Trapecija yra išgaubtas keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi yra nelygiagrečios. Jei visos priešingos keturkampio kraštinės yra lygiagrečios poromis, tai yra lygiagretainis.

Jums reikės

• - visos trapecijos pusės (AB, BC, CD, DA).

Instrukcijos

• Nelygiagrečios pusės trapecijos vadinamos šoninėmis, o lygiagrečios – bazėmis. Linija tarp pagrindų, statmena jiems - aukštis trapecijos. Jei šonai trapecijos yra lygūs, tada jis vadinamas lygiašoniu. Pirmiausia pažvelkime į sprendimą trapecijos, kuri nėra lygiašonė.
• Nubrėžkite linijos atkarpą BE nuo taško B iki apatinio pagrindo AD lygiagrečiai šonui trapecijos CD. Kadangi BE ir CD yra lygiagrečiai ir nubrėžti tarp lygiagrečių bazių trapecijos BC ir DA, tada BCDE yra lygiagretainis, o jo priešingos kraštinės BE ir CD yra lygios. BE=CD.
• Apsvarstykite trikampį ABE. Apskaičiuokite šoninę AE. AE = AD-ED. Pagrindai trapecijos BC ir AD yra žinomi, o lygiagretainyje BCDE priešingos kraštinės ED ir BC yra lygios. ED = BC, taigi AE = AD-BC.
• Dabar sužinokite trikampio ABE plotą naudodami Herono formulę, apskaičiuodami pusperimetrą. S=šaknis(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). Šioje formulėje p yra trikampio ABE pusperimetras. p=1/2*(AB+BE+AE). Norėdami apskaičiuoti plotą, žinote visus reikiamus duomenis: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
• Tada užrašykite trikampio ABE plotą kitaip - jis lygus pusei trikampio BH aukščio ir kraštinės AE sandaugos, į kurią jis nubrėžtas. S=1/2*BH*AE.
• Išreikškite iš šios formulės aukščio trikampis, kuris taip pat yra aukštis trapecijos. BH=2*S/AE. Apskaičiuok.

Jei trapecija lygiašonė, sprendimas gali būti atliktas kitaip. Apsvarstykite trikampį ABH. Jis yra stačiakampis, nes vienas iš kampų, BHA, yra teisingas.

• Braukite nuo viršūnės C aukščio CF.
• Ištirkite HBCF figūrą. HBCF yra stačiakampis, nes dvi jo kraštinės yra aukščiai, o kitos dvi yra pagrindai trapecijos, tai yra, kampai yra statūs, o priešingos kraštinės lygiagrečios. Tai reiškia, kad BC=HF.
• Pažvelkite į stačiuosius trikampius ABH ir FCD. Kampai aukščiuose BHA ir CFD yra statūs, o kampai šonuose BAH ir CDF lygūs, nes trapecija ABCD yra lygiašonė, vadinasi, trikampiai yra panašūs. Kadangi aukščiai BH ir CF yra lygūs arba lygiašonio šoninės kraštinės trapecijos AB ir CD yra kongruentiški, tada panašūs trikampiai yra kongruentiški. Tai reiškia, kad jų pusės AH ir FD taip pat yra lygios.
• Raskite AH. AH+FD=AD-HF. Kadangi iš lygiagretainio HF=BC, o iš trikampių AH=FD, tai AH=(AD-BC)*1/2.
• Toliau apskaičiuokite iš dešiniojo trikampio ABH, naudodami Pitagoro teoremą aukščio B.H. Hipotenuzės AB kvadratas lygus kojų AH ir BH kvadratų sumai. BH=šaknis (AB*AB-AH*AH).

Daugiapusė trapecija... Ji gali būti savavališka, lygiašonė arba stačiakampė. Ir kiekvienu atveju turite žinoti, kaip rasti trapecijos plotą. Žinoma, lengviausias būdas yra prisiminti pagrindines formules. Tačiau kartais lengviau naudoti tokį, kuris gaunamas atsižvelgiant į visas konkrečios geometrinės figūros ypatybes.

Keletas žodžių apie trapeciją ir jos elementus

Bet kuris keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, gali būti vadinamas trapecija. Apskritai jie nėra lygūs ir vadinami bazėmis. Didesnis yra apatinis, o kitas - viršutinis.

Kitos dvi pusės pasirodo esančios šoninės. Savavališkoje trapecijoje jie turi skirtingą ilgį. Jei jie yra lygūs, tada figūra tampa lygiašone.

Jei staiga kampas tarp bet kurios pusės ir pagrindo yra lygus 90 laipsnių, tada trapecija yra stačiakampė.

Visos šios savybės gali padėti išspręsti problemą, kaip rasti trapecijos plotą.

Tarp figūros elementų, kurie gali būti būtini sprendžiant problemas, galime išskirti šiuos dalykus:

• aukštis, tai yra atkarpa, statmena abiem pagrindams;
• vidurinė linija, kurios galuose yra šoninių kraštinių vidurio taškai.

Kokia formule galima apskaičiuoti plotą, jei žinomas pagrindas ir aukštis?

Ši išraiška pateikiama kaip pagrindinė, nes dažniausiai šiuos dydžius galima atpažinti net tada, kai jie nėra aiškiai nurodyti. Taigi, norėdami suprasti, kaip rasti trapecijos plotą, turėsite pridėti abu pagrindus ir padalyti juos iš dviejų. Tada gautą vertę padauginkite iš aukščio vertės.

Jei bazes pažymėsime 1 ir 2, o aukštį n, tada ploto formulė atrodys taip:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Formulė, apskaičiuojanti plotą, jei nurodytas jo aukštis ir vidurio linija

Jei atidžiai pažvelgsite į ankstesnę formulę, nesunku pastebėti, kad joje aiškiai nurodyta vidurio linijos reikšmė. Būtent bazių suma padalinta iš dviejų. Tegul vidurinė linija žymima raide l, tada ploto formulė tampa:

S = l * n.

Gebėjimas rasti plotą naudojant įstrižaines

Šis metodas padės, jei žinomas jų suformuotas kampas. Tarkime, kad įstrižainės pažymėtos raidėmis d 1 ir d 2, o kampai tarp jų yra α ir β. Tada formulė, kaip rasti trapecijos plotą, bus parašyta taip:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Šioje išraiškoje α galite lengvai pakeisti β. Rezultatas nepasikeis.

Kaip sužinoti plotą, jei žinomos visos figūros pusės?

Taip pat yra situacijų, kai tiksliai žinomos šios figūros pusės. Ši formulė yra sudėtinga ir sunkiai įsimenama. Bet tikriausiai. Tegul šonuose yra žymėjimas: a 1 ir a 2, pagrindas a 1 yra didesnis nei a 2. Tada ploto formulė bus tokia:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + 1 2 - 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

Lygiašonės trapecijos ploto apskaičiavimo metodai

Pirmasis yra dėl to, kad jame galima įrašyti apskritimą. Ir žinodami jo spindulį (jis žymimas raide r), taip pat kampą prie pagrindo - γ, galite naudoti šią formulę:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Paskutinis bendroji formulė, kuris pagrįstas žiniomis apie visas figūros puses, bus žymiai supaprastintas dėl to, kad pusės turi tą pačią reikšmę:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Stačiakampės trapecijos ploto apskaičiavimo metodai

Akivaizdu, kad bet kuri iš aukščiau paminėtų dalykų tinka bet kuriai figūrai. Tačiau kartais pravartu žinoti vieną tokios trapecijos ypatybę. Tai slypi tame, kad skirtumas tarp įstrižainių ilgių kvadratų yra lygus skirtumui, sudarytam iš pagrindų kvadratų.

Dažnai pamirštamos trapecijos formulės, o stačiakampio ir trikampio plotų išraiškos prisimenamos. Tada galite naudoti paprastą metodą. Padalinkite trapeciją į dvi formas, jei ji yra stačiakampė, arba į tris. Vienas tikrai bus stačiakampis, o antrasis arba likę du – trikampiai. Suskaičiavus šių skaičių plotus, belieka juos susumuoti.

Tai gana paprastas būdas rasti stačiakampės trapecijos plotą.

O jei žinomos trapecijos viršūnių koordinatės?

Tokiu atveju turėsite naudoti išraišką, leidžiančią nustatyti atstumą tarp taškų. Jis gali būti taikomas tris kartus: norint sužinoti ir pagrindus, ir vieną aukštį. Ir tada tiesiog pritaikykite pirmąją formulę, kuri aprašyta šiek tiek aukščiau.

Norėdami iliustruoti šį metodą, galima pateikti tokį pavyzdį. Duotos viršūnės su koordinatėmis A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Turite išsiaiškinti figūros plotą.

Prieš surasdami trapecijos plotą, iš koordinačių turite apskaičiuoti pagrindų ilgius. Jums reikės šios formulės:

atkarpos ilgis = √((taškų pirmųjų koordinačių skirtumas) 2 + (antrųjų taškų koordinačių skirtumas) 2 ).

Viršutinė bazė žymima AB, o tai reiškia, kad jos ilgis bus lygus √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Apatinė yra CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Dabar reikia nubrėžti aukštį nuo viršaus iki pagrindo. Tegul jos pradžia yra taške A. Atkarpos pabaiga bus apatiniame pagrinde taške su koordinatėmis (5; 1), tebūnie tai taškas H. Atkarpos AN ilgis bus lygus √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Belieka gautas reikšmes pakeisti trapecijos ploto formule:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problema buvo išspręsta be matavimo vienetų, nes nebuvo nurodyta koordinačių tinklelio skalė. Tai gali būti milimetras arba metras.

Pavyzdinės problemos

Nr 1. Būklė.Žinomas kampas tarp savavališkos trapecijos įstrižainių, jis lygus 30 laipsnių. Mažesnė įstrižainė yra 3 dm, o antroji yra 2 kartus didesnė. Būtina apskaičiuoti trapecijos plotą.

Sprendimas. Pirmiausia reikia išsiaiškinti antrosios įstrižainės ilgį, nes be to atsakymo apskaičiuoti nepavyks. Suskaičiuoti nesunku, 3 * 2 = 6 (dm).

Dabar reikia naudoti atitinkamą ploto formulę:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problema išspręsta.

Atsakymas: Trapecijos plotas 4,5 dm2.

Nr 2. Būklė. Trapecijos ABCD pagrindai yra atkarpos AD ir BC. Taškas E yra SD pusės vidurys. Iš jos nubrėžta statmena tiesei AB, kurios galas žymimas raide H. Žinoma, kad AB ir EH ilgiai yra atitinkamai lygūs 5 ir 4 cm. Reikia apskaičiuoti plotą trapecija.

Sprendimas. Pirmiausia reikia padaryti piešinį. Kadangi statmeno reikšmė yra mažesnė už kraštinę, į kurią jis nubrėžtas, trapecija bus šiek tiek pailgėjusi aukštyn. Taigi EH bus figūros viduje.

Norėdami aiškiai matyti problemos sprendimo eigą, turėsite atlikti papildomą statybą. Būtent, nubrėžkite tiesią liniją, kuri bus lygiagreti kraštinei AB. Šios tiesės susikirtimo su AD taškai yra P, o su BC tęsiniu yra X. Gauta figūra VHRA yra lygiagretainis. Be to, jo plotas lygus reikiamam. Taip yra dėl to, kad trikampiai, gauti atliekant papildomą statybą, yra lygūs. Tai išplaukia iš šono lygybės ir dviejų šalia jos esančių kampų, kurių vienas yra vertikalus, kitas - skersai.

Lygiagretainio plotą galite rasti naudodami formulę, kurioje yra kraštinės sandauga ir į ją nuleistas aukštis.

Taigi trapecijos plotas yra 5 * 4 = 20 cm 2.

Atsakymas: S = 20 cm 2.

Nr 3. Būklė. Lygiašonės trapecijos elementai turi šias reikšmes: apatinis pagrindas - 14 cm, viršutinis - 4 cm, smailus kampas - 45º. Reikia apskaičiuoti jo plotą.

Sprendimas. Tegul mažesnis pagrindas yra pažymėtas BC. Iš taško B nubrėžtas aukštis bus vadinamas VH. Kadangi kampas yra 45º, trikampis ABH bus stačiakampis ir lygiašonis. Taigi AN = VN. Be to, AN labai lengva rasti. Jis lygus pusei bazių skirtumo. Tai yra (14–4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Pagrindai žinomi, aukščiai paskaičiuoti. Galite naudoti pirmąją formulę, kuri čia buvo aptarta savavališkai trapecijai.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Atsakymas: Reikalingas plotas yra 45 cm2.

Nr 4. Būklė. Yra savavališka trapecija ABCD. Taškai O ir E paimti iš jo šoninių kraštinių, kad OE būtų lygiagreti AD pagrindui. AOED trapecijos plotas yra penkis kartus didesnis nei OVSE. Apskaičiuokite OE reikšmę, jei žinomi bazių ilgiai.

Sprendimas. Jums reikės nubrėžti dvi lygiagrečias tieses AB: pirmąją per tašką C, jos susikirtimą su OE - tašku T; antrasis per E ir susikirtimo su AD taškas bus M.

Tegul nežinomas OE=x. Mažesnės trapecijos OVSE aukštis yra n 1, didesnės AOED yra n 2.

Kadangi šių dviejų trapecijų plotai yra susiję nuo 1 iki 5, galime parašyti tokią lygybę:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Trikampių aukščiai ir kraštinės yra proporcingi konstrukcijai. Todėl galime parašyti dar vieną lygybę:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

Paskutiniuose dviejuose įrašuose kairėje pusėje yra vienodos reikšmės, o tai reiškia, kad galime parašyti, kad (x + a 1) / (5(x + a 2)) yra lygus (x - a 2) / (a ​​​1-x).

Čia reikia atlikti daugybę transformacijų. Pirmiausia padauginkite skersai. Atsiras skliaustai, rodantys kvadratų skirtumą, pritaikę šią formulę gausite trumpą lygtį.

Jame reikia atidaryti skliaustus ir perkelti visus terminus su nežinomu „x“ į kairė pusė, tada paimkite kvadratinę šaknį.

Atsakymas: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

(S) trapecija, pradėkite skaičiuoti aukštį (h) rasdami pusę lygiagrečių kraštinių ilgių sumos: (a+b)/2. Tada padalinkite plotą iš gautos reikšmės – rezultatas bus norima reikšmė: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Žinodami vidurio linijos ilgį (m) ir plotą (S), galite supaprastinti ankstesniame žingsnyje pateiktą formulę. Pagal apibrėžimą trapecijos vidurio linija yra lygi pusei jos pagrindų sumos, todėl norint apskaičiuoti figūros aukštį (h), tiesiog padalinkite plotą iš vidurio linijos ilgio: h = S/m.

Nustatyti tokio daikto aukštį (h) galima, jei pateikiamas tik vienos iš kraštinių (c) ilgis ir jos suformuotas kampas (α) bei ilgasis pagrindas. Šiuo atveju reikėtų atsižvelgti į šios pusės suformuotą formą, aukštį ir trumpą pagrindo segmentą, kurį nupjauna ant jo nuleistas aukštis. Šis trikampis bus stačiakampis žinoma pusė bus hipotenuzė jame, o aukštis bus koja. Ilgių ir hipotenuzės santykis lygus kampui priešais koją, todėl norėdami apskaičiuoti trapecijos aukštį, žinomą kraštinės ilgį padauginkite iš žinomo kampo sinuso: h = с*sin(α).

Tą patį trikampį verta apsvarstyti, jei pateikiamas kraštinės ilgis (c) ir kampo (β) tarp jo ir kitos (trumposios) bazės dydis. Šiuo atveju kampas tarp šono (hipotenūzos) ir aukščio (kojos) bus 90° mažesnis už kampą, žinomą iš sąlygų: β-90°. Kadangi kojos ir hipotenuzės ilgių santykis yra lygus kampo tarp jų kosinusui, apskaičiuokite trapecijos aukštį kampo, sumažinto 90°, kosinusą padauginus iš kraštinės ilgio: h = с* cos(β-90°).

Jei įbrėžiamas žinomo spindulio (r) apskritimas, aukščio (h) skaičiavimas bus labai paprastas ir nereikės jokių kitų parametrų. Toks apskritimas pagal apibrėžimą turi turėti tik vieną tašką kiekviename jo pagrinde, ir šie taškai bus vienoje tiesėje su centru. Tai reiškia, kad atstumas tarp jų bus lygus skersmeniui (dvigubam spinduliui), nubrėžtam statmenai pagrindams, tai yra, sutampančiam su trapecijos aukščiu: h=2*r.

Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi ne. Trapecijos aukštis yra atkarpa, statmena tarp dviejų lygiagrečių tiesių. Priklausomai nuo šaltinio duomenų, jį galima apskaičiuoti įvairiais būdais.

Jums reikės

• Trapecijos kraštinių, pagrindų, vidurio linijos, taip pat, pasirinktinai, ploto ir (arba) perimetro išmanymas.

Instrukcijos

Tarkime, kad yra trapecija su tais pačiais duomenimis, kaip ir 1 paveiksle. Nubrėžkime 2 aukščius, gausime , kuri turi 2 mažesnes kraštines pagal stačiakampių trikampių kojeles. Mažesnį ritinį pažymėkime x. Jis yra

Trapecija vadinamas keturkampiu, kurio tik du kraštinės lygiagrečios viena kitai.

Jie vadinami figūros pagrindais, likusieji – šonais. Lygiagrečios laikomos ypatingais figūros atvejais. Taip pat yra išlenkta trapecija, kuri apima funkcijos grafiką. Trapecijos ploto formulės apima beveik visus jos elementus, o geriausias sprendimas parenkamas atsižvelgiant į pateiktas reikšmes.
Pagrindiniai vaidmenys trapecijoje priskiriami aukščiui ir vidurinei linijai. vidurinė linija- Tai linija, jungianti kraštinių vidurio taškus. Aukštis Trapecija brėžiama stačiu kampu nuo viršutinio kampo iki pagrindo.
Trapecijos plotas per jos aukštį yra lygus pusės pagrindų ilgių sumos sandaugai, padaugintam iš aukščio:

Jei vidutinė linija yra žinoma pagal sąlygas, ši formulė yra žymiai supaprastinta, nes ji yra lygi pusei bazių ilgių sumos:

Jei pagal sąlygas pateikiami visų kraštinių ilgiai, galime apsvarstyti pavyzdį, kaip apskaičiuoti trapecijos plotą naudojant šiuos duomenis:

Tarkime, kad mums duota trapecija, kurios pagrindai a = 3 cm, b = 7 cm, o kraštinės c = 5 cm, d = 4 cm. Raskime figūros plotą:

Lygiašonės trapecijos plotas

Lygiašonė trapecija arba, kaip dar vadinama, lygiašonė trapecija, laikoma atskiru atveju.
Ypatingas atvejis yra lygiašonės (lygiašonės) trapecijos ploto radimas. Formulė yra išvesta Skirtingi keliai– per įstrižaines, per kampus, esančius greta pagrindo ir įbrėžto apskritimo spindulio.
Jei įstrižainių ilgis nurodytas pagal sąlygas ir žinomas kampas tarp jų, galite naudoti šią formulę:

Atminkite, kad lygiašonės trapecijos įstrižainės yra lygios viena kitai!

Tai yra, žinodami vieną iš jų pagrindų, šoną ir kampą, galite lengvai apskaičiuoti plotą.

Išlenktos trapecijos plotas

Ypatingas atvejis yra lenkta trapecija. Jis yra koordinačių ašyje ir yra ribojamas nuolatinės teigiamos funkcijos grafiku.

Jo pagrindas yra X ašyje ir yra apribotas dviem taškais:
Integralai padeda apskaičiuoti plotą lenkta trapecija.
Formulė parašyta taip:

Panagrinėkime išlenktos trapecijos ploto apskaičiavimo pavyzdį. Formulė reikalauja tam tikros žinios darbui su apibrėžtaisiais integralais. Pirmiausia pažiūrėkime į apibrėžtojo integralo reikšmę:

Čia F(a) yra antidarinės funkcijos f(x) reikšmė taške a, F(b) – tos pačios funkcijos f(x) reikšmė taške b.

Dabar išspręskime problemą. Paveikslėlyje pavaizduota išlenkta trapecija, kurią riboja funkcija. Funkcija
Turime rasti pasirinktos figūros plotą, kuris yra kreivinė trapecija, kurią viršuje riboja grafikas, dešinėje tiesė x =(-8), kairėje tiesė x =(-10 ) ir OX ašį žemiau.
Šios figūros plotą apskaičiuosime pagal formulę:

Problemos sąlygos suteikia mums funkciją. Naudodami jį kiekviename iš mūsų taškų rasime antidarinio vertes:


Dabar
Atsakymas: Pateiktos kreivės trapecijos plotas yra 4.

Apskaičiuojant šią vertę nėra nieko sudėtingo. Vienintelis dalykas, kuris yra svarbus, yra ypatingas kruopštumas atliekant skaičiavimus.

Praėjusių metų Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino praktika rodo, kad geometrijos problemos daugeliui moksleivių kelia sunkumų. Su jais nesunkiai susidorosite, jei įsiminsite visas reikalingas formules ir pasimokysite spręsti problemas.

Šiame straipsnyje pamatysite formules, kaip rasti trapecijos plotą, taip pat problemų su sprendimų pavyzdžius. Su tais pačiais KIM galite susidurti per sertifikavimo egzaminus arba olimpiadose. Todėl elkitės su jais atsargiai.

Ką reikia žinoti apie trapeciją?

Pirmiausia prisiminkime tai trapecijos formos vadinamas keturkampiu, kurio dvi priešingos kraštinės, dar vadinamos bazėmis, yra lygiagrečios, o kitos dvi – ne.

Trapecijoje aukštis (statmenai pagrindui) taip pat gali būti sumažintas. Nubrėžta vidurinė linija - tai tiesi linija, lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos. Taip pat įstrižainės, kurios gali susikirsti, sudarydamos smailius ir bukus kampus. Arba kai kuriais atvejais stačiu kampu. Be to, jei trapecija lygiašonė, į ją galima įrašyti apskritimą. Ir apibūdinkite ratą aplink jį.

Trapecijos plotų formulės

Pirmiausia pažvelkime į standartines trapecijos ploto nustatymo formules. Toliau apsvarstysime būdus, kaip apskaičiuoti lygiašonių ir kreivių trapecijos plotą.

Taigi įsivaizduokite, kad turite trapeciją su pagrindais a ir b, kurios aukštis h nuleistas į didesnį pagrindą. Apskaičiuoti figūros plotą šiuo atveju taip pat lengva, kaip kriaušių lukštenimą. Jums tereikia padalyti pagrindų ilgių sumą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš aukščio: S = 1/2(a + b)*h.

Paimkime kitą atvejį: tarkime, kad trapecijoje, be aukščio, yra vidurinė linija m. Žinome vidurio linijos ilgio nustatymo formulę: m = 1/2(a + b). Todėl mes galime teisėtai supaprastinti trapecijos ploto formulę iki šios formos: S = m* h. Kitaip tariant, norėdami rasti trapecijos plotą, turite padauginti vidurio liniją iš aukščio.

Panagrinėkime kitą variantą: trapecijoje yra įstrižainės d 1 ir d 2, kurios nesikerta stačiu kampu α. Norėdami apskaičiuoti tokios trapecijos plotą, turite padalyti įstrižainių sandaugą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš kampo tarp jų nuodėmės: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Dabar apsvarstykite trapecijos ploto nustatymo formulę, jei apie ją nieko nežinoma, išskyrus visų jos kraštinių ilgius: a, b, c ir d. Tai sudėtinga ir sudėtinga formulė, tačiau jums bus naudinga ją prisiminti bet kuriuo atveju: S = 1/2 (a + b) * √c 2 – ((1/2 (b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Beje, aukščiau pateikti pavyzdžiai tinka ir tuo atveju, kai reikia stačiakampės trapecijos ploto formulės. Tai trapecija, kurios šonas stačiu kampu ribojasi su pagrindais.

Lygiašonė trapecija

Trapecija, kurios kraštinės lygios, vadinama lygiašone. Apsvarstysime keletą lygiašonės trapecijos ploto formulės variantų.

Pirmas variantas: tuo atveju, kai apskritimas, kurio spindulys r, yra įrašytas lygiašonės trapecijos viduje, o kraštinė ir didesnis pagrindas sudaro smailią kampą α. Į trapeciją galima įrašyti apskritimą, jei jo pagrindų ilgių suma yra lygi kraštinių ilgių sumai.

Lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip: įbrėžto apskritimo spindulio kvadratą padauginkite iš keturių ir viską padalinkite iš sinα: S = 4r 2 /sinα. Kita ploto formulė yra specialus atvejis, kai kampas tarp didelio pagrindo ir šono yra 30 0: S = 8r2.

Antras variantas: šį kartą imame lygiašonę trapeciją, kurioje papildomai nubrėžtos įstrižainės d 1 ir d 2 bei aukštis h. Jei trapecijos įstrižainės yra viena kitai statmenos, aukštis yra pusė pagrindų sumos: h = 1/2(a + b). Tai žinant, jums jau žinomą trapecijos ploto formulę nesunku paversti šia forma: S = h 2.

Išlenktos trapecijos ploto formulė

Pradėkime nuo to, kad išsiaiškinkime, kas yra išlenkta trapecija. Įsivaizduokite koordinačių ašį ir ištisinės ir neneigiamos funkcijos f, kuri nekeičia ženklo x ašies atkarpoje, koordinačių ašį. Kreivinę trapeciją sudaro funkcijos y = f(x) grafikas - viršuje, x ašis yra apačioje (segmentas), o šonuose - tiesios linijos, nubrėžtos tarp taškų a ir b ir grafikas funkcija.

Neįmanoma apskaičiuoti tokios nestandartinės figūros ploto aukščiau pateiktais metodais. Čia reikia kreiptis matematinė analizė ir naudokite integralą. Būtent: Niutono-Leibnizo formulė - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Šioje formulėje F yra mūsų funkcijos pasirinktame segmente antidarinys. O kreivinės trapecijos plotas atitinka tam tikro segmento antidarinio prieaugį.

Pavyzdinės problemos

Kad visos šios formulės būtų lengviau suprantamos jūsų galvoje, pateikiame keletą problemų, susijusių su trapecijos ploto paieška. Geriausia bus, jei iš pradžių problemas bandysite išspręsti patys, o tik tada gautą atsakymą palyginsite su jau paruoštu sprendimu.

1 užduotis: Duota trapecija. Jo didesnis pagrindas 11 cm, mažesnis 4 cm. Trapecija turi įstrižaines, viena 12 cm ilgio, antra 9 cm.

Sprendimas: Sukurkite trapeciją AMRS. Per viršūnę P nubrėžkite tiesę РХ taip, kad ji būtų lygiagreti įstrižai MC ir kerta tiesę AC taške X. Gausite trikampį APХ.

Apsvarstysime dvi figūras, gautas atlikus šias manipuliacijas: trikampį APX ir lygiagretainį CMRX.

Lygiagretainio dėka sužinome, kad PX = MC = 12 cm ir CX = MR = 4 cm. Iš kur galime apskaičiuoti trikampio ARX kraštinę AX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Taip pat galime įrodyti, kad trikampis APX yra stačiakampis (tam taikykite Pitagoro teoremą – AX 2 = AP 2 + PX 2). Ir apskaičiuokite jo plotą: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Tada turėsite įrodyti, kad trikampiai AMP ir PCX yra vienodi. Pagrindas bus šalių MR ir CX lygybė (jau įrodyta aukščiau). Taip pat aukščiai, kuriuos nuleidžiate šiose pusėse – jie lygūs AMRS trapecijos aukščiui.

Visa tai leis jums pasakyti, kad S AMPC = S APX = 54 cm 2.

2 užduotis: Pateikta trapecija KRMS. Jo šoninėse pusėse yra taškai O ir E, o OE ir KS yra lygiagrečiai. Taip pat žinoma, kad trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5. RM = a ir KS = b. Turite rasti OE.

Sprendimas: Nubrėžkite tiesę, lygiagrečią RK per tašką M, o jos susikirtimo su OE tašką pažymėkite kaip T. A yra per tašką E nubrėžtos linijos, lygiagrečios RK, susikirtimo taškas su pagrindu KS.

Įveskime dar vieną žymėjimą – OE = x. Taip pat aukštis h 1 trikampiui TME ir aukštis h 2 trikampiui AEC (galite savarankiškai įrodyti šių trikampių panašumą).

Darysime prielaidą, kad b > a. Trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5, o tai suteikia teisę sudaryti tokią lygtį: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformuokime ir gausime: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Kadangi trikampiai TME ir AEC yra panašūs, turime h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Sujungkime abu įrašus ir gaukime: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Taigi OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Išvada

Geometrija nėra pats lengviausias mokslas, bet jūs tikrai galite susidoroti su egzamino klausimais. Pakanka parodyti šiek tiek atkaklumo ruošiantis. Ir, žinoma, atsiminkite visas reikalingas formules.

Visas trapecijos ploto skaičiavimo formules stengėmės surinkti į vieną vietą, kad galėtumėte jas panaudoti ruošdamiesi egzaminams ir peržiūrėdami medžiagą.

Būtinai pasakykite apie šį straipsnį savo klasės draugams ir draugams. socialiniuose tinkluose. Leisti geri pažymiai bus daugiau vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino testo!

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Panašūs straipsniai