Düz və tərs mütənasib asılılığın praktiki tətbiqi. Birbaşa mütənasib asılılıq

Bu gün biz hansı kəmiyyətlərin tərs mütənasib adlandığına, tərs mütənasiblik qrafikinin necə göründüyünə və bütün bunların təkcə riyaziyyat dərslərində deyil, həm də məktəbdən kənarda sizin üçün necə faydalı ola biləcəyinə baxacağıq.

Belə fərqli nisbətlər

Proporsionallıq bir-birindən asılı olan iki kəmiyyəti adlandırın.

Asılılıq birbaşa və tərs ola bilər. Nəticə etibarilə, kəmiyyətlər arasındakı əlaqələr düz və tərs mütənasibliklə təsvir olunur.

Birbaşa mütənasiblik– bu, iki kəmiyyət arasında elə bir əlaqədir ki, onlardan birinin artması və ya azalması digərinin artması və ya azalmasına səbəb olur. Bunlar. onların münasibəti dəyişmir.

Məsələn, imtahanlar üçün oxumaq üçün nə qədər çox səy göstərsəniz, qiymətləriniz bir o qədər yüksəkdir. Və ya gəzinti zamanı özünüzlə nə qədər çox şey götürsəniz, bel çantanız bir o qədər ağır olacaq. Bunlar. İmtahanlara hazırlaşmaq üçün sərf olunan zəhmətin miqdarı alınan qiymətlərlə düz mütənasibdir. Sırt çantasına yığılan əşyaların sayı isə onun çəkisi ilə düz mütənasibdir.

Tərs mütənasiblik - bu, müstəqil bir dəyərdə bir neçə dəfə azalma və ya artımın (buna arqument deyilir) asılı dəyərin mütənasib (yəni eyni sayda) artmasına və ya azalmasına səbəb olduğu funksional asılılıqdır (bu adlanır). funksiyası).

Gəlin təsvir edək sadə misal. Bazardan alma almaq istəyirsən. Piştaxtadakı almalar və cüzdanınızdakı pulun miqdarı tərs mütənasibdir. Bunlar. nə qədər çox alma alsanız, o qədər az pul sizdə bir az qalacaq.

Funksiya və onun qrafiki

Tərs mütənasiblik funksiyası kimi təsvir edilə bilər y = k/x. Hansında x≠ 0 və k≠ 0.

Bu funksiya aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

Onun tərif sahəsi istisna olmaqla bütün real ədədlərin çoxluğudur x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
Aralıq istisna olmaqla bütün real ədədlərdir y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Maksimum və ya minimum dəyərlərə malik deyil.
Qəribədir və onun qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.
Qeyri-dövri.
Onun qrafiki koordinat oxları ilə kəsişmir.
Sıfırları yoxdur.
Əgər k> 0 (yəni arqument artır), funksiya hər bir intervalında mütənasib olaraq azalır. Əgər k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Arqument artdıqca ( k> 0) mənfi dəyərlər funksiyalar (-∞; 0), müsbət olanlar isə (0; +∞) intervalındadır. Arqument azaldıqda ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Tərs mütənasiblik funksiyasının qrafikinə hiperbola deyilir. Aşağıdakı kimi göstərilir:

Tərs mütənasiblik problemləri

Daha aydın olmaq üçün bir neçə tapşırığa nəzər salaq. Onlar çox mürəkkəb deyil və onların həlli tərs mütənasibliyin nə olduğunu və bu biliklərin gündəlik həyatınızda necə faydalı ola biləcəyini vizuallaşdırmağa kömək edəcək.

Tapşırıq №1. Avtomobil 60 km/saat sürətlə hərəkət edir. Onun təyinatına çatması 6 saat çəkdi. O, iki dəfə sürətlə hərəkət edərsə, eyni məsafəni nə qədər müddətə qət edəcək?

Zaman, məsafə və sürət arasındakı əlaqəni təsvir edən bir düstur yazmaqla başlaya bilərik: t = S/V. Razılaşın, bu bizə tərs mütənasiblik funksiyasını çox xatırladır. Və bu, avtomobilin yolda keçirdiyi vaxt ilə onun hərəkət sürətinin tərs mütənasib olduğunu göstərir.

Bunu yoxlamaq üçün şərtə görə 2 dəfə çox olan V 2-ni tapaq: V 2 = 60 * 2 = 120 km/saat. Sonra S = V * t = 60 * 6 = 360 km düsturu ilə məsafəni hesablayırıq. İndi problemin şərtlərinə görə bizdən tələb olunan t 2 vaxtını tapmaq çətin deyil: t 2 = 360/120 = 3 saat.

Gördüyünüz kimi, səyahət vaxtı və sürət həqiqətən tərs mütənasibdir: orijinal sürətdən 2 dəfə yüksək sürətlə avtomobil yolda 2 dəfə az vaxt keçirəcək.

Bu məsələnin həlli də nisbət şəklində yazıla bilər. Beləliklə, əvvəlcə bu diaqramı yaradaq:

↓ 60 km/saat – 6 saat

↓120 km/saat – x h

Oklar tərs mütənasib əlaqəni göstərir. Onlar da təklif edirlər ki, nisbətləri tərtib edərkən sağ tərəf qeydlər çevrilməlidir: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 saatı haradan alırıq.

Tapşırıq № 2. Sexdə 4 saat ərzində müəyyən bir iş həcmini yerinə yetirə bilən 6 işçi çalışır. İşçilərin sayı iki dəfə azaldılsa, qalan işçilər eyni həcmdə işi nə qədər müddətə yerinə yetirəcəklər?

Məsələnin şərtlərini vizual diaqram şəklində yazaq:

↓ 6 işçi – 4 saat

↓ 3 işçi – x h

Bunu nisbət olaraq yazaq: 6/3 = x/4. Və x = 6 * 4/3 = 8 saat alırıq.2 dəfə az işçi varsa, qalanlar bütün işləri görmək üçün 2 dəfə çox vaxt sərf edəcəklər.

Tapşırıq №3. Hovuza girən iki boru var. Bir boru vasitəsilə su 2 l/s sürətlə axır və hovuzu 45 dəqiqəyə doldurur. Başqa bir boru vasitəsilə hovuz 75 dəqiqəyə dolacaq. Bu boru vasitəsilə su hovuza hansı sürətlə daxil olur?

Başlamaq üçün, məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq bizə verilən bütün kəmiyyətləri eyni ölçü vahidlərinə endirək. Bunun üçün hovuzun dəqiqədə litrlə doldurulma sürətini ifadə edirik: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/dəq.

Vəziyyət hovuzun ikinci boru vasitəsilə daha yavaş doldurulmasını nəzərdə tutduğundan, bu, su axınının sürətinin aşağı olması deməkdir. Mütənasiblik tərsdir. Naməlum sürəti x vasitəsilə ifadə edək və aşağıdakı diaqramı tərtib edək:

↓ 120 l/dəq – 45 dəq

↓ x l/dəq – 75 dəq

Və sonra nisbəti düzəldirik: 120/x = 75/45, buradan x = 120 * 45/75 = 72 l / dəq.

Problemdə hovuzun doldurulma sürəti saniyədə litrlə ifadə edilir, aldığımız cavabı eyni formaya endirək: 72/60 = 1,2 l/s.

Tapşırıq № 4. Kiçik bir özəl mətbəə vizit kartları çap edir. Mətbəə işçisi saatda 42 vizit kartı sürəti ilə işləyir və tam gün işləyir - 8 saat. Daha sürətli işləsə və bir saatda 48 vizit kartı çap etsəydi, evə nə qədər tez gedə bilərdi?

Biz sübut edilmiş yolu izləyirik və problemin şərtlərinə uyğun olaraq istədiyiniz dəyəri x olaraq təyin edən bir diaqram tərtib edirik:

↓ 42 vizit kartı/saat – 8 saat

↓ 48 vizit kartı/saat – x h

Geri qarşımızda mütənasib asılılıq: mətbəə işçisinin saatda neçə dəfə çox vizit kartı çap etdirdiyi, eyni işi yerinə yetirməsi üçün eyni sayda dəfə az vaxt tələb olunacaq. Bunu bilərək, nisbət yaradaq:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 saat.

Belə ki, işi 7 saata başa vuran mətbəə işçisi evə bir saat tez gedə bildi.

Nəticə

Bizə elə gəlir ki, bu tərs mütənasiblik məsələləri həqiqətən sadədir. Ümid edirik ki, indi siz də onlar haqqında belə düşünürsünüz. Əsas odur ki, kəmiyyətlərin tərs mütənasib asılılığı haqqında biliklər həqiqətən sizin üçün bir dəfədən çox faydalı ola bilər.

Təkcə riyaziyyat dərslərində və imtahanlarında yox. Amma o zaman da səyahətə çıxmağa, alış-verişə getməyə hazırlaşanda, bayramlarda bir az da əlavə pul qazanmağa qərar verəndə və s.

Ətrafınızda hansı tərs və düz mütənasib əlaqə nümunələrini müşahidə etdiyinizi şərhlərdə bizə bildirin. Qoy belə oyun olsun. Bunun nə qədər həyəcanlı olduğunu görəcəksiniz. Bu məqaləni paylaşmağı unutmayın sosial şəbəkələrdə dostlarınız və sinif yoldaşlarınız da oynaya bilsin.

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

§ 129. İlkin dəqiqləşdirmələr.

Bir insan daim müxtəlif kəmiyyətlərlə məşğul olur. İşçi və fəhlə müəyyən vaxta qədər işə çatmağa çalışır, piyada ən qısa yolla müəyyən yerə çatmağa tələsir, buxar qızdırıcısı qazanda temperaturun yavaş-yavaş yüksəlməsindən narahatdır, bir iş icraçısı istehsalın maya dəyərini azaltmaq üçün planlar qurur və s.

Belə misalları istənilən sayda göstərmək olar. Vaxt, məsafə, temperatur, xərc - bütün bunlar müxtəlif kəmiyyətlərdir. Bu kitabın birinci və ikinci hissələrində biz bəzi xüsusi ümumi kəmiyyətlərlə tanış olduq: sahə, həcm, çəki. Fizika və digər elmləri öyrənərkən çoxlu kəmiyyətlərlə qarşılaşırıq.

Təsəvvür edin ki, qatarda səyahət edirsiniz. Hərdən saata baxırsan və yolda nə qədər qaldığını görürsən. Siz deyirsiniz ki, məsələn, qatarınızın yola düşməsindən 2, 3, 5, 10, 15 saat keçib və s. Bu rəqəmlər müxtəlif vaxt dövrlərini ifadə edir; onlara bu kəmiyyətin (zamanın) dəyərləri deyilir. Yaxud da qatarınızın qət etdiyi məsafəni görmək üçün pəncərədən baxıb yol dirəklərini izləyirsiniz. Qarşınızda 110, 111, 112, 113, 114 km rəqəmləri yanıb-sönür. Bu rəqəmlər təmsil edir müxtəlif məsafələr hansı qatarın hərəkət nöqtəsindən keçdiyi. Onlara qiymətlər də deyilir, bu dəfə fərqli miqyasda (iki nöqtə arasındakı yol və ya məsafə). Beləliklə, bir kəmiyyət, məsələn, vaxt, məsafə, temperatur, o qədər çox qəbul edə bilər müxtəlif mənalar.

Nəzərə alın ki, insan demək olar ki, heç vaxt yalnız bir kəmiyyəti nəzərə almır, onu həmişə bəzi digər kəmiyyətlərlə əlaqələndirir. O, iki, üç və ilə məşğul olmalıdır böyük rəqəm miqdarlar Təsəvvür edin ki, saat 9-a kimi məktəbə çatmalısınız. Saatına baxırsan ki, 20 dəqiqə vaxtın var. Sonra tramvaya minməli və ya məktəbə piyada gedə biləcəyinizi tez anlayacaqsınız. Düşündükdən sonra gəzməyə qərar verirsən. Diqqət yetirin ki, siz düşünərkən hansısa problemi həll edirdiniz. Hər gün belə problemləri həll etdiyiniz üçün bu tapşırıq sadə və tanış oldu. Orada siz tez bir zamanda bir neçə miqdar müqayisə etdiniz. Saata baxan siz idiniz, yəni vaxtı nəzərə almısınız, sonra zehni olaraq evinizdən məktəbə qədər olan məsafəni təsəvvür etdiniz; nəhayət, siz iki kəmiyyəti müqayisə etdiniz: addımınızın sürəti və tramvayın sürəti və belə nəticəyə gəldiniz ki, vaxt verilmişdir(20 dəq.) Gəzməyə vaxtınız olacaq. Bu sadə nümunədən görə bilərsiniz ki, təcrübəmizdə bəzi kəmiyyətlər bir-biri ilə bağlıdır, yəni bir-birindən asılıdır.

On ikinci fəsil homojen kəmiyyətlərin əlaqəsindən bəhs edirdi. Məsələn, bir seqment 12 m, digəri isə 4 m olarsa, bu seqmentlərin nisbəti 12: 4 olacaqdır.

Dedik ki, bu, iki homojen kəmiyyətin nisbətidir. Bunu deməyin başqa bir yolu da iki ədədin nisbətidir bir ad.

İndi biz kəmiyyətlərlə daha çox tanış olduğumuza və kəmiyyətin dəyəri anlayışını təqdim etdiyimizə görə nisbətin tərifini yeni şəkildə ifadə edə bilərik. Əslində, 12 m və 4 m olan iki seqmenti nəzərdən keçirdikdə, bir dəyərdən danışırdıq - uzunluq və 12 m və 4 m yalnız iki idi. müxtəlif mənalar bu dəyər.

Buna görə də, gələcəkdə nisbətlər haqqında danışmağa başlayanda bir kəmiyyətin iki dəyərini nəzərdən keçirəcəyik və bir kəmiyyətin bir dəyərinin eyni kəmiyyətin digər dəyərinə nisbəti birinci dəyərin bölünməsi əmsalı adlanacaqdır. ikinci ilə.

§ 130. Dəyərlər birbaşa mütənasibdir.

Şərtinə iki kəmiyyət daxil olan məsələni nəzərdən keçirək: məsafə və zaman.

Tapşırıq 1. Düzxətli və bərabər şəkildə hərəkət edən cisim hər saniyədə 12 sm yol qət edir.Cismin 2, 3, 4, ..., 10 saniyədə qət etdiyi məsafəni təyin edin.

Gəlin vaxt və məsafədəki dəyişiklikləri izləmək üçün istifadə edilə bilən bir cədvəl yaradaq.

Cədvəl bizə bu iki dəyər seriyasını müqayisə etmək imkanı verir. Buradan görürük ki, birinci kəmiyyətin (zamanın) qiymətləri tədricən 2, 3,..., 10 dəfə artdıqda, ikinci kəmiyyətin (məsafənin) qiymətləri də 2, 3, ..., 10 dəfə. Beləliklə, bir kəmiyyətin dəyərləri bir neçə dəfə artdıqda, digər kəmiyyətin dəyərləri eyni miqdarda artar və bir kəmiyyətin dəyərləri bir neçə dəfə azaldıqda, digər kəmiyyətin dəyərləri bir neçə dəfə azalır. eyni nömrə.

İndi iki belə kəmiyyəti əhatə edən bir məsələni nəzərdən keçirək: maddənin miqdarı və onun dəyəri.

Tapşırıq 2. 15 m parça 120 rubla başa gəlir. Cədvəldə göstərilən bir neçə digər sayğac üçün bu parçanın qiymətini hesablayın.

Bu cədvəldən istifadə etməklə biz məhsulun kəmiyyətindəki artımdan asılı olaraq onun maya dəyərinin tədricən necə artdığını izləyə bilərik. Baxmayaraq ki, bu problem tamamilə fərqli kəmiyyətləri əhatə edir (birinci məsələdə - vaxt və məsafə, burada isə - əmtəələrin miqdarı və onun dəyəri), buna baxmayaraq, bu kəmiyyətlərin davranışında böyük oxşarlıqlara rast gəlmək olar.

Əslində, cədvəlin yuxarı sətirində parça metr sayını göstərən nömrələr var, onların hər birinin altında müvafiq mal miqdarının dəyərini ifadə edən nömrə var. Bu cədvələ qısaca nəzər salanda belə həm yuxarı, həm də aşağı cərgələrdəki rəqəmlərin artdığını göstərir; Cədvəl daha yaxından araşdırıldıqda və ayrı-ayrı sütunları müqayisə edərkən məlum olur ki, bütün hallarda ikinci kəmiyyətin dəyərləri birinci artımın dəyərləri ilə eyni sayda dəfə artır, yəni. birinci kəmiyyət, məsələn, 10 dəfə artır, sonra ikinci kəmiyyətin qiyməti də 10 dəfə artdı.

Cədvələ sağdan sola baxsaq, kəmiyyətlərin göstərilən dəyərlərinin azalacağını görərik. eyni nömrə bir dəfə. Bu mənada birinci vəzifə ilə ikinci arasında qeyd-şərtsiz oxşarlıq var.

Birinci və ikinci məsələlərdə qarşılaşdığımız kəmiyyət cütləri adlanır düz mütənasibdir.

Beləliklə, əgər iki kəmiyyət bir-biri ilə elə əlaqələndirilirsə ki, onlardan birinin qiyməti bir neçə dəfə artdıqca (azaldıqda), digərinin qiyməti də eyni miqdarda artar (azalır), onda belə kəmiyyətlər düz mütənasib adlanır. .

Belə kəmiyyətlərin bir-biri ilə düz mütənasib əlaqə ilə bağlı olduğu da deyilir.

Təbiətdə və ətrafımızdakı həyatda çoxlu oxşar miqdarlar var. Budur bəzi nümunələr:

1. Vaxt iş (gün, iki gün, üç gün və s.) və qazanc, bu müddət ərzində gündəlik əmək haqqı ilə alınmışdır.

2. Həcmi homojen materialdan hazırlanmış hər hansı bir obyekt və çəki bu maddə.

§ 131. Düz mütənasib kəmiyyətlərin xassəsi.

Aşağıdakı iki kəmiyyəti əhatə edən bir məsələ götürək: iş vaxtı və qazanc. Gündəlik qazanc 20 rubl olarsa, 2 gün ərzində qazanc 40 rubl olacaq və s. Müəyyən sayda günlərin müəyyən bir qazanca uyğun olacağı bir cədvəl yaratmaq ən əlverişlidir.

Bu cədvələ baxdıqda hər iki kəmiyyətin 10 müxtəlif qiymət aldığını görürük. Birinci dəyərin hər bir dəyəri ikinci dəyərin müəyyən bir dəyərinə uyğundur, məsələn, 2 gün 40 rubla uyğundur; 5 gün 100 rubla uyğun gəlir. Cədvəldə bu nömrələr bir-birinin altında yazılır.

Biz artıq bilirik ki, əgər iki kəmiyyət düz mütənasibdirsə, onların hər biri öz dəyişməsi prosesində digəri artdıqca dəfələrlə artır. Bundan dərhal belə çıxır: birinci kəmiyyətin hər hansı iki dəyərinin nisbətini götürsək, ikinci kəmiyyətin iki uyğun dəyərinin nisbətinə bərabər olacaqdır. Həqiqətən:

Bu niyə baş verir? Lakin bu dəyərlər birbaşa mütənasib olduğundan, yəni onlardan biri (vaxt) 3 dəfə, digəri (qazanc) 3 dəfə artdıqda.

Beləliklə, biz belə bir nəticəyə gəldik: əgər birinci kəmiyyətin iki qiymətini götürsək və onları bir-birinə bölsək və sonra ikinci kəmiyyətin uyğun qiymətlərini birinə bölsək, hər iki halda da alacağıq. eyni nömrə, yəni eyni əlaqə. Bu o deməkdir ki, yuxarıda yazdığımız iki münasibət bərabər işarə ilə bağlana bilər, yəni.

Şübhə yoxdur ki, əgər biz bu münasibətləri deyil, başqalarını, o ardıcıllıqla deyil, əksinə, münasibətlərin bərabərliyini də əldə etmiş olarıq. Əslində, kəmiyyətlərimizin dəyərlərini soldan sağa nəzərdən keçirəcəyik və üçüncü və doqquzuncu dəyərləri alacağıq:

60:180 = 1 / 3 .

Beləliklə, yaza bilərik:

Bu, aşağıdakı nəticəyə gətirib çıxarır: əgər iki kəmiyyət birbaşa mütənasibdirsə, onda birinci kəmiyyətin ixtiyari olaraq alınan iki dəyərinin nisbəti ikinci kəmiyyətin iki uyğun dəyərinin nisbətinə bərabərdir.

§ 132. Düz mütənasibliyin düsturu.

Gəlin xərclər cədvəli yaradaq müxtəlif miqdarlarşirniyyat, əgər 1 kq 10,4 rubla başa gəlir.

İndi gəlin bunu bu şəkildə edək. İkinci sətirdə istənilən ədədi götürün və onu birinci sətirdəki müvafiq ədədə bölün. Misal üçün:

Görürsünüz ki, hissədə hər zaman eyni ədəd alınır. Nəticə etibarilə, verilmiş birbaşa mütənasib kəmiyyətlər cütü üçün bir kəmiyyətin hər hansı dəyərini digər kəmiyyətin müvafiq dəyərinə bölmək əmsalı sabit ədəddir (yəni dəyişməz). Bizim nümunəmizdə bu nisbət 10.4-dür. Bu sabit ədədə mütənasiblik əmsalı deyilir. IN bu halda bir ölçü vahidinin, yəni bir kiloqram malın qiymətini ifadə edir.

Mütənasiblik əmsalını necə tapmaq və ya hesablamaq olar? Bunun üçün bir kəmiyyətin istənilən qiymətini götürüb digərinin müvafiq dəyərinə bölmək lazımdır.

Bir kəmiyyətin bu ixtiyari qiymətini hərflə işarə edək saat , və başqa bir kəmiyyətin müvafiq dəyəri - məktub X , sonra mütənasiblik əmsalı (biz onu işarə edirik TO) bölmə ilə tapırıq:

Bu bərabərlikdə saat - bölünən, X - bölən və TO- bölgüdür və bölgü xassəsinə görə divident bölücü bölücü ilə çarpılana bərabər olduğundan yaza bilərik:

y = K x

Nəticədə bərabərlik deyilir düz mütənasiblik düsturu. Bu düsturdan istifadə edərək, digər kəmiyyətin müvafiq dəyərlərini və mütənasiblik əmsalını bilsək, birbaşa mütənasib kəmiyyətlərdən birinin istənilən sayda qiymətini hesablaya bilərik.

Misal. Fizikadan biz bu ağırlığı bilirik R hər hansı bir cismin xüsusi çəkisinə bərabərdir d , bu cismin həcminə vurulur V, yəni. R = d V.

Müxtəlif həcmli beş dəmir çubuq götürək; Dəmirin xüsusi çəkisini (7.8) bilməklə, bu külçələrin çəkilərini düsturla hesablaya bilərik:

R = 7,8 V.

Bu düsturla düsturun müqayisəsi saat = TO X , biz bunu görürük y = R, x = V, və mütənasiblik əmsalı TO= 7.8. Düstur eynidir, yalnız hərflər fərqlidir.

Bu düsturdan istifadə edərək cədvəl tərtib edək: 1-ci blankın həcmi 8 kubmetrə bərabər olsun. sm, onda onun çəkisi 7,8 8 = 62,4 (q) təşkil edir. 2-ci blankın həcmi 27 kubmetrdir. sm.Onun çəkisi 7,8 27 = 210,6 (q) təşkil edir. Cədvəl belə görünəcək:

Düsturdan istifadə edərək bu cədvəldə çatışmayan ədədləri hesablayın R= d V.

§ 133. Düz mütənasib kəmiyyətlərlə bağlı məsələlərin həllinin digər üsulları.

Əvvəlki bənddə şərti düz mütənasib kəmiyyətləri ehtiva edən məsələni həll etdik. Bunun üçün əvvəlcə birbaşa mütənasiblik düsturunu çıxardıq və sonra bu düsturu tətbiq etdik. İndi oxşar problemləri həll etməyin başqa iki yolunu göstərəcəyik.

Əvvəlki paraqrafdakı cədvəldə verilmiş ədədi verilənlərdən istifadə edərək məsələ yaradaq.

Tapşırıq. Həcmi 8 kubmetr olan boşluq. sm-nin çəkisi 62,4 q.Həcmi 64 kubmetr olan blankın çəkisi nə qədər olacaq? santimetr?

Həll. Dəmirin çəkisi, məlum olduğu kimi, həcmi ilə mütənasibdir. Əgər 8 kub. sm çəkisi 62,4 g, sonra 1 kub. sm çəkisi 8 dəfə az olacaq, yəni.

62,4:8 = 7,8 (q).

Həcmi 64 kubmetr olan blank. sm 1 kubmetr boşluqdan 64 dəfə çox çəkəcək. sm, yəni.

7,8 64 = 499,2(q).

Problemimizi birliyə endirərək həll etdik. Bu adın mənası onunla əsaslandırılır ki, onu həll etmək üçün birinci sualda həcm vahidinin çəkisini tapmaq lazım idi.

2. Mütənasiblik üsulu. Eyni məsələni nisbət metodundan istifadə edərək həll edək.

Dəmirin çəkisi və həcmi birbaşa mütənasib kəmiyyətlər olduğundan, bir kəmiyyətin (həcmin) iki dəyərinin nisbəti başqa bir kəmiyyətin (çəki) iki uyğun dəyərinin nisbətinə bərabərdir, yəni.

(məktub R blankın naməlum çəkisini təyin etdik). Buradan:

(G).

Problem nisbətlər metodundan istifadə etməklə həll edildi. Bu o deməkdir ki, onu həll etmək üçün şərtə daxil edilmiş rəqəmlərdən nisbət tərtib edilmişdir.

§ 134. Qiymətlər tərs mütənasibdir.

Aşağıdakı problemi nəzərdən keçirək: “Beş hörgü ustası bir evin kərpic divarlarını 168 günə hörə bilər. 10, 8, 6 və s. masonların eyni işi neçə günə tamamlaya biləcəyini müəyyən edin”.

Əgər 5 mason bir evin divarlarını 168 günə qoydusa, (eyni əmək məhsuldarlığı ilə) 10 mason bunu yarı vaxtda edə bilərdi, çünki orta hesabla 10 nəfər 5 nəfərdən iki dəfə çox iş görür.

İşçilərin sayında və iş saatlarında dəyişiklikləri izləyə biləcəyimiz bir cədvəl tərtib edək.

Məsələn, 6 işçiyə neçə gün lazım olduğunu öyrənmək üçün əvvəlcə bir işçinin neçə günə (168 5 = 840), sonra isə altı işçiyə (840: 6 = 140) neçə gün lazım olduğunu hesablamalısınız. Bu cədvələ baxdıqda hər iki kəmiyyətin altı fərqli qiymət aldığını görürük. Birinci kəmiyyətin hər bir dəyəri konkret birinə uyğundur; ikinci dəyərin qiyməti, məsələn, 10 84-ə, 8 rəqəmi 105-ə uyğun gəlir və s.

Hər iki kəmiyyətin dəyərlərini soldan sağa nəzərdən keçirsək, yuxarı kəmiyyətin qiymətlərinin artdığını, aşağı kəmiyyətin qiymətlərinin isə azaldığını görərik. Artım və azalma aşağıdakı qanuna tabedir: işçilərin sayının dəyərləri sərf olunan iş vaxtının dəyərinin azalması ilə eyni dəfə artır. Bu fikri daha sadə şəkildə belə ifadə etmək olar: hər hansı bir işə nə qədər çox işçi cəlb olunursa, onların yerinə yetirilməsi üçün bir o qədər az vaxt lazımdır. müəyyən iş. Bu problemdə qarşılaşdığımız iki kəmiyyət deyilir tərs mütənasibdir.

Beləliklə, əgər iki kəmiyyət bir-biri ilə elə əlaqələndirilirsə ki, onlardan birinin qiyməti bir neçə dəfə artdıqca (azaldıqda), digərinin qiyməti də eyni miqdarda azalır (artır), onda belə kəmiyyətlər tərs mütənasib adlanır. .

Həyatda oxşar miqdarlar çoxdur. Nümunələr verək.

1. Əgər 150 rubl üçün. Bir neçə kiloqram şirniyyat almaq lazımdırsa, şirniyyatların sayı bir kiloqramın qiymətindən asılı olacaq. Qiymət nə qədər yüksək olarsa, bu pulla bir o qədər az mal ala bilərsiniz; bunu cədvəldən görmək olar:

Şirniyyatın qiyməti bir neçə dəfə artdıqca, 150 rubla alına bilən konfetin kiloqramı da eyni miqdarda azalır. Bu halda iki kəmiyyət (məhsulun çəkisi və onun qiyməti) tərs mütənasibdir.

2. Əgər iki şəhər arasındakı məsafə 1200 km-dirsə, o zaman hərəkət sürətindən asılı olaraq müxtəlif vaxtlarda qət edilə bilər. Mövcüd olmaq fərqli yollar nəqliyyat: piyada, atla, velosipedlə, qayıqla, maşınla, qatarla, təyyarə ilə. Sürət nə qədər aşağı olarsa, hərəkət etmək üçün bir o qədər çox vaxt lazımdır. Bunu cədvəldən görmək olar:

Sürətin bir neçə dəfə artması ilə səyahət vaxtı eyni miqdarda azalır. Bu o deməkdir ki, bu şərtlərdə sürət və zaman tərs mütənasib kəmiyyətlərdir.

§ 135. Tərs mütənasib kəmiyyətlərin xassəsi.

Əvvəlki paraqrafda baxdığımız ikinci nümunəni götürək. Orada iki kəmiyyətlə məşğul olduq - sürət və vaxt. Bu kəmiyyətlərin dəyərlər cədvəlinə soldan sağa baxsaq, görərik ki, birinci kəmiyyətin (sürətin) qiymətləri artıb, ikinci (zaman) qiymətləri isə azalır və zaman azaldıqca sürət eyni miqdarda artır. Bir kəmiyyətin bəzi dəyərlərinin nisbətini yazsanız, başqa bir kəmiyyətin müvafiq dəyərlərinin nisbətinə bərabər olmayacağını başa düşmək çətin deyil. Əslində, yuxarı dəyərin dördüncü dəyərinin yeddinci dəyərə nisbətini (40: 80) götürsək, o, aşağı dəyərin dördüncü və yeddinci qiymətlərinin nisbətinə bərabər olmayacaqdır (30: 15). Bunu belə yazmaq olar:

40:80 30:15 və ya 40:80 =/=30:15-ə bərabər deyil.

Ancaq bu münasibətlərdən birinin əvəzinə əksini götürsək, bərabərlik əldə edirik, yəni bu əlaqələrdən nisbət yaratmaq mümkün olacaq. Misal üçün:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq, aşağıdakı nəticəyə gələ bilərik: iki kəmiyyət tərs mütənasibdirsə, bir kəmiyyətin iki ixtiyari dəyərinin nisbəti başqa bir kəmiyyətin müvafiq dəyərlərinin tərs nisbətinə bərabərdir.

§ 136. Tərs mütənasiblik düsturu.

Problemə nəzər salın: “Müxtəlif ölçülü və müxtəlif dərəcəli 6 ədəd ipək parça var. Bütün parçaların qiyməti eynidir. Bir parça 100 m parçadan ibarətdir, qiyməti 20 rubl. metr başına Əgər bu parçalardakı parçanın bir metri müvafiq olaraq 25, 40, 50, 80, 100 rubla başa gəlirsə, digər beş parçanın hər birində neçə metr var?” Bu problemi həll etmək üçün cədvəl yaradaq:

Bu cədvəlin yuxarı cərgəsindəki boş xanaları doldurmalıyıq. Əvvəlcə ikinci hissədə neçə metr olduğunu müəyyən etməyə çalışaq. Bu aşağıdakı kimi edilə bilər. Problemin şərtlərindən məlum olur ki, bütün parçaların qiyməti eynidir. Birinci parçanın qiymətini müəyyən etmək asandır: onun tərkibində 100 metr var və hər sayğac 20 rubla başa gəlir, yəni ilk ipək parçası 2000 rubl dəyərindədir. İkinci ipək parçasında eyni miqdarda rubl olduğundan, 2000 rubl bölünür. bir metrin qiyməti üçün, yəni 25, biz ikinci parçanın ölçüsünü tapırıq: 2000: 25 = 80 (m). Eyni şəkildə bütün digər parçaların ölçüsünü tapacağıq. Cədvəl belə görünəcək:

Sayğacların sayı ilə qiymət arasında tərs mütənasib əlaqə olduğunu görmək asandır.

Lazımi hesablamaları özünüz etsəniz, görəcəksiniz ki, hər dəfə 2000 rəqəmini 1 m qiymətinə bölməlisiniz.Əksinə, indi parçanın ölçüsünü metrlə 1 m qiymətinə vurmağa başlasanız, , siz həmişə 2000 nömrəsini alacaqsınız.Bu və gözləmək lazım idi, çünki hər bir parça 2000 rubla başa gəlir.

Buradan belə bir nəticə çıxara bilərik: verilmiş tərs mütənasib kəmiyyətlər cütü üçün bir kəmiyyətin hər hansı dəyərinin digər kəmiyyətin müvafiq dəyərinə hasili sabit ədəddir (yəni dəyişməyən).

Problemimizdə bu məhsul 2000-ə bərabərdir.Yoxlayın ki, hərəkət sürətindən və bir şəhərdən digərinə keçmək üçün tələb olunan vaxtdan bəhs edən əvvəlki məsələdə də həmin problem üçün sabit rəqəm (1200) var idi.

Hər şeyi nəzərə alaraq tərs mütənasiblik düsturunu əldə etmək asandır. Bir kəmiyyətin müəyyən qiymətini hərflə işarə edək X , və başqa kəmiyyətin müvafiq qiyməti hərflə təmsil olunur saat . Sonra, yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq, iş X haqqında saat hərflə işarə etdiyimiz bəzi sabit qiymətə bərabər olmalıdır TO, yəni.

x y = TO.

Bu bərabərlikdə X - çoxalma saat - çarpan və K- iş. Vurmanın xassəsinə görə, çarpan çarpana bölünən məhsula bərabərdir. O deməkdir ki,

Bu tərs mütənasiblik düsturudur. Ondan istifadə edərək, tərs mütənasib kəmiyyətlərdən birinin dəyərlərini, digərinin dəyərlərini və sabit nömrəni bilməklə istənilən sayda hesablaya bilərik. TO.

Başqa bir problemə nəzər salaq: “Bir esse müəllifi hesablayıb ki, əgər onun kitabı adi formatdadırsa, onda 96 səhifə, cib formatındadırsa, 300 səhifə olacaq. Çalışdı müxtəlif variantlar, 96 səhifə ilə başladı, sonra hər səhifədə 2500 məktub var idi. Sonra aşağıdakı cədvəldə göstərilən səhifə nömrələrini götürdü və yenidən səhifədə neçə hərf olacağını hesabladı”.

Kitabın 100 səhifəsi varsa, bir səhifədə neçə hərf olacağını hesablamağa çalışaq.

Bütün kitabda 240.000 hərf var, çünki 2.500 96 = 240.000.

Bunu nəzərə alaraq tərs mütənasiblik düsturundan istifadə edirik ( saat - səhifədəki hərflərin sayı, X - səhifələrin sayı):

Bizim nümunəmizdə TO= 240.000

Beləliklə, səhifədə 2400 hərf var.

Eynilə, bir kitabın 120 səhifəsi varsa, səhifədəki hərflərin sayının belə olacağını öyrənirik:

Cədvəlimiz belə görünəcək:

Qalan xanaları özünüz doldurun.

§ 137. Tərs mütənasib kəmiyyətlərlə bağlı məsələlərin həllinin digər üsulları.

Əvvəlki paraqrafda şərtlərinə tərs mütənasib kəmiyyətlər daxil olan məsələləri həll etdik. Əvvəlcə tərs mütənasiblik düsturunu çıxardıq və sonra bu düsturu tətbiq etdik. İndi bu cür problemlər üçün başqa iki həll yolu göstərəcəyik.

1. Birliyə endirmə üsulu.

Tapşırıq. 5 dönər 16 günə bəzi işləri görə bilir. 8 dönər bu işi neçə günə başa çatdıra bilər?

Həll. Dönərlərin sayı ilə iş saatları arasında tərs əlaqə var. 5 dönər işi 16 gündə yerinə yetirirsə, onda bir adamın bunun üçün 5 dəfə çox vaxt lazımdır, yəni.

5 tokar işi 16 günə tamamlayır,

1 tornaçı onu 16 5 = 80 günə tamamlayacaq.

Məsələ soruşur ki, işi başa çatdırmaq üçün 8 dönərçiyə neçə gün lazım olacaq. Aydındır ki, onlar işin öhdəsindən 1 dönərdən 8 dəfə tez gələcəklər, yəni.

80: 8 = 10 (günlər).

Problemi birliyə endirməklə həlli budur. Burada ilk növbədə bir fəhlə işi başa çatdırmaq üçün lazım olan vaxtı müəyyən etmək lazım idi.

2. Mütənasiblik üsulu. Eyni problemi ikinci şəkildə həll edək.

İşçilərin sayı ilə iş vaxtı arasında tərs mütənasib əlaqə olduğu üçün yaza bilərik: 5 dönərin iş müddəti yeni dönərlərin sayı (8) 8 dönərçinin iş müddəti əvvəlki dönərlərin sayı (5) məktubla tələb olunan iş müddəti X və lazımi rəqəmləri sözlərlə ifadə olunan nisbətdə əvəz edin:

Eyni problem nisbətlər üsulu ilə həll edilir. Onu həll etmək üçün problemin ifadəsinə daxil edilmiş rəqəmlərdən nisbət yaratmalı olduq.

Qeyd.Əvvəlki paraqraflarda biz düz və tərs mütənasiblik məsələsini araşdırdıq. Təbiət və həyat kəmiyyətlərin birbaşa və tərs mütənasib asılılığına dair çoxlu nümunələr verir. Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, bu iki asılılıq növü yalnız ən sadədir. Onlarla yanaşı, kəmiyyətlər arasında başqa, daha mürəkkəb asılılıqlar da mövcuddur. Bundan əlavə, düşünməmək lazımdır ki, hər hansı iki kəmiyyət eyni vaxtda artırsa, deməli, onlar arasında mütləq birbaşa mütənasiblik vardır. Bu həqiqətdən uzaqdır. Məsələn, rüsumlar dəmir yolu məsafədən asılı olaraq artır: nə qədər uzaqlaşsaq, bir o qədər çox ödəyirik, lakin bu, ödənişin məsafəyə mütənasib olması demək deyil.

Misal

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5.6 / 7 = 0.8 və s.

Proporsionallıq faktoru

Mütənasib kəmiyyətlərin sabit əlaqəsi adlanır mütənasiblik amili. Mütənasiblik əmsalı bir kəmiyyətin digərinin vahidinə neçə vahidinin olduğunu göstərir.

Birbaşa mütənasiblik

Birbaşa mütənasiblik- funksional asılılıq, müəyyən bir kəmiyyət digər kəmiyyətdən onların nisbəti sabit qalacaq şəkildə asılıdır. Başqa sözlə, bu dəyişənlər dəyişir mütənasib olaraq, bərabər paylarda, yəni arqument hər hansı bir istiqamətdə iki dəfə dəyişirsə, funksiya da eyni istiqamətdə iki dəfə dəyişir.

Riyazi olaraq düz mütənasiblik düstur kimi yazılır:

f(x) = ax,a = const

Tərs mütənasiblik

Tərs mütənasiblik- bu, müstəqil dəyərin (arqumentin) artmasının asılı dəyərin (funksiya) mütənasib azalmasına səbəb olduğu funksional asılılıqdır.

Riyazi olaraq tərs mütənasiblik düstur kimi yazılır:

Funksiya xüsusiyyətləri:

Mənbələr

Wikimedia Fondu. 2010.

Nyutonun ikinci qanunu
Coulomb maneəsi

Digər lüğətlərdə "Birbaşa mütənasibliyin" nə olduğuna baxın:

birbaşa mütənasiblik- - [A.S.Qoldberq. İngilis-Rus enerji lüğəti. 2006] Ümumi enerji mövzuları EN birbaşa nisbəti ... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi

birbaşa mütənasiblik- T sritis fizika attikmenys statusas tiesioginas proporcingumas: engl. birbaşa mütənasiblik vok. direkte Proportionalität, f rus. düz mütənasiblik, f pranc. Doğrudan nisbətdə, f … Fiziki terminų žodynas

Proporsionallıq- (latınca proporsionalis proporsional, mütənasib). Proporsionallıq. Lüğət xarici sözlər, rus dilinə daxildir. Çudinov A.N., 1910. PROPORSİONALLIQ lat. mütənasib, mütənasib. Proporsionallıq. İzahat 25000...... Rus dilinin xarici sözlərin lüğəti

Proporsionallıq- mütənasiblik, mütənasiblik, cəmlik. yox, qadın (kitab). 1. mücərrəd isim proporsional. Hissələrin mütənasibliyi. Bədən mütənasibliyi. 2. Kəmiyyətlər arasında belə bir əlaqə onlar mütənasib olduqda (bax proporsional ... Lüğət Uşakova

Proporsionallıq- Bir-birindən asılı olan iki kəmiyyət, onların dəyərlərinin nisbəti dəyişməz qalsa, mütənasib adlanır.Mündərici 1 Misal 2 Mütənasiblik əmsalı...

Proporsionallıq- Proporsionallıq və qadın. 1. mütənasib bax. 2. Riyaziyyatda: kəmiyyətlər arasında elə bir əlaqədir ki, onlardan birinin artması digərində də eyni miqdarda dəyişməyə səbəb olur. Düz xətt (bir qiymət artımı ilə kəsiklə ... ... Ozhegovun izahlı lüğəti

mütənasiblik- Və; və. 1. Proporsional (1 dəyər); mütənasiblik. P. hissələri. P. bədən quruluşu. P. parlamentdə təmsilçilik. 2. Riyaziyyat. Proporsional olaraq dəyişən kəmiyyətlər arasında asılılıq. Proporsionallıq faktoru. Birbaşa xətt (hansı ilə...... ensiklopedik lüğət

Belə fərqli nisbətlər

Proporsionallıq bir-birindən asılı olan iki kəmiyyəti adlandırın.

Asılılıq birbaşa və tərs ola bilər. Nəticə etibarilə, kəmiyyətlər arasındakı əlaqələr düz və tərs mütənasibliklə təsvir olunur.

Tərs mütənasiblik- bu, müstəqil bir dəyərdə bir neçə dəfə azalma və ya artımın (buna arqument deyilir) asılı dəyərin mütənasib (yəni eyni sayda) artmasına və ya azalmasına səbəb olduğu funksional asılılıqdır (bu adlanır). funksiyası).

Sadə bir nümunə ilə izah edək. Bazardan alma almaq istəyirsən. Piştaxtadakı almalar və cüzdanınızdakı pulun miqdarı tərs mütənasibdir. Bunlar. Nə qədər çox alma alsanız, bir o qədər az pulunuz qalacaq.

Funksiya və onun qrafiki

Tərs mütənasiblik funksiyası kimi təsvir edilə bilər y = k/x. Hansında x≠ 0 və k≠ 0.

Bu funksiya aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

Onun tərif sahəsi istisna olmaqla bütün real ədədlərin çoxluğudur x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
Aralıq istisna olmaqla bütün real ədədlərdir y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Maksimum və ya minimum dəyərlərə malik deyil.
Qəribədir və onun qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.
Qeyri-dövri.
Onun qrafiki koordinat oxları ilə kəsişmir.
Sıfırları yoxdur.
Əgər k> 0 (yəni arqument artır), funksiya hər bir intervalında mütənasib olaraq azalır. Əgər k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Arqument artdıqca ( k> 0) funksiyanın mənfi dəyərləri (-∞; 0) intervalında, müsbət dəyərləri isə (0; +∞) intervalındadır. Arqument azaldıqda ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Tərs mütənasiblik funksiyasının qrafikinə hiperbola deyilir. Aşağıdakı kimi göstərilir:

Tərs mütənasiblik problemləri

Gördüyünüz kimi, səyahət vaxtı və sürət həqiqətən tərs mütənasibdir: orijinal sürətdən 2 dəfə yüksək sürətlə avtomobil yolda 2 dəfə az vaxt keçirəcək.

Bu məsələnin həlli də nisbət şəklində yazıla bilər. Beləliklə, əvvəlcə bu diaqramı yaradaq:

↓ 60 km/saat – 6 saat

↓120 km/saat – x h

Oklar tərs mütənasib əlaqəni göstərir. Onlar həmçinin təklif edirlər ki, nisbət tərtib edərkən qeydin sağ tərəfi çevrilməlidir: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 saatı haradan alırıq.

Məsələnin şərtlərini vizual diaqram şəklində yazaq:

↓ 6 işçi – 4 saat

↓ 3 işçi – x h

Bunu nisbət olaraq yazaq: 6/3 = x/4. Və x = 6 * 4/3 = 8 saat alırıq.2 dəfə az işçi varsa, qalanlar bütün işləri görmək üçün 2 dəfə çox vaxt sərf edəcəklər.

↓ 120 l/dəq – 45 dəq

↓ x l/dəq – 75 dəq

Və sonra nisbəti düzəldirik: 120/x = 75/45, buradan x = 120 * 45/75 = 72 l / dəq.

Problemdə hovuzun doldurulma sürəti saniyədə litrlə ifadə edilir, aldığımız cavabı eyni formaya endirək: 72/60 = 1,2 l/s.

Biz sübut edilmiş yolu izləyirik və problemin şərtlərinə uyğun olaraq istədiyiniz dəyəri x olaraq təyin edən bir diaqram tərtib edirik:

↓ 42 vizit kartı/saat – 8 saat

↓ 48 vizit kartı/saat – x h

Bizdə tərs mütənasib bir əlaqə var: mətbəə işçisinin saatda neçə dəfə çox vizit kartı çap etdirdiyi, eyni işi yerinə yetirməsi üçün o qədər də az vaxt tələb olunacaq. Bunu bilərək, nisbət yaradaq:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 saat.

Belə ki, işi 7 saata başa vuran mətbəə işçisi evə bir saat tez gedə bildi.

Nəticə

Ətrafınızda hansı tərs və düz mütənasib əlaqə nümunələrini müşahidə etdiyinizi şərhlərdə bizə bildirin. Qoy belə oyun olsun. Bunun nə qədər həyəcanlı olduğunu görəcəksiniz. Dostlarınızın və sinif yoldaşlarınızın da oynaması üçün bu məqaləni sosial şəbəkələrdə paylaşmağı unutmayın.

blog.site, materialı tam və ya qismən kopyalayarkən, orijinal mənbəyə keçid tələb olunur.

Misal

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5.6 / 7 = 0.8 və s.

Proporsionallıq faktoru

Mütənasib kəmiyyətlərin sabit əlaqəsi adlanır mütənasiblik amili. Mütənasiblik əmsalı bir kəmiyyətin digərinin vahidinə neçə vahidinin olduğunu göstərir.

Birbaşa mütənasiblik

Riyazi olaraq düz mütənasiblik düstur kimi yazılır:

f(x) = ax,a = const

Tərs mütənasiblik

Tərs mütənasiblik- bu, müstəqil dəyərin (arqumentin) artmasının asılı dəyərin (funksiya) mütənasib azalmasına səbəb olduğu funksional asılılıqdır.

Riyazi olaraq tərs mütənasiblik düstur kimi yazılır:

Funksiya xüsusiyyətləri: