A)
Sprendimas.
Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas – brėžinio konstravimas.
Padarykime piešinį:
Lygtis y=0 nustato x ašį;
- x=-2 Ir x=1 - tiesus, lygiagretus ašiai OU;
- y \u003d x 2 +2 - parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, kurios viršūnė yra taške (0;2).
komentuoti. Parabolei sukonstruoti pakanka rasti jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus, t.y. dėjimas x=0 rasti sankirtą su ašimi OU ir išspręsdami atitinkamą kvadratinę lygtį, raskite sankirtą su ašimi Oi .
Parabolės viršūnę galima rasti naudojant formules: 
Galite piešti linijas ir tašką po taško.
Intervale [-2;1] funkcijos grafikas y=x 2 +2 esančios virš ašies Jautis , Štai kodėl:
Atsakymas: S \u003d 9 kvadratiniai vienetai
Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. IN Ši byla„Iš akies“ suskaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, bus įvestos apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei turėtume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių aiškiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas buvo neigiamas, užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.
Ką daryti, jei yra kreivinė trapecija po ašimi Oi?
b) Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y=-e x , x=1 ir koordinačių ašys.
Sprendimas.
Padarykime piešinį.
Jei kreivinė trapecija visiškai po ašimi Oi , tada jo plotą galima rasti pagal formulę:
Atsakymas: S=(e-1) kv.vnt.“ 1,72 kv.vnt
Dėmesio! Nepainiokite dviejų tipų užduočių:
1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.
2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstytoje formulėje atsiranda minusas.
Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusės plokštumose.
Su) Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Sprendimas.
Pirmiausia reikia padaryti piešinį. Paprastai tariant, statant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskite parabolės susikirtimo taškus 
ir tiesioginis 
Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis.
Išsprendžiame lygtį:
Taigi apatinė integracijos riba a=0 , viršutinė integracijos riba b = 3 .
|
Nutiesiame duotas tieses: 1. Parabolė - viršūnė taške (1;1); ašies susikirtimo Oi - taškais (0;0) ir (0;2). 2. Tiesi linija - 2-ojo ir 4-ojo koordinačių kampų pusiausvyra. O dabar Dėmesio! Jei segmente [ a;b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus kokiai nors ištisinei funkcijai g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti pagal formulę: Ir nesvarbu, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, bet svarbu, kuri diagrama yra AUKŠČIAUSIA (kitos diagramos atžvilgiu), o kuri yra PO. Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš |
.Galima tieses statyti taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“. Nepaisant to, vis tiek kartais tenka naudoti analitinį ribų radimo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba srieginė konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios).
Norimą figūrą riboja parabolė iš viršaus ir tiesia linija iš apačios.
Ant segmento 
, pagal atitinkamą formulę:
Atsakymas: S \u003d 4,5 kv.vnt
Užduotis numeris 3. Nubraižykite piešinį ir apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą
Integralo taikymas sprendžiant taikomąsias problemas
Ploto skaičiavimas
Tolydžios neneigiamos funkcijos f(x) apibrėžtasis integralas skaitiniu požiūriu lygus plotas kreivinė trapecija, ribojama kreivės y = f(x), O x ašies ir tiesių x = a ir x = b. Atitinkamai, ploto formulė parašyta taip:
Apsvarstykite keletą plokštumos figūrų plotų skaičiavimo pavyzdžių.
Užduoties numeris 1. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja linijos y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.
Sprendimas. Sukurkime figūrą, kurios plotą turėsime apskaičiuoti.
y \u003d x 2 + 1 yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, o parabolė O y ašies atžvilgiu pasislinkusi vienu vienetu aukštyn (1 pav.).
1 pav. Funkcijos y = x 2 + 1 grafikas
Užduotis numeris 2. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja tiesės y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 intervale nuo 0 iki 1.
 |
Sprendimas.Šios funkcijos grafikas yra šakos parabolė, kuri nukreipta į viršų, o parabolė O y ašies atžvilgiu pasislinkusi vienu vienetu žemyn (2 pav.).
2 pav. Funkcijos y \u003d x 2 - 1 grafikas
Užduotis numeris 3. Nubraižykite piešinį ir apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą
y = 8 + 2x - x 2 ir y = 2x - 4.
Sprendimas. Pirmoji iš šių dviejų tiesių yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn, nes koeficientas x 2 yra neigiamas, o antroji linija yra tiesi linija, kertanti abi koordinačių ašis.
Norėdami sukurti parabolę, raskime jos viršūnės koordinates: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – viršūnė abscisė; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 yra jo ordinatė, N(1;9) yra jo viršūnė.
Dabar išspręsdami lygčių sistemą randame parabolės ir tiesės susikirtimo taškus:
Lygties, kurios kairiosios pusės yra lygios, dešiniųjų kraštinių prilyginimas.
Gauname 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 arba x 2 - 12 \u003d 0, iš kur 
.
Taigi, taškai yra parabolės ir tiesės susikirtimo taškai (1 pav.).
3 pav. Funkcijų y = 8 + 2x – x 2 ir y = 2x – 4 grafikai
Nutieskime tiesę y = 2x - 4. Ji eina per taškus (0;-4), (2; 0) koordinačių ašyse.
Norėdami sukurti parabolę, taip pat galite turėti jos susikirtimo taškus su 0x ašimi, ty lygties šaknis 8 + 2x - x 2 = 0 arba x 2 - 2x - 8 = 0. Pagal Vieta teoremą tai yra nesunku rasti jo šaknis: x 1 = 2, x 2 = 4.
3 paveiksle parodyta figūra (parabolinė atkarpa M 1 N M 2), kurią riboja šios linijos.
Antroji problemos dalis yra rasti šios figūros plotą. Jo plotą galima rasti naudojant apibrėžtąjį integralą, naudojant formulę 
.
Pritaikyta ši sąlyga, gauname integralą: 
2 Apsisukimo kūno tūrio apskaičiavimas
Kūno tūris, gautas sukant kreivę y \u003d f (x) aplink O x ašį, apskaičiuojamas pagal formulę:
Sukant aplink O y ašį formulė atrodo taip:
Užduotis numeris 4. Nustatykite kūno tūrį, gautą sukant kreivinę trapeciją, kurią riboja tiesios linijos x \u003d 0 x \u003d 3, ir kreivė y \u003d aplink O x ašį.
Sprendimas. Pastatykime brėžinį (4 pav.).
4 pav. Funkcijos y = grafikas
Norimas tūris lygus 
Užduotis numeris 5. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą iš kreivinės trapecijos, apribotos kreivės y = x 2 ir tiesių y = 0 ir y = 4, sukimosi aplink ašį O y .
Sprendimas. Mes turime:
Peržiūrėkite klausimus
Dabar kreipiamės į integralinio skaičiavimo taikymą. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį. plokščios figūros ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą. Galiausiai, visi tie, kurie ieško prasmės aukštoji matematika- Leisk jiems jį surasti. Niekada nežinai. Gyvenime turėsime suartėti kaimo kotedžų rajonas elementariąsias funkcijas ir suraskite jos plotą naudodami apibrėžtąjį integralą.
Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:
1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent jau tarpiniu lygiu. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.
2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio konstravimą, Štai kodėl aktuali tema taip pat bus jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai. Bent jau reikia mokėti nubrėžti tiesę, parabolę ir hiperbolę.
Pradėkime nuo kreivinės trapecijos. Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, apribota kokios nors funkcijos grafiku y = f(x), ašis JAUTIS ir linijos x = a; x = b.
Kreivinės trapecijos plotas skaitine prasme lygus tam tikram integralui
Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai sakėme, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS. Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą
Integrand
apibrėžia kreivę plokštumoje (jei pageidaujama, ją galima nubrėžti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.
1 pavyzdys
, , , .
Tai yra tipiškas užduoties teiginys. Svarbiausias momentas sprendimai – piešimas. Be to, brėžinys turi būti pastatytas TEISINGAI.
Kuriant projektą rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau konstruoti visas eilutes (jei yra) ir tik Tada- parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Konstravimo taškas po taško techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti medžiagos, kuri yra labai naudinga mūsų pamokai - kaip greitai sukurti parabolę.
Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Padarykime piešinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis y= 0 nurodo ašį JAUTIS):
Kreivinės trapecijos neperėsime, čia aišku kokio ploto klausime. Sprendimas tęsiasi taip:
Atkarpoje [-2; 1] funkcijų grafikas y = x 2 + 2 yra virš ašiesJAUTIS, Štai kodėl:
Atsakymas: .
Kam sunku apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ir pritaikyti Niutono-Leibnizo formulę
,
kreiptis į paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai. Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, bus įvestos apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei turėtume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai, akivaizdu, kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas buvo neigiamas, užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.
2 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą xy = 4, x = 2, x= 4 ir ašis JAUTIS.
Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Ką daryti, jei yra kreivinė trapecija po ašimiJAUTIS?
3 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y = e-x, x= 1 ir koordinačių ašys.
Sprendimas: Padarykime piešinį:
Jei kreivinė trapecija visiškai po ašimi JAUTIS , tada jo plotą galima rasti pagal formulę:
Tokiu atveju:
.
Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:
1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.
2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstytoje formulėje atsiranda minusas.
Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumose, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių problemų pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.
4 pavyzdys
Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y = 2x – x 2 , y = -x.
Sprendimas: Pirmiausia turite padaryti piešinį. Konstruojant brėžinį ploto uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskite parabolės susikirtimo taškus y = 2x – x 2 ir tiesiai y = -x. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:
Taigi apatinė integracijos riba a= 0, viršutinė integravimo riba b= 3. Dažnai pelningiau ir greičiau statyti tieses taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“. Nepaisant to, vis tiek kartais tenka naudoti analitinį ribų radimo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba srieginė konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Grįžtame prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia statyti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:
Pakartojame, kad taškinėje konstrukcijoje integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.
O dabar darbo formulė:
Jei segmente [ a; b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus tam tikra nuolatinė funkcija g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti pagal formulę:
Čia jau nebereikia galvoti, kur yra figūra – virš ašies ar žemiau ašies, o svarbu, kuri diagrama yra AUKŠČIAU(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.
Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl nuo 2 x – x 2 reikia atimti - x.
Sprendimo užbaigimas gali atrodyti taip:
Norimą figūrą riboja parabolė y = 2x – x 2 viršuje ir tiesiai y = -x iš apačios.
2 segmente x – x 2 ≥ -x. Pagal atitinkamą formulę:
Atsakymas: .
Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos apatinėje pusplokštumoje (žr. 3 pavyzdį) yra specialus formulės atvejis.
.
Nuo ašies JAUTIS pateikiama lygtimi y= 0, ir funkcijos grafikas g(x) yra žemiau ašies JAUTIS, Tai
.
O dabar keli nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai
5 pavyzdys
6 pavyzdys
Raskite figūros, apribotos linijomis, plotą
Sprendžiant ploto skaičiavimo uždavinius naudojant tam tikrą integralą, kartais nutinka juokingas incidentas. Brėžinys padarytas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, tačiau dėl neatidumo ... rado netinkamos figūros plotą.
7 pavyzdys
Pirmiausia pieškime:
Figūra, kurios plotą turime rasti, yra nuspalvinta mėlyna spalva.(atsargiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatsargumo jie dažnai nusprendžia, kad jiems reikia rasti užtemdytą figūros plotą. žaliai!
Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad jame figūros plotas apskaičiuojamas naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:
1) Atkarpoje [-1; 1] virš ašies JAUTIS grafikas tiesus y = x+1;
2) Atkarpoje virš ašies JAUTIS yra hiperbolės grafikas y = (2/x).
Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:
Atsakymas:
8 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą
Pateikime lygtis „mokyklos“ forma
ir nubrėžkite liniją:
Iš brėžinio matyti, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: b = 1.
Bet kokia yra apatinė riba? Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas?
Gal būt, a=(-1/3)? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali taip pasirodyti a=(-1/4). Ką daryti, jei grafiką iš viso nesupratome?
Tokiais atvejais tenka skirti daugiau laiko ir analitiškai išgryninti integracijos ribas.
Raskite grafikų susikirtimo taškus
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:
.
Vadinasi, a=(-1/3).
Tolesnis sprendimas yra trivialus. Svarbiausia nepainioti keitimų ir ženklų. Čia atlikti skaičiavimai nėra patys lengviausi. Ant segmento
, 
,
pagal atitinkamą formulę:
Pamokos pabaigoje apsvarstysime dvi sudėtingesnes užduotis.
9 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą
Sprendimas: pieškite šią figūrą brėžinyje.
Norėdami piešti tašką po taško, turite žinoti išvaizda sinusoidės. Apskritai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikus, taip pat kai kurias sinuso reikšmes. Juos galima rasti verčių lentelėje trigonometrinės funkcijos. Tam tikrais atvejais (pavyzdžiui, šiuo atveju) leidžiama sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame iš esmės teisingai turi būti atvaizduoti grafikai ir integravimo ribos.
Čia nėra problemų dėl integravimo apribojimų, jie tiesiogiai išplaukia iš sąlygos:
- "x" keičiasi iš nulio į "pi". Priimame tolesnį sprendimą:
Atkarpoje funkcijos grafikas y= nuodėmė 3 x esantis virš ašies JAUTIS, Štai kodėl:
(1) Pamokoje galite pamatyti, kaip sinusai ir kosinusai integruojami į nelygines galias Trigonometrinių funkcijų integralai. Nugriebiame vieną sinusą.
(2) Formoje naudojame pagrindinę trigonometrinę tapatybę
(3) Pakeiskime kintamąjį t= cos x, tada: yra virš ašies , taigi:
.
.
Pastaba: atkreipkite dėmesį, kaip imamas liestinės integralas kube, čia naudojama pagrindinės trigonometrinės tapatybės pasekmė
.
Ankstesniame skyriuje, skirtame apibrėžtojo integralo geometrinės reikšmės analizei, gavome keletą formulių kreivinės trapecijos plotui apskaičiuoti:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x ištisinei ir neneigiamai funkcijai y = f (x) atkarpoje [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x ištisinei ir neteigiamai funkcijai y = f (x) atkarpoje [ a ; b].
Šios formulės yra tinkamos gana paprastiems uždaviniams spręsti. Tiesą sakant, dažnai tenka dirbti su sudėtingesnėmis formomis. Šiuo atžvilgiu šį skyrių skirsime figūrų ploto skaičiavimo algoritmų analizei, kurias riboja funkcijos aiškiai išreikšta forma, t.y. kaip y = f(x) arba x = g(y) .
TeoremaTegul funkcijos y = f 1 (x) ir y = f 2 (x) yra apibrėžtos ir tolydžios atkarpoje [ a ; b ] ir f 1 (x) ≤ f 2 (x) bet kuriai x vertei iš [ a ; b]. Tada figūros G, ribojamos tiesėmis x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) ir y \u003d f 2 (x), ploto apskaičiavimo formulė atrodys kaip S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Panaši formulė bus taikoma ir figūros plotui, kurį riboja linijos y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) ir x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Įrodymas
Išanalizuosime tris atvejus, kuriems formulė galios.
Pirmuoju atveju, atsižvelgiant į ploto adityvumo savybę, pradinės figūros G ir kreivinės trapecijos G 1 plotų suma yra lygi figūros G 2 plotui. Tai reiškia kad
Todėl S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .
Paskutinį perėjimą galime atlikti naudodami trečiąją apibrėžtojo integralo savybę.
Antruoju atveju lygybė yra teisinga: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafinė iliustracija atrodys taip:
Jei abi funkcijos yra neteigiamos, gauname: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafinė iliustracija atrodys taip:
Pereikime prie bendrojo atvejo, kai y = f 1 (x) ir y = f 2 (x) kerta ašį O x, svarstymo.
Susikirtimo taškus pažymėsime x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Šie taškai nutraukia atkarpą [ a ; b ] į n dalių x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , kur α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Vadinasi,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Paskutinį perėjimą galime atlikti naudodami penktąją apibrėžtojo integralo savybę.
Pavaizduokime bendrą atvejį grafike.
Formulė S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x gali būti laikoma įrodyta.
O dabar pereikime prie figūrų, kurias riboja linijos y \u003d f (x) ir x \u003d g (y), ploto apskaičiavimo pavyzdžių analizės.
Atsižvelgdami į bet kurį iš pavyzdžių, pradėsime nuo grafiko sudarymo. Vaizdas leis mums pavaizduoti sudėtingas formas kaip daugiau sąjungas paprastos figūros. Jei jums sunku braižyti ant jų grafikus ir figūras, galite išstudijuoti skyrių apie pagrindines elementariąsias funkcijas, geometrinę funkcijų grafikų transformaciją, taip pat braižymą funkcijos tyrimo metu.
1 pavyzdys
Būtina nustatyti figūros plotą, kurį riboja parabolė y \u003d - x 2 + 6 x - 5 ir tiesės y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.
Sprendimas
Nubraižykime tieses grafike Dekarto koordinačių sistemoje.
Ant intervalo [ 1 ; 4] parabolės y = - x 2 + 6 x - 5 grafikas yra virš tiesės y = - 1 3 x - 1 2 . Šiuo atžvilgiu, norėdami gauti atsakymą, naudojame anksčiau gautą formulę, taip pat apibrėžtojo integralo apskaičiavimo metodą naudojant Niutono-Leibnizo formulę:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Atsakymas: S (G) = 13
Pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį.
2 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja linijos y = x + 2, y = x, x = 7.
Sprendimas
Šiuo atveju turime tik vieną tiesę, lygiagrečią x ašiai. Tai yra x = 7. Tam reikia patys rasti antrąją integracijos ribą.
Sukurkime grafiką ir uždėkime ant jo uždavinio sąlygoje pateiktas eilutes.
Turėdami grafiką prieš akis, galime nesunkiai nustatyti, kad apatinė integravimo riba bus grafiko susikirtimo taško su tiesia linija y \u003d x ir pusiau parabole y \u003d x + 2 abscisė. Norėdami rasti abscisę, naudojame lygybes:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Pasirodo, kad susikirtimo taško abscisė yra x = 2.
Atkreipiame jūsų dėmesį į tai, kad m bendras pavyzdys brėžinyje linijos y = x + 2, y = x susikerta taške (2 ; 2) , todėl tokie detalūs skaičiavimai gali atrodyti pertekliniai. Tokį išsamų sprendimą čia pateikėme tik todėl, kad sudėtingesniais atvejais sprendimas gali būti ne toks akivaizdus. Tai reiškia, kad geriau visada analitiškai skaičiuoti tiesių susikirtimo koordinates.
Ant intervalo [ 2 ; 7] funkcijos y = x grafikas yra virš funkcijos y = x + 2 grafiko. Norėdami apskaičiuoti plotą, naudokite formulę:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Atsakymas: S (G) = 59 6
3 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja funkcijų y \u003d 1 x ir y \u003d - x 2 + 4 x - 2 grafikai.
Sprendimas
Nubrėžkime grafike linijas.
Apibrėžkime integracijos ribas. Norėdami tai padaryti, nustatome tiesių susikirtimo taškų koordinates, sulygindami reiškinius 1 x ir - x 2 + 4 x - 2 . Jei x nėra lygus nuliui, lygybė 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 tampa lygiavertė trečiojo laipsnio lygčiai - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 su sveikųjų skaičių koeficientais . Tokių lygčių sprendimo algoritmo atmintį galite atnaujinti perskaitę skyrių „Kubinių lygčių sprendimas“.
Šios lygties šaknis yra x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Padalinę išraišką - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 iš dvinario x - 1, gauname: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x – 1) = 0
Likusias šaknis galime rasti iš lygties x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Radome intervalą x ∈ 1; 3 + 13 2 , kur G yra virš mėlynos linijos ir žemiau raudonos linijos. Tai padeda mums nustatyti figūros plotą:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Atsakymas: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
4 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja kreivės y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 ir x ašis.
Sprendimas
Sudėkime visas eilutes į grafiką. Funkcijos y = - log 2 x + 1 grafiką galime gauti iš grafiko y = log 2 x, jei pastatysime jį simetriškai apie x ašį ir perkelsime vienu vienetu aukštyn. X ašies lygtis y \u003d 0.
Pažymime tiesių susikirtimo taškus.
Kaip matyti iš paveikslo, funkcijų y \u003d x 3 ir y \u003d 0 grafikai susikerta taške (0; 0). Taip yra todėl, kad x \u003d 0 yra vienintelė tikroji lygties x 3 \u003d 0 šaknis.
x = 2 yra vienintelė lygties šaknis - log 2 x + 1 = 0 , todėl funkcijų y = - log 2 x + 1 ir y = 0 grafikai susikerta taške (2 ; 0) .
x = 1 yra vienintelė lygties šaknis x 3 = - log 2 x + 1 . Šiuo atžvilgiu funkcijų y \u003d x 3 ir y \u003d - log 2 x + 1 grafikai susikerta taške (1; 1). Paskutinis teiginys gali būti neaiškus, tačiau lygtis x 3 \u003d - log 2 x + 1 negali turėti daugiau nei vienos šaknies, nes funkcija y \u003d x 3 griežtai didėja, o funkcija y \u003d - log 2 x + 1 griežtai mažėja.
Kitas žingsnis apima keletą variantų.
1 variantas
Figūrą G galime pavaizduoti kaip dviejų kreivių trapecijos, esančių virš abscisių ašies, sumą, iš kurių pirmoji yra žemiau vidurinė linija atkarpoje x ∈ 0 ; 1 , o antrasis yra žemiau raudonos linijos atkarpoje x ∈ 1 ; 2. Tai reiškia, kad plotas bus lygus S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
2 variantas
Figūrą G galima pavaizduoti kaip dviejų figūrų skirtumą, iš kurių pirmoji yra virš x ašies ir žemiau mėlynos linijos atkarpoje x ∈ 0; 2 , o antroji yra tarp raudonos ir mėlynos linijų atkarpoje x ∈ 1 ; 2. Tai leidžia mums rasti tokią sritį:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Šiuo atveju, norėdami rasti plotą, turėsite naudoti formulę, kurios formulė yra S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Tiesą sakant, linijos, ribojančios formą, gali būti pavaizduotos kaip argumento y funkcijos.
Išspręskime lygtis y = x 3 ir - log 2 x + 1 x atžvilgiu:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Gauname reikiamą plotą:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Atsakymas: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
5 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja linijos y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.
Sprendimas
Diagramoje nubrėžkite liniją su raudona linija, kurią nurodo funkcija y = x . Nubrėžkite liniją y = - 1 2 x + 4 mėlyna spalva, o liniją y = 2 3 x - 3 pažymėkite juoda spalva.
Atkreipkite dėmesį į susikirtimo taškus.
Raskite funkcijų y = x ir y = - 1 2 x + 4 grafikų susikirtimo taškus:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 = 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i yra lygties x 2 = 4 = 2 sprendinys, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 yra lygties sprendimas ⇒ (4 ; 2) susikirtimo taškas i y = x ir y = - 1 2 x + 4
Raskite funkcijų y = x ir y = 2 3 x - 3 grafikų susikirtimo tašką:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Patikrinkite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 yra lygties ⇒ (9; 3) sprendinys ir sankirta y = x ir y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 nėra lygties sprendimas
Raskite tiesių y = - 1 2 x + 4 ir y = 2 3 x - 3 susikirtimo tašką:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) sankirtos taškas y = - 1 2 x + 4 ir y = 2 3 x - 3
1 metodas
Norimos figūros plotą pavaizduojame kaip atskirų figūrų plotų sumą.
Tada figūros plotas yra:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
2 metodas
Pradinės figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip kitų dviejų figūrų suma.
Tada išsprendžiame x tiesės lygtį ir tik po to pritaikome figūros ploto apskaičiavimo formulę.
y = x ⇒ x = y 2 raudona linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 juoda linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Taigi sritis yra:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 m + 9 2 - - 2 m + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 m + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 3 3 2 m. + 9 2 - y 2 d. = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Kaip matote, vertės sutampa.
Atsakymas: S (G) = 11 3
Rezultatai
Norėdami rasti figūros plotą, kurį riboja nurodytos linijos, turime nubrėžti linijas plokštumoje, rasti jų susikirtimo taškus ir pritaikyti ploto nustatymo formulę. Šiame skyriuje apžvelgėme dažniausiai pasitaikančias užduočių parinktis.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Šiame straipsnyje sužinosite, kaip naudojant integralinius skaičiavimus rasti linijomis apribotos figūros plotą. Pirmą kartą su tokios problemos formulavimu susiduriame vidurinėje mokykloje, kai tik baigtas tam tikrų integralų tyrimas ir atėjo laikas pradėti praktikoje įgytų žinių geometrinę interpretaciją.
Taigi, ko reikia norint sėkmingai išspręsti figūros ploto suradimo naudojant integralus problemą:
- Gebėjimas taisyklingai braižyti brėžinius;
- Gebėjimas išspręsti apibrėžtąjį integralą naudojant gerai žinomą Niutono-Leibnizo formulę;
- Galimybė „pamatyti“ pelningesnį sprendimą – t.y. suprasti, kaip tuo ar kitu atveju bus patogiau vykdyti integraciją? Išilgai x ašies (OX) ar y ašies (OY)?
- Na, kur be teisingų skaičiavimų?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti to kito tipo integralus, ir teisingus skaitinius skaičiavimus.
Figūros, apribotos linijomis, ploto skaičiavimo problemos sprendimo algoritmas:
1. Mes statome piešinį. Patartina tai padaryti ant popieriaus lapo narve, dideliu mastu. Virš kiekvieno grafiko pieštuku pasirašome šios funkcijos pavadinimą. Grafikų parašas daromas tik tolesnių skaičiavimų patogumui. Gavus norimos figūros grafiką, daugeliu atvejų iš karto bus aišku, kokios integravimo ribos bus naudojamos. Taigi problemą išsprendžiame grafiškai. Tačiau atsitinka taip, kad ribų reikšmės yra trupmeninės arba neracionalios. Todėl galite atlikti papildomus skaičiavimus, pereikite prie antrojo veiksmo.
2. Jei integravimo ribos nėra aiškiai nustatytos, randame grafikų susikirtimo taškus ir pažiūrime, ar mūsų grafinis sprendimas atitinka analitinį.
3. Toliau reikia išanalizuoti piešinį. Priklausomai nuo to, kaip yra išdėstyti funkcijų grafikai, yra įvairių būdų, kaip rasti figūros plotą. Apsvarstykite skirtingi pavyzdžiai rasti figūros plotą naudojant integralus.
3.1. Klasikiškiausia ir paprasčiausia problemos versija yra tada, kai reikia rasti kreivinės trapecijos plotą. Kas yra kreivinė trapecija? Tai plokščia figūra, kurią riboja x ašis (y = 0), tiesus x = a, x = b ir bet kuri kreivė ištisinė intervale nuo a prieš b. Tuo pačiu metu šis skaičius nėra neigiamas ir yra ne žemiau x ašies. Šiuo atveju kreivinės trapecijos plotas yra skaitiniu būdu lygus apibrėžtajam integralui, apskaičiuotam pagal Niutono-Leibnizo formulę:
1 pavyzdys y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Kokios linijos apibrėžia figūrą? Mes turime parabolę y = x2 - 3x + 3, kuris yra virš ašies OI, tai neneigiama, nes turi visi šios parabolės taškai teigiamas vertes. Toliau pateiktos tiesios linijos x = 1 Ir x = 3 kurie eina lygiagrečiai ašiai OU, yra figūrą ribojančios linijos kairėje ir dešinėje. Na y = 0, ji yra x ašis, kuri riboja figūrą iš apačios. Gauta figūra yra užtamsinta, kaip matyti paveikslėlyje kairėje. Tokiu atveju galite nedelsiant pradėti spręsti problemą. Prieš mus yra paprastas kreivinės trapecijos pavyzdys, kurį mes išsprendžiame naudodami Niutono-Leibnizo formulę.
3.2. Ankstesniame 3.1 punkte buvo analizuojamas atvejis, kai kreivinė trapecija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai problemos sąlygos yra tokios pačios, išskyrus tai, kad funkcija yra po x ašimi. Prie standartinės Niutono-Leibnizo formulės pridedamas minusas. Kaip išspręsti tokią problemą, mes svarstysime toliau.
2 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Šiame pavyzdyje turime parabolę y=x2+6x+2, kuris kilęs iš po ašies OI, tiesus x=-4, x=-1, y=0. Čia y = 0 riboja norimą figūrą iš viršaus. Tiesioginis x = -4 Ir x = -1 tai yra ribos, per kurias bus skaičiuojamas apibrėžtasis integralas. Figūros ploto suradimo problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su 1 pavyzdžiu. Vienintelis skirtumas yra tas, kad pateikta funkcija nėra teigiama, o taip pat yra ištisinė intervale [-4; -1] . Ką reiškia ne teigiamas? Kaip matyti iš paveikslo, figūra, esanti duotame x ribose, turi išskirtinai „neigiamas“ koordinates, kurias turime pamatyti ir atsiminti sprendžiant problemą. Figūros ploto ieškome naudodami Niutono-Leibnizo formulę, tik su minuso ženklu pradžioje.
Straipsnis nebaigtas.
Panašūs straipsniai
