piramida. Kəsilmiş piramida

piramidaçoxbucaqlı adlanır, üzlərindən biri çoxbucaqlıdır ( əsas ) və bütün digər üzlər ümumi təpəsi olan üçbucaqlardır ( yan üzlər ) (Şəkil 15). Piramida adlanır düzgün , əgər onun əsası düzgün çoxbucaqlıdırsa və piramidanın yuxarı hissəsi bünövrənin mərkəzinə proqnozlaşdırılıbsa (şək. 16). Bütün kənarlarının bərabər olduğu üçbucaqlı piramida deyilir tetraedr .

Yan qabırğa piramida yan üzün bazaya aid olmayan tərəfi adlanır Hündürlük piramida onun yuxarısından baza müstəvisinə qədər olan məsafədir. Normal piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabərdir, bütün yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Təpədən çəkilmiş nizamlı piramidanın yan üzünün hündürlüyü deyilir apotema . diaqonal bölmə Piramidanın bir hissəsi eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi adlanır.

Yan səth sahəsi piramida bütün yan üzlərin sahələrinin cəmi adlanır. Tam səth sahəsi bütün yan üzlərin və əsasın sahələrinin cəmidir.

Teoremlər

1. Əgər piramidada bütün yanal kənarlar eyni dərəcədə əsas müstəvisinə meyllidirsə, onda piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın olan dairəvi dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

2. Əgər piramidada bütün yan kənarların uzunluğu bərabərdirsə, onda piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın olan dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

3. Əgər piramidada bütün üzlər eyni dərəcədə təməl müstəvisinə meyllidirsə, o zaman piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yazılmış dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

İxtiyari bir piramidanın həcmini hesablamaq üçün düstur düzgündür:

Harada V- həcm;

S əsas- baza sahəsi;

H piramidanın hündürlüyüdür.

Adi bir piramida üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur:

Harada səh- təməlin perimetri;

h a- apotem;

H- hündürlük;

S dolu

S tərəfi

S əsas- baza sahəsi;

V müntəzəm piramidanın həcmidir.

kəsilmiş piramida piramidanın baza ilə paralel kəsici müstəvi arasında qapalı olan hissəsi adlanır (şək. 17). Düzgün kəsilmiş piramida müntəzəm piramidanın əsası ilə piramidanın təməlinə paralel kəsici müstəvi arasında qapalı hissəsi adlanır.

Vəqflər kəsilmiş piramida - oxşar çoxbucaqlılar. Yan üzlər - trapesiya. Hündürlük kəsilmiş piramida onun əsasları arasındakı məsafə adlanır. Diaqonal Kəsilmiş piramida, eyni üzdə yatmayan təpələrini birləşdirən bir seqmentdir. diaqonal bölmə Kəsilmiş piramidanın bir hissəsi eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi adlanır.

Kəsilmiş piramida üçün düsturlar etibarlıdır:

(4)

Harada S 1 , S 2 - yuxarı və aşağı əsasların sahələri;

S doluümumi səth sahəsidir;

S tərəfi yanal səth sahəsidir;

H- hündürlük;

V kəsilmiş piramidanın həcmidir.

Müntəzəm kəsilmiş piramida üçün aşağıdakı düstur doğrudur:

Harada səh 1 , səh 2 - əsas perimetrlər;

h a- müntəzəm kəsilmiş piramidanın apotemi.

Misal 1 Müntəzəm üçbucaqlı piramidada təməldəki dihedral bucaq 60º-dir. Yan kənarın baza müstəvisinə meyl bucağının tangensini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 18).

Piramida nizamlıdır, yəni əsas bərabərtərəfli üçbucaqdır və bütün yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Bazadakı dihedral bucaq piramidanın yan üzünün təməl müstəvisinə meyl bucağıdır. Xətti bucaq bucaq olacaq a iki perpendikulyar arasında: yəni. Piramidanın yuxarı hissəsi üçbucağın mərkəzində proyeksiya edilmişdir (üçbucaqda dairəvi dairənin mərkəzi və yazılı dairə) ABC). Yan qabırğanın meyl açısı (məsələn SB) kənarın özü ilə onun əsas müstəvisinə proyeksiyası arasındakı bucaqdır. Qabırğa üçün SB bu bucaq bucaq olacaq SBD. Tangensi tapmaq üçün ayaqları bilmək lazımdır BELƏ Kİ Və OB. Seqmentin uzunluğuna icazə verin BD 3-dür A. nöqtə HAQQINDA xətt seqmenti BD hissələrə bölünür: və Biz tapırıq BELƏ Kİ: Biz tapırıq:

Cavab:

Misal 2 Düzgün kəsilmiş dördbucaqlı piramidanın əsaslarının diaqonalları sm və sm, hündürlüyü 4 sm olduqda onun həcmini tapın.

Həll. Kəsilmiş piramidanın həcmini tapmaq üçün (4) düsturundan istifadə edirik. Bazaların sahələrini tapmaq üçün onların diaqonallarını bilməklə əsas kvadratların tərəflərini tapmaq lazımdır. Əsasların tərəfləri müvafiq olaraq 2 sm və 8 sm-dir.Bu, əsasların sahələri deməkdir və Bütün məlumatları düsturda əvəz edərək, kəsilmiş piramidanın həcmini hesablayırıq:

Cavab: 112 sm3.

Misal 3Əsaslarının tərəfləri 10 sm və 4 sm, piramidanın hündürlüyü 2 sm olan müntəzəm üçbucaqlı kəsikli piramidanın yan üzünün sahəsini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 19).

Bu piramidanın yan üzü ikitərəfli trapesiyadır. Trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün əsasları və hündürlüyünü bilməlisiniz. Əsaslar şərtlə verilir, yalnız hündürlük naməlum olaraq qalır. Hardan tapın A 1 E bir nöqtədən perpendikulyar A 1 alt baza müstəvisində, A 1 D-dən perpendikulyar A 1 haqqında AC. A 1 E\u003d 2 sm, çünki bu piramidanın hündürlüyüdür. Tapmaq üçün DE biz əlavə bir rəsm çəkəcəyik, orada yuxarıdan görünüşü təsvir edəcəyik (şək. 20). Nöqtə HAQQINDA- yuxarı və aşağı əsasların mərkəzlərinin proyeksiyası. bəri (bax. Şəkil 20) və Digər tərəfdən tamam yazılmış çevrənin radiusudur və OM yazılmış dairənin radiusudur:

MK=DE.

-dən Pifaqor teoreminə görə

Yan üz sahəsi:

Cavab:

Misal 4 Piramidanın təməlində əsasları ikitərəfli trapesiya yerləşir A Və b (a> b). Hər bir yan üz piramidanın təməlinin müstəvisinə bərabər bir bucaq meydana gətirir j. Piramidanın ümumi səth sahəsini tapın.

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 21). Piramidanın ümumi səth sahəsi SABCD trapezoidin sahələrinin və sahəsinin cəminə bərabərdir A B C D.

Piramidanın bütün üzləri təməl müstəvisinə bərabər şəkildə meyllidirsə, onda təpənin təmələ yazılmış dairənin mərkəzinə proyeksiya edildiyi ifadəsini istifadə edirik. Nöqtə HAQQINDA- təpə proyeksiyası S piramidanın təməlində. Üçbucaq SODüçbucağın ortoqonal proyeksiyasıdır CSD baza müstəvisinə. Sahə teoremi ilə ortoqonal proyeksiya düz fiqur alırıq:

Eynilə, o deməkdir Beləliklə, problem trapezoidin sahəsini tapmaq üçün azaldı A B C D. Trapesiya çəkin A B C D ayrıca (şək. 22). Nöqtə HAQQINDA trapesiyaya daxil edilmiş dairənin mərkəzidir.

Dairə trapezoidə yazıla bildiyi üçün Pifaqor teoreminə görə

Piramida Konsepsiyası

Tərif 1

Həndəsi fiqur, çoxbucaqlı və bu çoxbucaqlını ehtiva edən müstəvidə yatmayan, çoxbucaqlının bütün təpələri ilə birləşən nöqtədən əmələ gələn piramida adlanır (şək. 1).

Piramidanın təşkil olunduğu çoxbucaqlı piramidanın əsası adlanır, nöqtə ilə birləşdirilərək alınan üçbucaqlar piramidanın yan üzləri, üçbucaqların kənarları piramidanın tərəfləri, bütün üçbucaqlar üçün ortaq nöqtə isə piramidanın yuxarı hissəsidir.

Piramidaların növləri

Piramidanın altındakı künclərin sayından asılı olaraq onu üçbucaqlı, dördbucaqlı və s. adlandırmaq olar (şək. 2).

Şəkil 2.

Başqa bir piramida növü adi piramidadır.

Normal piramidanın xüsusiyyətini təqdim edək və sübut edək.

Teorem 1

Normal piramidanın bütün yan üzləri bir-birinə bərabər olan ikitərəfli üçbucaqlardır.

Sübut.

Təpəsi $S$ hündürlüyü $h=SO$ olan adi $n-$qonal piramidasını nəzərdən keçirək. Baza ətrafında bir dairəni təsvir edək (şəkil 4).

Şəkil 4

$SOA$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Pifaqor teoreminə görə alırıq

Aydındır ki, istənilən yan kənar bu şəkildə müəyyən ediləcək. Buna görə də bütün yan kənarlar bir-birinə bərabərdir, yəni bütün yan üzlər ikitərəfli üçbucaqlardır. Onların bir-birinə bərabər olduğunu sübut edək. Əsas düzgün çoxbucaqlı olduğundan, bütün yan üzlərin əsasları bir-birinə bərabərdir. Beləliklə, bütün yan üzlər üçbucaqların bərabərliyinin III işarəsinə görə bərabərdir.

Teorem sübut edilmişdir.

İndi müntəzəm piramida anlayışı ilə bağlı aşağıdakı tərifi təqdim edirik.

Tərif 3

Normal piramidanın apotemi onun yan üzünün hündürlüyüdür.

Aydındır ki, Teorem 1-ə görə bütün apotemlər bərabərdir.

Teorem 2

Müntəzəm piramidanın yanal səthinin sahəsi əsasın yarım perimetri ilə apoteminin məhsulu kimi müəyyən edilir.

Sübut.

$n-$kömür piramidasının əsasının tərəfini $a$, apotemini isə $d$ kimi qeyd edək. Buna görə də, yan üzün sahəsi bərabərdir

Teorem 1-ə görə bütün tərəflər bərabər olduğu üçün

Teorem sübut edilmişdir.

Başqa bir piramida növü kəsilmiş piramidadır.

Tərif 4

Əgər onun əsasına paralel müstəvi adi piramidadan keçirilirsə, onda bu müstəvi ilə əsas müstəvisi arasında əmələ gələn fiqur kəsilmiş piramida adlanır (şək. 5).

Şəkil 5. Kəsilmiş piramida

Kəsilmiş piramidanın yan üzləri trapezoidlərdir.

Teorem 3

Müntəzəm kəsilmiş piramidanın yan səthinin sahəsi əsasların yarımperimetrlərinin və apoteminin cəminin məhsulu kimi müəyyən edilir.

Sübut.

$n-$kömür piramidasının əsaslarının tərəflərini müvafiq olaraq $a\ və\ b$, apotemini isə $d$ ilə işarə edək. Buna görə də, yan üzün sahəsi bərabərdir

Bütün tərəflər bərabər olduğundan

Teorem sübut edilmişdir.

Tapşırıq nümunəsi

Misal 1

Kəsilmiş üçbucaqlı piramidanın yanal səthinin sahəsini tapın, əgər o, əsas tərəfi 4 və apotemi 5 olan müntəzəm piramidadan yanal üzlərin orta xəttindən keçən bir müstəvi ilə kəsilərək alınır.

Həll.

haqqında teoremə görə orta xətt alırıq ki, kəsilmiş piramidanın yuxarı əsası $4\cdot \frac(1)(2)=2$, apotem isə $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$-a bərabərdir.

Sonra 3-cü teoremdən alırıq

Geri irəli

Diqqət! Slayda baxış yalnız məlumat məqsədləri üçün nəzərdə tutulub və təqdimatın tam həcmini əks etdirməyə bilər. Bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Məqsədlər:

kənarları bərabər olan piramidanın xassələrini sübut etmək;
məsələnin şərtlərinin təhlilində və məsələnin çertyojının qurulmasında bu teoremdən istifadə etmək bacarığını formalaşdırmaq;
şagirdlərdə bu teoremdən iki mərhələli məsələnin həllində istifadə etmək bacarığını formalaşdırmaq.

I. Ev tapşırığı hər bir tələbə əvvəlcədən çap edilmiş vərəqələr alır.

Nəzəriyyə: dərsliyin 14.2-ci bəndi, səh. 110-111.2) və 3 tapşırığa əsasən:

1. Müntəzəm üçbucaqlı piramidada bünövrənin hündürlüyü h, yan kənarları əsasın müstəvisinə bucaq altında meyllidir?. Piramidanın hündürlüyünü tapın.

2. Piramidanın təməlində tərəfləri , ,4 olan üçbucaq yerləşir. Yan qabırğalar 45 0 bucaq altında baza müstəvisinə meyllidir. Piramidanın hündürlüyünü tapın.

3. Düzgün dördbucaqlı piramidanın əsas sahəsi S-ə bərabərdir. Yan kənarları əsas müstəvisinə bucaq altında meyllidir?. Piramidanın hündürlüyünü tapın.

II. Hazır çertyojlara uyğun şifahi iş.(Hər bir uşaq üçbucaqlı piramidanın təsvirləri olan A-4 vərəqini alır).

2.1. 3 (birbaşa) teoremi sübut edək. Verilmişdir: MAVS üçbucaqlı piramidadır, MO piramidanın hündürlüyüdür.

1. Şagirdlər bir şərt və bir nəticədən “sadə” teoremi sübut edirlər

2. Ayaq və hipotenuza boyunca düzbucaqlı üçbucaqların bərabərlik işarəsindən istifadə edin

3. Onlar belə nəticəyə gəlirlər: AO \u003d VO \u003d CO, O-nu izləyir - bazanın yaxınlığında təsvir olunan bir dairənin mərkəzi.

4. Müəllim bu halın ifadəsini aydınlaşdırır: “piramidanın əsası təməlin yaxınlığında cizgilənmiş dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür” və ya “piramidanın zirvəsi təməlin yaxınlığında cizgilənmiş dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

(Şəkil 2,3-ə görə). Teoremin şərtini əvəz edin, onun nəticəsini saxlayın. Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərlik əlamətlərinə əsasən, şagirdlər belə nəticəyə gəlirlər ki, yan kənarları ilə əsas müstəvisi arasındakı bucaqların bərabərliyini və ya yan kənarları ilə piramidanın hündürlüyü arasındakı bucaqların bərabərliyini tələb etmək olar.

Beləliklə, hansı şərtlərdən belə nəticəyə gəlmək olar ki, piramidanın hündürlüyünün əsası təməlin yaxınlığında təsvir edilən dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür?

2.2. Gəlin əks iddiaları formalaşdıraq. Bu ifadələr doğrudurmu?

Şagirdlər düzbucaqlı üçbucaqların bərabərlik əlamətlərindən istifadə edərək əks müddəaları sübut edirlər. Verilmişdir: MAVS üçbucaqlı piramidadır, MO piramidanın hündürlüyü, O bazaya yaxın dairəvi dairənin mərkəzidir, AO=BO=CO.

2.3. n-bucaqlı piramida üçün teorem ifadəsi.

Problemin ifadəsi: bu ifadə n-bucaqlı piramida üçün doğrudurmu? Şagirdlərdən üç birbaşa ifadəni bənzətmə ilə sübut etmələri xahiş olunur.

Teorem. Yan kənarları bərabər olan n-bucaqlı piramidada hündürlüyün əsası bazaya yaxın ətrafa çəkilmiş dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür; hündürlük yan qabırğalarla bərabər açılar yaradır; yan qabırğalar baza müstəvisi ilə bərabər açılar yaradır.

Şəkil 7

2.4. Teoremin sübutundan sonra işləyin (geriyə baxın).

A - Piramidanın yan kənarları bərabərdir

B - Piramidanın yan kənarları əsas müstəvi ilə bərabər açılar yaradır

C - Piramidanın yan kənarları piramidanın hündürlüyü ilə bərabər bucaqlar yaradır

M - Piramidanın əsası təməlin yaxınlığında təsvir edilən dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür

Bütün 6 sadə teoremi nəzərə alaraq, tələbələr nəticəyə gətirilir

2. Müəllim A (B, C, M) müddəasını göstərir, şagird 3 sadə teoremi tərtib edir.

III. Dərsin mövzusunun formalaşdırılması.(Yan kənarları bərabər olan piramidanın xassələri).

Bugünkü dərsimizin mövzusu nədir? (A, B, C, M ifadələrindən hər hansı biri dərsin mövzusu kimi götürülə bilər).

IV. Alqoritmin tərtib edilməsi

Verilmişdir: üçbucaqlı piramida MAVS, MO - piramidanın hündürlüyü. Piramidanın hündürlüyünü təyin edin.

İki addımlı məsələlərin həlli alqoritmi.

1. Şərtlərdən birinin (A, B, C,) məsələnin şərtində olması. Bu şərtlərdən M.

2. Əsası həll edin (əsas yaxınlığında təsvir edilən dairənin radiusunu tapın).

3. Düzbucaqlı üçbucağı həll edin, məsələn, MOA.

1. Alqoritmin tərtib edilməsi.

2. Biliklərin yenilənməsi:

a) bazaya yaxın dairəvi dairənin mərkəzi - üçbucağın tərəflərinə perpendikulyar bisektorların kəsişmə nöqtəsi;

b) iti bucaqlı, küt bucaqlı, düzbucaqlı üçbucaqlarda dairəvi dairənin mərkəzinin yeri;

c) formula S =.

V. Yan kənarları bərabər olan piramidanın xassələrinin məsələnin həllinə tətbiqi.

Tapşırıq 1. Piramidanın təməlində ayağı 2-yə bərabər olan ikitərəfli düzbucaqlı üçbucaq yerləşir. Yan kənarları 60 0 bucaq altında baza müstəvisinə meyllidir.

Piramidanın hündürlüyünü tapın.

Şəkil 8

1. Hər bir tələbə həlli üçün tapşırıqların şərtləri olan vərəq alır

2. Biz stereometrik rəsm çəkmirik.

"B" şərtinin olması

Baza rəsmini həyata keçiririk. O - hipotenuzun ortası, AB \u003d 4, R \u003d 2

AMO üçbucağı qururuq, MO \u003d 6 Cavabını tapırıq: 6

Tapşırıq 2. Piramidanın əsası iki tərəfi 2 və və 45 0 bucaq təşkil edən üçbucaqdır. Hər bir yan kənar bərabərdir. Piramidanın hündürlüyünü tapın.

Şəkil 9

Həll. Alqoritmə uyğun işləyirik:

1. “A” şərtinin olması.

2. Biz bazanın rəsmini həyata keçiririk. Kosinuslar qanunu ilə üçüncü tərəfi () tapırıq, bu da üçbucağın ikitərəfli və düzbucaqlı olduğunu bildirir. O hipotenuzanın orta nöqtəsidir. Hipotenuz 2, R = 1-dir

3. AMO üçbucağını qururuq, MO tapırıq \u003d 3 Cavab: 3

Tapşırıq 3 Piramidanın təməlində tərəfləri 5, 12, 13 olan üçbucaq yerləşir. Hündürlüklə hər bir yan kənar arasındakı bucaq 45 0-dir. Piramidanın hündürlüyünü tapın.

Şəkil 10

Həll. Alqoritmə uyğun işləyirik:

1. "C" şərtinin olması

2. Biz bazanın rəsmini həyata keçiririk. Pifaqor teoreminin tərsi olan teoremə görə tapırıq ki, üçbucaq düzbucaqlıdır, O hipotenuzanın orta nöqtəsidir,

AB = 13, R = 6.5

3. AMO üçbucağını - isosceles qururuq, MO tapırıq \u003d 6.5 Cavab: 6.5

Tapşırıq 4 Piramidanın əsası ikitərəfli üçbucaqdır, tərəfləri bərabərdir və 120 0 bucaq təşkil edir. Hər bir yan kənar bərabərdir. Piramidanın hündürlüyünü tapın.

Şəkil 11

Həlli.Biz alqoritmə uyğun işləyirik:

1. “A” şərtinin olması.

2. Biz bazanın rəsmini həyata keçiririk. A bucağı kütdür,

O - üçbucağın xaricində,

AO - BC-yə perpendikulyar bisektor, AOC üçbucağı bərabərtərəfli, AB =,

3. AMO üçbucağı qururuq, MO \u003d \u003d 6 Cavab: 6

VI. Problemləri həll edərkən dərsi yekunlaşdırmaq:

1. Piramidanın əsasında trapesiya yerləşir, yan kənarları bərabərdir. Trapezoidin növünü (izoceles) təyin edin.

2. Piramidanın təməlində paraleloqram yerləşir, yan kənarları ilə təməlin müstəvisi arasındakı bucaqlar bərabərdir. Paraleloqramın (düzbucaqlı) növünü müəyyənləşdirin.

3. Piramidanın təməlində romb yerləşir. Yan kənarları ilə piramidanın hündürlüyü arasındakı bucaqlar bərabərdir. Rombun künclərini tapın. (təxminən 90).

Burada piramidalar və əlaqəli düsturlar və anlayışlar haqqında əsas məlumatlar toplanmışdır. Onların hamısı imtahana hazırlaşarkən riyaziyyat üzrə repetitorun yanında oxuyurlar.

Bir müstəvi, çoxbucaqlı düşünün onun içində yalan və bir S nöqtəsi orada yatmır. S-i çoxbucaqlının bütün təpələrinə birləşdirin. Yaranan çoxüzlüyə piramida deyilir. Seqmentlərə yan kənarlar deyilir. Çoxbucaqlı əsas, S nöqtəsi isə piramidanın yuxarı hissəsi adlanır. n ədədindən asılı olaraq piramida üçbucaqlı (n=3), dördbucaqlı (n=4), beşbucaqlı (n=5) və s. Alternativ adüçbucaqlı piramida - tetraedr. Piramidanın hündürlüyü onun zirvəsindən baza müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyardır.

Əgər piramida düzgün adlanır müntəzəm çoxbucaqlıdır və piramidanın hündürlüyünün əsası (perpendikulyarın əsası) onun mərkəzidir.

Tərbiyəçinin şərhi:
"Normal piramida" və "müntəzəm tetraedr" anlayışını qarışdırmayın. Adi bir piramidada yan kənarlar mütləq əsasın kənarlarına bərabər deyil, adi tetraedrdə kənarların bütün 6 kənarı bərabərdir. Bu onun tərifidir. Bərabərliyin çoxbucaqlının mərkəzinin P olmasını nəzərdə tutduğunu sübut etmək asandır hündürlüyü baza ilə, belə ki, müntəzəm tetraedr müntəzəm piramidadır.

Apotem nədir?
Piramidanın apotemi onun yan üzünün hündürlüyüdür. Əgər piramida nizamlıdırsa, onun bütün apotemləri bərabərdir. Bunun əksi doğru deyil.

Riyaziyyat müəllimi öz terminologiyası haqqında: piramidalarla iş 80% iki növ üçbucaq vasitəsilə qurulur:
1) Tərkibində SK apotem və SP hündürlüyü var
2) Yan kənar SA və onun proyeksiyası PA olan

Bu üçbucaqlara istinadları sadələşdirmək üçün riyaziyyat müəlliminin onlardan birincisinin adını çəkməsi daha rahatdır. apotemik, və ikinci kostal. Təəssüf ki, heç bir dərslikdə bu terminologiyaya rast gəlməyəcəksiniz və müəllim onu birtərəfli qaydada təqdim etməlidir.

Piramidanın həcm düsturu:
1) , piramidanın təməlinin sahəsi haradadır və piramidanın hündürlüyüdür
2) , burada yazılmış kürənin radiusu və piramidanın ümumi səth sahəsidir.
3) , burada MN hər hansı iki kəsişən kənarın məsafəsidir və qalan dörd kənarın orta nöqtələrindən əmələ gələn paraleloqramın sahəsidir.

Piramida Hündürlüyü Baza Mülkiyyəti:

Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə P nöqtəsi (şəklə bax) piramidanın altındakı həkk olunmuş dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür:
1) Bütün apotemlər bərabərdir
2) Bütün yan üzlər bazaya bərabər şəkildə meyllidir
3) Bütün apotemlər eyni dərəcədə piramidanın hündürlüyünə meyllidir
4) Piramidanın hündürlüyü bütün yan üzlərə bərabər şəkildə meyllidir

Riyaziyyat müəlliminin şərhi: qeyd edin ki, bütün elementlər bir tərəfindən birləşdirilir ümumi mülkiyyət: bu və ya digər şəkildə yan üzlər hər yerdə iştirak edir (apotemlər onların elementləridir). Buna görə də, repetitor əzbərləmə üçün daha az dəqiq, lakin daha rahat tərtibat təklif edə bilər: P nöqtəsi, onun yanal üzləri haqqında hər hansı bərabər məlumat varsa, yazılmış dairənin mərkəzi, piramidanın əsası ilə üst-üstə düşür. Bunu sübut etmək üçün bütün apotemik üçbucaqların bərabər olduğunu göstərmək kifayətdir.

Əgər üç şərtdən biri doğru olarsa, P nöqtəsi piramidanın əsasına yaxın olan dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür:
1) Bütün yan kənarlar bərabərdir
2) Bütün yan qabırğalar bərabər şəkildə bazaya meyllidir
3) Bütün yan qabırğalar hündürlüyə bərabər şəkildə meyllidir