Praktinis tiesioginės ir atvirkštinės proporcinės priklausomybės taikymas. Tiesioginė proporcinga priklausomybė

Šiandien pažiūrėsime, kokie dydžiai vadinami atvirkščiai proporcingais, kaip atrodo atvirkštinio proporcingumo grafikas ir kuo visa tai gali būti jums naudinga ne tik matematikos pamokose, bet ir už mokyklos ribų.

Tokios skirtingos proporcijos

Proporcingumasįvardykite du dydžius, kurie yra vienas nuo kito priklausomi.

Priklausomybė gali būti tiesioginė ir atvirkštinė. Vadinasi, dydžių santykiai apibūdinami tiesioginiu ir atvirkštiniu proporcingumu.

Tiesioginis proporcingumas– tai toks ryšys tarp dviejų dydžių, kai vieno iš jų padidėjimas arba sumažėjimas lemia kito padidėjimą arba sumažėjimą. Tie. jų požiūris nesikeičia.

Pavyzdžiui, kuo daugiau pastangų įdedate studijuodami egzaminams, tuo aukštesni jūsų pažymiai. Arba kuo daugiau daiktų pasiimsite su savimi į žygį, tuo sunkesnė bus jūsų kuprinė. Tie. Egzaminų ruošimosi pastangų kiekis yra tiesiogiai proporcingas gautiems pažymiams. O į kuprinę sukrautų daiktų skaičius yra tiesiogiai proporcingas jos svoriui.

Atvirkštinis proporcingumas – tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės sumažėjimas arba padidėjimas kelis kartus (tai vadinamas argumentu) sukelia proporcingą (t. y. tiek pat kartų) priklausomos reikšmės padidėjimą arba sumažėjimą (tai vadinama funkcija).

Iliustruojame paprastas pavyzdys. Norite nusipirkti obuolių turguje. Obuoliai ant prekystalio ir pinigų suma jūsų piniginėje yra atvirkščiai proporcinga. Tie. kuo daugiau obuolių perkate, tuo mažiau pinigų jums liks šiek tiek.

Funkcija ir jos grafikas

Atvirkštinio proporcingumo funkciją galima apibūdinti kaip y = k/x. Kuriame x≠ 0 ir k≠ 0.

Ši funkcija turi šias savybes:

Jo apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių, išskyrus x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
Diapazonas yra visi realūs skaičiai, išskyrus y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Neturi didžiausių ar minimalių verčių.
Jis yra nelyginis, o jo grafikas yra simetriškas kilmei.
Neperiodinis.
Jo grafikas nekerta koordinačių ašių.
Neturi nulių.
Jeigu k> 0 (ty argumentas didėja), funkcija proporcingai mažėja kiekviename jos intervale. Jeigu k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Didėjant argumentui ( k> 0) neigiamos reikšmės funkcijos yra intervale (-∞; 0), o teigiamos yra (0; +∞). Kai argumentas sumažėja ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Atvirkštinės proporcingumo funkcijos grafikas vadinamas hiperbole. Rodoma taip:

Atvirkštinio proporcingumo problemos

Kad būtų aiškiau, pažvelkime į keletą užduočių. Jos nėra pernelyg sudėtingos, o jų sprendimas padės įsivaizduoti, kas yra atvirkštinis proporcingumas ir kuo šios žinios gali būti naudingos kasdieniame gyvenime.

Užduotis Nr.1. Automobilis važiuoja 60 km/h greičiu. Iki kelionės tikslo jam prireikė 6 valandų. Kiek laiko jam prireiks įveikti tą patį atstumą, jei judės dvigubai greičiau?

Pradėti galime užrašydami formulę, apibūdinančią laiko, atstumo ir greičio ryšį: t = S/V. Sutikite, tai mums labai primena atvirkštinio proporcingumo funkciją. Ir tai rodo, kad laikas, kurį automobilis praleidžia kelyje, ir jo judėjimo greitis yra atvirkščiai proporcingi.

Norėdami tai patikrinti, suraskime V 2, kuris pagal sąlygą yra 2 kartus didesnis: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Tada apskaičiuojame atstumą pagal formulę S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Dabar nesunku sužinoti laiką t 2, kurio mums reikia pagal uždavinio sąlygas: t 2 = 360/120 = 3 valandos.

Kaip matote, kelionės laikas ir greitis išties yra atvirkščiai proporcingi: važiuojant 2 kartus didesniu nei pradinis greitis, automobilis kelyje praleis 2 kartus mažiau laiko.

Šios problemos sprendimas taip pat gali būti parašytas kaip proporcija. Taigi pirmiausia sukurkime šią diagramą:

↓ 60 km/h – 6 val

↓120 km/h – x h

Rodyklės rodo atvirkščiai proporcingą ryšį. Jie taip pat siūlo tai daryti sudarant proporcijas dešinioji pusėįrašai turi būti apversti: 60/120 = x/6. Iš kur gauname x = 60 * 6/120 = 3 valandos.

2 užduotis. Dirbtuvėse dirba 6 darbuotojai, kurie tam tikrą darbų kiekį gali atlikti per 4 valandas. Jei darbuotojų skaičius sumažės perpus, kiek laiko užtruks likę darbuotojai, kad atliktų tą patį darbų kiekį?

Užrašykime problemos sąlygas vaizdinės diagramos pavidalu:

↓ 6 darbuotojai – 4 val

↓ 3 darbuotojai – x val

Parašykime tai kaip proporciją: 6/3 = x/4. Ir gauname x = 6 * 4/3 = 8 val.Jei darbininkų bus 2 kartus mažiau, tai likę dirbdami visus darbus skirs 2 kartus daugiau laiko.

Užduotis Nr.3. Į baseiną veda du vamzdžiai. Vienu vamzdžiu vanduo teka 2 l/s greičiu ir pripildo baseiną per 45 minutes. Per kitą vamzdį baseinas prisipildys per 75 minutes. Kokiu greičiu šiuo vamzdžiu vanduo patenka į baseiną?

Pirmiausia sumažinkime visus mums duotus kiekius pagal problemos sąlygas iki tų pačių matavimo vienetų. Norėdami tai padaryti, išreiškiame baseino užpildymo greitį litrais per minutę: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Kadangi iš to, kad baseinas per antrąjį vamzdį prisipildo lėčiau, tai reiškia, kad vandens tekėjimo greitis yra mažesnis. Proporcingumas yra atvirkštinis. Išreikškime nežinomą greitį per x ir sudarykime tokią diagramą:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Ir tada mes sudarome proporciją: 120/x = 75/45, iš kur x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Uždavinyje baseino užpildymo greitis išreiškiamas litrais per sekundę, gautą atsakymą sumažinkime iki tokios pat formos: 72/60 = 1,2 l/s.

4 užduotis. Nedidelė privati spaustuvė spausdina vizitines korteles. Spaustuvės darbuotojas dirba 42 vizitinių kortelių greičiu per valandą ir dirba visą dieną – 8 valandas. Jei jis dirbtų greičiau ir per valandą atspausdintų 48 vizitines korteles, kiek anksčiau jis galėtų grįžti namo?

Mes einame įrodytu keliu ir sudarome diagramą pagal problemos sąlygas, nurodydami norimą reikšmę kaip x:

↓ 42 vizitinės kortelės/val. – 8 val

↓ 48 vizitinės kortelės/val. – x val

Vėl priešais mus proporcinga priklausomybė: kiek kartų daugiau vizitinių kortelių atspausdina spaustuvės darbuotojas per valandą, tiek pat kartų mažiau laiko prireiks tam pačiam darbui atlikti. Žinodami tai, sukurkime proporciją:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 valandos.

Taigi, darbus atlikęs per 7 valandas, spaustuvės darbuotojas namo galėjo vykti valanda anksčiau.

Išvada

Mums atrodo, kad šios atvirkštinio proporcingumo problemos yra tikrai paprastos. Tikimės, kad dabar jūs taip pat galvojate apie juos. Ir svarbiausia, kad žinios apie atvirkščiai proporcingą kiekių priklausomybę jums tikrai gali būti naudingos ne kartą.

Ne tik matematikos pamokose ir egzaminuose. Tačiau net tada, kai susiruoši į kelionę, apsipirkinėji, nusprendi per atostogas užsidirbti šiek tiek papildomų pinigų ir pan.

Papasakokite komentaruose, kokius atvirkštinių ir tiesioginių proporcingų santykių pavyzdžius pastebite aplink save. Tebūnie toks žaidimas. Pamatysite, kaip tai įdomu. Nepamirškite pasidalinti šiuo straipsniu socialiniuose tinkluose kad jūsų draugai ir klasės draugai taip pat galėtų žaisti.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

§ 129. Preliminarūs paaiškinimai.

Žmogus nuolat susiduria su pačiais įvairiausiais kiekiais. Darbuotojas ir darbuotojas stengiasi atvykti į darbą iki tam tikro laiko, pėsčiasis skuba į tam tikrą vietą trumpiausiu keliu, garo šildymo krosnis nerimauja, kad katile pamažu kyla temperatūra, verslo vadovas kuria planus, kaip sumažinti gamybos kaštus ir kt.

Tokių pavyzdžių būtų galima pateikti daugybę. Laikas, atstumas, temperatūra, kaina – visa tai įvairūs kiekiai. Pirmoje ir antroje šios knygos dalyse susipažinome su keletu ypač paplitusių dydžių: ploto, tūrio, svorio. Su daugybe dydžių susiduriame studijuodami fiziką ir kitus mokslus.

Įsivaizduokite, kad keliaujate traukiniu. Kartkartėmis žiūrite į laikrodį ir pastebite, kiek laiko buvote kelyje. Pavyzdžiui, jūs sakote, kad nuo traukinio išvykimo praėjo 2, 3, 5, 10, 15 valandų ir tt Šie skaičiai reiškia skirtingus laiko tarpus; jos vadinamos šio dydžio (laiko) reikšmėmis. Arba žiūrite pro langą ir sekate kelio stulpus, kad pamatytumėte atstumą, kurį nuvažiuoja jūsų traukinys. Prieš jus mirga skaičiai 110, 111, 112, 113, 114 km. Šie skaičiai reprezentuoja skirtingi atstumai kurį traukinys pravažiavo iš išvykimo vietos. Jie taip pat vadinami vertėmis, šiuo metu skirtingo dydžio (kelias arba atstumas tarp dviejų taškų). Taigi vienas dydis, pavyzdžiui, laikas, atstumas, temperatūra, gali užimti tiek pat skirtingos reikšmės.

Atkreipkite dėmesį, kad žmogus beveik niekada neatsižvelgia tik į vieną kiekį, bet visada susieja jį su kitais dydžiais. Jis turi susidoroti su dviem, trimis ir didelis skaičius kiekiai Įsivaizduokite, kad į mokyklą turite atvykti iki 9 valandos. Pažiūri į laikrodį ir pamatai, kad turi 20 minučių. Tada greitai supranti, ar važiuoti tramvajumi, ar eiti į mokyklą pėsčiomis. Pagalvojęs nusprendžiate vaikščioti. Pastebėkite, kad mąstydami sprendėte kokią nors problemą. Ši užduotis tapo paprasta ir pažįstama, nes tokias problemas sprendžiate kiekvieną dieną. Jame greitai palyginote kelis kiekius. Jūs žiūrėjote į laikrodį, vadinasi, atsižvelgėte į laiką, tada mintyse įsivaizdavote atstumą nuo namų iki mokyklos; galiausiai palyginote du dydžius: savo žingsnio greitį ir tramvajaus greitį ir padarėte tokią išvadą duotas laikas(20 min.) Turėsite laiko pasivaikščioti. Iš šio paprasto pavyzdžio matote, kad mūsų praktikoje kai kurie dydžiai yra tarpusavyje susiję, tai yra, priklauso vienas nuo kito

Dvyliktame skyriuje buvo kalbama apie vienarūšių dydžių ryšį. Pavyzdžiui, jei vienas segmentas yra 12 m, o kitas yra 4 m, tada šių atkarpų santykis bus 12:4.

Sakėme, kad tai yra dviejų vienarūšių dydžių santykis. Kitas būdas tai pasakyti yra tai, kad tai yra dviejų skaičių santykis vienas vardas.

Dabar, kai esame geriau susipažinę su dydžiais ir įvedėme kiekio vertės sąvoką, santykio apibrėžimą galime išreikšti nauju būdu. Tiesą sakant, kai svarstėme du segmentus 12 m ir 4 m, mes kalbėjome apie vieną reikšmę - ilgį, o 12 m ir 4 m buvo tik du skirtingos reikšmėsšią vertę.

Todėl ateityje, kai pradėsime kalbėti apie santykius, atsižvelgsime į dvi vieno dydžio reikšmes, o vienos kiekio vertės ir kitos to paties dydžio vertės santykis bus vadinamas pirmosios vertės padalijimo koeficientu. antruoju.

§ 130. Vertės yra tiesiogiai proporcingos.

Panagrinėkime problemą, kurios sąlyga apima du dydžius: atstumą ir laiką.

1 užduotis. Tiesiai ir tolygiai judantis kūnas kas sekundę nukeliauja 12 cm. Nustatykite kūno nuvažiuotą atstumą per 2, 3, 4, ..., 10 sekundžių.

Sukurkime lentelę, pagal kurią galima stebėti laiko ir atstumo pokyčius.

Lentelė suteikia mums galimybę palyginti šias dvi verčių eilutes. Iš to matome, kad kai pirmojo dydžio (laiko) reikšmės palaipsniui didėja 2, 3,..., 10 kartų, tada antrojo dydžio (atstumo) reikšmės taip pat padidėja 2, 3, ..., 10 kartų. Taigi, kai vieno dydžio reikšmės padidėja kelis kartus, kito dydžio reikšmės padidėja tiek pat, o kai vieno dydžio reikšmės sumažėja kelis kartus, kito dydžio reikšmės sumažėja tas pats numeris.

Dabar panagrinėkime problemą, kuri apima du tokius dydžius: medžiagos kiekį ir jos kainą.

2 užduotis. 15 m audinio kainuoja 120 rublių. Apskaičiuokite šio audinio kainą keliems kitiems lentelėje nurodytiems skaitiklių kiekiams.

Naudodamiesi šia lentele galime atsekti, kaip palaipsniui didėja prekės savikaina, priklausomai nuo jos kiekio padidėjimo. Nepaisant to, kad ši problema susijusi su visiškai skirtingais dydžiais (pirmoje problemoje - laikas ir atstumas, o čia - prekių kiekis ir jo vertė), vis dėlto šių dydžių elgesyje galima rasti didelių panašumų.

Tiesą sakant, viršutinėje lentelės eilutėje yra skaičiai, nurodantys audinio metrų skaičių, po kiekvienu iš jų yra skaičius, išreiškiantis atitinkamo prekių kiekio kainą. Net greitas žvilgsnis į šią lentelę rodo, kad tiek viršutinėje, tiek apatinėje eilutėse skaičiai didėja; atidžiau išnagrinėjus lentelę ir lyginant atskirus stulpelius, paaiškėja, kad visais atvejais antrojo dydžio reikšmės padidėja tiek pat kartų, kiek ir pirmojo padidėjimo reikšmės, t.y. pirmasis kiekis padidėja, tarkime, 10 kartų, tada antrojo kiekio vertė taip pat padidėjo 10 kartų.

Peržiūrėję lentelę iš dešinės į kairę, pamatysime, kad nurodytos kiekių reikšmės sumažės tas pats numeris kartą. Šia prasme pirmoji ir antroji užduotis yra besąlygiškai panašios.

Dydžių poros, su kuriomis susidūrėme pirmoje ir antroje uždaviniuose, vadinamos tiesiogiai proporcingas.

Taigi, jei du dydžiai yra susiję vienas su kitu taip, kad vieno iš jų vertei padidėjus (mažėjant) kelis kartus, kito vertei padidėjus (sumažinus) tiek pat, tai tokie dydžiai vadinami tiesiogiai proporcingais. .

Taip pat sakoma, kad tokie dydžiai yra susiję vienas su kitu tiesiogiai proporcingu ryšiu.

Gamtoje ir mus supančiame gyvenime yra daug panašių kiekių. Štai keletas pavyzdžių:

1. Laikas darbas (dieną, dvi dienas, tris dienas ir pan.) ir pajamos, gautas per šį laiką su dieniniu atlyginimu.

2. Apimtis bet koks objektas, pagamintas iš vienalytės medžiagos, ir svoriošį elementą.

§ 131. Tiesiogiai proporcingų dydžių savybė.

Paimkime problemą, kuri apima šiuos du kiekius: darbo laikas ir uždarbis. Jei dienos uždarbis yra 20 rublių, tada uždarbis už 2 dienas bus 40 rublių ir tt Patogiausia sudaryti lentelę, kurioje tam tikras dienų skaičius atitiks tam tikrą uždarbį.

Žvelgdami į šią lentelę matome, kad abu dydžiai gavo 10 skirtingų reikšmių. Kiekviena pirmosios vertės reikšmė atitinka tam tikrą antrosios vertės reikšmę, pavyzdžiui, 2 dienos atitinka 40 rublių; 5 dienos atitinka 100 rublių. Lentelėje šie skaičiai parašyti vienas po kito.

Mes jau žinome, kad jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tai kiekvienas iš jų, besikeičiant, didėja tiek kartų, kiek didėja kitas. Iš to iš karto išplaukia: jei imsime bet kurių dviejų pirmojo dydžio verčių santykį, tada jis bus lygus dviejų atitinkamų antrojo dydžio verčių santykiui. Iš tikrųjų:

Kodėl tai vyksta? Bet kadangi šios vertės yra tiesiogiai proporcingos, t. y. kai viena iš jų (laikas) padidėjo 3 kartus, tada kita (uždarbis) padidėjo 3 kartus.

Todėl padarėme tokią išvadą: jei paimsime dvi pirmojo dydžio reikšmes ir padalinsime jas vieną iš kitos, o paskui iš vienos padalysime atitinkamas antrojo dydžio reikšmes, tada abiem atvejais gausime tas pats skaičius, t. y. tas pats ryšys. Tai reiškia, kad abu santykius, kuriuos rašėme aukščiau, galima susieti lygybės ženklu, t.y.

Neabejotina, kad jei imtume ne šiuos santykius, o kitus, ir ne ta, o priešinga tvarka, gautume ir santykių lygybę. Tiesą sakant, mes apsvarstysime savo kiekių reikšmes iš kairės į dešinę ir paimsime trečiąją ir devintąją vertes:

60:180 = 1 / 3 .

Taigi galime parašyti:

Tai leidžia daryti tokią išvadą: jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų pirmojo dydžio verčių santykis yra lygus dviejų atitinkamų antrojo dydžio verčių santykiui.

§ 132. Tiesioginio proporcingumo formulė.

Sukurkime išlaidų lentelę įvairūs kiekiai saldainiai, jei 1 kg kainuoja 10,4 rub.

Dabar darykime taip. Paimkite bet kurį skaičių antroje eilutėje ir padalykite jį iš atitinkamo skaičiaus pirmoje eilutėje. Pavyzdžiui:

Matote, kad koeficiente visą laiką gaunamas tas pats skaičius. Vadinasi, duotai tiesiogiai proporcingų dydžių porai koeficientas, padalijus bet kurią vieno dydžio reikšmę iš atitinkamos kito dydžio vertės, yra pastovus skaičius (t.y. nekintantis). Mūsų pavyzdyje šis koeficientas yra 10,4. Šis pastovus skaičius vadinamas proporcingumo koeficientu. IN tokiu atveju ji išreiškia matavimo vieneto, t.y. vieno kilogramo prekių, kainą.

Kaip rasti ar apskaičiuoti proporcingumo koeficientą? Norėdami tai padaryti, turite paimti bet kurią vieno kiekio vertę ir padalyti ją iš atitinkamos kitos vertės.

Šią savavališką vieno dydžio reikšmę pažymėkime raide adresu , o atitinkama kito dydžio reikšmė – raidė X , tada proporcingumo koeficientas (žymime jį KAM) randame pagal padalijimą:

Šioje lygybėje adresu - dalytis, X - daliklis ir KAM- dalinys, o kadangi pagal dalybos savybę dividendas yra lygus dalikliui, padaugintam iš dalinio, galime parašyti:

y= K x

Gauta lygybė vadinama tiesioginio proporcingumo formulė. Naudodami šią formulę galime apskaičiuoti bet kokį vieno iš tiesiogiai proporcingų dydžių verčių skaičių, jei žinome atitinkamas kito dydžio vertes ir proporcingumo koeficientą.

Pavyzdys. Iš fizikos žinome tą svorį R bet kurio kūno yra lygus jo savitajam sunkiui d , padaugintas iš šio kūno tūrio V, t.y. R = d V.

Paimkime penkis skirtingo tūrio geležinius strypus; Žinodami geležies savitąjį svorį (7.8), galime apskaičiuoti šių luitų svorius pagal formulę:

R = 7,8 V.

Palyginus šią formulę su formule adresu = KAM X , mes tai matome y = R, x = V, ir proporcingumo koeficientą KAM= 7,8. Formulė ta pati, tik raidės skiriasi.

Pagal šią formulę sudarykime lentelę: tegul 1-ojo ruošinio tūris yra lygus 8 kubiniams metrams. cm, tada jo svoris yra 7,8 8 = 62,4 (g). 2-ojo ruošinio tūris yra 27 kubiniai metrai. cm Jo svoris yra 7,8 27 = 210,6 (g). Lentelė atrodys taip:

Apskaičiuokite šioje lentelėje trūkstamus skaičius naudodami formulę R= d V.

§ 133. Kiti uždavinių su tiesiogiai proporcingais dydžiais sprendimo būdai.

Ankstesnėje pastraipoje išsprendėme problemą, kurios sąlyga apėmė tiesiogiai proporcingus dydžius. Šiuo tikslu pirmiausia išvedėme tiesioginio proporcingumo formulę ir tada pritaikėme šią formulę. Dabar parodysime du kitus panašių problemų sprendimo būdus.

Sukurkime problemą naudodami skaitinius duomenis, pateiktus ankstesnėje pastraipoje lentelėje.

Užduotis. 8 kubinių metrų tūrio ruošinys. cm sveria 62,4 g Kiek svers 64 kubinių metrų tūrio ruošinys? cm?

Sprendimas. Geležies svoris, kaip žinoma, yra proporcingas jos tūriui. Jei 8 kub. cm sveria 62,4 g, tada 1 kub. cm svers 8 kartus mažiau, t.y.

62,4:8 = 7,8 (g).

Ruošinys, kurio tūris 64 kubiniai metrai. cm svers 64 kartus daugiau nei 1 kubinio metro ruošinys. cm, t.y.

7,8 64 = 499,2 (g).

Mes išsprendėme savo problemą sumažindami iki vienybės. Šio pavadinimo prasmė pateisinama tuo, kad norėdami jį išspręsti turėjome pirmame klausime rasti tūrio vieneto svorį.

2. Proporcingumo metodas. Išspręskime tą pačią problemą naudodami proporcijų metodą.

Kadangi geležies svoris ir jos tūris yra tiesiogiai proporcingi dydžiai, dviejų vieno kiekio (tūrio) reikšmių santykis yra lygus dviejų atitinkamų kito kiekio (masės) dydžių santykiui, t.y.

(laiškas R mes nurodėme nežinomą ruošinio svorį). Iš čia:

(G).

Problema buvo išspręsta naudojant proporcijų metodą. Tai reiškia, kad norint ją išspręsti, iš į sąlygą įtrauktų skaičių buvo sudaryta proporcija.

§ 134. Vertės yra atvirkščiai proporcingos.

Apsvarstykite tokią problemą: „Penki mūrininkai gali pakloti mūrines namo sienas per 168 dienas. Nustatykite, per kiek dienų 10, 8, 6 ir tt mūrininkai galėtų atlikti tą patį darbą.

Jei 5 mūrininkai namo sienas išklotų per 168 dienas, tai (esant tokiam pačiam darbo našumui) 10 mūrininkų galėtų tai padaryti per pusę laiko, nes vidutiniškai 10 žmonių atlieka dvigubai daugiau darbų nei 5 žmonės.

Sudarykite lentelę, pagal kurią galėtume stebėti darbuotojų skaičiaus ir darbo valandų pokyčius.

Pavyzdžiui, norėdami sužinoti, kiek dienų užtrunka 6 darbuotojai, pirmiausia turite apskaičiuoti, kiek dienų užtrunka vienas darbuotojas (168 5 = 840), o tada – kiek dienų užtrunka šeši darbuotojai (840: 6 = 140). Žvelgdami į šią lentelę matome, kad abu dydžiai įgavo šešias skirtingas reikšmes. Kiekviena pirmojo dydžio reikšmė atitinka konkretų; antrosios reikšmės reikšmė, pavyzdžiui, 10 atitinka 84, skaičius 8 – skaičių 105 ir t.t.

Jei apsvarstysime abiejų dydžių reikšmes iš kairės į dešinę, pamatysime, kad viršutinio kiekio reikšmės didėja, o apatinio – mažėja. Didėjimui ir mažėjimui galioja toks įstatymas: darbuotojų skaičiaus reikšmės didėja tiek pat kartų, kiek mažėja sugaišto darbo laiko reikšmės. Šią mintį dar paprasčiau galima išreikšti taip: kuo daugiau darbuotojų dalyvauja atliekant bet kokią užduotį, tuo mažiau laiko jiems reikia atlikti. tam tikras darbas. Du dydžiai, su kuriais susidūrėme šioje problemoje, vadinami atvirkščiai proporcingas.

Taigi, jei du dydžiai yra susieti vienas su kitu taip, kad vieno iš jų vertei padidėjus (mažėjant) kelis kartus, kito vertė mažėja (padidėja) tiek pat, tai tokie dydžiai vadinami atvirkščiai proporcingais. .

Gyvenime yra daug panašių kiekių. Pateikime pavyzdžių.

1. Jei už 150 rublių. Jei prireiks kelių kilogramų saldainių, saldainių skaičius priklausys nuo vieno kilogramo kainos. Kuo didesnė kaina, tuo mažiau prekių galite nusipirkti už šiuos pinigus; tai matyti iš lentelės:

Kelis kartus pabrangus saldainiams, tiek pat mažėja kilogramų saldainių, kuriuos galima nusipirkti už 150 rublių. Šiuo atveju du dydžiai (prekės svoris ir kaina) yra atvirkščiai proporcingi.

2. Jei atstumas tarp dviejų miestų yra 1200 km, tai jį galima įveikti skirtingu laiku, priklausomai nuo judėjimo greičio. Egzistuoti Skirtingi keliai gabenimas: pėsčiomis, arkliu, dviračiu, laivu, automobiliu, traukiniu, lėktuvu. Kuo mažesnis greitis, tuo daugiau laiko reikia judėti. Tai matyti iš lentelės:

Kelis kartus padidinus greitį, kelionės laikas sutrumpėja tiek pat. Tai reiškia, kad tokiomis sąlygomis greitis ir laikas yra atvirkščiai proporcingi dydžiai.

§ 135. Atvirkščiai proporcingų dydžių savybė.

Paimkime antrąjį pavyzdį, kurį nagrinėjome ankstesnėje pastraipoje. Ten susidorojome su dviem dydžiais – greičiu ir laiku. Jei pažvelgsime į šių dydžių verčių lentelę iš kairės į dešinę, pamatysime, kad pirmojo dydžio (greičio) reikšmės didėja, o antrojo (laiko) reikšmės mažėja, ir greitis didėja tiek pat, kiek laikas mažėja. Nesunku suprasti, kad jei parašysite kai kurių vieno kiekio verčių santykį, jis nebus lygus kito kiekio atitinkamų verčių santykiui. Tiesą sakant, jei imsime ketvirtosios viršutinės vertės ir septintosios vertės santykį (40: 80), tada jis nebus lygus apatinės vertės ketvirtos ir septintos reikšmių santykiui (30: 15). Tai galima parašyti taip:

40:80 nėra lygus 30:15 arba 40:80 =/=30:15.

Bet jei vietoj vieno iš šių santykių imsime priešingai, tada gausime lygybę, t.y. iš šių santykių bus galima sukurti proporciją. Pavyzdžiui:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Remdamiesi tuo, kas išdėstyta, galime padaryti tokią išvadą: jei du dydžiai yra atvirkščiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų vieno dydžio verčių santykis yra lygus kito dydžio atitinkamų verčių atvirkštiniam santykiui.

§ 136. Atvirkštinio proporcingumo formulė.

Apsvarstykite problemą: „Yra 6 skirtingų dydžių ir skirtingų rūšių šilko audinio gabalai. Visos dalys kainuoja tiek pat. Viename gabale yra 100 m audinio, kaina 20 rublių. vienam metrui Kiek metrų yra kiekvienoje iš kitų penkių dalių, jei šiose dalyse audinio metras kainuoja atitinkamai 25, 40, 50, 80, 100 rublių? Norėdami išspręsti šią problemą, sukurkime lentelę:

Turime užpildyti tuščius langelius viršutinėje šios lentelės eilutėje. Pirmiausia pabandykime nustatyti, kiek metrų yra antrajame gabale. Tai galima padaryti taip. Iš problemos sąlygų žinoma, kad visų dalių kaina yra vienoda. Pirmojo gabalo kainą nustatyti nesunku: jame yra 100 metrų, o kiekvienas metras kainuoja 20 rublių, tai reiškia, kad pirmasis šilko gabalas vertas 2000 rublių. Kadangi antrame šilko gabale yra tiek pat rublių, tada, padalijus 2000 rublių. už vieno metro kainą, t.y 25, randame antrojo gabalo dydį: 2000: 25 = 80 (m). Lygiai taip pat surasime visų kitų gabalėlių dydį. Lentelė atrodys taip:

Nesunku pastebėti, kad tarp skaitiklių skaičiaus ir kainos yra atvirkščiai proporcingas ryšys.

Jei patys atliksite reikiamus skaičiavimus, pastebėsite, kad kiekvieną kartą skaičių 2000 teks padalyti iš 1 m kainos. Priešingai, jei dabar pradėsite gabalo dydį metrais dauginti iš 1 m kainos. , visada gausite skaičių 2000. Tai ir reikėjo palaukti, nes kiekvienas gabalas kainuoja 2000 rublių.

Iš čia galime padaryti tokią išvadą: tam tikrai atvirkščiai proporcingų dydžių porai bet kurios vieno kiekio vertės sandauga su atitinkama kito dydžio verte yra pastovus skaičius (t.y. nekintantis).

Mūsų uždavinyje šis produktas lygus 2000. Patikrinkite, ar ankstesniame uždavinyje, kuriame buvo kalbama apie judėjimo greitį ir laiką, reikalingą persikelti iš vieno miesto į kitą, taip pat buvo pastovus tos problemos skaičius (1 200).

Atsižvelgiant į viską, lengva išvesti atvirkštinio proporcingumo formulę. Tam tikrą vieno dydžio reikšmę pažymėkime raide X , o kito dydžio atitinkama reikšmė pavaizduota raide adresu . Tada, remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, darbas X įjungta adresu turi būti lygus kokiai nors pastoviai vertei, kurią žymime raide KAM, t.y.

x y = KAM.

Šioje lygybėje X - daugiklis adresu - daugiklis ir K- darbas. Pagal daugybos savybę daugiklis lygus sandaugai, padalytai iš daugiklio. Reiškia,

Tai atvirkštinio proporcingumo formulė. Naudodamiesi juo, galime apskaičiuoti bet kokį vieno iš atvirkščiai proporcingų dydžių verčių skaičių, žinodami kito vertes ir pastovų skaičių KAM.

Panagrinėkime kitą problemą: „Vieno rašinio autorius paskaičiavo, kad jei jo knyga yra įprasto formato, tai ji bus 96 puslapių, o jei kišeninio – 300 puslapių. Jis bandė skirtingi variantai, pradėjo nuo 96 puslapių, o paskui turėjo 2500 laiškų puslapyje. Tada jis paėmė žemiau esančioje lentelėje nurodytus puslapių numerius ir vėl apskaičiavo, kiek raidžių bus puslapyje.

Pabandykime suskaičiuoti, kiek raidžių bus puslapyje, jei knyga turi 100 puslapių.

Visoje knygoje yra 240 000 raidžių, nes 2 500 96 = 240 000.

Atsižvelgdami į tai, naudojame atvirkštinio proporcingumo formulę ( adresu - raidžių skaičius puslapyje, X - puslapių skaičius):

Mūsų pavyzdyje KAM= 240 000 todėl

Taigi puslapyje yra 2400 raidžių.

Panašiai sužinome, kad jei knyga turi 120 puslapių, raidžių skaičius puslapyje bus:

Mūsų lentelė atrodys taip:

Likusias ląsteles užpildykite patys.

§ 137. Kiti uždavinių su atvirkščiai proporcingais dydžiais sprendimo būdai.

Ankstesnėje pastraipoje išsprendėme uždavinius, kurių sąlygos apėmė atvirkščiai proporcingus dydžius. Pirmiausia išvedėme atvirkštinio proporcingumo formulę ir tada pritaikėme šią formulę. Dabar parodysime du kitus tokių problemų sprendimus.

1. Sumažinimo iki vienybės metodas.

Užduotis. 5 tekintojai gali atlikti kai kuriuos darbus per 16 dienų. Per kiek dienų 8 tekintojai gali atlikti šį darbą?

Sprendimas. Tarp vartytojų skaičiaus ir darbo valandų yra atvirkštinis ryšys. Jei per 16 dienų darbą atliks 5 tekintotojai, tai vienam žmogui tam prireiks 5 kartus daugiau laiko, t.y.

5 tekintotojai atlieka darbą per 16 dienų,

1 tekintotojas jį atliks per 16 5 = 80 dienų.

Problema klausia, kiek dienų užtruks 8 tekintotojai, kad atliktų darbą. Akivaizdu, kad jie su darbu susidoros 8 kartus greičiau nei 1 suktuvas, t.y

80: 8 = 10 (dienos).

Tai yra problemos sprendimas, sumažinant ją iki vienybės. Čia pirmiausia reikėjo nustatyti, kiek laiko reikia vienam darbuotojui atlikti darbus.

2. Proporcingumo metodas. Išspręskime tą pačią problemą antruoju būdu.

Kadangi tarp darbininkų skaičiaus ir darbo laiko yra atvirkščiai proporcingas ryšys, galime rašyti: 5 tekintojų darbo trukmė naujas tekintojų skaičius (8) 8 tekintojų darbo trukmė ankstesnis vartytojų skaičius (5) Pažymime reikiamą darbo trukmę laišku X ir pakeiskite reikiamus skaičius į proporcijas, išreikštas žodžiais:

Ta pati problema išspręsta proporcijų metodu. Norėdami ją išspręsti, turėjome sukurti proporciją iš skaičių, įtrauktų į problemos teiginį.

Pastaba. Ankstesnėse dalyse nagrinėjome tiesioginio ir atvirkštinio proporcingumo klausimą. Gamta ir gyvenimas pateikia daug tiesioginės ir atvirkščiai proporcingos kiekių priklausomybės pavyzdžių. Tačiau reikia pažymėti, kad šios dvi priklausomybės rūšys yra tik paprasčiausios. Kartu su jais yra ir kitų, sudėtingesnių dydžių priklausomybių. Be to, nereikėtų manyti, kad jei bet kurie du dydžiai didėja vienu metu, tai būtinai tarp jų yra tiesioginis proporcingumas. Tai toli gražu nėra tiesa. Pavyzdžiui, rinkliavos už geležinkelis didėja priklausomai nuo atstumo: kuo toliau keliaujame, tuo daugiau mokame, tačiau tai nereiškia, kad mokėjimas proporcingas atstumui.

Pavyzdys

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 ir kt.

Proporcingumo koeficientas

Proporcingų dydžių pastovus ryšys vadinamas proporcingumo koeficientas. Proporcingumo koeficientas parodo, kiek vieno kiekio vienetų tenka kito vienetui.

Tiesioginis proporcingumas

Tiesioginis proporcingumas- funkcinė priklausomybė, kai tam tikras dydis priklauso nuo kito dydžio taip, kad jų santykis išlieka pastovus. Kitaip tariant, šie kintamieji keičiasi proporcingai, lygiomis dalimis, tai yra, jei argumentas pasikeičia du kartus bet kuria kryptimi, tada funkcija taip pat pasikeičia du kartus ta pačia kryptimi.

Matematiškai tiesioginis proporcingumas parašytas kaip formulė:

f(x) = ax,a = const

Atvirkštinis proporcingumas

Atvirkštinis proporcingumas- tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės padidėjimas (argumentas) sukelia proporcingą priklausomos reikšmės (funkcijos) sumažėjimą.

Matematiškai atvirkštinis proporcingumas parašytas kaip formulė:

Funkcijos savybės:

Šaltiniai

Wikimedia fondas. 2010 m.

Antrasis Niutono dėsnis
Kulono barjeras

Pažiūrėkite, kas yra „tiesioginis proporcingumas“ kituose žodynuose:

tiesioginis proporcingumas- - [A.S. Goldbergas. Anglų-rusų energetikos žodynas. 2006] Energetikos temos apskritai EN tiesioginis santykis ... Techninis vertėjo vadovas

tiesioginis proporcingumas- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. tiesioginis proporcingumas vok. direkte Proporcionalität, f rus. tiesioginis proporcingumas, f pranc. Proporcionalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORCINGUMAS- (iš lotynų kalbos proporcingas proporcingas, proporcingas). Proporcingumas. Žodynas svetimžodžiai, įtraukta į rusų kalbą. Chudinovas A.N., 1910. PROPORCINGUMAS lat. proporcingas, proporcingas. Proporcingumas. Paaiškinimas 25000...... Rusų kalbos svetimžodžių žodynas

PROPORCINGUMAS- PROporcingumas, proporcingumas, daugiskaita. ne, moteris (knyga). 1. abstraktus daiktavardis į proporcingą. Dalių proporcingumas. Kūno proporcingumas. 2. Toks santykis tarp dydžių, kai jie yra proporcingi (žr. proporcingas ... Žodynas Ušakova

Proporcingumas- Du vienas nuo kito priklausomi dydžiai vadinami proporcingais, jei jų reikšmių santykis nesikeičia. Turinys 1 2 pavyzdys Proporcingumo koeficientas... Vikipedija

PROPORCINGUMAS- PROporcingumas, ir, moteriškas. 1. žr. proporcingas. 2. Matematikoje: toks dydžių santykis, kai vienam iš jų padidėjus, kitas pasikeičia tokiu pat kiekiu. Tiesi linija (su pjūviu, padidinus vieną vertę... ... Ožegovo aiškinamasis žodynas

proporcingumo- Ir; ir. 1. į proporcingą (1 reikšmė); proporcingumo. P. dalys. P. kūno sudėjimą. P. atstovavimas parlamente. 2. Matematika. Priklausomybė tarp proporcingai besikeičiančių dydžių. Proporcingumo koeficientas. Tiesioginė linija (kurioje su ... ... enciklopedinis žodynas

Tokios skirtingos proporcijos

Proporcingumasįvardykite du dydžius, kurie yra vienas nuo kito priklausomi.

Priklausomybė gali būti tiesioginė ir atvirkštinė. Vadinasi, dydžių santykiai apibūdinami tiesioginiu ir atvirkštiniu proporcingumu.

Tiesioginis proporcingumas– tai toks ryšys tarp dviejų dydžių, kai vieno iš jų padidėjimas arba sumažėjimas lemia kito padidėjimą arba sumažėjimą. Tie. jų požiūris nesikeičia.

Atvirkštinis proporcingumas– tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės sumažėjimas arba padidėjimas kelis kartus (tai vadinamas argumentu) sukelia proporcingą (t. y. tiek pat kartų) priklausomos reikšmės padidėjimą arba sumažėjimą (tai vadinama funkcija).

Iliustruojame paprastu pavyzdžiu. Norite nusipirkti obuolių turguje. Obuoliai ant prekystalio ir pinigų suma jūsų piniginėje yra atvirkščiai proporcinga. Tie. Kuo daugiau obuolių pirksite, tuo mažiau pinigų liks.

Funkcija ir jos grafikas

Atvirkštinio proporcingumo funkciją galima apibūdinti kaip y = k/x. Kuriame x≠ 0 ir k≠ 0.

Ši funkcija turi šias savybes:

Jo apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių, išskyrus x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
Diapazonas yra visi realūs skaičiai, išskyrus y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Neturi didžiausių ar minimalių verčių.
Jis yra nelyginis, o jo grafikas yra simetriškas kilmei.
Neperiodinis.
Jo grafikas nekerta koordinačių ašių.
Neturi nulių.
Jeigu k> 0 (ty argumentas didėja), funkcija proporcingai mažėja kiekviename jos intervale. Jeigu k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Didėjant argumentui ( k> 0) neigiamos funkcijos reikšmės yra intervale (-∞; 0), o teigiamos reikšmės yra intervale (0; +∞). Kai argumentas sumažėja ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Atvirkštinės proporcingumo funkcijos grafikas vadinamas hiperbole. Rodoma taip:

Atvirkštinio proporcingumo problemos

Užduotis Nr.1. Automobilis važiuoja 60 km/h greičiu. Iki kelionės tikslo jam prireikė 6 valandų. Kiek laiko jam prireiks įveikti tą patį atstumą, jei judės dvigubai greičiau?

Kaip matote, kelionės laikas ir greitis išties yra atvirkščiai proporcingi: važiuojant 2 kartus didesniu nei pradinis greitis, automobilis kelyje praleis 2 kartus mažiau laiko.

Šios problemos sprendimas taip pat gali būti parašytas kaip proporcija. Taigi pirmiausia sukurkime šią diagramą:

↓ 60 km/h – 6 val

↓120 km/h – x h

Rodyklės rodo atvirkščiai proporcingą ryšį. Jie taip pat siūlo, kad sudarant proporciją reikia apversti dešinę įrašo pusę: 60/120 = x/6. Iš kur gauname x = 60 * 6/120 = 3 valandos.

Užrašykime problemos sąlygas vaizdinės diagramos pavidalu:

↓ 6 darbuotojai – 4 val

↓ 3 darbuotojai – x val

Parašykime tai kaip proporciją: 6/3 = x/4. Ir gauname x = 6 * 4/3 = 8 val.Jei darbininkų bus 2 kartus mažiau, tai likę dirbdami visus darbus skirs 2 kartus daugiau laiko.

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Ir tada mes sudarome proporciją: 120/x = 75/45, iš kur x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Uždavinyje baseino užpildymo greitis išreiškiamas litrais per sekundę, gautą atsakymą sumažinkime iki tokios pat formos: 72/60 = 1,2 l/s.

Mes einame įrodytu keliu ir sudarome diagramą pagal problemos sąlygas, nurodydami norimą reikšmę kaip x:

↓ 42 vizitinės kortelės/val. – 8 val

↓ 48 vizitinės kortelės/val. – x val

Turime atvirkščiai proporcingą ryšį: kiek kartų daugiau vizitinių kortelių atspausdina spaustuvės darbuotojas per valandą, tiek kartų mažiau laiko jam prireiks tam pačiam darbui atlikti. Žinodami tai, sukurkime proporciją:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 valandos.

Taigi, darbus atlikęs per 7 valandas, spaustuvės darbuotojas namo galėjo vykti valanda anksčiau.

Išvada

Ne tik matematikos pamokose ir egzaminuose. Tačiau net tada, kai susiruoši į kelionę, apsipirkinėji, nusprendi per atostogas užsidirbti šiek tiek papildomų pinigų ir pan.

Papasakokite komentaruose, kokius atvirkštinių ir tiesioginių proporcingų santykių pavyzdžius pastebite aplink save. Tebūnie toks žaidimas. Pamatysite, kaip tai įdomu. Nepamirškite pasidalinti šiuo straipsniu socialiniuose tinkluose, kad galėtų žaisti ir jūsų draugai bei klasės draugai.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Pavyzdys

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 ir kt.

Proporcingumo koeficientas

Proporcingų dydžių pastovus ryšys vadinamas proporcingumo koeficientas. Proporcingumo koeficientas parodo, kiek vieno kiekio vienetų tenka kito vienetui.

Tiesioginis proporcingumas

Matematiškai tiesioginis proporcingumas parašytas kaip formulė:

f(x) = ax,a = const

Atvirkštinis proporcingumas

Atvirkštinis proporcingumas- tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės padidėjimas (argumentas) sukelia proporcingą priklausomos reikšmės (funkcijos) sumažėjimą.

Matematiškai atvirkštinis proporcingumas parašytas kaip formulė:

Funkcijos savybės: