Biz yer üzündəki həyatımızın hər anında rəqəmlərlə qarşılaşırıq. Hətta qədim yunanlarda gematriya (numerologiya) var idi. Rəqəmləri təmsil etmək üçün əlifbanın hərflərindən istifadə olunurdu. Hər bir ad və ya yazılı söz müəyyən bir rəqəmə uyğun gəlirdi. Bu gün riyaziyyat elmi çox səviyyəyə çatmışdır yüksək dərəcə inkişaf. Müxtəlif hesablamalarda istifadə olunan o qədər çox rəqəm var ki, onlar ümumiləşdirilir müəyyən qruplar. Onların arasında mükəmməl rəqəmlər xüsusi yer tutur.
mənşəyi
IN Qədim Yunanıstan insanlar adlarına görə ədədlərin xassələrini müqayisə edirdilər. Nömrələrin bölənlərinə numerologiyada xüsusi rol verilmişdir. Bu baxımdan ideal (mükəmməl) ədədlər bölənlərinin cəminə bərabər olanlar idi. Ancaq qədim yunanlar ədədin özünü bölücülərə daxil etmirdilər. Mükəmməl ədədlərin nə olduğunu daha yaxşı başa düşmək üçün bunu nümunələrlə göstərək.
Bu tərifə əsasən, ən kiçik ideal ədəd 6-dır. Ondan sonra 28 olacaq. Onda 496.
Pifaqor xüsusi nömrələrin olduğuna inanırdı. Evklid də eyni fikirdədir. Onlar üçün bu rəqəmlər o qədər qeyri-adi və spesifik idi ki, onları mistik nömrələrlə əlaqələndirirdilər. Bu cür rəqəmlər mükəmməl olur. Pifaqor və Evklid üçün mükəmməl rəqəmlər budur. Bunlara 6 və 28 daxildir.
Açar
Riyaziyyatçılar həmişə bir neçə həll yolu ilə problemi həll edərkən cavab tapmaq üçün ümumi açar tapmağa çalışırlar.
Beləliklə, onlar ideal ədədi müəyyən edən düstur axtarırdılar. Ancaq bu, hələ sübut edilməli olan yalnız bir fərziyyə idi. Təsəvvür edin, artıq mükəmməl ədədlərin nə olduğunu müəyyən edən riyaziyyatçılar onların beşincisini müəyyən etmək üçün min ildən çox vaxt sərf etmişlər! 1500 ildən sonra məlum oldu.
İdeal ədədlərin hesablanmasına alimlər Fermat və Mersen (XVII əsr) çox mühüm töhfə vermişlər. Onları hesablamaq üçün bir düstur təklif etdilər. Fransız riyaziyyatçıları və bir çox başqa alimlərin əməyi sayəsində 2018-ci ilin əvvəlində mükəmməl rəqəmlərin sayı 50-yə çatıb.
Tərəqqi
Təbii ki, artıq ardıcıl beşinci olan mükəmməl rəqəmin kəşfi min yarım il çəkibsə, bu gün kompüterlər sayəsində onlar daha sürətli hesablanır. Məsələn, 39-cu ideal ədədin kəşfi 2001-ci ildə baş verdi. 4 milyon simvoldan ibarətdir. 2008-ci ilin fevralında 44-cü mükəmməl nömrə. 2010-cu ildə - 47-ci ideal, 2018-ci ildə isə yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, 50-ci nömrə mükəmməllik statusu ilə açıldı.
Daha biri var maraqlı xüsusiyyət. Mükəmməl ədədlərin nə olduğunu öyrənən riyaziyyatçılar bir kəşf etdilər - hamısı cütdür.
Bir az tarix
İdeala uyğun gələn rəqəmlərin ilk dəfə nə vaxt göründüyü dəqiq bilinmir. Bununla belə, güman edilir ki, hətta qədim Misirdə və Babildə də barmaq sayı ilə təsvir edilmişdir. Və onların hansı mükəmməl rəqəmi təsvir etdiklərini təxmin etmək çətin deyil. 6. Eramızın V əsrinə qədər barmaqların köməyi ilə sayma qorunub saxlanılmışdır. 6 nömrəni göstərmək üçün qolunu bükdü üzük barmağı və qalanını düzəltdi.
IN Qədim Misir Uzunluq ölçüsü kimi qulac istifadə olunurdu. Bu, iyirmi səkkiz barmağın uzunluğuna bərabər idi. Və, məsələn, in Qədim Roma maraqlı bir adət var idi - fəxri və nəcib qonaqlara ziyafətlərdə altıncı yeri tutmaq.
Pifaqorun ardıcılları
Pifaqorun davamçıları da ideal rəqəmləri sevirdilər. 28-dən sonra hansı rəqəmlərin mükəmməl olduğu Evklid (e.ə. IV əsr) çox maraqlandırırdı. O, bütün mükəmməl cüt ədədləri tapmaq üçün açar verdi. Evklidin Elementlərinin doqquzuncu kitabı maraq doğurur. Onun teoremləri arasında bir ədədin əlamətdar xüsusiyyətə malik olduğu təqdirdə mükəmməl sayıldığını izah edən biri var:
p-nin qiyməti 2n+1-1 kimi yazıla bilən 1+2+4+…+2n ifadəsinə ekvivalent olacaq. Bu sadə rəqəmdir. Amma artıq 2np mükəmməl olacaq.
Bu ifadənin doğruluğunu yoxlamaq üçün 2np ədədinin bütün düzgün bölənlərini nəzərdən keçirməli və onların cəmini hesablamalıyıq.
Bu kəşfin Pifaqorun şagirdlərinə aid olduğu güman edilir.
Evklid qaydası
Bundan əlavə, Evklid sübut etdi ki, cüt mükəmməl ədədin forması riyazi olaraq 2n-1(2n-1) şəklində təmsil olunur. Əgər n əsasdırsa və 2n-1 əsas olacaqdır.
Evklid qaydasından Geraslı Nikomax (I-II əsr) istifadə etmişdir. O, 6, 28, 496, 8128 kimi ideal ədədləri tapdı. Gerazlı Nikomax ideal ədədlərdən çox gözəl, lakin az riyazi anlayışlar kimi danışdı.
Min yarım il sonra alman alimi Regiomontanus (Johann Müller) riyaziyyatda beşinci mükəmməl ədədi kəşf etdi. Onların 33.550.336 olduğu ortaya çıxdı.
Riyaziyyatçılar üçün əlavə axtarış
Baş sayılan və 2n-1 seriyasına aid olan ədədlərə Mersen ədədləri deyilir. Bu ad onlara 17-ci əsrdə yaşamış fransız riyaziyyatçısının şərəfinə verilmişdir. 1644-cü ildə səkkizinci mükəmməl rəqəmi kəşf edən o idi.
Lakin 1867-ci ildə riyaziyyat dünyası 1184 və 1210 nömrələrinin dostluq cütlüyünü elan edən on altı yaşlı italyan Nikolo Paqanininin (məşhur skripkaçının adaşı) xəbəri ilə şoka düşdü. Bu, 220 və 284-ə ən yaxın rəqəmdir. Təəccüblüdür ki, bütün görkəmli dostluq adamları mastulodi.
öz bölücü Natural ədəd bu ədədin özündən başqa istənilən böləndir. Əgər ədəd öz bölənlərinin cəminə bərabərdirsə, o zaman çağırılır mükəmməl. Beləliklə, 6 \u003d 3 + 2 + 1 bütün mükəmməl ədədlərin ən kiçiyidir (1 sayılmır), 28 \u003d 14 + 7 + 4 + 2 + 1 başqa bir belə rəqəmdir.
Mükəmməl rəqəmlər antik dövrdə məlum idi və hər zaman elm adamlarının marağına səbəb olmuşdur. Evklidin Elementləri sübut edir ki, əgər sadə ədəd 2 formasına malikdirsə n– 1 (belə ədədlər Mersenne sadə ədədləri adlanır), sonra 2 rəqəmi n–1 (2 n- 1) - mükəmməl. Və 18-ci əsrdə Leonhard Euler sübut etdi ki, istənilən hətta mükəmməl ədəd bu formaya malikdir.
Tapşırıq
Bu faktları sübut etməyə və daha bir neçə mükəmməl rəqəm tapmağa çalışın.
İpucu 1
a) “Prinsiplər”in ifadəsini sübut etmək (əgər sadə ədəd 2 formasıdırsa) n- 1, sonra 2 rəqəmi n –1 (2n– 1) - mükəmməl), natural ədədin bütün müsbət bölənlərinin cəminə bərabər olan siqma funksiyasını nəzərdən keçirmək rahatdır. n. Misal üçün, σ (3) = 1 + 3 = 4, və σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7. Bu funksiya var faydalı əmlak: o multiplikativ, yəni σ (ab) = σ (a)σ (b); bərabərlik istənilən iki ümumi natural ədəd üçün yerinə yetirilir a Və b (coprimeümumi bölənləri olmayan ədədlərdir). Bu əmlakı sübut etməyə cəhd edə bilərsiniz və ya onu təbii qəbul edə bilərsiniz.
Ədədin mükəmməl olduğunu sübut etmək üçün siqma funksiyasından istifadə edin N = 2n –1 (2n– 1) bunu yoxlamağa gəlir σ (N) = 2N. Bunun üçün bu funksiyanın multiplikativliyi faydalıdır.
b) Digər həll siqma funksiyası kimi heç bir əlavə konstruksiyadan istifadə etmir. Bu, yalnız mükəmməl ədədin tərifinə əsaslanır: 2 rəqəminin bütün bölənlərini yazmalısınız. n–1 (2 n– 1) və onların cəmini tapın. Eyni nömrə olmalıdır.
İpucu 2
İstənilən hətta mükəmməl ədədin ikinin Mersenne asalına vurulmasının qüvvəsi olduğunu sübut etmək siqma funksiyasından istifadə etməklə də rahatdır. Qoy N- bəzi hətta mükəmməl rəqəm. Sonra σ (N) = 2N. Təsəvvür edin N kimi N = 2k· m, Harada m- tək nömrə. Buna görə də σ (N) = σ (2k· m) = σ (2k)σ (m) = (1 + 2 + ... + 2k)σ (m) = (2k +1 – 1)σ (m).
Belə çıxır ki, 2 2 k· m = (2k +1 – 1)σ (m). Belə ki, 2 k+1 - 1 2-nin hasilini bölür k+1 · m, və 2-dən k+1 - 1 və 2 k+1 coprime, onda m 2-yə bölünməlidir k+1 - 1. Yəni mşəklində yazıla bilər m = (2k+1 - 1) M. Bu ifadəni əvvəlki tənliklə əvəz edib 2-yə azaltmaq k+1 - 1, biz 2 alırıq k+1 · M = σ (m). İndi, sübutun sonuna qədər, ən bariz olmasa da, yalnız bir addım var.
Həll
İpuçları hər iki fakt üçün çoxlu sübutları ehtiva edir. Burada çatışmayan addımları dolduraq.
1. Evklid teoremi.
a) Əvvəlcə siqma funksiyasının həqiqətən multiplikativ olduğunu sübut etməliyik. Əslində, hər bir natural ədədi unikal şəkildə faktorlara ayırmaq mümkün olduğundan (bu müddəa hesabın əsas teoremi adlanır), bunu sübut etmək kifayətdir ki, σ (pq) = σ (səh)σ (q), Harada səh Və q müxtəlif sadə ədədlərdir. Ancaq bu vəziyyətdə olduqca aydındır σ (səh) = 1 + səh, σ (q) = 1 + q, A σ (pq) = 1 + səh + q + pq = (1 + səh)(1 + q).
İndi birinci faktın sübutunu tamamlayırıq: əgər sadə ədəd 2 formasına malikdirsə n- 1, sonra rəqəm N = 2n –1 (2n- 1) - mükəmməl. Bunun üçün bunu yoxlamaq kifayətdir σ (N) = 2N(çünki siqma funksiyası cəmidir hamısıədədin bölənləri, yəni cəmi sahibi bölənlər üstəgəl ədədin özü). Yoxlayırıq: σ (N) = σ (2n –1 (2n – 1)) = σ (2n –1)σ (2n – 1) = (1 + 2 + ... + 2n–1) ((2 n – 1) + 1) = (2n- 12 n = 2N. Burada 2 dəfə istifadə olunub n– Deməli, 1 sadə ədəddir σ (2n – 1) = (2n – 1) + 1 = 2n.
b) İkinci həlli də tamamlayaq. 2 ədədinin bütün düzgün bölənlərini tapın n –1 (2n- 1). Bu 1; ikinin səlahiyyətləri 2, 2 2 , ..., 2 n-1; Baş nömrə səh = 2n- 1; eləcə də 2-ci formanın bölənləri m· səh, burada 1 ≤ m ≤ n- 2. Beləliklə, bütün bölənlərin cəmi iki həndəsi irəliləyişin cəminin hesablanmasına bölünür. Birincisi 1 ilə, ikincisi isə nömrə ilə başlayır səh; hər ikisinin məxrəci 2-yə bərabərdir. Həndəsi irəliləyişin elementlərinin cəminin düsturuna əsasən, birinci proqresiyanın bütün elementlərinin cəmi 1 + 2 + ... + 2-dir. n –1 = (2n – 1)/2 – 1 = 2n- 1 (və bu bərabərdir səh). İkinci irəliləyiş verir səh(2 n –1 – 1)/(2 – 1) = səh(2 n-on bir). Ümumilikdə, belə çıxır səh + səh(2 n –1 – 1) = 2n-1 · səh- nə lazımdır.
Çox güman ki, Evklid siqma funksiyası ilə (və əslində, ümumiyyətlə funksiya anlayışı ilə) tanış deyildi, ona görə də onun sübutu bir qədər fərqli dildə təqdim olunur və b nöqtəsindən həllə daha yaxındır). O, Başlanğıcların IX kitabının 36-cı cümləsində var və məsələn, mövcuddur.
2. Eyler teoremi.
Eyler teoremini sübut etməzdən əvvəl onu da qeyd edirik ki, əgər 2 n– 1 Mersennenin əsas göstəricisidir n həm də sadə ədəd olmalıdır. Məsələ ondadır ki, əgər n = km- kompozit, onda 2 km – 1 = (2k)m- 1 2-yə bölünür k– 1 (çünki ifadə x m– 1-ə bölünür x– 1, bu qısaldılmış vurma düsturlarından biridir). Bu isə 2 rəqəminin sadəliyinə ziddir n– 1. Əks ifadə - “əgər n- əsas, sonra 2 n– 1 də əsasdır” - doğru deyil: 2 11 – 1 = 23 89.
Eyler teoreminə qayıdaq. Məqsədimiz istənilən cüt mükəmməl ədədin Evklidin əldə etdiyi formaya malik olduğunu sübut etməkdir. İpucu 2 sübutun ilk mərhələlərini qeyd etdi və həlledici addımı atmaq qalır. Bərabərlikdən 2 k+1 · M = σ (m) bunu izləyir m bölünür M. Amma mözünə də bölünür. Harada M + m = M + (2k+1 – 1) M = 2 k+1 · M = σ (m). Bu o deməkdir ki, nömrə m başqa bölücü yoxdur M Və m. O deməkdir ki, M= 1 və m 2 formasına malik sadə ədəddir k+1 - 1. Sonra N = 2k· m = 2k(2k+1 - 1), tələb olunduğu kimi.
Beləliklə, düsturlar sübut edilmişdir. Bəzi mükəmməl ədədləri tapmaq üçün onları tətbiq edək. At n= 2 düsturu 6 verir və nə vaxt n= 3 - 28; bunlar ilk iki mükəmməl rəqəmdir. Mersenne primes mülkiyyətinə görə, biz belə bir prime seçməliyik n ki 2 n– 1 həm sadə, həm də kompozit olacaq nümumiyyətlə nəzərə alınmaya bilər. At n= 5 2 olacaq n– 1 = 32 – 1 = 31, bu bizə uyğundur. Budur, üçüncü mükəmməl rəqəm - 16 31 = 496. Hər halda, onun mükəmməlliyini açıq şəkildə yoxlayaq. 496-nın bütün düzgün bölənlərini yazaq: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Onların cəmi 496-dır, ona görə də hər şey qaydasındadır. Növbəti mükəmməl nömrədir n= 7, bu, 8128-dir. Müvafiq Mersenne əsas göstəricisi 27 – 1 = 127-dir və onun həqiqətən əsas olduğunu yoxlamaq olduqca asandır. Ancaq beşinci mükəmməl nömrə ilə əldə edilir n= 13 və 33 550 336-a bərabərdir. Lakin onu əl ilə yoxlamaq artıq çox yorucudur (lakin bu, kiminsə onu 15-ci əsrdə kəşf etməsinə mane olmadı!).
Son söz
İlk iki mükəmməl rəqəm - 6 və 28 - qədim zamanlardan bəri məlumdur. Evklid (və biz ondan sonra) "Başlanğıclar"dan sübut etdiyimiz düsturu tətbiq edərək, üçüncü və dördüncü mükəmməl ədədləri - 496 və 8128-i tapdıq. Yəni əvvəlcə yalnız iki, sonra isə dörd ədəd məlum idi. gözəl mülk"onun bölənlərinin cəminə bərabər olsun." Daha çox belə rəqəmlər tapmaq mümkün deyildi və hətta bunların ilk baxışdan ortaq heç nəsi yox idi. Antik dövrdə insanlar sirli və anlaşılmaz hadisələrə mistik məna qoymağa meylli idilər və buna görə də mükəmməl nömrələr xüsusi bir status aldı. Bunda o dövrün elm və mədəniyyətinin inkişafına güclü təsiri olan pifaqorçuların da əməyi olmuşdur. “Hər şey bir rəqəmdir” dedilər; onların tədrisində 6 rəqəmi xüsusi idi sehrli xüsusiyyətlər. Və Müqəddəs Kitabın erkən tərcüməçiləri izah etdilər ki, dünya altıncı gündə yaradılıb, çünki 6 rəqəmi rəqəmlər arasında ən mükəmməlidir, çünki onların arasında birincidir. Çoxlarına təsadüfi görünmürdü ki, Ay təxminən 28 gün ərzində Yer ətrafında dövr edir.
Beşinci mükəmməl rəqəm - 33 550 336 - yalnız 15-ci əsrdə tapıldı. Təxminən əsr yarım sonra İtalyan Kataldi altıncı və yeddinci mükəmməl rəqəmləri tapdı: 8 589 869 056 və 137 438 691 328. Onlar uyğun gəlir. n= 17 və n Evklid düsturunda = 19. Nəzərə alın ki, qanun layihəsi artıq milyardlarla ölçülür və bütün hesablamaların kalkulyatorlar və kompüterlər olmadan aparıldığını təsəvvür etmək belə qorxuncdur!
Bildiyimiz kimi, Leonhard Euler sübut etdi ki, istənilən cüt mükəmməl ədəd 2 formalı olmalıdır n –1 (2n– 1) və 2 n– 1 sadə olmalıdır. Səkkizinci rəqəm - 2 305 843 008 139 952 128 - də 1772-ci ildə Eyler tərəfindən tapılıb. Burada n= 31. Onun nailiyyətlərindən sonra ehtiyatla demək olardı ki, hətta mükəmməl ədədlər haqqında elmə nəsə aydın oldu. Bəli, onlar sürətlə böyüyürlər və hesablamaq çətindir, amma ən azı bunu necə edəcəyiniz aydındır: Mersenne 2 nömrələrini götürməlisiniz. n– 1 və onların arasında sadə olanları axtarın. Tək mükəmməl ədədlər haqqında demək olar ki, heç nə məlum deyil. 10.300-ə qədər olan bütün nömrələrin yoxlanılmasına baxmayaraq, bu günə qədər belə bir rəqəm tapılmadı (görünür, aşağı hədd daha da irəli çəkildi, sadəcə müvafiq nəticələr hələ dərc edilməyib). Müqayisə üçün: Kainatın görünən hissəsindəki atomların sayı təxminən 10 80 qiymətləndirilir. Eyni zamanda, tək mükəmməl nömrələrin mövcud olmadığı sübut edilməmişdir, sadəcə çox ola bilər böyük rəqəm. Hətta o qədər böyükdür ki, hesablama gücümüz heç vaxt ona çatmayacaq. Belə bir ədədin olub-olmaması bu gün riyaziyyatın açıq problemlərindən biridir. Tək mükəmməl ədədlər üçün kompüter axtarışı OddPerfect.org layihəsinin üzvləri tərəfindən həyata keçirilir.
Hətta mükəmməl rəqəmlərə qayıdaq. Doqquzuncu nömrəni 1883-cü ildə Perm vilayətindən olan kənd keşişi I. M. Pervuşin tapmışdır. Bu rəqəmin 37 rəqəmi var. Beləliklə, 20-ci əsrin əvvəllərində yalnız 9 mükəmməl rəqəm tapıldı. Bu dövrdə mexaniki hesab maşınları, əsrin ortalarında isə ilk kompüterlər meydana çıxdı. Onların köməyi ilə işlər daha sürətlə getdi. İndiyədək 47 mükəmməl rəqəm tapılıb. Üstəlik, yalnız ilk qırxın seriya nömrələri var. Yeddi nömrə haqqında daha çox, onların ardıcıl olaraq nə olduğu hələ dəqiq müəyyən edilməmişdir. GIMPS layihəsinin iştirakçıları (mersenne.org) əsasən yeni Mersenne əsas ədədlərinin (və onlarla birlikdə yeni mükəmməl nömrələrin) axtarışı ilə məşğul olurlar.
2008-ci ildə layihə iştirakçıları 10 000 000 = 10 7 rəqəmindən çox olan ilk sadə ədədi tapdılar. Bunun üçün onlar $100,000 mükafat aldılar.Həmçinin müvafiq olaraq 10 8 və 10 9 rəqəmindən böyük sadə ədədlər üçün $150,000 və $250,000 pul mükafatları vəd edilir. Ehtimal edilir ki, daha kiçik, lakin hələ kəşf olunmamış Mersenne primelərini tapanlar da bu puldan mükafat alacaqlar. Düzdür, müasir kompüterlərdə bu uzunluqdakı nömrələrin sadəliyi üçün yoxlanılması illərlə vaxt aparacaq və bu, yəqin ki, gələcəyin işidir. Bu gün ən böyük sadə ədəd 243112609 - 1-dir. O, 12.978.189 rəqəmdən ibarətdir. Qeyd edək ki, Lucas-Lehmer testi sayəsində (sübutuna baxın: Lucas-Lehmer Testinin sübutu) Mersenne ədədlərinin primallığı üçün test çox sadələşdirilmişdir: növbəti namizədin ən azı bir bölənini tapmağa çalışmaq lazım deyil (bu, çox zəhmətli bir işdir. böyük rəqəmlər indi praktiki olaraq mümkün deyil).
Mükəmməl ədədlərin bəzi əyləncəli arifmetik xüsusiyyətləri var:
- Hər bir cüt mükəmməl ədəd də üçbucaqlı ədəddir, yəni 1 + 2 + ... + kimi göstərilə bilər. k = k(k Bəziləri üçün + 1)/2 k.
- 6-dan başqa hər bir cüt mükəmməl ədəd, ardıcıl tək natural ədədlərin kublarının cəmidir. Məsələn, 28 = 1 3 + 3 3 və 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 .
- İkili notasiyada mükəmməl ədəd 2-dir n –1 (2n- 1) çox sadə yazılıb: əvvəlcə gedirlər n vahidlər, sonra n– 1 sıfır (bu, Evklidin düsturundan irəli gəlir). Məsələn, 6 10 = 110 2 , 28 10 = 11100 2 , 33550336 10 = 1111111111111000000000000 2 .
- Mükəmməl ədədin bütün bölənlərinin (ədədin özü də burada iştirak edir) əkslərinin cəmi 2-dir. Məsələn, 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.
Nümunələr
- 1-ci mükəmməl ədəd - aşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 3; onların cəmi 1 + 2 + 3 6-dır.
- 2-ci mükəmməl ədəd - aşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 4, 7, 14; onların 1 + 2 + 4 + 7 + 14 cəmi 28-dir.
- 3-cü mükəmməl ədəd - aşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; onların 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 cəmi 496-dır.
- 4-cü mükəmməl ədəd - aşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; onların 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 cəmi 8128-dir.
Tədqiqat tarixi
Hətta mükəmməl rəqəmlər
Hətta mükəmməl ədədlərin qurulması alqoritmi IX kitabda təsvir edilmişdir başladı Evklid, burada sübut edildi ki, ədəd sadədirsə, bir ədəd mükəmməldir (Mersenne sadə ədədləri adlanır). Sonradan Leonhard Euler sübut etdi ki, bütün hətta mükəmməl ədədlər Evklidin göstərdiyi formaya malikdir.
İlk dörd mükəmməl nömrə verilir Arifmetika Gerazlı Nikomax. Beşinci mükəmməl rəqəm 33 550 336 Alman riyaziyyatçısı Regiomontanus (XV əsr) tərəfindən kəşf edilmişdir. XVI əsrdə alman alimi Şeybel daha iki mükəmməl rəqəm tapdı: 8 589 869 056 və 137 438 691 328. Onlar uyğun gəlir. R= 17 və R= 19. 20-ci əsrin əvvəllərində daha üç mükəmməl rəqəm tapıldı (üçün R= 89, 107 və 127). Sonradan axtarış 20-ci əsrin ortalarına qədər yavaşladı, kompüterlərin meydana gəlməsi ilə insan imkanlarını aşan hesablamalar mümkün oldu.
2010-cu ilin aprel ayına olan məlumata görə, 47 Mersenne sadə ədədləri və onlara uyğun gələn hətta mükəmməl ədədlər məlumdur; GIMPS paylanmış hesablama layihəsi yeni Mersenne əsaslarını axtarır.
Tək mükəmməl nömrələr
Tək mükəmməl ədədlər hələ kəşf olunmayıb, lakin onların mövcud olmadığı sübuta yetirilməyib. Bütün mükəmməl ədədlər çoxluğunun sonsuz olub olmadığı da məlum deyil.
Sübut edilmişdir ki, tək mükəmməl ədəd, əgər varsa, çoxluğu nəzərə alınmaqla, ən azı 9 müxtəlif sadə və ən azı 75 sadə bölməyə malikdir. OddPerfect.org paylanmış hesablama layihəsi tək mükəmməl ədədlərin axtarışı ilə məşğuldur.
Xüsusiyyətlər
Möhtəşəm Faktlar
6 və 28 rəqəmlərinin xüsusi ("mükəmməl") mahiyyəti İbrahim dinlərinə əsaslanan mədəniyyətlərdə tanınıb - Tanrının dünyanı 6 gündə yaratdığını iddia edərək və Ayın Yer ətrafında dövrünü təqribən 28 günə tamamlamasına diqqət çəkib.
“496 rəqəminin ifadə etdiyi fikir də eyni dərəcədə vacibdir. Bu, 31 rəqəminin (yəni 1-dən 31-ə qədər olan bütün tam ədədlərin cəmi) “teosofik uzantısıdır”. Digər şeylər arasında bu, "Səltənət" mənasını verən Malkut sözünün cəmidir. Beləliklə, Allahın ilkin ideyasının tam təzahürü olan Krallıq gematriyada 78 adının sayı olan 31 rəqəminin təbii tamamlayıcısı və ya təzahürü kimi görünür.
"6 rəqəmi özlüyündə mükəmməldir və ona görə deyil ki, Rəbb hər şeyi 6 gündə yaratmışdır; əksinə, Allah hər şeyi 6 gündə yaratmışdır, çünki bu rəqəm mükəmməldir. Və 6 gündə heç bir yaradılış olmasa belə, mükəmməl olaraq qalacaqdı."
həmçinin bax
- Bir az lazımsız ədədlər (kvazimi mükəmməl ədədlər)
Qeydlər
Linklər
- Depman İ. Mükəmməl rəqəmlər // Kvant. - 1991. - No 5. - S. 13-17.
Wikimedia Fondu. 2010.
Digər lüğətlərdə "Mükəmməl nömrə"nin nə olduğuna baxın:
MÜKƏMMƏL NÖMRƏ, MÜKƏMMƏL NÖMRƏ bax...
Bütün düzgün bölənlərin cəminə bərabər olan natural ədəd (yəni bu ədəddən azdır). Məsələn, 6=1+2+3 və 28=1+2+4+7+14 mükəmməl ədədlərdir... Böyük ensiklopedik lüğət
Bütün düzgün (yəni bu ədəddən kiçik) bölənlərin cəminə bərabər olan natural ədəd. Məsələn, 6 = 1 + 2 + 3 və 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 mükəmməl ədədlərdir. * * * MÜKƏMMƏL NÖMRƏ MÜKƏMMƏL SAY, cəminə bərabər natural ədəd ... ... ensiklopedik lüğət
Ədədin özündən başqa bütün müsbət bölənlərin cəmi olması xüsusiyyətinə malik müsbət tam ədəd. Beləliklə, C.H., məsələn, 6, 28, 496, 8128,33550336 ... olarsa, tam ədəd C.H. Riyaziyyat ensiklopediyası
NÖMRƏ, MÜKƏMMƏL, BÜTÜN BÖLÜMLƏRİNİN cəminə bərabərdir, o cümlədən 1. Məsələn, 28 rəqəmi mükəmməl ədəddir, çünki onun bölənləri 1, 2, 4, 7 və 14 ədədləridir (28 rəqəminin özünü nəzərə almadan) və onların cəmi 28-dir. Məlum deyil ... ... Elmi-texniki ensiklopedik lüğət
Mn = 2n 1 formasının ədədləri, burada n natural ədəddir. Fransız riyaziyyatçısı Mersennin şərəfinə adlandırılmışdır. Mersenne ədədlərinin ardıcıllığı belə başlayır: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ... (OEIS-də A000225 ardıcıllığı) Bəzən rəqəmlər ... ... Wikipedia
Nömrə- Qədim dövrlərdən bəri müxtəlif rəqəmlərə aid edilmişdir gizli mənalar. Filosoflar, Pifaqorun davamçıları (təxminən eramızdan əvvəl 500-cü il) rəqəmlərin şeylərin əsas başlanğıcı və mahiyyəti olduğunu müdafiə etdilər və rəqəmlərin keyfiyyətlərini və növlərini ətraflı şəkildə müəyyənləşdirdilər. Onların fikrincə...... Biblical Adlar lüğəti
Davamlı qapalı xəritəçəkmə topoloji. bütün nöqtələrin tərs təsvirlərinin yığcam olduğu fəzalar. Belə ki. bir çox cəhətdən bikompaktaların Hausdorff fəzalarına davamlı xəritələşdirilməsinə bənzəyir (hər bir belə xəritə mükəmməldir), lakin kürə ilə ... ... Riyaziyyat ensiklopediyası
Altıbucaqlı nömrə buruq nömrə. n-ci altıbucaqlı ədəd, hər tərəfində tam olaraq n nöqtə olan altıbucaqlıdakı nöqtələrin sayıdır. n-ci altıbucaqlı ədəd üçün düstur ... Vikipediya
Bu terminin başqa mənaları da var, bax 6 (mənalar). 6 altı 3 4 5 6 7 8 9 Faktorizasiya: 2 × 3 Roman notasiyası: VI İkilik: 110 Octal: 6 Hex ... Wikipedia
6 rəqəmi həm özünə, həm də 1, 2 və 3-ə bölünür və 6 = 1+2+3.
28 rəqəminin özündən başqa beş bölən var: 1, 2, 4, 7 və 14, 28 = 1+2+4+7+14.
Görünür ki, hər natural ədəd onun bu ədəddən fərqlənən bütün bölənlərinin cəminə bərabər deyil. Bu xüsusiyyətə malik olan nömrələr adlandırılmışdır mükəmməl.
Hətta Evklid (e.ə. III əsr) belə mükəmməl ədədlərin belə düsturdan alına biləcəyini göstərmişdir: 2 səh –1 (2səh- 1) bu şərtlə R və 2 səh sadə ədədlər var. Bu yolla 20-yə yaxın hətta mükəmməl rəqəm tapıldı. İndiyə qədər tək tək mükəmməl nömrə məlum deyil və onların mövcudluğu məsələsi açıq qalır. Belə nömrələrin öyrənilməsinə Pifaqorçular başlamış, onlar onlara və onların birləşmələrinə xüsusi mistik məna vermişlər.
İlk ən kiçik mükəmməl ədəddir 6
(1 + 2 + 3 = 6).
Bəlkə də buna görə qədim Romalıların bayramlarında altıncı yer ən şərəfli sayılırdı.
İkinci ən mükəmməl rəqəmdir 28
(1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
Bəzi elmli cəmiyyətlər və akademiyaların 28 üzvü olmalı idi. 1917-ci ildə Romada yeraltı işlər zamanı ən qədim akademiyalardan birinin binası aşkar edildi: zal və onun ətrafında 28 otaq - akademiyanın üzvlərinin sayı qədər.
Natural ədədlər artdıqca mükəmməl ədədlər daha az olur. Üçüncü mükəmməl nömrə 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), dördüncü - 8128 , beşinci - 33 550 336 , altıncı - 8 589 869 056 , yeddinci - 137 438 691 328 .
İlk dörd mükəmməl rəqəm: 6,
28, 496, 8128
çox uzun müddət əvvəl, 2000 il əvvəl kəşf edilmişdir. Bu rəqəmlər qədim yunan filosofu, riyaziyyatçısı və musiqi nəzəriyyəçisi Gerazlı Nikomaxın Arifmetikasında verilmişdir.
Beşinci mükəmməl rəqəm təxminən 550 il əvvəl, 1460-cı ildə aşkar edilmişdir. Bu nömrə 33550336
alman riyaziyyatçısı Regiomontanus (XV əsr) tərəfindən kəşf edilmişdir.
16-cı əsrdə alman alimi Şeybel də daha iki mükəmməl rəqəm tapdı: 8 589 869 056 Və 137 438 691 328 . Onlar p = 17 və p = 19-a uyğundur. 20-ci əsrin əvvəllərində daha üç mükəmməl rəqəm tapıldı (p = 89, 107 və 127 üçün). Sonradan axtarış 20-ci əsrin ortalarına qədər yavaşladı, kompüterlərin meydana gəlməsi ilə insan imkanlarını aşan hesablamalar mümkün oldu. İndiyə qədər 47 hətta mükəmməl rəqəm məlumdur.
6 və 28 rəqəmlərinin mükəmməlliyi bir çox mədəniyyətlər tərəfindən qəbul edilmiş və Ayın Yer ətrafında 28 gündə fırlandığını qeyd etmiş və Tanrının dünyanı 6 gündə yaratdığını iddia etmişlər.
Müqəddəs Avqustin “Tanrının şəhəri” essesində belə bir fikri ifadə etmişdir ki, Tanrı dünyanı bir anda yarada bilsə də, dünyanın kamilliyi üzərində düşünmək üçün onu 6 gündə yaratmağa üstünlük vermişdir. Müqəddəs Avqustinə görə, 6 rəqəmi kamildir, ona görə ki, Allah onu seçib, kamillik bu rəqəmin təbiətinə xasdır. “6 rəqəmi özlüyündə mükəmməldir və ona görə deyil ki, Rəbb hər şeyi 6 gündə yaratmışdır; əksinə, bu rəqəm mükəmməl olduğu üçün Allah hər şeyi 6 gündə yaratmışdır. Və 6 gündə heç bir yaradılış olmasa belə mükəmməl olaraq qalacaqdı”.
Lev Nikolayeviç Tolstoy dəfələrlə bu tarixlə zarafatla "öyünürdü"
avqustun 28-də doğulması (o dövrün təqviminə görə) mükəmməl rəqəmdir.
L.N.-nin doğum ili. Tolstoy (1828) də maraqlı rəqəmdir: son iki rəqəm (28) mükəmməl ədəd təşkil edir; ilk rəqəmləri dəyişdirsəniz, 8128 - dördüncü mükəmməl rəqəm alırsınız.
Karatetskaya Mariya
Müstəqil tədqiqat elementləri olan bu mücərrəd işdə mükəmməl ədəd anlayışı "açılır",
mükəmməl ədədlərin xassələri, yaranma tarixi araşdırılır, anlayışla bağlı maraqlı faktlar verilir.
Yüklə:
Önizləmə:
Bələdiyyə büdcəli təhsil müəssisəsi
“19 saylı dərindən təhsilli orta məktəb
fərdi əşyalar"
Tələbələrin Elmi Cəmiyyəti "Ağıllı və Ağıllı"
Elementlərlə abstrakt iş
müstəqil təhsil
"Mükəmməl nömrələr"
İcra edilib:
7-ci sinif şagirdi "A"
Karatetskaya Mariya
Nəzarətçi:
riyaziyyat müəllimi
Kolina Natalya Konstantinovna
ƏS ünvanı:
606523, Nijni Novqorod vilayəti, Gorodetsky
Rayon, Zavoljye, Molodejnaya küçəsi, 1
UIOP ilə MBOU 19 saylı orta məktəb
E-poçt: [email protected]
2015
1.Giriş………………………………………………………………………………3
2. Mükəmməl ədəd nədir?………………………………………………………….4
3. Mükəmməl ədədlərin yaranma tarixi……………………………………….4.
4. Mükəmməl ədədlərin xassələri……………………………………………………….8.
5. Maraqlı faktlar……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….
6. Tapşırıq nümunələri…………………………………………………………………….9
7. Nəticə………………………………………………………...
8.İstifadə olunmuş ədəbiyyatın siyahısı…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………12
"Hər şey rəqəm sayəsində gözəldir" Pifaqor.
1. Giriş
Rəqəm riyaziyyatın əsas anlayışlarından biridir. "Nömrə" termini üçün bir çox tərif var. Rəqəmlər haqqında ilk danışan Pifaqor olub. Onun təliminə görə, 2 rəqəmi harmoniya, 5 - rəng, 6 - soyuq, 7 - ağıl, sağlamlıq, 8 - sevgi və dostluq deməkdir. Sayın ilk elmi tərifini Evklid "Başlanğıclar" əsərində vermişdir: "Vahid odur ki, ona uyğun olaraq mövcud olan hər şey bir adlanır. Ədəd vahidlərdən təşkil olunmuş çoxluqdur".
Rəqəmlər çoxluğu, onların alt çoxluqları, qrupları var və qeyri-adi qruplardan biri mükəmməl ədədlərdir. Bu qrupda cəmi 48 nömrə məlumdur, lakin buna baxmayaraq, onlarnatural ədədlər çoxluğunun ən maraqlı alt çoxluqlarından birini təşkil edir.
Problem: Qeyri-standart problemləri həll etməyi sevirəm. Mükəmməl ədədlərdən bəhs edən problemlə rastlaşdığımda onun həllində çətinlik çəkdiyim üçün bu mövzu ilə maraqlandım və bu rəqəmləri daha ətraflı öyrənmək qərarına gəldim.
Tədqiqatın məqsədi:mükəmməl ədəd anlayışı ilə tanış olmaq, mükəmməl ədədlərin xassələrini araşdırmaq,tələbələrin diqqətini mövzuya cəlb etmək.
Tapşırıqlar:
Tədqiqat mövzusu üzrə ədəbiyyatı öyrənmək və təhlil etmək.
Mükəmməl ədədlərin tarixini araşdırın.
- Mükəmməl ədədlərin xassələrini və onların tətbiqlərini "açın"
Zehni üfüqlərinizi genişləndirin.
Tədqiqat üsulları:ədəbiyyat öyrənmə, müqayisə, müşahidə,
nəzəri təhlil, ümumiləşdirmə.
2. Mükəmməl ədəd nədir?
mükəmməl nömrə- natural ədəd , hamısının cəminə bərabərdiröz bölücüləri (yəni, bütün müsbət bölənlər, o cümlədən 1, lakin rəqəmin özündən başqa).
İlk mükəmməl nömrəaşağıdakı öz bölənlərinə malikdir: 1, 2, 3; onların cəmi 1 + 2 + 3 6-dır.
İkinci mükəmməl nömrəaşağıdakı öz bölənlərinə malikdir: 1, 2, 4, 7, 14; onların 1 + 2 + 4 + 7 + 14 cəmi 28-dir.
Üçüncü mükəmməl rəqəm 496 aşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; onların 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 cəmi 496-dır.
Dördüncü mükəmməl rəqəm -aşağıdakı uyğun bölənlərə malikdir: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; onların 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 cəmi 8128-dir.
Natural ədədlər artdıqca mükəmməl ədədlər daha az olur.
3. Mükəmməl ədədlərin yaranma tarixi
Qədim yunan riyaziyyatçısı və filosofu Pifaqor , o, həm də Pifaqorçuların (e.ə. 570-490) dini-fəlsəfi məktəbinin yaradıcısıdır, artıq və qeyri-kafi say anlayışlarını ortaya atmışdır.
Əgər ədədin bölənlərinin cəmi ədədin özündən böyükdürsə, onda belə ədədə “artıq” deyilir. Məsələn, 12 həddən artıq rəqəmdir, çünki onun bölənlərinin cəmi 16-dır. Əgər ədədin bölənlərinin cəmi ədədin özündən azdırsa, belə bir ədəd “qeyri-kafi” adlanır.
Məsələn, 10 kifayət qədər rəqəm deyil, çünki onun bölənlərinin cəmi (1, 2 və 5) cəmi 8-dir.
Pifaqorçular öz fəlsəfələrini ədədlər elmindən inkişaf etdirdilər. Onlar inanırdılar ki, mükəmməl rəqəmlər fəzilətlərin gözəl təsvirləridir. Onlar artıqlıq və çatışmazlıq arasındakı ortanı təmsil edirlər. Onlar çox nadirdir və mükəmməl qaydada istehsal olunur. Bunun əksinə olaraq, nə qədər çox olsa da, çoxlu və qeyri-kamil ədədlər sıra ilə düzülmür və müəyyən bir məqsəd üçün yaradılmır. Beləliklə, onlar çoxsaylı, nizamsız və müəyyən edilməmiş pisliklərə çox bənzəyirlər.
"Mükəmməl ədəd onun hissələrinə bərabərdir." Bu sözlər aiddir Evklid , qədim yunan riyaziyyatçısı, riyaziyyata dair bizə gəlib çatan ilk nəzəri traktatlardan biri olan "Başlanğıclar"ın (e.ə. III əsr) müəllifi.Evkliddən əvvəl yalnız iki mükəmməl ədəd məlum idi və heç kim başqa mükəmməl ədədlərin olub-olmadığını və belə rəqəmlərin nə qədər ola biləcəyini bilmirdi. Formula 2 sayəsində p-1 *(2s -1) mükəmməl rəqəmdir, əgər (2 səh -1) - sadə ədəd, Beləliklə, Evklid daha iki mükəmməl ədəd tapmağı bacardı: 496 və 8128. Mükəmməl ədədləri tapmaq üsulu "Başlanğıclar"ın IX kitabında təsvir edilmişdir.
Gerazlı Nikomax, yunan filosofu və riyaziyyatçısı (e. II əsrin 1-ci yarısı) “Arifmetikaya giriş” adlı essesində yazırdı: “... Gözəl və nəcib şeylər adətən nadirdir və asanlıqla hesablanır, çirkin və pis şeylər isə çoxdur; burada həm artıq, həm də qeyri-kafi rəqəmlərə rast gəlinir böyük sayda və nizamsızdır, belə ki, onların tapılma qaydası nizamlanmır, mükəmməl ədədlər asanlıqla sadalanır və müvafiq qaydada düzülür. Doğrudan da, təkrəqəmli ədədlər arasında belə bir ədəd 6, ikinci rəqəm 28 onlarla, üçüncü rəqəm 496 yüzlərlə, dördüncü rəqəm isə 8128 minlərlə, on minlə məhdudlaşdırsaq, minlərlədir. Və onların xas xüsusiyyəti odur ki, onlar növbə ilə altı, sonra səkkizlə bitir və hamısı bərabərdir. etibarlı yol onların heç bir mükəmməl ədədi buraxmayan və yalnız mükəmməl ədədlər verən törəməsi aşağıdakı kimidir. Bütün cüt-cüt ədədləri birdən başlayaraq bir sıraya düzün, istədiyiniz qədər davam etdirin: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096.
Sonra onları ardıcıl olaraq əlavə edin, bir-bir əlavə edin,
və hər əlavədən sonra nəticəyə baxın; və nə vaxt olacaq
ilkin və qeyri-kompozit, onu sonuncu əlavə edilənə vurun
həmişə mükəmməl bir nömrə əldə etmək üçün nömrə.
Əgər ikinci dərəcəli və kompozitdirsə, çoxaltmaq lazım deyil, amma lazımdır
növbəti nömrəni əlavə edin və nəticəyə baxın; əgər o yenə
ikinci dərəcəli və mürəkkəb olur, onu yenidən atlayın və çoxalmayın, amma
aşağıdakıları əlavə edin; lakin ilkin və qeyri-kompozitdirsə, onda
onu son əlavə edilmiş nömrəyə vuraraq, yenidən əldə edirsiniz
mükəmməl rəqəm və s. sonsuzdur. Və bu şəkildə sən
bir dənə də olsun qaçırmadan bütün mükəmməl nömrələri sıra ilə əldə edin
onlardan. Məsələn, 1-ə 2-ni əlavə edirəm və görürəm ki, hansı rəqəm çıxdı
cəmdə və mən hesab edirəm ki, bu rəqəm 3-dür, razılığa əsasən əsas və qeyri-mürəkkəbdir
yuxarıda deyilənlərlə, çünki bunun əksi yoxdur
onunla bir pay, ancaq onun adına olan pay; indi çoxalıram
onu sonuncu əlavə edilmiş nömrəyə, yəni 2-yə, mən isə 6 alıram; və mən
Mən onu ilk indiki mükəmməl nömrə elan edirəm
elə proporsiyalardır ki, bir yerə yığılanda uyğun gəlir
nömrənin özü: axı, vahid onun adınadır, oh var
altıncı, kəsr və 3 2 sayına görə yarımdır və
əksinə, iki üçüncüdür. Artıq əlavə edilmiş rəqəmə növbəti 4 rəqəmi əlavə edildikdə 28 rəqəmi eyni şəkildə alınır
daha yüksək. Axı, üç rəqəm 1, 2, 4 toplanır və 7 rəqəmi çıxır.
ibtidai və qeyri-kompozit, çünki yalnız adına malikdir
ona yeddinci; ona görə də onu sonuncu rəqəmə vururam,
cəminə əlavə olunur və mənim nəticəm 28-dir, mənə bərabərdir
səhmlər və yuxarıda qeyd olunan nömrələrin adına malik olan səhmlər:
yarısı on dörd, dördüncü yeddi, yeddinci üçün
4, on dördüncü yarımdan fərqli olaraq, iyirmi səkkizinci
öz adına uyğundur və bütün nömrələr üçün belə pay birə bərabərdir. Artıq 6 ədəd və 28 ədəd onlarla açdığınız zaman siz
8 və siz 15 alırsınız; baxanda belə olmadığını anlayıram
ilkin və qeyri-kompozit, çünki onun adını daşıyandan əlavə
onunla əks səhmlərə malik olan səhm, beşinci və üçüncü; ona görə yox
Mən onu 8-ə vururam, amma növbəti rəqəmi 16-nı əlavə edib rəqəmi əldə edirəm
31. İlkin və qeyri-mürəkkəbdir və buna görə də zəruridir, in
görə ümumi qayda, sonuncu əlavə edilmiş 16 rəqəminə çarpın, nəticədə yüzlərlə 496; və sonra minlərlə 8128 alırsınız; və s., nə qədər ki, davam etmək istəyi var ... "
Demək lazımdır ki, Nikomax ikinci dərəcəli ədədi verilmişə, yəni natural ədədlərə vurmaqla əldə edilə bilən ədədə çoxluq kimi başa düşür; o, kəsrləri ədədin genişlənməsinə daxil olan amillər adlandırır.
Gerazlı Nikomax yalnız ilk 4 mükəmməl rəqəmi tapıbsa, deməli Regionmontan( əsl adı - XV əsrdə yaşamış alman riyaziyyatçısı İohann Müller beşinci mükəmməl rəqəmi tapıb - 33550336.
XVI əsrdə alman alimiİohann Efraim Şeybeldaha iki mükəmməl rəqəm tapdı - 8589869056 (8 milyard, 589 milyon, 869 min, 56), 137438691328 (137 milyard, 438 milyon, 691 min, 328).
Kataldi Pietro Antonio(1548-1626), Florensiya və Boloniyadakı keçmiş riyaziyyat professoru, ilk dəfə çıxarış metodunu verən kvadrat köklər, mükəmməl rəqəmlərin axtarışı ilə də məşğul idi. Onun qeydlərində altıncı və yeddinci mükəmməl nömrələrin dəyərləri göstərilmişdir. p=17 və 19 üçün 8,589,869,056 (altıncı nömrə), 137,438,691,328 (yeddi nömrə)
17-ci əsr fransız riyaziyyatçısı Marin Mersenne düsturla izah edilən bir çox ədəd olduğunu təxmin etdi, burada p sadə ədəddir, həm də sadədir. O, p=17, p=19, p=31 üçün 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128 rəqəmlərinin mükəmməl olduğunu sübut etməyi bacarıb.
Bu elmlərin inkişafına fundamental töhfə vermiş isveçrəli, alman və rus riyaziyyatçısı və mexaniki Leonhard Euler (18-ci əsrin əvvəlləri) sübut etdi ki, bütün cüt mükəmməl ədədlər, Evklidin Elementlərinin IX kitabında təsvir olunan hətta mükəmməl ədədlərin qurulması alqoritminə uyğundur. O, həmçinin sübut etdi ki, hər bir cüt mükəmməl ədədin forması varMp, burada Mersenne sayı Mp sadədir.
Doqquzuncu mükəmməl rəqəm 1883-cü ilə qədər hesablanmayıb. Otuz yeddi simvoldan ibarət idi. Bu hesablama işi Perm yaxınlığından bir kənd keşişi tərəfindən həyata keçirilibİvan Mixeeviç Pervuşin. Pervushin heç bir hesablama cihazı olmadan saydı.
20-ci əsrin əvvəllərində daha üç mükəmməl rəqəm tapıldı (üçün p = 89, 107 və 127).
2013-cü ilin fevral ayına olan məlumata görə, 48 Mersenne sadə ədədləri və onlara uyğun cüt mükəmməl ədədlər məlumdur; GIMPS və OddPerfect.org paylanmış hesablama layihələri yeni Mersenne əsaslarını axtarır.
4. Mükəmməl ədədlərin xassələri
1. Bütün cüt mükəmməl ədədlər (6-dan başqa) ardıcıl tək natural ədədlərin kublarının cəmidir.
2. Bütün cüt mükəmməl ədədlər üçbucaqlı ədədlərdir; üstəlik, onlar altıbucaqlı ədədlərdir, yəni bəzi natural n ədədləri üçün n(2n−1) kimi göstərilə bilər.
3. Mükəmməl ədədin (özü də daxil olmaqla) bölənlərinə əks olan bütün ədədlərin cəmi 2-dir, yəni
4. 6 və 496-dan başqa bütün cüt mükəmməl ədədlər 16, 28, 36, 56 və ya 76 ilə onluq qeydlə bitir.
5. İkili notasiyada bütün hətta mükəmməl ədədlər birincidən ibarətdir səh vahidləri izlədi səh -1 sıfır (onların ümumi təsvirinin nəticəsi).
6. Sübut edilmişdir ki, tək mükəmməl ədəd, əgər varsa, çoxluğu nəzərə alınmaqla, ən azı 9 müxtəlif sadə və ən azı 75 sadə bölməyə malikdir.
5. Maraqlı faktlar
Tapmağın çətinliyi və müəmmalı anlaşılmazlıq səbəbindən köhnə dövrlərdə mükəmməl ədədlər ilahi hesab olunurdu. Beləliklə, orta əsrlər kilsəsi mükəmməl rəqəmlərin öyrənilməsinin ruhun xilasına səbəb olduğuna, yeni mükəmməl nömrə tapana əbədi səadət təmin edildiyinə inanırdı. XII əsrdə kilsə ruhu xilas etmək üçün beşinci mükəmməl rəqəmi tapmaq lazım olduğunu iddia edirdi.Dünyanın yaradan tərəfindən 6 gündə yaradıldığı üçün gözəl olduğuna dair bir inanc da var idi. Amma insan övladı, deyirlər, qeyri-kamildir, çünki o, qeyri-kamil 8 rəqəmindən yaranmışdır. Axı Nuhun gəmisində tufandan xilas olan 8 nəfər idi. Onu da əlavə etmək olar ki, eyni gəmidə daha yeddi cüt təmiz və yeddi cüt murdar heyvan, cəmi 28 mükəmməl rəqəm xilas edilmişdir.Həqiqətən, belə təsadüflərin çoxunu tapmaq asandır. Məsələn, insan əllərini mükəmməl bir alət elan etmək olar, çünki on barmaqda 28 falanq var ...
Misir uzunluq ölçüsü "qulit" 28 barmaqdan ibarət idi.
Ziyafətdə altıncı yerdə ən hörmətli, ən hörmətli qonaq idi.
1917-ci ildə yeraltı işlər zamanı qəribə bir quruluş aşkar edildi: böyük mərkəzi salonun ətrafında iyirmi səkkiz hücrə yerləşirdi. Sonradan öyrəndik ki, bu, Neopifaqor Elmlər Akademiyasının binasıdır. Onun iyirmi səkkiz üzvü var idi.
İndinin özündə də qədim ənənəyə sadiq qalaraq bəzi akademiyalar nizamnaməyə uyğun olaraq 28 həqiqi üzvdən ibarətdir. Mistik mənanın mükəmməl rəqəmlərə aid edilməsinə baxmayaraq, Mersen rəqəmləri uzun müddətə tamamilə yararsız idi, çünki həqiqətən mükəmməl rəqəmlər idi. Amma hazırda elektron informasiyanın mühafizəsi Mersenne primes əsasında qurulub və onlardan kriptoqrafiyada və riyaziyyatın digər tətbiqlərində də istifadə olunur.
Lev Nikolayeviç Tolstoy zarafatla “öyünürdü” ki, onun doğum tarixi (o dövrün təqvimi ilə avqustun 28-i) mükəmməl rəqəmdir. Lev Tolstoyun anadan olduğu il (1828) də maraqlı rəqəmdir: son iki rəqəm (28) mükəmməl rəqəm təşkil edir; və ilk iki rəqəmi dəyişdirsəniz, 8128 - dördüncü mükəmməl rəqəm alırsınız.
6. Nümunə tapşırıqlar
1. 1000-ə qədər bütün mükəmməl ədədləri tapın.
Cavab: 6 (1+2+3=6), 28 (1+2+4+7+14=28), 496 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 +
124 + 248=496). Ümumi sayı-3.
2.496-dan böyük, lakin 33550336-dan kiçik olan mükəmməl ədədi tapın.
Cavab: 8128.
3. 6-dan böyük mükəmməl ədəd 3-ə bölünür. Onun 9-a bölündüyünü sübut edin.
Həll yolu: ziddiyyətli üsul. Tutaq ki, 3-ə bölünən mükəmməl ədəd 9-a çox deyil. Onda o, 3n-ə bərabərdir, burada n 3-ə qat deyil. Üstəlik, 3n-in (özü də daxil olmaqla) bütün təbii bölənləri ola bilər.
d və 3d cütlərinə bölün, burada d 3-ə bölünmür. Buna görə də hamısının cəmi
3n ədədinin bölməsi (6n-a bərabərdir) 4-ə bölünür. Deməli, n 2-nin qatıdır.
Qeyd edək ki, 3n /2 , n, n/2 və 1 ədədləri 3n ədədinin fərqli bölənləri olacaq,
onların cəmi 3n + 1 > 3n-dir, yəni 3n sayı ola bilməz
mükəmməl. Ziddiyyət. Beləliklə, bizim fərziyyəmiz yanlışdır və iddia sübuta yetirilmişdir.
4. 28-dən böyük mükəmməl ədəd 7-yə bölünür. Onun 49-a bölündüyünü sübut edin.
7. Nəticə
Pifaqor ədədləri ilahiləşdirdi. O öyrətdi: dünyanı rəqəmlər idarə edir. Rəqəmlərin hər şeyə qadirliyi dünyada hər şeyin ədədi münasibətlərə tabe olmasında təzahür edir. Pifaqorçular bu münasibətlərdə həm real dünyanın qanunlarını, həm də mistik sirlərə və aşkara aparan yolları axtarırdılar. Onların öyrətdiyi rəqəmlər, hər şeylə - kamillik və naqislik, sonluq və sonsuzluq ilə xarakterizə olunur.
Natural ədədlər qruplarından birini - mükəmməl ədədləri nəzərdən keçirərək belə nəticəyə gəldim ki, natural ədədlərin müxtəlifliyi sonsuzdur. Mükəmməl ədədlər arasında həm cüt, həm də tək ədədlərin olması müddəasına gəlincə, onu doğru hesab etmək olmaz, çünki indiyə qədər aşkar edilmiş bütün mükəmməl ədədlər cütdür. Heç kim heç olmasa bir tək mükəmməl ədədin olub-olmadığını, eləcə də mükəmməl ədədlər çoxluğunun sonsuz olduğunu bilmir.
Gələcəkdə dost nömrələri araşdırmaq istəyirəm.
Dost nömrələr - iki fərqli natural ədədlər, bunun üçün birinci ədədin bütün düzgün bölənlərinin cəmi ikinci ədədə bərabərdir və əksinə, ikinci ədədin bütün düzgün bölənlərinin cəmi birinci ədədə bərabərdir. Belə bir cüt ədədə misal olaraq 220 və 284 cütünü göstərmək olar. Mükəmməl nömrələr dost nömrələrin xüsusi halı hesab olunur: hər bir mükəmməl nömrə özünə dostdur. Baxmayaraq ki böyük əhəmiyyət kəsb edirədəd nəzəriyyəsi üçün bu cütlər deyil, lakin əyləncəli riyaziyyatın maraqlı elementidir.
8. İstifadə olunmuş ədəbiyyatların siyahısı
- Volina V. V. Uşaqlar üçün əyləncəli riyaziyyat./Ed. V. V. Fedorov; Başlıq. T. Fedorova. - S.-Pb.: Lev i K °, 1996. - 320 s.
- Universal məktəb ensiklopediyası. T. 1. A - L / Fəsil. red. E. Xlebalina, aparıcı. red. D. Volodixin. – M.: Avanta+, 2003. – 528s.
- Universal məktəb ensiklopediyası. T. 2. A - L / Fəsil. red. E. Xlebalina, aparıcı. red. D. Volodixin. – M.: Avanta+, 2003. – 528s.
- Elektron uşaq ensiklopediyası Kiril və Methodius (versiya 2007).
- Wikipedia/ http://www.wikipedia.org/
- http://eschool.karelia.ru/petrozavodsk/projects/zpivkoren/Lists/List/DispForm.aspx?ID=18
- http://www.ngpedia.ru/id598396p3.html
- http://www.ngpedia.ru/id598396p1.html
- http://academic.ru/dic.nsf/bse/133758/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5
- http://arbuz.narod.ru/z_sov1.htm
Oxşar məqalələr
