) və məxrəcə görə məxrəc (məxrəcin məxrəcini alırıq).

Kəsrin çoxaldılması düsturu:

Misal üçün:

Numeratorların və məxrəclərin vurulmasına davam etməzdən əvvəl kəsrin azaldılmasının mümkünlüyünü yoxlamaq lazımdır. Kəsiri azaltmağı bacarsanız, hesablamalara davam etmək daha asan olacaq.

Adi kəsrin kəsrə bölünməsi.

Natural ədədi əhatə edən kəsrlərin bölünməsi.

Göründüyü qədər qorxulu deyil. Toplama vəziyyətində olduğu kimi, tam ədədi məxrəcdə vahid olan kəsrə çeviririk. Misal üçün:

Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Kəsrlərin vurulması qaydaları (qarışıq):

• qarışıq fraksiyaları düzgün olmayana çevirmək;
• kəsrlərin say və məxrəclərini vurmaq;
• fraksiyanı azaldır;
• düzgün olmayan kəsr alsaq, onda natamam kəsri qarışıq kəsrə çeviririk.

Qeyd! Qarışıq kəsri başqa bir qarışıq kəsrlə vurmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan fraksiyalar formasına gətirməli, sonra isə adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın ikinci yolu.

Adi kəsri ədədə vurmaq üçün ikinci üsuldan istifadə etmək daha rahatdır.

Qeyd! Kəsiri vurmaq üçün natural ədəd kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı dəyişməz qoymaq lazımdır.

Yuxarıdakı misaldan aydın olur ki, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölündükdə bu variantdan istifadə etmək daha əlverişlidir.

Çoxsəviyyəli fraksiyalar.

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya daha çox) fraksiyalara rast gəlinir. Misal:

Belə bir kəsri adi formaya gətirmək üçün 2 nöqtəyə bölmədən istifadə olunur:

Qeyd! Kəsrləri bölərkən bölmə sırası çox vacibdir. Ehtiyatlı olun, burada çaşmaq asandır.

Qeyd, Misal üçün:

Biri hər hansı bir kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olacaq, yalnız ters çevrilir:

Kəsrləri çoxaltmaq və bölmək üçün praktiki məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işdə ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir. Bütün hesablamaları diqqətlə və dəqiq, konsentrə və aydın şəkildə aparın. Başınızdakı hesablamalara qarışmaqdansa, bir qaralamada bir neçə əlavə sətir yazmaq daha yaxşıdır.

2. ilə tapşırıqlarda fərqli növlər fraksiyalar - adi kəsrlər formasına keçin.

3. Artıq azaltmaq mümkün olmayana qədər bütün fraksiyaları azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edərək adi olanlara gətiririk.

5. Biz sadəcə olaraq kəsri çevirməklə vahidi zehnimizdə kəsrə bölürük.

Keçən dəfə kəsrləri toplama və çıxarma üsullarını öyrəndik ("Kəsrlərin toplanması və çıxılması" dərsinə baxın). Ən çox çətin an həmin hərəkətlərdə kəsrlərin ortaq məxrəcə endirilməsi idi.

İndi vurma və bölmə ilə məşğul olmaq vaxtıdır. Yaxşı xəbər budur ki, bu əməliyyatlar əlavə və çıxmadan daha asandır. Başlamaq üçün düşünün ən sadə hal, fərqləndirilmiş tam hissəsi olmayan iki müsbət fraksiya olduqda.

İki fraksiyanı çoxaltmaq üçün onların ədədlərini və məxrəclərini ayrıca çoxaltmaq lazımdır. Birinci ədəd yeni kəsrin payı, ikincisi isə məxrəci olacaq.

İki fraksiyanı bölmək üçün birinci fraksiyanı "ters çevrilmiş" ikinciyə vurmaq lazımdır.

Təyinat:

Tərifdən belə çıxır ki, kəsrlərin bölünməsi vurmaya qədər azalır. Kəsiri çevirmək üçün sadəcə pay və məxrəci dəyişdirin. Buna görə də, bütün dərsi əsasən vurmağı nəzərdən keçirəcəyik.

Çarpma nəticəsində azaldılmış bir fraksiya yarana bilər (və tez-tez yaranır) - əlbəttə ki, azaldılmalıdır. Bütün azalmalardan sonra fraksiya səhv olduğu ortaya çıxarsa, onda bütün hissəni ayırd etmək lazımdır. Ancaq vurma ilə dəqiq baş verməyəcək şey ümumi məxrəcə endirmədir: çarpaz üsullar, maksimum amillər və ən kiçik ümumi çarpanlar yoxdur.

Tərifinə görə bizdə var:

Tam hissəli kəsrlərin və mənfi kəsrlərin vurulması

Kəsrlərdə tam ədəd varsa, onlar düzgün olmayanlara çevrilməlidir və yalnız bundan sonra yuxarıda göstərilən sxemlərə uyğun olaraq vurulmalıdır.

Əgər kəsrin payında, məxrəcində və ya qarşısında mənfi olarsa, o, aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq vurma hüdudlarından çıxarıla və ya tamamilə silinə bilər:

1. Artı dəfə minus mənfi verir;
2. İki mənfi təsbit edir.

İndiyə qədər bu qaydalara yalnız toplama və çıxma ilə rast gəlinib. mənfi fraksiyalar bütün hissədən qurtulmaq tələb olunduqda. Bir məhsul üçün bir anda bir neçə mənfi cəhətləri "yandırmaq" üçün ümumiləşdirilə bilər:

1. Mənfiləri tamamilə yox olana qədər cüt-cüt kəsirik. IN son çarə, bir mənfi sağ qala bilər - bir cüt tapmayan;
2. Heç bir minus qalmazsa, əməliyyat tamamlandı - çarpmağa başlaya bilərsiniz. Sonuncu mənfi kəsilməyibsə, çünki bir cüt tapmadığı üçün onu vurma hüdudlarından çıxarırıq. Mənfi kəsr alırsınız.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Bütün fraksiyaları düzgün olmayanlara tərcümə edirik və sonra vurma hüdudlarından kənarda olan mənfi cəhətləri çıxarırıq. Qalanlar adi qaydalara uyğun olaraq çoxaldılır. Biz əldə edirik:

Bir daha xatırladıram ki, vurğulanmış tam hissəsi olan kəsrdən əvvəl gələn mənfi onun tam hissəsinə deyil, konkret olaraq bütün kəsrə aiddir (bu, son iki nümunəyə aiddir).

Həmçinin diqqət yetirin mənfi ədədlər: Çoxaldıqda, onlar mötərizə içərisinə alınır. Bu, vurma işarələrindən minusları ayırmaq və bütün qeydi daha dəqiq etmək üçün edilir.

Tez fraksiyaların azaldılması

Çoxalma çox zəhmət tələb edən bir əməliyyatdır. Buradakı rəqəmlər olduqca böyükdür və tapşırığı asanlaşdırmaq üçün kəsri daha da azaltmağa cəhd edə bilərsiniz çarpmadan əvvəl. Həqiqətən də, mahiyyət etibarı ilə kəsrlərin say və məxrəcləri adi amillərdir və deməli, kəsrin əsas xassəsindən istifadə etməklə onları azaltmaq olar. Nümunələrə nəzər salın:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Tərifinə görə bizdə var:

Bütün nümunələrdə azaldılmış rəqəmlər və onlardan qalanlar qırmızı rənglə qeyd olunur.

Diqqət yetirin: birinci halda çarpanlar tamamilə azaldılıb. Bölmələr öz yerlərində qaldılar, ümumiyyətlə, buraxıla bilər. İkinci misalda, tam azalmaya nail olmaq mümkün olmadı, lakin hesablamaların ümumi məbləği yenə də azaldı.

Ancaq heç bir halda fraksiyaları əlavə edib çıxararkən bu texnikadan istifadə etməyin! Bəli, bəzən sadəcə azaltmaq istədiyiniz oxşar rəqəmlər var. Budur, baxın:

Sən bunu edə bilməzsən!

Səhv, kəsr əlavə edərkən cəmin ədədlərin hasilində deyil, kəsrin sayında görünməsi ilə əlaqədardır. Buna görə də kəsrin əsas xassəsini tətbiq etmək mümkün deyil, çünki bu xassədə danışırıq Söhbət rəqəmlərin çoxaldılmasından gedir.

Sadəcə olaraq fraksiyaları azaltmaq üçün başqa səbəb yoxdur düzgün həlləvvəlki tapşırıq belə görünür:

Düzgün həll:

Gördüyünüz kimi, düzgün cavab o qədər də gözəl deyil. Ümumiyyətlə, diqqətli olun.

Tam ədədi kəsrə vurmaq sadə bir işdir. Amma elə incəliklər var ki, onları yəqin ki, məktəbdə başa düşdün, amma sonradan unutmusan.

Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar - bir neçə şərt

Numeratorun, məxrəcin nə olduğunu və necə fərqləndiyini xatırlayırsınızsa düzgün fraksiya yanlışdan - bu paraqrafı atlayın. Nəzəriyyəni tamamilə unudanlar üçündür.

Hesablayıcıdır üst hissəsi kəsrlər böldüklərimizdir. Məxrəc aşağı olandır. Paylaşdığımız budur.
Düzgün kəsr, payı məxrəcdən kiçik olan kəsrdir. Düzgün olmayan kəsr, payı məxrəcə bərabər və ya böyük olan kəsrdir.

Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar

Tam ədədi kəsrə vurma qaydası çox sadədir - biz payı tam ədədə vururuq və məxrəcə toxunmuruq. Məsələn: iki beşdə birinə vuruldu - biz beşdə iki alırıq. Dörd dəfə on altıda üç on iki on altıdır.

Azaldılması

İkinci misalda nəticədə kəsr azaldıla bilər.
Bunun mənası nədi? Qeyd edək ki, bu kəsrin həm payı, həm də məxrəci dördə bölünür. Hər iki ədədi ortaq bölənə bölmək kəsri azaltmaq adlanır. Dörddə üçü alırıq.

Səhv fraksiyalar

Ancaq tutaq ki, dörd dəfə beşdə ikiyə çarpırıq. Səkkiz beşdə aldı. Bu səhv fraksiyadır.
Onu gətirmək lazımdır düzgün forma. Bunu etmək üçün ondan bütöv bir hissə seçmək lazımdır.
Burada qalanla bölmədən istifadə etməlisiniz. Qalanda bir və üç alırıq.
Bir tam və beşdə üç bizim uyğun kəsrimizdir.

Otuz beş səkkizləri düzəltmək bir qədər çətindir.Səkkizə bölünən otuz yeddiyə ən yaxın ədəd otuz ikidir. Bölündükdə dörd alırıq. Otuz beşdən otuz ikini çıxarırıq - üçü alırıq. Nəticə: dörd tam və üç səkkiz.

Hissənin və məxrəcin bərabərliyi. Və burada hər şey çox sadə və gözəldir. Paylayıcı və məxrəc bərabər olduqda, nəticə yalnız birdir.

Kəsrlərin vurulması və bölünməsi.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki material.
Şiddətli "çox deyil..." olanlar üçün
Və "çox..." olanlar üçün)

Bu əməliyyat toplama-çıxma əməliyyatından daha gözəldir! Çünki daha asandır. Xatırladıram: bir kəsri kəsrə vurmaq üçün sayları (bu nəticənin payı olacaq) və məxrəcləri (bu məxrəc olacaq) çoxaltmaq lazımdır. Yəni:

Misal üçün:

Hər şey son dərəcə sadədir. Və xahiş edirəm ortaq məxrəc axtarmayın! Burda lazım deyil...

Kəsiri kəsrə bölmək üçün çevirmək lazımdır ikinci(bu vacibdir!) kəsr və onları çoxaldın, yəni:

Misal üçün:

Tam ədədlər və kəsrlərlə vurma və ya bölmə tutuldusa, eybi yoxdur. Əlavədə olduğu kimi, məxrəcdə vahid olan tam ədəddən kəsir düzəldirik - və gedin! Misal üçün:

Orta məktəbdə tez-tez üç mərtəbəli (və ya hətta dörd mərtəbəli!) fraksiyalarla məşğul olmalısan. Misal üçün:

Bu fraksiyanı layiqli formaya necə gətirmək olar? Bəli, çox asan! İki nöqtəyə bölmədən istifadə edin:

Ancaq bölgü qaydasını unutma! Çoxalmadan fərqli olaraq, burada bu çox vacibdir! Təbii ki, 4:2 və ya 2:4-ü qarışdırmayacağıq. Ancaq üç mərtəbəli bir hissədə səhv etmək asandır. Qeyd edək ki, məsələn:

Birinci halda (solda ifadə):

İkincidə (sağdakı ifadə):

Fərqi hiss edirsiniz? 4 və 1/9!

Bölünmə qaydası nədir? Və ya mötərizələr və ya (burada olduğu kimi) üfüqi tirelərin uzunluğu. Göz inkişaf etdirin. Mötərizələr və tire yoxdursa, məsələn:

sonra bölmək-çoxalmaq sıra ilə, soldan sağa!

Və çox sadə və vacib hiylə. Dərəcələri olan hərəkətlərdə bu sizin üçün faydalı olacaq! Vahidi istənilən kəsrə, məsələn, 13/15-ə bölmək:

Atış çevrildi! Və həmişə olur. 1-i hər hansı kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olur, yalnız tərs olur.

Fraksiyalarla edilən bütün hərəkətlər budur. İş olduqca sadədir, lakin kifayət qədər səhvlər verir. Qeyd praktiki məsləhət, və onlar (səhvlər) daha az olacaq!

Praktik məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işləyərkən ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir! Bunlar ümumi sözlər deyil, xoş arzular deyil! Bu ciddi ehtiyacdır! İmtahandakı bütün hesablamaları konsentrasiya və aydınlıqla tam hüquqlu bir tapşırıq kimi aparın. Qaralamada iki əlavə sətir yazmaq, başınızla hesablaşarkən qarışdırmaqdan daha yaxşıdır.

2. Müxtəlif növ kəsrli misallarda - adi kəsrlərə keçin.

3. Bütün fraksiyaları son nöqtəyə qədər azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini iki nöqtə vasitəsilə bölmədən istifadə edərək adi olanlara endiririk (bölmə ardıcıllığına əməl edirik!).

5. Biz sadəcə olaraq kəsri çevirməklə vahidi zehnimizdə kəsrə bölürük.

Budur tamamlamalı olduğunuz tapşırıqlar. Bütün tapşırıqlardan sonra cavablar verilir. Bu mövzunun materiallarından və praktiki məsləhətlərdən istifadə edin. Neçə nümunəni düzgün həll edə biləcəyinizi təxmin edin. İlk dəfə! Kalkulyator olmadan! Və düzgün nəticə çıxarın...

Düzgün cavabı yadda saxla ikinci (xüsusilə üçüncü) vaxtdan əldə edilir - sayılmır! Ağır həyat belədir.

Belə ki, imtahan rejimində həll edin ! Yeri gəlmişkən, bu imtahana hazırlıqdır. Məsələni həll edirik, yoxlayırıq, aşağıdakıları həll edirik. Hər şeyə qərar verdik - birincidən sonuncuya qədər yenidən yoxladıq. Ancaq yalnız Sonra cavablara baxın.

Hesablayın:

Siz qərar verdiniz?

Sizə uyğun cavablar axtarırsınız. Mən onları xüsusi bir qarışıqlıqda, şirnikləndiricilərdən uzaq, belə demək mümkünsə, yazdım... Budur, cavablar nöqtəli vergüllə yazılmışdır.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Və indi nəticə çıxarırıq. Hər şey düzəldisə - sizin üçün xoşbəxtəm! Kəsrlərlə elementar hesablamalar sizin probleminiz deyil! Daha ciddi işlərlə məşğul ola bilərsiniz. Əgər olmasa...

Beləliklə, iki problemdən biri var. Və ya hər ikisi birdən.) Bilik çatışmazlığı və (və ya) diqqətsizlik. Amma bu həll oluna bilən Problemlər.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Adi kəsr ədədləri ilk növbədə məktəbliləri 5-ci sinifdə qarşılayır və onları həyatları boyu müşayiət edir, çünki gündəlik həyatda çox vaxt hansısa obyekti tamamilə yox, ayrı-ayrılıqda nəzərdən keçirmək və ya istifadə etmək lazımdır. Bu mövzunun öyrənilməsinin başlanğıcı - paylaşın. Səhmlər bərabər hissələrdir bir obyektin bölündüyü. Axı, məsələn, bir məhsulun uzunluğunu və ya qiymətini tam ədəd kimi ifadə etmək həmişə mümkün deyil, hər hansı bir ölçünün hissələri və ya payları nəzərə alınmalıdır. “Əzmək” - hissələrə bölmək felindən əmələ gələn və ərəb kökləri olan VIII əsrdə rus dilində “kəsir” sözünün özü meydana çıxıb.

Fraksiyalı ifadələr uzun müddət riyaziyyatın ən çətin bölməsi hesab olunurdu. 17-ci əsrdə riyaziyyat üzrə ilk dərsliklər meydana çıxanda onlara “sınıq rəqəmlər” deyilirdi ki, bu da insanların anlayışında çox çətin görünürdü.

müasir görünüş hissələri üfüqi bir xətt ilə dəqiq ayrılmış sadə fraksiya qalıqları ilk dəfə Fibonaççiyə - Pizalı Leonardoya töhfə verdi. Yazıları 1202-ci ilə aiddir. Ancaq bu məqalənin məqsədi oxucuya qarışıq fraksiyaların necə vurulduğunu sadə və aydın şəkildə izah etməkdir. müxtəlif məxrəclər.

Fərqli məxrəclərlə kəsrlərin vurulması

Əvvəlcə müəyyən etmək lazımdır fraksiyaların növləri:

• düzgün;
• səhv;
• qarışıq.

Sonra, eyni məxrəcləri olan kəsr ədədlərinin necə vurulduğunu xatırlamaq lazımdır. Bu prosesin özünün qaydasını müstəqil şəkildə tərtib etmək asandır: sadə kəsrlərin eyni məxrəclərlə vurulmasının nəticəsi kəsr ifadəsidir, onun payı sayların hasilidir, məxrəc isə bu kəsrlərin məxrəclərinin məhsuludur. Yəni, əslində, yeni məxrəc başlanğıcda mövcud olanlardan birinin kvadratıdır.

Çoxaldıqda müxtəlif məxrəcli sadə kəsrlər iki və ya daha çox amil üçün qayda dəyişmir:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Yeganə fərq ondadır ki, kəsr zolağının altında yaranan ədəd müxtəlif ədədlərin hasili olacaq və təbii ki, onu bir ədədi ifadənin kvadratı adlandırmaq olmaz.

Nümunələrdən istifadə edərək müxtəlif məxrəcləri olan fraksiyaların vurulmasını nəzərdən keçirməyə dəyər:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Nümunələr kəsr ifadələrini azaltmaq yollarından istifadə edir. Siz məxrəcin nömrələri ilə yalnız payın nömrələrini azalda bilərsiniz; kəsr zolağından yuxarı və ya aşağıda bitişik faktorlar azaldıla bilməz.

Sadə kəsr ədədləri ilə yanaşı, qarışıq kəsr anlayışı da mövcuddur. Qarışıq ədəd tam və kəsr hissədən ibarətdir, yəni bu ədədlərin cəmidir:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Çoxalma necə işləyir?

Baxış üçün bir neçə nümunə verilmişdir.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Nümunədə ədədin vurma üsulundan istifadə olunur adi kəsr hissəsi, bu hərəkətin qaydasını düsturla yaza bilərsiniz:

a * b/c = a*b /c.

Əslində, belə bir hasil eyni kəsr qalıqlarının cəmidir və şərtlərin sayı bu natural ədədi göstərir. Xüsusi hal:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Ədədin kəsr qalığına vurulmasının həlli üçün başqa bir variant var. Sadəcə məxrəci bu ədədə bölün:

d* e/f = e/f: d.

Məxrəc təbii ədədə qalıqsız və ya necə deyərlər, tam bölündükdə bu texnikadan istifadə etmək faydalıdır.

Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirin və məhsulu əvvəllər təsvir edilmiş şəkildə əldə edin:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Bu misal qarışıq fraksiyanı düzgün olmayan kəsr kimi təqdim etmək üsulunu ehtiva edir, o, belə də göstərilə bilər. ümumi formula:

a bc = a*b+ c / c, burada yeni kəsrin məxrəci tam hissəni məxrəcə vurub onu ilkin kəsr qalığının payına əlavə etməklə əmələ gəlir və məxrəc eyni qalır.

Bu proses də işləyir arxa tərəf. Tam hissəni və kəsr qalığını seçmək üçün düzgün olmayan kəsrin payını məxrəcə “künc”lə bölmək lazımdır.

Düzgün olmayan fraksiyaların vurulması adi qaydada istehsal olunur. Giriş bir kəsr xəttinin altına düşdükdə, lazım olduqda, bu üsuldan istifadə edərək rəqəmləri azaltmaq üçün kəsrləri azaltmalısınız və nəticəni hesablamaq daha asandır.

Müxtəlif proqram variasiyalarında hətta mürəkkəb riyazi problemləri həll etmək üçün İnternetdə çoxlu köməkçilər var. Kifayət qədər sayda bu cür xidmətlər məxrəclərdə müxtəlif nömrələri olan fraksiyaların vurulmasının hesablanmasında kömək təklif edir - fraksiyaların hesablanması üçün onlayn kalkulyatorlar. Onlar təkcə çoxalmağı deyil, həm də bütün digər sadə hesab əməliyyatlarını yerinə yetirməyi bacarırlar adi fraksiyalar və qarışıq nömrələr. Onunla işləmək çətin deyil, sayt səhifəsində müvafiq sahələr doldurulur, riyazi hərəkətin işarəsi seçilir və “hesabla” düyməsi sıxılır. Proqram avtomatik olaraq hesablanır.

Kəsir ədədlərlə hesab əməliyyatları mövzusu orta və yuxarı sinif şagirdlərinin bütün təhsili üçün aktualdır. Orta məktəbdə artıq ən sadə növləri nəzərə almırlar, amma tam kəsr ifadələri, lakin əvvəllər əldə edilmiş çevrilmə və hesablamalar qaydaları haqqında biliklər ilkin formada tətbiq edilir. Yaxşı öyrənilmiş əsas biliklər ən çoxunun uğurlu həllinə tam inam verir çətin tapşırıqlar.

Sonda Lev Tolstoyun sözlərini xatırlatmaq məntiqlidir: “İnsan kəsirdir. Sayını - öz məziyyətlərini artırmaq insanın ixtiyarında deyil, lakin hər kəs məxrəcini - özü haqqındakı fikrini azalda bilər və bu azalma ilə öz kamilliyinə yaxınlaşır.

Oxşar məqalələr