Grafikas y x 2 3. Grafikos funkcijos

Pasirinkime stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje ir nubraižykime argumento reikšmes ant abscisių ašies X, o ant ordinatės - funkcijos reikšmės y = f(x).

Funkcijų grafikas y = f(x) yra aibė visų taškų, kurių abscisės priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai, o ordinatės yra lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms.

Kitaip tariant, funkcijos y = f (x) grafikas yra visų plokštumos taškų, koordinačių aibė X, adresu kurios tenkina santykį y = f(x).

Fig. 45 ir 46 rodo funkcijų grafikus y = 2x + 1 Ir y = x 2 - 2x.

Griežtai kalbant, reikėtų atskirti funkcijos grafiką (tikslus matematinis apibrėžimas buvo pateiktas aukščiau) ir nubrėžtą kreivę, kuri visada pateikia tik daugiau ar mažiau tikslų grafiko eskizą (ir net tada, kaip taisyklė, ne visas grafikas, o tik jo dalis, esanti paskutinėse plokštumos dalyse). Tačiau toliau mes paprastai sakysime „grafas“, o ne „grafiko eskizas“.

Naudodami grafiką galite rasti funkcijos reikšmę taške. Būtent, jei taškas x = a priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai y = f(x), tada norėdami rasti numerį f(a)(t. y. funkcijos reikšmės taške x = a) turėtumėte tai padaryti. Tai būtina per abscisės tašką x = a nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią ordinačių ašiai; ši linija kirs funkcijos grafiką y = f(x) vienu metu; šio taško ordinatė pagal grafiko apibrėžimą bus lygi f(a)(47 pav.).

Pavyzdžiui, dėl funkcijos f(x) = x 2 - 2x naudodamiesi grafiku (46 pav.) randame f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 ir t.t.

Funkcijų grafikas aiškiai iliustruoja funkcijos elgesį ir savybes. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į Fig. 46 akivaizdu, kad funkcija y = x 2 - 2xįgauna teigiamas reikšmes, kai X< 0 ir pas x > 2, neigiamas – ties 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x priima val x = 1.

Norėdami pavaizduoti funkciją f(x) reikia rasti visus plokštumos taškus, koordinates X,adresu kurios tenkina lygtį y = f(x). Daugeliu atvejų to padaryti neįmanoma, nes tokių taškų yra be galo daug. Todėl funkcijos grafikas pavaizduotas apytiksliai – didesniu ar mažesniu tikslumu. Paprasčiausias yra grafiko braižymo būdas naudojant kelis taškus. Jis susideda iš to, kad argumentas X pateikite baigtinį skaičių reikšmių – tarkime, x 1, x 2, x 3,..., x k ir sukurkite lentelę, kurioje būtų pasirinktos funkcijos reikšmės.

Lentelė atrodo taip:

Sudarę tokią lentelę, funkcijos grafike galime nubrėžti keletą taškų y = f(x). Tada sujungus šiuos taškus lygia linija, gauname apytikslį funkcijos grafiko vaizdą y = f(x).

Tačiau reikia pažymėti, kad kelių taškų braižymo metodas yra labai nepatikimas. Tiesą sakant, grafiko elgsena tarp numatytų taškų ir jos elgsena už atkarpos tarp kraštutinių taškų lieka nežinoma.

1 pavyzdys. Norėdami pavaizduoti funkciją y = f(x) kažkas sudarė argumentų ir funkcijų reikšmių lentelę:

Atitinkami penki taškai parodyti fig. 48.

Remdamasis šių taškų išsidėstymu, jis padarė išvadą, kad funkcijos grafikas yra tiesi linija (pavaizduota 48 pav. su punktyrine linija). Ar ši išvada gali būti laikoma patikima? Jei nėra papildomų priežasčių, pagrindžiančių šią išvadą, ji vargu ar gali būti laikoma patikima. patikimas.

Norėdami pagrįsti savo teiginį, apsvarstykite funkciją

Skaičiavimai rodo, kad šios funkcijos reikšmės taškuose -2, -1, 0, 1, 2 yra tiksliai aprašytos aukščiau esančioje lentelėje. Tačiau šios funkcijos grafikas visai nėra tiesi (ji pavaizduota 49 pav.). Kitas pavyzdys būtų funkcija y = x + l + sinπx; jo reikšmės taip pat aprašytos aukščiau esančioje lentelėje.

Šie pavyzdžiai rodo, kad „gryna“ forma grafiko braižymo naudojant kelis taškus metodas yra nepatikimas. Todėl, norint nubraižyti tam tikros funkcijos grafiką, paprastai elgiamasi taip. Pirmiausia išnagrinėjame šios funkcijos savybes, kurių pagalba galime sukurti grafiko eskizą. Tada, apskaičiuojant funkcijos reikšmes keliuose taškuose (kurių pasirinkimas priklauso nuo nustatytų funkcijos savybių), randami atitinkami grafiko taškai. Ir galiausiai, naudojant šios funkcijos savybes, per sukonstruotus taškus nubrėžiama kreivė.

Kai kurias (paprasčiausias ir dažniausiai naudojamas) funkcijų, naudojamų grafiko eskizui rasti, ypatybes panagrinėsime vėliau, tačiau dabar apžvelgsime keletą dažniausiai naudojamų grafikų konstravimo metodų.

Funkcijos y = |f(x)| grafikas.

Dažnai reikia nubrėžti funkciją y = |f(x)|, kur f(x) – suteikta funkcija. Priminsime, kaip tai daroma. Apibrėžę absoliučią skaičiaus reikšmę, galime rašyti

Tai reiškia, kad funkcijos grafikas y =|f(x)| galima gauti iš grafiko, funkcijos y = f(x) taip: visi funkcijos grafiko taškai y = f(x), kurio ordinatės neneigiamos, palikti nepakeistas; toliau, vietoj funkcijos grafiko taškų y = f(x) Turėdami neigiamas koordinates, funkcijos grafike turėtumėte sukurti atitinkamus taškus y = -f(x)(t. y. funkcijos grafiko dalis
y = f(x), kuris yra žemiau ašies X, turi atsispindėti simetriškai apie ašį X).

2 pavyzdys. Nubraižykite funkciją y = |x|.

Paimkime funkcijos grafiką y = x(50 pav., a) ir šio grafiko dalis adresu X< 0 (guli po ašimi X) simetriškai atspindėtas ašies atžvilgiu X. Rezultate gauname funkcijos grafiką y = |x|(50 pav., b).

3 pavyzdys. Nubraižykite funkciją y = |x 2 - 2x|.

Pirmiausia pavaizduokime funkciją y = x 2 - 2x.Šios funkcijos grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, parabolės viršūnė turi koordinates (1; -1), jos grafikas kerta x ašį taškuose 0 ir 2. Intervale (0; 2) funkcija įgauna neigiamas reikšmes, todėl ši grafiko dalis simetriškai atsispindi abscisių ašies atžvilgiu. 51 paveiksle parodytas funkcijos grafikas y = |x 2 -2x|, remiantis funkcijos grafiku y = x 2 - 2x

Funkcijos y = f(x) + g(x) grafikas

Apsvarstykite funkcijos grafiko sudarymo problemą y = f(x) + g(x). jei pateikiami funkcijų grafikai y = f(x) Ir y = g(x).

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos y apibrėžimo sritis = |f(x) + g(x)| yra aibė visų tų x reikšmių, kurioms yra apibrėžtos abi funkcijos y = f(x) ir y = g(x), t. y. ši apibrėžimo sritis yra apibrėžimo sričių, funkcijų f(x) sankirta. ir g(x).

Tegul taškai (x 0, y 1) Ir (x 0, y 2) atitinkamai priklauso funkcijų grafikams y = f(x) Ir y = g(x), t.y. y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Tada taškas (x0;. y1 + y2) priklauso funkcijos grafikui y = f(x) + g(x)(dėl f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. ir bet kurį funkcijos grafiko tašką y = f(x) + g(x) galima gauti tokiu būdu. Todėl funkcijos grafikas y = f(x) + g(x) galima gauti iš funkcijų grafikų y = f(x). Ir y = g(x) pakeičiant kiekvieną tašką ( x n, y 1) funkcinė grafika y = f(x) taškas (x n, y 1 + y 2), Kur y 2 = g(x n), t. y. perkeliant kiekvieną tašką ( x n, y 1) funkcijų grafikas y = f(x) išilgai ašies adresu pagal sumą y 1 = g(x n). Šiuo atveju atsižvelgiama tik į tokius punktus X n, kuriai apibrėžtos abi funkcijos y = f(x) Ir y = g(x).

Šis funkcijos braižymo metodas y = f(x) + g(x) vadinamas funkcijų grafikų pridėjimu y = f(x) Ir y = g(x)

4 pavyzdys. Paveiksle grafų sudėjimo metodu buvo sudarytas funkcijos grafikas
y = x + sinx.

Braižydami funkciją y = x + sinx mes tai manėme f(x) = x, A g(x) = sinx. Norėdami nubraižyti funkcijų grafiką, parenkame taškus su abscisėmis -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Reikšmės f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Suskaičiuokime pasirinktuose taškuose ir rezultatus sutalpinkime į lentelę.

Sukūrimo funkcija

Jūsų dėmesiui siūlome funkcijų grafikų sudarymo internetu paslaugą, į kurią visos teisės priklauso įmonei Desmos. Norėdami įvesti funkcijas, naudokite kairįjį stulpelį. Galite įvesti rankiniu būdu arba naudodami virtualią klaviatūrą lango apačioje. Norėdami padidinti langą su grafiku, galite paslėpti ir kairįjį stulpelį, ir virtualiąją klaviatūrą.

Internetinio diagramų sudarymo pranašumai

Vizualus įvestų funkcijų rodymas
Labai sudėtingų grafikų kūrimas
Netiesiogiai nurodytų grafikų kūrimas (pvz., elipsė x^2/9+y^2/16=1)
Galimybė išsaugoti diagramas ir gauti nuorodą į jas, kuri tampa prieinama visiems internete
Mastelio valdymas, linijos spalva
Galimybė braižyti grafikus taškais, naudojant konstantas
Kelių funkcijų grafikų braižymas vienu metu
Braižymas polinėmis koordinatėmis (naudokite r ir θ(\theta))

Su mumis paprasta kurti įvairaus sudėtingumo diagramas internete. Statyba atliekama akimirksniu. Paslauga yra paklausi ieškant funkcijų susikirtimo taškų, atvaizduojant grafikus, siekiant juos toliau perkelti į Word dokumentą kaip iliustracijas sprendžiant uždavinius, analizuojant funkcijų grafikų elgsenos ypatybes. Optimali naršyklė darbui su diagramomis šiame svetainės puslapyje yra Google Chrome. Tinkamas veikimas negarantuojamas naudojant kitas naršykles.

Pamoka tema: "Funkcijos $y=x^3$ grafikas ir savybės. Grafikų braižymo pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 7 klasei
Elektroninis vadovėlis 7 klasei „Algebra per 10 minučių“
Edukacinis kompleksas 1C "Algebra, 7-9 klasės"

Funkcijos $y=x^3$ savybės

Apibūdinkime šios funkcijos savybes:

1. x yra nepriklausomas kintamasis, y yra priklausomas kintamasis.

2. Apibrėžimo sritis: akivaizdu, kad bet kuriai argumento (x) reikšmei galima apskaičiuoti funkcijos (y) reikšmę. Atitinkamai, šios funkcijos apibrėžimo sritis yra visa skaičių eilutė.

3. Reikšmių diapazonas: y gali būti bet koks. Atitinkamai, reikšmių diapazonas taip pat yra visa skaičių eilutė.

4. Jei x= 0, tai y= 0.

Funkcijos $y=x^3$ grafikas

1. Sukurkime verčių lentelę:

2. Esant teigiamoms x reikšmėms, funkcijos $y=x^3$ grafikas labai panašus į parabolę, kurios šakos labiau „prispaustos“ prie OY ašies.

3. Kadangi neigiamoms x reikšmėms funkcija $y=x^3$ turi priešingas reikšmes, funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu.

Dabar pažymėkime taškus koordinačių plokštumoje ir sukurkime grafiką (žr. 1 pav.).

Ši kreivė vadinama kubine parabole.

Pavyzdžiai

I. Mažame laive visiškai pritrūko gėlo vandens. Iš miesto būtina atsivežti pakankamą kiekį vandens. Vanduo užsakomas iš anksto ir sumokamas už pilną kubą, net jei pripildai šiek tiek mažiau. Kiek kubelių turėčiau užsisakyti, kad nereikėtų permokėti už papildomą kubą ir visiškai užpildyti baką? Yra žinoma, kad bako ilgis, plotis ir aukštis yra vienodi, kurie yra lygūs 1,5 m. Išspręskime šią problemą neatlikę skaičiavimų.

Sprendimas:

1. Sukurkime funkcijos $y=x^3$ grafiką.
2. Raskite tašką A, x koordinatę, kuri lygi 1,5. Matome, kad funkcijos koordinatė yra tarp reikšmių 3 ir 4 (žr. 2 pav.). Taigi reikia užsisakyti 4 kubelius.

Funkcija y=x^2 vadinama kvadratine funkcija. Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė. Bendras parabolės vaizdas parodytas paveikslėlyje žemiau.

Kvadratinė funkcija

1 pav. Bendras parabolės vaizdas

Kaip matyti iš grafiko, jis yra simetriškas Oy ašiai. Oy ašis vadinama parabolės simetrijos ašimi. Tai reiškia, kad jei grafike nubrėžiate tiesią liniją, lygiagrečią Ox ašiai virš šios ašies. Tada jis susikirs su parabole dviejuose taškuose. Atstumas nuo šių taškų iki Oy ašies bus toks pat.

Simetrijos ašis padalija parabolės grafiką į dvi dalis. Šios dalys vadinamos parabolės šakomis. O parabolės taškas, esantis ant simetrijos ašies, vadinamas parabolės viršūne. Tai yra, simetrijos ašis eina per parabolės viršūnę. Šio taško koordinatės yra (0;0).