Piramidė. Nupjauta piramidė

Piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazė ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidė vadinama šoninio paviršiaus puse, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos. Visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotema . įstrižainė Piramidės atkarpa vadinama plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė vadinama visų šoninių paviršių plotų suma. Visas paviršiaus plotas yra visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į šalia pagrindo esančio apskritimo centrą.

2. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, esančio šalia pagrindo, centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, formulė yra teisinga:

kur V- tūris;

S pagrindinis- bazinis plotas;

H yra piramidės aukštis.

Įprastai piramidei galioja šios formulės:

kur p- pagrindo perimetras;

h a- apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S pagrindinis- bazinis plotas;

V yra taisyklingos piramidės tūris.

nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagreti piramidės pagrindui (17 pav.). Teisinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalimi, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.

Pamatai nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai - trapecijos formos. Aukštis Nupjauta piramidė vadinamas atstumu tarp jos pagrindų. Įstrižainė Nupjauta piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. įstrižainė Nupjautos piramidės atkarpa vadinama plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja formulės:

(4)

kur S 1 , S 2 - viršutinio ir apatinio pagrindo sritys;

S pilnas yra bendras paviršiaus plotas;

S pusė yra šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V yra nupjautinės piramidės tūris.

Įprastai sutrumpintai piramidei galioja ši formulė:

kur p 1 , p 2 - baziniai perimetrai;

h a- taisyklingos nupjautos piramidės apotema.

1 pavyzdys Taisyklingoje trikampėje piramidėje dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra taisyklinga, o tai reiškia, kad pagrindas yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas bus kampas a tarp dviejų statmenų: t.y. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apibrėžtojo apskritimo centras ir įbrėžtas apskritimas trikampyje ABC). Šoninio šonkaulio pasvirimo kampas (pvz SB) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindinę plokštumą. Dėl šonkaulio SBšis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP ir OB. Tegul segmento ilgis BD yra 3 a. taškas O linijos segmentas BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės yra cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norint rasti pagrindų plotus, reikia rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės atitinkamai 2 cm ir 8 cm Tai reiškia pagrindų plotus ir Pakeitę visus duomenis į formulę, apskaičiuojame nupjautinės piramidės tūrį:

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindus ir aukštį. Pagrindai pateikti pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Surask iš kur BET 1 E statmenai nuo taško BET 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D- statmenai nuo BET 1 ant AC. BET 1 E\u003d 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Už radimą DE darysime papildomą brėžinį, kuriame pavaizduosime vaizdą iš viršaus (20 pav.). Taškas O- viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai yra įbrėžto apskritimo spindulys ir OM yra įbrėžto apskritimo spindulys:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai a ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD yra lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.

Naudojame teiginį, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas O- viršūnių projekcija S piramidės pagrindu. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį bazinę plokštumą. Pagal ploto teoremą stačiakampė projekcija plokščia figūra mes gauname:

Panašiai tai reiškia Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubrėžkite trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas O yra į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.

Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, tada arba Pagal Pitagoro teoremą turime

Piramidės koncepcija

1 apibrėžimas

Geometrinė figūra, sudarytas iš daugiakampio ir taško, kuris nėra plokštumoje, kurioje yra šis daugiakampis, sujungtas su visomis daugiakampio viršūnėmis, vadinamas piramide (1 pav.).

Daugiakampis, iš kurio sudaryta piramidė, vadinamas piramidės pagrindu, trikampiai, gauti sujungus su tašku, yra piramidės šoniniai paviršiai, trikampių kraštinės yra piramidės kraštinės, o taškas yra bendras visiems. trikampiai yra piramidės viršūnė.

Piramidžių rūšys

Priklausomai nuo kampų skaičiaus piramidės pagrinde, ją galima vadinti trikampiu, keturkampiu ir pan. (2 pav.).

2 pav.

Kitas piramidžių tipas yra taisyklinga piramidė.

Įveskime ir įrodykime taisyklingos piramidės savybę.

1 teorema

Visi taisyklingos piramidės šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai, kurie yra lygūs vienas kitam.

Įrodymas.

Apsvarstykite taisyklingą $n-$kampinę piramidę, kurios viršūnė $S$ aukštis $h=SO$. Aprašykime apskritimą aplink pagrindą (4 pav.).

4 pav

Apsvarstykite trikampį $SOA$. Pagal Pitagoro teoremą gauname

Akivaizdu, kad bet koks šoninis kraštas bus apibrėžtas tokiu būdu. Todėl visi šoniniai kraštai yra lygūs vienas kitam, tai yra, visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Įrodykime, kad jie vienas kitam lygūs. Kadangi pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, visų šoninių paviršių pagrindai yra lygūs vienas kitam. Vadinasi, visi šoniniai paviršiai yra lygūs pagal III trikampių lygybės ženklą.

Teorema įrodyta.

Dabar pristatome tokį apibrėžimą, susijusį su taisyklingos piramidės sąvoka.

3 apibrėžimas

Taisyklingos piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis.

Akivaizdu, kad pagal 1 teoremą visi apotemai yra lygūs.

2 teorema

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas apibrėžiamas kaip pagrindo ir apotemos pusperimetro sandauga.

Įrodymas.

$n-$ anglies piramidės pagrindo kraštinę pažymėkime kaip $a$, o apotemą kaip $d$. Todėl šoninio veido plotas lygus

Kadangi pagal 1 teoremą visos pusės yra lygios, tada

Teorema įrodyta.

Kitas piramidžių tipas yra nupjauta piramidė.

4 apibrėžimas

Jei per paprastą piramidę nubrėžta lygiagreti jos pagrindui plokštuma, tai tarp šios plokštumos ir pagrindo plokštumos susidariusi figūra vadinama nupjautąja piramide (5 pav.).

5 pav. Nupjauta piramidė

Nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos formos.

3 teorema

Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas apibrėžiamas kaip pagrindų ir apotemos pusperimetrių sumos sandauga.

Įrodymas.

$n-$ anglies piramidės pagrindų kraštines pažymėkime atitinkamai $a\ ir\ b$, o apotemą - $d$. Todėl šoninio veido plotas lygus

Kadangi visos pusės yra lygios, tada

Teorema įrodyta.

Užduoties pavyzdys

1 pavyzdys

Raskite nupjautinės trikampės piramidės šoninio paviršiaus plotą, jei jis gaunamas iš taisyklingos piramidės, kurios pagrindo kraštinė yra 4 ir apotema 5, nupjaunant plokštuma, einančia per šoninių paviršių vidurinę liniją.

Sprendimas.

Pagal teoremą apie vidurinė linija gauname, kad sutrumpintos piramidės viršutinė bazė lygi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, o apotemas lygus $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$.

Tada pagal 3 teoremą gauname

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrės peržiūra skirta tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visos pristatymo apimties. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Tikslai:

• įrodyti vienodų briaunų piramidės savybes;
• formuoti gebėjimus panaudoti šią teoremą uždavinio sąlygų analizei ir uždavinio brėžinio konstravimui;
• formuoti mokiniuose gebėjimą naudoti šią teoremą sprendžiant dvi žingsnis po žingsnio uždavinius.

aš. Namų darbai kiekvienas mokinys gauna ant iš anksto atspausdintų lankstinukų.

Teorija: pagal vadovėlio 14.2 punktą, p. 110-111.2) ir 3 užduotys:

1. Taisyklingoje trikampėje piramidėje pagrindo aukštis h, šoninės briaunos į pagrindo plokštumą pasvirusios kampu?. Raskite piramidės aukštį.

2. Piramidės pagrinde yra trikampis, kurio kraštinės , ,4. Šoniniai šonkauliai į pagrindinę plokštumą pasvirę 45 0 kampu. Raskite piramidės aukštį.

3. Taisyklingos keturkampės piramidės pagrindo plotas lygus S. Šoninės briaunos į pagrindo plokštumą pasvirusios kampu?. Raskite piramidės aukštį.

II. Darbas žodžiu pagal paruoštus brėžinius.(Kiekvienas vaikas gauna lapą A-4 su trikampės piramidės piešiniais).

2.1. Įrodykime 3 (tiesiogines) teoremas. Duota: MAVS yra trikampė piramidė, MO yra piramidės aukštis.

1. Mokiniai įrodo „paprastą“ teoremą iš vienos sąlygos ir vienos išvados

2. Naudokite stačiųjų trikampių lygybės ženklą išilgai kojos ir hipotenuzės

3. Jie daro išvadą: iš to, kad AO \u003d VO \u003d CO, seka O - apskritimo centras, aprašytas šalia pagrindo.

4. Mokytojas patikslina šios aplinkybės formuluotę „piramidės pagrindas sutampa su šalia pagrindo apibrėžiamo apskritimo centru“ arba „piramidės viršūnė projektuojama į šalia pagrindo apibrėžiamo apskritimo centrą.

(į 2,3 pav.). Pakeiskite teoremos sąlygą, išlaikykite jos išvadą. Remdamiesi stačiakampių trikampių lygybės ženklais, studentai daro išvadą, kad galima reikalauti kampų lygybės tarp šoninių kraštinių ir pagrindo plokštumos arba kampų tarp šoninių kraštinių ir trikampio aukščio lygybės. piramidė.

Taigi, iš kokių sąlygų galime daryti išvadą, kad piramidės aukščio pagrindas sutampa su šalia pagrindo aprašyto apskritimo centru?

2.2. Suformuluokime atvirkštinius teiginius. Ar šie teiginiai teisingi?

Mokiniai, naudodami stačiųjų trikampių lygybės ženklus, įrodo atvirkštinius teiginius. Duota: MAVS yra trikampė piramidė, MO yra piramidės aukštis, O yra apskritimo centras, apibrėžtas šalia pagrindo, AO = BO = CO.

2.3. n kampinės piramidės teoremos teiginys.

Problemos teiginys: ar šis teiginys teisingas n kampų piramidei? Studentų prašoma pagal analogiją įrodyti tris tiesioginius teiginius.

Teorema. n kampinėje piramidėje su vienodomis šoninėmis briaunomis aukščio pagrindas sutampa su apskritimo centru, kuris yra apibrėžiamas šalia pagrindo; aukštis sudaro vienodus kampus su šoniniais šonkauliais; šoniniai šonkauliai sudaro vienodus kampus su pagrindo plokštuma.

7 pav

2.4. Darbas po teoremos įrodymo (atsigręžk).

A – piramidės šoninės briaunos yra lygios B – piramidės šoninės briaunos sudaro lygius kampus su pagrindine plokštuma C – piramidės šoninės briaunos sudaro lygius kampus su piramidės aukščiu M – piramidės pagrindas sutampa su šalia pagrindo aprašyto apskritimo centru

Atsižvelgdami į visas 6 paprastas teoremas, studentai daro išvadą 2. Mokytojas parodo teiginį A (B, C, M), mokinys suformuluoja 3 paprastas teoremas.

III. Pamokos temos formulavimas.(Piramidės su lygiomis šoninėmis briaunomis savybės).

Kokia šios dienos pamokos tema? (Pamokos tema gali būti bet kuris iš teiginių A, B, C, M).

IV. Algoritmo sudarymas

Duota: trikampė piramidė MAVS, MO – piramidės aukštis. Nustatykite piramidės aukštį. Dviejų žingsnių uždavinių sprendimo algoritmas. 1. Vienos iš sąlygų (A, B, C,) problemos buvimas. Iš šių sąlygų seka M. 2. Išspręskite pagrindą (raskite šalia pagrindo aprašyto apskritimo spindulį). 3. Išspręskite stačiakampį trikampį, pavyzdžiui, MOA.

1. Algoritmo sudarymas. 2. Žinių atnaujinimas: a) šalia pagrindo apibrėžiamo apskritimo centras - statmenų bisektorių susikirtimo su trikampio kraštinėmis taškas; b) apibrėžtojo apskritimo centro vieta smailiame, bukukampyje, stačiakampiuose trikampiuose; c) formulė S = .

V. Piramidės su vienodomis šoninėmis briaunomis savybių taikymas sprendžiant uždavinius.

1 užduotis. Piramidės pagrinde yra lygiašonis stačiakampis trikampis, kurio kojelė lygi 2. Šoninės briaunos į pagrindo plokštumą pasvirusios 60 0 kampu. Raskite piramidės aukštį. 8 pav	1. Kiekvienas mokinys gauna lapelį su užduočių sprendimo sąlygomis 2. Stereometrinio brėžinio nedarome. „B“ sąlygos buvimas Atliekame pagrindo brėžinį. O - hipotenuzės vidurys, AB \u003d 4, R \u003d 2 Sukuriame trikampį AMO, randame MO \u003d 6 Atsakymas: 6
2 užduotis. Piramidės pagrindas yra trikampis, kurio dvi kraštinės 2 ir ir sudaro 45 0 kampą. Kiekvienas šoninis kraštas yra lygus . Raskite piramidės aukštį. 9 pav	Sprendimas. Dirbame pagal algoritmą: 1. Sąlygos „A“ buvimas. 2. Atliekame pagrindo brėžinį. Pagal kosinusų dėsnį randame trečiąją kraštinę (), kuri reiškia, kad trikampis yra lygiašonis ir stačiakampis. O yra hipotenuzės vidurio taškas. Hipotenuzė yra 2, R = 1 3. Sukuriame trikampį AMO, randame MO \u003d 3 Atsakymas: 3
3 užduotis Piramidės pagrinde yra trikampis, kurio kraštinės yra 5, 12, 13. Kampas tarp aukščio ir kiekvienos šoninės briaunos yra 45 0 . Raskite piramidės aukštį. 10 pav	Sprendimas. Dirbame pagal algoritmą: 1. Sąlygos „C“ buvimas 2. Atliekame pagrindo brėžinį. Pagal teoremą, atvirkštinę Pitagoro teoremą, mes sužinome, kad trikampis yra stačiakampis, O yra hipotenuzės vidurio taškas, AB = 13, R = 6,5 3. Sukuriame trikampį AMO – lygiašonį, randame MO \u003d 6.5 Atsakymas: 6.5
4 užduotis Piramidės pagrindas yra lygiašonis trikampis, kurio kraštinės lygios ir sudaro 120 0 kampą. Kiekvienas šoninis kraštas yra lygus . Raskite piramidės aukštį. 11 pav	Sprendimas Dirbame pagal algoritmą: 1. Sąlygos „A“ buvimas. 2. Atliekame pagrindo brėžinį. kampas A yra bukas, O - už trikampio ribų, AO - statmenas bisektorius BC, trikampis AOC yra lygiakraštis, AB =, 3. Sukuriame trikampį AMO, MO \u003d \u003d 6 Atsakymas: 6

VI. Apibendrinant pamoką sprendžiant problemas:

1. Piramidės pagrinde guli trapecija, šoninės briaunos lygios. Nustatykite trapecijos tipą (lygiašonis).

2. Piramidės pagrinde yra lygiagretainis, kampai tarp šoninių kraštinių ir pagrindo plokštumos yra lygūs. Nustatykite lygiagretainio (stačiakampio) tipą.

3. Piramidės pagrinde guli rombas. Kampai tarp šoninių kraštų ir piramidės aukščio yra lygūs. Raskite rombo kampus. (apie 90).

Čia yra surinkta pagrindinė informacija apie piramides ir susijusias formules bei sąvokas. Visi jie mokomi su matematikos dėstytoju ruošiantis egzaminui.

Apsvarstykite plokštumą, daugiakampį jame gulintis ir jame neslepiantis taškas S. Prijunkite S prie visų daugiakampio viršūnių. Gautas daugiakampis vadinamas piramide. Segmentai vadinami šoniniais kraštais. Daugiakampis vadinamas pagrindu, o taškas S – piramidės viršūne. Priklausomai nuo skaičiaus n, piramidė vadinama trikampe (n=3), keturkampe (n=4), penkiakampe (n=5) ir pan. Alternatyvus pavadinimas trikampė piramidė - tetraedras. Piramidės aukštis yra statmenas, nubrėžtas nuo jos viršūnės iki pagrindo plokštumos.

Piramidė vadinama teisinga, jei taisyklingas daugiakampis, o piramidės aukščio pagrindas (statmens pagrindas) yra jos centras.

Mokytojo komentaras:
Nepainiokite sąvokų „įprasta piramidė“ ir „reguliarus tetraedras“. Taisyklingoje piramidėje šoninės briaunos nebūtinai yra lygios pagrindo kraštams, tačiau taisyklingajame tetraedre visos 6 briaunų briaunos yra lygios. Tai yra jo apibrėžimas. Nesunku įrodyti, kad lygybė reiškia, kad daugiakampio centras P su aukščio pagrindu, todėl taisyklingas tetraedras yra taisyklinga piramidė.

Kas yra apotemas?
Piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis. Jei piramidė yra taisyklinga, tai visi jos apotemai yra lygūs. Atvirkščiai netiesa.

Matematikos dėstytojas apie savo terminiją: darbas su piramidėmis 80% sudarytas per dviejų tipų trikampius:
1) Sudėtyje yra apothem SK ir aukštis SP
2) Turintis šoninę briauną SA ir jos projekciją PA

Siekiant supaprastinti nuorodas į šiuos trikampius, matematikos mokytojui patogiau įvardinti pirmąjį iš jų apotemiškas, ir antra pakrantės. Deja, šios terminijos nerasite nė viename vadovėlyje, o mokytojas turi vienašališkai ją supažindinti.

Piramidės tūrio formulė:
1) , kur yra piramidės pagrindo plotas ir piramidės aukštis
2) , kur yra įbrėžtos sferos spindulys ir bendras piramidės paviršiaus plotas.
3) , kur MN yra bet kurių dviejų susikertančių kraštinių atstumas ir lygiagretainio plotas, sudarytas iš keturių likusių briaunų vidurio taškų.

Piramidės aukščio pagrindo savybė:

Taškas P (žr. paveikslą) sutampa su įbrėžto apskritimo centru piramidės pagrindu, jei tenkinama viena iš šių sąlygų:
1) Visi apotemai yra lygūs
2) Visi šoniniai paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindą
3) Visi apotemai vienodai pasvirę į piramidės aukštį
4) Piramidės aukštis yra vienodai pasviręs į visus šoninius paviršius

Matematikos mokytojo komentaras: atkreipkite dėmesį, kad visus elementus jungia vienas bendra nuosavybė: vienaip ar kitaip, visur dalyvauja šoniniai veidai (apotemos yra jų elementai). Todėl mokytojas gali pasiūlyti ne tokią tikslią, bet patogesnę įsiminimo formuluotę: taškas P sutampa su įbrėžto apskritimo centru, piramidės pagrindu, jei yra lygiavertė informacija apie jo šoninius paviršius. Norint tai įrodyti, užtenka parodyti, kad visi apoteminiai trikampiai yra lygūs.

Taškas P sutampa su apibrėžto apskritimo centru netoli piramidės pagrindo, jei yra viena iš trijų sąlygų:
1) Visi šoniniai kraštai yra vienodi
2) Visi šoniniai šonkauliai vienodai pasvirę į pagrindą
3) Visi šoniniai šonkauliai vienodai pasvirę į aukštį

Panašūs straipsniai