Trapecija yra išgaubtas keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi yra nelygiagrečios. Jei visos priešingos keturkampio kraštinės yra lygiagrečios poromis, tai yra lygiagretainis.
Jums reikės
- - visos trapecijos pusės (AB, BC, CD, DA).
Instrukcijos
- Nelygiagrečios pusės trapecijos vadinamos šoninėmis, o lygiagrečios – bazėmis. Linija tarp pagrindų, statmena jiems - aukštis trapecijos. Jei šonai trapecijos yra lygūs, tada jis vadinamas lygiašoniu. Pirmiausia pažvelkime į sprendimą trapecijos, kuri nėra lygiašonė.
- Nubrėžkite linijos atkarpą BE nuo taško B iki apatinio pagrindo AD lygiagrečiai šonui trapecijos CD. Kadangi BE ir CD yra lygiagrečiai ir nubrėžti tarp lygiagrečių bazių trapecijos BC ir DA, tada BCDE yra lygiagretainis, o jo priešingos kraštinės BE ir CD yra lygios. BE=CD.
- Apsvarstykite trikampį ABE. Apskaičiuokite šoninę AE. AE = AD-ED. Priežastys trapecijos BC ir AD yra žinomi, o lygiagretainyje BCDE priešingos kraštinės ED ir BC yra lygios. ED = BC, taigi AE = AD-BC.
- Dabar sužinokite trikampio ABE plotą naudodami Herono formulę, apskaičiuodami pusperimetrą. S=šaknis(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). Šioje formulėje p yra trikampio ABE pusperimetras. p=1/2*(AB+BE+AE). Norėdami apskaičiuoti plotą, žinote visus reikiamus duomenis: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
- Tada užrašykite trikampio ABE plotą kitaip - jis lygus pusei trikampio BH aukščio ir kraštinės AE sandaugos, į kurią jis nubrėžtas. S=1/2*BH*AE.
- Išreikškite iš šios formulės aukščio trikampis, kuris taip pat yra aukštis trapecijos. BH=2*S/AE. Apskaičiuok.
- Braukite nuo viršūnės C aukščio CF.
- Ištirkite HBCF figūrą. HBCF yra stačiakampis, nes dvi jo kraštinės yra aukščiai, o kitos dvi yra pagrindai trapecijos, tai yra, kampai yra statūs, o priešingos kraštinės lygiagrečios. Tai reiškia, kad BC=HF.
- Pažvelkite į stačiuosius trikampius ABH ir FCD. Kampai aukščiuose BHA ir CFD yra statūs, o kampai šonuose BAH ir CDF lygūs, nes trapecija ABCD yra lygiašonė, vadinasi, trikampiai yra panašūs. Kadangi aukščiai BH ir CF yra lygūs arba lygiašonio šoninės kraštinės trapecijos AB ir CD yra kongruentiški, tada panašūs trikampiai yra kongruentiški. Tai reiškia, kad jų pusės AH ir FD taip pat yra lygios.
- Raskite AH. AH+FD=AD-HF. Kadangi iš lygiagretainio HF=BC, o iš trikampių AH=FD, tai AH=(AD-BC)*1/2.
- Toliau apskaičiuokite iš dešiniojo trikampio ABH, naudodami Pitagoro teoremą aukščio B.H. Hipotenuzės AB kvadratas lygus kojų AH ir BH kvadratų sumai. BH=šaknis (AB*AB-AH*AH).
Jei trapecija lygiašonė, sprendimas gali būti atliktas kitaip. Apsvarstykite trikampį ABH. Jis yra stačiakampis, nes vienas iš kampų, BHA, yra teisingas.
Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios (tai trapecijos pagrindai, nurodyti a ir b paveiksluose), o kitos dvi – ne (paveiksle AD ir CB). Trapecijos aukštis yra atkarpa h, nubrėžta statmenai pagrindams.
Kaip rasti trapecijos aukštį, atsižvelgiant į žinomas trapecijos ploto reikšmes ir pagrindų ilgius?
Norėdami apskaičiuoti trapecijos ABCD plotą S, naudojame formulę:
S = ((a+b) × h)/2.
Čia atkarpos a ir b yra trapecijos pagrindai, h – trapecijos aukštis.
Transformuodami šią formulę, galime parašyti:
Naudodami šią formulę gauname h reikšmę, jei žinomas plotas S ir bazių a ir b ilgiai.
Pavyzdys
Jei žinoma, kad trapecijos S plotas yra 50 cm², pagrindo a ilgis yra 4 cm, o pagrindo ilgis b yra 6 cm, tada aukščiui h rasti naudojame formulę:
Į formulę pakeičiame žinomus kiekius.
h = (2 × 50) / (4 + 6) = 100/10 = 10 cm
Atsakymas: Trapecijos aukštis 10 cm.
Kaip rasti trapecijos aukštį, jei nurodytas trapecijos plotas ir vidurio linijos ilgis?
Trapecijos plotui apskaičiuoti naudokite formulę:
Čia m yra vidurinė linija, h yra trapecijos aukštis.
Jei kyla klausimas, kaip rasti trapecijos aukštį, formulė yra tokia:
h = S/m bus atsakymas.
Taigi, mes galime rasti trapecijos aukštį h, atsižvelgiant į žinomas ploto S ir vidurio linijos atkarpos m reikšmes.
Pavyzdys
Yra žinomas trapecijos vidurio linijos ilgis m, kuris yra 20 cm, ir plotas S, kuris yra 200 cm². Raskime trapecijos h aukščio reikšmę.
Pakeitę S ir m reikšmes, gauname:
h = 200/20 = 10 cm
Atsakymas: trapecijos aukštis 10 cm
Kaip sužinoti stačiakampės trapecijos aukštį?
Jei trapecija yra keturkampis, su dviem lygiagrečiomis trapecijos kraštinėmis (pagrindais). Tada įstrižainė yra atkarpa, jungianti dvi priešingas trapecijos kampų viršūnes (paveikslėlyje atkarpa AC). Jei trapecija yra stačiakampė, naudodamiesi įstriža, randame trapecijos aukštį h.
Stačiakampė trapecija yra trapecija, kurios viena iš kraštinių yra statmena pagrindams. Šiuo atveju jo ilgis (AD) sutampa su aukščiu h.
Taigi, apsvarstykite stačiakampę trapeciją ABCD, kur AD yra aukštis, DC yra pagrindas, AC yra įstrižainė. Pasinaudokime Pitagoro teorema. Stačiojo trikampio ADC hipotenuzės AC kvadratas yra lygus jo kojelių AB ir BC kvadratų sumai.
Tada galime rašyti:
AC² = AD² + DC².
AD yra trikampio kojelė, šoninė trapecijos kraštinė ir kartu jos aukštis. Juk atkarpa AD yra statmena pagrindams. Jo ilgis bus:
AD = √ (AC² – DC²)
Taigi, turime formulę trapecijos aukščiui h = AD apskaičiuoti
Pavyzdys
Jei stačiakampės trapecijos (DC) pagrindo ilgis yra 14 cm, o įstrižainė (AC) yra 15 cm, aukščio (AD - pusė) reikšmei gauti naudojame Pitagoro teoremą.
Tada tegul x yra nežinoma stačiojo trikampio (AD) kojelė
AC² = AD² + DC² galima parašyti
15² = 14² + x²,
x = √(15²–14²) = √(225–196) = √29 cm
Atsakymas: stačiakampės trapecijos (AB) aukštis bus √29 cm, tai yra maždaug 5,385 cm
Kaip rasti lygiašonės trapecijos aukštį?
Lygiašonė trapecija yra trapecija, kurios kraštinių ilgiai yra lygūs vienas kitam. Tiesi linija, nubrėžta per tokios trapecijos pagrindų vidurio taškus, bus simetrijos ašis. Ypatingas atvejis yra trapecija, kurios įstrižainės yra statmenos viena kitai, tada aukštis h bus lygus pusei bazių sumos.
Panagrinėkime atvejį, jei įstrižainės nėra viena kitai statmenos. Lygiašonės (lygiašonės) trapecijos kampai prie pagrindų yra lygūs, o įstrižainių ilgiai lygūs. Taip pat žinoma, kad visos lygiašonės trapecijos viršūnės liečia aplink šią trapeciją nubrėžtą apskritimo liniją.
Pažiūrėkime į piešinį. ABCD yra lygiašonė trapecija. Yra žinoma, kad trapecijos pagrindai yra lygiagretūs, vadinasi, BC = b lygiagreti AD = a, kraštinė AB = CD = c, tai reiškia, kad kampai prie pagrindų yra atitinkamai lygūs, galime užrašyti kampą BAQ = CDS = α, o kampas ABC = BCD = β. Taigi darome išvadą, kad trikampis ABQ yra lygus trikampiui SCD, o tai reiškia atkarpą
AQ = SD = (AD - BC) / 2 = (a - b) / 2.
Atsižvelgiant į uždavinio sąlygas, bazių a ir b reikšmes bei kraštinės c ilgį, randame trapecijos aukštį h, lygų atkarpai BQ.
Apsvarstykite stačiąjį trikampį ABQ. VO yra trapecijos aukštis, statmenas pagrindui AD, taigi ir atkarpai AQ. Trikampio ABQ kraštinę AQ randame naudodami anksčiau gautą formulę:
Turėdami dviejų stačiojo trikampio kojų vertes, randame hipotenuzę BQ = h. Mes naudojame Pitagoro teoremą.
AB² = AQ² + BQ²
Pakeiskime šias užduotis:
c² = AQ² + h².
Gauname lygiašonės trapecijos aukščio nustatymo formulę:
h = √(c²-AQ²).
Pavyzdys
Duota lygiašonė trapecija ABCD, kur pagrindas AD = a = 10cm, pagrindas BC = b = 4cm, o kraštinė AB = c = 12cm. Tokiomis sąlygomis pažiūrėkime į pavyzdį, kaip rasti trapecijos aukštį, lygiašonę trapeciją ABCD.
Raskime trikampio ABQ kraštinę AQ, pakeisdami žinomus duomenis:
AQ = (a - b) / 2 = (10-4) / 2 = 3 cm.
Dabar pakeiskime trikampio kraštinių reikšmes į Pitagoro teoremos formulę.
h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.
Atsakymas. Lygiašonės trapecijos ABCD aukštis h yra 11,6 cm.
Norint jaustis užtikrintai ir sėkmingai spręsti uždavinius geometrijos pamokose, neužtenka išmokti formulių. Pirmiausia juos reikia suprasti. Bijoti, o juo labiau nekęsti formulių – neproduktyvu. Šiame straipsnyje prieinama kalba bus analizuojamas įvairių būdų Trapecijos ploto radimas. Norėdami geriau suprasti atitinkamas taisykles ir teoremas, atkreipsime dėmesį į jo savybes. Tai padės suprasti, kaip veikia taisyklės ir kokiais atvejais reikėtų taikyti tam tikras formules.
Trapecijos apibrėžimas
Kokia tai apskritai figūra? Trapecija yra daugiakampis su keturiais kampais ir dviem lygiagrečiomis kraštinėmis. Kitos dvi trapecijos pusės gali būti pasvirusios skirtingais kampais. Jo lygiagrečios kraštinės vadinamos bazėmis, o nelygiagrečioms – „šonų“ arba „klubo“ pavadinimas. Tokie skaičiai yra gana dažni kasdieniame gyvenime. Trapecijos kontūrai matomi drabužių, interjero daiktų, baldų, indų ir daugelio kitų siluetuose. Atsiranda trapecija skirtingi tipai: skalinė, lygiakraštė ir stačiakampė. Toliau straipsnyje mes išsamiau išnagrinėsime jų tipus ir savybes.
Trapecijos savybės
Trumpai pakalbėkime apie šio paveikslo savybes. Kampų, esančių šalia bet kurios kraštinės, suma visada yra 180°. Reikėtų pažymėti, kad visi trapecijos kampai sudaro 360°. Trapecija turi vidurio linijos sąvoką. Jei kraštinių vidurio taškus sujungsite su segmentu, tai bus vidurinė linija. Jis žymimas m. Vidurinė linija turi svarbių savybių: ji visada lygiagreti pagrindams (atsimename, kad pagrindai taip pat lygiagrečiai vienas kitam) ir lygi jų pusei:
Šį apibrėžimą reikia išmokti ir suprasti, nes tai yra raktas į daugelio problemų sprendimą!
Naudodami trapeciją, visada galite nuleisti aukštį iki pagrindo. Aukštis yra statmenas, dažnai žymimas simboliu h, brėžiamas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kitą bazę arba jos tęsinį. Vidurinė linija ir aukštis padės rasti trapecijos plotą. Tokios problemos dažniausiai pasitaiko mokykliniame geometrijos kurse ir reguliariai atsiranda tarp testų ir egzaminų darbų.
Paprasčiausios trapecijos ploto formulės
Pažvelkime į dvi populiariausias ir paprasčiausias formules, naudojamas trapecijos plotui rasti. Pakanka aukštį padauginti iš pusės pagrindų sumos, kad lengvai rastumėte tai, ko ieškote:
S = h*(a + b)/2.
Šioje formulėje a, b žymi trapecijos pagrindus, h – aukštį. Kad būtų lengviau suvokti, šiame straipsnyje daugybos ženklai formulėse pažymėti simboliu (*), nors oficialių žinynų Daugybos ženklas dažniausiai praleidžiamas.
Pažiūrėkime į pavyzdį.
Duota: trapecija, kurios du pagrindai lygūs 10 ir 14 cm, aukštis 7 cm. Koks trapecijos plotas?
Pažvelkime į šios problemos sprendimą. Naudojant šią formulę, pirmiausia reikia rasti bazių pusę sumos: (10+14)/2 = 12. Taigi, pusinė suma lygi 12 cm. Dabar pusę sumos padauginame iš aukščio: 12*7 = 84. Tai, ko ieškome, yra rasta. Atsakymas: Trapecijos plotas yra 84 kvadratiniai metrai. cm.
Antroji gerai žinoma formulė sako: trapecijos plotas yra lygus vidurio linijos ir trapecijos aukščio sandaugai. Tai yra, tai iš tikrųjų išplaukia iš ankstesnės vidurinės linijos sampratos: S=m*h.
Įstrižainių naudojimas skaičiavimams
Kitas būdas rasti trapecijos plotą iš tikrųjų nėra toks sudėtingas. Jis yra prijungtas prie jo įstrižainių. Naudodami šią formulę, norėdami rasti plotą, turite padauginti jo įstrižainių pusgaminį (d 1 d 2) iš kampo tarp jų sinuso:
S = ½ d 1 d 2 sin a.
Panagrinėkime problemą, kuri parodo šio metodo taikymą. Duota: trapecija, kurios įstrižainių ilgis atitinkamai lygus 8 ir 13 cm. Kampas a tarp įstrižainių yra 30°. Raskite trapecijos plotą.
Sprendimas. Naudojant aukščiau pateiktą formulę, lengva apskaičiuoti, ko reikia. Kaip žinote, nuodėmė 30° yra 0,5. Todėl S = 8*13*0,5=52. Atsakymas: plotas 52 kvadratiniai metrai. cm.
Lygiašonės trapecijos ploto radimas
Trapecija gali būti lygiašonė (lygiašonė). Jo kraštinės vienodos, o kampai prie pagrindų lygūs, tai puikiai iliustruoja paveikslas. Lygiašonė trapecija turi tokias pačias savybes kaip ir įprasta, be to, daug specialių. Aplink lygiašonę trapeciją galima apibrėžti apskritimą, o joje – apskritimą.
Kokie yra tokios figūros ploto apskaičiavimo metodai? Toliau pateiktam metodui reikės daug skaičiavimų. Norėdami jį naudoti, turite žinoti kampo ties trapecijos pagrindu sinuso (sin) ir kosinuso (cos) reikšmes. Norint juos apskaičiuoti, reikia arba Bradis lentelių, arba inžinerinio skaičiuotuvo. Štai formulė:
S = c*nuodėmė a*(a - c* cos a),
Kur Su- šoninės šlaunies, a- kampas prie apatinio pagrindo.
Lygiakraščio trapecijos įstrižainės yra vienodo ilgio. Taip pat yra priešingai: jei trapecijos įstrižainės yra lygios, tada ji yra lygiašonė. Taigi ši formulė, padedanti rasti trapecijos plotą - įstrižainių kvadrato ir kampo tarp jų sinuso sandauga: S = ½ d 2 sin a.
Stačiakampės trapecijos ploto radimas
Yra žinomas ypatingas stačiakampės trapecijos atvejis. Tai trapecija, kurios viena pusė (jos šlaunys) stačiu kampu ribojasi su pagrindais. Jis turi įprastos trapecijos savybių. Be to, ji turi labai įdomi savybė. Tokios trapecijos įstrižainių kvadratų skirtumas lygus jos pagrindų kvadratų skirtumui. Tam naudojami visi anksčiau aprašyti ploto apskaičiavimo metodai.
Mes naudojame išradingumą
Yra vienas triukas, kuris gali padėti, jei pamiršite konkrečias formules. Pažiūrėkime atidžiau, kas yra trapecija. Jei mintyse suskirstysime jį į dalis, gausime pažįstamas ir suprantamas geometrines figūras: kvadratą arba stačiakampį ir trikampį (vieną ar du). Jei trapecijos aukštis ir kraštinės yra žinomi, galite naudoti trikampio ir stačiakampio ploto formules ir sudėti visas gautas reikšmes.
Iliustruojame tai tokiu pavyzdžiu. Duota stačiakampė trapecija. Kampas C = 45°, kampai A, D yra 90°. Viršutinis trapecijos pagrindas 20 cm, aukštis 16 cm. Reikia paskaičiuoti figūros plotą.
Ši figūra akivaizdžiai susideda iš stačiakampio (jei du kampai lygūs 90°) ir trikampio. Kadangi trapecija yra stačiakampė, todėl jos aukštis lygus jos kraštinei, tai yra 16 cm. Turime stačiakampį, kurio kraštinės atitinkamai yra 20 ir 16 cm. Dabar apsvarstykite trikampį, kurio kampas yra 45 °. Žinome, kad viena jo kraštinė yra 16 cm.Kadangi ši kraštinė yra ir trapecijos aukštis (o mes žinome, kad aukštis nusileidžia į pagrindą stačiu kampu), todėl antrasis trikampio kampas yra 90°. Taigi likęs trikampio kampas yra 45°. To pasekmė yra ta, kad gauname statųjį lygiašonį trikampį su dviem lygiomis kraštinėmis. Tai reiškia, kad kita trikampio pusė lygi aukščiui, tai yra 16 cm. Belieka apskaičiuoti trikampio ir stačiakampio plotą ir pridėti gautas reikšmes.
Stačiakampio plotas lygus pusei jo kojų sandaugos: S = (16*16)/2 = 128. Stačiakampio plotas lygus jo pločio ir ilgio sandaugai: S = 20*16 = 320. Radome reikiamą: trapecijos plotas S = 128 + 320 = 448 kv. žr. Galite lengvai dar kartą patikrinti save naudodami aukščiau pateiktas formules, atsakymas bus identiškas.
Mes naudojame Pick formulę
Galiausiai pateikiame dar vieną originalią formulę, kuri padeda rasti trapecijos plotą. Ji vadinama Pick formule. Patogu naudoti, kai trapecija nupiešta ant languoto popieriaus. Panašios problemos dažnai aptinkamos GIA medžiagoje. Tai atrodo taip:
S = M/2 + N - 1,
šioje formulėje M yra mazgų skaičius, t.y. figūros linijų susikirtimo su langelio linijomis ties trapecijos ribomis (paveiksle oranžiniai taškai), N – mazgų skaičius figūros viduje (mėlyni taškai). Patogiausia jį naudoti ieškant netaisyklingo daugiakampio ploto. Tačiau kuo didesnis naudojamų technikų arsenalas, tuo mažiau klaidų ir geresni rezultatai.
Žinoma, pateikta informacija neišsemia trapecijos tipų ir savybių, taip pat jos ploto nustatymo būdų. Šiame straipsnyje apžvelgiamos svarbiausios jo savybės. Sprendžiant geometrinius uždavinius, svarbu veikti palaipsniui, pradėti nuo lengvų formulių ir uždavinių, nuosekliai įtvirtinti savo supratimą ir pereiti į kitą sudėtingumo lygį.
Surinktos dažniausiai pasitaikančios formulės padės mokiniams naršyti įvairiais būdais apskaičiuoti trapecijos plotą ir geriau pasiruošti testams bei bandymaišia tema.
Matematikoje žinomi keli keturkampių tipai: kvadratas, stačiakampis, rombas, lygiagretainis. Tarp jų yra trapecija – išgaubto keturkampio tipas, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi – ne. Lygiagrečios priešingos kraštinės vadinamos pagrindais, o kitos dvi – šoninėmis trapecijos kraštinėmis. Atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus, vadinama vidurio linija. Trapecijos yra kelių tipų: lygiašonės, stačiakampės, lenktos. Kiekvienam trapecijos tipui yra formulės, kaip rasti plotą.
Trapecijos plotas
Norėdami rasti trapecijos plotą, turite žinoti jos pagrindų ilgį ir aukštį. Trapecijos aukštis yra atkarpa, statmena pagrindams. Viršutinė bazė bus a, apatinė b, o aukštis h. Tada galite apskaičiuoti plotą S naudodami formulę:
S = ½ * (a+b) * h
tie. paimkite pusę bazių sumos, padauginto iš aukščio.
Taip pat bus galima apskaičiuoti trapecijos plotą, jei žinomas aukštis ir vidurio linija. Pažymėkime vidurio linija- m. Tada
Išspręskime sudėtingesnį uždavinį: žinomi keturių trapecijos kraštinių ilgiai - a, b, c, d. Tada plotas bus rastas naudojant formulę:
Jei žinomi įstrižainių ilgiai ir kampas tarp jų, tada sritis ieškoma taip:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
kur d su indeksais 1 ir 2 yra įstrižainės. Šioje formulėje skaičiuojant pateikiamas kampo sinusas.
Atsižvelgiant į žinomus pagrindų a ir b ilgius ir du kampus apatiniame pagrinde, plotas apskaičiuojamas taip:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))
Lygiašonės trapecijos plotas
Lygiašonė trapecija yra ypatingas trapecijos atvejis. Jo skirtumas tas, kad tokia trapecija yra išgaubtas keturkampis, kurio simetrijos ašis eina per dviejų priešingų kraštinių vidurio taškus. Jo pusės yra lygios.
Yra keletas būdų, kaip rasti lygiašonės trapecijos plotą.
- Per trijų pusių ilgius. Tokiu atveju kraštinių ilgiai sutaps, todėl jie žymimi viena reikšme - c, o a ir b - pagrindų ilgiais:
- Jei žinomas viršutinio pagrindo ilgis, šonas ir kampas ties apatiniu pagrindu, tada plotas apskaičiuojamas taip:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
kur a yra viršutinis pagrindas, c yra šonas.
- Jei vietoj viršutinio pagrindo žinomas apatinio ilgis - b, plotas apskaičiuojamas pagal formulę:
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Jei žinomi du pagrindai ir kampas prie apatinio pagrindo, plotas apskaičiuojamas pagal kampo liestinę:
S = ½ * (b2 – a2) * tan α
- Plotas taip pat apskaičiuojamas per įstrižaines ir kampą tarp jų. Šiuo atveju įstrižainės yra vienodo ilgio, todėl kiekvieną žymime raide d be apatinių indeksų:
S = ½ * d2 * sin α
- Apskaičiuokime trapecijos plotą, žinodami kraštinės ilgį, vidurio liniją ir kampą prie apatinio pagrindo.
Tegul šoninė kraštinė yra c, vidurinė linija yra m, o kampas yra a, tada:
S = m * c * sin α
Kartais į lygiakraštę trapeciją galima įbrėžti apskritimą, kurio spindulys bus r.
Žinoma, kad į bet kurią trapeciją galima įbrėžti apskritimą, jei pagrindų ilgių suma lygi jo kraštinių ilgių sumai. Tada plotą galima rasti per įrašyto apskritimo spindulį ir kampą prie apatinio pagrindo:
S = 4r2 / sin α
Tas pats skaičiavimas atliekamas naudojant įbrėžto apskritimo skersmenį D (beje, jis sutampa su trapecijos aukščiu):
Žinant pagrindą ir kampą, lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip:
S = a * b / sin α
(ši ir tolesnės formulės galioja tik trapecijoms su įbrėžtu apskritimu).
Naudojant apskritimo pagrindus ir spindulį, plotas randamas taip:
Jei žinomos tik bazės, tada plotas apskaičiuojamas pagal formulę:
Per pagrindus ir šoninę liniją trapecijos plotas su įrašytu apskritimu ir per pagrindus bei vidurinę liniją - m apskaičiuojamas taip:
Stačiakampės trapecijos plotas
Trapecija vadinama stačiakampe, jei viena iš jos kraštinių yra statmena pagrindui. Šiuo atveju kraštinės ilgis sutampa su trapecijos aukščiu.
Stačiakampę trapeciją sudaro kvadratas ir trikampis. Suradę kiekvienos figūros plotą, sudėkite rezultatus ir gaukite bendrą figūros plotą.
Taip pat tinka stačiakampės trapecijos plotui apskaičiuoti bendrosios formulės apskaičiuoti trapecijos plotą.
- Jei žinomi pagrindų ilgiai ir aukštis (arba statmena kraštinė), tada plotas apskaičiuojamas pagal formulę:
S = (a + b) * h / 2
Šoninė pusė c gali veikti kaip h (aukštis). Tada formulė atrodo taip:
S = (a + b) * c / 2
- Kitas būdas apskaičiuoti plotą yra padauginti vidurio linijos ilgį iš aukščio:
arba pagal šoninės statmenos kraštinės ilgį:
- Kitas skaičiavimo būdas yra pusė įstrižainių sandaugos ir kampo tarp jų sinuso:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Jei įstrižainės yra statmenos, formulė supaprastinama taip:
S = ½ * d1 * d2
- Kitas būdas apskaičiuoti yra per pusperimetrą (dviejų priešingų kraštinių ilgių sumą) ir įbrėžto apskritimo spindulį.
Ši formulė galioja bazėms. Jei imsime kraštinių ilgius, tada vienas iš jų bus lygus dvigubam spinduliui. Formulė atrodys taip:
S = (2r + c) * r
- Jei į trapeciją įrašytas apskritimas, tada plotas apskaičiuojamas taip pat:
kur m yra vidurio linijos ilgis.
Išlenktos trapecijos plotas
Išlenkta trapecija yra plokščia figūra, apribotas neneigiamos tolydžios funkcijos y = f(x), apibrėžtos atkarpoje , abscisių ašies ir tiesių x = a, x = b grafiku. Iš esmės dvi jos kraštinės yra lygiagrečios viena kitai (pagrindai), trečioji yra statmena pagrindams, o ketvirtoji yra kreivė, atitinkanti funkcijos grafiką.
Kvadratas lenkta trapecija ieškokite integralo naudodami Niutono-Leibnizo formulę:
Taip skaičiuojami plotai įvairių tipų trapecijos formos. Tačiau, be šonų savybių, trapecijos turi tas pačias kampų savybes. Kaip ir visų esamų keturkampių, trapecijos vidinių kampų suma yra 360 laipsnių. O kampų, esančių šalia šono, suma yra 180 laipsnių.
Praėjusių metų Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino praktika rodo, kad geometrijos problemos daugeliui moksleivių kelia sunkumų. Su jais nesunkiai susidorosite, jei įsiminsite visas reikalingas formules ir pasimokysite spręsti problemas.
Šiame straipsnyje pamatysite formules, kaip rasti trapecijos plotą, taip pat problemų su sprendimų pavyzdžius. Su tais pačiais KIM galite susidurti per sertifikavimo egzaminus arba olimpiadose. Todėl elkitės su jais atsargiai.
Ką reikia žinoti apie trapeciją?
Pirmiausia prisiminkime tai trapecijos formos vadinamas keturkampiu, kurio dvi priešingos kraštinės, dar vadinamos bazėmis, yra lygiagrečios, o kitos dvi – ne.
Trapecijoje aukštis (statmenai pagrindui) taip pat gali būti sumažintas. Nubrėžta vidurinė linija - tai tiesi linija, lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos. Taip pat įstrižainės, kurios gali susikirsti, sudarydamos smailius ir bukus kampus. Arba kai kuriais atvejais stačiu kampu. Be to, jei trapecija lygiašonė, į ją galima įrašyti apskritimą. Ir apibūdinkite ratą aplink jį.
Trapecijos plotų formulės
Pirmiausia pažvelkime į standartines trapecijos ploto nustatymo formules. Toliau apsvarstysime būdus, kaip apskaičiuoti lygiašonių ir kreivių trapecijos plotą.
Taigi įsivaizduokite, kad turite trapeciją su pagrindais a ir b, kurios aukštis h nuleistas į didesnį pagrindą. Apskaičiuoti figūros plotą šiuo atveju taip pat lengva, kaip kriaušių lukštenimą. Jums tereikia padalyti pagrindų ilgių sumą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš aukščio: S = 1/2(a + b)*h.
Paimkime kitą atvejį: tarkime, kad trapecijoje, be aukščio, yra vidurinė linija m. Žinome vidurio linijos ilgio nustatymo formulę: m = 1/2(a + b). Todėl mes galime teisėtai supaprastinti trapecijos ploto formulę iki šios formos: S = m* h. Kitaip tariant, norėdami rasti trapecijos plotą, turite padauginti vidurio liniją iš aukščio.
Panagrinėkime kitą variantą: trapecijoje yra įstrižainės d 1 ir d 2, kurios nesikerta stačiu kampu α. Norėdami apskaičiuoti tokios trapecijos plotą, turite padalyti įstrižainių sandaugą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš kampo tarp jų nuodėmės: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Dabar apsvarstykite trapecijos ploto nustatymo formulę, jei apie ją nieko nežinoma, išskyrus visų jos kraštinių ilgius: a, b, c ir d. Tai sudėtinga ir sudėtinga formulė, tačiau jums bus naudinga ją prisiminti bet kuriuo atveju: S = 1/2 (a + b) * √c 2 – ((1/2 (b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Beje, aukščiau pateikti pavyzdžiai tinka ir tuo atveju, kai reikia stačiakampės trapecijos ploto formulės. Tai trapecija, kurios šonas stačiu kampu ribojasi su pagrindais.
Lygiašonė trapecija
Trapecija, kurios kraštinės lygios, vadinama lygiašone. Apsvarstysime keletą lygiašonės trapecijos ploto formulės variantų.
Pirmas variantas: tuo atveju, kai apskritimas, kurio spindulys r, yra įrašytas lygiašonės trapecijos viduje, o kraštinė ir didesnis pagrindas sudaro smailią kampą α. Į trapeciją galima įrašyti apskritimą, jei jo pagrindų ilgių suma yra lygi kraštinių ilgių sumai.
Lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip: įbrėžto apskritimo spindulio kvadratą padauginkite iš keturių ir viską padalinkite iš sinα: S = 4r 2 /sinα. Kita ploto formulė yra specialus atvejis, kai kampas tarp didelio pagrindo ir šono yra 30 0: S = 8r2.
Antras variantas: šį kartą imame lygiašonę trapeciją, kurioje papildomai nubrėžtos įstrižainės d 1 ir d 2 bei aukštis h. Jei trapecijos įstrižainės yra viena kitai statmenos, aukštis yra pusė pagrindų sumos: h = 1/2(a + b). Tai žinant, jums jau žinomą trapecijos ploto formulę nesunku paversti šia forma: S = h 2.
Išlenktos trapecijos ploto formulė
Pradėkime nuo to, kad išsiaiškinkime, kas yra išlenkta trapecija. Įsivaizduokite koordinačių ašį ir ištisinės ir neneigiamos funkcijos f, kuri nekeičia ženklo x ašies atkarpoje, koordinačių ašį. Kreivinę trapeciją sudaro funkcijos y = f(x) grafikas - viršuje, x ašis yra apačioje (segmentas), o šonuose - tiesios linijos, nubrėžtos tarp taškų a ir b ir grafikas funkcija.
Neįmanoma apskaičiuoti tokios nestandartinės figūros ploto aukščiau pateiktais metodais. Čia reikia kreiptis matematinė analizė ir naudokite integralą. Būtent: Niutono-Leibnizo formulė - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Šioje formulėje F yra mūsų funkcijos pasirinktame segmente antidarinys. O kreivinės trapecijos plotas atitinka tam tikro segmento antidarinio prieaugį.
Pavyzdinės problemos
Kad visos šios formulės būtų lengviau suprantamos jūsų galvoje, pateikiame keletą problemų, susijusių su trapecijos ploto paieška. Geriausia bus, jei iš pradžių problemas bandysite išspręsti patys, o tik tada gautą atsakymą palyginsite su jau paruoštu sprendimu.
1 užduotis: Duota trapecija. Jo didesnis pagrindas 11 cm, mažesnis 4 cm. Trapecija turi įstrižaines, viena 12 cm ilgio, antra 9 cm.
Sprendimas: Sukurkite trapeciją AMRS. Per viršūnę P nubrėžkite tiesę РХ taip, kad ji būtų lygiagreti įstrižai MC ir kerta tiesę AC taške X. Gausite trikampį APХ.
Apsvarstysime dvi figūras, gautas atlikus šias manipuliacijas: trikampį APX ir lygiagretainį CMRX.
Lygiagretainio dėka sužinome, kad PX = MC = 12 cm ir CX = MR = 4 cm. Iš kur galime apskaičiuoti trikampio ARX kraštinę AX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Taip pat galime įrodyti, kad trikampis APX yra stačiakampis (tam taikykite Pitagoro teoremą – AX 2 = AP 2 + PX 2). Ir apskaičiuokite jo plotą: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.
Tada turėsite įrodyti, kad trikampiai AMP ir PCX yra vienodi. Pagrindas bus šalių MR ir CX lygybė (jau įrodyta aukščiau). Taip pat aukščiai, kuriuos nuleidžiate šiose pusėse – jie lygūs AMRS trapecijos aukščiui.
Visa tai leis jums pasakyti, kad S AMPC = S APX = 54 cm 2.
2 užduotis: Pateikta trapecija KRMS. Jo šoninėse pusėse yra taškai O ir E, o OE ir KS yra lygiagrečiai. Taip pat žinoma, kad trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5. RM = a ir KS = b. Turite rasti OE.
Sprendimas: Nubrėžkite tiesę, lygiagrečią RK per tašką M, o jos susikirtimo su OE tašką pažymėkite kaip T. A yra per tašką E nubrėžtos linijos, lygiagrečios RK, susikirtimo taškas su pagrindu KS.
Įveskime dar vieną žymėjimą – OE = x. Taip pat aukštis h 1 trikampiui TME ir aukštis h 2 trikampiui AEC (galite savarankiškai įrodyti šių trikampių panašumą).
Darysime prielaidą, kad b > a. Trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5, o tai suteikia teisę sudaryti tokią lygtį: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformuokime ir gausime: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Kadangi trikampiai TME ir AEC yra panašūs, turime h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Sujungkime abu įrašus ir gaukime: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Taigi OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Išvada
Geometrija nėra pats lengviausias mokslas, bet jūs tikrai galite susidoroti su egzamino klausimais. Pakanka parodyti šiek tiek atkaklumo ruošiantis. Ir, žinoma, atsiminkite visas reikalingas formules.
Visas trapecijos ploto skaičiavimo formules stengėmės surinkti į vieną vietą, kad galėtumėte jas panaudoti ruošdamiesi egzaminams ir peržiūrėdami medžiagą.
Būtinai pasakykite apie šį straipsnį savo klasės draugams ir draugams. socialiniuose tinkluose. Leisti geri pažymiai bus daugiau vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino testo!
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
Panašūs straipsniai
