Sukurkite plokštumos, pateiktos ∆BCD, pėdsakus ir nustatykite atstumą nuo taško A iki nurodytos plokštumos, naudodami stačiakampio trikampio metodą(taškų A, B, C ir D koordinates žr. skyriaus Užduotys 1 lentelėje);
1.2. 1 užduoties pavyzdys
Pirmoje užduotyje pateikiamas užduočių rinkinys šiomis temomis:
1. Stačiakampė projekcija, Monge diagrama, taškas, tiesė, plokštuma: pagal žinomas trijų taškų koordinates B, C, D sukonstruoti plokštumos, pateiktos ∆, horizontalią ir frontalią projekcijas BCD;
2. Tiesės pėdsakai, plokštumos pėdsakai, priklausymo tiesei plokštumai savybės: sukonstruoti plokštumos, pateiktos ∆, pėdsakus BCD;
3. Bendrosios ir konkrečios plokštumos, tiesės ir plokštumos susikirtimas, tiesės ir plokštumos statmena, plokštumų sankirta, stačiojo trikampio metodas: nustatyti atstumą nuo taško A plokštumai ∆ BCD.
1.2.1. Remiantis žinomomis trijų taškų koordinatėmis B, C, D sudarykime plokštumos, pateiktos ∆, horizontalią ir frontalią projekcijas BCD(1.1 pav.), kuriai būtina sukonstruoti horizontalias ir frontalines viršūnių ∆ projekcijas BCD, tada sujunkite to paties pavadinimo viršūnių projekcijas.
Yra žinoma, kad sekdamas lėktuvą yra tiesi linija, gauta susikirtus tam tikrai plokštumai su projekcijos plokštuma .
Prie lėktuvo bendra pozicija 3 pėdsakai: horizontalus, priekinis ir profilis.
Norint sukonstruoti plokštumos pėdsakus, pakanka bet kurių dviejų šioje plokštumoje esančių tiesių pėdsakus (horizontalų ir frontalinį) nubrėžti ir sujungti vienas su kitu. Taigi plokštumos pėdsakas (horizontalus arba priekinis) bus nustatytas vienareikšmiškai, nes per du plokštumos taškus (į tokiu atvejušie taškai bus tiesių linijų pėdsakai) galite nubrėžti tiesią liniją ir tik vieną.
Šios konstrukcijos pagrindas yra nuosavybė priklausyti tiesiajai plokštumai: jei tiesė priklauso tam tikrai plokštumai, tai jos pėdsakai yra panašiuose šios plokštumos pėdsakuose .
Tiesės pėdsakas yra šios linijos susikirtimo su projekcijos plokštuma taškas. .
Horizontalus tiesės pėdsakas yra horizontalioje projekcijų plokštumoje, priekinis – joje priekinė plokštuma projekcijos.
Apsvarstykime konstrukciją horizontalus pėdsakas tiesiai D.B., kuriam jums reikia:
1. Tęskite priekinę projekciją tiesiai D.B. kol susikirs su ašimi X, susikirtimo taškas M 2 yra priekinė horizontalaus pėdsako projekcija;
2. Iš taško M 2 atstatyti statmeną (projekcinę jungties liniją), kol ji susikirs su horizontalia tiesės projekcija D.B. M 1 ir bus horizontali horizontaliojo pėdsako projekcija (1.1 pav.), kuri sutampa su pačiu pėdsaku M.
Horizontalus segmento pėdsakas konstruojamas panašiai NE tiesus: taškas M'.
Statyti priekinis pėdsakas segmentas C.B. tiesiogiai, jums reikia:
1. Tęskite horizontalią tiesės projekciją C.B. kol susikirs su ašimi X, susikirtimo taškas N 1 yra horizontali priekinio pėdsako projekcija;
2. Iš taško N 1 atstatyti statmeną (projektavimo jungties liniją), kol ji susikirs su priekine tiesės projekcija C.B. arba jo tęsinys. Susikirtimo taškas N 2 ir bus priekinio pėdsako priekinė projekcija, kuri sutampa su pačiu pėdsaku N.
Taškų sujungimas M′1 Ir M 1 tiesios linijos atkarpą, gauname horizontalų plokštumos απ 1 pėdsaką. απ 1 susikirtimo su ašimi taškas α x X paskambino išnykimo taškas . Norint sukurti priekinį απ 2 plokštumos pėdsaką, būtina sujungti priekinį pėdsaką N 2 su pėdsakų išnykimo tašku α x
1.1 pav. Plokštumos pėdsakų konstrukcija
Šios problemos sprendimo algoritmas gali būti pateiktas taip:
- (D 2 B 2 ∩ JAUTIS) = M 2 ;
- (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M 1 = M;
- (C 2 B 2 ∩ JAUTIS) = M′ 2 ;
- (M′ 2 M′ 1 ∩ C 1 B 1) = M′ 1 = M′;
- (CB∩ π 2) = N 2 = N;
- (MM′) ≡ απ 1 ;
- (α x N) ≡ απ 2 .
1.2.2. Norėdami išspręsti antrąją pirmosios užduoties dalį, turite žinoti, kad:
- atstumas nuo taško A plokštumai ∆ BCD nustatomas pagal statmens, atkurto nuo šio taško iki plokštumos, ilgį;
- bet kuri tiesė yra statmena plokštumai, jei ji yra statmena dviem šioje plokštumoje esančioms susikertančioms tiesėms;
- schemoje statmenos plokštumai tiesės projekcijos yra statmenos šios plokštumos horizontaliosios ir frontalinės pasvirusioms projekcijoms arba to paties pavadinimo plokštumos pėdsakams (1.2 pav.) (žr. Teoremą apie statmeną į lėktuvą paskaitose).
Norint rasti statmens pagrindą, reikia išspręsti tiesės (šiame uždavinyje tokia tiesė yra statmena plokštumai) susikirtimo su plokštuma uždavinį:
1. Įtraukite statmeną į pagalbinę plokštumą, kuri turėtų būti tam tikros padėties plokštuma (horizontaliai projektuojanti arba projektuojanti priekyje; pavyzdyje horizontaliai projektuojanti γ laikoma pagalbine plokštuma, tai yra, statmena π 1, jos horizontaliam pėdsakui γ 1 sutampa su horizontalia statmens projekcija);
2. Raskite duotosios plokštumos ∆ susikirtimo tiesę BCD su pagalbiniu γ ( MN pav. 1.2);
3. Raskite plokštumų susikirtimo tiesės susikirtimo tašką MN su statmenu (taškas KAM pav. 1.2).
4. Nustatyti tikrąjį atstumą nuo taško Aį duotąją plokštumą ∆ BCD turėtų būti naudojamas stačiojo trikampio metodas: tikrasis atkarpos dydis yra stačiojo trikampio, kurio viena atkarpa yra viena iš atkarpos projekcijų, hipotenuzė, o kita – atstumų nuo jos galų iki projekcijų plokštumos, kurioje statoma konstrukcija, skirtumas. atliko.
5. Konkuruojančių taškų metodu nustatykite statmenų pjūvių matomumą. Pavyzdžiui – taškai N Ir 3 nustatyti matomumą π 1, taškais 4 , 5 - nustatyti matomumą π 2.
1.2 pav. Statmens plokštumai konstrukcija
1.3 pav. Projektavimo pavyzdys kontrolės užduotis №1
1 užduoties atlikimo vaizdo pavyzdys
1.3. 1 užduoties parinktys
| Variantas | Taškų koordinatės (x, y, z). | |||
|---|---|---|---|---|
| A | IN | SU | D | |
| 1 | 15; 55; 50 | 10; 35; 5 | 20; 10; 30 | 70; 50; 40 |
| 2 | 80; 65; 50 | 50; 10; 55 | 10; 50; 25 | 75; 25; 0 |
| 3 | 95; 45; 60 | 130; 40; 50 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 4 | 115; 10; 0 | 130; 40; 40 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 5 | 55; 5; 60 | 85; 45; 60 | 100; 5; 30 | 50; 25; 10 |
| 6 | 55; 5; 60 | 70; 40; 20 | 30; 30; 35 | 30; 10; 10 |
| 7 | 60; 10; 45 | 80; 45; 5 | 35; 0; 15 | 10; 0; 45 |
| 8 | 5; 0; 0 | 35; 0; 25 | 20; 0; 55 | 40; 40; 0 |
| 9 | 50; 5; 45 | 65; 30; 10 | 30; 25; 55 | 20; 0; 20 |
| 10 | 60; 50; 35 | 40; 30; 0 | 30; 15; 30 | 80; 5; 20 |
| 11 | 65; 35; 15 | 50; 0; 30 | 20; 25; 25 | 5; 0; 10 |
| 12 | 75; 65; 50 | 45; 10; 35 | 60; 20; 10 | 10; 65; 0 |
| 13 | 95; 0; 15 | 85; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 14 | 45; 40; 40 | 80; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 15 | 80; 20; 30 | 55; 30; 60 | 15; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 16 | 75; 35; 35 | 55; 30; 60 | 25; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 17 | 75; 65; 50 | 45; 5; 55 | 5; 45; 10 | 70; 20; 0 |
| 18 | 65; 15; 20 | 40; 5; 60 | 0; 5; 25 | 60; 60; 20 |
| 19 | 70; 20; 10 | 45; 15; 60 | 5; 10; 20 | 60; 65; 10 |
| 20 | 20; 50; 45 | 10; 20; 10 | 55; 50; 10 | 80; 0; 60 |
| 21 | 0; 5; 50 | 50; 50; 40 | 5; 55; 10 | 45; 5; 0 |
| 22 | 55; 50; 65 | 45; 55; 5 | 0; 10; 45 | 70; 0; 40 |
| 23 | 65; 5; 15 | 40; 60; 10 | 0; 20; 5 | 60; 20; 60 |
| 24 | 50; 20; 45 | 45; 60; 30 | 5; 20; 10 | 60; 30; 5 |
| 25 | 55; 15; 40 | 40; 50; 25 | 5; 15; 10 | 50; 40; 10 |
| 26 | 15; 45; 40 | 10; 25; 5 | 20; 10; 30 | 65; 40; 35 |
| 27 | 70; 30; 30 | 55; 30; 60 | 20; 5; 15 | 65; 60; 25 |
| 28 | 90; 0; 15 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 50; 10; 45 |
| 29 | 110; 10; 0 | 120; 35; 30 | 35; 5; 20 | 70; 20; 5 |
| 30 | 45; 40; 40 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 40 |
Statydami tašką nurodytose koordinatėse, turite atsiminti, kad pagal brėžinio taisykles skalė išilgai ašies Oi sumažėja 2 kartų, palyginti su masteliu išilgai ašių OU Ir Ozas.
1. Sukurkite tašką: A(2; 1; 3) x A = 2; y A = 1; z A = 3
A) dažniausiai pirmiausia jie sukonstruoja taško projekciją į plokštumą Oho. Pažymėkite taškus x A =2 Ir y A =1 ir per juos nubrėžkite tiesias linijas, lygiagrečias ašims Oi Ir OU. Jų susikirtimo taškas turi koordinates (2;1; 0) Pastatytas taškas A 1 (2; 1; 0.)
A(2; 1; 3)
0
y A =1
x A =2 adresu
A 1 (2; 1; 0) 0 y A =1adresu
X x A = 2 A 1 (2; 1; 0)
X
b) toliau nuo taško A 1 (2; 1; 0) atstatyti statmenai plokštumai Oho (nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią ašiai Ozas ) ir ant jo padėkite atkarpą, lygią trims: z A = 3.
2. Sukurkite tašką: B(3; - 2; 1) x B = 3; y B = -2; Z B = 1
z
y B = – 2
B(3; -2; 1) APIE adresu
B1 (3;-2) x B =3
X
3. Sukonstruoti tašką C(-2; 1; 3 ) z C (-2; 1; 3)
X A = -2; Y A = 1; Z A = 3
x C = -2 C1 (-2;1;0)
y A = 1 m
4.Dano kubas. A...D 1, kurio kraštas lygus 1 . Kilmė sutampa su tašku IN, šonkauliai VA, BC Ir BB 1 sutampa su teigiamais koordinačių ašių spinduliais. Įvardykite visų kitų kubo viršūnių koordinates. Apskaičiuokite kubo įstrižainę.
z
AB = BC = BB 1 BD 1 = =
B1 (0;0;1) C1 (0;1;1) = =
A 1 (1; 0; 1) D 1 (1; 1; 1)
B(0;0;0) C(0;1;0) y
A(1;0;0) D(1;1;0)
5. Nubraižykite taškus A(1;1;-1) Ir B(1; -1;1). Ar atkarpa kerta koordinačių ašį? koordinačių plokštuma? ar segmentas eina per pradžią? Raskite susikirtimo taškų koordinates, jei tokių yra. z Taškai yra plokštumoje, statmenoje ašiai Oi.
Atkarpa kerta ašį Oi
ir lėktuvas xOy
taške
B(1; -1;1) 
0(0;0;0)
C(1;0;0)
A(1;1;-1)
6. Raskite atstumą tarp dviejų taškų: A(1;2;3) Ir B(-1;1;1).
A)AB = = = =3
b)C(3;4;0) Ir D(3; -1;2).
СD = = =
Erdvėje, norint nustatyti atkarpos vidurio koordinates, įvedama trečioji koordinatė.
B (x B; y B; z B)
SU( ; ; )
A(x A; y A; z A)
7.Rasti koordinates SU segmentų vidurio taškai: A)AB, Jeigu A(3; – 2; – 7), B(11; – 8; 5),
x M = = 7; y M = = -5; z M = = -1; C(7; - 5; - 1)
8. Taško koordinatės A(x;y;z). Užrašykite taškų koordinates, simetriškas šiam taškui:
A) koordinačių plokštumos
b) koordinačių linijos
V) kilmės
A) Jei taškas A 1
simetriškas duotajam koordinačių plokštumos atžvilgiu xOu,
tada skirtumas yra
taškų koordinatės bus tik koordinačių ženkle z: A1 (x;y;-z).
taškas A 2 Oxz, Tada A 2 (x; -y; z).
taškas A 3 simetriškas duotajam plokštumos atžvilgiu Оуz, Tada A 2 (-x; y; z).
b) Jei taškas A 4
simetriškas duotajam koordinačių linijos atžvilgiu Oi,
tada skirtumas yra
taškų koordinatės bus tik koordinačių ženkluose adresu
Ir z: A 4 (x; -y; -z).
taškas A 5 OU, Tada A 5 (-x; y; -z).
taškas A 6 simetriškas nurodytai linijai Ozas, Tada A 6 (-x; -y; z).
V) Jei taškas A 7 yra simetriškas duotajam kilmės atžvilgiu, tada A 6 (-x; -y; -z).
KOORDINAČIŲ TRANSFORMACIJA
Perėjimas iš vienos koordinačių sistemos į kitą vadinamas koordinačių sistemos transformacija.
Mes svarstysime du konversijos atvejai koordinačių sistemą ir išveskite savavališko taško plokštumoje koordinačių priklausomybės formules skirtingos sistemos koordinates (Koordinačių sistemos transformavimo technika panaši į grafikų transformavimą).
1.Lygiagretus perdavimas. Šiuo atveju keičiasi koordinačių pradžios padėtis, tačiau ašių kryptis ir skalė išlieka nepakitę.
Jei koordinačių pradžia eina į tašką 0 1 su koordinatėmis 0 1 (x 0; y 0), tada dėl reikalo M(x;y) ryšys tarp sistemos koordinačių x0m Ir x 0 0y 0 išreikšta formulėmis:
x = x 0 + x"
y = y 0 + y"
Gautos formulės leidžia rasti senas koordinates naudojant žinomas naujas X" Ir y" ir atvirkščiai.
y M(x;y) M(x"; y")
0 1 (x 0; y 0),x"
x 0 x"
2.Sukimosi koordinačių ašys. Šiuo atveju abi ašys pasukamos tuo pačiu kampu, o kilmė ir skalė lieka nepakitę.
M(x;y)
y 1 x 1
Taško koordinatės M senojoje sistemoje M(x;y) Ir M(x"; y") – naujajame. Tada polinis spindulys abiejose sistemose yra vienodas, o poliariniai kampai atitinkamai lygūs + Ir , Kur - poliarinis kampas in nauja sistema koordinates
Pagal perėjimo iš poliarinių į stačiakampes koordinates formules turime:
x = rcos( + ) x = rcos cos - rsin nuodėmė
y = rsin( + ) y = rcos nuodėmė +rsin cos
Bet rcos = x" Ir rsin = y", Štai kodėl
x = x" cos - y"· nuodėmė
y = x" nuodėmė + y" cos
Raštu atsakykite į šiuos klausimus:
- Kas vadinama stačiakampe koordinačių sistema plokštumoje? kosmose?
- Kuri ašis vadinama taikymo ašimi? Ordinate? Abscisė?
- Koks yra vienetų vektorių žymėjimas koordinačių ašyse?
- Kas vadinama ortu?
- Kaip stačiakampėje koordinačių sistemoje apskaičiuojamas atkarpos ilgis, apibrėžtas jo galų koordinatėmis?
- Kaip apskaičiuojamos atkarpos vidurio taško koordinatės, apibrėžtos jos galų koordinatėmis?
- Kas vadinama poline koordinačių sistema?
- Koks ryšys tarp taško koordinačių stačiakampėse ir polinėse koordinačių sistemose?
Atlikite užduotis:
1. Kokiu atstumu nuo koordinačių plokštumų yra taškas? A(1; -2; 3)
2. Kokiu atstumu yra taškas A(1; -2; 3) iš koordinačių linijų A)OU; b) OU; V)Ozas;
3. Kokią sąlygą tenkina vienodai nutolusių erdvės taškų koordinatės:
A) iš dviejų koordinačių plokštumų Oho Ir Оуz; AB
b) iš visų trijų koordinačių plokštumų
4. Raskite taško koordinates M atkarpos vidurio taškas AB, A(-2; -4; 1); B(0; -1; 2) ir pavadinkite tašką, simetrišką taškui M, palyginti A) kirvius Oi
b) kirvius OU
V) kirvius Ozas.
5. Duotas taškas B(4; - 3; - 4). Raskite statmenų, nukritusių iš taško koordinačių ašyje, pagrindų koordinates ir koordinačių plokštumas.
6.Ant ašies OU rasti tašką, esantį vienodu atstumu nuo dviejų taškų A(1; 2; - 1) Ir B(-2; 3; 1).
7. Plokštumoje Oxz rasti tašką, esantį vienodu atstumu nuo trijų taškų A(2; 1; 0); B(-1; 2; 3) Ir C(0;3;1).
8. Raskite trikampio kraštinių ilgius ABC ir jos plotas , jei viršūnių koordinatės : A(-2; 0; 1), B(8; -4; 9), C(-1; 2; 3).
9. Raskite taškų projekcijų koordinates A(2; -3; 5); B (3;-5; ); SU(- ; - ; - ).
10. Skiriami taškai A(1; -1; 0) Ir B(-3; - 1; 2). Apskaičiuokite atstumą nuo pradžios iki nurodytų taškų.
VEKTORIAI ERDVĖJE. PAGRINDINĖS SĄVOKOS
Visi dydžiai, su kuriais susiduriama fizikoje, technikoje ir kasdieniame gyvenime, yra suskirstyti į dvi grupes. Pirmieji visiškai apibūdinami jų skaitine verte: temperatūra, ilgis, masė, plotas, darbas. Tokie kiekiai vadinami skaliarinis.
Kiti dydžiai, tokie kaip jėga, greitis, poslinkis, pagreitis ir kt. lemia ne tik jų skaitinė reikšmė, bet ir kryptis. Šie kiekiai vadinami vektorius, arba vektoriai. Vektorinis dydis geometriškai pavaizduotas kaip vektorius.
Vektorius-tai yra nukreipta tiesi atkarpa, t.y. segmentas, turintis
tam tikras ilgis ir kryptis.
Projekcinės plokštumos V,H, W imami kaip koordinačių plokštumos, o projekcijų ašys X,Y,Z koordinačių ašims, tiek teigiamoms, tiek neigiamoms (10 pav.).
Taško padėtis erdvėje nurodoma trimis koordinatėmis - X,Y,Z. Taško projekcijos nurodomos dviem koordinatėmis: A(X, y),A'(X, z),A''(y, z).
Žinant teigiamų ir neigiamų koordinačių ašių verčių kryptį, atsižvelgiant į taško projekcijų savybes, galima iš koordinačių sudaryti taško projekcijas. Panagrinėkime keletą šios temos problemų.
Užduotis. Sukurkite taško projekcijas A(–10; 40; –30) (10 pav.).
Ryžiai. 10. Taško projekcijų konstravimas A pagal koordinates
Sukonstruoti priekinę projekciją A' taškų A taško dešinėje APIE ant ašies X atidėti vertę X= –10. Žemyn nuo taško APIE išilgai ašies Z atidėti vertę Z= –30. Statmenų sankirta iš taškų ir X Ir ir Z,atkurta į atitinkamas ašis X Ir Z, nustatykite tašką A'.
Sukonstruoti horizontalią projekciją A taškų A išilgai ašies Yžemyn nuo taško APIE atidėti vertę y= – 40. Per tašką ir Y nubrėžkite statmeną, kol susikirs su ryšio linija a'a X. Pažymėkite tašką A– horizontali taško projekcija A. Pagal priekinės ir horizontalios taško projekcijų vietą A nustatome, kad taškas A esantis VΙΙΙ oktante.
Sukonstruoti profilio projekciją A'' taškų A per jos priekinę projekciją A' nubrėžti bendravimo liniją a'a Z ir ant jo, taško dešinėje ir Z, atidėkite vertę y= 40. Pažymėkite tašką A''– taško profilinė projekcija A.
Užduotis. Sukurkite taškų projekcijas pagal koordinates ir nurodykite oktantą, kuriame yra kiekvienas iš jų.
Pradiniai duomenys: A(10; –30; 40), IN(70; 50; –10), SU(20; 15; 0), D(60; 35; 40), E(50; –10; –25).
Sprendimas. Grafinės užduoties dalies vykdymo tvarka (11 pav.):
1. Nubraižykite koordinačių ašis X,Y,Z. Mes nurodome jų teigiamas ir neigiamas kryptis.
2. Konstruojame taškus masteliu 1:1.
Taškas A(10; –30; 40):
Priekinė projekcija A' taškų A nustatomi koordinatėmis X,Z; išilgai ašies X atidėkite 10 mm išilgai ašies Z– 40 mm.
Horizontali projekcija A taškų A nustatomi koordinatėmis X,(–Y), išilgai ašies atidedamas 30 mm atstumas (– Y Z.
Profilio projekcija A'' taškų A nustatoma koordinatėmis (– Y), Z. Šiuo atveju išilgai ašies nutiesiamas 30 mm atstumas (– Y), sutampa su teigiama ašies kryptimi X. Todėl taškas A yra ΙΙ oktante.
Taškas B(70; 50; –10):
Priekinės projekcijos kūrimas b′(X= 70; Y= –10) taškų A. Neigiama ašies kryptimi turi būti paliktas 10 mm atstumas Z. Nurodykite: priekinė b′ ir horizontaliai b taško projekcija IN bus išdėstyta ryšio linijoje žemiau ašies X. Profilio projekcija b′′ taškų IN esantis ašies dešinėje Z ir žemiau ašies X. Analizuodami koordinačių ženklus (+ + –) ir taško projekcijų vietą, darome išvadą, kad taškas IN yra ΙV oktante.
Taškas C(20; 15; 0):
Statant šį tašką akivaizdu, kad priekinė projekcija Su' taškų SU guli ant ašies X, ir jo profilio projekcija A'' guli ant ašies Y, sutampa su neigiama ašies kryptimi X. Ištrinti tašką SU nuo projekcijos plokštumos N lygus nuliui ( y= 0), taigi taškas SU guli plokštumoje N, ties Ι ir ΙV oktantų riba.
Taškas D(60; 35; 40):
Visos koordinačių reikšmės yra teigiamos, todėl taškas D yra 1 oktante.
E taškas(50; –10; –25):
Dėl neigiamų verčių Y Ir Z taškas yra ΙΙΙ oktante. Tokio taško projekcijos yra:
Priekinė projekcija e′ taškų E esantis žemiau ašies X, į kairę nuo ašies Y;
Horizontali projekcija e taškų E esantis virš ašies X, į kairę nuo ašies Z;
Profilio projekcija e′′ taškų E esantis ašies kairėje Z, žemiau ašies X.
Išvada. Taško padėtis erdvėje yra visiškai apibrėžta, jei žinomos trys jo koordinatės arba dvi stačiakampės projekcijos. Dėl to, naudodami bet kurias dvi nurodytas stačiakampes taško projekcijas, visada galite sukurti trūkstamą trečiąją stačiakampę projekciją.
Ryžiai. 11. Taškų konstravimas koordinatėmis, nurodančiomis oktantus
Apsvarstykite galimybę sukurti tašką iš dviejų nurodytų stačiakampių projekcijų.
Užduotis. Naudodami dvi duotas stačiakampes projekcijas, sukurkite trūkstamą taško projekciją IN(12 pav.).
Ryžiai. 12. Grafinė uždavinio būklė
Sprendimas. Analizuojame grafinę uždavinio būklę: pateikiamos taško frontalinės ir profilinės projekcijos IN. Tai reiškia, kad nurodytos visos trys taško koordinatės IN. Todėl būtina sukurti jo horizontalią projekciją.
1. Sukonstruoti horizontalią taško projekciją IN reikia žinoti X B Ir U V. Šias koordinates randame brėžinyje.
2. Matuojame У В = b Z b′′ ir nubrėžkite šią koordinatę išilgai jungties linijos nuo ašies OI nuo taško b X.
3. Sukonstruoti horizontalią taško projekciją IN(13 pav.).
Ryžiai. 13. Trūkstamos taško projekcijos konstravimas IN
TIESI LINIJA
Stačiakampėje projekcijoje projekcijų plokštumose tiesė projektuojama kaip tiesė. Sukurti šios tiesės, einančios per duotus taškus, projekcijas A Ir IN, reikia sudaryti šių taškų projekcijas ir per jų to paties pavadinimo projekcijas nubrėžti tiesias linijas (14 pav.). Mes gauname:
ab– tiesios atkarpos horizontalioji projekcija;
a'b'– tiesios atkarpos frontalioji projekcija.
Ryžiai. 14. Per du taškus einančios tiesės atkarpos projekcijos
Tiesios linijos pėdsakai
Tiesi linija kerta projekcijos plokštumas taškuose, vadinamuose pėdsakų tiesiai.
Linijos susikirtimo taškas N su horizontalia projekcijos plokštuma N(P 1) vadinamas horizontalus pėdsakas N H .
Tiesios linijos susikirtimo taškas su priekine projekcijos plokštuma V(P 2) – priekinis pėdsakas N V.
Linijos susikirtimo taškas N su profilio projekcijos plokštuma W(P 3) – profilio pėdsakas N W tiesiai.
Išvada:
· horizontalus pėdsakas tiesus yra taškas, kuris vienu metu priklauso tam tikrai tiesei ir yra horizontalioje projekcijų plokštumoje H(P 1);
· priekinis pėdsakas tiesus yra taškas, kuris vienu metu priklauso tam tikrai tiesei ir yra priekinėje projekcijų plokštumoje V(P 2);
· profilio pėdsakas tiesus yra taškas, kuris vienu metu priklauso duotai tiesei ir yra projekcijų profilio plokštumoje W(P 3).
Užduotis. Sukurkite linijų susikirtimo taškus N nuo horizontalios N(P 1) ir priekinę V(P 2) projekcijos plokštumos (15 pav.). ab).
Analizuodami problemą, prieiname prie išvados, kad būtina sukonstruoti horizontalius ir frontalinius tiesės pėdsakus.
1. Priekinio pėdsako N V konstrukcija.
N ir priekinė projekcijų plokštuma. Remiantis anksčiau pateikta medžiaga, horizontali norimo taško projekcija turėtų:
- gulėti ant ašies X;
– priklauso horizontaliai linijos projekcijai N.
Grafinės užduoties dalies vykdymo tvarka:
1.1. Pažymėkite horizontalios projekcijos susikirtimo tašką n tiesiai N su ašimi X, supratome esmę n V– horizontali frontalinio pėdsako projekcija.
1.2. Per tašką n V X.
1.3. Ryšio linijos susikirtimo su priekine projekcija taško radimas n′ tiesiai N, supratome esmę N V– frontalinio pėdsako priekinė projekcija. Per šį tašką tiesė eina į antrąjį ketvirtį (15 pav.). A) ir trečiąjį ketvirtį (15 pav.). b).
2. Horizontaliojo pėdsako konstrukcija N H .
Būtina sukonstruoti tašką, priklausantį tiesei N ir horizontalios projekcijos plokštuma N. Remiantis anksčiau pateikta medžiaga, norimo taško priekinė projekcija turėtų:
- gulėti ant ašies X;
– priklauso tiesės frontalinei projekcijai N.
Grafinės užduoties dalies vykdymo tvarka:
2.1. Pažymėkite priekinės projekcijos susikirtimo tašką n'tiesiai N su ašimi X, supratome esmę n H– priekinė horizontalaus pėdsako projekcija.
2.2. Per tašką n H nubrėžkite jungties liniją, statmeną ašiai X.
2.3. Ryšio linijos susikirtimo su horizontalia projekcija taško radimas n tiesiai N, gauname frontalinio pėdsako priekinę projekciją. Šioje vietoje tiesė kerta horizontalią plokštumą ir eina į ketvirtąjį ketvirtį (15 pav.). A,b).
|
|
Ryžiai. 15. Tiesės pėdsakų konstravimas N:
A– tiesė eina į antrąjį ketvirtį; b– tiesioji eina į trečiąjį ketvirtį
TAŠKO PROJEKTAVIMAS DVIESE PROJEKTAVIMO PLOKTUČTOSE
Tiesios atkarpos AA 1 susidarymas gali būti pavaizduotas kaip taško A judėjimo bet kurioje plokštumoje H rezultatas (84 pav., a), o plokštumos susidarymas kaip tiesės atkarpos AB judėjimas (pav. 84, b).
Taškas yra pagrindinis geometrinis linijos ir paviršiaus elementas, todėl objekto stačiakampės projekcijos tyrimas pradedamas nuo taško stačiakampių projekcijų konstravimo.
Dviejų statmenų plokštumų - priekinės (vertikalios) projekcijų V plokštumos ir horizontaliosios projekcijų H plokštumos suformuoto dvikampio erdvėje dedame tašką A (85 pav., a).
Projekcinių plokštumų susikirtimo linija yra tiesi linija, vadinama projekcijos ašimi ir žymima raide x.
V plokštuma čia pavaizduota kaip stačiakampis, o H plokštuma kaip lygiagretainis. Šio lygiagretainio pasvirusioji pusė paprastai brėžiama 45° kampu į horizontaliąją pusę. Pasvirusios kraštinės ilgis yra lygus 0,5 jo tikrojo ilgio.
Iš taško A statmenai nuleidžiami į plokštumas V ir H. Statmenų sankirtos su projekcijų plokštumomis V ir H taškai a" ir a yra taško A stačiakampės projekcijos. Figūra Aaa x a" erdvėje yra stačiakampis. Šio stačiakampio šoninė aax vaizdiniame vaizde sumažinama 2 kartus.
Sulygiuokime H plokštumas su V plokštuma, sukdami V aplink x plokštumų susikirtimo liniją. Rezultatas yra išsamus taško A brėžinys (85 pav., b)
Kompleksiniam brėžiniui supaprastinti projekcinių plokštumų V ir H ribos nenurodytos (85 pav., c).
Statmenys, nubrėžti iš taško A į projekcijos plokštumas, vadinami projekcinėmis linijomis, o šių projekcinių tiesių pagrindai - taškai a ir a" - taško A projekcijomis: a" yra taško A priekinė projekcija, a - horizontalioji projekcija. A taško.
Linija a" a vadinama vertikalia projekcijos jungties linija.
Taško projekcijos vieta kompleksiniame brėžinyje priklauso nuo šio taško padėties erdvėje.
Jei taškas A yra horizontalioje projekcijų H plokštumoje (86 pav., a), tai jo horizontalioji projekcija a sutampa su duotu tašku, o frontalioji projekcija a" yra ant ašies. Kai taškas B yra frontalinėje projekcijų plokštuma V, jos priekinė projekcija sutampa su šiuo tašku, o horizontalioji projekcija yra ant x ašies. Su šiuo tašku sutampa duoto taško C, esančio ant x ašies, horizontalioji ir frontalioji projekcija Sudėtinis brėžinys taškų A, B ir C parodyta 86 pav., b.
TAŠKO PROJEKTAVIMAS TRIJOSE PROJEKTAVIMO PLOKTUMUOSE
Tais atvejais, kai neįmanoma įsivaizduoti objekto formos iš dviejų projekcijų, ji projektuojama į tris projekcijų plokštumas. Šiuo atveju įvedama profilinė projekcinė plokštuma W, statmena plokštumoms V ir H. Trijų projekcinių plokštumų sistemos vizualinis vaizdas pateiktas fig. 87, a.
Trikampio kampo (projekcijų plokštumų sankirtos) briaunos vadinamos projekcijų ašimis ir žymimos x, y ir z. Projekcinių ašių sankirta vadinama projekcinių ašių pradžia ir žymima raide O. Iš taško A numeskime statmeną į projekcijos plokštumą W ir, statmeno pagrindą pažymėdami raide „a“, gauti taško A profilinę projekciją.
Norint gauti kompleksinį taško A brėžinį, plokštumos H ir W sujungiamos su plokštuma V, sukant jas aplink Ox ir Oz ašis. Išsamus taško A brėžinys parodytas fig. 87, b ir c.
Projektuojančių tiesių atkarpos nuo taško A iki projekcijos plokštumų vadinamos taško A koordinatėmis ir žymimos: x A, y A ir z A.
Pavyzdžiui, taško A koordinatė z A, lygi atkarpai a"a x (88 pav., a ir b), yra atstumas nuo taško A iki horizontalios projekcijos plokštumos H. Taško A koordinatė y, lygi atkarpa aa x, yra atstumas nuo taško A iki priekinės projekcijų plokštumos V. Koordinatė x A, lygi atkarpai aa y - atstumas nuo taško A iki projekcijų W profilinės plokštumos.
Taigi atstumas tarp taško projekcijos ir projekcijos ašies nustato taško koordinates ir yra raktas į jo sudėtingą brėžinį. Iš dviejų taško projekcijų galima nustatyti visas tris taško koordinates.
Jeigu nurodytos taško A koordinatės (pavyzdžiui, x A = 20 mm, y A = 22 mm ir z A = 25 mm), tai galima sudaryti tris šio taško projekcijas.
Tam iš koordinačių O pradžios Oz ašies kryptimi išvedama koordinatė z A ir koordinatė y A. Iš atskirtų atkarpų galų - taškai a z ir a y (pav. . 88, a) - nubrėžkite tiesias linijas, lygiagrečias Ox ašiai, ir padėkite jas ant atkarpų, lygių x koordinatei A. Gauti taškai a" ir a yra taško A priekinė ir horizontali projekcijos.
Naudodami dvi taško A projekcijas a" ir a, galite sudaryti jo profilio projekciją trimis būdais:
1) iš koordinačių O pradžios nubrėžkite pagalbinį lanką, kurio spindulys Oa y lygus koordinatei (87 pav., b ir c), iš gauto taško y1 nubrėžkite tiesę, lygiagrečią Oz ašiai, ir padėkite išjungti atkarpą, lygią z A;
2) iš taško a y nubrėžkite pagalbinę tiesę 45° kampu į Oy ašį (88 pav., a), gaukite tašką a y1 ir pan.;
3) nuo pradžios O nubrėžkite pagalbinę tiesę 45° kampu į Oy ašį (88 pav., b), gaukite tašką a y1 ir kt.
Taško padėtį erdvėje galima nurodyti dviem stačiakampėmis jo projekcijomis, pavyzdžiui, horizontalia ir priekine, priekine ir profiliu. Bet kurių dviejų stačiakampių projekcijų derinys leidžia sužinoti visų taško koordinačių reikšmę, sukurti trečią projekciją ir nustatyti oktantą, kuriame ji yra. Pažvelkime į keletą tipiškų aprašomosios geometrijos kurso problemų.
Tam tikram sudėtingam taškų A ir B brėžiniui būtina:
Pirmiausia nustatykime taško A koordinates, kurias galima užrašyti A (x, y, z) forma. Horizontali taško A projekcija - taškas A", turintis koordinates x, y. Iš taško A" nubrėžkime statmenas į x, y ašis ir atitinkamai suraskime A x, A y. Taško A x koordinatė yra lygi atkarpos A x O ilgiui su pliuso ženklu, nes A x yra srityje teigiamas vertes x ašis Atsižvelgdami į brėžinio mastelį, randame x = 10. Koordinatė y lygi atkarpos A y O ilgiui su minuso ženklu, nes t. A y yra srityje neigiamos reikšmės y ašis Atsižvelgiant į brėžinio mastelį, y = –30. Priekinė taško A projekcija - taškas A"" turi x ir z koordinates. Numeskime statmeną iš A"" į z ašį ir raskime A z. Taško A z koordinatė yra lygi atkarpos A z O ilgiui su minuso ženklu, nes A z yra z ašies neigiamų verčių srityje. Atsižvelgiant į brėžinio mastelį z = –10. Taigi taško A koordinatės yra (10, –30, –10).
Taško B koordinates galima užrašyti kaip B (x, y, z). Apsvarstykite horizontalią taško B projekciją – tašką B". Kadangi jis yra ant x ašies, tai B x = B" ir koordinatė B y = 0. Taško B abscisė x lygi atkarpos B x ilgiui O su pliuso ženklu. Atsižvelgiant į brėžinio mastelį x = 30. Taško B frontalioji projekcija yra t. B˝ turi x, z koordinates. Nubrėžkime statmeną iš B"" į z ašį, taip rasdami B z. Taško B taikymas z yra lygus atkarpos B z O ilgiui su minuso ženklu, nes B z yra z ašies neigiamų verčių srityje. Atsižvelgdami į brėžinio mastelį, nustatome reikšmę z = –20. Taigi B koordinatės yra (30, 0, -20). Visos reikalingos konstrukcijos pateiktos žemiau esančiame paveikslėlyje.
Taškų projekcijų konstravimas
Taškai A ir B plokštumoje P 3 turi šias koordinates: A""" (y, z); B""" (y, z). Šiuo atveju A"" ir A""" yra tame pačiame statmenoje z ašiai, nes jie turi bendrą z koordinatę. Panašiai B"" ir B""" yra ant bendro statmens z ašiai. Norėdami rasti taško A profilio projekciją, išilgai y ašies braižome anksčiau rastos atitinkamos koordinatės reikšmę. Paveiksle tai daroma naudojant apskritimo lanką, kurio spindulys A y O. Po to nubrėžkite statmeną iš A y, kol jis susikirs su statmenu, atkurtu nuo taško A"" iki z ašies. Šių dviejų statmenų susikirtimo taškas nustato A""" padėtį.
Taškas B""" yra z ašyje, nes šio taško y ordinatė lygi nuliui. Norėdami rasti taško B profilio projekciją šioje užduotyje, tereikia nubrėžti statmeną iš taško B"" į z ašį. šio statmens susikirtimo taškas su z ašimi yra B "".
Taškų padėties erdvėje nustatymas
Vizualiai įsivaizduodami erdvinį išdėstymą, sudarytą iš projekcinių plokštumų P 1, P 2 ir P 3, oktantų vietą, taip pat išdėstymo transformavimo į diagramas tvarką, galite tiesiogiai nustatyti, kad taškas A yra III oktante. , o taškas B yra plokštumoje P 2.
Kitas šios problemos sprendimo variantas yra išimčių metodas. Pavyzdžiui, taško A koordinatės yra (10, -30, -10). Teigiama abscisė x leidžia spręsti, kad taškas yra pirmuose keturiuose oktantuose. Neigiama y-ordinata rodo, kad taškas yra antrame arba trečiame oktante. Galiausiai neigiamas taikymas z rodo, kad taškas A yra trečiajame oktante. Toliau pateikta lentelė aiškiai iliustruoja pirmiau minėtus argumentus.
| Oktantai | Koordinačių ženklai | ||
| x | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Taško B koordinatės (30, 0, -20). Kadangi taško B ordinatė lygi nuliui, šis taškas yra projekcijos plokštumoje P 2. Teigiama abscisė ir neigiama t B aplikacija rodo, kad ji yra ant trečiojo ir ketvirtojo oktantų ribos.
Vaizdinio taškų vaizdo konstravimas plokštumų sistemoje P 1, P 2, P 3
Naudodami priekinę izometrinę projekciją, sukūrėme III oktanto erdvinį išdėstymą. Tai stačiakampis trikampis, kurio paviršiai yra plokštumos P 1, P 2, P 3, o kampas (-y0x) yra 45 º. Šioje sistemoje segmentai išilgai x, y, z ašių bus vaizduojami natūralaus dydžio be iškraipymų.
Pradėkime konstruoti vaizdinį taško A (10, -30, -10) vaizdą su jo horizontalia projekcija A. Nubraižę atitinkamas koordinates išilgai abscisių ir ordinačių ašių, randame taškus A x ir A y. Statmenų sankirta Rekonstruotas iš A x ir A y atitinkamai į x ir y ašis, nustato taško A padėtį". Iš A" lygiagrečiai z ašiai link jo neigiamų verčių atkarpą AA", kurios ilgis yra 10, randame taško A padėtį.
Vaizdinis taško B vaizdas (30, 0, -20) konstruojamas panašiai - P2 plokštumoje išilgai x ir z ašių reikia nubrėžti atitinkamas koordinates. Iš B x ir B z atkurtų statmenų sankirta nulems taško B padėtį.
Panašūs straipsniai
