∆BCD ilə verilmiş müstəvinin izlərini qurun və düz üçbucaq üsulu ilə A nöqtəsindən verilmiş müstəviyə qədər olan məsafəni təyin edin.(A, B, C və D nöqtələrinin koordinatları Tapşırıqlar bölməsinin Cədvəl 1-ə baxın);
1.2. 1 nömrəli tapşırığın yerinə yetirilməsi nümunəsi
Birinci tapşırıq mövzular üzrə tapşırıqlar toplusudur:
1. Orfoqrafik proyeksiya, Monq süjeti, nöqtə, xətt, müstəvi: üç nöqtənin məlum koordinatları ilə B, C, D∆ ilə verilmiş müstəvinin üfüqi və frontal proyeksiyalarını qurun BCD;
2. Düz xəttin izləri, müstəvi izləri, düz müstəviyə aid olma xüsusiyyətləri: ∆ ilə verilən təyyarənin izlərini qurun BCD;
3. Ümumi və xüsusi müstəvilər, xəttin və müstəvinin kəsişməsi, xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığı, müstəvilərin kəsişməsi, düzbucaqlı üçbucaq üsulu: bir nöqtədən məsafəni təyin edin A təyyarəyə ∆ BCD.
1.2.1. Üç nöqtənin məlum koordinatları B, C, D∆ ilə verilən müstəvinin üfüqi və frontal proyeksiyalarını qurun BCD(Şəkil 1.1), bunun üçün təpələrin üfüqi və frontal proyeksiyalarını qurmaq lazımdır ∆ BCD, və sonra eyni adlı təpələrin proyeksiyalarını birləşdirin.
Məlumdur ki iz təyyarəsi verilmiş müstəvinin proyeksiyalar müstəvisi ilə kəsişməsi nəticəsində alınan düz xətt adlanır .
Təyyarənin yaxınlığında ümumi mövqe 3 trek: üfüqi, frontal və profil.
Təyyarənin izlərini qurmaq üçün bu müstəvidə uzanan istənilən iki xəttin izlərini (üfüqi və frontal) qurmaq və onları bir-birinə bağlamaq kifayətdir. Beləliklə, təyyarənin izi (üfüqi və ya frontal) unikal şəkildə müəyyən ediləcək, çünki müstəvidəki iki nöqtədən (içində) bu məsələ bu nöqtələr düz xətlərin izləri olacaq) düz xətt çəkmək olar, üstəlik, yalnız bir.
Bu tikinti üçün əsasdır düz müstəviyə aid olmaq xüsusiyyəti: əgər xətt verilmiş müstəviyə aiddirsə, onun izləri bu müstəvinin eyniadlı izləri üzərində yatır. .
Düz xəttin izi bu düz xəttin proyeksiyalar müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsidir .
Düz xəttin üfüqi izi üfüqi proyeksiya müstəvisində, frontal iz isə yatır. frontal müstəvi proqnozlar.
Tikintiyə fikir verin üfüqi yol düz D.B. bunun üçün sizə lazımdır:
1. Frontal proyeksiyanı düz davam etdirin D.B. ox ilə kəsişməsinə qədər X, kəsişmə nöqtəsi M 2üfüqi izin frontal proyeksiyasıdır;
2. Bir nöqtədən M 2 düz xəttin üfüqi proyeksiyası ilə kəsişməsinə perpendikulyar (proyeksiya bağlantısı xətti) bərpa edin D.B. M 1 və üfüqi izin üfüqi proyeksiyası olacaq (Şəkil 1.1), bu da izin özü ilə üst-üstə düşür. M.
Eynilə, seqmentin üfüqi bir izinin qurulması SW düz: nöqtə M'.
Tikmək ön ayaq izi seqment CB birbaşa, sizə lazımdır:
1. Düz xəttin üfüqi proyeksiyasını davam etdirin CB ox ilə kəsişməsinə qədər X, kəsişmə nöqtəsi N 1 frontal izinin üfüqi proyeksiyasıdır;
2. Bir nöqtədən N 1 düz xəttin frontal proyeksiyası ilə kəsişənə qədər perpendikulyar (proyektiv əlaqə xətti) bərpa edin CB və ya onun davamı. Kəsişmə nöqtəsi N 2 və izin özü ilə üst-üstə düşən frontal izinin frontal proyeksiyası olacaqdır N.
Nöqtələri birləşdirərək M' 1 Və M1 düz xətt seqmentindən απ 1 müstəvisinin üfüqi izini alırıq. απ 1 ox ilə kəsişmənin α x nöqtəsi Xçağırdı itmə nöqtəsi . απ 2 təyyarəsinin frontal izini qurmaq üçün frontal izi birləşdirmək lazımdır. N 2 iz itmə nöqtəsi α x ilə
Şəkil 1.1 - Təyyarə izlərinin qurulması
Bu problemin həlli üçün alqoritm aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:
- (D 2 B 2 ∩ ÖKÜZ) = M 2 ;
- (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M 1 = M;
- (C 2 B 2 ∩ ÖKÜZ) = M' 2 ;
- (M' 2 M' 1 ∩ C 1 B 1) = M' 1 = M';
- (CB∩ π 2) = N 2 = N;
- (MM′) ≡ απ 1;
- (α x N) ≡ απ 2.
1.2.2. Birinci tapşırığın ikinci hissəsini həll etmək üçün bilməlisiniz ki:
- nöqtədən məsafə A təyyarəyə ∆ BCD bu nöqtədən müstəviyə bərpa olunan perpendikulyarın uzunluğu ilə müəyyən edilir;
- hər hansı bir xətt bu müstəvidə uzanan kəsişən iki xəttə perpendikulyardırsa, müstəviyə perpendikulyardır;
- diaqramda müstəviyə perpendikulyar düz xəttin proyeksiyaları bu müstəvinin üfüqi və frontalının maillik proyeksiyalarına və ya eyniadlı müstəvinin izlərinə perpendikulyardır (şək. 1.2) (perpendikulyar üzrə teoremə bax). mühazirələrdə təyyarəyə).
Perpendikulyarın əsasını tapmaq üçün düz xəttin (bu məsələdə belə düz xətt müstəviyə perpendikulyardır) müstəvi ilə kəsişməsi məsələsini həll etmək lazımdır:
1. Şəxsi müstəvi kimi qəbul edilməli olan perpendikulyar köməkçi müstəviyə daxil edilsin (üfüqi-proyeksiyalı və ya ön-proyeksiyalı, məsələn, üfüqi-proyeksiyalı γ köməkçi müstəvi kimi götürülür, yəni π 1-ə perpendikulyar, onun üfüqi izi γ 1 perpendikulyarın üfüqi proyeksiyası ilə üst-üstə düşür);
2. Verilmiş müstəvinin ∆ kəsişmə xəttini tapın BCD köməkçi γ ilə ( MNşək. 1.2);
3. Müstəvilərin kəsişmə xəttinin kəsişmə nöqtəsini tapın MN perpendikulyar (nöqtə TOşək. 1.2).
4. Nöqtədən olan məsafənin həqiqi qiymətini təyin etmək A verilmiş müstəviyə qədər ∆ BCD faydalanmalıdır düzbucaqlı üçbucaq üsulu: seqmentin həqiqi qiyməti düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzasıdır, onun bir ayağı seqmentin proyeksiyalarından biridir, digəri isə onun uclarından tikinti aparıldığı proyeksiya müstəvisinə qədər olan məsafələr fərqidir. həyata.
5. Rəqabətli nöqtələr metodundan istifadə edərək perpendikulyar seqmentlərin görünmə qabiliyyətini təyin edin. Məsələn, nöqtələr N Və 3 π 1 , nöqtələrində görmə qabiliyyətini təyin etmək 4 , 5 — π 2-də görmə qabiliyyətini təyin etmək.
Şəkil 1.2 - Müstəviyə perpendikulyarın qurulması
Şəkil 1.3 - Dizayn nümunəsi nəzarət vəzifəsi №1
1 nömrəli tapşırığın yerinə yetirilməsinin video nümunəsi
1.3. İş seçimləri 1
| Seçim | Nöqtələrin koordinatları (x, y, z). | |||
|---|---|---|---|---|
| A | IN | İLƏ | D | |
| 1 | 15; 55; 50 | 10; 35; 5 | 20; 10; 30 | 70; 50; 40 |
| 2 | 80; 65; 50 | 50; 10; 55 | 10; 50; 25 | 75; 25; 0 |
| 3 | 95; 45; 60 | 130; 40; 50 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 4 | 115; 10; 0 | 130; 40; 40 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 5 | 55; 5; 60 | 85; 45; 60 | 100; 5; 30 | 50; 25; 10 |
| 6 | 55; 5; 60 | 70; 40; 20 | 30; 30; 35 | 30; 10; 10 |
| 7 | 60; 10; 45 | 80; 45; 5 | 35; 0; 15 | 10; 0; 45 |
| 8 | 5; 0; 0 | 35; 0; 25 | 20; 0; 55 | 40; 40; 0 |
| 9 | 50; 5; 45 | 65; 30; 10 | 30; 25; 55 | 20; 0; 20 |
| 10 | 60; 50; 35 | 40; 30; 0 | 30; 15; 30 | 80; 5; 20 |
| 11 | 65; 35; 15 | 50; 0; 30 | 20; 25; 25 | 5; 0; 10 |
| 12 | 75; 65; 50 | 45; 10; 35 | 60; 20; 10 | 10; 65; 0 |
| 13 | 95; 0; 15 | 85; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 14 | 45; 40; 40 | 80; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 15 | 80; 20; 30 | 55; 30; 60 | 15; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 16 | 75; 35; 35 | 55; 30; 60 | 25; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 17 | 75; 65; 50 | 45; 5; 55 | 5; 45; 10 | 70; 20; 0 |
| 18 | 65; 15; 20 | 40; 5; 60 | 0; 5; 25 | 60; 60; 20 |
| 19 | 70; 20; 10 | 45; 15; 60 | 5; 10; 20 | 60; 65; 10 |
| 20 | 20; 50; 45 | 10; 20; 10 | 55; 50; 10 | 80; 0; 60 |
| 21 | 0; 5; 50 | 50; 50; 40 | 5; 55; 10 | 45; 5; 0 |
| 22 | 55; 50; 65 | 45; 55; 5 | 0; 10; 45 | 70; 0; 40 |
| 23 | 65; 5; 15 | 40; 60; 10 | 0; 20; 5 | 60; 20; 60 |
| 24 | 50; 20; 45 | 45; 60; 30 | 5; 20; 10 | 60; 30; 5 |
| 25 | 55; 15; 40 | 40; 50; 25 | 5; 15; 10 | 50; 40; 10 |
| 26 | 15; 45; 40 | 10; 25; 5 | 20; 10; 30 | 65; 40; 35 |
| 27 | 70; 30; 30 | 55; 30; 60 | 20; 5; 15 | 65; 60; 25 |
| 28 | 90; 0; 15 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 50; 10; 45 |
| 29 | 110; 10; 0 | 120; 35; 30 | 35; 5; 20 | 70; 20; 5 |
| 30 | 45; 40; 40 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 40 |
Verilmiş koordinatlara uyğun bir nöqtə qurarkən, rəsm qaydalarına uyğun olaraq, ox boyunca miqyaslı olduğunu xatırlamaq lazımdır. Oh -də azalır 2 dəfə oxlar boyunca miqyasla müqayisədə OU Və Oz.
1. Xalların qurulması: A(2; 1; 3) x A = 2; y A = 1; z A = 3
A) adətən, ilk növbədə, bir nöqtənin müstəviyə proyeksiyasını qururlar Ohu. Nöqtələri qeyd edin x A =2 Və y A=1 və onların arasından oxlara paralel düz xətlər çəkin Oh Və OU. Onların kəsişmə nöqtəsinin koordinatları var (2;1; 0) nöqtə quruldu A 1 (2; 1; 0.)
A(2; 1; 3)
0
y A=1
x A =2 saat
A 1 (2; 1; 0) 0 y A=1saat
X x A \u003d 2 A 1 (2; 1; 0)
X
b) nöqtədən daha da uzağa A 1 (2; 1; 0) təyyarəyə perpendikulyar bərpa edin Ohu (oxuna paralel bir xətt çəkin Oz ) və üzərinə üçə bərabər bir seqment qoyun: z A = 3.
2. Quruluş nöqtələri: B(3; - 2; 1) x B = 3; y B = -2; Z B = 1
z
y B = - 2
B(3; -2; 1) HAQQINDA saat
B 1 (3;-2) x B \u003d 3
X
3. Bir nöqtə qurun C(-2; 1; 3 ) z C (-2; 1; 3)
X A \u003d -2; Y A = 1; Z A = 3
x C \u003d - 2 C 1 (-2; 1; 0)
y A =1 y
4.Dan kubu. A ... D 1, kimin kənarıdır 1 . Mənşəyi nöqtə ilə eynidir IN, qabırğalar VA, Günəş Və BB 1 koordinat oxlarının müsbət şüaları ilə üst-üstə düşür. Kubun bütün digər təpələrinin koordinatlarını adlandırın. Bir kubun diaqonalını hesablayın.
z
AB = BC = BB 1 BD 1 = =
B 1 (0; 0; 1) C 1 (0; 1; 1) = =
A 1 (1; 0; 1) D 1 (1; 1; 1)
В(0;0;0) С(0;1;0)
A(1;0;0) D(1;1;0)
5. Süjet nöqtələri A(1;1;-1) Və B(1; -1; 1). Seqment koordinat oxu ilə kəsişirmi? koordinat müstəvisi? Xətt seqmenti mənşədən keçirmi? Əgər varsa, kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapın. z Nöqtələr oxa perpendikulyar bir müstəvidə yerləşir Oh.
Seqment oxu ilə kəsişir Oh
və təyyarə hoy
nöqtədə
B(1; -1; 1) 
0(0;0;0)
С(1;0;0)
A(1;1;-1)
6. İki nöqtə arasındakı məsafəni tapın: A(1;2;3) Və B(-1;1;1).
A)AB = = = =3
b)С(3;4;0) Və D(3;-1;2).
CD = = =
Kosmosda, seqmentin ortasının koordinatlarını təyin etmək üçün üçüncü bir koordinat təqdim edilir.
B (x B; y B; z B)
İLƏ( ; ; )
A(x A; y A; z A)
7. Koordinatları tapın İLƏ seqmentlərin orta nöqtələri: A)AB, Əgər A(3; - 2; - 7), B(11; - 8; 5),
x M = = 7; y M = = - 5; z M = = - 1; C(7; - 5; - 1)
8. Nöqtə koordinatları A(x; y; z). Verilənə simmetrik olan nöqtələrin koordinatlarını yazın:
A) koordinat müstəviləri
b) koordinat xətləri
V) mənşəyi
A)Əgər nöqtə A 1
koordinat müstəvisinə görə verilənə simmetrikdir ho,
sonra fərq
nöqtələrin koordinatları yalnız koordinatın işarəsində olacaqdır z: A 1 (x; y; -z).
nöqtə A 2 Ohz, Sonra A 2 (x; -y; z).
nöqtə A 3 müstəviyə görə verilənə simmetrikdir Ouz, Sonra A 2 (-x; y; z).
b)Əgər nöqtə A 4
koordinat xəttinə görə verilənə simmetrikdir Oh,
sonra fərq
nöqtələrin koordinatları yalnız koordinatların işarələrində olacaqdır saat
Və z: A 4 (x; -y; -z).
nöqtə A 5 OU, Sonra A 5 (-x; y; -z).
nöqtə A 6 düz xəttə görə verilmiş birinə simmetrikdir oz, Sonra A 6 (-x; -y; z).
V)Əgər nöqtə A 7 mənşəyinə görə verilənə simmetrikdir, onda A 6 (-x; -y; -z).
KOORDİNATLARIN DÖNÜŞMƏSİ
Bir koordinat sistemindən digərinə keçid adlanır koordinat sisteminin çevrilməsi.
Biz nəzərdən keçirəcəyik iki çevrilmə halları koordinat sistemləri və müstəvidəki ixtiyari nöqtənin koordinatları arasındakı asılılıq üçün düsturlar əldə edin. müxtəlif sistemlər koordinatları. (Koordinat sisteminin çevrilməsi texnikası qrafiklərin çevrilməsinə bənzəyir).
1.Paralel köçürmə. Bu halda koordinatların mənşəyinin mövqeyi dəyişir, oxların istiqaməti və miqyas dəyişməz qalır.
Koordinatların mənşəyi nöqtəyə gedirsə 0 1 koordinatları ilə 0 1 (x 0; y 0), sonra nöqtə üçün M(x; y) sistem koordinatları arasında əlaqə x0y Və x 0 0y 0 düsturlarla ifadə olunur:
x \u003d x 0 + x "
y = y 0 + y"
Alınan düsturlar bizə məlum olan yeni koordinatlardan köhnə koordinatları tapmağa imkan verir. X" Və at" və əksinə.
y M(x; y) M(x"; y")
0 1 (x 0; y 0), x "
x 0 x"
2.Koordinat oxlarının fırlanması. Bu halda, hər iki ox eyni bucaqla fırlanır, mənşə və miqyas dəyişməz qalır.
M(x; y)
y 1 x 1
Nöqtə koordinatları M köhnə sistemdə M(x; y) Və M(x"; y") - yenisində. Onda hər iki sistemdə qütb radiusu eynidir və qütb bucaqları müvafiq olaraq bərabərdir + Və , Harada - qütb bucağı yeni sistem koordinatları.
Qütbdən düzbucaqlı koordinatlara keçid üçün düsturlara görə bizdə var:
x = rcos( + ) x = rcos cos - rsin günah
y = rsin( + ) y = rcos günah + rsin cos
Amma rcos = x" Və rsin = y", Buna görə də
x \u003d x "cos - y "günah
y \u003d x "günah + y" cos
Aşağıdakı suallara yazılı cavab verin:
- Müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemi nədir? kosmosda?
- Tətbiq oxu nədir? Ordinasiya? Absis?
- Koordinat oxlarında vahid vektorların qeydi necədir?
- Ort nədir?
- Düzbucaqlı koordinat sistemində uclarının koordinatları ilə verilən seqmentin uzunluğu necə hesablanır?
- Seqmentin ortasının koordinatları onun uclarının koordinatları ilə necə hesablanır?
- Qütb koordinat sistemi nədir?
- Düzbucaqlı və qütb koordinat sistemlərində nöqtənin koordinatları arasında hansı əlaqə var?
Tapşırıqları yerinə yetirin:
1. Nöqtə koordinat müstəvilərindən nə qədər uzaqdır A(1; -2; 3)
2. Məqsəd nə qədər uzaqdır A(1; -2; 3) koordinat xətlərindən A)OU; b) OU; V)oz;
3. Fəzada bərabər məsafədə olan nöqtələrin koordinatları hansı şərti ödəyir?
A) iki koordinat müstəvisindən Ohu Və оуз; AB
b) hər üç koordinat müstəvisindən
4. Nöqtənin koordinatlarını tapın M seqmentin ortası AB, A(-2; -4; 1); B(0; -1; 2) və nöqtəyə simmetrik olan nöqtəni adlandırın M, nisbətən A) baltalar Oh
b) baltalar OU
V) baltalar Oz.
5. Bir xal verilir B(4; - 3; - 4). Koordinat oxları və koordinat müstəviləri üzərində bir nöqtədən atılan perpendikulyarların əsaslarının koordinatlarını tapın.
6. Oxda OU iki nöqtədən bərabər məsafədə olan nöqtəni tapın A(1; 2; - 1) Və B(-2; 3; 1).
7. Düz Ohz üç nöqtədən bərabər məsafədə olan nöqtəni tapın A(2; 1; 0); B(-1; 2; 3) Və C(0;3;1).
8. Üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarını tapın ABC və onun sahəsi , təpə koordinatları olarsa : A (-2; 0; 1), B (8; - 4; 9), C (-1; 2; 3).
9. Nöqtələrin proyeksiyalarının koordinatlarını tapın A(2; -3; 5); In (3;-5; ); İLƏ(- ; - ; - ).
10. Ballar verilir A(1; -1; 0) Və B(-3; - 1; 2). Başlanğıcdan verilmiş nöqtələrə qədər olan məsafəni hesablayın.
Kosmosdakı Vektorlar. ƏSAS KONSEPSİYALAR
Fizikada, texnologiyada, gündəlik həyatda bəhs edilən bütün kəmiyyətlər iki qrupa bölünür. Birincilər tam ədədi dəyəri ilə xarakterizə olunur: temperatur, uzunluq, kütlə, sahə, iş. Belə miqdarlar deyilir skalyar.
Digər kəmiyyətlər, məsələn, güc, sürət, yerdəyişmə, sürətlənmə və s. təkcə onların ədədi dəyəri ilə deyil, həm də istiqaməti ilə müəyyən edilir. Bu miqdarlara deyilir vektor, və ya vektorlar. Vektor kəmiyyəti həndəsi olaraq vektor kimi təmsil olunur.
Vektor-bu istiqamətlənmiş düz xətt seqmentidir, yəni. olan seqment
müəyyən uzunluq və istiqamət.
Proyeksiya təyyarələri V,H, W koordinat müstəviləri, proyeksiya oxları kimi götürülür X,Y,Z koordinat oxları üçün həm müsbət, həm də mənfi (şək. 10).
Bir nöqtənin fəzada mövqeyi üç koordinatla verilir - X,Y,Z. Nöqtə proyeksiyaları iki koordinatla verilir: A(X, y),A'(X, z),A''(y, z).
Koordinat oxlarının müsbət və mənfi qiymətlərinin istiqamətini bilməklə, bir nöqtənin proyeksiyalarının xassələrini nəzərə alaraq, koordinatlar üzrə nöqtənin proyeksiyalarını qurmaq mümkündür. Bu mövzuda bir neçə problemi nəzərdən keçirək.
Tapşırıq. Nöqtə proyeksiyalarını qurmaq A(–10; 40; –30) (şək. 10).
düyü. 10. Nöqtə proyeksiyalarının qurulması A koordinatları ilə
Frontal proyeksiya qurmaq üçün A' xal A nöqtənin sağında HAQQINDA oxda X dəyərini təxirə salın X= -10. Nöqtədən aşağı HAQQINDA ox istiqamətində Z dəyərini təxirə salın Z= -30. Perpendikulyarların nöqtələrdən kəsişməsi a X Və a Z müvafiq oxlara bərpa edilmişdir X Və Z, nöqtəni müəyyənləşdirin A'.
Üfüqi bir proyeksiya qurmaq üçün A xal A ox istiqamətində Y nöqtədən aşağı HAQQINDA dəyərini təxirə salın y= - 40. Nöqtə vasitəsilə və Y rabitə xətti ilə kəsişməyə perpendikulyar çəkin aa X. Bir nöqtənin qeyd edilməsi A- nöqtənin üfüqi proyeksiyası A. Nöqtənin frontal və üfüqi proyeksiyalarının yerləşdiyi yerə görə A nöqtə olduğunu müəyyənləşdirin A VΙΙΙ oktanda yerləşir.
Profil proyeksiyasını qurmaq üçün A'' xal A onun frontal proyeksiyası vasitəsilə A' rabitə xətti tutun aa Z və onun üzərində, nöqtənin sağında a Z, dəyəri kənara qoyun y= 40. Bir nöqtəni qeyd edin A''– nöqtənin profil proyeksiyası A.
Tapşırıq. Nöqtələrin proyeksiyalarını koordinatlar üzrə qurun və onların hər birinin yerləşdiyi oktantı göstərin.
İlkin məlumatlar: A(10; –30; 40), IN(70; 50; –10), İLƏ(20; 15; 0), D(60; 35; 40), E(50; –10; –25).
Həll. Tapşırığın qrafik hissəsinin yerinə yetirilməsi qaydası (şək. 11):
1. Koordinat oxlarını çəkin X,Y,Z. Biz onların müsbət və mənfi istiqamətlərini göstəririk.
2. Nöqtələrin qurulması 1:1 miqyasında yerinə yetirilir.
A nöqtəsi(10; –30; 40):
frontal proyeksiya A' xal A koordinatları ilə müəyyən edilir X,Z; ox boyunca X ox boyunca 10 mm kənara qoyun Z- 40 mm.
plan görünüşü A xal A koordinatları ilə müəyyən edilir X,(–Y), 30 mm məsafə ox boyunca kənara qoyulur (- Y Z.
profil proyeksiyası A'' xal A koordinatlarla müəyyən edilir (- Y), Z. Bu halda, ox boyunca 30 mm məsafə çəkilir (- Y) oxun müsbət istiqaməti ilə üst-üstə düşür X. Məqsəd budur AΙΙ oktantındadır.
B nöqtəsi(70; 50; –10):
Frontal proyeksiyanın qurulması b'(X= 70; Y= –10) xal A. Oxun mənfi istiqamətində 10 mm məsafəni ayırmaq lazımdır Z. Müəyyən edin: frontal b' və üfüqi b nöqtə proyeksiyası IN oxun altındakı kommunikasiya xəttində yerləşəcək X. Profil proyeksiyası b′′ xal IN oxun sağında yerləşir Z və oxun altında X. Koordinatların əlamətlərini (+ + -) və nöqtənin proyeksiyalarının yerini təhlil edərək nəticəyə gəlirik - nöqtə INΙV oktantındadır.
C nöqtəsi(20; 15; 0):
Bu nöqtəni qurarkən, frontal proyeksiyanın olduğu aydın görünür ilə' xal İLƏ ox üzərində yerləşir X, və onun profil proyeksiyası A'' ox üzərində yerləşir Y, oxun mənfi istiqaməti ilə üst-üstə düşür X. Bir nöqtənin silinməsi İLƏ proyeksiya müstəvisindən H sıfıra bərabərdir ( y= 0), deməli, nöqtə İLƏ təyyarədə yatır H, Ι və ΙV oktantların sərhədində.
D nöqtəsi(60; 35; 40):
Bütün koordinat dəyərləri müsbətdir, buna görə də nöqtə D I oktandadır.
E nöqtəsi(50; –10; –25):
Mənfi dəyərlər üçün Y Və Z nöqtə ΙΙΙ oktantında yerləşir. Belə bir nöqtənin proqnozları yerləşir:
frontal proyeksiya e' xal E oxun altında yerləşir X, oxun solunda Y;
Üfüqi proyeksiya e xal E oxun üstündə yerləşir X, oxun solunda Z;
Profil proyeksiyası e'' xal E oxun solunda yerləşir Z, oxun altında X.
Nəticə. Nöqtənin üç koordinatı və ya hər hansı iki ortoqonal proyeksiyası məlumdursa, onun fəzadakı mövqeyi tam müəyyən edilir. Bunun nəticəsi olaraq - bir nöqtənin hər iki verilmiş ortoqonal proyeksiyası üçün həmişə onun çatışmayan üçüncü ortoqonal proyeksiyasını qura bilərsiniz.
düyü. 11. Oktantlar göstərilməklə koordinatlar üzrə nöqtələrin qurulması
Verilmiş iki ortoqonal proyeksiyadan nöqtə qurmağı düşünün.
Tapşırıq. Verilmiş iki ortoqonal proyeksiyadan istifadə edərək çatışmayan nöqtə proyeksiyasını qurun IN(şək. 12).
düyü. 12. Problemin qrafik vəziyyəti
Həll. Məsələnin qrafik vəziyyətini təhlil edirik: nöqtənin frontal və profil proyeksiyaları verilir IN. Bu o deməkdir ki, nöqtənin hər üç koordinatı verilmişdir IN. Buna görə də onun üfüqi proyeksiyasını qurmaq lazımdır.
1. Nöqtənin üfüqi proyeksiyasını qurmaq IN bilmək lazımdır X B Və U V. Bu koordinatlar rəsmdə tapılır.
2. Ölçürük У В = b Z b′′ və oxdan kommunikasiya xətti boyunca bu koordinatı kənara qoyun OH nöqtəsindən b X.
3. Nöqtənin üfüqi proyeksiyasını qururuq IN(şək. 13).
düyü. 13. Çatışmayan nöqtənin proyeksiyasının qurulması IN
DÜZ XƏTT
Proyeksiya müstəvisində orfoqrafik proyeksiya edərkən düz xətt düz xətt kimi proyeksiya edilir. Verilmiş nöqtələrdən keçən bu düz xəttin proyeksiyalarını qurmaq A Və IN, bu nöqtələrin proyeksiyalarını qurmaq və onların eyniadlı proyeksiyaları vasitəsilə düz xətlər çəkmək lazımdır (şək. 14). Biz əldə edirik:
ab- düz xətt seqmentinin üfüqi proyeksiyası;
a'b'- düz xətt seqmentinin frontal proyeksiyası.
düyü. 14. İki nöqtədən keçən xətt seqmentinin proyeksiyaları
Düz izlər
Düz xətt proyeksiya müstəvilərini adlanan nöqtələrdə kəsir izlər düz.
Xəttin kəsişmə nöqtəsi Nüfüqi proyeksiya müstəvisi ilə H(P 1) adlanır üfüqi yol N H.
Düz xəttin proyeksiyaların frontal müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsi V(S 2) - frontal iz N V.
Xəttin kəsişmə nöqtəsi N profil proyeksiya müstəvisi ilə W(S 3) - profil treki N W düz.
Nəticə:
· düz üfüqi iz eyni zamanda verilmiş xəttə aid olan və proyeksiyaların üfüqi müstəvisində yerləşən nöqtədir. H(S 1);
· ön yol düz eyni zamanda verilmiş xəttə aid olan və frontal proyeksiya müstəvisində yerləşən nöqtədir V(S 2);
· profil yolu düz eyni zamanda verilmiş xəttə aid olan və proyeksiyaların profil müstəvisində yerləşən nöqtədir W(S 3).
Tapşırıq. Xəttin kəsişmə nöqtələrini qurun Nüfüqi ilə H(P 1) və frontal V(P 2) proyeksiya müstəviləri (şəkil 15 ab).
Problemi təhlil edərək belə nəticəyə gəlirik ki, düz xəttin üfüqi və frontal izlərini qurmaq lazımdır.
1. Frontal oyanmanın tikintisi N V .
N və frontal proyeksiya müstəvisi. Daha əvvəl təqdim olunan materiala görə, istədiyiniz nöqtənin üfüqi proyeksiyası:
- oxda yatmaq X;
- düz xəttin üfüqi proyeksiyasına aiddir N.
Tapşırıqın qrafik hissəsinin icrası qaydası:
1.1. Horizontal proyeksiyanın kəsişmə nöqtəsinin qeyd edilməsi n düz N ox ilə X, bir nöqtəni alırıq nV- frontal izin üfüqi proyeksiyası.
1.2. Nöqtə vasitəsilə nV X.
1.3. Rabitə xəttinin frontal proyeksiya ilə kəsişmə nöqtəsini tapırıq n' düz N, bir nöqtəni alırıq N V- frontal izin frontal proyeksiyası. Bu nöqtə vasitəsilə xətt ikinci rübə keçir (şək. 15 A) və üçüncü rübdə (şək. 15 b).
2. Üfüqi bir izin qurulması N H .
Xəttə aid olan nöqtəni qurmaq lazımdır N və üfüqi proyeksiya müstəvisi H. Daha əvvəl təqdim olunan materiala görə, istədiyiniz nöqtənin frontal proyeksiyası:
- oxda yatmaq X;
- düz xəttin frontal proyeksiyasına aiddir N.
Tapşırıqın qrafik hissəsinin icrası qaydası:
2.1. Frontal proyeksiyanın kəsişmə nöqtəsini qeyd edirik n' düz N ox ilə X, bir nöqtəni alırıq n H- üfüqi yolun frontal proyeksiyası.
2.2. Nöqtə vasitəsilə n H oxa perpendikulyar bir xətt çəkin X.
2.3. Üfüqi proyeksiya ilə əlaqə xəttinin kəsişmə nöqtəsini tapırıq n düz N, frontal izinin frontal proyeksiyasını alırıq. Bu nöqtədə düz xətt üfüqi müstəvi ilə kəsişir və dördüncü rübə keçir (şək. 15). A,b).
|
|
düyü. 15. Düz xəttin tikinti izləri N:
A- düz xətt ikinci rübdə gedir; b– düz xətt üçüncü rübdə gedir
NÖQTƏNİN İKİ PROYEKSİYƏ MÜSTƏVİLƏSİNDƏ PROYEKSİYASI
AA 1 düz xətti seqmentinin əmələ gəlməsi A nöqtəsinin istənilən H müstəvisində hərəkət etməsi nəticəsində (şək. 84, a), müstəvinin əmələ gəlməsi isə AB düz xətti seqmentinin yerdəyişməsi kimi göstərilə bilər (şəkil 84, a), Şəkil 84, b).
Nöqtə xəttin və səthin əsas həndəsi elementidir, ona görə də obyektin düzbucaqlı proyeksiyasının öyrənilməsi nöqtənin düzbucaqlı proyeksiyalarının qurulmasından başlayır.
İki perpendikulyar müstəvinin - V proyeksiyalarının frontal (şaquli) müstəvisi və H proyeksiyalarının üfüqi müstəvisinin yaratdığı dihedral bucağın fəzasında A nöqtəsini yerləşdiririk (şəkil 85, a).
Proyeksiya müstəvilərinin kəsişmə xətti düz xəttdir ki, bu da proyeksiya oxu adlanır və x hərfi ilə işarələnir.
Burada V müstəvisi düzbucaqlı, H müstəvisi isə paraleloqram kimi göstərilmişdir. Bu paraleloqramın maili tərəfi adətən onun üfüqi tərəfinə 45° bucaq altında çəkilir. Maili tərəfin uzunluğu onun həqiqi uzunluğunun 0,5-ə bərabər alınır.
A nöqtəsindən V və H müstəvilərində perpendikulyarlar endirilir. Perpendikulyarların V və H proyeksiya müstəviləri ilə kəsişməsinin a "və a" nöqtələri A nöqtəsinin düzbucaqlı proyeksiyalarıdır. Fəzadakı Aaa x a rəqəmi düzbucaqlıdır. Vizual təsvirdə bu düzbucağın yan aaxı 2 dəfə kiçildilib.
V müstəvisini x müstəvilərinin kəsişmə xətti ətrafında döndərərək H müstəvisini V müstəvisi ilə bərabərləşdirək. Nəticə A nöqtəsinin mürəkkəb rəsmidir (Şəkil 85, b)
Mürəkkəb rəsmini sadələşdirmək üçün V və H proyeksiya müstəvilərinin sərhədləri göstərilmir (şək. 85, c).
A nöqtəsindən proyeksiya müstəvilərinə çəkilmiş perpendikulyarlar proyeksiya xətləri adlanır və bu proyeksiya xətlərinin əsasları - a və a nöqtələri "A nöqtəsinin proyeksiyaları adlanır: a" A nöqtəsinin frontal proyeksiyası, a - üfüqi proyeksiyadır. nöqtə A.
a "a xətti proyeksiya əlaqəsinin şaquli xətti adlanır.
Mürəkkəb çertyojda nöqtənin proyeksiyasının yeri bu nöqtənin fəzadakı mövqeyindən asılıdır.
A nöqtəsi H üfüqi proyeksiya müstəvisində yerləşirsə (şək. 86, a), onda onun üfüqi proyeksiyası verilmiş nöqtə ilə üst-üstə düşür və a " frontal proyeksiyası oxda yerləşir. B nöqtəsi frontal proyeksiyada yerləşdikdə. V müstəvisi, onun frontal proyeksiyası bu nöqtə ilə üst-üstə düşür, üfüqi proyeksiyası isə x oxunda yerləşir. Verilmiş C nöqtəsinin x oxunda yerləşən üfüqi və frontal proyeksiyaları bu nöqtə ilə üst-üstə düşür. A nöqtələrinin mürəkkəb təsviri , B və C Şəkil 86, b-də göstərilmişdir.
NÖQTƏNİN ÜÇ PROKEKSİYON MÜSTƏVİLƏSİNDƏ PROYEKSİYASI
Bir cismin formasını iki proyeksiyadan təsəvvür etmək mümkün olmadığı hallarda, o, üç proyeksiya müstəvisinə proyeksiya edilir. Bu halda, V və H müstəvilərinə perpendikulyar olan W proyeksiyalarının profil müstəvisi təqdim edilir. Üç proyeksiya müstəvisi sisteminin vizual təsviri Şəkildə verilmişdir. 87 a.
Üçbucaqlı bucağın kənarları (proyeksiya müstəvilərinin kəsişməsi) proyeksiya oxları adlanır və x, y və z ilə işarələnir. Proyeksiya oxlarının kəsişməsi proyeksiya oxlarının başlanğıcı adlanır və O hərfi ilə işarələnir. A nöqtəsindən W proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar alaq və perpendikulyarın əsasını a hərfi ilə qeyd edərək alırıq. A nöqtəsinin profil proyeksiyası.
Mürəkkəb çertyoj əldə etmək üçün H və W müstəvilərinin A nöqtələri Ox və Oz oxları ətrafında döndərərək V müstəvisi ilə düzülür. A nöqtəsinin mürəkkəb təsviri Şəkildə göstərilmişdir. 87b və c.
A nöqtəsindən proyeksiya müstəvilərinə qədər proyeksiya edən xətlərin seqmentləri A nöqtəsinin koordinatları adlanır və işarələnir: x A, y A və z A.
Məsələn, A nöqtəsinin z A koordinatı, a "a x seqmentinə bərabərdir (Şəkil 88, a və b) A nöqtəsindən H üfüqi proyeksiya müstəvisinə qədər olan məsafədir. A nöqtəsindəki koordinata bərabərdir. aa x seqmenti, A nöqtəsindən V proyeksiyalarının frontal müstəvisinə qədər olan məsafədir. aa y seqmentinə bərabər olan x A koordinatı A nöqtəsindən W proyeksiyalarının profil müstəvisinə qədər olan məsafədir.
Beləliklə, nöqtənin proyeksiyası ilə proyeksiya oxu arasındakı məsafə nöqtənin koordinatlarını təyin edir və onun mürəkkəb rəsmini oxumaq üçün açardır. Bir nöqtənin iki proyeksiyası ilə bir nöqtənin hər üç koordinatı müəyyən edilə bilər.
A nöqtəsinin koordinatları verilirsə (məsələn, x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm və z A \u003d 25 mm), onda bu nöqtənin üç proyeksiyasını qurmaq olar.
Bunun üçün Oz oxu istiqamətində O koordinatlarının başlanğıcından z A koordinatı, y A koordinatı qoyulur. x koordinatına A bərabər seqmentlər. Nəticədə a "və a nöqtələri olur. A nöqtəsinin frontal və üfüqi proyeksiyaları.
İki proyeksiyaya və A nöqtəsinə görə onun profil proyeksiyası üç yolla qurula bilər:
1) O başlanğıcından koordinata bərabər olan Oa y radiuslu köməkçi qövs çəkilir (şək. 87, b və c), alınan a y1 nöqtəsindən Oz oxuna paralel düz xətt çəkilir və bir düz xətt çəkilir. z A-a bərabər seqment;
2) a y nöqtəsindən Oy oxuna 45 ° bucaq altında köməkçi düz xətt çəkilir (şəkil 88, a), a y1 nöqtəsi alınır və s.;
3) O başlanğıcından Oy oxuna 45 ° bucaq altında köməkçi düz xətt çəkin (şəkil 88, b), a y1 nöqtəsi alın və s.
Nöqtənin fəzadakı mövqeyi onun iki ortoqonal proyeksiyası ilə müəyyən edilə bilər, məsələn, üfüqi və frontal, frontal və profil. İstənilən iki ortoqonal proyeksiyanın birləşməsi nöqtənin bütün koordinatlarının dəyərini öyrənməyə, üçüncü proyeksiya qurmağa, onun yerləşdiyi oktantı təyin etməyə imkan verir. Təsviri həndəsə kursundan bəzi tipik tapşırıqları nəzərdən keçirək.
A və B nöqtələrinin verilmiş kompleks rəsminə əsasən aşağıdakılar lazımdır:
Əvvəlcə A (x, y, z) şəklində yazıla bilən A nöqtəsinin koordinatlarını təyin edək. A nöqtəsinin üfüqi proyeksiyası x, y koordinatlarına malik A nöqtəsidir. A nöqtəsindən x, y oxlarına perpendikulyar çəkin və müvafiq olaraq A x, A y-ni tapın. A nöqtəsi üçün x koordinatı artı işarəli A x O seqmentinin uzunluğuna bərabərdir, çünki A x ərazidə yerləşir müsbət dəyərlər x oxu. Rəsmin miqyasını nəzərə alaraq x \u003d 10 tapırıq. y koordinatı mənfi işarəsi olan A y O seqmentinin uzunluğuna bərabərdir, çünki A y nöqtəsi ərazidə yerləşir. mənfi dəyərlər y oxu. Rəsmin miqyasını nəzərə alsaq, y = -30. A nöqtəsinin frontal proyeksiyası - A"" nöqtəsi x və z koordinatlarına malikdir. A""-dan z oxuna perpendikulyar buraxaq və A z-ni tapaq. A nöqtəsinin z koordinatı mənfi işarəli A z O seqmentinin uzunluğuna bərabərdir, çünki A z z oxunun mənfi qiymətləri bölgəsində yerləşir. Rəsmin miqyasını nəzərə alaraq, z = -10. Beləliklə, A nöqtəsinin koordinatları (10, -30, -10) təşkil edir.
B nöqtəsinin koordinatlarını B (x, y, z) kimi yazmaq olar. B nöqtəsinin üfüqi proyeksiyasını nəzərdən keçirin - B nöqtəsi. "O, x oxunda olduğu üçün B x \u003d B" və koordinat B y \u003d 0. B nöqtəsinin x absisi seqmentin uzunluğuna bərabərdir. Artı işarəsi olan B x O. Rəsmin miqyasını nəzərə alaraq, x = 30. B nöqtəsinin frontal proyeksiyası - B˝ nöqtəsi x, z koordinatlarına malikdir. B""-dən z oxuna perpendikulyar çəkin, beləliklə B z-ni tapın. B nöqtəsinin tətbiqi z mənfi işarəli B z O seqmentinin uzunluğuna bərabərdir, çünki B z z oxunun mənfi dəyərləri bölgəsində yerləşir. Rəsmin miqyasını nəzərə alaraq z = -20 dəyərini təyin edirik. Beləliklə, B koordinatları (30, 0, -20). Bütün zəruri konstruksiyalar aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir.
Nöqtələrin proyeksiyalarının qurulması
P 3 müstəvisində A və B nöqtələri aşağıdakı koordinatlara malikdir: A""" (y, z); B""" (y, z). Bu halda A"" və A""" z oxuna eyni perpendikulyar üzərində yerləşir, çünki onların ümumi z koordinatı var. Eyni şəkildə, B"" və B""" ümumi perpendikulyar üzərində yerləşir. z oxuna. t.A-nın profil proyeksiyasını tapmaq üçün əvvəllər tapılmış müvafiq koordinatın qiymətini y oxu boyunca kənara qoyuruq. Şəkildə bu, A y O radiuslu çevrənin qövsündən istifadə etməklə həyata keçirilir. Bundan sonra A "" nöqtəsindən z oxuna bərpa edilmiş perpendikulyar ilə A y-dən kəsişməyə perpendikulyar çəkirik. Bu iki perpendikulyarın kəsişmə nöqtəsi A""" mövqeyini təyin edir.
B""" nöqtəsi z oxu üzərində yerləşir, çünki bu nöqtənin y-ordinatı sıfıra bərabərdir. Bu məsələdə B nöqtəsinin profil proyeksiyasını tapmaq üçün sadəcə B"" nöqtəsindən perpendikulyar çəkmək lazımdır. z oxu.Bu perpendikulyarın z oxu ilə kəsişmə nöqtəsi B """-dir.
Kosmosda nöqtələrin mövqeyinin müəyyən edilməsi
P 1, P 2 və P 3 proyeksiya müstəvilərindən, oktanların yerləşdiyi yerdən, eləcə də düzülüşün diaqramlara çevrilmə qaydasından ibarət məkan planını vizuallaşdıraraq bilavasitə müəyyən edə bilərsiniz ki, t.A. III oktant və t.B P 2 müstəvisində yerləşir.
Bu problemi həll etmək üçün başqa bir seçim istisnalar üsuludur. Məsələn, A nöqtəsinin koordinatları (10, -30, -10). Müsbət absis x nöqtənin ilk dörd oktantda yerləşdiyini mühakimə etməyə imkan verir. Mənfi y-ordinatı nöqtənin ikinci və ya üçüncü oktanda olduğunu göstərir. Nəhayət, z-nin mənfi tətbiqi A nöqtəsinin üçüncü oktantda olduğunu göstərir. Verilmiş əsaslandırma aşağıdakı cədvəldə aydın şəkildə təsvir edilmişdir.
| Oktantlar | Koordinat işarələri | ||
| x | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
B nöqtəsinin koordinatları (30, 0, -20). t.B-nin ordinatı sıfıra bərabər olduğundan bu nöqtə P 2 proyeksiya müstəvisində yerləşir. B nöqtəsinin müsbət absisi və mənfi tətbiqi onun üçüncü və dördüncü oktantların sərhədində yerləşdiyini göstərir.
P 1, P 2, P 3 müstəvilər sistemində nöqtələrin vizual təsvirinin qurulması
Frontal izometrik proyeksiyadan istifadə edərək üçüncü oktantın məkan planını qurduq. Bu düzbucaqlı üçbucaqlıdır, üzləri P 1, P 2, P 3 müstəviləridir və bucağı (-y0x) 45 º-dir. Bu sistemdə x, y, z oxları boyunca seqmentlər təhrif edilmədən tam ölçüdə çəkiləcək.
A (10, -30, -10) nöqtəsinin vizual təsvirinin qurulması onun üfüqi proyeksiyası A " ilə başlayacaq. Absis və ordinatlar boyunca müvafiq koordinatları kənara qoyaraq, A x və A y nöqtələrini tapırıq. müvafiq olaraq A x və A y nöqtələrindən x və y oxlarına bərpa edilmiş perpendikulyarların kəsişməsi A nöqtəsinin mövqeyini təyin edir". Uzunluğu 10 olan AA seqmentini A "z oxuna paralel olaraq mənfi qiymətlərinə doğru qoyaraq, A nöqtəsinin mövqeyini tapırıq.
B nöqtəsinin vizual təsviri (30, 0, -20) oxşar şəkildə qurulur - P 2 müstəvisində müvafiq koordinatlar x və z oxları boyunca kənara qoyulmalıdır. B x və B z nöqtələrindən yenidən qurulan perpendikulyarların kəsişməsi B nöqtəsinin mövqeyini təyin edəcəkdir.
Oxşar məqalələr
