Piramida Konsepsiyası

Tərif 1

Çoxbucaqlının və bu çoxbucaqlının olduğu müstəvidə yatmayan, çoxbucaqlının bütün təpələri ilə birləşən nöqtənin əmələ gətirdiyi həndəsi fiqur piramida adlanır (şək. 1).

Piramidanın təşkil olunduğu çoxbucaqlı piramidanın əsası adlanır, nöqtə ilə birləşdirilərək alınan üçbucaqlar piramidanın yan üzləri, üçbucaqların kənarları piramidanın tərəfləri, bütün üçbucaqlar üçün ortaq nöqtə isə piramidanın yuxarı hissəsidir.

Piramidaların növləri

Piramidanın altındakı künclərin sayından asılı olaraq onu üçbucaqlı, dördbucaqlı və s. adlandırmaq olar (şək. 2).

Şəkil 2.

Başqa bir piramida növü adi piramidadır.

Normal piramidanın xüsusiyyətini təqdim edək və sübut edək.

Teorem 1

Normal piramidanın bütün yan üzləri bir-birinə bərabər olan ikitərəfli üçbucaqlardır.

Sübut.

Təpəsi $S$ hündürlüyü $h=SO$ olan adi $n-$qonal piramidasını nəzərdən keçirək. Baza ətrafında bir dairəni təsvir edək (şəkil 4).

Şəkil 4

$SOA$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Pifaqor teoreminə görə alırıq

Aydındır ki, istənilən yan kənar bu şəkildə müəyyən ediləcək. Buna görə də, bütün yan qabırğalar bir-birinə bərabərdir, yəni bütün yan üzlər ikitərəfli üçbucaqlardır. Onların bir-birinə bərabər olduğunu sübut edək. Əsas düzgün çoxbucaqlı olduğundan, bütün yan üzlərin əsasları bir-birinə bərabərdir. Beləliklə, bütün yan üzlər üçbucaqların bərabərliyinin III işarəsinə görə bərabərdir.

Teorem sübut edilmişdir.

İndi müntəzəm piramida anlayışı ilə bağlı aşağıdakı tərifi təqdim edirik.

Tərif 3

Normal piramidanın apotemi onun yan üzünün hündürlüyüdür.

Aydındır ki, Teorem 1-ə görə bütün apotemlər bərabərdir.

Teorem 2

Müntəzəm piramidanın yanal səthinin sahəsi əsasın yarım perimetri ilə apoteminin məhsulu kimi müəyyən edilir.

Sübut.

$n-$kömür piramidasının əsasının tərəfini $a$, apotemini isə $d$ kimi qeyd edək. Buna görə də, yan üzün sahəsi bərabərdir

Teorem 1-ə görə bütün tərəflər bərabər olduğu üçün

Teorem sübut edilmişdir.

Başqa bir piramida növü kəsilmiş piramidadır.

Tərif 4

Əgər onun əsasına paralel müstəvi adi piramidadan keçirilirsə, onda bu müstəvi ilə əsas müstəvisi arasında əmələ gələn fiqur kəsilmiş piramida adlanır (şək. 5).

Şəkil 5. Kəsilmiş piramida

Kəsilmiş piramidanın yan üzləri trapezoidlərdir.

Teorem 3

Müntəzəm kəsilmiş piramidanın yan səthinin sahəsi əsasların yarımperimetrlərinin və apoteminin cəminin məhsulu kimi müəyyən edilir.

Sübut.

$n-$kömür piramidasının əsaslarının tərəflərini müvafiq olaraq $a\ və\ b$, apotemini isə $d$ ilə işarə edək. Buna görə də, yan üzün sahəsi bərabərdir

Bütün tərəflər bərabər olduğundan

Teorem sübut edilmişdir.

Tapşırıq nümunəsi

Misal 1

Kəsilmiş üçbucaqlı piramidanın yanal səthinin sahəsini tapın, əgər o, əsas tərəfi 4 və apotemi 5 olan müntəzəm piramidadan yanal üzlərin orta xəttindən keçən bir müstəvi ilə kəsilərək alınır.

Həll.

haqqında teoremə görə orta xətt alırıq ki, kəsilmiş piramidanın yuxarı əsası $4\cdot \frac(1)(2)=2$, apotem isə $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$-a bərabərdir.

Sonra 3-cü teoremdən alırıq

Biz böyük Misir piramidalarını yaxşı tanıyırıq, onların necə göründüyünü hər kəs təsəvvür edə bilər. Bu təsvir piramida kimi həndəsi fiqurun xüsusiyyətlərini anlamağa kömək edəcəkdir.

Piramida düz çoxbucaqlıdan - piramidanın əsasından, təməl müstəvisində yatmayan nöqtədən - piramidanın yuxarı hissəsindən və zirvəni əsas nöqtələri ilə birləşdirən bütün seqmentlərdən ibarət çoxüzlüdür. Piramidanın yuxarı hissəsini təməlin yuxarı hissəsi ilə birləşdirən seqmentlərə yanal kənarlar deyilir. Əncirdə. 1 SABCD piramidasını göstərir. Dördbucaqlı ABCD piramidanın əsasıdır, S nöqtəsi piramidanın yuxarı hissəsidir, SA, SB, SC və SD seqmentləri piramidanın kənarlarıdır.

Piramidanın hündürlüyü piramidanın yuxarısından təməl müstəvisinə endirilən perpendikulyardır. Əncirdə. 1 SO piramidanın hündürlüyüdür.

Piramidanın əsası n-bucaqlıdırsa, ona n-bucaqlı deyilir. Şəkil 1-də dördbucaqlı piramida göstərilir. Üçbucaqlı piramidaya tetraedr deyilir.

Piramidanın əsası düzgün çoxbucaqlıdırsa və hündürlüyün əsası bu çoxbucaqlının mərkəzi ilə üst-üstə düşürsə, ona müntəzəm deyilir. Müntəzəm piramidanın yan kənarları bərabərdir və buna görə də yan üzləri ikitərəfli üçbucaqlardır. Adi piramidada piramidanın yuxarısından çəkilmiş yan üzün hündürlüyü apotem adlanır.

Piramida bir sıra xüsusiyyətlərə malikdir.

Piramidanın bütün diaqonalları onun üzlərinə aiddir.

Bütün yan kənarlar bərabərdirsə, onda:

piramidanın əsasının yaxınlığında bir dairə təsvir edilə bilər və piramidanın yuxarı hissəsi onun mərkəzinə proyeksiya olunur;
yan kənarlar əsas müstəvisi ilə bərabər bucaqlar əmələ gətirir və əksinə, əgər yan kənarlar əsas müstəvisi ilə bərabər bucaqlar əmələ gətirirsə və ya piramidanın əsasına yaxın bir dairə təsvir edilə bilərsə və piramidanın yuxarı hissəsi onun mərkəzinə proyeksiya edilirsə, onda piramidanın bütün yan kənarları bərabərdir.

Yan üzlər bir bucaq altında əsas müstəviyə meyllidirsə, onda:

piramidanın təməlində bir dairə yazıla bilər və piramidanın yuxarı hissəsi onun mərkəzinə proyeksiya olunur;
yan üzlərin hündürlüyü bərabərdir;
yanal səthin sahəsi bazanın perimetri ilə yanal üzün hündürlüyünün məhsulunun yarısına bərabərdir.

Piramidanın həcmini, səth sahəsini tapmaq üçün düsturları nəzərdən keçirin.

Piramidanın həcmini aşağıdakı düsturla hesablamaq olar:

burada S bazanın sahəsi, h isə hündürlükdür.

Piramidanın ümumi səth sahəsini tapmaq üçün düsturdan istifadə edin:

S p \u003d S b + S o,

burada S p ümumi səth sahəsi, S b yan səth sahəsi, S o əsas sahəsidir.

Kəsilmiş piramida piramidanın bazası ilə onun bazasına paralel kəsici müstəvi arasında qapalı çoxüzlüdür. Kəsilmiş piramidanın paralel müstəvilərdə yerləşən üzləri kəsilmiş piramidanın əsasları, qalan üzləri isə yan üzlər adlanır. Kəsilmiş piramidanın əsasları oxşar çoxbucaqlıdır, yan üzləri trapezoidlərdir. Müntəzəm bir piramidadan əldə edilən kəsilmiş piramida müntəzəm kəsilmiş piramida adlanır. Müntəzəm kəsilmiş trapezoidin yan üzləri bərabər ikitərəfli trapesiyalardır, onların hündürlükləri apotem adlanır.

sayt, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.

Tərif. Yan üz- bu, bir bucağın piramidanın yuxarı hissəsində yerləşdiyi və əks tərəfinin əsas tərəfi (poliqon) ilə üst-üstə düşdüyü üçbucaqdır.

Tərif. Yan qabırğalar yan üzlərin ümumi tərəfləridir. Piramidanın çoxbucaqlının küncləri qədər kənarları var.

Tərif. piramida hündürlüyü piramidanın yuxarısından bazasına endirilmiş perpendikulyardır.

Tərif. Apotem- bu, piramidanın yuxarısından təməlin yan tərəfinə endirilmiş piramidanın yan üzünün perpendikulyarıdır.

Tərif. Diaqonal bölmə- bu, piramidanın yuxarı hissəsindən və təməlin diaqonalından keçən bir təyyarə ilə piramidanın bir hissəsidir.

Tərif. Düzgün piramida- Bu, əsasının müntəzəm çoxbucaqlı olduğu və hündürlüyün əsasın mərkəzinə endiyi bir piramidadır.

Piramidanın həcmi və səthi

Düstur. piramidanın həcmi baza sahəsi və hündürlüyü ilə:

piramida xüsusiyyətləri

Bütün yan kənarlar bərabərdirsə, o zaman piramidanın əsasının ətrafında bir dairə çəkilə bilər və təməlin mərkəzi dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür. Həmçinin, yuxarıdan düşmüş perpendikulyar bazanın (dairə) mərkəzindən keçir.

Bütün yan qabırğalar bərabərdirsə, onlar eyni açılarda baza müstəvisinə meyllidirlər.

Yan qabırğalar baza müstəvisi ilə bərabər bucaqlar meydana gətirdikdə və ya piramidanın əsasının ətrafında bir dairə təsvir edilə bildikdə bərabər olur.

Yan üzlər bazanın müstəvisinə bir bucaq altında meyllidirsə, o zaman piramidanın əsasına bir dairə yazıla bilər və piramidanın yuxarı hissəsi onun mərkəzinə proyeksiya olunur.

Yan üzlər bir bucaq altında əsas müstəviyə meyllidirsə, yan üzlərin apotemləri bərabərdir.

Adi piramidanın xassələri

1. Piramidanın yuxarı hissəsi təməlin bütün künclərindən bərabər məsafədə yerləşir.

2. Bütün yan kənarlar bərabərdir.

3. Bütün yan qabırğalar bazaya eyni açılarda meyllidir.

4. Bütün yan üzlərin apotemləri bərabərdir.

5. Bütün yan üzlərin sahələri bərabərdir.

6. Bütün üzlər eyni dihedral (düz) bucaqlara malikdir.

7. Piramidanın ətrafında kürə təsvir edilə bilər. Təsvir edilən sferanın mərkəzi kənarların ortasından keçən perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

8. Piramidaya kürə həkk oluna bilər. Yazılı kürənin mərkəzi kənar və əsas arasındakı bucaqdan çıxan bisektorların kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

9. Yazılı sferanın mərkəzi ətrafa çəkilmiş kürənin mərkəzi ilə üst-üstə düşürsə, o zaman zirvədəki düz bucaqların cəmi π-ə bərabərdir və ya əksinə, bir bucaq π / n-ə bərabərdir, burada n piramidanın təməlindəki bucaqların sayıdır.

Piramidanın kürə ilə əlaqəsi

Piramidanın təməlində çevrənin təsvir oluna biləcəyi çoxüzlü yerləşdiyi zaman piramidanın ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər (zəruri və kifayət qədər şərt). Kürənin mərkəzi piramidanın yan kənarlarının orta nöqtələrindən perpendikulyar keçən təyyarələrin kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

Bir kürə həmişə hər hansı üçbucaqlı və ya müntəzəm piramidanın ətrafında təsvir edilə bilər.

Piramidanın daxili dihedral bucaqlarının bisektor müstəviləri bir nöqtədə kəsişirsə (zəruri və kifayət qədər şərt) bir kürə piramidaya daxil edilə bilər. Bu nöqtə sferanın mərkəzi olacaq.

Piramidanın konusla əlaqəsi

Konusun təpələri üst-üstə düşürsə və konusun əsası piramidanın əsasına həkk olunubsa, konus piramidaya yazılmış deyilir.

Piramidanın apotemləri bərabər olarsa, konus piramidaya yazıla bilər.

Konusun təpələri üst-üstə düşürsə və konusun əsası piramidanın əsası ətrafında dairəvi olarsa, bir konus piramidanın ətrafına çəkilir.

Piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabər olarsa, bir konus bir piramida ətrafında təsvir edilə bilər.

Piramidanın silindrlə birləşdirilməsi

Piramidanın yuxarı hissəsi silindrin bir əsasına, piramidanın əsası isə silindrin başqa bir əsasına yazılmışdırsa, onun silindrin içinə yazılmış olduğu deyilir.

Piramidanın təməli ətrafında bir dairə çəkilə bilərsə, silindr bir piramidanın ətrafına çəkilə bilər.

Tərif. Kəsilmiş piramida (piramidal prizma)- Bu, piramidanın bazası ilə bazaya paralel kəsik müstəvisi arasında yerləşən çoxüzlüdür. Beləliklə, piramida böyük bir bazaya və daha böyükə bənzər daha kiçik bir bazaya malikdir. Yan üzlər trapesiya şəklindədir.

Tərif. Üçbucaqlı piramida (tetraedr)- bu, üç üzün və əsasının ixtiyari üçbucaqlar olduğu bir piramidadır.

Tetraedrin dörd üzü və dörd təpəsi və altı kənarı var, burada hər iki kənarın ümumi təpələri yoxdur, lakin toxunmur.

Hər bir təpə üç üzdən və meydana gələn kənarlardan ibarətdir üçbucaqlı bucaq.

Tetraedrin təpəsini əks üzün mərkəzi ilə birləşdirən seqment deyilir tetraedrin medianı(GM).

Bimedian toxunmayan əks kənarların orta nöqtələrini birləşdirən seqment adlanır (KL).

Tetraedrin bütün bimedianları və medianları bir nöqtədə (S) kəsişir. Bu vəziyyətdə, bimedianlar yarıya bölünür və medianlar yuxarıdan başlayaraq 3: 1 nisbətindədir.

Tərif. meylli piramida kənarlarından birinin əsası ilə küt bucaq (β) əmələ gətirdiyi piramidadır.

Tərif. Düzbucaqlı piramida yan üzlərindən birinin bazaya perpendikulyar olduğu piramidadır.

Tərif. Kəskin Bucaqlı Piramida apotem əsas tərəfinin uzunluğunun yarısından çox olduğu piramidadır.

Tərif. küt piramida apotem əsas tərəfinin uzunluğunun yarısından az olduğu piramidadır.

Tərif. müntəzəm tetraedr Dörd üzü bərabərtərəfli üçbucaqlar olan tetraedr. Beş müntəzəm çoxbucaqlılardan biridir. Müntəzəm tetraedrdə bütün dihedral bucaqlar (üzlər arasında) və üçbucaqlı bucaqlar (təpəsində) bərabərdir.

Tərif. Düzbucaqlı tetraedr təpəsində üç kənar arasında düz bucaq olan (kənarları perpendikulyar olan) tetraedr deyilir. Üç üz formalaşır düzbucaqlı üçbucaqlı bucaq və üzləri düzbucaqlı üçbucaqlar, əsası isə ixtiyari üçbucaqdır. İstənilən sifətin apotemi apotem düşdüyü bazanın tərəfinin yarısına bərabərdir.

Tərif. İzohedral tetraedr Yan üzlərinin bir-birinə bərabər olduğu və əsasının müntəzəm üçbucaq olduğu bir tetraedr deyilir. Belə bir tetraedrin üzləri ikitərəfli üçbucaqlardır.

Tərif. Ortosentrik tetraedr yuxarıdan əks üzə endirilən bütün hündürlüklərin (perpendikulyarların) bir nöqtədə kəsişdiyi tetraedr deyilir.

Tərif. ulduz piramidasıƏsası ulduz olan çoxüzlüyə deyilir.

Tərif. Bipiramida- iki fərqli piramidadan (piramidalar da kəsilə bilər) ibarət, ümumi əsası olan və təpələri boyunca uzanan çoxüzlü müxtəlif tərəflər baza müstəvisindən.

piramida. Kəsilmiş piramida

piramidaçoxbucaqlı adlanır, üzlərindən biri çoxbucaqlıdır ( əsas ) və bütün digər üzlər ümumi təpəsi olan üçbucaqlardır ( yan üzlər ) (Şəkil 15). Piramida adlanır düzgün , əgər onun əsası düzgün çoxbucaqlıdırsa və piramidanın yuxarı hissəsi bünövrənin mərkəzinə proqnozlaşdırılıbsa (şək. 16). Bütün kənarlarının bərabər olduğu üçbucaqlı piramida deyilir tetraedr .

Yan qabırğa piramida yan üzün bazaya aid olmayan tərəfi adlanır Hündürlük piramida onun yuxarısından baza müstəvisinə qədər olan məsafədir. Normal piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabərdir, bütün yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Təpədən çəkilmiş nizamlı piramidanın yan üzünün hündürlüyü deyilir apotema . diaqonal bölmə Piramidanın bir hissəsi eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi adlanır.

Yan səth sahəsi piramida bütün yan üzlərin sahələrinin cəmi adlanır. Tam səth sahəsi bütün yan üzlərin və əsasın sahələrinin cəmidir.

Teoremlər

1. Əgər piramidada bütün yanal kənarlar eyni dərəcədə əsas müstəvisinə meyllidirsə, onda piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın olan dairəvi dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

2. Əgər piramidada bütün yan kənarların uzunluğu bərabərdirsə, onda piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın olan dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

3. Əgər piramidada bütün üzlər eyni dərəcədə təməl müstəvisinə meyllidirsə, o zaman piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yazılmış dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

İxtiyari bir piramidanın həcmini hesablamaq üçün düstur düzgündür:

Harada V- həcm;

S əsas- baza sahəsi;

H piramidanın hündürlüyüdür.

Adi bir piramida üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur:

Harada səh- təməlin perimetri;

h a- apotem;

H- hündürlük;

S dolu

S tərəfi

S əsas- baza sahəsi;

V müntəzəm piramidanın həcmidir.

kəsilmiş piramida piramidanın baza ilə paralel kəsici müstəvi arasında qapalı olan hissəsi adlanır (şək. 17). Düzgün kəsilmiş piramida müntəzəm piramidanın əsası ilə piramidanın təməlinə paralel kəsici müstəvi arasında qapalı hissəsi adlanır.

Vəqflər kəsilmiş piramida - oxşar çoxbucaqlılar. Yan üzlər - trapesiya. Hündürlük kəsilmiş piramida onun əsasları arasındakı məsafə adlanır. Diaqonal Kəsilmiş piramida, eyni üzdə yatmayan təpələrini birləşdirən bir seqmentdir. diaqonal bölmə Kəsilmiş piramidanın bir hissəsi eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi adlanır.

Kəsilmiş piramida üçün düsturlar etibarlıdır:

(4)

Harada S 1 , S 2 - yuxarı və aşağı əsasların sahələri;

S doluümumi səth sahəsidir;

S tərəfi yanal səth sahəsidir;

H- hündürlük;

V kəsilmiş piramidanın həcmidir.

Müntəzəm kəsilmiş piramida üçün aşağıdakı düstur doğrudur:

Harada səh 1 , səh 2 - əsas perimetrlər;

h a- müntəzəm kəsilmiş piramidanın apotemi.

Misal 1 Müntəzəm üçbucaqlı piramidada təməldəki dihedral bucaq 60º-dir. Yan kənarın baza müstəvisinə meyl bucağının tangensini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 18).

Piramida nizamlıdır, yəni əsas bərabərtərəfli üçbucaqdır və bütün yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Bazadakı dihedral bucaq piramidanın yan üzünün təməl müstəvisinə meyl bucağıdır. Xətti bucaq bucaq olacaq a iki perpendikulyar arasında: yəni. Piramidanın yuxarı hissəsi üçbucağın mərkəzində proyeksiya edilmişdir (üçbucaqda dairəvi dairənin mərkəzi və yazılı dairə) ABC). Yan qabırğanın meyl açısı (məsələn SB) kənarın özü ilə onun əsas müstəvisinə proyeksiyası arasındakı bucaqdır. Qabırğa üçün SB bu bucaq bucaq olacaq SBD. Tangensi tapmaq üçün ayaqları bilmək lazımdır BELƏ Kİ Və OB. Seqmentin uzunluğuna icazə verin BD 3-dür A. nöqtə HAQQINDA xətt seqmenti BD hissələrə bölünür: və Biz tapırıq BELƏ Kİ: Biz tapırıq:

Cavab:

Misal 2 Düzgün kəsilmiş dördbucaqlı piramidanın əsaslarının diaqonalları sm və sm, hündürlüyü 4 sm olduqda onun həcmini tapın.

Həll. Kəsilmiş piramidanın həcmini tapmaq üçün (4) düsturundan istifadə edirik. Bazaların sahələrini tapmaq üçün onların diaqonallarını bilməklə əsas kvadratların tərəflərini tapmaq lazımdır. Əsasların tərəfləri müvafiq olaraq 2 sm və 8 sm-dir.Bu, əsasların sahələri deməkdir və Bütün məlumatları düsturda əvəz edərək, kəsilmiş piramidanın həcmini hesablayırıq:

Cavab: 112 sm3.

Misal 3Əsaslarının tərəfləri 10 sm və 4 sm, piramidanın hündürlüyü 2 sm olan müntəzəm üçbucaqlı kəsikli piramidanın yan üzünün sahəsini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 19).

Bu piramidanın yan üzü ikitərəfli trapesiyadır. Trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün əsasları və hündürlüyünü bilməlisiniz. Əsaslar şərtlə verilir, yalnız hündürlük naməlum olaraq qalır. Hardan tapın A 1 E bir nöqtədən perpendikulyar A 1 alt baza müstəvisində, A 1 D-dən perpendikulyar A 1 haqqında AC. A 1 E\u003d 2 sm, çünki bu piramidanın hündürlüyüdür. Tapmaq üçün DE biz əlavə bir rəsm çəkəcəyik, orada yuxarıdan görünüşü təsvir edəcəyik (şək. 20). Nöqtə HAQQINDA- yuxarı və aşağı əsasların mərkəzlərinin proyeksiyası. bəri (bax. Şəkil 20) və Digər tərəfdən tamam yazılmış çevrənin radiusudur və OM yazılmış dairənin radiusudur:

MK=DE.

-dən Pifaqor teoreminə görə

Yan üz sahəsi:

Cavab:

Misal 4 Piramidanın təməlində əsasları ikitərəfli trapesiya yerləşir A Və b (a> b). Hər bir yan üz piramidanın təməlinin müstəvisinə bərabər bir bucaq meydana gətirir j. Piramidanın ümumi səth sahəsini tapın.

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 21). Piramidanın ümumi səth sahəsi SABCD trapezoidin sahələrinin və sahəsinin cəminə bərabərdir A B C D.

Piramidanın bütün üzləri təməl müstəvisinə bərabər şəkildə meyllidirsə, onda təpənin təmələ yazılmış dairənin mərkəzinə proyeksiya edildiyi ifadəsini istifadə edirik. Nöqtə HAQQINDA- təpə proyeksiyası S piramidanın təməlində. Üçbucaq SODüçbucağın ortoqonal proyeksiyasıdır CSD baza müstəvisinə. Sahə teoremi ilə ortoqonal proyeksiya düz fiqur alırıq:

Eynilə, o deməkdir Beləliklə, problem trapezoidin sahəsini tapmaq üçün azaldı A B C D. Trapesiya çəkin A B C D ayrıca (şək. 22). Nöqtə HAQQINDA trapesiyaya daxil edilmiş dairənin mərkəzidir.