsų atveju funkcija egzistuoja bet kurioms x reikšmėms, tai yra, apibrėžimo sritis yra R. Tai gali būti parašyta kaip xОR.

Tęstinumas

Dabar mes išnagrinėsime nepertraukiamumo funkciją. Matematikoje terminas „tęstinumas“ atsirado dėl judėjimo dėsnių tyrimo. Kas yra begalinis? Erdvė, laikas, kai kurios priklausomybės (pavyzdys yra kintamųjų S ir t priklausomybė judėjimo uždaviniuose), šildomo objekto temperatūra (vanduo, keptuvė, termometras ir pan.), ištisinė linija (tai yra vienas kurį galima nupiešti nenuimant jo nuo pieštuko).

Grafas laikomas tęstiniu, jei jis tam tikru momentu nenutrūksta. Vienas ryškiausių tokio grafiko pavyzdžių yra sinusinė banga, kurią galite pamatyti šios dalies paveikslėlyje. Funkcija yra ištisinė tam tikru momentu x0, jei tenkinamos kelios sąlygos:

• funkcija apibrėžta duotame taške;
• dešinės ir kairės ribos taške yra lygios;
• riba lygi funkcijos reikšmei taške x0.

Jei neįvykdoma bent viena sąlyga, sakoma, kad funkcija sugenda. O taškai, kuriuose funkcija nutrūksta, vadinami lūžio taškais. Funkcijos, kuri „nutrūks“, kai rodoma grafiškai, pavyzdys yra: y=(x+4)/(x-3). Be to, y neegzistuoja taške x = 3 (nes neįmanoma padalyti iš nulio).

Funkcijoje, kurią tiriame (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) viskas pasirodė paprasta, nes grafikas bus tęstinis.

Lyginis, nelyginis

Dabar patikrinkite pariteto funkciją. Pradėkime nuo mažos teorijos. Lyginė funkcija yra funkcija, kuri tenkina sąlygą f (-x) = f (x) bet kuriai kintamojo x reikšmei (iš reikšmių diapazono). Pavyzdžiai:

• modulis x (grafas atrodo kaip kėkštas, pirmojo ir antrojo grafiko ketvirčių pusiausvyra);
• x kvadratas (parabolė);
• kosinusas x (kosinuso banga).

Atkreipkite dėmesį, kad visi šie grafikai yra simetriški y ašies atžvilgiu.

Kas tada vadinama nelygine funkcija? Tai yra tos funkcijos, kurios tenkina sąlygą: f (-x) \u003d - f (x) bet kuriai kintamojo x reikšmei. Pavyzdžiai:

• hiperbolė;
• kubinė parabolė;
• sinusoidinė;
• tangentas ir pan.

Atkreipkite dėmesį, kad šios funkcijos yra simetriškos taško (0:0), ty pradžios, atžvilgiu. Remiantis tuo, kas buvo pasakyta šioje straipsnio dalyje, lyginė ir nelyginė funkcija turi turėti savybę: x priklauso apibrėžimų rinkiniui, o -x taip pat.

Panagrinėkime pariteto funkciją. Matome, kad ji neatitinka nė vieno apibūdinimo. Todėl mūsų funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Asimptotės

Pradėkime nuo apibrėžimo. Asimptotė yra kreivė, kuri yra kuo arčiau grafiko, tai yra, atstumas nuo tam tikro taško linkęs į nulį. Yra trys asimptotų tipai:

• vertikali, tai yra lygiagreti y ašiai;
• horizontaliai, ty lygiagrečiai x ašiai;
• įstrižas.

Kalbant apie pirmąjį tipą, šių eilučių reikėtų ieškoti kai kuriuose taškuose:

• tarpas;
• domeno galai.

Mūsų atveju funkcija yra ištisinė, o apibrėžimo sritis yra R. Todėl vertikalių asimptočių nėra.

Funkcijos grafikas turi horizontalią asimptotę, kuri atitinka tokį reikalavimą: jei x linkęs į begalybę arba minus begalybę, o riba lygi tam tikram skaičiui (pavyzdžiui, a). Šiuo atveju y=a yra horizontalioji asimptotė. Mūsų tiriamoje funkcijoje nėra horizontalių asimptotų.

Įstrižinė asimptotė egzistuoja tik tada, kai tenkinamos dvi sąlygos:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Tada jį galima rasti pagal formulę: y=kx+b. Vėlgi, mūsų atveju nėra įstrižų asimptotų.

Funkcijos nuliai

Kitas žingsnis yra išnagrinėti nulių funkcijos grafiką. Taip pat labai svarbu pažymėti, kad užduotis, susijusi su funkcijos nulių radimu, atsiranda ne tik tiriant ir braižant funkciją, bet ir kaip savarankiška užduotis, ir kaip būdas išspręsti nelygybes. Gali reikėti surasti funkcijos nulius grafike arba naudoti matematinį žymėjimą.

Šių reikšmių radimas padės tiksliau nubraižyti funkciją. Jei kalbėti paprasta kalba, tada funkcijos nulis yra kintamojo x reikšmė, kai y=0. Jei grafike ieškote funkcijos nulių, tuomet turėtumėte atkreipti dėmesį į taškus, kuriuose grafikas susikerta su x ašimi.

Norint rasti funkcijos nulius, reikia išspręsti šią lygtį: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Atlikę reikiamus skaičiavimus, gauname tokį atsakymą:

ženklo pastovumas

Kitas funkcijos (grafikos) tyrimo ir konstravimo etapas yra ženklų pastovumo intervalų paieška. Tai reiškia, kad turime nustatyti, kokiais intervalais atliekama funkcija teigiama vertė o kai kuriose – neigiamas. Tai padaryti mums padės ankstesniame skyriuje rastų funkcijų nuliai. Taigi, turime sukurti tiesią liniją (atskirai nuo grafiko) ir paskirstyti funkcijos nulius išilgai jos teisinga tvarka nuo mažiausios iki didžiausios. Dabar reikia nustatyti, kuris iš gautų intervalų turi „+“ ženklą, o kuris – „-“.

Mūsų atveju funkcija įgauna teigiamą reikšmę intervaluose:

• nuo 1 iki 4;
• nuo 9 iki begalybės.

Neigiama reikšmė:

• nuo minus begalybės iki 1;
• nuo 4 iki 9.

Tai gana lengva nustatyti. Pakeiskite bet kurį skaičių iš intervalo į funkciją ir pažiūrėkite, koks yra atsakymo ženklas (minusas ar pliusas).

Funkcija didėjanti ir mažėjanti

Norėdami ištirti ir sukurti funkciją, turime žinoti, kur grafikas padidės (kils į viršų Oy), o kur kris (slinks žemyn išilgai y ašies).

Funkcija didėja tik tuo atveju, jei didesnė kintamojo x reikšmė atitinka didesnę y reikšmę. Tai reiškia, kad x2 yra didesnis nei x1, o f(x2) yra didesnis nei f(x1). Ir mes stebime visiškai priešingą reiškinį mažėjančioje funkcijoje (kuo daugiau x, tuo mažiau y). Norėdami nustatyti didėjimo ir mažėjimo intervalus, turite rasti:

• apimtis (jau turime);
• išvestinė (mūsų atveju: 1/3(3x^2-28x+49);
• išspręskite lygtį 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Atlikę skaičiavimus, gauname rezultatą:

Gauname: funkcija didėja intervalais nuo minus begalybės iki 7/3 ir nuo 7 iki begalybės, o mažėja intervalais nuo 7/3 iki 7.

Kraštutinumai

Ištirta funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) yra ištisinė ir egzistuoja bet kurioms kintamojo x reikšmėms. Ekstremalumo taškas rodo šios funkcijos maksimumą ir minimumą. Mūsų atveju jų nėra, o tai labai supaprastina statybos užduotį. Kitu atveju jie taip pat randami naudojant išvestinę funkciją. Radę nepamirškite juos pažymėti diagramoje.

Išgaubtumas ir įdubimas

Tęsiame funkcijos y(x) tyrimą. Dabar turime patikrinti, ar jis yra išgaubtas ir įgaubtas. Šių sąvokų apibrėžimai gana sunkiai suvokiami, geriau viską analizuoti su pavyzdžiais. Bandymui: funkcija yra išgaubta, jei ji yra nemažėjanti funkcija. Sutikite, tai nesuprantama!

Turime rasti antros eilės funkcijos išvestinę. Gauname: y=1/3(6x-28). Dabar lyginkite dešinioji pusė iki nulio ir išspręskite lygtį. Atsakymas: x=14/3. Mes radome vingio tašką, tai yra vietą, kur grafikas pasikeičia iš išgaubto į įgaubtą arba atvirkščiai. Intervale nuo minus begalybės iki 14/3 funkcija yra išgaubta, o nuo 14/3 iki plius begalybės – įgaubta. Taip pat labai svarbu atkreipti dėmesį, kad vingio taškas grafike būtų lygus ir minkštas, neturėtų būti aštrių kampų.

Papildomų taškų apibrėžimas

Mūsų užduotis yra ištirti ir nubraižyti funkcijų grafiką. Tyrimą baigėme, dabar bus nesunku nubraižyti funkciją. Norėdami tiksliau ir detaliau atkurti kreivę arba tiesę koordinačių plokštumoje, galite rasti keletą pagalbinių taškų. Juos apskaičiuoti gana paprasta. Pavyzdžiui, imame x=3, išsprendžiame gautą lygtį ir randame y=4. Arba x=5 ir y=-5 ir pan. Galite paimti tiek papildomų taškų, kiek jums reikia sukurti. Jų randama bent 3-5.

Braižybos

Mums reikėjo ištirti funkciją (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Koordinačių plokštumoje buvo padaryti visi skaičiavimo metu reikalingi ženklai. Belieka sukurti grafiką, tai yra sujungti visus taškus vienas su kitu. Taškų sujungimas vyksta sklandžiai ir tiksliai, tai įgūdžių reikalas – šiek tiek pasipraktikuokite ir jūsų tvarkaraštis bus tobulas.

Panašūs straipsniai