Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą
Pereikime prie integralinio skaičiavimo taikymo. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį – kaip naudoti apibrėžtąjį integralą plokštumos figūros plotui apskaičiuoti. Pagaliau ieškome prasmės aukštoji matematika- Tegul jie jį suranda. Niekada nežinai. Mes turėsime tai priartinti gyvenime kaimo kotedžų rajonas elementariąsias funkcijas ir suraskite jos plotą naudodami apibrėžtąjį integralą.
Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:
1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent jau tarpiniu lygiu. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.
2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir skaičiuoti apibrėžtasis integralas. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.
Tiesą sakant, norint rasti figūros plotą, jums nereikia tiek daug žinių apie neapibrėžtą ir apibrėžtą integralą. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio sudarymą, daug daugiau aktuali tema bus jūsų žinios ir gebėjimai piešti. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti atmintį apie pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikus ir bent jau turėti galimybę sukurti tiesę, parabolę ir hiperbolę. Tai galima padaryti (daugeliui tai būtina) naudojant metodinė medžiaga ir straipsniai apie geometrines grafų transformacijas.
Tiesą sakant, visi yra susipažinę su užduotimi rasti sritį naudojant apibrėžtąjį integralą nuo mokyklos laikų, ir mes daug toliau neisime. mokyklos mokymo programa. Šio straipsnio galėjo ir nebūti, bet faktas yra tas, kad problema iškyla 99 atvejais iš 100, kai studentas kenčia nuo nekenčiamos mokyklos ir entuziastingai įsisavina aukštosios matematikos kursą.
Šio seminaro medžiaga pateikiama paprastai, išsamiai ir turint minimalų teoriją.
Pradėkime nuo lenktos trapecijos.
Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, kurią riboja ašis, tiesės ir funkcijos grafikas, ištisinis intervale, kuris nekeičia ženklo šiame intervale. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne mažiau x ašis:
Tada kreivinės trapecijos plotas skaičiais lygus apibrėžtajam integralui. Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai Sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.
Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą. Integrandas apibrėžia kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali piešti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.
1 pavyzdys
Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas yra brėžinio konstravimas. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.
Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Pelningiau kurti funkcijų grafikus taškas po taško, taško po taško konstravimo techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.
Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Nubraižykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):
Išlenktos trapecijos neperėsiu, čia aišku koks plotas mes kalbame apie. Sprendimas tęsiasi taip:
Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:
Atsakymas:
Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę 
, skaitykite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.
Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. IN tokiu atveju„iš akies“ suskaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.
2 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, , ir ašimi, plotą
Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi?
3 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.
Sprendimas: Padarykime piešinį: 
Jeigu išsidėsčiusi lenkta trapecija po ašimi(ar bent jau ne aukščiau nurodyta ašis), tada jos plotą galima rasti naudojant formulę:
Tokiu atveju: 
Dėmesio! Nereikėtų painioti dviejų tipų užduočių:
1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.
2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.
Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumoje, todėl nuo paprasčiausių mokyklos uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.
4 pavyzdys
Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis , plotą.
Sprendimas: Pirmiausia turite užbaigti piešinį. Paprastai tariant, brėžinį konstruojant plotų uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:
Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba yra , viršutinė integracijos riba yra .
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..
Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Įvairių grafikų taškinio konstravimo technika išsamiai aptariama žinyne Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis dar kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.
Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį: 
Kartoju, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.
O dabar darbo formulė: Jei segmente yra kokia nors ištisinė funkcija didesnis arba lygus tam tikrą ištisinę funkciją , tada figūros plotą, kurį riboja šių funkcijų grafikai ir linijos , galima rasti naudojant formulę: 
Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.
Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš
Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:
Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.
Segmente pagal atitinkamą formulę:
Atsakymas:
Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) yra specialus formulės atvejis. 
. Kadangi ašis nurodoma lygtimi, o funkcijos grafikas yra ne aukščiau tada kirvius 
O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui
5 pavyzdys
6 pavyzdys
Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , .
Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl neatsargumo... rastas netinkamos figūros plotas, būtent taip jūsų nuolankus tarnas kelis kartus suklydo. Štai realus atvejis:
7 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .
Sprendimas: Pirmiausia nupieškime: 
...Ech, piešinys išėjo mėšlas, bet viskas lyg ir įskaitoma.
Figūra, kurios sritį turime rasti, yra nuspalvinta mėlynai(atidžiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai iškyla „gedimas“, kai reikia rasti užtamsintos figūros plotą. žalias!
Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:
1) Atkarpoje virš ašies yra tiesės grafikas;
2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.
Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:
Atsakymas:
Pereikime prie kitos prasmingos užduoties.
8 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pateikime lygtis „mokykloje“ ir nubrėžkime tašką po taško: 
Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: .
Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra? Gal būt ? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali pasirodyti, kad... Arba šaknis. Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?
Tokiais atvejais tenka skirti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.
Raskime tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį: 
,
Tikrai,.
Tolesnis sprendimas yra trivialus, svarbiausia nesusipainioti su pakeitimais ir ženklais, čia skaičiavimai nėra patys paprasčiausi.
Ant segmento 
, pagal atitinkamą formulę: 
Atsakymas: 
Na, o pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.
9 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos, ,
Sprendimas: Pavaizduokime šią figūrą brėžinyje. 
Po velnių, pamiršau pasirašyti tvarkaraštį ir, atsiprašau, nenorėjau perdaryti nuotraukos. Ne piešimo diena, trumpai tariant, šiandien tokia diena =)
Norėdami sukurti tašką po taško, turite žinoti išvaizda sinusoidų (ir paprastai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas galima rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.
Čia nėra problemų dėl integravimo ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:
Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl:
A)
Sprendimas.
Pirmas ir svarbiausias sprendimo punktas yra brėžinio konstrukcija.
Padarykime piešinį:
Lygtis y=0 nustato „x“ ašį;
- x=-2 Ir x=1 - tiesus, lygiagretus ašiai OU;
- y = x 2 + 2 - parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, kurios viršūnė yra taške (0;2).
komentuoti. Parabolei sukonstruoti pakanka rasti jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus, t.y. dėjimas x=0 rasti sankirtą su ašimi OU ir išspręsdami atitinkamą kvadratinę lygtį, raskite sankirtą su ašimi Oi .
Parabolės viršūnę galima rasti naudojant formules: 
Taip pat galite kurti linijas taškas po taško.
Intervale [-2;1] funkcijos grafikas y=x 2 +2 esančios virš ašies Jautis , Štai kodėl:
Atsakymas: S =9 kv.vnt
Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.
Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi Oi?
b) Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y=-e x , x=1 ir koordinačių ašys.
Sprendimas.
Padarykime piešinį.
Jei lenkta trapecija visiškai išsidėstę po ašimi Oi , tada jo plotą galima rasti naudojant formulę:
Atsakymas: S=(e-1) kv.vnt.“ 1,72 kv.vnt
Dėmesio! Nereikėtų painioti dviejų tipų užduočių:
1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.
2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.
Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusiau plokštumoje.
Su) Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y = 2x-x 2, y = -x.
Sprendimas.
Pirmiausia reikia užbaigti piešinį. Paprastai tariant, brėžinį konstruojant plotų uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės susikirtimo taškus 
ir tiesiai 
Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis.
Išsprendžiame lygtį:
Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba a=0 , viršutinė integracijos riba b = 3 .
|
Nutiesiame duotas tieses: 1. Parabolė - viršūnė taške (1;1); ašies susikirtimo Oi - taškais (0;0) ir (0;2). 2. Tiesi linija – 2 ir 4 koordinačių kampų pusiausvyra. O dabar Dėmesio! Jei segmente [ a;b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus kokiai nors ištisinei funkcijai g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti naudojant formulę: Ir nesvarbu, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, bet svarbu tai, kuris grafikas yra AUKŠTESNIS (kito grafiko atžvilgiu), o kuris yra PO. Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš |
.Galite statyti linijas taškas po taško, o integracijos ribos tampa aiškios „pačios“. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios).
Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.
Ant segmento 
, pagal atitinkamą formulę:
Atsakymas: S =4,5 kv
Pereikime prie integralinio skaičiavimo taikymo. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį plokštumos figūros ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą. Galiausiai, tegul ją randa visi tie, kurie ieško prasmės aukštojoje matematikoje. Niekada nežinai. Realiame gyvenime turėsite apytiksliai apskaičiuoti vasarnamio sklypą naudodami elementarias funkcijas ir rasti jo plotą naudodami apibrėžtą integralą.
Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:
1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent jau tarpiniu lygiu. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.
2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio sudarymą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai taip pat bus aktualus klausimas. Bent jau turite mokėti sukurti tiesią liniją, parabolę ir hiperbolę.
Pradėkime nuo lenktos trapecijos. Išlenkta trapecija yra plokščia figūra, apribota kokios nors funkcijos grafiku y = f(x), ašis JAUTIS ir linijos x = a; x = b.
Kreivinės trapecijos plotas skaitine prasme lygus apibrėžtajam integralui
Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai sakėme, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS. Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą
Integrand
apibrėžia kreivę plokštumoje (jei pageidaujama, ją galima nubrėžti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.
1 pavyzdys
, , , .
Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Svarbiausias punktas sprendimai – piešimas. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.
Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Konstravimo taškas po taško techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.
Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Padarykime piešinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis y= 0 nurodo ašį JAUTIS):
Išlenktos trapecijos neužtemdysime, čia akivaizdu, apie kokią sritį kalbame. Sprendimas tęsiasi taip:
Atkarpoje [-2; 1] funkcijų grafikas y = x 2 + 2 yra virš ašiesJAUTIS, Štai kodėl:
Atsakymas: .
Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę
,
kreiptis į paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai. Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Šiuo atveju brėžinyje esančių langelių skaičių skaičiuojame „iš akies“ - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.
2 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą xy = 4, x = 2, x= 4 ir ašis JAUTIS.
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimiJAUTIS?
3 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y = e-x, x= 1 ir koordinačių ašys.
Sprendimas: Padarykime piešinį:
Jei lenkta trapecija visiškai išsidėstę po ašimi JAUTIS , tada jo plotą galima rasti naudojant formulę:
Tokiu atveju:
.
Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:
1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.
2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.
Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumoje, todėl nuo paprasčiausių mokyklos uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.
4 pavyzdys
Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y = 2x – x 2 , y = -x.
Sprendimas: Pirmiausia turite padaryti piešinį. Konstruojant brėžinį ploto uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės susikirtimo taškus y = 2x – x 2 ir tiesiai y = -x. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:
Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba a= 0, viršutinė integravimo riba b= 3. Dažnai pelningiau ir greičiau konstruoti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:
Pakartokime, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai nustatomos „automatiškai“.
O dabar darbo formulė:
Jei segmente [ a; b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus tam tikra nuolatinė funkcija g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti naudojant formulę:
Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, bet svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.
Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl nuo 2 x – x 2 reikia atimti - x.
Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:
Norimą figūrą riboja parabolė y = 2x – x 2 viršuje ir tiesiai y = -xžemiau.
2 segmente x – x 2 ≥ -x. Pagal atitinkamą formulę:
Atsakymas: .
Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos apatinėje pusplokštumoje (žr. 3 pavyzdį) yra specialus formulės atvejis.
.
Kadangi ašis JAUTIS pateikta lygtimi y= 0, ir funkcijos grafikas g(x), esantis žemiau ašies JAUTIS, Tai
.
O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui
5 pavyzdys
6 pavyzdys
Raskite figūros, apribotos linijomis, plotą
Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl neatsargumo... Buvo rastas netinkamos figūros plotas.
7 pavyzdys
Pirmiausia padarykime piešinį:
Figūra, kurios sritį turime rasti, yra nuspalvinta mėlynai(atidžiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatsargumo žmonės dažnai nusprendžia, kad reikia rasti figūros plotą, nuspalvintą žaliai!
Šis pavyzdys taip pat naudingas, nes jis apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:
1) Atkarpoje [-1; 1] virš ašies JAUTIS grafikas yra tiesiai y = x+1;
2) Atkarpoje virš ašies JAUTIS yra hiperbolės grafikas y = (2/x).
Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:
Atsakymas:
8 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą
Pateikime lygtis „mokyklos“ forma
ir nupieškite tašką po taško:
Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: b = 1.
Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra?
Gal būt, a=(-1/3)? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali taip pasirodyti a=(-1/4). Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?
Tokiais atvejais tenka skirti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.
Raskime grafikų susikirtimo taškus
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:
.
Vadinasi, a=(-1/3).
Tolesnis sprendimas yra trivialus. Svarbiausia nepainioti keitimų ir ženklų. Čia atlikti skaičiavimai nėra patys paprasčiausi. Ant segmento
, 
,
pagal atitinkamą formulę:
Atsakymas: 
Pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.
9 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą
Sprendimas: pavaizduokime šią figūrą brėžinyje.
Norėdami sukurti taškinį brėžinį, turite žinoti sinusoidės išvaizdą. Apskritai pravartu žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikus, taip pat kai kurias sinusines reikšmes. Juos galima rasti verčių lentelėje trigonometrinės funkcijos. Kai kuriais atvejais (pavyzdžiui, šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.
Čia nėra problemų dėl integracijos ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos:
– „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:
Atkarpoje – funkcijos grafikas y= nuodėmė 3 x esantis virš ašies JAUTIS, Štai kodėl:
(1) Pamokoje galite pamatyti, kaip sinusai ir kosinusai integruojami į nelygines galias Trigonometrinių funkcijų integralai. Nuskabome vieną sinusą.
(2) Formoje naudojame pagrindinę trigonometrinę tapatybę
(3) Pakeiskime kintamąjį t= cos x, tada: yra virš ašies, todėl:
.
.
Pastaba: atkreipkite dėmesį, kaip imamas liestinės kubo integralas; čia naudojama pagrindinės trigonometrinės tapatybės pasekmė
.
1 problema(apie kreivosios trapecijos ploto apskaičiavimą).
Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje xOy pateikiama figūra (žr. pav.), kurią riboja x ašis, tiesės x = a, x = b (a – kreivinė trapecija. Reikia apskaičiuoti kreivės plotą trapecijos formos.
Sprendimas. Geometrija pateikia receptus, kaip apskaičiuoti daugiakampių ir kai kurių apskritimo dalių (sektoriaus, atkarpos) plotus. Remdamiesi geometriniais svarstymais, galime rasti tik apytikslę reikiamo ploto reikšmę, argumentuodami taip.
Padalinkime atkarpą [a; b] (kreivosios trapecijos pagrindas) į n lygių dalių; šis padalijimas atliekamas naudojant taškus x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Per šiuos taškus nubrėžkime tiesias linijas, lygiagrečias y ašiai. Tada duotoji kreivinė trapecija bus padalinta į n dalių, į n siaurų stulpelių. Visos trapecijos plotas lygus stulpelių plotų sumai.
Atskirai panagrinėkime k-tą stulpelį, t.y. lenkta trapecija, kurios pagrindas yra atkarpa. Pakeiskime jį stačiakampiu, kurio pagrindas ir aukštis lygus f(x k) (žr. pav.). Stačiakampio plotas lygus \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kur \(\Delta x_k \) yra atkarpos ilgis; Natūralu gautą produktą laikyti apytiksle k-ojo stulpelio ploto verte. 
Jei dabar darysime tą patį su visais kitais stulpeliais, gautume tokį rezultatą: tam tikros kreivinės trapecijos plotas S yra maždaug lygus laiptuotos figūros, sudarytos iš n stačiakampių, plotui S n (žr. pav.):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \taškai + f(x_k)\Delta x_k + \taškai + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Čia, dėl žymėjimo vienodumo, darome prielaidą, kad a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - atkarpos ilgis, \(\Delta x_1 \) - atkarpos ilgis ir kt.; šiuo atveju, kaip susitarėme aukščiau, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Taigi, \(S \approx S_n \), ir ši apytikslė lygybė yra tikslesnė, tuo didesnė n.
Pagal apibrėžimą manoma, kad reikalingas kreivinės trapecijos plotas yra lygus sekos ribai (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
2 problema(apie taško perkėlimą)
Materialus taškas juda tiesia linija. Greičio priklausomybė nuo laiko išreiškiama formule v = v(t). Raskite taško judėjimą per tam tikrą laikotarpį [a; b].
Sprendimas. Jeigu judėjimas būtų tolygus, tai uždavinys būtų išspręstas labai paprastai: s = vt, t.y. s = v(b-a). Norėdami judėti netolygiai, turite naudoti tas pačias idėjas, kuriomis buvo grindžiamas ankstesnės problemos sprendimas.
1) Padalinkite laiko intervalą [a; b] į n lygias dalis.
2) Apsvarstykite laikotarpį ir manykite, kad per šį laikotarpį greitis buvo pastovus, toks pat kaip ir momentu t k. Taigi darome prielaidą, kad v = v(t k).
3) Raskime apytikslę taško judėjimo per tam tikrą laikotarpį reikšmę; šią apytikslę reikšmę pažymėsime s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Raskite apytikslę poslinkio s reikšmę:
\(s \approx S_n \) kur
\(S_n = s_0 + \taškai + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \taškai + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Reikalingas poslinkis yra lygus sekos ribai (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Apibendrinkime. Įvairių problemų sprendimai buvo sumažinti iki to paties matematinio modelio. Daugelis įvairių mokslo ir technologijų sričių problemų lemia tą patį modelį sprendimo procese. Tai reiškia, kad šis matematinis modelis turi būti specialiai ištirtas.
Apibrėžtinio integralo sąvoka
Pateiksime matematinį modelio, kuris buvo pastatytas trijose nagrinėjamose funkcijos y = f(x), tolydžios (bet nebūtinai neneigiamos, kaip buvo manoma nagrinėjamuose uždaviniuose) uždaviniuose intervale [a; b]:
1) padalinti atkarpą [a; b] į n lygių dalių;
2) sudarykite sumą $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) apskaičiuokite $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Aš žinau matematinė analizė buvo įrodyta, kad ši riba egzistuoja tolydžios (arba dalimis tolydžios) funkcijos atveju. Jis vadinamas tam tikras funkcijos y = f(x) integralas virš atkarpos [a; b] ir žymimas taip:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Skaičiai a ir b vadinami integracijos ribomis (atitinkamai apatine ir viršutine).
Grįžkime prie aukščiau aptartų užduočių. 1 uždavinyje pateiktą srities apibrėžimą dabar galima perrašyti taip:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
čia S yra išlenktos trapecijos plotas, parodytas aukščiau esančiame paveikslėlyje. Tai yra geometrinė apibrėžtojo integralo reikšmė.
2 uždavinyje pateiktą taško, judančio tiesia linija greičiu v = v(t), poslinkio s apibrėžimą, pateiktą 2 užduotyje, galima perrašyti taip:
Niutono-Leibnizo formulė
Pirmiausia atsakykime į klausimą: koks ryšys tarp apibrėžtojo integralo ir antidarinio?
Atsakymą galima rasti 2 uždavinyje. Viena vertus, taško, judančio tiesia linija greičiu v = v(t), poslinkis s per laikotarpį nuo t = a iki t = b apskaičiuojamas taip: formulę
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Kita vertus, judančio taško koordinatė yra greičio antidarinė – pažymėkime ją s(t); tai reiškia, kad poslinkis s išreiškiamas formule s = s(b) - s(a). Rezultate gauname:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kur s(t) yra v(t) antidarinys.
Matematinės analizės metu buvo įrodyta tokia teorema.
Teorema. Jei funkcija y = f(x) yra tolydi intervale [a; b], tada formulė galioja
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kur F(x) yra f(x) antidarinė.
Pateikta formulė paprastai vadinama Niutono-Leibnizo formulė anglų fiziko Izaoko Niutono (1643-1727) ir vokiečių filosofo Gotfrydo Leibnizo (1646-1716) garbei, kurie jį gavo nepriklausomai vienas nuo kito ir beveik vienu metu.
Praktikoje vietoj F(b) - F(a) rašymo jie naudoja žymėjimą \(\left. F(x)\right|_a^b \) (ji kartais vadinama dvigubas pakeitimas) ir atitinkamai perrašykite Niutono-Leibnizo formulę tokia forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Skaičiuodami apibrėžtąjį integralą, pirmiausia suraskite antidarinį, o tada atlikite dvigubą keitimą.
Remdamiesi Niutono-Leibnizo formule, galime gauti dvi apibrėžtojo integralo savybes.
1 nuosavybė. Funkcijų sumos integralas yra lygus integralų sumai:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
2 nuosavybė. Iš integralo ženklo galima išimti pastovų koeficientą:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Plokštumos figūrų plotų apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą
Naudodami integralą galite apskaičiuoti ne tik lenktų trapecijų, bet ir sudėtingesnio tipo plokštumų figūrų, pavyzdžiui, pavaizduotų paveikslėlyje, plotus. Paveikslas P ribojamas tiesėmis x = a, x = b ir ištisinių funkcijų grafikais y = f(x), y = g(x), o atkarpoje [a; b] galioja nelygybė \(g(x) \leq f(x) \). Norėdami apskaičiuoti tokios figūros plotą S, atliksime šiuos veiksmus:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Taigi, figūros plotas S, apribotas tiesių linijų x = a, x = b ir funkcijų y = f(x), y = g(x) grafikais, ištisinis atkarpoje ir toks, kad bet kuriam x iš atkarpos [a; b] tenkinama nelygybė \(g(x) \leq f(x) \), apskaičiuota pagal formulę
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Kai kurių funkcijų neapibrėžtųjų integralų (antidarinių) lentelė
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \tekstas(arctg) x +C $$ $$ \int \tekstas(ch) x dx = \tekstas(sh) x +C $$ $$ \int \tekstas(sh) x dx = \tekstas(ch ) x +C $$Ankstesniame skyriuje, skirtame apibrėžtojo integralo geometrinės reikšmės analizei, gavome daugybę kreivinės trapecijos ploto skaičiavimo formulių:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x ištisinei ir neneigiamai funkcijai y = f (x) intervale [ a ; b ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x ištisinei ir neteigiamai funkcijai y = f (x) intervale [ a ; b ].
Šios formulės pritaikomos sprendžiant gana paprastas problemas. Iš tikrųjų dažnai turėsime dirbti su sudėtingesnėmis figūromis. Šiuo atžvilgiu šį skyrių skirsime algoritmų, skirtų apskaičiuoti figūrų plotą, kurį riboja funkcijos aiškiai išreikšta forma, t.y. kaip y = f(x) arba x = g(y).
TeoremaTegul funkcijos y = f 1 (x) ir y = f 2 (x) yra apibrėžtos ir tolydžios intervale [ a ; b ] ir f 1 (x) ≤ f 2 (x) bet kuriai x vertei iš [ a ; b ]. Tada figūros G ploto, apriboto tiesėmis x = a, x = b, y = f 1 (x) ir y = f 2 (x), apskaičiavimo formulė atrodys taip S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Panaši formulė bus taikoma ir figūros plotui, kurį riboja tiesės y = c, y = d, x = g 1 (y) ir x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Įrodymas
Pažvelkime į tris atvejus, kuriems formulė galios.
Pirmuoju atveju, atsižvelgiant į ploto adityvumo savybę, pradinės figūros G ir kreivinės trapecijos G 1 plotų suma yra lygi figūros G 2 plotui. Tai reiškia kad
Todėl S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Paskutinį perėjimą galime atlikti naudodami trečiąją apibrėžtojo integralo savybę.
Antruoju atveju lygybė yra teisinga: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafinė iliustracija atrodys taip:
Jei abi funkcijos yra neteigiamos, gauname: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafinė iliustracija atrodys taip:
Pereikime prie bendrojo atvejo, kai y = f 1 (x) ir y = f 2 (x) kerta O x ašį.
Susikirtimo taškus pažymime x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Šie taškai padalija atkarpą [a; b ] į n dalių x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, kur α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Vadinasi,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Paskutinį perėjimą galime atlikti naudodami penktąją apibrėžtojo integralo savybę.
Pavaizduokime bendrą atvejį grafike.
Formulė S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x gali būti laikoma įrodyta.
Dabar pereikime prie figūrų, kurias riboja linijos y = f (x) ir x = g (y), ploto apskaičiavimo pavyzdžių analizės.
Bet kurio iš pavyzdžių svarstymą pradėsime sudarydami grafiką. Vaizdas leis mums pavaizduoti sudėtingas figūras kaip daugiau sąjungas paprastos figūros. Jei jums sunku ant jų sudaryti grafikus ir figūras, galite išstudijuoti skyrių apie pagrindines elementariąsias funkcijas, geometrinę funkcijų grafikų transformaciją, taip pat grafikų sudarymą studijuodami funkciją.
1 pavyzdys
Būtina nustatyti figūros plotą, kurį riboja parabolė y = - x 2 + 6 x - 5 ir tiesės y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Sprendimas
Nubrėžkime grafiko linijas Dekarto koordinačių sistemoje.
Ant atkarpos [ 1 ; 4 ] parabolės y = - x 2 + 6 x - 5 grafikas yra virš tiesės y = - 1 3 x - 1 2. Šiuo atžvilgiu, norėdami gauti atsakymą, naudojame anksčiau gautą formulę, taip pat apibrėžtojo integralo apskaičiavimo metodą naudojant Niutono-Leibnizo formulę:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Atsakymas: S(G) = 13
Pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį.
2 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja linijos y = x + 2, y = x, x = 7.
Sprendimas
Šiuo atveju turime tik vieną tiesę, lygiagrečią x ašiai. Tai x = 7. Tam reikia patys rasti antrąją integracijos ribą.
Sukurkime grafiką ir nubraižykime jame uždavinio teiginyje pateiktas eilutes.
Turėdami grafiką prieš akis, galime nesunkiai nustatyti, kad apatinė integravimo riba bus tiesės y = x ir pusiau parabolės y = x + 2 grafiko susikirtimo taško abscisė. Norėdami rasti abscisę, naudojame lygybes:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Pasirodo, kad susikirtimo taško abscisė yra x = 2.
Atkreipiame jūsų dėmesį į tai, kad m bendras pavyzdys brėžinyje linijos y = x + 2, y = x susikerta taške (2; 2), todėl tokie detalūs skaičiavimai gali pasirodyti nereikalingi. Tokį išsamų sprendimą čia pateikėme tik todėl, kad sudėtingesniais atvejais sprendimas gali būti ne toks akivaizdus. Tai reiškia, kad tiesių susikirtimo koordinates visada geriau skaičiuoti analitiškai.
Ant intervalo [ 2 ; 7] funkcijos y = x grafikas yra virš funkcijos y = x + 2 grafiko. Norėdami apskaičiuoti plotą, pritaikykime formulę:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Atsakymas: S (G) = 59 6
3 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja funkcijų y = 1 x ir y = - x 2 + 4 x - 2 grafikai.
Sprendimas
Nubraižykime linijas grafike.
Apibrėžkime integracijos ribas. Norėdami tai padaryti, mes nustatome linijų susikirtimo taškų koordinates, sulygindami išraiškas 1 x ir - x 2 + 4 x - 2. Jei x nėra nulis, lygybė 1 x = - x 2 + 4 x - 2 tampa lygiavertė trečiojo laipsnio lygčiai - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 su sveikaisiais koeficientais. Norėdami atnaujinti atmintį apie tokių lygčių sprendimo algoritmą, galime kreiptis į skyrių „Kubinių lygčių sprendimas“.
Šios lygties šaknis yra x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Padalinę išraišką - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 iš dvinario x - 1, gauname: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x – 1) = 0
Likusias šaknis galime rasti iš lygties x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Radome intervalą x ∈ 1; 3 + 13 2, kuriame G paveikslas yra virš mėlynos ir žemiau raudonos linijos. Tai padeda mums nustatyti figūros plotą:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Atsakymas: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
4 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja kreivės y = x 3, y = - log 2 x + 1 ir abscisių ašis.
Sprendimas
Nubraižykime visas grafiko eilutes. Funkcijos y = - log 2 x + 1 grafiką galime gauti iš grafiko y = log 2 x, jei pastatysime jį simetriškai x ašies atžvilgiu ir perkelsime vienu vienetu aukštyn. X ašies lygtis yra y = 0.
Pažymėkime tiesių susikirtimo taškus.
Kaip matyti iš paveikslo, funkcijų y = x 3 ir y = 0 grafikai susikerta taške (0; 0). Taip atsitinka todėl, kad x = 0 yra vienintelė tikroji lygties x 3 = 0 šaknis.
x = 2 yra vienintelė lygties šaknis - log 2 x + 1 = 0, todėl funkcijų y = - log 2 x + 1 ir y = 0 grafikai susikerta taške (2; 0).
x = 1 yra vienintelė lygties šaknis x 3 = - log 2 x + 1 . Šiuo atžvilgiu funkcijų y = x 3 ir y = - log 2 x + 1 grafikai susikerta taške (1; 1). Paskutinis teiginys gali būti neaiškus, tačiau lygtis x 3 = - log 2 x + 1 negali turėti daugiau nei vienos šaknies, nes funkcija y = x 3 griežtai didėja, o funkcija y = - log 2 x + 1 yra griežtai mažėja.
Tolesnis sprendimas apima keletą variantų.
1 variantas
Galime įsivaizduoti paveikslą G kaip dviejų kreivinių trapecijų, esančių virš x ašies, sumą, iš kurių pirmoji yra žemiau vidurio linija atkarpoje x ∈ 0; 1, o antrasis yra žemiau raudonos linijos atkarpoje x ∈ 1; 2. Tai reiškia, kad plotas bus lygus S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Variantas Nr.2
G paveikslą galima pavaizduoti kaip dviejų figūrų skirtumą, iš kurių pirmoji yra virš x ašies ir žemiau mėlynos linijos atkarpoje x ∈ 0; 2, o antrasis tarp raudonos ir mėlynos linijų atkarpoje x ∈ 1; 2. Tai leidžia mums rasti sritį taip:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Šiuo atveju, norėdami rasti plotą, turėsite naudoti formulę, kurios forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Tiesą sakant, figūrą ribojančios linijos gali būti pavaizduotos kaip argumento y funkcijos.
Išspręskime lygtis y = x 3 ir - log 2 x + 1 x atžvilgiu:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Gauname reikiamą plotą:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Atsakymas: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
5 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja linijos y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Sprendimas
Raudona linija braižome tiesę, apibrėžtą funkcija y = x. Liniją y = - 1 2 x + 4 nubrėžiame mėlyna spalva, o liniją y = 2 3 x - 3 juoda spalva.
Pažymėkime susikirtimo taškus.
Raskime funkcijų y = x ir y = - 1 2 x + 4 grafikų susikirtimo taškus:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Patikrinkite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ne Ar lygties sprendimas x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 yra lygties ⇒ (4; 2) susikirtimo taškas i y = x ir y = - 1 2 x sprendinys + 4
Raskime funkcijų y = x ir y = 2 3 x - 3 grafikų susikirtimo tašką:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Patikrinkite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 yra lygties ⇒ (9 ; 3) sprendinys taškas a s y = x ir y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Lygties sprendinio nėra
Raskime tiesių y = - 1 2 x + 4 ir y = 2 3 x - 3 susikirtimo tašką:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) susikirtimo taškas y = - 1 2 x + 4 ir y = 2 3 x - 3
1 metodas
Įsivaizduokime norimos figūros plotą kaip atskirų figūrų plotų sumą.
Tada figūros plotas yra:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
2 metodas
Pradinės figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip dviejų kitų figūrų suma.
Tada išsprendžiame tiesės lygtį x atžvilgiu ir tik po to pritaikome figūros ploto apskaičiavimo formulę.
y = x ⇒ x = y 2 raudona linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 juoda linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Taigi sritis yra:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 m + 9 2 - - 2 m + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 m + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 3 3 2 m. + 9 2 - y 2 d. = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Kaip matote, vertės yra tos pačios.
Atsakymas: S (G) = 11 3
Rezultatai
Norėdami rasti figūros plotą, kurį riboja nurodytos linijos, turime sukonstruoti linijas plokštumoje, rasti jų susikirtimo taškus ir pritaikyti formulę plotui rasti. Šiame skyriuje išnagrinėjome dažniausiai pasitaikančius užduočių variantus.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Panašūs straipsniai
