Trapesiya iki əks tərəfi paralel, digər iki tərəfi isə paralel olmayan qabarıq dördbucaqlıdır. Dördbucaqlının bütün əks tərəfləri cüt-cüt paraleldirsə, o, paraleloqramdır.

Sizə lazım olacaq

• - trapezoidin bütün tərəfləri (AB, BC, CD, DA).

Təlimat

• Paralel olmayan tərəflər trapesiya yan tərəflər, paralel olanlara isə əsaslar deyilir. Əsaslar arasındakı xətt, onlara perpendikulyar - hündürlük trapesiya. Əgər tərəflər trapesiya bərabərdir, buna isosceles deyilir. Əvvəlcə bunun həllini düşünün trapesiya, ikitərəfli olmayan.
• B nöqtəsindən aşağı AD bazasına BE xəttini yan tərəfə paralel çəkin trapesiya CD. BE və CD paralel olduğundan və paralel əsaslar arasında çəkilir trapesiya BC və DA, onda BCDE paraleloqramdır və onun əks tərəfləri BE və CD bərabərdir. BE=CD.
• ABE üçbucağını nəzərdən keçirək. AE tərəfini hesablayın. AE=AD-ED. Vəqflər trapesiya BC və AD məlumdur və BCDE paraleloqramında əks tərəflər ED və BC bərabərdir. ED=BC, yəni AE=AD-BC.
• İndi yarım perimetri hesablayaraq Heron düsturundan istifadə edərək ABE üçbucağının sahəsini tapın. S=kök(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). Bu düsturda p ABE üçbucağının yarımperimetridir. p=1/2*(AB+BE+AE). Sahəni hesablamaq üçün bütün lazımi məlumatları bilirsiniz: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
• Sonra, ABE üçbucağının sahəsini fərqli bir şəkildə yazın - bu, BH üçbucağının hündürlüyünün və onun çəkildiyi AE tərəfinin məhsulunun yarısına bərabərdir. S=1/2*BH*AE.
• Bu düsturdan ifadə edin hündürlüküçbucaq, bu da hündürlükdür trapesiya. BH=2*S/AE. Hesablayın.

Trapezoid ikitərəflidirsə, həll fərqli şəkildə edilə bilər. ABH üçbucağını nəzərdən keçirək. Künclərdən biri, BHA düz olduğu üçün düzbucaqlıdır.

• C təpəsindən sürüşdürün hündürlük CF.
• HBCF rəqəmini yoxlayın. HBCF düzbucaqlıdır, çünki onun tərəflərindən ikisi hündürlük, digər ikisi isə əsasdır trapesiya, yəni bucaqlar düz, əks tərəflər paraleldir. Bu o deməkdir ki, BC=HF.
• ABH və FCD düzbucaqlı üçbucaqlarına baxın. BHA və CFD hündürlüklərindəki bucaqlar düzdür, BAH və CDF yan tərəflərindəki bucaqlar bərabərdir, çünki ABCD trapesiya ikitərəflidir, ona görə də üçbucaqlar oxşardır. BH və CF hündürlükləri bərabər və ya ikitərəfli tərəflərin bərabər olduğu üçün trapesiya AB və CD konqruentdir, onda oxşar üçbucaqlar da konqruentdir. Deməli, onların AH və FD tərəfləri də bərabərdir.
• AH tapın. AH+FD=AD-HF. HF=BC paraleloqramından, AH=FD üçbucaqlarından isə AH=(AD-BC)*1/2 olduğu üçün.
• Sonra, Pifaqor teoremindən istifadə edərək ABH sağ üçbucağından hesablayın hündürlük B.H. AB hipotenuzunun kvadratı AH və BH ayaqlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir. BH=kök(AB*AB-AH*AH).

Çoxtərəfli trapesiya... İxtiyari, ikitərəfli və ya düzbucaqlı ola bilər. Və hər bir halda, trapezoidin sahəsini necə tapacağınızı bilməlisiniz. Əlbəttə ki, əsas düsturları yadda saxlamağın ən asan yolu. Ancaq bəzən müəyyən bir həndəsi fiqurun bütün xüsusiyyətlərini nəzərə alaraq əldə ediləndən istifadə etmək daha asandır.

Trapesiya və onun elementləri haqqında bir neçə söz

İki paralel tərəfi olan istənilən dördbucaqlı trapesiya adlandırıla bilər. Ümumiyyətlə, onlar bərabər deyil və əsaslar adlanır. Onların böyüyü aşağı, digəri isə yuxarıdır.

Digər iki tərəf yanaldır. İxtiyari bir trapezoiddə onların müxtəlif uzunluqları var. Əgər onlar bərabərdirsə, o zaman rəqəm ikitərəfli olur.

Birdən hər hansı bir tərəflə əsas arasındakı bucaq 90 dərəcəyə bərabər olarsa, trapesiya düzbucaqlıdır.

Bütün bu xüsusiyyətlər trapezoidin sahəsini necə tapmaq problemini həll etməyə kömək edə bilər.

Problemlərin həllində əvəzolunmaz ola biləcək rəqəmin elementləri arasında aşağıdakıları ayırd edə bilərik:

• hündürlük, yəni hər iki əsasa perpendikulyar seqment;
• uclarında tərəflərin ortası olan orta xətt.

Bazaları və hündürlüyü məlumdursa, sahənin hesablanması düsturu nədir?

Bu ifadə əsas kimi verilmişdir, çünki bu kəmiyyətləri açıq şəkildə verilmədikdə belə bilmək çox vaxt mümkündür. Beləliklə, trapezoidin sahəsini necə tapmaq lazım olduğunu başa düşmək üçün hər iki əsası əlavə edib ikiyə bölmək lazımdır. Nəticədə alınan dəyər daha sonra hündürlük dəyərinə vurulur.

Bazaları a 1 və a 2 hərfləri ilə, hündürlüyü - n ilə təyin etsək, sahə üçün düstur belə görünəcək:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Hündürlüyü və orta xəttini nəzərə alaraq ərazinin hesablanması düsturu

Əvvəlki düstura diqqətlə baxsanız, orta xəttin dəyərini açıq şəkildə ehtiva etdiyini görmək asandır. Yəni əsasların cəmi ikiyə bölünür. Orta xətt l hərfi ilə işarələnsin, onda sahənin düsturu belə olacaq:

S \u003d l * n.

Diaqonallar üzrə sahə tapmaq bacarığı

Onların yaratdığı bucaq məlumdursa, bu üsul kömək edəcəkdir. Tutaq ki, diaqonallar d 1 və d 2 hərfləri ilə işarələnib, aralarındakı bucaqlar isə α və β-dır. Sonra trapezoidin sahəsini necə tapmaq üçün düstur aşağıdakı kimi yazılacaq:

S \u003d ((d 1 * d 2) / 2) * sin α.

Bu ifadədə α-nı β ilə asanlıqla əvəz etmək olar. Nəticə dəyişməyəcək.

Fiqurun bütün tərəfləri məlumdursa, sahəni necə tapmaq olar?

Bu rəqəmdə tərəflərin dəqiq məlum olduğu vəziyyətlər də var. Bu formula çətin və yadda saxlamaq çətindir. Amma yəqin ki. Tərəflərin təyinatı olsun: 1-də və 2-də a 1 əsası 2-dən böyükdür. Sonra sahə düsturu aşağıdakı formanı alır:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (1 2-də - [(a 1 - a 2) 2 + 1 2-də - 2 2-də) / (2 * (a 1 - a 2) ) ] 2).

İkitərəfli trapesiya sahəsinin hesablanması üsulları

Birincisi, içərisinə bir dairənin yazıla biləcəyi ilə bağlıdır. Və onun radiusunu (r hərfi ilə işarələnir), eləcə də təməldəki bucağı - γ bilməklə, aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərsiniz:

S \u003d (4 * r 2) / sin γ.

Son ümumi formula Fiqurun bütün tərəflərini bilməyə əsaslanan , tərəflərin eyni dəyərə malik olması səbəbindən çox sadələşdiriləcəkdir:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (2-də - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Düzbucaqlı trapezoidin sahəsinin hesablanması üsulları

Yuxarıda göstərilənlərdən hər hansı birinin ixtiyari bir rəqəm üçün uyğun olduğu aydındır. Ancaq bəzən belə bir trapezoidin bir xüsusiyyəti haqqında bilmək faydalıdır. Bu, diaqonalların uzunluqlarının kvadratlarının fərqinin əsasların kvadratlarından ibarət fərqə bərabər olmasıdır.

Çox vaxt trapezoid üçün düsturlar unudulur, düzbucaqlı və üçbucağın sahələri üçün ifadələr yadda qalır. Sonra sadə bir üsul tətbiq edə bilərsiniz. Trapezoid düzbucaqlıdırsa, onu iki fiqura və ya üçə bölün. Biri mütləq düzbucaqlı, ikincisi və ya qalan ikisi üçbucaq olacaq. Bu rəqəmlərin sahələrini hesabladıqdan sonra onları əlavə etmək qalır.

Bu düzbucaqlı trapezoidin sahəsini tapmaq üçün kifayət qədər sadə bir yoldur.

Trapezoidin təpələrinin koordinatları məlumdursa necə?

Bu vəziyyətdə, nöqtələr arasındakı məsafəni təyin etməyə imkan verən bir ifadədən istifadə etməlisiniz. Üç dəfə tətbiq oluna bilər: həm əsasları, həm də bir hündürlüyü bilmək üçün. Və sonra yalnız bir az daha yüksək təsvir olunan ilk düstur tətbiq edin.

Bu metodu göstərmək üçün misal göstərmək olar. A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1) koordinatları olan təpələr verilmişdir. Biz fiqurun sahəsini bilməliyik.

Trapezoidin sahəsini tapmadan əvvəl koordinatlardan əsasların uzunluqlarını hesablamalısınız. Bu formulaya ehtiyacınız olacaq:

seqment uzunluğu = √((nöqtələrin birinci koordinatlarının fərqi) 2 + (nöqtələrin ikinci koordinatlarının fərqi) 2 ).

Üst baza AB olaraq təyin edilmişdir, bu o deməkdir ki, onun uzunluğu √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3-ə bərabər olacaqdır. Aşağısı CD = √ ((10-1) ) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

İndi yuxarıdan aşağıya bir hündürlük çəkmək lazımdır. Onun başlanğıcı A nöqtəsində olsun. Seqmentin sonu koordinatları (5; 1) olan nöqtədə aşağı bazada olacaq, H nöqtəsi olsun. AN seqmentinin uzunluğu √ ((5) -ə bərabər olacaq. -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Yalnız trapezoidin sahəsi üçün düsturda yaranan dəyərləri əvəz etmək qalır:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problem ölçü vahidləri olmadan həll edilir, çünki koordinatlar şəbəkəsinin miqyası göstərilmir. Bu millimetr və ya metr ola bilər.

Tapşırıq nümunələri

№ 1. Vəziyyət.İxtiyari trapezoidin diaqonalları arasındakı bucaq məlumdur, 30 dərəcəyə bərabərdir. Kiçik diaqonalın dəyəri 3 dm, ikincisi isə ondan 2 dəfə böyükdür. Trapezoidin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll.Əvvəlcə ikinci diaqonalın uzunluğunu öyrənməlisiniz, çünki onsuz cavabı hesablamaq mümkün olmayacaq. Hesablamaq asandır, 3 * 2 = 6 (dm).

İndi sahə üçün uyğun düsturdan istifadə etməlisiniz:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * günah 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4,5 (dm 2). Problem həll edildi.

Cavab: trapezoidin sahəsi 4,5 dm 2-dir.

№ 2. Vəziyyət. ABCD trapesiyasında əsaslar AD və BC seqmentləridir. E nöqtəsi SD tərəfinin orta nöqtəsidir. Ondan AB düz xəttinə perpendikulyar çəkilir, bu seqmentin ucu H hərfi ilə göstərilir.Məlumdur ki, AB və EH-nin uzunluqları müvafiq olaraq 5 və 4 sm-dir.Bunun sahəsini hesablamaq lazımdır. trapesiya.

Həll.Əvvəlcə bir rəsm çəkməlisiniz. Perpendikulyarın dəyəri çəkildiyi tərəfdən az olduğundan, trapezoid bir qədər yuxarıya doğru uzanacaq. Beləliklə, EH rəqəmin içərisində olacaq.

Problemin həllinin gedişatını aydın görmək üçün əlavə bir tikinti aparmalısınız. Yəni, AB tərəfinə paralel olacaq bir xətt çəkin. Bu xəttin AD ilə kəsişmə nöqtələri - P və BC-nin davamı ilə - X. Nəticədə VKhRA rəqəmi paraleloqramdır. Üstəlik, onun sahəsi tələb olunan sahəyə bərabərdir. Bu, əlavə tikinti zamanı əldə edilən üçbucaqların bərabər olması ilə əlaqədardır. Bu, tərəfin və ona bitişik iki bucağın bərabərliyindən irəli gəlir, biri şaquli, digəri çarpaz uzanır.

Yan tərəfin məhsulunu və üzərinə endirilən hündürlüyünü ehtiva edən düsturdan istifadə edərək paraleloqramın sahəsini tapa bilərsiniz.

Beləliklə, trapezoidin sahəsi 5 * 4 = 20 sm 2-dir.

Cavab: S \u003d 20 sm 2.

№ 3. Vəziyyət.İkitərəfli trapezoidin elementləri aşağıdakı mənaları ifadə edir: alt baza 14 sm, yuxarı əsas 4 sm, iti bucaq 45º-dir. Onun sahəsini hesablamalıyıq.

Həll. Kiçik baza BC ilə işarələnsin. B nöqtəsindən çəkilən hündürlük BH adlanacaq. Bucaq 45º olduğundan, ABH üçbucağı düzbucaqlı və bərabərbucaqlı olacaq. Beləliklə, AH = BH. Və AN tapmaq çox asandır. Əsasların fərqinin yarısına bərabərdir. Yəni (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (sm).

Əsaslar məlumdur, hündürlüklər sayılır. Burada ixtiyari trapesiya üçün nəzərdə tutulan ilk düsturdan istifadə edə bilərsiniz.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (sm 2).

Cavab:İstədiyiniz sahə 45 sm 2-dir.

№ 4. Vəziyyət. ABCD ixtiyari trapesiya var. O və E nöqtələri onun tərəflərində götürülür ki, OE AD bazasına paralel olsun. AOED-in trapesiya sahəsi CFE-dən beş dəfə böyükdür. Baza uzunluqları məlumdursa, OE dəyərini hesablayın.

Həll. AB-yə paralel iki düz xətt çəkmək lazım gələcək: birincisi C nöqtəsi, onun OE ilə kəsişməsi - T nöqtəsi; ikinci E vasitəsilə və AD ilə kəsişmə nöqtəsi M olacaq.

Naməlum OE=x olsun. Kiçik trapesiya OVSE-nin hündürlüyü n 1, daha böyük AOED n 2-dir.

Bu iki trapezoidin sahələri 1-dən 5-ə qədər əlaqəli olduğundan, aşağıdakı bərabərliyi yaza bilərik:

(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Üçbucaqların hündürlüyü və tərəfləri tikintidə mütənasibdir. Beləliklə, başqa bərabərlik yaza bilərik:

n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a ​​1 - x).

Sol tərəfdəki son iki qeyddə bərabər dəyərlər var, yəni (x + a 1) / (5 (x + a 2)) bərabər (x - a 2) / (a ​​​) olduğunu yaza bilərik. 1 - x).

Burada bir sıra dəyişikliklər tələb olunur. Əvvəlcə çarpaz vurun. Kvadratların fərqini göstərən mötərizələr görünəcək, bu düsturu tətbiq etdikdən sonra qısa bir tənlik alırsınız.

Mötərizələri açmaq və bütün şərtləri naməlum "x"-dən köçürmək lazımdır sol tərəf və sonra kvadrat kök götürün.

Cavab verin: x \u003d √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

(S) trapesiya, paralel tərəflərin uzunluqlarının cəminin yarısını tapmaqla hündürlüyü (h) hesablamağa başlayın: (a+b)/2. Sonra ərazini alınan dəyərə bölün - nəticə istədiyiniz dəyər olacaq: h = S / ((a + b) / 2) = 2 * S / (a ​​+ b).

Orta xəttin uzunluğunu (m) və sahəni (S) bilməklə, əvvəlki addımdakı düsturu sadələşdirə bilərik. Tərifə görə, trapezoidin orta xətti onun əsaslarının cəminin yarısıdır, ona görə də formanın hündürlüyünü (h) hesablamaq üçün sahəni orta xəttin uzunluğuna bölmək kifayətdir: h = S/m.

Bunun hündürlüyünü (h) yalnız tərəflərdən birinin uzunluğu (c) və onun yaratdığı bucaq (α) və uzun əsas verilsə belə müəyyən edə bilərsiniz. Bu vəziyyətdə, bu tərəfin yaratdığı hündürlüyü və üzərinə endirilən hündürlüyü kəsən əsasın qısa bir hissəsini nəzərə almaq lazımdır. Bu üçbucaq düzbucaqlı olacaq, məşhur partiya onun içindəki hipotenuz, hündürlüyü isə ayaq olacaq. Uzunluqların və hipotenuzanın nisbəti ayağın qarşısındakı bucağa bərabərdir, buna görə də trapezoidin hündürlüyünü hesablamaq üçün tərəfin məlum uzunluğunu məlum bucağın sinusuna vurun: h \u003d c * sin (α) ).

Yan tərəfin uzunluğu (c) və onunla digər (qısa) əsas arasındakı bucaq (β) verildikdə eyni üçbucaq nəzərə alınmalıdır. Bu halda, yan (hipotenuz) və hündürlük (ayaq) arasındakı bucaq, şərtlərdən məlum olan bucaqdan 90 ° az olacaq: β-90 °. Ayağın və hipotenuzanın uzunluqlarının nisbəti aralarındakı bucağın kosinusuna bərabər olduğundan, 90 ° azaldılmış bucağın kosinusunu tərəfin uzunluğuna vuraraq trapezoidin hündürlüyünü hesablayın: h \ u003d c * cos (β-90 °).

Məlum radiuslu (r) çevrə yazılsa, hündürlüyün (h) hesablanması çox sadə olacaq və başqa heç bir parametr tələb etməyəcəkdir. Belə bir çevrə, tərifinə görə, əsasların hər birinin yalnız bir nöqtəsi olmalıdır və bu nöqtələr mərkəzlə eyni xətt üzərində yerləşəcəkdir. Bu o deməkdir ki, onların arasındakı məsafə əsaslara perpendikulyar çəkilmiş, yəni trapesiyanın hündürlüyü ilə üst-üstə düşən diametrə (radiusun iki qatına) bərabər olacaqdır: h=2*r.

Trapesiya iki tərəfi paralel, digər iki tərəfi isə paralel olmayan dördbucaqlıdır. Trapezoidin hündürlüyü iki paralel xətt arasında perpendikulyar çəkilmiş seqmentdir. Mənbə məlumatlarından asılı olaraq, müxtəlif yollarla hesablana bilər.

Sizə lazım olacaq

• Trapezoidin tərəfləri, əsasları, orta xətti və isteğe bağlı olaraq onun sahəsi və/və ya perimetri haqqında biliklər.

Təlimat

Tutaq ki, Şəkil 1-də olduğu kimi eyni verilənlərə malik bir trapesiya var. 2 hündürlük çəkək, alırıq ki, düz üçbucaqların ayaqları ilə 2 kiçik tərəfi var. Kiçik rulonu x kimi işarə edək. O, içəridədir

trapesiya dördbucaqlı adlanır yalnız iki tərəfləri bir-birinə paraleldir.

Onlar fiqurun əsasları, qalanları - tərəflər adlanır. Paraleloqram fiqurun xüsusi halı hesab olunur. Funksiya qrafikini ehtiva edən əyri xətti trapesiya da var. Trapezoidin sahəsi üçün düsturlar onun demək olar ki, bütün elementlərini əhatə edir və verilən qiymətlərdən asılı olaraq ən yaxşı həll seçilir.
Trapezoiddə əsas rollar hündürlüyə və orta xəttə verilir. orta xətt- bu tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirən xəttdir. Hündürlük trapesiya yuxarı küncdən bazaya doğru düzgün bucaq altında çəkilir.
Trapezoidin hündürlükdən keçən sahəsi, hündürlüyə vurulan əsasların uzunluqlarının cəminin yarısının məhsuluna bərabərdir:

Orta xətt şərtlərə görə məlumdursa, bu düstur çox sadələşdirilmişdir, çünki əsasların uzunluqlarının cəminin yarısına bərabərdir:

Şərtlərə uyğun olaraq bütün tərəflərin uzunluqları verilmişdirsə, bu məlumatlar vasitəsilə trapezoidin sahəsini hesablamaq nümunəsini nəzərdən keçirə bilərik:

Tutaq ki, əsasları a = 3 sm, b = 7 sm və tərəfləri c = 5 sm, d = 4 sm olan bir trapesiya verilmişdir. Şəklin sahəsini tapın:

İkitərəfli trapesiya sahəsi

Ayrı bir vəziyyət bir isosceles və ya bir isosceles trapezoid deyildiyi kimi.
Xüsusi bir hal, eyni zamanda ikitərəfli (isosceles) trapezoidin sahəsini tapmaqdır. Alınan düstur fərqli yollar- diaqonallar vasitəsilə, bazaya bitişik bucaqlar və yazılmış dairənin radiusu vasitəsilə.
Diaqonalların uzunluğu şərtlərlə müəyyən edilirsə və aralarındakı bucaq məlumdursa, aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərsiniz:

Yadda saxlayın ki, ikitərəfli trapezoidin diaqonalları bir-birinə bərabərdir!

Yəni, onların əsaslarından birini, tərəfini və bucağını bilməklə, ərazini asanlıqla hesablaya bilərsiniz.

Əyrixətli trapezoidin sahəsi

Ayrı bir haldır əyrixətli trapesiya. O, koordinat oxunda yerləşir və davamlı müsbət funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşır.

Onun bazası X oxunda yerləşir və iki nöqtə ilə məhdudlaşır:
İnteqrallar sahəni hesablamağa kömək edir əyrixətli trapesiya.
Formula belə yazılır:

Əyrixətli trapezoidin sahəsinin hesablanması nümunəsini nəzərdən keçirin. Formula Tələb edir müəyyən bilik müəyyən inteqrallarla işləmək. Əvvəlcə müəyyən inteqralın qiymətini təhlil edək:

Burada F(a) antitörəmə funksiyasının f(x) a nöqtəsindəki qiyməti, F(b) eyni f(x) funksiyasının b nöqtəsindəki qiymətidir.

İndi problemi həll edək. Şəkildə funksiya ilə məhdudlaşan əyrixətti trapesiya göstərilir. Funksiya
Seçilmiş fiqurun sahəsini tapmalıyıq, yuxarıdan bir qrafiklə məhdudlaşan əyri bir trapesiya, sağda düz xətt x = (-8), solda x = (-) düz xəttdir. 10) və OX oxu aşağıdadır.
Formuladan istifadə edərək bu rəqəmin sahəsini hesablayacağıq:

Bizə məsələnin şərtləri ilə funksiya verilir. Bundan istifadə edərək, hər bir nöqtəmizdə antiderivativin dəyərlərini tapacağıq:


İndi
Cavab: verilmiş əyrixətti trapezoidin sahəsi 4-dür.

Bu dəyəri hesablamaqda çətin bir şey yoxdur. Hesablamalarda yalnız son dərəcə diqqətli olmaq vacibdir.

Keçən ilki USE və GIA təcrübəsi göstərir ki, həndəsə problemləri bir çox tələbələr üçün çətinlik yaradır. Bütün lazımi düsturları əzbərləsəniz və problemlərin həllində məşq etsəniz, onların öhdəsindən asanlıqla gələ bilərsiniz.

Bu yazıda siz trapezoidin sahəsini tapmaq üçün düsturları, həmçinin həlli ilə bağlı problemlərin nümunələrini görəcəksiniz. Eyniləri sizə KIM-lərdə sertifikat imtahanlarında və ya olimpiadalarda rast gələ bilər. Buna görə də onlara diqqətlə yanaşın.

Trapezoid haqqında nə bilmək lazımdır?

Başlamaq üçün bunu xatırlayaq trapesiya dördbucaqlı adlanır, burada iki əks tərəf, onlar da əsaslar adlanır, paraleldir, digər ikisi isə deyil.

Trapezoiddə hündürlüyü (bazaya perpendikulyar) da buraxmaq olar. Orta xətt çəkilir - bu, əsaslara paralel və onların cəminin yarısına bərabər olan düz bir xəttdir. Eləcə də kəsişə bilən, kəskin və küt bucaqlar əmələ gətirən diaqonallar. Və ya bəzi hallarda düzgün bucaq altında. Bundan əlavə, trapezoid ikitərəflidirsə, onda bir dairə yazıla bilər. Və onun ətrafında bir dairəni təsvir edin.

Trapesiya sahəsi düsturları

Birincisi, trapezoidin sahəsini tapmaq üçün standart düsturları nəzərdən keçirin. İzoceles və əyrixətti trapezoidlərin sahəsini hesablamaq yolları aşağıda nəzərdən keçiriləcəkdir.

Beləliklə, h hündürlüyünün daha böyük bazaya endirildiyi a və b əsasları olan bir trapesiyaya sahib olduğunuzu təsəvvür edin. Bu vəziyyətdə bir fiqurun sahəsini hesablamaq asandır. Sadəcə əsasların uzunluqlarının cəmini ikiyə bölmək və baş verənləri hündürlüyə vurmaq lazımdır: S = 1/2(a + b)*h.

Başqa bir hal götürək: fərz edək ki, trapezoid hündürlükdən əlavə m orta xəttinə malikdir. Biz orta xəttin uzunluğunu tapmaq üçün düsturu bilirik: m = 1/2(a + b). Buna görə də, biz haqlı olaraq trapezoidin sahəsinin düsturunu aşağıdakı formaya sadələşdirə bilərik: S = m * h. Başqa sözlə, trapezoidin sahəsini tapmaq üçün orta xətti hündürlüyə vurmaq lazımdır.

Daha bir variantı nəzərdən keçirək: d 1 və d 2 diaqonalları α düz bucaq altında kəsişməyən trapezoiddə çəkilir. Belə bir trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün diaqonalların məhsulunu yarıya endirməlisiniz və əldə etdiyinizi aralarındakı bucağın günahı ilə çoxaltmalısınız: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

İndi trapezoidin bütün tərəflərinin uzunluqlarından başqa heç nə məlum deyilsə, onun sahəsini tapmaq üçün düsturları nəzərdən keçirin: a, b, c və d. Bu çətin və mürəkkəb bir düsturdur, lakin hər halda onu yadda saxlamağınız faydalı olacaq: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Yeri gəlmişkən, yuxarıdakı nümunələr düzbucaqlı bir trapezoidin sahəsi üçün düstura ehtiyac duyduğunuz vəziyyət üçün də doğrudur. Bu, tərəfi əsaslara düz bir açı ilə bitişik olan bir trapesiyadır.

İkitərəfli trapesiya

Tərəfləri bərabər olan trapesiya ikitərəfli adlanır. Bir isosceles trapezoidinin sahəsi üçün düsturun bir neçə variantını nəzərdən keçirəcəyik.

Birinci seçim: r radiusu olan bir dairənin bir isosceles trapezoidinin içərisinə daxil edildiyi və yan tərəfi və daha böyük bazası kəskin bir bucaq α təşkil etdiyi halda. Dairənin əsaslarının uzunluqlarının cəmi tərəflərin uzunluqlarının cəminə bərabər olması şərti ilə trapesiyaya bir dairə yazıla bilər.

İkitərəfli trapezoidin sahəsi aşağıdakı kimi hesablanır: yazılmış dairənin radiusunun kvadratını dördə vurun və hamısını sinα ilə bölün: S = 4r 2 /sinα. Başqa bir sahə düsturu, böyük baza ilə yan tərəf arasındakı bucaq 30 0 olduqda seçim üçün xüsusi bir vəziyyətdir: S = 8r2.

İkinci seçim: bu dəfə biz ikitərəfli trapesiya alırıq, burada əlavə olaraq d 1 və d 2 diaqonalları, həmçinin h hündürlüyü çəkilir. Trapezoidin diaqonalları qarşılıqlı perpendikulyardırsa, hündürlük əsasların cəminin yarısıdır: h = 1/2 (a + b). Bunu bilməklə, sizə artıq tanış olan trapesiya sahəsi düsturunu bu formaya çevirmək asandır: S = h2.

Əyrixətli trapezoidin sahəsi üçün düstur

Anlamaqdan başlayaq: əyri xətti trapezoid nədir. X oxunda verilmiş seqment daxilində işarəsini dəyişməyən davamlı və mənfi olmayan f funksiyasının koordinat oxunu və qrafikini təsəvvür edin. Əyrixətli trapezoid y \u003d f (x) funksiyasının qrafiki ilə əmələ gəlir - yuxarıda, x oxu - aşağıda (seqment) və yanlarda - a və b nöqtələri ilə qrafik arasında çəkilmiş düz xətlər funksiyasının.

Yuxarıda göstərilən üsullardan istifadə edərək belə bir qeyri-standart rəqəmin sahəsini hesablamaq mümkün deyil. Burada müraciət etmək lazımdır riyazi analiz və inteqraldan istifadə edin. Məhz, Nyuton-Leybniz düsturu - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Bu düsturda F seçilmiş intervalda funksiyamızın əks törəməsidir. Əyrixətli trapezoidin sahəsi verilmiş seqmentdə antiderivativin artımına uyğundur.

Tapşırıq nümunələri

Bütün bu düsturları başınızda daha yaxşı etmək üçün burada trapezoidin sahəsini tapmaq üçün bəzi problem nümunələri verilmişdir. Yaxşı olar ki, əvvəlcə problemləri özünüz həll etməyə çalışın və yalnız bundan sonra aldığınız cavabı hazır həll yolu ilə yoxlayın.

Tapşırıq №1: Trapezoid verilir. Onun daha böyük bazası 11 sm, kiçik olanı isə 4 sm-dir. Trapeziyanın diaqonalları var, birinin uzunluğu 12 sm, digərinin uzunluğu 9 sm.

Həlli: AMRS trapesiyasını qurun. RX xəttini P təpəsində elə çəkin ki, o, MC diaqonalına paralel olsun və AC xəttini X nöqtəsində kəssin. Siz APX üçbucağını alırsınız.

Bu manipulyasiyalar nəticəsində əldə edilən iki rəqəmi nəzərdən keçirəcəyik: APX üçbucağı və CMPX paraleloqramı.

Paraleloqram sayəsində PX = MC = 12 sm və CX = MP = 4 sm olduğunu öyrənirik. ARCH üçbucağının AX tərəfini harada hesablaya bilərik: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 sm.

ARCH üçbucağının düzbucaqlı olduğunu da sübut edə bilərik (bunun üçün Pifaqor teoremini tətbiq edin - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). Və onun sahəsini hesablayın: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 sm 2.

Sonra, AMP və PCX üçbucaqlarının sahədə bərabər olduğunu sübut etməlisiniz. Əsas MP və CX tərəflərinin bərabərliyi olacaqdır (artıq yuxarıda sübut edilmişdir). Həm də bu tərəflərdə endirdiyiniz yüksəkliklər - onlar AMRS trapesiyasının hündürlüyünə bərabərdir.

Bütün bunlar S AMPC \u003d S APX \u003d 54 sm 2 olduğunu iddia etməyə imkan verəcəkdir.

Tapşırıq №2: KRMS trapezoidi verilmişdir. O və E nöqtələri onun yan tərəflərində yerləşir, OE və KS isə paraleldir. O da məlumdur ki, ORME və OXE trapesiyasının sahələri 1:5 nisbətindədir. PM = a və KS = b. OE tapmaq lazımdır.

Həlli: M nöqtəsindən RK-yə paralel xətt çəkin və onun OE ilə kəsişmə nöqtəsini T kimi təyin edin. A, E nöqtəsindən RK-yə paralel çəkilmiş xəttin KS əsası ilə kəsişmə nöqtəsidir.

Daha bir qeydi təqdim edək - OE = x. Eləcə də TME üçbucağı üçün h 1 hündürlüyü və AEC üçbucağı üçün h 2 hündürlüyü (bu üçbucaqların oxşarlığını müstəqil şəkildə sübut edə bilərsiniz).

Biz güman edəcəyik ki, b > a. ORME və OXE trapesiyalarının sahələri 1:5 nisbətində əlaqələndirilir ki, bu da bizə aşağıdakı tənliyi tərtib etmək hüququ verir: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Gəlin çevirək və əldə edək: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

TME və AEC üçbucaqları oxşar olduğundan, h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x) var. Hər iki girişi birləşdirin və əldə edin: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Beləliklə, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Nəticə

Həndəsə elmlərin ən asanı deyil, amma şübhəsiz ki, imtahan tapşırıqlarının öhdəsindən gələcəksiniz. Hazırlıqda sadəcə bir az səbr tələb olunur. Və, əlbəttə ki, bütün lazımi formulları xatırlayın.

Trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün bütün düsturları bir yerdə toplamağa çalışdıq ki, imtahanlara hazırlaşarkən və materialı təkrarlayarkən onlardan istifadə edə biləsiniz.

Sinif yoldaşlarınıza və dostlarınıza bu məqalə haqqında məlumat verməyinizə əmin olun sosial şəbəkələrdə. Qoy yaxşı qiymətlərİSTİFADƏ və GIA üçün daha çox olacaq!

blog.site, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.

Oxşar məqalələr