§ 2. Asal ədədlər 1 rəqəmi istənilən a və b ədədləri üçün ümumi böləndir. Elə ola bilər ki, vəhdət onların yeganə ümumi bölücü olacaq, yəni d0 = D(a, b) = 1. (4.2.1) Bu halda a və b ədədlərinin nisbətən sadə olduğunu deyirik.Məsələn. (39, 22) = 1. Rəqəmlərin ümumisi varsa

§ 1. Rəqəmlər "Hər şey bir rəqəmdir" - qədim Pifaqorçulara öyrətdi. Bununla belə, onların istifadə etdiyi rəqəmlərin sayı bu gün bizi əhatə edən fantastik rəqəmlərin rəqsi ilə müqayisədə əhəmiyyətsizdir. Gündəlik həyat. Saydığımız zaman və nə vaxt böyük rəqəmlər görünür

44. Hansı rəqəmlər? Hansı iki tam ədəd, vurularsa, yeddi edir? Yadda saxlayın ki, hər iki ədəd tam ədəd olmalıdır, ona görə də 31/2 kimi cavab verin? 2 yoxsa 21/3? 3, yox

47. Üç ədəd. Hansı üç tam ədəd vurularsa, onlardan alınan məbləği verir Müəllifin kitabından

Sehrli Nömrələr Bir çox əvvəlki sorğularda olduğu kimi, respondentlər ömür boyu cinsi partnyorların orta sayının nisbətən aşağı olduğunu aşkar etdilər: heteroseksual qadınlar üçün təxminən yeddi və heteroseksual kişilər üçün təxminən on üç.

Fəsil 1 Nömrələr Albert! Allaha nə edəcəyini söyləməyi dayandır! Niels Bordan Albert Eynşteynə Əvvəllər rəqəm və rəqəm var idi. İnsan bunları mənimsəməyə çalışdıqda elm yarandı və insan öyrənməyə başladı dünya. Elmin inkişafı çox vaxt gülməli hadisələrlə müşayiət olunurdu.

Əlavə Buruq ədədlər Məcazi ədəd müntəzəm çoxbucaqlı şəklində düzülmüş nöqtələr kimi göstərilə bilən ədəddir. Bu nömrələr uzun müddətə riyaziyyatçıların yaxından diqqət mərkəzində olmuşdur. Yunanlar onlara sehrli xüsusiyyətlər aid etdilər,

Nümunələr

• 1-ci mükəmməl ədəd - aşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 3; onların cəmi 1 + 2 + 3 6-dır.
• 2-ci mükəmməl ədəd - aşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 4, 7, 14; onların 1 + 2 + 4 + 7 + 14 cəmi 28-dir.
• 3-cü mükəmməl ədəd - aşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; onların 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 cəmi 496-dır.
• 4-cü mükəmməl ədəd - aşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; onların 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 cəmi 8128-dir.

Tədqiqatın tarixi

Hətta mükəmməl rəqəmlər

Hətta mükəmməl ədədlərin qurulması alqoritmi IX kitabda təsvir edilmişdir başladı Evklid, burada sübut edilmişdir ki, ədəd sadədirsə, bir ədəd mükəmməldir (sözdə Mersenne əsasları). Sonradan Leonhard Euler sübut etdi ki, bütün hətta mükəmməl ədədlər Evklidin göstərdiyi formaya malikdir.

İlk dörd mükəmməl nömrə verilir Arifmetika Gerazlı Nikomacheus. Beşinci mükəmməl rəqəm 33.550.336 alman riyaziyyatçısı Regiomontanus (15-ci əsr) tərəfindən kəşf edilmişdir. 16-cı əsrdə alman alimi Şeybel daha iki mükəmməl rəqəm tapdı: 8.589.869.056 və 137.438.691.328. Onlar uyğun gəlir. R= 17 və R= 19. 20-ci əsrin əvvəllərində daha üç mükəmməl rəqəm tapıldı (üçün R= 89, 107 və 127). Sonradan axtarış 20-ci əsrin ortalarına qədər yavaşladı, kompüterlərin meydana gəlməsi ilə insan imkanlarından kənar hesablamalar mümkün oldu.

2010-cu ilin aprel ayına olan məlumata görə, 47 Mersenne adi ədədləri və onlara uyğun hətta mükəmməl ədədlər məlumdur; GIMPS paylanmış hesablama layihəsi yeni Mersenne sadə ədədlərini axtarır.

Tək mükəmməl nömrələr

Tək mükəmməl ədədlər hələ kəşf olunmayıb, lakin onların mövcud olmadığı sübuta yetirilməyib. Bütün mükəmməl ədədlər çoxluğunun sonsuz olub olmadığı da məlum deyil.

Sübut edilmişdir ki, tək mükəmməl ədəd, əgər varsa, çoxluq nəzərə alınmaqla, ən azı 9 müxtəlif sadə amil və ən azı 75 sadə əmsala malikdir. Paylanmış hesablama layihəsi OddPerfect.org tək mükəmməl ədədlər axtarır.

Xüsusiyyətlər

Möhtəşəm Faktlar

6 və 28 rəqəmlərinin xüsusi (“mükəmməl”) mahiyyəti İbrahim dinlərinə əsaslanan mədəniyyətlərdə tanınırdı ki, onlar Tanrının dünyanı 6 gündə yaratdığını iddia edir və Ayın Yer ətrafında dövrəsini təqribən 28 günə fırlanır.

“496 rəqəminin ifadə etdiyi fikir də eyni dərəcədə vacibdir. Bu, 31 rəqəminin (yəni 1-dən 31-ə qədər olan bütün tam ədədlərin cəmi) “teosofik uzantısıdır”. Digər şeylər arasında bu, "Səltənət" mənasını verən Malkut sözünün cəmidir. Beləliklə, Allahın ilkin ideyasının tam təzahürü olan Krallıq gematriyada 78 adının sayı olan 31 rəqəminin təbii tamamlayıcısı və ya təzahürü kimi görünür.

"6 rəqəmi öz-özlüyündə mükəmməldir və Rəbb hər şeyi 6 gündə yaratdığı üçün deyil, əksinə, Allah hər şeyi 6 gündə yaratdı, çünki bu rəqəm mükəmməldir. Və olmasaydı belə mükəmməl qalacaqdı. 6 gündə yaradılır."

həmçinin bax

• Bir az lazımsız ədədlər (kvazimi mükəmməl ədədlər)

Qeydlər

Linklər

• Depman İ. Mükəmməl rəqəmlər // Kvant. - 1991. - No 5. - S. 13-17.

Wikimedia Fondu. 2010.

Digər lüğətlərdə "Mükəmməl nömrə" nin nə olduğuna baxın:

MÜKƏMMƏL NÖMRƏ, bax MÜKƏMMƏK NÖMRƏ...

Bütün normal (yəni, bu ədəddən kiçik) bölənlərin cəminə bərabər olan natural ədəd. Məsələn, 6=1+2+3 və 28=1+2+4+7+14 mükəmməl ədədlərdir... Böyük ensiklopedik lüğət

Bütün normal (yəni bu ədəddən kiçik) bölənlərin cəminə bərabər olan natural ədəd. Məsələn, 6 = 1 + 2 + 3 və 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 mükəmməl ədədlərdir. * * * MÜKƏMMƏL NÖMRƏ MÜKƏMMƏL SAY, cəminə bərabər natural ədəd... ... ensiklopedik lüğət

Ədədin özündən başqa bütün müsbət bölənlərin cəmi olması xüsusiyyətinə malik müsbət tam ədəd. Beləliklə, əgər nömrə, məsələn, 6, 28, 496, 8128,33550336... rəqəmləridirsə, tam ədəddir. Riyaziyyat ensiklopediyası

NÖMRƏ, MÜKƏMMƏL, BÖLƏNƏR, 1 daxil olmaqla, onun bölənlərinin cəminə bərabərdir. Məsələn, 28 rəqəmi mükəmməl ədəddir, çünki onun bölənləri 1, 2, 4, 7 və 14 ədədləridir (28 rəqəminin özünü saymadan), və onların cəmi 28-dir, məlum deyil ... ... Elmi-texniki ensiklopedik lüğət

Mn = 2n 1 formasının ədədləri, burada n natural ədəddir. Fransız riyaziyyatçısı Mersennin şərəfinə adlandırılmışdır. Mersenne rəqəmlərinin ardıcıllığı belə başlayır: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ... (OEIS-də A000225 ardıcıllığı) Bəzən rəqəmlər ... ... Wikipedia

Nömrə- Qədim dövrlərdən bəri müxtəlif rəqəmlərə aid edilmişdir gizli mənalar. Filosoflar, Pifaqorun davamçıları (təxminən eramızdan əvvəl 500-cü il) rəqəmlərin şeylərin əsas prinsipi və mahiyyəti olduğunu müdafiə etdilər və rəqəmlərin keyfiyyətlərini və növlərini ətraflı şəkildə müəyyənləşdirdilər. Onların fikrincə...... Biblical Adlar lüğəti

Davamlı qapalı topoloji xəritəçəkmə. elə boşluqlar ki, bütün nöqtələrin tərs təsvirləri yığcam olsun. Belə ki. bir çox cəhətdən yığcam fəzaların Hausdorff fəzalarına davamlı xəritələşdirilməsinə bənzəyir (hər bir belə xəritələmə mükəmməldir), lakin sfera... ... Riyaziyyat ensiklopediyası

Altıbucaqlı nömrə buruq rəqəmdir. n-ci altıbucaqlı ədəd, hər tərəfində tam olaraq n nöqtəsi olan altıbucaqlıdakı nöqtələrin sayıdır. n-ci altıbucaqlı ədəd üçün düstur ... Vikipediya

Bu terminin başqa mənaları da var, bax 6 (mənalar). 6 altı 3 4 5 6 7 8 9 Faktorizasiya: 2×3 Roman notasiyası: VI İkilik: 110 Octal: 6 Hex... Vikipediya

Eigendivisor natural ədəd ədədin özündən başqa istənilən böləndir. Əgər ədəd öz bölənlərinin cəminə bərabərdirsə, o zaman çağırılır mükəmməl. Deməli, 6 = 3 + 2 + 1 bütün mükəmməl ədədlərin ən kiçiyidir (1 sayılmır), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 başqa bir belə rəqəmdir.

Mükəmməl rəqəmlər qədim zamanlardan bəri məlumdur və hər zaman elm adamlarını maraqlandırır. Evklidin Elementlərində sübut edilmişdir ki, əgər sadə ədəd 2 formasına malikdirsə n– 1 (belə ədədlərə Mersennin sadə ədədləri deyilir), sonra 2 rəqəmi n–1 (2 n– 1) - mükəmməl. Və 18-ci əsrdə Leonhard Euler sübut etdi ki, istənilən hətta mükəmməl ədəd bu formaya malikdir.

Tapşırıq

Bu faktları sübut etməyə və daha bir neçə mükəmməl rəqəm tapmağa çalışın.

İpucu 1

a) Principia ifadəsini sübut etmək üçün (əgər sadə ədəd 2 formasına malikdirsə? n– 1, onda rəqəm 2-dir n –1 (2n– 1) - mükəmməl), natural ədədin bütün müsbət bölənlərinin cəminə bərabər olan siqma funksiyasını nəzərdən keçirmək rahatdır. n. Misal üçün, σ (3) = 1 + 3 = 4, və σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7. Bu funksiya var faydalı əmlak: o multiplikativ, yəni σ (ab) = σ (a)σ (b); bərabərlik istənilən iki ümumi natural ədəd üçün yerinə yetirilir a Və b (qarşılıqlı əsasümumi bölənləri olmayan ədədlərdir). Bu mülkü sübut etməyə cəhd edə və ya imanla qəbul edə bilərsiniz.

Ədədin mükəmməlliyini sübut etmək üçün siqma funksiyasından istifadə edin N = 2n –1 (2n– 1) bunu yoxlamağa gəlir σ (N) = 2N. Bu məqsədlə bu funksiyanın multiplikativliyi faydalıdır.

b) Başqa bir həll siqma funksiyası kimi heç bir əlavə konstruksiyadan istifadə etmir. Bu, yalnız mükəmməl ədədin tərifinə əsaslanır: 2 rəqəminin bütün bölənlərini yazmalısınız. n–1 (2 n– 1) və onların cəmini tapın. Eyni nömrə olmalıdır.

İpucu 2

İstənilən hətta mükəmməl ədədin ikinin Mersenne asalına vurulmasının qüvvəsi olduğunu sübut etmək siqma funksiyasından istifadə etməklə də rahatdır. Qoy N- istənilən hətta mükəmməl rəqəm. Sonra σ (N) = 2N. Təsəvvür edin N kimi N = 2k· m, Harada m- tək nömrə. Buna görə də σ (N) = σ (2k· m) = σ (2k)σ (m) = (1 + 2 + ... + 2k)σ (m) = (2k +1 – 1)σ (m).

Belə çıxır ki, 2 2 k· m = (2k +1 – 1)σ (m). Belə ki, 2 k+1 – 1 məhsulu 2-yə bölür k+1 · m, və 2-dən k+1 – 1 və 2 k+1 nisbətən əsasdır m 2-yə bölünməlidir k+1 – 1. Yəni mşəklində yazıla bilər m = (2k+1 – 1) M. Bu ifadəni əvvəlki bərabərliklə əvəz edib 2-yə endirmək k+1 – 1, biz 2 alırıq k+1 · M = σ (m). İndi sübutun sonuna qədər ən bariz olmasa da, yalnız bir addım qalıb.

Həll

İpuçları hər iki fakt üçün çoxlu sübutları ehtiva edir. Burada çatışmayan addımları dolduraq.

1. Evklid teoremi.

a) Əvvəlcə siqma funksiyasının həqiqətən multiplikativ olduğunu sübut etməlisiniz. Əslində, hər bir natural ədəd unikal şəkildə sadə faktorlara bölünə bildiyindən (bu müddəa hesabın əsas teoremi adlanır), bunu sübut etmək kifayətdir ki, σ (pq) = σ (səh)σ (q), Harada səh Və q- müxtəlif sadə ədədlər. Ancaq bu vəziyyətdə olduqca aydındır σ (səh) = 1 + səh, σ (q) = 1 + q, A σ (pq) = 1 + səh + q + pq = (1 + səh)(1 + q).

İndi birinci faktın sübutunu tamamlayaq: əgər sadə ədəd 2 formasına malikdirsə n– 1, sonra rəqəm N = 2n –1 (2n– 1) - mükəmməl. Bunu etmək üçün bunu yoxlamaq kifayətdir σ (N) = 2N(çünki siqma funksiyası cəmidir hər kəsədədin bölənləri, yəni cəmi sahibi bölənlər üstəgəl ədədin özü). Yoxlayırıq: σ (N) = σ (2n –1 (2n – 1)) = σ (2n –1)σ (2n – 1) = (1 + 2 + ... + 2n–1)·((2 n – 1) + 1) = (2n- 12 n = 2N. Burada 2 dəfə istifadə olunub n– Deməli, 1 sadə ədəddir σ (2n – 1) = (2n – 1) + 1 = 2n.

b) İkinci həlli tamamlayaq. 2 ədədinin bütün düzgün bölənlərini tapın n –1 (2n- 1). Bu 1; ikinin səlahiyyətləri 2, 2 2, ..., 2 n-1; Baş nömrə səh = 2n- 1; eləcə də 2-ci tip bölənlər m· səh, burada 1 ≤ m ≤ n– 2. Beləliklə, bütün bölənlərin cəmi iki həndəsi irəliləyişin cəminin hesablanmasına bölünür. Birincisi 1 ilə, ikincisi isə nömrə ilə başlayır səh; hər ikisinin məxrəci 2-yə bərabərdir. Həndəsi proqresiyanın elementlərinin cəminin düsturuna əsasən, birinci proqresiyanın bütün elementlərinin cəmi 1 + 2 + ... + 2-yə bərabərdir. n –1 = (2n – 1)/2 – 1 = 2n– 1 (və bu bərabərdir səh). İkinci irəliləyiş verir səh(2 n –1 – 1)/(2 – 1) = səh(2 n-on bir). Ümumilikdə, belə çıxır səh + səh(2 n –1 – 1) = 2n-1 · səh- nə lazımdır.

Çox güman ki, Evklid siqma funksiyası ilə (həqiqətən də funksiya anlayışı ilə) tanış deyildi, ona görə də onun sübutu bir qədər fərqli dildə təqdim olunur və b nöqtəsindən həllə daha yaxındır. O, Elementlərin IX kitabının 36-cı cümləsində var və məsələn, mövcuddur.

2. Eyler teoremi.

Eyler teoremini sübut etməzdən əvvəl onu da qeyd edirik ki, əgər 2 n– 1 əsas Mersen rəqəmidir n həm də sadə ədəd olmalıdır. Məsələ ondadır ki, əgər n = km- onda birləşmə 2 km – 1 = (2k)m- 1 2-yə bölünür k– 1 (ifadədən bəri x m– 1 bölünür x– 1, bu qısaldılmış vurma düsturlarından biridir). Və bu, 2 rəqəminin sadəliyinə ziddir n– 1. Əks ifadə - “əgər n- əsas, sonra 2 n– 1 də başdır” - doğru deyil: 2 11 – 1 = 23·89.

Eyler teoreminə qayıdaq. Məqsədimiz istənilən cüt mükəmməl ədədin Evklidin əldə etdiyi formaya malik olduğunu sübut etməkdir. İpucu 2 sübutun ilk addımlarını təsvir edərək, son addımı atmağa buraxdı. Bərabərlikdən 2 k+1 · M = σ (m) bunu izləyir m bölünür M. Amma mözünə də bölünür. Harada M + m = M + (2k+1 – 1) M = 2 k+1 · M = σ (m). Bu o deməkdir ki, nömrə m başqa heç bir bölücü yoxdur M Və m. O deməkdir ki, M= 1, a m- 2 formasına malik sadə ədəd k+1 – 1. Sonra N = 2k· m = 2k(2k+1 – 1), bu tələb olunurdu.

Beləliklə, düsturlar sübut edilmişdir. Bəzi mükəmməl ədədləri tapmaq üçün onlardan istifadə edək. At n= 2 düstur 6 verir və nə vaxt n= 3 28 olur; Bunlar ilk iki mükəmməl rəqəmdir. Mersenne sadə ədədlərinin xassəsinə görə, belə bir sadə seçməliyik n ki 2 n– 1 həm sadə, həm də kompozit olacaq nümumiyyətlə nəzərə alınmaya bilər. At n= 5 2-ə bərabərdir n– 1 = 32 – 1 = 31, bu bizə uyğundur. Budur üçüncü mükəmməl ədəd - 16·31 = 496. Hər halda, onun mükəmməlliyini açıq şəkildə yoxlayaq. 496-nın bütün düzgün bölənlərini yazaq: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Onların cəmi 496-dır, ona görə də hər şey qaydasındadır. Növbəti mükəmməl nömrə əldə edilir n= 7 8128-dir. Müvafiq Mersenne adi 2 7 – 1 = 127-dir və onun həqiqətən də əsas olduğunu yoxlamaq olduqca asandır. Ancaq beşinci mükəmməl nömrə nə zaman əldə edilir n= 13 və 33.550.336-a bərabərdir.Lakin onu əl ilə yoxlamaq artıq çox yorucudur (lakin bu, kiminsə onu 15-ci əsrdə kəşf etməsinə mane olmadı!).

Son söz

İlk iki mükəmməl rəqəm - 6 və 28 - qədim zamanlardan bəri məlumdur. Evklid (və biz də onun ardınca) Elementlərdən sübut etdiyimiz düsturdan istifadə edərək üçüncü və dördüncü mükəmməl ədədləri - 496 və 8128-i tapdıq. Yəni əvvəlcə yalnız ikisi, sonra isə dörd ədədi məlum idi. gözəl mülk"onların bölənlərinin cəminə bərabər olmaq." Daha belə rəqəmlər tapa bilmədilər və hətta bunların ilk baxışda ortaq heç nəsi yox idi. Qədim dövrlərdə insanlar sirli və anlaşılmaz hadisələrə mistik məna verməyə meylli idilər, buna görə mükəmməl ədədlər xüsusi status aldı. Bunda o dövrün elm və mədəniyyətinin inkişafına güclü təsiri olan pifaqorçuların da əməyi olmuşdur. “Hər şey bir rəqəmdir” dedilər; onların tədrisində 6 rəqəmi xüsusi idi sehrli xüsusiyyətlər. Və Müqəddəs Kitabın ilk təfsirçiləri izah etdilər ki, dünya məhz altıncı gündə yaradılmışdır, çünki 6 rəqəmi rəqəmlər arasında ən mükəmməlidir, çünki onların arasında birincidir. Həm də çoxlarına elə gəldi ki, Ayın Yer ətrafında təxminən 28 günə fırlanması təsadüfi deyil.

Beşinci mükəmməl rəqəm - 33.550.336 - yalnız 15-ci əsrdə tapıldı. Təxminən əsr yarım sonra, İtalyan Kataldi altıncı və yeddinci mükəmməl rəqəmləri tapdı: 8,589,869,056 və 137,438,691,328. n= 17 və n Evklid düsturunda = 19. Nəzərə alın ki, say artıq milyardlarla ölçülür və bütün hesablamaların kalkulyatorlar və kompüterlər olmadan aparıldığını təsəvvür etmək belə qorxuncdur!

Bildiyimiz kimi, Leonhard Euler sübut etdi ki, istənilən cüt mükəmməl ədəd 2 formasına malik olmalıdır n –1 (2n– 1) və 2 n– 1 sadə olmalıdır. Səkkizinci rəqəm - 2 305 843 008 139 952 128 - də 1772-ci ildə Eyler tərəfindən tapılıb. Burada n= 31. Onun nailiyyətlərindən sonra ehtiyatla demək olardı ki, hətta mükəmməl ədədlər haqqında elmə nəsə aydın oldu. Bəli, onlar tez böyüyürlər və hesablamaq çətindir, amma ən azı bunu necə edəcəyiniz aydındır: Mersenne 2 nömrələrini götürməlisiniz. n– 1 və onların arasında sadə olanları axtarın. Tək mükəmməl ədədlər haqqında demək olar ki, heç nə məlum deyil. 10,300-ə qədər olan bütün nömrələrin sınaqdan keçirilməsinə baxmayaraq, bu günə qədər belə bir rəqəm tapılmadı (görünür, aşağı hədd daha da irəli çəkildi, müvafiq nəticələr sadəcə dərc edilməyib). Müqayisə üçün: Kainatın görünən hissəsindəki atomların sayının təxminən 10 80 olduğu təxmin edilir. Tək mükəmməl nömrələrin mövcud olmadığı sübut edilməmişdir, sadəcə çox ola bilər böyük rəqəm. Hətta o qədər böyükdür ki, bizim hesablama gücümüz heç vaxt ona çatmayacaq. Belə bir ədədin olub-olmaması bu gün riyaziyyatın açıq problemlərindən biridir. Tək mükəmməl ədədlərin kompüter axtarışı OddPerfect.org layihəsinin iştirakçıları tərəfindən həyata keçirilir.

Gəlin hətta mükəmməl rəqəmlərə qayıdaq. Doqquzuncu nömrəni 1883-cü ildə Perm vilayətindən olan kənd keşişi İ.M.Pervuşin tapmışdır. Bu rəqəmin 37 rəqəmi var. Beləliklə, 20-ci əsrin əvvəllərində yalnız 9 mükəmməl rəqəm tapıldı. Bu zaman mexaniki hesab maşınları, əsrin ortalarında isə ilk kompüterlər meydana çıxdı. Onların köməyi ilə işlər daha sürətlə getdi. Hazırda 47 mükəmməl rəqəm tapılıb. Üstəlik, yalnız ilk qırxın seriya nömrələri məlumdur. Təxminən daha yeddi rəqəmin nə olduğu hələ müəyyən edilməyib. Yeni Mersenne sadələrinin (və onlarla birlikdə yeni mükəmməl nömrələrin) axtarışı əsasən GIMPS layihəsinin üzvləri tərəfindən həyata keçirilir (mersenne.org).

2008-ci ildə layihə iştirakçıları 10 000 000 = 10 7 rəqəmindən çox olan ilk sadə ədədi tapdılar. Bunun üçün onlar $100,000 mükafat aldılar.Həmçinin müvafiq olaraq 10 8 və 10 9 rəqəmindən çox olan sadə ədədlər üçün 150,000 və 250,000 dollar məbləğində pul mükafatları vəd edilir. Gözlənilir ki, daha kiçik, lakin hələ kəşf olunmayan Mersenne primelərini tapanlar da bu puldan mükafat alacaqlar. Düzdür, müasir kompüterlərdə bu uzunluqdakı nömrələrin birincilliyinə görə yoxlanılması illər çəkəcək və bu, yəqin ki, gələcəyin işidir. Bu gün ən böyük sadə ədəd 243112609 – 1-dir. O, 12.978.189 rəqəmdən ibarətdir. Qeyd edək ki, Lucas-Lehmer testi sayəsində (sübutuna baxın: Lucas-Lehmer Testinin sübutu) Mersenne ədədlərinin primallığını yoxlamaq çox sadələşdirilmişdir: növbətinin ən azı bir bölənini tapmağa çalışmaq lazım deyil. namizəd (bu, çox əmək tutumlu işdir, indi bu qədər böyük rəqəmlər üçün praktiki olaraq mümkün deyil).

Mükəmməl ədədlərin bəzi əyləncəli arifmetik xüsusiyyətləri var:

• Hər bir cüt mükəmməl ədəd də üçbucaqlı ədəddir, yəni 1 + 2 + ... + kimi göstərilə bilər. k = k(k Bəziləri üçün + 1)/2 k.
• 6-dan başqa hər bir cüt mükəmməl ədəd ardıcıl tək natural ədədlərin kublarının cəmidir. Məsələn, 28 = 1 3 + 3 3 və 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3.
• İkilik say sistemində mükəmməl ədəd 2-dir n –1 (2n– 1) çox sadə yazılıb: əvvəlcə gedirlər n vahidlər, sonra - n– 1 sıfır (bu, Evklidin düsturundan irəli gəlir). Məsələn, 6 10 = 110 2, 28 10 = 11100 2, 33550336 10 = 1111111111111000000000000 2.
• Mükəmməl ədədin bütün bölənlərinin qarşılıqlarının cəmi (ədədin özü də burada iştirak edir) 2-yə bərabərdir. Məsələn, 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1 /28 = 2.

Biz yer üzündəki həyatımızın hər anında rəqəmlərlə qarşılaşırıq. Hətta qədim yunanlarda gematriya (numerologiya) var idi. Rəqəmləri təmsil etmək üçün əlifbanın hərflərindən istifadə olunurdu. Hər bir ad və ya yazılı söz müəyyən bir rəqəmə uyğun gəlirdi. Bu gün riyaziyyat elmi çox səviyyəyə çatıb yüksək dərəcə inkişaf. Müxtəlif hesablamalarda istifadə olunan o qədər çox rəqəm var ki, onlar ümumiləşdirilir müəyyən qruplar. Onların arasında mükəmməl rəqəmlər xüsusi yer tutur.

Mənşəyi

Qədim Yunanıstanda insanlar adlarına görə rəqəmlərin xüsusiyyətlərini müqayisə edirdilər. Numerologiyada ədədi bölənlərin xüsusi rolu var. Bu baxımdan ideal (mükəmməl) ədədlər bölənlərinin cəminə bərabər olanlar idi. Lakin qədim yunanlar ədədin özünü bölücülərə daxil etmirdilər. Mükəmməl ədədlərin nə olduğunu daha yaxşı başa düşmək üçün onu nümunələrlə göstərək.

Bu tərifə əsasən, ən kiçik ideal ədəd 6-dır. Bundan sonra 28 olacaq. Onda 496.

Pifaqor xüsusi nömrələrin olduğuna inanırdı. Evklid də eyni fikirdədir. Onlar üçün bu rəqəmlər o qədər qeyri-adi və spesifik idi ki, onları mistik nömrələrlə əlaqələndirirdilər. Bu cür rəqəmlər mükəmməl olur. Pifaqor və Evklid üçün mükəmməl rəqəmlər budur. Bunlara 6 və 28 daxildir.

Açar

Bir neçə mümkün həll yolu ilə problemi həll edərkən, riyaziyyatçılar həmişə cavab tapmaq üçün ümumi açar tapmağa çalışırlar.

Beləliklə, onlar ideal ədədi müəyyən edən düstur axtarırdılar. Ancaq nəticə yalnız sübut edilməli olan bir fərziyyə idi. Təsəvvür edin, artıq mükəmməl ədədlərin nə olduğunu müəyyən edən riyaziyyatçılar onların beşincisini müəyyən etmək üçün min ildən çox vaxt sərf etmişlər! 1500 ildən sonra məlum oldu.

İdeal ədədlərin hesablanmasına alimlər Fermat və Mersen (XVII əsr) çox mühüm töhfə vermişlər. Onları hesablamaq üçün bir düstur təklif etdilər. Fransız riyaziyyatçıları və bir çox başqa alimlərin əsərləri sayəsində 2018-ci ilin əvvəlində mükəmməl rəqəmlərin sayı 50-yə çatıb.

Tərəqqi

Əlbəttə ki, artıq beşinci olan mükəmməl rəqəmi tapmaq üçün min yarım il lazım idisə, bu gün kompüterlər sayəsində onlar daha sürətli hesablanır. Məsələn, 39-cu ideal ədədin kəşfi 2001-ci ildə baş verib. 4 milyon simvoldan ibarətdir. 2008-ci ilin fevralında 44-cü mükəmməl nömrə kəşf edildi. 2010-cu ildə - 47-ci ideal, 2018-ci ildə isə yuxarıda qeyd edildiyi kimi, mükəmməllik statusu ilə 50-ci nömrə açıldı.

Daha biri var maraqlı xüsusiyyət. Mükəmməl ədədlərin nə olduğunu öyrənərkən riyaziyyatçılar bir kəşf etdilər - onların hamısı cütdür.

Bir az tarix

İdeala uyğun gələn rəqəmlərin ilk dəfə nə vaxt göründüyü dəqiq məlum deyil. Bununla belə, hətta qədim Misir və Babildə də onların barmaq sayına görə təsvir edildiyi güman edilir. Və onların hansı mükəmməl rəqəmi təsvir etdiklərini təxmin etmək çətin deyil. 6. Eramızın V əsrinə qədər barmaqların köməyi ilə sayma qorunub saxlanılmışdır. 6 nömrəni göstərmək üçün qolunu bükdü üzük barmağı və qalanını düzəltdi.

IN Qədim Misir uzunluğunun ölçüsü qulac idi. Bu, iyirmi səkkiz barmağın uzunluğuna bərabər idi. Və, məsələn, in Qədim Roma Maraqlı bir adət var idi - ziyafətlərdə altıncı yeri fəxri və nəcib qonaqlara təyin etmək.

Pifaqorun ardıcılları

Pifaqorun davamçıları da ideal rəqəmləri sevirdilər. 28-dən sonra hansı rəqəmin mükəmməl olması Evklidin (e.ə. IV əsr) böyük marağına səbəb olmuşdur. O, bütün mükəmməl cüt ədədləri tapmaq üçün açar verdi. Evklidin Elementlərinin doqquzuncu kitabı maraq doğurur. Onun teoremləri arasında bir ədədin əlamətdar xüsusiyyətə malik olduğu təqdirdə mükəmməl adlandırıldığını izah edən biri var:

p-nin qiyməti 2n+1-1 kimi yazıla bilən 1+2+4+…+2n ifadəsinə ekvivalent olacaq. Bu əsas rəqəmdir. Amma artıq 2np mükəmməl olacaq.

Bu ifadənin doğruluğunu yoxlamaq üçün 2np rəqəminin bütün düzgün bölənlərini nəzərə almalı və onların cəmini hesablamalısınız.

Bu kəşfin Pifaqorun tələbələrinə məxsus olduğu güman edilir.

Evklid qaydası

Bundan əlavə, Evklid sübut etdi ki, cüt mükəmməl ədədin forması riyazi olaraq 2n-1(2n-1) şəklində təmsil olunur. Əgər n əsasdırsa və 2n-1 əsas olacaqdır.

Evklidin hökmündən Geraslı Nikomax (1-2-ci əsrlər) istifadə etmişdir. O, 6, 28, 496, 8128 kimi ideal ədədləri tapdı. Gerazlı Nikomax ideal ədədlərdən çox gözəl, lakin az riyazi anlayışlar kimi danışdı.

Min yarım il sonra alman alimi Regiomontanus (Johann Müller) riyaziyyatda beşinci mükəmməl ədədi kəşf etdi. Onların 33.550.336 olduğu ortaya çıxdı.

Riyaziyyatçılar üçün əlavə axtarışlar

Sadə sayılan və 2n-1 seriyasına aid olan ədədlərə Mersen ədədləri deyilir. Bu ad onlara 17-ci əsrdə yaşamış fransız riyaziyyatçısının şərəfinə verilmişdir. 1644-cü ildə səkkizinci mükəmməl rəqəmi kəşf edən o idi.

Lakin 1867-ci ildə riyaziyyat dünyası 1184 və 1210 nömrələrinin dostluq cütlüyünü bildirən on altı yaşlı italyan Nikolo Paqanininin (məşhur skripkaçının adaşı) xəbəri ilə şoka düşdü. Bu, 220 və 284-ə ən yaxındır. Təəccüblüdür ki, Bu cütlük dost nömrələri öyrənən bütün görkəmli riyaziyyatçılar tərəfindən diqqətdən kənarda qaldı.

Karatetskaya Mariya

Müstəqil tədqiqat elementləri ilə bu mücərrəd işdə mükəmməl ədəd anlayışı "kəşf edilir",

Mükəmməl ədədlərin xassələri, yaranma tarixi araşdırılır, anlayışla bağlı maraqlı faktlar təqdim edilir.

Yüklə:

Önizləmə:

Bələdiyyə büdcəli təhsil müəssisəsi

“19 saylı dərindən təhsilli orta məktəb

Fərdi əşyalar"

“Ağıllı Kişilər və Ağıllı Qızlar” Tələbələrin Elmi Cəmiyyəti

Elementlərlə abstrakt iş

müstəqil tədqiqat

"Mükəmməl nömrələr"

İcra edilib:

7-ci sinif şagirdi "A"

Karatetskaya Mariya

Nəzarətçi:

riyaziyyat müəllimi

Kolina Natalya Konstantinovna

ƏS ünvanı:

606523, Nijni Novqorod vilayəti, Gorodetsky

Rayon, Zavoljye, Molodejnaya küç., 1

UIOP ilə MBOU 19 saylı orta məktəb

E-poçt: [email protected]

2015

1.Giriş………………………………………………………………………………………3

2.Mükəmməl ədəd nədir?………………………………… .................4

3. Mükəmməl ədədlərin yaranma tarixi……………………………………….4.

4. Mükəmməl ədədlərin xassələri………………………………………………………….8

5. Maraqlı faktlar ....................................................................

6. Tapşırıq nümunələri……………………………………………………………………………….9

7. Nəticə………………………………………………………………11

8. İstifadələrin siyahısı ...................................... 12

Pifaqor: "Rəqəm sayəsində hər şey gözəldir".

1. Giriş

Rəqəm riyaziyyatın əsas anlayışlarından biridir. "Nömrə" termini üçün bir çox tərif var. Rəqəmlər haqqında ilk danışan Pifaqor olub. Onun təliminə görə, 2 rəqəmi harmoniya, 5 - rəng, 6 - soyuq, 7 - zəka, sağlamlıq, 8 - sevgi və dostluq deməkdir. Sayın ilk elmi tərifini Evklid “Elementlər” əsərində vermişdi: “Vahid odur ki, ona uyğun olaraq mövcud olan hər şey bir adlanır. Ədəd vahidlərdən ibarət çoxluqdur”.

Rəqəmlər çoxluğu, onların alt çoxluqları, qrupları var və qeyri-adi qruplardan biri mükəmməl ədədlərdir. Bu qrupda cəmi 48 nömrə məlumdur, lakin buna baxmayaraq, onlarnatural ədədlər çoxluğunun ən maraqlı alt çoxluqlarından birini təşkil edir.

Problem: Qeyri-standart problemləri həll etməyi sevirəm. Bir gün mükəmməl ədədlərdən bəhs edən bir problemlə qarşılaşdım, onu həll etməkdə çətinlik çəkdim və bu mövzu ilə maraqlandım və bu rəqəmləri daha ətraflı öyrənmək qərarına gəldim.

Tədqiqatın məqsədi:mükəmməl ədəd anlayışı ilə tanış olmaq, mükəmməl ədədlərin xassələrini araşdırmaq,tələbələrin diqqətini mövzuya cəlb etmək.

Tapşırıqlar:

Tədqiqat mövzusu üzrə ədəbiyyatı öyrənmək və təhlil etmək.

Mükəmməl ədədlərin tarixini araşdırın.

- Mükəmməl ədədlərin xassələrini və onların tətbiqlərini "açın"

Zehni üfüqlərinizi genişləndirin.

Tədqiqat üsulları:ədəbiyyat öyrənmə, müqayisə, müşahidə,

nəzəri təhlil, ümumiləşdirmə.

2. Mükəmməl ədəd nədir?

Mükəmməl nömrə- natural ədəd , bütün onun cəminə bərabərdirdüzgün bölənlər (yəni bütün müsbət bölənlər, o cümlədən 1, lakin rəqəmin özündən fərqlidir).

İlk mükəmməl nömrəaşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 3; onların cəmi 1 + 2 + 3 6-dır.

İkinci mükəmməl nömrəaşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 4, 7, 14; onların 1 + 2 + 4 + 7 + 14 cəmi 28-dir.

Üçüncü mükəmməl rəqəm 496 aşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; onların 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 cəmi 496-dır.

Dördüncü mükəmməl rəqəmdiraşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; onların 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 cəmi 8128-dir.

Natural ədədlər artdıqca mükəmməl ədədlər daha az yayılır.

3. Mükəmməl ədədlərin meydana çıxma tarixi

Qədim yunan riyaziyyatçısı və filosofu Pifaqor , o, həm də Pifaqorçuların (e.ə. 570-490) dini-fəlsəfi məktəbinin yaradıcısıdır, artıq və qeyri-kafi say anlayışlarını ortaya atmışdır.

Əgər ədədin bölənlərinin cəmi ədədin özündən böyükdürsə, belə bir ədədə “artıq” deyilir. Məsələn, 12 artıq ədəddir, çünki onun bölənlərinin cəmi 16-dır. Əgər ədədin bölənlərinin cəmi ədədin özündən azdırsa, belə bir ədəd “qeyri-kafi” adlanır.

Məsələn, 10 kifayət qədər rəqəm deyil, çünki onun bölənlərinin cəmi (1, 2 və 5) cəmi 8-dir.

Pifaqorçular öz fəlsəfələrini ədədlər elmindən inkişaf etdirdilər. Onlar inanırdılar ki, mükəmməl rəqəmlər fəzilətlərin gözəl təsvirləridir. Onlar artıqlıq və çatışmazlıq arasında orta yeri təmsil edirlər. Onlar çox nadirdir və mükəmməl sifarişlə yaradılır. Bunun əksinə olaraq, mümkün qədər çox olan həddindən artıq və qeyri-kamil ədədlər ardıcıllıqla düzülmür və müəyyən bir məqsəd üçün yaradılmır. Və buna görə də onların çoxlu, nizamsız və müəyyən edilməmiş pisliklərə çox oxşarlığı var.

"Mükəmməl ədəd onun paylarına bərabərdir." Bu sözlər aiddir Evklid , qədim yunan riyaziyyatçısı, riyaziyyat üzrə bizə gəlib çatan ilk nəzəri traktatın müəllifi “Elementlər” (e.ə. III əsr).Evkliddən əvvəl yalnız iki mükəmməl ədəd məlum idi və heç kim başqa mükəmməl ədədlərin olub-olmadığını və ya neçə belə ədəd ola biləcəyini bilmirdi. Formula 2 sayəsində p-1 *(2 səh -1) mükəmməl rəqəmdir, əgər (2 səh -1) sadə ədəddir.Beləliklə, Evklid daha iki mükəmməl ədəd tapa bildi: 496 və 8128. Mükəmməl ədədlərin tapılma üsulu Elementlərin IX kitabında təsvir edilmişdir.

Gerazlı Nikomax, yunan filosofu və riyaziyyatçısı (e. II əsrin 1-ci yarısı) “Arifmetikaya giriş” essesində yazırdı: “...Gözəl və nəcib şeylər adətən nadirdir və asanlıqla hesablanır, çirkin və pis şeylər isə çoxdur; buna görə də artıq və qeyri-kafi ədədlərə rast gəlinir böyük miqdarda və nizamsızdır ki, onların tapılma qaydası nizamlanmasın, mükəmməl ədədlər isə asanlıqla sadalanır və düzgün qaydada düzülür. Doğrudan da, təkrəqəmli ədədlər arasında belə bir rəqəm var 6, ikinci rəqəm 28 onlarla, üçüncü rəqəm 496 yüzlərlə, dördüncü rəqəm 8128 minlərlə rəqəmdir. on min. Və onların xas xüsusiyyəti ondadır ki, onlar növbə ilə altı ilə, sonra səkkizlə bitir və hamısı bərabərdir. etibarlı yol onların heç bir mükəmməl nömrəni qaçırmayan və yalnız mükəmməl nömrələri verən qəbzi aşağıdakı kimidir. Bütün cüt-cüt ədədləri birdən başlayaraq bir sıraya düzün, istədiyiniz qədər davam etdirin: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096.

Sonra onları ardıcıl olaraq əlavə edin, hər dəfə bir əlavə edin,

və hər əlavədən sonra nəticəyə baxın; və nə vaxt olacaq

ibtidai və qeyri-mürəkkəb, onu sonuncu əlavə edilənə vurun

nömrə, nəticədə həmişə mükəmməl bir nömrə əldə edirsiniz.

İkinci dərəcəli və kompozitdirsə, çoxalmağa ehtiyac yoxdur, amma lazımdır

növbəti nömrəni əlavə edin və nəticəyə baxın; əgər o yenə

ikinci dərəcəli və mürəkkəb olur, onu yenidən atlayın və çoxalmayın, amma

aşağıdakıları əlavə edin; lakin ilkin və qeyri-kompozitdirsə, onda

onu son əlavə edilmiş nömrəyə vuraraq, yenə alacaqsınız

mükəmməl rəqəm və s. sonsuzdur. Və bu şəkildə sən

bir dənə də olsun qaçırmadan bütün mükəmməl nömrələri sıra ilə əldə edəcəksiniz

onlardan. Məsələn, 1-ə 2-ni əlavə edirəm və görüm hansı rəqəmi alıram

Ümumilikdə və mən bu rəqəmin 3 olduğunu, razılaşaraq əsas və qeyri-kompozit olduğunu görürəm

yuxarıda deyilənlərlə, çünki fərqli adları yoxdur

onunla pay, ancaq onun adına olan pay; indi çoxalıram

onu sonuncu əlavə edilmiş nömrəyə, yəni 2-yə, mən isə 6 alıram; və mən

Mən bunu ilk həqiqi mükəmməl nömrə elan edirəm

elə paylaşımlar ki, bir yerə yığılanda uyğun gəlir

nömrənin özü: axı, vahid onun adınadır, ey var

altıncı, bir vuruş və 3 sayı 2 və uyğun olaraq bir yarımdır

geri, iki üçüncüdür. Artıq əlavə edilmişlərə növbəti 4 rəqəmi əlavə edildikdə 28 rəqəmi eyni şəkildə alınır

daha yüksək. Axı, üç rəqəm 1, 2, 4 toplanır və 7 rəqəminə çevrilir.

ilkin və qeyri-kompozit, çünki onun yalnız adı var

ona yeddinci pay; və buna görə də onu son məbləğə vururam,

cəminə əlavə olunur və mənim nəticəm 28-dir, mənə bərabərdir

səhmlər və yuxarıda qeyd olunan nömrələrin adına malik olan səhmlər:

yarısı on dörd, dördüncü yeddi, yeddinci üçün

4, on dördüncü yarımdan fərqli olaraq, iyirmi səkkizinci

öz adına uyğundur və bütün ədədlər üçün belə bir kəsr birə bərabərdir. Artıq 6 ədəd və 28 ədəd onlarla açdığınız zaman siz

8 və siz 15 alırsınız; baxanda belə olmadığını anlayıram

ilkin və qeyri-kompozit, çünki onun adını daşıyandan əlavə

onunla əks səhmlərə malik olan səhm, beşinci və üçüncü; ona görə etmirəm

Mən onu 8-ə vururam, amma növbəti rəqəmi 16-nı əlavə edib rəqəmi əldə edirəm

31. İlkin və qeyri-kompozitdir və buna görə də zəruridir, in

görə ümumi qayda, əlavə olunan son rəqəmə, 16-ya vur, nəticədə yüzlərlə 496; sonra mində 8128 olur; və sairə, nə qədər ki, davam etmək istəyi var...”

Demək lazımdır ki, ikinci dərəcəli say dedikdə, Nikomax verilmişə çoxlu, yəni natural ədədlərə vurmaqla əldə edilə bilən ədədi başa düşür; O, ədədin genişlənməsinə daxil olan amilləri kəsrlər adlandırır.

Gerazlı Nikomax yalnız ilk 4 mükəmməl rəqəmi tapıbsa, deməli Regionmontan( əsl adı - XV əsrdə yaşamış alman riyaziyyatçısı İohann Müller beşinci mükəmməl rəqəmi tapıb - 33550336.

XVI əsrdə alman alimiİohan Efraim Şeybeldaha iki mükəmməl rəqəm tapdı - 8589869056 (8 milyard, 589 milyon, 869 min, 56), 137438691328 (137 milyard, 438 milyon, 691 min, 328).

Kataldi Pietro Antonio(1548-1626), Florensiya və Boloniyadakı keçmiş riyaziyyat professoru, ilk dəfə çıxarış metodunu verən kvadrat köklər, həmçinin mükəmməl nömrələri axtardı. Onun qeydləri altıncı və yeddinci mükəmməl rəqəmlərin mənalarını göstərirdi. p=17 və 19 üçün 8 589 869 056 (altıncı nömrə), 137 438 691 328 (yeddinci nömrə)

17-ci əsr fransız riyaziyyatçısı Maren Mersenne düsturla izah edilən bir çox ədəd olduğunu təxmin etdi, burada p sadə ədəddir, həm də sadədir. O, p=17, p=19, p=31 üçün 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128 rəqəmlərinin mükəmməl olduğunu sübut etməyi bacarıb.

Bu elmlərin inkişafına fundamental töhfə vermiş isveçrəli, alman və rus riyaziyyatçısı və mexaniki Leonard Euler (18-ci əsrin əvvəlləri) sübut etdi ki, bütün cüt mükəmməl ədədlər, Evklidin Elementlərinin IX kitabında təsvir olunan hətta mükəmməl ədədlərin qurulması alqoritminə uyğundur. O, həmçinin sübut etdi ki, hər bir cüt mükəmməl ədədin forması varMp, burada Mersenne sayı Mp sadədir.

Doqquzuncu mükəmməl rəqəm 1883-cü ilə qədər hesablanmayıb. Otuz yeddi simvoldan ibarət idi. Bu hesablama işi Perm yaxınlığındakı kənd keşişi tərəfindən həyata keçirilib.İvan Mixeeviç Pervuşin. Pervushin heç bir hesablama cihazı olmadan saydı.

20-ci əsrin əvvəllərində daha üç mükəmməl rəqəm tapıldı (üçün p = 89, 107 və 127).

2013-cü ilin fevral ayına olan məlumata görə, 48 Mersenne sadə ədədləri və onlara uyğun cüt mükəmməl ədədlər məlumdur; paylanmış hesablama layihələri GIMPS və OddPerfect.org yeni Mersenne əsasları axtarır.

4. Mükəmməl ədədlərin xassələri

1. Bütün cüt mükəmməl ədədlər (6-dan başqa) ardıcıl tək natural ədədlərin kublarının cəmidir.

2. Bütün cüt mükəmməl ədədlər üçbucaqlı ədədlərdir; əlavə olaraq, onlar altıbucaqlı ədədlərdir, yəni bəzi natural n ədədləri üçün n(2n−1) şəklində göstərilə bilər.

3. Mükəmməl ədədin (özü də daxil olmaqla) bölənlərinə tərs olan bütün ədədlərin cəmi 2-yə bərabərdir, yəni

4. 6 və 496-dan başqa bütün cüt mükəmməl ədədlər 16, 28, 36, 56 və ya 76 ilə onluq qeydlə bitir.

5.İkili notasiyadakı bütün hətta mükəmməl ədədlər birincidir səh vahidləri izlədi səh -1 sıfır (onların ümumi təsvirinin nəticəsi).

6. Sübut edilmişdir ki, tək mükəmməl ədəd, əgər varsa, çoxluq nəzərə alınmaqla, ən azı 9 müxtəlif sadə amil və ən azı 75 sadə əmsala malikdir.

5. Maraqlı faktlar

Tapmaq çətinliyi və müəmmalı anlaşılmazlıq səbəbindən qədim dövrlərdə mükəmməl ədədlər ilahi hesab olunurdu. Beləliklə, orta əsrlər kilsəsi mükəmməl rəqəmlərin öyrənilməsinin ruhun xilasına səbəb olduğuna və yeni mükəmməl nömrə tapanlara əbədi səadət təmin edildiyinə inanırdı. 12-ci əsrdə kilsə ruhu xilas etmək üçün beşinci mükəmməl rəqəmi tapmaq lazım olduğunu müdafiə edirdi.Dünyanın yaradan tərəfindən 6 gündə yaradıldığı üçün gözəl olduğuna dair bir inanc da var idi. Amma insan övladı, deyirlər, qeyri-kamildir, çünki o, qeyri-kamil 8 rəqəmindən yaranmışdır. Axı Nuhun gəmisində qlobal daşqından xilas olan 8 nəfər idi. Onu da əlavə etmək olar ki, eyni gəmidə daha yeddi cüt təmiz və yeddi cüt murdar heyvan xilas edilib ki, bu da ümumilikdə mükəmməl sayı 28-i təşkil edir. Ümumiyyətlə, bir çox oxşar təsadüfləri aşkar etmək asandır. Məsələn, on barmaqda 28 falanqs olduğu üçün insan əllərini mükəmməl alət elan etmək olar...

Misir uzunluq ölçüsü "qulit" 28 barmaqdan ibarət idi.

Ziyafətdə altıncı yerdə ən hörmətli, ən hörmətli qonaq oturmuşdu.

1917-ci ildə yeraltı işlər zamanı qəribə bir quruluş aşkar edildi: böyük bir mərkəzi salonun ətrafında iyirmi səkkiz hücrə yerləşirdi. Sonradan öyrəndilər ki, bu, Neopifaqor Elmlər Akademiyasının binasıdır. Onun iyirmi səkkiz üzvü var idi.

İndi də qədim ənənəyə sadiq qalaraq, bəzi akademiyalar nizamnaməsinə uyğun olaraq 28 həqiqi üzvdən ibarətdir. Mükəmməl rəqəmlərin mistik məna daşımasına baxmayaraq, Mersenne nömrələri mükəmməl rəqəmlər kimi uzun müddət tamamilə yararsız idi. Lakin Mersenne primes indi elektron məlumatların təhlükəsizliyi üçün əsasdır və onlar kriptoqrafiyada və riyaziyyatın digər tətbiqlərində də istifadə olunur.

Lev Nikolayeviç Tolstoy, doğum tarixinin (o dövrün təqviminə görə avqustun 28-i) mükəmməl bir rəqəm olması ilə oynaq şəkildə "öyünürdü". Lev Tolstoyun anadan olduğu il (1828) də maraqlı rəqəmdir: son iki rəqəm (28) mükəmməl rəqəm təşkil edir; və ilk iki rəqəmi dəyişdirsəniz, 8128 - dördüncü mükəmməl rəqəm alırsınız.

6. Problemlərin nümunələri

1. 1000-ə qədər bütün mükəmməl ədədləri tapın.

Cavab: 6 (1+2+3=6), 28 (1+2+4+7+14=28), 496 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 +

124 + 248 = 496). Ümumilikdə 3 nömrə var.

2.496-dan böyük, lakin 33550336-dan kiçik olan mükəmməl ədədi tapın.

Cavab: 8128.

3. 6-dan böyük mükəmməl ədəd 3-ə bölünür. Onun 9-a bölündüyünü sübut edin.

Həll yolu: əks üsul. Tutaq ki, 3-ə bölünən mükəmməl ədəd 9-a çox deyil. Onda o, 3n-ə bərabərdir, burada n 3-ə qat deyil. Üstəlik, 3n-in (özü də daxil olmaqla) bütün təbii bölənləri ola bilər.

d və 3d cütlərinə bölün, burada d 3-ə bölünmür. Buna görə də hamısının cəmi

3n ədədinin bölənləri (6n-a bərabərdir) 4-ə bölünür. Beləliklə, n 2-nin qatıdır. Sonrakı

Qeyd edək ki, 3n/2, n, n/2 və 1 ədədləri 3n ədədinin fərqli bölənləri olacaq,

onların cəmi 3n + 1 > 3n-dir, yəni 3n sayı ola bilməz

mükəmməl. Ziddiyyət. Bu o deməkdir ki, bizim fərziyyəmiz düzgün deyil və ifadə sübuta yetirilib.

4. 28-dən böyük mükəmməl ədəd 7-yə bölünür. Onun 49-a bölündüyünü sübut edin.

7. Nəticə

Pifaqor ədədləri ilahiləşdirdi. O öyrətdi: rəqəmlər dünyanı idarə edir. Rəqəmlərin hər şeyə qadirliyi dünyada hər şeyin ədədi münasibətlərə tabe olmasında təzahür edir. Pifaqorçular bu münasibətlərdə həm real dünyanın naxışlarını, həm də mistik sirlərə və ifşalara aparan yol axtarırdılar. Onlar öyrədirdilər ki, rəqəmlər hər şeylə - kamillik və naqislik, sonluq və sonsuzluq ilə xarakterizə olunur.

Natural ədədlər qruplarından birini - mükəmməl ədədləri nəzərdən keçirərək belə nəticəyə gəldim ki, natural ədədlərin müxtəlifliyi sonsuzdur. Mükəmməl ədədlər arasında həm cüt, həm də tək ədədlərin olması müddəasına gəlincə, onu doğru hesab etmək olmaz, çünki indiyə qədər aşkar edilmiş bütün mükəmməl ədədlər cütdür. Heç kim bilmir ki, ən azı bir tək mükəmməl ədəd var, yoxsa mükəmməl ədədlər çoxluğu sonsuzdur.

Gələcəkdə dost nömrələri araşdırmaq istəyirəm.

Dost nömrələr - iki fərqli natural ədədlər, bunun üçün birinci ədədin bütün düzgün bölənlərinin cəmi ikinci ədədə bərabərdir və əksinə, ikinci ədədin bütün düzgün bölənlərinin cəmi birinci ədədə bərabərdir. Belə bir cüt ədədə misal olaraq 220 və 284 cütünü göstərmək olar. Mükəmməl nömrələr dost nömrələrin xüsusi halı hesab olunur: hər bir mükəmməl nömrə özünə dostdur. Baxmayaraq ki böyük əhəmiyyət kəsb edir Bu cütlər ədədlər nəzəriyyəsi ilə əlaqəli deyil, lakin əyləncəli riyaziyyatın maraqlı elementidir.

8. İstifadə olunmuş ədəbiyyatların siyahısı

1. Volina V.V. Uşaqlar üçün əyləncəli riyaziyyat./Red. V. V. Fedorov; Başlıq. T. Fedorova. – Sankt-Peterburq: Lev və K°, 1996. – 320 s.
2. Universal məktəb ensiklopediyası. T. 1. A – L/Fəsil. red. E. Xlebalina, aparıcı red. D. Volodixin. – M.: Avanta+, 2003. – 528 s.
3. Universal məktəb ensiklopediyası. T. 2. A – L/Fəsil. red. E. Xlebalina, aparıcı red. D. Volodixin. – M.: Avanta+, 2003. – 528 s.
4. Elektron uşaq ensiklopediyası Kiril və Methodius (versiya 2007).
5. Elektron sayt WikipediA/ http://www.wikipedia.org/
6. http://eschool.karelia.ru/petrozavodsk/projects/zpivkoren/Lists/List/DispForm.aspx?ID=18
7. http://www.ngpedia.ru/id598396p3.html
8. http://www.ngpedia.ru/id598396p1.html
9. http://academic.ru/dic.nsf/bse/133758/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0 %BD%D1%8B%D0%B5
10. http://arbuz.narod.ru/z_sov1.htm

Oxşar məqalələr

Tənbəllik nədir - iradənin zəifliyi və ya hərəkət etmək istəməməsi?

İncəsənətdə və tarixdə miflər

Yataqda neft, su və qazın yığılması və hazırlanması

Şahmat terminlərinin lüğəti İstər-istəməz tarixə çevrilən oyunlar