Adi fraksiya

dörddəbir

1. Səliqəlilik. a Və b aralarında üç münasibətdən birini və yalnız birini unikal şəkildə müəyyən etməyə imkan verən bir qayda var: "< », « >' və ya ' = '. Bu qayda adlanır sifariş qaydası və aşağıdakı kimi tərtib edilir: iki qeyri-mənfi ədəd və iki tam ədəd ilə eyni əlaqə ilə bağlıdır və ; iki qeyri-müsbət ədəd a Və b iki qeyri-mənfi ədədlə eyni əlaqə ilə bağlıdır və ; əgər birdən a mənfi olmayan və b- onda mənfi a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   kəsrlərin cəmi

2. əlavə əməliyyat.İstənilən rasional ədədlər üçün a Və b deyilən var toplama qaydası c. Ancaq nömrənin özü cçağırdı məbləğ nömrələri a Və b və işarələnir və belə bir ədədin tapılması prosesi deyilir ümumiləşdirmə. Toplama qaydası aşağıdakı formaya malikdir: .
3. vurma əməliyyatı.İstənilən rasional ədədlər üçün a Və b deyilən var vurma qaydası, bu da onları bəzi rasional nömrə ilə yazışmalara qoyur c. Ancaq nömrənin özü cçağırdı iş nömrələri a Və b və işarələnir və belə bir ədədin tapılması prosesi də adlanır vurma. Çoxalma qaydası belədir: .
4. Sifariş əlaqəsinin keçidliliyi. Rasional ədədlərin istənilən üçlüyü üçün a , b Və cƏgər a az b Və b az c, Bu a az c, və əgər a bərabərdir b Və b bərabərdir c, Bu a bərabərdir c. 6435">Toplamanın kommutativliyi. Rasional terminlərin yerlərinin dəyişdirilməsindən cəmi dəyişmir.
5. Əlavənin assosiativliyi.Üç rasional ədədin əlavə olunma sırası nəticəyə təsir etmir.
6. Sıfırın olması. Cəmləndikdə bütün digər rasional ədədləri saxlayan 0 rasional ədədi var.
7. Qarşılıqlı ədədlərin olması.İstənilən rasional ədədin əks rasional ədədi var, cəmləndikdə 0 verir.
8. Vurmanın kommutativliyi. Rasional amillərin yerlərini dəyişdirməklə məhsul dəyişmir.
9. Çoxalmanın assosiativliyi.Üç rasional ədədin vurulma ardıcıllığı nəticəyə təsir etmir.
10. Bir vahidin olması.Çoxaldıqda bütün digər rasional ədədləri saxlayan rasional 1 ədədi var.
11. Qarşılıqlılıqların olması.İstənilən rasional ədədin tərs rasional ədədi var, o, vurulduqda 1 verir.
12. Toplama ilə bağlı vurmanın paylanması.Çarpma əməliyyatı paylama qanunu vasitəsilə toplama əməliyyatına uyğundur:
13. Sifariş əlaqəsinin əlavə əməliyyatı ilə əlaqəsi. sola və sağ hissələr rasional bərabərsizlik, eyni rasional ədədi əlavə edə bilərsiniz. /şəkillər/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Arximed aksioması. Rasional rəqəm nə olursa olsun a, o qədər çox vahid götürə bilərsiniz ki, onların cəmi aşacaq a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Əlavə xüsusiyyətlər

Rasional ədədlərə xas olan bütün digər xassələr əsas xüsusiyyətlər kimi seçilmir, çünki ümumiyyətlə desək, onlar artıq birbaşa tam ədədlərin xassələrinə əsaslanmır, verilmiş əsas xassələr əsasında və ya bilavasitə tərifi ilə sübut edilə bilər. bəzi riyazi obyekt. Bu cür əlavə xüsusiyyətlər bu qədər çox. Burada onlardan yalnız bir neçəsini qeyd etməyin mənası var.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Hesablama qabiliyyətini təyin edin

Rasional ədədlərin nömrələnməsi

Rasional ədədlərin sayını təxmin etmək üçün onların dəstinin kardinallığını tapmaq lazımdır. Rasional ədədlər çoxluğunun hesablana bilən olduğunu sübut etmək asandır. Bunun üçün rasional ədədləri sadalayan, yəni rasional və natural ədədlər çoxluğu arasında biyeksiya quran alqoritm vermək kifayətdir.

Bu alqoritmlərdən ən sadəsi aşağıdakı kimidir. Hər biri üzərində adi kəsrlərin sonsuz cədvəli tərtib edilir i-hər birində ci sıra j sütunu kəsrdir. Dəqiqlik üçün bu cədvəlin sətir və sütunlarının birdən nömrələndiyi güman edilir. Cədvəl xanaları işarələnir , burada i- xananın yerləşdiyi cədvəlin sıra nömrəsi və j- sütun nömrəsi.

Alınan cədvəl aşağıdakı formal alqoritmə uyğun olaraq "ilan" tərəfindən idarə olunur.

Bu qaydalar yuxarıdan aşağıya doğru axtarılır və növbəti mövqe ilk uyğunluqla seçilir.

Belə bir bypass prosesində hər yeni rasional nömrə növbəti birinə verilir natural ədəd. Yəni 1/1 kəsrlərə 1, 2/1 fraksiyalarına - 2 rəqəmi və s.. Qeyd etmək lazımdır ki, yalnız azalmayan kəsrlər nömrələnir. Azalmazlığın formal əlaməti kəsrin payının və məxrəcinin ən böyük ortaq böləninin vahidliyinə bərabərlikdir.

Bu alqoritmdən sonra bütün müsbət rasional ədədləri sadalamaq olar. Bu o deməkdir ki, müsbət rasional ədədlər çoxluğu hesablana bilər. Müsbət və mənfi rasional ədədlər dəstləri arasında bijection qurmaq asandır, sadəcə olaraq hər rasional ədədə onun əksini təyin etməklə. Bu. mənfi rasional ədədlər çoxluğu da hesablana bilir. Onların birliyi də hesablana bilən çoxluqların xassəsinə görə hesablana bilir. Rasional ədədlər çoxluğu, həmçinin hesablana bilən çoxluğun sonlu ilə birləşməsi kimi hesablana bilər.

Rasional ədədlər çoxluğunun hesablanması ilə bağlı ifadə bəzi çaşqınlıq yarada bilər, çünki ilk baxışda onun natural ədədlər çoxluğundan xeyli böyük olduğu təəssüratı yaranır. Əslində, belə deyil və bütün rasional olanları sadalamaq üçün kifayət qədər natural ədədlər var.

Rasional ədədlərin qeyri-kafiliyi

Belə üçbucağın hipotenuzası heç bir rasional ədədlə ifadə olunmur

1 / formasının rasional ədədləri n böyük nözbaşına kiçik miqdarlar ölçülə bilər. Bu fakt rasional ədədlərin ümumiyyətlə istənilən həndəsi məsafəni ölçə biləcəyi barədə aldadıcı təəssürat yaradır. Bunun doğru olmadığını göstərmək asandır.

Pifaqor teoremindən məlumdur ki, düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası onun ayaqlarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökü kimi ifadə edilir. Bu. vahid ayaqlı ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzasının uzunluğu bərabərdir, yəni kvadratı 2 olan ədədə.

Əgər ədədin hansısa rasional ədədlə göstərildiyini fərz etsək, onda belə bir tam ədəd var m və belə bir natural ədəd n, üstəlik, kəsr azalmazdır, yəni ədədlər m Və nüst-üstə düşürlər.

Əgər, onda , yəni. m 2 = 2n 2. Buna görə də, sayı m 2 cütdür, lakin iki tək ədədin hasili təkdir, yəni rəqəmin özüdür m həm də aydın. Beləliklə, natural ədəd var k, belə ki, nömrə m kimi təmsil oluna bilər m = 2k. Nömrə kvadratı m Bu mənada m 2 = 4k 2 amma digər tərəfdən m 2 = 2n 2 4 deməkdir k 2 = 2n 2 və ya n 2 = 2k 2. Nömrə üçün əvvəllər göstərildiyi kimi m sayı deməkdir n- tam olaraq m. Lakin o zaman onlar kobud deyil, çünki hər ikisi yarıya bölünür. Yaranan ziddiyyət bunun rasional ədəd olmadığını sübut edir.

Biz bu mövzunun nəzərdən keçirilməsinə kəsr anlayışını bütövlükdə öyrənməklə başlayacağıq ki, bu da bizə adi kəsrin mənasını daha dolğun başa düşməyə imkan verəcəkdir. Əsas terminləri və onların tərifini verək, mövzunu həndəsi şərhdə öyrənək, yəni. koordinat xəttində, həmçinin fraksiyalarla əsas hərəkətlərin siyahısını müəyyənləşdirin.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bütün paylar

Bir neçə, tamamilə bərabər hissələrdən ibarət bir obyekt təsəvvür edin. Məsələn, bir neçə eyni dilimdən ibarət portağal ola bilər.

Tərif 1

Tam və ya payın payı bütün obyekti təşkil edən bərabər hissələrin hər biri.

Aydındır ki, paylar fərqli ola bilər. Bu ifadəni aydın şəkildə izah etmək üçün biri iki bərabər hissəyə, ikincisi isə dördə bölünmüş iki alma təsəvvür edin. Fərqli almalar üçün yaranan payların ölçüsünün fərqli olacağı aydındır.

Səhmlərin öz adları var ki, bu da bütün mövzunu təşkil edən səhmlərin sayından asılıdır. Əgər maddə iki hissədən ibarətdirsə, onda onların hər biri bu maddənin ikinci hissəsi kimi müəyyən ediləcək; obyekt üç hissədən ibarət olduqda, onların hər biri üçdə birdir və s.

Tərif 2

Yarım- mövzunun ikinci hissəsi.

üçüncü- mövzunun üçdə biri.

Dörddəbir- mövzunun dörddə biri.

Rekordu qısaltmaq üçün səhmlər üçün aşağıdakı qeydlər tətbiq olundu: yarım - 1 2 və ya 1/2; üçüncü - 1 3 və ya 1/3; dörddə bir pay 1 4 və ya 1/4 və s. Üfüqi çubuğu olan girişlər daha çox istifadə olunur.

Pay anlayışı təbii olaraq obyektlərdən böyüklüklərə qədər genişlənir. Beləliklə, uzunluq vahidlərindən biri kimi kiçik obyektləri ölçmək üçün metrin kəsirlərindən (üçdə biri və ya yüzdə biri) istifadə edə bilərsiniz. Digər miqdarların payları da oxşar şəkildə tətbiq oluna bilər.

Ümumi kəsrlər, tərif və nümunələr

Səhmlərin sayını təsvir etmək üçün adi fraksiyalardan istifadə olunur. Bizi adi fraksiyanın tərifinə yaxınlaşdıracaq sadə bir nümunəyə nəzər salın.

12 dilimdən ibarət portağal təsəvvür edin. Sonra hər bir pay olacaq - on ikidə biri və ya 1/12. İki səhm - 2/12; üç səhm - 3/12 və s. Bütün 12 hissə və ya tam ədəd belə görünür: 12/12 . Nümunədə istifadə olunan qeydlərin hər biri ümumi kəsrin nümunəsidir.

Tərif 3

Adi fraksiya formanın qeydidir m n və ya m / n , burada m və n istənilən natural ədədlərdir.

Bu tərifə görə, adi fraksiyaların nümunələri aşağıdakı qeydlər ola bilər: 4/9, 1134, 91754. Və bu girişlər: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 adi kəsr deyil.

Say və məxrəc

Tərif 4

hesablayıcı adi fraksiya m n və ya m / n natural ədəddir m .

məxrəc adi fraksiya m n və ya m / n natural ədəddir n .

Bunlar. paylayıcı adi kəsrin sətrinin üstündəki rəqəmdir (yaxud kəsirin solunda), məxrəc isə zolağın altındakı rəqəmdir (kəsik xəttin sağında).

Hissənin və məxrəcin mənası nədir? Adi kəsrin məxrəci bir elementin neçə səhmdən ibarət olduğunu göstərir və paylayıcı bizə neçə belə səhmin hesab edildiyi barədə məlumat verir. Məsələn, adi kəsr 7 54 bizə müəyyən bir obyektin 54 paydan ibarət olduğunu göstərir və nəzərə almaq üçün 7 belə səhm götürdük.

Məxrəci 1 olan kəsr kimi natural ədəd

Adi kəsrin məxrəci birə bərabər ola bilər. Bu zaman baxılan obyektin (qiymətin) bölünməz olduğunu, bütöv bir şey olduğunu söyləmək olar. Belə bir fraksiyadakı say, neçə belə elementin alındığını göstərəcək, yəni. m 1 formasının adi kəsri m natural ədədi mənasını daşıyır. Bu ifadə m 1 = m bərabərliyinə əsas verir.

Son bərabərliyi belə yazaq: m = m 1 . Bu, bizə istənilən natural ədədi adi kəsr şəklində istifadə etmək imkanı verəcək. Məsələn, 74 rəqəmi 74 1 formasının adi kəsiridir.

Tərif 5

İstənilən natural ədəd m adi kəsr kimi yazıla bilər, burada məxrəc birdir: m 1 .

Öz növbəsində m 1 formasının istənilən adi kəsri natural ədədlə təmsil oluna bilər m .

Bölmə işarəsi kimi kəsr çubuğu

Verilmiş obyektin yuxarıda n ədəd pay şəklində təqdim edilməsi n bərabər hissəyə bölmədən başqa bir şey deyil. Obyekt n hissəyə bölündükdə onu n nəfər arasında bərabər bölmək imkanımız olur - hər kəs öz payını alır.

İlkin olaraq m eyni obyektimiz olduqda (hər biri n hissəyə bölünür), onda bu m obyekt n nəfər arasında bərabər bölünə bilər və onların hər birinə m obyektin hər birindən bir pay verilir. Bu halda, hər bir şəxsin m payı olacaq 1 n və m səhm 1 n adi bir kəsr m n verəcəkdir. Buna görə də m n ümumi kəsrindən m elementin n nəfər arasında bölünməsini təmsil etmək olar.

Nəticə ifadəsi adi kəsrlərlə bölmə arasında əlaqə yaradır. Və bu əlaqəni aşağıdakı kimi ifadə etmək olar : bölmə əlaməti kimi kəsrin xəttini nəzərdə tutmaq olar, yəni. m/n=m:n.

Adi kəsrin köməyi ilə iki natural ədədin bölünməsinin nəticəsini yaza bilərik. Məsələn, 7 almanı 10 nəfərə bölmək 7 10 kimi yazılacaq: hər kəsə yeddi onda bir pay düşəcək.

Bərabər və qeyri-bərabər ümumi kəsrlər

Məntiqi hərəkət adi kəsrləri müqayisə etməkdir, çünki aydındır ki, məsələn, almanın 1 8-i 7 8-dən fərqlidir.

Adi fraksiyaların müqayisəsinin nəticəsi ola bilər: bərabər və ya qeyri-bərabər.

Tərif 6

bərabər adi fraksiyalar adi kəsrlərdir a b və c d , onlar üçün bərabərlik doğrudur: a d = b c .

Qeyri-bərabər ümumi kəsrlər- adi kəsrlər a b və c d , onlar üçün bərabərlik: a · d = b · c doğru deyil.

Bərabər kəsrlərə misal: 1 3 və 4 12 - 1 12 \u003d 3 4 bərabərliyi doğru olduğundan.

Kəsrlərin bərabər olmadığı ortaya çıxdıqda, adətən verilmiş kəsrlərdən hansının az, hansının böyük olduğunu tapmaq lazımdır. Bu suallara cavab vermək üçün adi kəsrləri ümumi məxrəcə gətirərək, sonra isə sayları müqayisə etməklə müqayisə edilir.

Kəsr ədədlər

Hər bir fraksiya, əslində sadəcə bir "qabıq", semantik yükün vizuallaşdırılması olan bir fraksiya nömrəsinin qeydidir. Ancaq yenə də rahatlıq üçün biz fraksiya və kəsr sayı anlayışlarını birləşdiririk, sadəcə desək - bir kəsr.

Bütün kəsr ədədlər, hər hansı digər ədəd kimi, öz unikal yeri var koordinat şüası: koordinat şüasının kəsrləri və nöqtələri arasında bir-bir uyğunluq var.

Koordinat şüasında m n kəsri bildirən nöqtəni tapmaq üçün koordinatların başlanğıcından müsbət istiqamətdə m seqmenti təxirə salmaq lazımdır ki, onların hər birinin uzunluğu vahid seqmentin bir hissəsinə 1 n olacaq. Seqmentləri bir seqmenti n eyni hissəyə bölmək yolu ilə əldə etmək olar.

Nümunə olaraq koordinat şüasında 14 10 kəsirinə uyğun gələn M nöqtəsini işarə edək. Uçları O nöqtəsi və kiçik bir vuruşla qeyd olunan ən yaxın nöqtə olan seqmentin uzunluğu vahid seqmentin 1 10 fraksiyasına bərabərdir. 14 10 fraksiyasına uyğun gələn nöqtə koordinatların başlanğıcından 14 belə seqment məsafəsində yerləşir.

Əgər kəsrlər bərabərdirsə, yəni. onlar eyni kəsr ədədinə uyğundur, onda bu kəsrlər koordinat şüasında eyni nöqtənin koordinatları kimi xidmət edir. Məsələn, bərabər kəsrlər şəklində olan koordinatlar 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 vahid seqmentin üçdə biri məsafəsində yerləşən koordinat şüasının eyni nöqtəsinə uyğundur. müsbət istiqamətdə yaranır.

Tam ədədlərlə olduğu kimi burada da eyni prinsip işləyir: sağa yönəldilmiş üfüqi koordinat şüasında böyük kəsrə uyğun olan nöqtə daha kiçik kəsrə uyğun gələn nöqtənin sağında yerləşəcəkdir. Və əksinə: koordinatı daha kiçik bir kəsr olan bir nöqtə yerləşəcəkdir nöqtənin solunda, ən böyük koordinata uyğundur.

Düzgün və düzgün kəsrlər, təriflər, nümunələr

Kəsrin düzgün və natamam bölünməsi eyni kəsr daxilində pay və məxrəcin müqayisəsinə əsaslanır.

Tərif 7

Düzgün fraksiya sayının məxrəcdən kiçik olduğu adi kəsrdir. Yəni bərabərsizlik m olarsa< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Səhv fraksiya payı məxrəcə bərabər və ya böyük olan kəsrdir. Yəni qeyri-müəyyən bərabərsizlik doğrudursa, m n adi kəsir düzgün deyil.

Burada bəzi nümunələr var: - düzgün fraksiyalar:

Misal 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Yanlış fraksiyalar:

Misal 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Kəsirin vahidlə müqayisəsi əsasında düzgün və natamam kəsrlərin tərifini də vermək olar.

Tərif 8

Düzgün fraksiya birdən kiçik olan adi kəsrdir.

Səhv fraksiya birə bərabər və ya ondan böyük adi kəsrdir.

Məsələn, 8 12 kəsr düzgündür, çünki 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 və 14 14 = 1.

Gəlin bir az da dərindən düşünək ki, payı məxrəcdən böyük və ya ona bərabər olan kəsrlərin nə üçün “düzgün olmayan” adlandırıldığını düşünək.

8 8 səhv kəsri nəzərdən keçirək: bu, 8 hissədən ibarət cismin 8 hissəsinin alındığını bildirir. Beləliklə, mövcud səkkiz paylaşımdan biz bütöv bir obyekt tərtib edə bilərik, yəni. verilmiş kəsr 8 8 mahiyyətcə bütün obyekti təmsil edir: 8 8 \u003d 1. Numerator və məxrəci bərabər olan kəsrlər natural ədədi 1-i tam əvəz edir.

Nömrənin məxrəci üstələdiyi kəsrləri də nəzərdən keçirək: 11 5 və 36 3 . Aydındır ki, 11 5 kəsir ondan iki bütöv obyekt düzəldə biləcəyimizi və hələ də onun beşdə biri olacağını göstərir. Bunlar. 11 5 kəsr 2 obyekt və ondan başqa 1 5-dir. Öz növbəsində, 36 3 kəsrdir və mahiyyətcə 12 bütöv obyekt deməkdir.

Bu misallar belə qənaətə gəlməyə imkan verir ki, qeyri-münasib fraksiyaları natural ədədlərlə (əgər pay məxrəcə qalıqsız bölünürsə: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) və ya natural ədədin cəmi ilə əvəz edilə bilər. düzgün kəsr (əgər pay məxrəcə qalıqsız bölünmürsə: 11 5 = 2 + 1 5). Çox güman ki, buna görə də belə fraksiyaları “düzgün olmayan” adlandırırlar.

Burada da ən vacib say bacarıqlarından biri ilə qarşılaşırıq.

Tərif 9

Düzgün olmayan kəsrdən tam hissənin çıxarılması natural ədədlə düzgün kəsrin cəmi kimi yazılan natamam kəsrdir.

Həmçinin qeyd edək ki, düzgün olmayan kəsrlərlə qarışıq ədədlər arasında sıx əlaqə var.

Müsbət və mənfi fraksiyalar

Yuxarıda dedik ki, hər adi kəsr müsbət kəsr ədədinə uyğundur. Bunlar. adi kəsrlər müsbət kəsrlərdir. Məsələn, 5 17 , 6 98 , 64 79 kəsrləri müsbətdir və kəsrin “müsbətliyini” vurğulamaq lazım gəldikdə, artı işarəsi ilə yazılır: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Adi bir kəsrə mənfi işarəsi təyin etsək, nəticədə alınan qeyd mənfi fraksiya nömrəsinin qeydi olacaq və bu halda mənfi kəsrlərdən danışırıq. Məsələn, - 8 17 , - 78 14 və s.

m n və - m n müsbət və mənfi kəsrlər əks ədədlərdir.Məsələn, 7 8 və - 7 8 kəsrləri əksdir.

Müsbət fraksiyalar, ümumiyyətlə, hər hansı müsbət ədədlər kimi, əlavə, yuxarıya doğru dəyişiklik deməkdir. Öz növbəsində, mənfi fraksiyalar istehlaka, azalma istiqamətində dəyişiklikə uyğun gəlir.

Koordinat xəttini nəzərdən keçirsək, mənfi fraksiyaların istinad nöqtəsinin solunda yerləşdiyini görərik. Qarşılıqlı kəsrlərin uyğun gəldiyi nöqtələr (m n və - m n) O koordinatlarının başlanğıcından eyni məsafədə yerləşir, lakin boyunca müxtəlif tərəflər ondan.

Burada 0 n şəklində yazılmış kəsrlərdən də ayrıca danışırıq. Belə bir kəsr sıfıra bərabərdir, yəni. 0 n = 0.

Yuxarıda göstərilənlərin hamısını ümumiləşdirərək, rasional ədədlərin ən vacib anlayışına gəldik.

Tərif 10

Rasional ədədlər müsbət kəsrlər toplusudur, mənfi fraksiyalar və 0 n formasının kəsrləri.

Kəsrlərlə hərəkətlər

Kəsrlərlə əsas əməliyyatları sadalayaq. Ümumiyyətlə, onların mahiyyəti natural ədədlərlə uyğun əməliyyatlarla eynidir

1. Kəsrin müqayisəsi - bu hərəkət yuxarıda nəzərdən keçirdik.
2. Kəsrlərin toplanması - adi fraksiyaların əlavə edilməsinin nəticəsi adi bir kəsrdir (müəyyən bir halda, natural ədədə endirilir).
3. Kəsrlərin çıxılması, bir məlum kəsrdən və kəsrlərin verilmiş cəmindən naməlum kəsr təyin edildikdə toplamanın əksi olan bir hərəkətdir.
4. Kəsrlərin vurulması - bu hərəkəti kəsrdən kəsrin tapılması kimi təsvir etmək olar. İki adi fraksiyanın vurulmasının nəticəsi adi bir kəsrdir (müəyyən bir halda, natural ədədə bərabərdir).
5. İki fraksiyanın məlum məhsulunu əldə etmək üçün verilmiş olanı çoxaltmaq lazım olan kəsri müəyyən etdiyimiz zaman kəsrlərin bölünməsi vurmanın tərsidir.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Bilirsiniz ki, natural ədədlərdən və sıfırdan başqa başqa ədədlər də var - fraksiyalı.

Kəsr ədədlər bir obyekt (alma, qarpız, tort, bir çörək, bir vərəq) və ya ölçü vahidi (metr, saat, kiloqram, dərəcə) bir neçə yerə bölündükdə yaranır. bərabərdir hissələri.

"Yarım çörək", "yarım çörək", "yarım kilo", "yarım litr", "dörddəbir saat", "yolun üçdə biri", "bir metr yarım" kimi sözlər. , yəqin ki, hər gün eşidirsiniz.

Yarım, dörddəbir, üçüncü, yüzdə bir, bir yarım kəsr ədədlərə misaldır.

Məsələni nəzərdən keçirək.

Ad gününə 10 dost səni ziyarətə gəldi. Bayram tortu 10 bərabər hissəyə bölündü (şək. 185). Sonra hər qonaq tortun onda birini aldı. yaz:

Tort (oxu: "tortun onda biri").

Belə bir "iki mərtəbəli" qeyd digər fraksiyalı ədədləri işarələmək üçün istifadə olunur. Məsələn: yarım kiloqram -

Kg (oxu: "kiloqramın bir saniyəsi"); dörddə bir saat

H (oxu: "saatın dörddə biri"); yolun üçüncüsü

Yollar (oxu: "yolun üçdə biri").

Əgər qonaqlarınızdan ikisi şirniyyatı sevmirsə, deməli şirin dişi olacaq

Tort (oxu: "tortun onda üçü"; şəkil 186).

kimi girişlər

; ; ; ;

Və s. çağırdı adi fraksiyalar və ya daha qısa - fraksiyalar.

Adi kəsrlər iki natural ədəddən və istifadə etməklə yazılır fraksiya xüsusiyyətləri.

Xəttin üstündə yazılmış nömrə çağırılır hesablayıcı; xəttin altındakı nömrə çağırılır məxrəc.

Kəsrin məxrəci bütöv bir şeyi neçə bərabər hissəyə böldüklərini, sayı isə neçə belə hissənin alındığını göstərir..

Beləliklə, Şəkil 187-də ABC bərabərtərəfli üçbucağı 4 bərabər hissəyə - 4 bərabər üçbucağa bölündü. Onlardan üçü rənglənib. Bir rəqəmin kölgəli olduğunu, sahəsinin olduğunu söyləyə bilərik

ABC üçbucağının sahələri. Və ya deyirlər: rənglənmişdir

ABC üçbucağı.

Şəkil 188-də koordinat şüasının vahid seqmenti OA beş bərabər hissəyə bölünür. OB seqmentidir

Tək seqmentli OA. B nöqtəsi ədədi təmsil edir

Nömrə

B nöqtəsinin koordinatını çağırın və B yazın (

). OC seqmenti olduğundan

vahid seqment OA, onda C nöqtəsinin koordinatı bərabərdir

Bunlar. C(

Misal 1 . Bağda 24 ağac var, onlardan 7-si alma ağacıdır. Bütün ağacların hansı hissəsini alma ağacları təşkil edir?

Həll. Bağda 24 ağac olduğundan bir alma ağacı var

Bütün ağaclar və 7 alma ağacı -

Bütün ağaclar. .

Misal 2 . Bağda bitən 24 ağac var

Albalı hazırlayın. Bağda neçə albalı ağacı var?

Həll. Kəsrin məxrəci

Bağda bitən bütün ağacların sayını 8 bərabər hissəyə bölmək lazım olduğunu göstərir. Bağda 24 ağac olduğu üçün bir hissəsi 24 : 8 = 3 (ağac) olur.

Kəsrin sayı 3-dür, sonra bağda cəmi 8 * 3 = 24 (ağac) böyüyür.

Cavab: 24 ağac.

Vahidin səhmləri və kimi təmsil olunur \frac(a)(b).

Kəsrin sayı (a)- kəsr xəttinin üstündəki və bölmənin bölündüyü səhmlərin sayını göstərən nömrə.

Kəsrin məxrəci (b)- kəsr xəttinin altındakı rəqəm və vahidin neçə hissəyə bölündüyünü göstərir.

Şou gizlət

Kəsirin əsas xassəsi

Əgər ad=bc , onda iki fraksiya \frac(a)(b) Və \frac(c)(d) bərabər hesab edilir. Məsələn, kəsrlər bərabər olacaq \ frac35 Və \frac(9)(15), 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 olduğundan, \frac(12)(7) Və \frac(24)(14), 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 olduğundan.

Kəsrlərin bərabərliyinin tərifindən belə çıxır ki, kəsrlər bərabər olacaqdır \frac(a)(b) Və \frac(am)(bm), çünki a(bm)=b(am) natural ədədlərin vurulmasının assosiativ və kommutativ xassələrinin hərəkətdə istifadəsinə bariz nümunədir.

deməkdir \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- belə görünür kəsrin əsas xassəsidir.

Başqa sözlə, ilkin kəsrin payını və məxrəcini eyni natural ədədə vurub və ya bölməklə verilənə bərabər kəsr alırıq.

Fraksiyanın azalması yeni kəsrin orijinala bərabər olduğu, lakin daha kiçik pay və məxrəclə əvəzlənməsi prosesidir.

Kəsrin əsas xassəsinə əsasən kəsrləri azaltmaq adətdir.

Misal üçün, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(say və məxrəc 3 rəqəminə bölünür); yaranan fraksiya yenidən 5-ə bölünərək azaldıla bilər, yəni. \frac(15)(20)=\frac 34.

azalmayan fraksiya formanın bir hissəsidir \frac 34, burada pay və məxrəc nisbətən sadə ədədlərdir. Kəsirin azaldılmasının əsas məqsədi kəsri azalmaz hala gətirməkdir.

Kəsrlərin ortaq məxrəcə gətirilməsi

Nümunə olaraq iki fraksiya götürək: \frac(2)(3) Və \frac(5)(8) müxtəlif məxrəclərlə 3 və 8 . Bu kəsrləri ortaq məxrəcə gətirmək və əvvəlcə kəsrin payını və məxrəcini vurmaq üçün \frac(2)(3) 8 ilə. Aşağıdakı nəticəni alırıq: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Sonra kəsrin payını və məxrəcini çarpın \frac(5)(8) 3 ilə. Nəticədə əldə edirik: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Beləliklə, ilkin kəsrlər ortaq məxrəcə 24 azaldılır.

Adi kəsrlər üzərində arifmetik əməliyyatlar

Adi fraksiyaların toplanması

a) Eyni məxrəclərlə birinci kəsrin payı ikinci kəsrin payına əlavə edilir, məxrəc eyni qalır. Nümunədə göründüyü kimi:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Nə vaxt müxtəlif məxrəclər kəsrlər əvvəlcə ortaq məxrəcə endirilir, sonra a qaydasına uyğun olaraq paylar toplanır:

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Adi kəsrlərin çıxılması

a) Eyni məxrəclərlə ikinci kəsrin payını birinci kəsrin payından çıxarın, məxrəci eyni qalaraq:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Əgər kəsrlərin məxrəcləri fərqlidirsə, onda əvvəlcə kəsrlər ortaq məxrəcə endirilir və sonra a) bəndindəki kimi addımlar təkrarlanır.

Adi kəsrlərin vurulması

Kəsrlərin vurulması aşağıdakı qaydaya uyğundur:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

yəni ədədi və məxrəci ayrı-ayrılıqda vur.

Misal üçün:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Adi kəsrlərin bölünməsi

Fraksiyalar aşağıdakı şəkildə bölünür:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

bu kəsrdir \frac(a)(b) kəsrlə vurulur \frac(d)(c).

Misal: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Qarşılıqlı nömrələr

Əgər ab=1 olarsa, onda b ədədi olar əks nömrə a nömrəsi üçün.

Misal: 9 rəqəmi üçün tərsdir \frac(1)(9), çünki 9 \cdot \frac(1)(9)=1, 5 nömrəsi üçün - \frac(1)(5), çünki 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Ondalıklar

Ondalık məxrəci 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n olan uyğun kəsrdir.

Misal üçün: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

Eyni şəkildə məxrəci 10 ^ n olan səhv ədədlər və ya qarışıq ədədlər yazılır.

Misal üçün: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Onluq kəsr şəklində, 10 rəqəminin müəyyən bir gücünün bölücü olan məxrəci olan istənilən adi kəsr təmsil olunur.

Misal: 5 100-ə böləndir, yəni kəsr \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

Onluq kəsrlər üzərində arifmetik əməliyyatlar

Onluqların əlavə edilməsi

İki onluq kəsr əlavə etmək üçün onları elə təşkil etməlisiniz ki, eyni rəqəmlər və vergül altındakı vergül bir-birinin altında görünsün və sonra kəsrləri adi ədədlər kimi əlavə edin.

Onluqların çıxılması

Əlavə ilə eyni şəkildə işləyir.

Ondalık vurma

Onluq ədədləri vurarkən vergüllərə məhəl qoymadan (təbii ədədlər kimi) verilmiş ədədləri çoxaltmaq kifayətdir və alınan cavabda sağdakı vergül cəmi hər iki amildə onluq nöqtədən sonrakı rəqəmləri ayırır. .

2.7-nin 1.3-ə vurmasını edək. Bizdə 27 \cdot 13=351 var. Sağdan iki rəqəmi vergüllə ayırırıq (birinci və ikinci ədədlərdə onluq nöqtədən sonra bir rəqəm var; 1+1=2). Nəticədə 2.7 \cdot 1.3=3.51 alırıq.

Nəticə vergüllə ayırmaq lazım olduğundan daha az rəqəmdirsə, çatışmayan sıfırlar qarşısında yazılır, məsələn:

Onluq kəsrdə 10, 100, 1000-ə vurmaq üçün vergülü 1, 2, 3 rəqəmini sağa köçürün (lazım olduqda, müəyyən sayda sıfırlar sağa təyin olunur).

Məsələn: 1,47 \cdot 10\,000 = 14,700 .

Ondalığa bölmə

Onluq kəsri natural ədədə bölmək, natural ədədi natural ədədə bölmək kimi aparılır. Tam hissənin bölünməsi tamamlandıqdan sonra şəxsi hissəyə vergül qoyulur.

Dividendin tam hissəsi böləndən azdırsa, cavab sıfır tam ədəddir, məsələn:

Onluğu ondalığa bölməyi düşünün. Tutaq ki, 2.576-nı 1.12-yə bölmək lazımdır. Əvvəla, biz dividend və kəsrin bölənini 100-ə vururuq, yəni dividend və böləndə vergülü sağa, ondalık nöqtədən sonra böləndə nə qədər simvol varsa (bu nümunədə) , iki). Sonra 257.6 kəsrini 112 natural nömrəsinə bölmək lazımdır, yəni problem artıq nəzərdən keçirilən işə salınır:

Elə olur ki, həmişə finala çıxmır onluq bir ədədi digərinə bölərkən. Nəticə sonsuz ondalıqdır. Belə hallarda adi fraksiyalara keçin.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

Kəsrlərlə hərəkətlər. Bu yazıda biz nümunələri təhlil edəcəyik, hər şey izahatlarla ətraflı izah olunur. Adi fraksiyaları nəzərdən keçirəcəyik. Gələcəkdə onluqları təhlil edəcəyik. Tamamilə izləməyi və ardıcıl olaraq öyrənməyi tövsiyə edirəm.

1. Kəsrlərin cəmi, kəsrlərin fərqi.

Qayda: məxrəcləri bərabər olan kəsrləri əlavə edərkən nəticə kəsr olur - məxrəci dəyişməz qalır və onun payı kəsrlərin saylarının cəminə bərabər olacaqdır.

Qayda: eyni məxrəcləri olan kəsrlərin fərqini hesablayarkən kəsr alırıq - məxrəc eyni qalır və birinci kəsrin payından ikincinin payı çıxarılır.

Bərabər məxrəcli kəsrlərin cəmi və fərqinin formal qeydi:

Nümunələr (1):

Aydındır ki, adi fraksiyalar verildikdə, hər şey sadədir, amma qarışıqdırsa? Mürəkkəb heç nə yoxdur...

Seçim 1- onları adi olanlara çevirə və sonra hesablaya bilərsiniz.

Seçim 2- tam və kəsr hissələri ilə ayrıca "işləyə" bilərsiniz.

Nümunələr (2):

Daha çox:

Və iki fərq varsa qarışıq fraksiyalar və birinci kəsrin payı ikincinin payından az olacaq? Həm də iki şəkildə edilə bilər.

Nümunələr (3):

* Adi fraksiyalara çevrildi, fərqi hesabladı, nəticədə yaranan düzgün olmayan kəsi qarışıq birinə çevirdi.

* Tam və kəsr hissələrə bölünərək üç alındı, sonra vahid 11/11 olaraq təqdim edilməklə 2 və 1-in cəmi kimi 3 təqdim edildi, sonra 11/11 ilə 7/11 arasındakı fərqi tapdı və nəticəni hesabladı. Yuxarıdakı çevrilmələrin mənası vahidi götürmək (seçmək) və onu bizə lazım olan məxrəclə kəsr kimi təqdim etməkdir, onda bu kəsrdən artıq başqasını çıxara bilərik.

Başqa bir misal:

Nəticə: universal bir yanaşma var - bərabər məxrəcləri olan qarışıq fraksiyaların cəmini (fərqini) hesablamaq üçün onlar həmişə düzgün olmayanlara çevrilə bilər, sonra lazımi hərəkəti yerinə yetirin. Bundan sonra, nəticədə düzgün olmayan bir kəsr alırıqsa, onu qarışıq birinə çeviririk.

Yuxarıda, məxrəcləri bərabər olan kəsrlərlə nümunələrə baxdıq. Məxrəclər fərqli olarsa nə etməli? Bu zaman kəsrlər eyni məxrəcə endirilir və göstərilən hərəkət yerinə yetirilir. Kəsiri dəyişdirmək (çevirmək) üçün kəsrin əsas xassəsindən istifadə olunur.

Sadə nümunələri nəzərdən keçirin:

Bu nümunələrdə biz dərhal kəsrlərdən birinin bərabər məxrəcləri əldə etmək üçün necə çevrilə biləcəyini görürük.

Kəsrləri bir məxrəcə endirməyin yollarını təyin etsək, bu adlanacaq BİRİNCİ METOD.

Yəni, kəsri "qiymətləndirərkən" dərhal belə bir yanaşmanın işləyəcəyini anlamaq lazımdır - daha böyük məxrəcin kiçikə bölünüb-bölünmədiyini yoxlayırıq. Əgər bölünürsə, onda biz çevirməni həyata keçiririk - biz pay və məxrəci çoxalırıq ki, hər iki fraksiyanın məxrəcləri bərabər olsun.

İndi bu nümunələrə baxın:

Bu yanaşma onlara şamil edilmir. Kəsrləri ortaq məxrəcə endirməyin başqa yolları var, onları nəzərdən keçirin.

İKİNCİ üsul.

Birinci kəsrin payını və məxrəcini ikincinin məxrəcinə, ikinci kəsrin payını və məxrəcini birincinin məxrəcinə çarpın:

*Əslində, məxrəclər bərabər olduqda kəsrləri formaya gətiririk. Sonra, bərabər məxrəclərlə utancaq əlavə etmək qaydasından istifadə edirik.

Misal:

*Bu üsulu universal adlandırmaq olar və həmişə işləyir. Yeganə mənfi odur ki, hesablamalardan sonra daha da azaldılması lazım olan bir hissə çıxa bilər.

Məsələni nəzərdən keçirək:

Görünür ki, pay və məxrəc 5-ə bölünür:

ÜÇÜNCÜ Üsul.

Məxrəclərin ən kiçik ümumi çoxluğunu (LCM) tapın. Bu ortaq məxrəc olacaq. Bu rəqəm nədir? Bu ədədlərin hər birinə bölünən ən kiçik natural ədəddir.

Baxın, burada iki ədəd var: 3 və 4, onlara bölünən çoxlu rəqəmlər var - bunlar 12, 24, 36, ... Onlardan ən kiçiyi 12-dir. Və ya 6 və 15, 30, 60, 90 onlara bölünür.... Ən azı 30. Sual - bu ən kiçik ümumi çoxluğu necə müəyyən etmək olar?

Aydın bir alqoritm var, lakin tez-tez bu hesablamalar olmadan dərhal edilə bilər. Məsələn, yuxarıdakı misallara görə (3 və 4, 6 və 15) heç bir alqoritmə ehtiyac yoxdur, biz böyük ədədləri (4 və 15) götürdük, ikiqat artırdıq və gördük ki, onlar ikinci ədədə bölünür, ancaq ədədlər cütləri 51 və 119 kimi digərləri ola bilər.

Alqoritm. Bir neçə ədədin ən kiçik ümumi qatını müəyyən etmək üçün aşağıdakıları etməlisiniz:

- ədədlərin hər birini SADƏ amillərə ayırın

- onlardan BÖYÜKsünün parçalanmasını yazın

- onu digər ədədlərin İTKİLİ əmsallarına vurun

Nümunələri nəzərdən keçirin:

50 və 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

parçalanmada daha çox bir beş əskik

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 və 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

genişlənmədə daha çox sayda, iki və üç əskik

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* İki sadə ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu onların hasilinə bərabərdir

Sual! Və nə üçün ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq faydalıdır, çünki ikinci üsuldan istifadə edib, sadəcə olaraq yaranan kəsri azaltmaq olar? Bəli, edə bilərsiniz, lakin bu həmişə əlverişli deyil. Görün, 48 və 72 ədədlərini sadəcə 48∙72 = 3456-ya vursanız, onların məxrəci nə olacaq. Razılaşın ki, kiçik ədədlərlə işləmək daha xoşdur.

Nümunələri nəzərdən keçirin:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

daha çox sayda genişlənmədə üçlü əskikdir

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

İndi birinci üsulu tətbiq edirik:

* Hesablamalardakı fərqə baxın, birinci halda onların minimumu var, ikincisində bir kağız parçası üzərində ayrıca işləmək lazımdır və hətta əldə etdiyiniz fraksiya da azaldılmalıdır. LCM-nin tapılması işi xeyli asanlaşdırır.

Daha çox nümunə:

* İkinci misalda artıq aydındır ki, 40 və 60-a bölünən ən kiçik ədəd 120-dir.

ÜMUMİ! ÜMUMİ HESABLAMA ALQORİTMİ!

- əgər tam hissə varsa, kəsrləri adi olanlara gətiririk.

- kəsrləri ortaq məxrəcə gətiririk (əvvəlcə bir məxrəcin digərinə bölünüb-bölünmədiyinə baxırıq, bölünə bilirsə, sonra bu digər kəsrin payını və məxrəcini vururuq; bölünməzsə, digəri ilə hərəkət edirik. yuxarıda göstərilən üsullar).

- bərabər məxrəcli kəsrləri aldıqdan sonra hərəkətləri yerinə yetiririk (əlavə, çıxma).

- lazım gələrsə, nəticəni azaldırıq.

- lazım gələrsə, bütün hissəni seçin.

2. Kəsrlərin hasili.

Qayda sadədir. Kəsrləri vurarkən onların sayları və məxrəcləri vurulur:

Nümunələr:

Oxşar məqalələr