Həll.

Qərarın ilk və ən vacib anı rəsmin qurulmasıdır.

Bir rəsm çəkək:

tənlik y=0 x oxunu təyin edir;

- x=-2 Və x=1 - düz, oxa paralel OU;

- y \u003d x 2 +2 - budaqları yuxarıya doğru yönəlmiş, təpəsi (0;2) nöqtəsində olan parabola.

Şərh. Parabola qurmaq üçün onun koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapmaq kifayətdir, yəni. qoyulması x=0 ox ilə kəsişməni tapın OU və müvafiq kvadrat tənliyi həll edərək, ox ilə kəsişməni tapın Oh .

Parabolanın təpəsini aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar:

Siz xətləri və nöqtə nöqtələrini çəkə bilərsiniz.

[-2;1] intervalında funksiyanın qrafiki y=x 2 +2 yerləşir ox üzərində öküz , Buna görə də:

Cavab: S \u003d 9 kvadrat vahid

Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını anlamaq həmişə faydalıdır. IN bu məsələ"Gözlə" biz rəsmdəki hüceyrələrin sayını hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9-u yazılacaq, doğru görünür. Tamamilə aydındır ki, əgər cavabımız olsaydı: 20 kvadrat vahid, onda açıq-aydın bir yerdə səhv edildi - 20 hüceyrə aydın şəkildə sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi çıxdısa, tapşırıq da səhv həll edildi.

Əyrixətli trapezoid yerləşirsə nə etməli ox altında Oh?

b) Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın y=-e x , x=1 və koordinat oxları.

Həll.

Gəlin rəsm çəkək.

Əyrixətli trapesiya varsa tam oxun altında Oh , onda onun sahəsini düsturla tapmaq olar:

Cavab: S=(e-1) kv vahidi” 1,72 kv

Diqqət! İki növ tapşırığı qarışdırmayın:

1) Əgər sizdən heç bir həndəsi mənası olmayan yalnız müəyyən inteqralı həll etməyiniz xahiş olunursa, o, mənfi ola bilər.

2) Əgər sizdən müəyyən inteqraldan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq istənilirsə, onda sahə həmişə müsbətdir! Məhz buna görə də indicə nəzərdən keçirilən düsturda mənfi görünür.

Praktikada, çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım təyyarələrdə yerləşir.

ilə) Xətlərlə məhdudlaşan təyyarə fiqurunun sahəsini tapın y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Həll.

Əvvəlcə bir rəsm çəkməlisiniz. Ümumiyyətlə, sahə problemlərində rəsm çəkərkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabolanın kəsişmə nöqtələrini tapın və birbaşa Bu iki yolla edilə bilər. Birinci yol analitikdir.

Tənliyi həll edirik:

Beləliklə, inteqrasiyanın aşağı həddi a=0 , inteqrasiyanın yuxarı həddi b=3 .

Verilmiş xətləri qururuq: 1. Parabola - (1;1) nöqtəsində təpə; ox kəsişməsi Oh - xal(0;0) və (0;2). 2. Düz xətt - 2-ci və 4-cü koordinat bucaqlarının bissektrisasıdır. İndi isə Diqqət! seqmentdə [ a;b] bəzi davamlı funksiya f(x) bəzi davamlı funksiyadan böyük və ya ona bərabərdir g(x), onda müvafiq rəqəmin sahəsi düsturla tapıla bilər: .

Və fiqurun harada yerləşməsinin fərqi yoxdur - oxun üstündə və ya oxun altında, lakin hansı diaqramın DAHA YÜKSƏK (başqa bir qrafikə nisbətən), hansının AŞAĞIDA olması vacibdir. Baxılan misalda aydındır ki, seqmentdə parabola düz xəttin üstündə yerləşir və buna görə də ondan çıxmaq lazımdır.

İnteqrasiya hüdudları sanki “öz-özünə” aşkar edilərkən nöqtə-nöqtə xətləri qurmaq olar. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya yivli konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) bəzən hədləri tapmaq üçün analitik metoddan hələ də istifadə edilməlidir.

İstədiyiniz rəqəm yuxarıdan bir parabola və aşağıdan düz bir xətt ilə məhdudlaşır.

Seqmentdə , müvafiq düstura görə:

Cavab: S \u003d 4,5 kv

Tapşırıq nömrəsi 3. Rəsm çəkin və xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Tətbiqi məsələlərin həllinə inteqralın tətbiqi

Sahənin hesablanması

Davamlı qeyri-mənfi f(x) funksiyasının müəyyən inteqralı ədədi olaraq bərabərdir sahə əyrixətli trapesiya, y = f(x) əyrisi, O x oxu və x = a və x = b düz xətləri ilə məhdudlaşır. Müvafiq olaraq, sahə düsturu aşağıdakı kimi yazılır:

Təyyarə fiqurlarının sahələrinin hesablanmasına dair bəzi nümunələri nəzərdən keçirin.

Tapşırıq nömrəsi 1. y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 xətləri ilə məhdudlaşan ərazini hesablayın.

Həll. Gəlin bir rəqəm quraq, onun sahəsini hesablamalı olacağıq.

y \u003d x 2 + 1, budaqları yuxarıya doğru yönəlmiş paraboladır və parabola O y oxuna nisbətən bir vahid yuxarıya doğru sürüşür (Şəkil 1).

Şəkil 1. y = x 2 + 1 funksiyasının qrafiki

Tapşırıq nömrəsi 2. 0 ilə 1 aralığında y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 xətləri ilə məhdudlaşan sahəni hesablayın.

Həll. Bu funksiyanın qrafiki yuxarıya istiqamətlənmiş budağın parabolasıdır və parabola O y oxuna nisbətən bir vahid aşağı sürüşdürülür (şəkil 2).

Şəkil 2. y \u003d x 2 - 1 funksiyasının qrafiki

Tapşırıq nömrəsi 3. Rəsm çəkin və xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

y = 8 + 2x - x 2 və y = 2x - 4.

Həll. Bu iki sətirdən birincisi x 2 əmsalı mənfi olduğu üçün budaqları aşağıya doğru yönəlmiş paraboladır, ikinci xətt isə hər iki koordinat oxunu kəsən düz xəttdir.

Parabola qurmaq üçün onun təpəsinin koordinatlarını tapaq: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – absis təpəsi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 onun ordinatıdır, N(1;9) təpəsidir.

İndi tənliklər sistemini həll etməklə parabola ilə xəttin kəsişmə nöqtələrini tapırıq:

Sol tərəfləri bərabər olan tənliyin sağ tərəflərinin bərabərləşdirilməsi.

8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 və ya x 2 - 12 \u003d 0 alırıq, buradan .

Deməli, nöqtələr parabolla düz xəttin kəsişmə nöqtələridir (Şəkil 1).

Şəkil 3 y = 8 + 2x – x 2 və y = 2x – 4 funksiyalarının qrafikləri

y = 2x - 4 düz xəttini çəkək. O, koordinat oxları üzərindəki (0;-4), (2; 0) nöqtələrindən keçir.

Parabola qurmaq üçün onun 0x oxu ilə kəsişmə nöqtələrinə, yəni 8 + 2x - x 2 = 0 və ya x 2 - 2x - 8 = 0 tənliyinin köklərinə də sahib ola bilərsiniz. Vyeta teoremi ilə bu, onun köklərini tapmaq asandır: x 1 = 2, x 2 = 4.

Şəkil 3-də bu xətlərlə hüdudlanmış fiqur (parabolik seqment M 1 N M 2) göstərilir.

Problemin ikinci hissəsi bu rəqəmin sahəsini tapmaqdır. Onun sahəsi düsturdan istifadə edərək müəyyən inteqraldan istifadə etməklə tapıla bilər .

-a müraciət edib bu şərt, inteqral alırıq:

2 İnqilab cisminin həcminin hesablanması

y \u003d f (x) əyrisinin O x oxu ətrafında fırlanmasından əldə edilən bədənin həcmi düsturla hesablanır:

O y oxu ətrafında fırlanan zaman düstur belə görünür:

Tapşırıq nömrəsi 4. Düz xətlərlə x \u003d 0 x \u003d 3 və O x oxu ətrafında y \u003d əyri ilə məhdudlaşan əyri xətti trapezoidin fırlanmasından əldə edilən bədənin həcmini təyin edin.

Həll. Bir rəsm quraq (Şəkil 4).

Şəkil 4. y = funksiyasının qrafiki

İstədiyiniz həcm bərabərdir

Tapşırıq nömrəsi 5. y = x 2 əyrisi və O y oxu ətrafında y = 0 və y = 4 düz xətləri ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin fırlanmasından alınan cismin həcmini hesablayın.

Həll. Bizdə:

Sualları nəzərdən keçirin

İndi inteqral hesablamanın tətbiqlərinin nəzərdən keçirilməsinə müraciət edirik. Bu dərsdə tipik və ən ümumi tapşırığı təhlil edəcəyik. müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək düz bir fiqurun sahəsini hesablamaq. Nəhayət, məna axtaranların hamısı ali riyaziyyat- qoy onu tapsınlar. Heç vaxt bilmirsən. Həyatda daha da yaxınlaşmalıyıq ölkə kottec sahəsi elementar funksiyalar və müəyyən inteqraldan istifadə edərək onun sahəsini tapın.

Materialı uğurla mənimsəmək üçün sizə lazımdır:

1) Qeyri-müəyyən inteqralı ən azı orta səviyyədə başa düşmək. Buna görə də, ilk növbədə dummies dərsi oxumalıdır yox.

2) Nyuton-Leybnits düsturunu tətbiq etməyi və müəyyən inteqralı hesablamağı bacarın. Səhifədə müəyyən inteqrallarla isti dostluq münasibətləri qura bilərsiniz Müəyyən inteqral. Həll nümunələri. "Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək sahəni hesablayın" tapşırığı həmişə bir rəsm qurulmasını nəzərdə tutur, Buna görə də aktual məsələ bilik və rəsm bacarıqlarınız da olacaq. Ən azı düz xətt, parabola və hiperbola qurmağı bacarmalıdır.

Əyrixətli trapesiya ilə başlayaq. Əyrixətti trapesiya hansısa funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan düz fiqurdur y = f(x), ox ÖKÜZ və xətlər x = a; x = b.

Əyrixətti trapezoidin sahəsi ədədi olaraq müəyyən bir inteqrala bərabərdir

Hər hansı müəyyən inteqralın (mövcud olan) çox yaxşı həndəsi mənası var. Dərsdə Müəyyən inteqral. Həll nümunələri dedik ki, müəyyən inteqral ədəddir. İndi başqa bir faydalı faktı qeyd etməyin vaxtı gəldi. Həndəsə nöqteyi-nəzərindən müəyyən inteqral AREA-dır. Yəni, müəyyən inteqral (əgər varsa) həndəsi olaraq hansısa fiqurun sahəsinə uyğun gəlir. Müəyyən inteqralı nəzərdən keçirək

İnteqral

müstəvidə bir əyri təyin edir (istəsəniz çəkilə bilər) və müəyyən inteqralın özü ədədi olaraq müvafiq əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir.

Misal 1

, , , .

Bu tipik tapşırıq bəyanatıdır. Ən vacib an həllər - rəsm. Üstəlik, rəsm qurulmalıdır SAĞ.

Bir plan qurarkən, aşağıdakı sifarişi tövsiyə edirəm: əvvəlcə bütün xətləri (əgər varsa) qurmaq daha yaxşıdır və yalnız Sonra- parabola, hiperbola, başqa funksiyaların qrafikləri. Nöqtə-nöqtə tikinti texnikası istinad materialında tapıla bilər Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri. Orada həm də dərsimizlə əlaqədar çox faydalı material tapa bilərsiniz - parabolanı necə tez qurmaq olar.

Bu problemdə həll yolu belə görünə bilər.

Gəlin bir rəsm çəkək (tənliyi qeyd edin y= 0 oxu təyin edir ÖKÜZ):

Əyri xətti trapesiyanı lyuk etməyəcəyik, burada hansı sahənin olduğu aydındır sual altında. Həll belə davam edir:

Seqmentdə [-2; 1] funksiya qrafiki y = x 2+2 yerləşir ox üzərindəÖKÜZ, Buna görə də:

Cavab: .

Müəyyən inteqralı hesablamaqda və Nyuton-Leybnits düsturunu tətbiq etməkdə çətinlik çəkən

mühazirəsinə müraciət edin Müəyyən inteqral. Həll nümunələri. Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını anlamaq həmişə faydalıdır. Bu vəziyyətdə, "gözlə" rəsmdəki hüceyrələrin sayını hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9-u yazılacaq, doğru görünür. Tamamilə aydındır ki, deyək ki, cavabımız olsaydı: 20 kvadrat vahid, onda açıq-aydın bir yerdə səhv edildi - 20 hüceyrə açıq-aydın sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi çıxdısa, tapşırıq da səhv həll edildi.

Misal 2

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın xy = 4, x = 2, x= 4 və ox ÖKÜZ.

Bu bir nümunədir müstəqil həll. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Əyrixətli trapezoid yerləşirsə nə etməli ox altındaÖKÜZ?

Misal 3

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın y = e-x, x= 1 və koordinat oxları.

Həlli: Gəlin rəsm çəkək:

Əyrixətli trapesiya varsa tam oxun altında ÖKÜZ , onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər:

Bu halda:

Diqqət! İki növ tapşırıq qarışdırılmamalıdır:

1) Əgər sizdən heç bir həndəsi mənası olmayan yalnız müəyyən inteqralı həll etməyiniz xahiş olunursa, o, mənfi ola bilər.

Praktikada çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım müstəvilərdə yerləşir və buna görə də ən sadə məktəb problemlərindən daha mənalı nümunələrə keçirik.

Misal 4

Xətlərlə məhdudlaşan təyyarə fiqurunun sahəsini tapın y = 2x – x 2 , y = -x.

Həll yolu: Əvvəlcə bir rəsm çəkməlisiniz. Sahə problemlərində rəsm qurarkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabolanın kəsişmə nöqtələrini tapın y = 2x – x 2 və düz y = -x. Bu iki yolla edilə bilər. Birinci yol analitikdir. Tənliyi həll edirik:

Beləliklə, inteqrasiyanın aşağı həddi a= 0, inteqrasiyanın yuxarı həddi b= 3. İnteqrasiya hüdudları sanki “özlüyündə” aşkar olunduğu halda, nöqtə-nöqtə xətləri qurmaq çox vaxt daha sərfəli və daha sürətli olur. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya yivli konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) bəzən hədləri tapmaq üçün analitik metoddan hələ də istifadə edilməlidir. Vəzifəmizə qayıdırıq: əvvəlcə düz xətt, sonra isə parabola qurmaq daha rasionaldır. Bir rəsm çəkək:

Təkrar edirik ki, nöqtəvi konstruksiyada inteqrasiyanın hüdudları ən çox “avtomatik olaraq” aşkar edilir.

İndi iş düsturu:

Əgər seqmentdə [ a; b] bəzi davamlı funksiya f(x) daha böyük və ya bərabərdir bəzi davamlı funksiya g(x), onda müvafiq rəqəmin sahəsi düsturla tapıla bilər:

Burada artıq rəqəmin harada yerləşdiyini düşünmək lazım deyil - oxun üstündə və ya oxun altında, lakin hansı qrafikin YUXARIDA olması vacibdir(başqa bir qrafikə nisbətən), və hansı AŞAĞIDA.

Baxılan misalda seqmentdə parabolanın düz xəttin üstündə yerləşdiyi və buna görə də 2-dən aydın görünür. x – x 2 çıxılmalıdır - x.

Həllin tamamlanması belə görünə bilər:

İstədiyiniz rəqəm parabola ilə məhdudlaşır y = 2x – x 2 üst və düz y = -x aşağıdan.

2-ci seqmentdə x – x 2 ≥ -x. Müvafiq düstura görə:

Cavab: .

Əslində, aşağı yarım müstəvidə əyri bir trapezoidin sahəsi üçün məktəb düsturu (3 nömrəli nümunəyə baxın) formulun xüsusi bir vəziyyətidir.

Oxdan bəri ÖKÜZ tənliyi ilə verilir y= 0 və funksiyanın qrafiki g(x) oxun altında yerləşir ÖKÜZ, Bu

İndi müstəqil qərar üçün bir neçə nümunə

Misal 5

Misal 6

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın

Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək ərazinin hesablanması üçün məsələlərin həlli zamanı bəzən gülməli bir hadisə baş verir. Rəsm düzgün aparıldı, hesablamalar düzgün idi, lakin diqqətsizlik səbəbindən ... səhv fiqurun sahəsini tapdı.

Misal 7

Əvvəlcə çəkək:

Sahəsini tapmalı olduğumuz fiqur mavi rənglə kölgələnmişdir.(şərtə diqqətlə baxın - rəqəm necə məhduddur!). Ancaq praktikada, diqqətsizlik səbəbindən, tez-tez fiqurun kölgəli sahəsini tapmaq lazım olduğuna qərar verirlər. yaşıl rəngdə!

Bu nümunə həm də faydalıdır ki, onda rəqəmin sahəsi iki müəyyən inteqraldan istifadə edərək hesablanır. Həqiqətən:

1) Seqmentdə [-1; 1] oxun üstündə ÖKÜZ qrafik düzdür y = x+1;

2) Oxun üstündəki seqmentdə ÖKÜZ hiperbolanın qrafiki yerləşir y = (2/x).

Sahələrin əlavə edilə biləcəyi (və edilməlidir) tamamilə aydındır, buna görə də:

Cavab:

Misal 8

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Tənlikləri “məktəb” şəklində təqdim edək

və xətt rəsmini edin:

Rəsmdən görünür ki, yuxarı həddimiz “yaxşı”dır: b = 1.

Ancaq aşağı hədd nədir? Bunun tam olmadığı aydındır, bəs nə?

Ola bilər, a=(-1/3)? Ancaq rəsmin mükəmməl dəqiqliklə edildiyinə zəmanət haradadır, yaxşı olar ki a=(-1/4). Qrafiki ümumiyyətlə düzgün əldə etməsək nə olacaq?

Belə hallarda əlavə vaxt sərf etməli və inteqrasiyanın sərhədlərini analitik şəkildə dəqiqləşdirmək lazımdır.

Qrafiklərin kəsişmə nöqtələrini tapın

Bunu etmək üçün tənliyi həll edirik:

Beləliklə, a=(-1/3).

Əlavə həll yolu mənasızdır. Əsas odur ki, əvəzləmələrdə və işarələrdə çaşqınlıq olmasın. Burada hesablamalar asan deyil. Seqmentdə

, ,

müvafiq düstura görə:

Dərsin sonunda iki işi daha çətin hesab edəcəyik.

Misal 9

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Həlli: Bu rəqəmi rəsmdə çəkin.

Nöqtə-nöqtə rəsm üçün bilmək lazımdır görünüş sinusoidlər. Ümumiyyətlə, bütün elementar funksiyaların qrafiklərini, həmçinin sinusun bəzi dəyərlərini bilmək faydalıdır. Onlar dəyərlər cədvəlində tapıla bilər triqonometrik funksiyalar. Bəzi hallarda (məsələn, bu halda) qrafiklər və inteqrasiya hədləri prinsipcə düzgün göstərilməli olan sxematik bir rəsm çəkməyə icazə verilir.

Burada inteqrasiya məhdudiyyətləri ilə bağlı heç bir problem yoxdur, onlar birbaşa şərtdən irəli gəlir:

- “x” sıfırdan “pi”yə dəyişir. Əlavə qərar veririk:

Seqmentdə, funksiyanın qrafiki y= günah 3 x oxun üstündə yerləşir ÖKÜZ, Buna görə də:

(1) Sinusların və kosinusların tək güclərdə necə inteqrasiya olunduğunu dərsdə görə bilərsiniz Triqonometrik funksiyaların inteqralları. Bir sinus sıxırıq.

(2) Biz formada əsas triqonometrik eynilikdən istifadə edirik

(3) Gəlin dəyişəni dəyişdirək t= cos x, onda: oxun üstündə yerləşir, belə ki:

Qeyd: kubdakı tangensin inteqralının necə alındığına diqqət yetirin, burada əsas triqonometrik eyniliyin nəticəsi istifadə olunur.

Müəyyən bir inteqralın həndəsi mənasının təhlilinə həsr olunmuş əvvəlki bölmədə əyri xətti trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün bir sıra düsturlar əldə etdik:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x fasiləsiz və qeyri-mənfi funksiya üçün y = f (x) seqmentində [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x fasiləsiz və qeyri-pozitiv funksiya üçün y = f (x) seqmentində [ a ; b].

Bu düsturlar nisbətən sadə məsələlərin həlli üçün tətbiq edilir. Əslində, biz tez-tez daha mürəkkəb formalarla işləmək məcburiyyətindəyik. Bununla əlaqədar olaraq, bu bölməni açıq formada funksiyalarla məhdudlaşdırılan rəqəmlərin sahəsini hesablamaq üçün alqoritmlərin təhlilinə həsr edəcəyik, yəni. y = f(x) və ya x = g(y) kimi.

Teorem

[ a seqmentində y = f 1 (x) və y = f 2 (x) funksiyaları təyin olunsun və kəsilməz olsun; b ] , və [ a dan istənilən x qiyməti üçün f 1 (x) ≤ f 2 (x) ; b]. Sonra x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) və y \u003d f 2 (x) xətləri ilə məhdudlaşan bir rəqəmin sahəsini hesablamaq üçün düstur S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Bənzər bir düstur y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) və x \u003d g 2 (y) xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi üçün də tətbiq olunacaq: S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Sübut

Düsturun etibarlı olacağı üç halı təhlil edəcəyik.

Birinci halda, ərazinin əlavə xüsusiyyətini nəzərə alaraq, orijinal G fiqurunun və əyrixətli trapezoid G 1-in sahələrinin cəmi G 2 fiqurunun sahəsinə bərabərdir. Bu o deməkdir ki

Buna görə də S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x.

Müəyyən inteqralın üçüncü xassəsindən istifadə edərək sonuncu keçidi həyata keçirə bilərik.

İkinci halda bərabərlik doğrudur: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

Qrafik illüstrasiya belə görünəcək:

Hər iki funksiya qeyri-pozitiv olarsa, alarıq: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Qrafik illüstrasiya belə görünəcək:

y = f 1 (x) və y = f 2 (x) Ox oxunu kəsdiyi zaman ümumi halın nəzərdən keçirilməsinə keçək.

Biz kəsişmə nöqtələrini x i , i = 1 , 2 , kimi işarələyəcəyik. . . , n - 1. Bu nöqtələr seqmenti [ a ; b ] n hissəyə x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , burada α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Beləliklə,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Müəyyən inteqralın beşinci xassəsindən istifadə edərək sonuncu keçidi edə bilərik.

Qrafikdə ümumi vəziyyəti təsvir edək.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x düsturu sübut edilmiş hesab edilə bilər.

İndi y \u003d f (x) və x \u003d g (y) xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmlərin sahəsinin hesablanması nümunələrinin təhlilinə keçək.

Nümunələrdən hər hansı birini nəzərdən keçirərək, qrafikin qurulması ilə başlayacağıq. Şəkil bizə mürəkkəb formaları daha çox birləşmə kimi təmsil etməyə imkan verəcək sadə fiqurlar. Əgər onların üzərində qrafiklər və formalar çəkmək sizin üçün çətindirsə, siz funksiyanın öyrənilməsi zamanı əsas elementar funksiyalar, funksiyaların qrafiklərinin həndəsi çevrilməsi, eləcə də qrafiklər bölməsini öyrənə bilərsiniz.

Misal 1

Parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 və y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d düz xətləri ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsini təyin etmək lazımdır. 1, x \u003d 4.

Həll

Qrafikdə xətləri Dekart koordinat sistemində çəkək.

İnterval üzrə [ 1 ; 4] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolunun qrafiki y = - 1 3 x - 1 2 düz xəttindən yuxarıda yerləşir. Bununla əlaqədar olaraq, cavab almaq üçün əvvəllər əldə edilmiş düsturdan, həmçinin Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək müəyyən inteqralın hesablanması metodundan istifadə edirik:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Cavab: S (G) = 13

Daha mürəkkəb bir nümunəyə baxaq.

Misal 2

y = x + 2, y = x, x = 7 xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Bu halda x oxuna paralel yalnız bir düz xəttimiz var. Bu x = 7-dir. Bu, ikinci inteqrasiya həddini özümüz tapmağımızı tələb edir.

Qrafik quraq və üzərinə məsələnin şərtində verilmiş xətləri qoyaq.

Gözümüzün qabağında bir qrafikə sahib olmaqla, inteqrasiyanın aşağı həddinin y \u003d x düz xətti və yarı parabola y \u003d x + 2 ilə qrafikin kəsişmə nöqtəsinin absisi olacağını asanlıqla müəyyən edə bilərik. Absisləri tapmaq üçün bərabərliklərdən istifadə edirik:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Belə çıxır ki, kəsişmə nöqtəsinin absisi x = 2-dir.

Nəzərinizə çatdırırıq ki, in ümumi nümunə rəsmdə y = x + 2 , y = x xətləri (2 ; 2) nöqtəsində kəsişir, ona görə də belə ətraflı hesablamalar lazımsız görünə bilər. Biz burada belə ətraflı həlli təqdim etdik, çünki daha mürəkkəb hallarda həll o qədər də aydın olmaya bilər. Bu o deməkdir ki, xətlərin kəsişməsinin koordinatlarını həmişə analitik şəkildə hesablamaq daha yaxşıdır.

İnterval üzrə [ 2 ; 7 ] y = x funksiyasının qrafiki y = x + 2 funksiyasının qrafikindən yuxarıda yerləşir. Sahəni hesablamaq üçün formula tətbiq edin:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Cavab: S (G) = 59 6

Misal 3

y \u003d 1 x və y \u003d - x 2 + 4 x - 2 funksiyalarının qrafikləri ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Qrafikdə xətlər çəkək.

Gəlin inteqrasiyanın sərhədlərini müəyyən edək. Bunun üçün 1 x və - x 2 + 4 x - 2 ifadələrini bərabərləşdirməklə xətlərin kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını təyin edirik. X sıfıra bərabər olmamaq şərti ilə, 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 bərabərliyi tam əmsallarla üçüncü dərəcəli - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 tənliyinə ekvivalent olur. . Bu cür tənliklərin həlli üçün alqoritmin yaddaşını "Kubik tənliklərin həlli" bölməsinə istinad edərək təzələyə bilərsiniz.

Bu tənliyin kökü x = 1-dir: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifadəsini x - 1 binomuna bölsək, alırıq: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Qalan kökləri x 2 - 3 x - 1 = 0 tənliyindən tapa bilərik:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Biz x ∈ 1 intervalını tapdıq; 3 + 13 2 , burada G mavi xəttin üstündə və qırmızı xəttin altındadır. Bu, formanın sahəsini təyin etməyə kömək edir:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Cavab: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Misal 4

y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 və x oxu ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Bütün sətirləri qrafikin üzərinə qoyaq. y = - log 2 x + 1 funksiyasının qrafikini x oxu ətrafında simmetrik olaraq yerləşdirib bir vahid yuxarı aparsaq, y = log 2 x qrafikindən ala bilərik. X oxunun tənliyi y \u003d 0.

Xətlərin kəsişmə nöqtələrini qeyd edək.

Şəkildən göründüyü kimi, y \u003d x 3 və y \u003d 0 funksiyalarının qrafikləri (0; 0) nöqtəsində kəsişir. Bunun səbəbi, x \u003d 0, x 3 \u003d 0 tənliyinin yeganə həqiqi köküdür.

x = 2 tənliyin yeganə köküdür - log 2 x + 1 = 0 , ona görə də y = - log 2 x + 1 və y = 0 funksiyalarının qrafikləri (2 ; 0) nöqtəsində kəsişir.

x = 1 x 3 = - log 2 x + 1 tənliyinin yeganə köküdür. Bu baxımdan, y \u003d x 3 və y \u003d - log 2 x + 1 funksiyalarının qrafikləri (1; 1) nöqtəsində kəsişir. Son ifadə aydın olmaya bilər, lakin x 3 \u003d - log 2 x + 1 tənliyində birdən çox kök ola bilməz, çünki y \u003d x 3 funksiyası ciddi şəkildə artır və y \u003d - log 2 x funksiyası + 1 ciddi şəkildə azalır.

Növbəti addım bir neçə variantı əhatə edir.

Seçim nömrəsi 1

G rəqəmini absis oxunun üstündə yerləşən, birincisi aşağıda yerləşən iki əyri xətti trapezoidin cəmi kimi təmsil edə bilərik. orta xətt x ∈ 0 seqmentində; 1, ikincisi isə x ∈ 1 seqmentində qırmızı xəttin altındadır; 2. Bu o deməkdir ki, sahə S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x -ə bərabər olacaqdır.

Seçim nömrəsi 2

G rəqəmi iki fiqurun fərqi kimi göstərilə bilər, birincisi x oxunun üstündə və x ∈ 0 seqmentində mavi xəttin altında yerləşir; 2, ikincisi isə x ∈ 1 seqmentində qırmızı və mavi xətlər arasındadır; 2. Bu bizə belə ərazini tapmağa imkan verir:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Bu halda, sahəni tapmaq üçün S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y şəklində bir düsturdan istifadə etməli olacaqsınız. Əslində, formanı birləşdirən xətlər y arqumentinin funksiyaları kimi təqdim edilə bilər.

y = x 3 və - log 2 x + 1 tənliklərini x-ə münasibətdə həll edək:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Lazım olan sahəni alırıq:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Cavab: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Misal 5

y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Qrafikdə y = x funksiyası ilə verilən qırmızı xətt ilə bir xətt çəkin. y = - 1 2 x + 4 xəttini mavi rənglə çəkin və y = 2 3 x - 3 xəttini qara rənglə qeyd edin.

Kəsişmə nöqtələrinə diqqət yetirin.

y = x və y = - 1 2 x + 4 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrini tapın:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i tənliyinin həlli x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 tənliyinin həllidir ⇒ (4 ; 2) kəsişmə nöqtəsi i y = x və y = - 1 2 x + 4

y = x və y = 2 3 x - 3 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtəsini tapın:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Yoxlayın: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 tənliyinin həllidir ⇒ (9; 3) nöqtəsi və kəsişməsi y = x və y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 tənliyin həlli deyil

y = - 1 2 x + 4 və y = 2 3 x - 3 xətlərinin kəsişmə nöqtəsini tapın:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) kəsişmə nöqtəsi y = - 1 2 x + 4 və y = 2 3 x - 3

Metod №1

İstədiyiniz rəqəmin sahəsini fərdi fiqurların sahələrinin cəmi kimi təqdim edirik.

Sonra fiqurun sahəsi:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metod № 2

Orijinal rəqəmin sahəsi digər iki rəqəmin cəmi kimi göstərilə bilər.

Sonra x üçün xətt tənliyini həll edirik və yalnız bundan sonra rəqəmin sahəsini hesablamaq üçün düstur tətbiq edirik.

y = x ⇒ x = y 2 qırmızı xətt y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 qara xətt y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Beləliklə, ərazi:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Gördüyünüz kimi, dəyərlər uyğun gəlir.

Cavab: S (G) = 11 3

Nəticələr

Verilmiş xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapmaq üçün müstəvidə xətlər çəkməli, onların kəsişmə nöqtələrini tapmalı və sahəni tapmaq üçün düstur tətbiq etməliyik. Bu bölmədə biz tapşırıqlar üçün ən ümumi variantları nəzərdən keçirdik.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Bu yazıda inteqral hesablamalardan istifadə edərək xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini necə tapacağınızı öyrənəcəksiniz. İlk dəfə olaraq orta məktəbdə müəyyən inteqralların tədqiqi yenicə başa çatdıqda və təcrübədə əldə edilmiş biliklərin həndəsi şərhinə başlamağın vaxtı çatdıqda belə bir məsələnin qoyuluşu ilə qarşılaşırıq.

Beləliklə, inteqrallardan istifadə edərək bir fiqurun sahəsini tapmaq problemini uğurla həll etmək üçün nə tələb olunur:

Rəsmləri düzgün çəkmək bacarığı;
Məşhur Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə etməklə müəyyən inteqralı həll etmək bacarığı;
Daha sərfəli bir həlli "görmək" qabiliyyəti - yəni. anlamaq üçün bu və ya digər halda inteqrasiyanı necə həyata keçirmək daha rahat olacaq? X oxu (OX) və ya y oxu (OY) boyunca?
Yaxşı, düzgün hesablamalar olmadan harada?) Bu, digər növ inteqralların necə həll olunacağını başa düşmək və ədədi hesablamaları düzəltməkdən ibarətdir.

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsinin hesablanması probleminin həlli alqoritmi:

1. Bir rəsm qururuq. Bunu bir qəfəsdə bir kağız üzərində, böyük miqyasda etmək məsləhətdir. Hər qrafikin üstündə bu funksiyanın adını qələmlə imzalayırıq. Qrafiklərin imzalanması yalnız sonrakı hesablamaların rahatlığı üçün edilir. İstədiyiniz rəqəmin qrafikini aldıqdan sonra, əksər hallarda hansı inteqrasiya limitlərinin istifadə olunacağı dərhal aydın olacaq. Beləliklə, problemi qrafik şəkildə həll edirik. Bununla belə, limitlərin dəyərləri fraksiya və ya irrasional olur. Buna görə əlavə hesablamalar apara bilərsiniz, ikinci addıma keçin.

2. İnteqrasiya hədləri açıq şəkildə müəyyən edilməmişdirsə, onda biz qrafiklərin bir-biri ilə kəsişmə nöqtələrini tapırıq və qrafik həllimizin analitik həllə uyğun olub olmadığını görürük.

3. Sonra, rəsmi təhlil etməlisiniz. Funksiyaların qrafiklərinin necə yerləşdiyindən asılı olaraq, rəqəmin sahəsini tapmaq üçün müxtəlif yanaşmalar mövcuddur. düşünün müxtəlif nümunələr inteqrallardan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq.

3.1. Problemin ən klassik və ən sadə versiyası əyri bir trapezoidin sahəsini tapmaq lazım olduqda. Əyrixətti trapesiya nədir? Bu, x oxu ilə məhdudlaşan düz bir fiqurdur (y=0), düz x = a, x = b və intervalında davamlı istənilən əyri aəvvəl b. Eyni zamanda, bu rəqəm mənfi deyil və x oxundan aşağı olmayan yerdə yerləşir. Bu halda əyrixətti trapezoidin sahəsi ədədi olaraq Nyuton-Leybniz düsturu ilə hesablanmış müəyyən inteqrala bərabərdir:

Misal 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Fiqur hansı xətlərlə müəyyən edilir? Bizdə bir parabola var y = x2 - 3x + 3, oxun üstündə yerləşən OH, qeyri-mənfidir, çünki Bu parabolanın bütün nöqtələri var müsbət dəyərlər. Sonra düz xətlər verilir x = 1 Və x = 3 oxa paralel olan OU, sol və sağdakı fiqurun məhdudlaşdırıcı xətləridir. Yaxşı y = 0, o, rəqəmi aşağıdan məhdudlaşdıran x oxudur. Nəticədə rəqəm soldakı şəkildə göründüyü kimi kölgəlidir. Bu vəziyyətdə dərhal problemi həll etməyə başlaya bilərsiniz. Qarşımızda əyri xətti trapezoidin sadə bir nümunəsi var, sonra onu Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək həll edirik.

3.2. Əvvəlki 3.1-ci bənddə əyrixətli trapezoid x oxundan yuxarıda yerləşdiyi zaman vəziyyət təhlil edilmişdir. İndi məsələnin şərtlərinin eyni olduğu halı nəzərdən keçirək, yalnız funksiya x oxunun altındadır. Standart Nyuton-Leybniz düsturuna mənfi əlavə olunur. Belə bir problemi necə həll etmək olar, daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Misal 2 . Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Bu nümunədə bir parabola var y=x2+6x+2, oxun altından qaynaqlanır OH, düz x=-4, x=-1, y=0. Budur y = 0 yuxarıdan istədiyiniz rəqəmi məhdudlaşdırır. Birbaşa x = -4 Və x = -1 bunlar müəyyən inteqralın hesablanacağı sərhədlərdir. Fiqurun sahəsini tapmaq probleminin həlli prinsipi 1 nömrəli nümunə ilə demək olar ki, tamamilə üst-üstə düşür. Yeganə fərq ondadır ki, verilmiş funksiya müsbət deyil, həm də intervalda davamlıdır. [-4; -1] . Müsbət olmayan nə deməkdir? Şəkildən göründüyü kimi, verilmiş x daxilində olan rəqəmin müstəsna olaraq “mənfi” koordinatları var, məsələni həll edərkən bunu görməli və yadda saxlamalıyıq. Newton-Leibniz düsturundan istifadə edərək rəqəmin sahəsini axtarırıq, yalnız əvvəlində mənfi işarəsi ilə.

Məqalə tamamlanmayıb.