Kaip rasti nuolydį? Kaip rasti lygties nuolydį.

Išmok imti funkcijų išvestinius. Išvestinė apibūdina funkcijos kitimo greitį tam tikrame taške, esančiame šios funkcijos grafike. IN tokiu atveju Grafikas gali būti tiesi arba lenkta linija. Tai yra, išvestinė apibūdina funkcijos kitimo greitį tam tikru laiko momentu. Prisiminti Bendrosios taisyklės, pagal kurią paimamos išvestinės priemonės, ir tik tada pereikite prie kito žingsnio.

Perskaityk straipsnį.
Kaip imti paprasčiausius išvestinius, pavyzdžiui, išvestinę eksponentinė lygtis, aprašyta. Pateikti skaičiavimai Tolesni žingsniai, bus grindžiamas joje aprašytais metodais.

Išmokite atskirti problemas, kuriose nuolydis turi būti apskaičiuojamas naudojant funkcijos išvestinę. Problemos ne visada prašo rasti funkcijos nuolydį arba išvestinę. Pavyzdžiui, jūsų gali būti paprašyta rasti funkcijos pokyčio greitį taške A(x,y). Taip pat gali būti paprašyta rasti liestinės nuolydį taške A(x,y). Abiem atvejais reikia paimti funkcijos išvestinę.

Paimkite jums pateiktos funkcijos išvestinę.Čia nereikia kurti grafiko – tereikia funkcijos lygties. Mūsų pavyzdyje paimkite funkcijos išvestinę. Paimkite išvestinę priemonę aukščiau minėtame straipsnyje aprašytais metodais:

Išvestinė:

Norėdami apskaičiuoti nuolydį, pakeiskite jums duoto taško koordinates į rastą išvestinę. Funkcijos išvestinė lygi nuolydžiui tam tikrame taške. Kitaip tariant, f"(x) yra funkcijos nuolydis bet kuriame taške (x, f(x)). Mūsų pavyzdyje:

Raskite funkcijos nuolydį f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) taške A(4,2).
Funkcijos išvestinė:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x) = 4x+6)
Pakeiskite šio taško „x“ koordinatės reikšmę:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x) = 4 (4) + 6)
Raskite nuolydį:
Nuolydžio funkcija f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) taške A(4,2) yra lygus 22.

Jei įmanoma, patikrinkite savo atsakymą grafike. Atminkite, kad nuolydžio negalima apskaičiuoti kiekviename taške. Diferencialinis skaičiavimas svarsto sudėtingos funkcijos ir sudėtingi grafikai, kur nuolydis negali būti apskaičiuojamas kiekviename taške, o kai kuriais atvejais taškai nėra grafuose. Jei įmanoma, naudokite grafinį skaičiuotuvą, kad patikrintumėte, ar jums pateiktos funkcijos nuolydis yra teisingas. Priešingu atveju nubrėžkite grafiko liestinę jums duotame taške ir pagalvokite, ar jūsų nustatyta nuolydžio reikšmė atitinka tai, ką matote grafike.

Tam tikrame taške liestinė turės tokį patį nuolydį kaip ir funkcijos grafikas. Norėdami nubrėžti liestinę tam tikrame taške, perkelkite X ašį į kairę/dešinę (mūsų pavyzdyje 22 reikšmės į dešinę), o tada viena aukštyn Y ašyje. Pažymėkite tašką ir prijunkite jį prie tau suteiktas taškas. Mūsų pavyzdyje sujunkite taškus su koordinatėmis (4,2) ir (26,3).

Tiesė y = f(x) bus liestinė diagramai, parodytai taške x0, jei ji eina per šį tašką su koordinatėmis (x0; f(x0)) ir turi kampinį koeficientą f"(x0). Šį koeficientą rasti nesunku, atsižvelgiant į liestinės ypatybes.

Jums reikės

- matematikos žinynas;
- užrašų knygelė;
- paprastas pieštukas;
- rašiklis;
- transporteris;
- kompasas.

Instrukcijos

Atkreipkite dėmesį, kad diferencijuojamos funkcijos f(x) grafikas taške x0 nesiskiria nuo liestinės atkarpos. Todėl jis yra gana arti atkarpos l, einančios per taškus (x0; f(x0)) ir (x0+Δx; f(x0 + Δx)). Norėdami nurodyti tiesę, einančią per tašką A su koeficientais (x0; f(x0)), nurodykite jos nuolydį. Be to, jis yra lygus Δy/Δx sekantinei liestine (Δх→0), taip pat linkęs į skaičių f‘(x0).
Jei f‘(x0) reikšmių nėra, galbūt liestinės nėra, o gal ji eina vertikaliai. Remiantis tuo, funkcijos išvestinės buvimas taške x0 paaiškinamas nevertikalios liestinės, kuri liečiasi su funkcijos grafiku taške (x0, f(x0)), buvimu. Šiuo atveju liestinės kampinis koeficientas lygus f "(x0). Aiškėja geometrinė išvestinės reikšmė, tai yra liestinės kampinio koeficiento apskaičiavimas.
Tai yra, norint rasti liestinės nuolydį, reikia rasti funkcijos išvestinės reikšmę liesties taške. Pavyzdys: raskite funkcijos y = x³ grafiko liestinės kampinį koeficientą, kurio abscisė X0 = 1. Sprendimas: Raskite šios funkcijos y΄(x) = 3x² išvestinę; raskite išvestinės reikšmę taške X0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Liestinės kampo koeficientas taške X0 = 1 lygus 3.
Paveiksle nubrėžkite papildomas liestines, kad jos liestų funkcijos grafiką šiuose taškuose: x1, x2 ir x3. Šių liestinių suformuotus kampus pažymėkite abscisių ašimi (kampas skaičiuojamas teigiama kryptimi – nuo ašies iki liestinės linijos). Pavyzdžiui, pirmasis kampas α1 bus smailus, antrasis (α2) bus bukas, o trečiasis (α3) bus lygus nuliui, nes nubrėžta liestinės linija yra lygiagreti OX ašiai. Šiuo atveju bukojo kampo liestinė yra neigiama prasmė, o smailiojo kampo liestinė yra teigiama, su tg0 ir rezultatas lygus nuliui.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Jau esate susipažinę su funkcijos grafiko liestinės sąvoka. Funkcijos f, diferencijuojamos taške x 0 šalia x 0, grafikas praktiškai nesiskiria nuo liestinės atkarpos, o tai reiškia, kad ji yra artima sekantinei atkarpai l, einančiai per taškus (x 0 ; f (x 0)) ir ( x 0 +Δx; f ( x 0 + Δx)). Bet kuris iš šių sekantų eina per grafiko tašką A (x 0 ; f (x 0)) (1 pav.). Norint vienareikšmiškai apibrėžti tiesę, einančią per nurodytą tašką A, pakanka nurodyti jos nuolydį. Sekanto kampinis koeficientas Δy/Δx kaip Δх→0 yra linkęs į skaičių f ‘(x 0) (laikysime jį liestinės kampiniu koeficientu) Jie sako, kad liestinė yra sekanto ribinė padėtis ties Δх→0.

Jei f'(x 0) neegzistuoja, tai liestinė arba neegzistuoja (kaip funkcija y = |x| taške (0; 0), žr. pav.) arba yra vertikali (kaip funkcijos diagrama taške taškas (0 ; 0), 2 pav.).

Taigi funkcijos f išvestinės buvimas taške xo yra lygiavertis (nevertikalios) liestinės buvimui grafiko taške (x 0, f (x 0)), tuo tarpu liestinės nuolydis yra lygus f" (x 0). Tai yra geometrinė vedinio reikšmė

Funkcijos f, kuri skiriasi taške xo, grafiko liestinė yra tiesė, einanti per tašką (x 0 ; f (x 0)) ir turinti kampinį koeficientą f ‘(x 0).

Nubraižykime funkcijos f grafiko liestines taškuose x 1, x 2, x 3 (3 pav.) ir pažymėkime jų suformuotus kampus su abscisių ašimi. (Tai kampas, išmatuotas teigiama kryptimi nuo teigiamos ašies krypties iki tiesės.) Matome, kad kampas α 1 yra smailus, kampas α 3 yra bukas, o kampas α 2 yra nulis, nes tiesė l yra lygiagrečiai jaučio ašiai. Smailiojo kampo liestinė yra teigiama, bukojo kampo liestinė yra neigiama, tan 0 = 0. Todėl

F"(x 1)>0, f'(x 2) = 0, f'(x 3)
Tangentų konstravimas atskiruose taškuose leidžia tiksliau nubraižyti grafikus. Taigi, pavyzdžiui, norėdami sukurti sinusinės funkcijos grafiko eskizą, pirmiausia nustatome, kad taškuose 0; π/2 ir sinuso π išvestinė yra lygi 1; 0 ir -1 atitinkamai. Sukurkime tiesias linijas, einančias per taškus (0; 0), (π/2,1) ir (π, 0), kurių kampiniai koeficientai yra atitinkamai 1, 0 ir -1 (4 pav.) Belieka tilpti į gauta trapecija, sudaryta iš šių tiesių ir tiesės Ox, sinuso grafikas taip, kad jei x lygus 0, π/2 ir π, ji liečia atitinkamas tieses.

Atkreipkite dėmesį, kad sinuso, esančio šalia nulio, grafikas praktiškai nesiskiria nuo tiesės y = x. Pavyzdžiui, svarstyklės išilgai ašių parenkamos taip, kad vienetas atitiktų 1 cm atkarpą. Turime nuodėmę 0,5 ≈ 0,479425, t.y. |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02, o pasirinktoje skalėje tai atitinka 0,2 mm ilgio atkarpą. Todėl funkcijos y = sin x grafikas intervale (-0,5; 0,5) nukryps (vertikalia kryptimi) nuo tiesės y = x ne daugiau kaip 0,2 mm, o tai apytiksliai atitinka funkcijos storį. nubrėžta linija.

Matematikoje vienas iš parametrų, nusakančių tiesės padėtį Dekarto koordinačių plokštumoje, yra šios tiesės kampinis koeficientas. Šis parametras apibūdina tiesios linijos nuolydį iki abscisių ašies. Norėdami suprasti, kaip rasti nuolydį, pirmiausia prisiminkite bendrą tiesės lygties formą XY koordinačių sistemoje.

IN bendras vaizdas bet kurią tiesę galima pavaizduoti išraiška ax+by=c, kur a, b ir c yra savavališki realieji skaičiai, bet visada a 2 + b 2 ≠ 0.

Naudojant paprastas transformacijas, tokią lygtį galima pateikti į formą y=kx+d, kurioje k ir d yra realieji skaičiai. Skaičius k yra nuolydis, o tokio tipo linijos lygtis vadinama lygtimi su nuolydžiu. Pasirodo, norint rasti nuolydį, tiesiog reikia sumažinti pradinę lygtį iki aukščiau nurodytos formos. Norėdami geriau suprasti, apsvarstykite konkretų pavyzdį:

Užduotis: Raskite tiesės, gautos pagal lygtį 36x - 18y = 108, nuolydį

Sprendimas: Transformuokime pradinę lygtį.

Atsakymas: Reikalingas šios linijos nuolydis yra 2.

Jei lygties transformacijos metu gavome tokią išraišką kaip x = const ir dėl to negalime pavaizduoti y kaip x funkcijos, tai turime tiesę, lygiagrečią X ašiai. Tokio kampo koeficientas tiesi linija lygi begalybei.

Tiesų, išreikštų lygtimi, pvz., y = const, nuolydis yra lygus nuliui. Tai būdinga tiesioms linijoms, lygiagrečioms abscisių ašiai. Pavyzdžiui:

Užduotis: Raskite tiesės nuolydį, gautą pagal lygtį 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Sprendimas: Pateikime pradinę lygtį į bendrą formą

24x + 12m - 12m + 28 = 4

Iš gautos išraiškos y išreikšti neįmanoma, todėl šios tiesės kampinis koeficientas lygus begalybei, o pati tiesė bus lygiagreti Y ašiai.

Geometrinė reikšmė

Kad geriau suprastume, pažiūrėkime į paveikslėlį:

Paveiksle matome tokios funkcijos kaip y = kx grafiką. Kad būtų paprasčiau, imkime koeficientą c = 0. Trikampyje OAB kraštinės BA ir AO santykis bus lygus kampiniam koeficientui k. Tuo pat metu santykis BA/AO yra stačiojo trikampio OAB smailiojo kampo α liestinė. Pasirodo, kad tiesės kampinis koeficientas yra lygus kampo, kurį ši tiesė sudaro su koordinačių tinklelio abscisių ašimi, tangentei.

Išspręsdami uždavinį, kaip rasti tiesės kampinį koeficientą, randame kampo tarp jos ir koordinačių tinklelio X ašies liestinę. Ribiniai atvejai, kai nagrinėjama linija yra lygiagreti koordinačių ašims, patvirtina tai, kas išdėstyta aukščiau. Iš tiesų, tiesei linijai, aprašytai lygtimi y=const, kampas tarp jos ir abscisių ašies yra lygus nuliui. Nulinio kampo liestinė taip pat lygi nuliui, o nuolydis taip pat lygus nuliui.

Tiesių, statmenų x ašiai ir apibūdinamų lygtimi x=const, kampas tarp jų ir X ašies yra 90 laipsnių. Stačiojo kampo liestinė lygi begalybei, o panašių tiesių kampinis koeficientas taip pat lygus begalybei, kas patvirtina tai, kas buvo parašyta aukščiau.

Tangentinis nuolydis

Įprasta užduotis, su kuria dažnai susiduriama praktikoje, taip pat yra surasti funkcijos grafiko liestinės nuolydį tam tikrame taške. Liestinė yra tiesi linija, todėl jai taikytina ir nuolydžio sąvoka.

Norėdami išsiaiškinti, kaip rasti liestinės nuolydį, turėsime prisiminti išvestinės sąvoką. Bet kurios funkcijos išvestinė tam tikrame taške yra konstanta, skaitiniu požiūriu lygi kampo, susidariusio tarp liestinės nurodytame šios funkcijos grafiko taške ir abscisių ašies, liestei. Pasirodo, norint nustatyti liestinės kampinį koeficientą taške x 0, reikia apskaičiuoti pradinės funkcijos išvestinės reikšmę šiame taške k = f"(x 0). Pažvelkime į pavyzdį: