Tiems, kurie nori sužinoti, kaip rasti ribas, šiame straipsnyje mes apie tai papasakosime. Į teoriją nesigilinsime, dėstytojai dažniausiai ją skaito paskaitose. Taigi „nuobodžiąją teoriją“ reikėtų užsirašyti į sąsiuvinius. Jei taip nėra, tuomet galite skaityti iš bibliotekos pasiskolintus vadovėlius. švietimo įstaiga arba kituose interneto šaltiniuose.

Taigi studijuojant kursą ribos sąvoka yra gana svarbi aukštoji matematika, ypač kai susiduriate su integraliniu skaičiavimu ir suprantate ryšį tarp ribos ir integralo. Dabartinėje medžiagoje mes apsvarstysime paprasti pavyzdžiai, taip pat jų sprendimo būdus.

Sprendimų pavyzdžiai

1 pavyzdys
Apskaičiuokite a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Sprendimas
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Žmonės dažnai atsiunčia mums šias ribas su prašymu padėti jas išspręsti. Nusprendėme jas pabrėžti kaip atskirą pavyzdį ir paaiškinti, kad paprastai šias ribas tiesiog reikia atsiminti. Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Pateiksime išsamų sprendimą. Galėsite stebėti skaičiavimo eigą ir gauti informacijos. Tai padės jums laiku gauti pažymį iš savo mokytojo!
Atsakymas
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Ką daryti su formos neapibrėžtumu: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3 pavyzdys
Išspręskite $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Sprendimas
Kaip visada, pradedame pakeisdami reikšmę $ x $ į išraišką po ribos ženklu. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Kas dabar toliau? Kas turėtų atsitikti galiausiai? Kadangi tai yra neapibrėžtumas, tai dar nėra atsakymas ir mes tęsiame skaičiavimą. Kadangi skaitikliuose turime daugianarį, jį faktorinuosime naudodami visiems iš mokyklos žinomą formulę $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Ar prisimeni? Puiku! Dabar eik į priekį ir naudokite ją su daina :) Pastebime, kad skaitiklis $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Mes ir toliau sprendžiame, atsižvelgdami į aukščiau pateiktą transformaciją: $$ \lim \limits_(x \iki -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1) = -1-1 = -2 $$
Atsakymas
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Pakelkime ribą paskutiniuose dviejuose pavyzdžiuose iki begalybės ir apsvarstykime neapibrėžtumą: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5 pavyzdys
Apskaičiuokite $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Sprendimas
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ką daryti? Ką turėčiau daryti? Neišsigąskite, nes neįmanoma yra įmanoma. Būtina išimti x iš skaitiklio ir vardiklio, o tada jį sumažinti. Po to pabandykite apskaičiuoti ribą. Pabandykime... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Naudodami apibrėžimą iš 2 pavyzdžio ir pakeisdami x begalybę, gauname: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Atsakymas
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Ribų skaičiavimo algoritmas

Taigi, trumpai apibendrinkime pavyzdžius ir sukurkime ribų sprendimo algoritmą:

Pakeiskite tašką x į išraišką po ribinio ženklo. Jei gaunamas tam tikras skaičius arba begalybė, tada riba yra visiškai išspręsta. Kitu atveju turime neapibrėžtumo: „nulis padalintas iš nulio“ arba „begalybė padalintas iš begalybės“ ir pereikite prie kitų instrukcijų žingsnių.
Norėdami pašalinti „nulis padalytas iš nulio“ neapibrėžtumą, turite atsižvelgti į skaitiklį ir vardiklį. Sumažinkite panašių. Pakeiskite tašką x į išraišką po ribos ženklu.
Jei neapibrėžtis yra „begalybė, padalyta iš begalybės“, tada išimame ir skaitiklį, ir vardiklį x iki didžiausio laipsnio. Sutrumpiname X. Mes pakeičiame x reikšmes iš žemiau ribos į likusią išraišką.

Šiame straipsnyje sužinojote apie ribų sprendimo pagrindus, dažnai naudojamus skaičiavimo kursuose. Žinoma, tai ne visos egzaminuotojų siūlomos problemos, o tik paprasčiausios ribos. Apie kitų tipų užduotis kalbėsime būsimuose straipsniuose, bet pirmiausia turite išmokti šią pamoką, kad galėtumėte judėti pirmyn. Aptarkime, ką daryti, jei yra šaknys, laipsniai, išstudijuokime be galo mažas ekvivalentines funkcijas, reikšmingas ribas, L'Hopital taisyklę.

Jei patys negalite suprasti ribų, nepanikuokite. Mes visada džiaugiamės galėdami padėti!

Pirmoji pastebima riba yra tokia lygybė:

\begin(lygtis)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(lygtis)

Kadangi $\alpha\to(0)$ turime $\sin\alpha\to(0)$, jie sako, kad pirmasis nuostabi riba atskleidžia formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtį. Paprastai tariant, formulėje (1), vietoj kintamojo $\alpha$, po sinuso ženklu ir vardikliu galima įdėti bet kurią išraišką, jei tenkinamos dvi sąlygos:

Išraiškos po sinuso ženklu ir vardiklyje vienu metu linkusios į nulį, t.y. yra formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtis.
Išraiškos po sinuso ženklu ir vardiklyje yra vienodos.

Taip pat dažnai naudojamos pirmosios reikšmingos ribos išvados:

\begin(lygtis) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \pabaiga(lygtis) \begin(lygtis) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \pabaiga(lygtis) \pradžia(lygtis) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(lygtis)

Šiame puslapyje išspręsta vienuolika pavyzdžių. 1 pavyzdys yra skirtas (2)-4 formulių įrodymui. Pavyzdžiuose Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 ir Nr. 5 pateikti sprendimai su išsamiomis pastabomis. Pavyzdžiuose Nr. 6-10 pateikti sprendimai praktiškai be komentarų, nes išsamūs paaiškinimai buvo pateikti ankstesniuose pavyzdžiuose. Sprendime naudojamos kai kurios trigonometrinės formulės, kurias galima rasti.

Norėčiau pažymėti, kad trigonometrinių funkcijų buvimas kartu su neapibrėžtumu $\frac (0) (0)$ nebūtinai reiškia pirmosios reikšmingos ribos taikymą. Kartais pakanka paprastų trigonometrinių transformacijų – pavyzdžiui, žr.

1 pavyzdys

Įrodykite, kad $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Kadangi $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, tada:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Kadangi $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ir $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Tai:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Pakeiskime $\alpha=\sin(y)$. Kadangi $\sin(0)=0$, tai iš sąlygos $\alpha\to(0)$ turime $y\to(0)$. Be to, yra nulio kaimynystė, kurioje $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, taigi:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Lygybė $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ buvo įrodyta.

c) Pakeiskime $\alpha=\tg(y)$. Kadangi $\tg(0)=0$, tai sąlygos $\alpha\to(0)$ ir $y\to(0)$ yra lygiavertės. Be to, yra nulio kaimynystė, kurioje $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, todėl, remiantis punkto a) rezultatais, turėsime:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Lygybė $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ buvo įrodyta.

Lygybės a), b), c) dažnai naudojamos kartu su pirmąja reikšminga riba.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite ribą $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Kadangi $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ir $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, t.y. o trupmenos skaitiklis ir vardiklis vienu metu linkę į nulį, tai čia kalbama apie $\frac(0)(0)$ formos neapibrėžtį, t.y. padaryta. Be to, aišku, kad išraiškos po sinuso ženklu ir vardiklyje sutampa (t. y. ir tenkina):

Taigi, abi puslapio pradžioje išvardytos sąlygos yra įvykdytos. Iš to išplaukia, kad taikytina formulė, t.y. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Atsakymas: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

3 pavyzdys

Raskite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Kadangi $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ir $\lim_(x\to(0))x=0$, tai mes susiduriame su formos $\frac neapibrėžtumu (0 )(0)$, t.y. padaryta. Tačiau išraiškos po sinuso ženklu ir vardiklyje nesutampa. Čia reikia pakoreguoti vardiklio išraišką į reikiamą formą. Mums reikia, kad išraiška $9x$ būtų vardiklyje, tada ji taps tiesa. Iš esmės vardiklyje trūksta 9 USD koeficiento, kurį nėra taip sunku įvesti – tiesiog padauginkite vardiklyje esančią išraišką iš 9 USD. Natūralu, kad norint kompensuoti dauginimą iš $9$, turėsite iš karto padalyti iš $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Dabar išraiškos vardiklyje ir po sinuso ženklu sutampa. Tenkinamos abi ribos $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sąlygos. Todėl $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. O tai reiškia, kad:

9 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

4 pavyzdys

Raskite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Kadangi $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ir $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, čia kalbama apie formos neapibrėžtumą $\frac(0)(0)$. Tačiau pažeidžiama pirmosios žymios ribos forma. Skaitikliui, kuriame yra $\sin(5x)$, reikalingas vardiklis $5x$. Esant tokiai situacijai, paprasčiausias būdas yra padalyti skaitiklį iš $5x$ ir iš karto padauginti iš $5x$. Be to, atliksime panašią operaciją su vardikliu, padaugindami ir padalydami $\tg(8x)$ iš $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Sumažinus $x$ ir paėmus konstantą $\frac(5)(8)$ už ribinio ženklo ribų, gauname:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Atkreipkite dėmesį, kad $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ visiškai atitinka pirmos reikšmingos ribos reikalavimus. Norint rasti $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, taikoma ši formulė:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

5 pavyzdys

Raskite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Kadangi $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (atminkite, kad $\cos(0)=1$) ir $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, tada mes susiduriame su formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtumu. Tačiau norėdami pritaikyti pirmąją reikšmingą ribą, turėtumėte atsikratyti kosinuso skaitiklyje, pereidami prie sinusų (kad vėliau pritaikytumėte formulę) arba liestinių (kad vėliau pritaikytumėte formulę). Tai galima padaryti naudojant šią transformaciją:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Grįžkime prie ribos:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Trupmena $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ jau yra artima formai, reikalingai pirmai reikšmingai ribai. Šiek tiek padirbėkime su trupmena $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, pakoreguodami ją iki pirmosios reikšmingos ribos (atminkite, kad išraiškos skaitiklyje ir po sinusu turi sutapti):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Grįžkime prie aptariamos ribos:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Pavyzdys Nr.6

Raskite ribą $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Kadangi $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ir $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, tada mes susiduriame su neapibrėžtumu $\frac(0)(0)$. Leiskite mums tai atskleisti pasitelkdami pirmąją nuostabią ribą. Norėdami tai padaryti, pereikime nuo kosinusų prie sinusų. Kadangi $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, tada:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Pereinant į sinusus duotoje riboje, turėsime:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

7 pavyzdys

Apskaičiuokite ribą $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ atsižvelgiant į $\alpha\neq \ beta$.

Išsamūs paaiškinimai buvo pateikti anksčiau, tačiau čia mes tiesiog pažymime, kad vėl yra neapibrėžtumas $\frac(0)(0)$. Pereikime nuo kosinusų prie sinusų naudodami formulę

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Naudodami šią formulę gauname:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\dešinė| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

8 pavyzdys

Raskite ribą $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Kadangi $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (atminkite, kad $\sin(0)=\tg(0)=0$) ir $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, tada čia kalbama apie formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtumą. Išskaidykime jį taip:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Pavyzdys Nr.9

Raskite ribą $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Kadangi $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ir $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, tada yra formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtis. Prieš pradedant jo išplėtimą, patogu pakeisti kintamąjį taip, kad naujasis kintamasis būtų linkęs į nulį (atkreipkite dėmesį, kad formulėse kintamasis $\alpha \to 0$). Lengviausias būdas yra įvesti kintamąjį $t=x-3$. Tačiau dėl tolimesnių transformacijų patogumo (šią naudą galima pamatyti toliau pateikto sprendimo eigoje) verta atlikti tokį pakeitimą: $t=\frac(x-3)(2)$. Atkreipiu dėmesį, kad abu pakaitalai taikomi tokiu atveju, tik antras pakeitimas leis mažiau dirbti su trupmenomis. Nuo $x\to(3)$, tada $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\dešinė| =\left|\begin(lygiuotas)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(lygiuotas)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Atsakymas: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

10 pavyzdys

Raskite ribą $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.

Dar kartą susiduriame su neapibrėžtumu $\frac(0)(0)$. Prieš pradedant plėtoti, patogu pakeisti kintamąjį taip, kad naujasis kintamasis būtų linkęs į nulį (atkreipkite dėmesį, kad formulėse kintamasis yra $\alpha\to(0)$). Lengviausias būdas yra įvesti kintamąjį $t=\frac(\pi)(2)-x$. Nuo $x\to\frac(\pi)(2)$, tada $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(lygiuotas)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(lygiuotas)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Atsakymas: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

11 pavyzdys

Raskite ribas $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Šiuo atveju mums nereikia naudoti pirmosios nuostabios ribos. Atkreipkite dėmesį, kad tiek pirmoje, tiek antroje ribose yra tik trigonometrinės funkcijos ir skaičiai. Dažnai tokio pobūdžio pavyzdžiuose galima supaprastinti po ribiniu ženklu esančią išraišką. Be to, po minėto kai kurių veiksnių supaprastinimo ir sumažinimo neapibrėžtumas išnyksta. Šį pavyzdį pateikiau tik vienam tikslui: parodyti, kad trigonometrinių funkcijų buvimas po ribos ženklu nebūtinai reiškia pirmosios reikšmingos ribos naudojimą.

Kadangi $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (atminkite, kad $\sin\frac(\pi)(2)=1$) ir $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (priminsiu, kad $\cos\frac(\pi)(2)=0$), tada turime sprendžiant formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtį. Tačiau tai nereiškia, kad mums reikės išnaudoti pirmąją nuostabią ribą. Norint atskleisti neapibrėžtumą, pakanka atsižvelgti į tai, kad $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Panašus sprendimas yra Demidovičiaus sprendimų knygoje (Nr. 475). Kalbant apie antrąją ribą, kaip ir ankstesniuose šio skyriaus pavyzdžiuose, turime formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtį. Kodėl ji atsiranda? Jis atsiranda todėl, kad $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ir $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Šias reikšmes naudojame skaitiklio ir vardiklio išraiškoms transformuoti. Mūsų veiksmų tikslas yra įrašyti sumą į skaitiklį ir vardiklį kaip sandaugą. Beje, dažnai panašaus tipo viduje patogu keisti kintamąjį, padarytą taip, kad naujasis kintamasis būtų linkęs į nulį (žr., pavyzdžiui, pavyzdžius Nr. 9 arba Nr. 10 šiame puslapyje). Tačiau šiame pavyzdyje nėra prasmės keisti, nors jei norima, pakeisti kintamąjį $t=x-\frac(2\pi)(3)$ nėra sunku.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ į\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Kaip matote, mums nereikėjo taikyti pirmosios nuostabios ribos. Žinoma, jei norite, galite tai padaryti (žr. pastabą žemiau), bet tai nėra būtina.

Koks yra sprendimas naudojant pirmąją puikią ribą? Rodyti Slėpti

Naudodami pirmą žymią ribą gauname:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ dešinėje))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Atsakymas: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Funkcijos riba begalybėje:
|f(x) – a|< ε при |x| >N

Koši ribos nustatymas
Tegul funkcija f (x) yra apibrėžtas tam tikroje begalybės taško kaimynystėje su |x| > Skaičius a vadinamas funkcijos riba f (x) kaip x linkęs į begalybę (), jei bet kuriam, kad ir mažam, teigiamam skaičiui ε > 0 , yra skaičius N ε >K, priklausomai nuo ε, kuris visiems x, |x| > N ε, funkcijos reikšmės priklauso taško a ε kaimynystei:
|f (x)-a|< ε .
Funkcijos riba begalybėje žymima taip:
.
Arba adresu.

Taip pat dažnai naudojamas šis užrašas:
.

Parašykime šį apibrėžimą naudodami loginius egzistavimo ir universalumo simbolius:
.
Tai daroma prielaida, kad reikšmės priklauso funkcijos sričiai.

Vienpusės ribos

Kairioji funkcijos riba begalybėje:
|f(x) – a|< ε при x < -N

Dažnai pasitaiko atvejų, kai funkcija apibrėžiama tik teigiamai arba neigiamos reikšmės kintamasis x (tiksliau taško arba ) kaimynystėje. Taip pat gali turėti teigiamų ir neigiamų x verčių ribos begalybėje skirtingos reikšmės. Tada naudojamos vienpusės ribos.

Kairė riba begalybėje arba riba, nes x linkusi į minus begalybę (), apibrėžiama taip:
.
Dešinė riba begalybėje arba riba, nes x linkusi prie begalybės ():
.
Vienpusės ribos begalybėje dažnai žymimos taip:
; .

Begalinė funkcijos riba begalybėje

Begalinė funkcijos riba begalybėje:
|f(x)| > M – |x| > N

Begalinės ribos apibrėžimas pagal Koši
Tegul funkcija f (x) yra apibrėžtas tam tikroje begalybės taško kaimynystėje su |x| > K, kur K yra teigiamas skaičius. Funkcijos riba f (x) kaip x linkęs į begalybę (), yra lygus begalybei, jei kam, savavališkai didelis skaičius M > 0 , yra toks skaičius N M >K, priklausomai nuo M, kuris visiems x, |x| > N M , funkcijos reikšmės priklauso taško, esančio begalybėje, kaimynystėje:
|f (x) | > M.
Begalinė riba, kai x linksta į begalybę, žymima taip:
.
Arba adresu.

Naudojant loginius egzistavimo ir universalumo simbolius, funkcijos begalinės ribos apibrėžimą galima parašyti taip:
.

Panašiai įvedami tam tikrų ženklų begalinių ribų apibrėžimai, lygūs ir:
.
.

Vienpusių ribų apibrėžimai begalybėje.
Kairiosios ribos.
.
.
.
Teisingos ribos.
.
.
.

Funkcijos ribos nustatymas pagal Heine

Tegul funkcija f (x) apibrėžta tam tikroje taško x kaimynystėje begalybėje 0 , kur arba arba .
Skaičius a (baigtinis arba begalybėje) vadinamas funkcijos f riba (x) taške x 0 :
,
jei kokiai sekai (xn), susiliejantis su x 0 : ,
kurio elementai priklauso kaimynystei, seka (f(xn)) susilieja su:
.

Jei kaimynyste paimtume begalybės taško kaimynystę be ženklo: , tada gautume funkcijos ribos apibrėžimą, nes x linksta į begalybę, . Jei imtume kairiąją arba dešiniąją taško x kaimynystę begalybėje 0 : arba , tada gauname ribos apibrėžimą, nes x atitinkamai linkęs į minus begalybę ir plius begalybę.

Heine ir Cauchy ribos apibrėžimai yra lygiaverčiai.

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Norėdami tai parodyti, naudokite Cauchy apibrėžimą
.

Įveskime tokį užrašą:
.
Raskime funkcijos apibrėžimo sritį. Kadangi trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai, funkcija apibrėžiama visiems x, išskyrus taškus, kuriuose vardiklis išnyksta. Raskime šiuos taškus. Kvadratinės lygties sprendimas. ;
.
Lygties šaknys:
; .
Nuo tada ir .
Todėl funkcija yra apibrėžta . Tai panaudosime vėliau.

Užrašykime funkcijos baigtinės ribos begalybėje apibrėžimą pagal Koši:
.
Pakeiskime skirtumą:
.
Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš ir padauginkite iš -1 :
.

Leisti .
Tada
;
;
;
.

Taigi, mes nustatėme, kad kai
.
.
Tai seka
adresu , ir .

Kadangi visada galite jį padidinti, imkime . Tada bet kam,
adresu .
Tai reiškia kad .

2 pavyzdys

Leisti .
Naudodami Koši ribos apibrėžimą, parodykite, kad:
1) ;
2) .

1) Sprendimas kaip x linkęs į minus begalybę

Kadangi , funkcija yra apibrėžta visiems x.
Užrašykime funkcijos ribos apibrėžimą, lygią minus begalybei:
.

Leisti . Tada
;
.

Taigi, mes nustatėme, kad kai
.
Įveskite teigiamus skaičius ir:
.
Iš to išplaukia, kad bet kuriam teigiamam skaičiui M yra skaičius, todėl ,
.

Tai reiškia kad .

2) Sprendimas kaip x linkęs plius begalybė

Pakeiskime pradinę funkciją. Padauginkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš ir pritaikykite kvadratų skirtumo formulę:
.
Mes turime:

.
Užrašykime funkcijos dešinės ribos apibrėžimą:
.

Įveskime žymėjimą: .
Pakeiskime skirtumą:
.
Padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš:
.

Leisti
.
Tada
;
.

Taigi, mes nustatėme, kad kai
.
Įveskite teigiamus skaičius ir:
.
Tai seka
ir .

Kadangi tai galioja bet kuriam teigiamam skaičiui, tada
.

Nuorodos:
CM. Nikolskis. Na matematinė analizė. 1 tomas. Maskva, 1983 m.

Ribų teorija– viena iš matematinės analizės sekcijų, kurią vieni gali įvaldyti, o kiti sunkiai apskaičiuoja ribas. Ribų nustatymo klausimas yra gana bendras, nes yra daugybė metodų sprendimo ribos įvairių tipų. Tas pačias ribas galima rasti ir naudojant L'Hopital taisyklę, ir be jos. Taip atsitinka, kad be galo mažų funkcijų suplanavimas leidžia greitai gauti norimą rezultatą. Yra aibė metodų ir gudrybių, leidžiančių rasti bet kokio sudėtingumo funkcijos ribą. Šiame straipsnyje pabandysime suprasti pagrindinius apribojimų tipus, su kuriais dažniausiai susiduriama praktikoje. Čia nepateiksime ribos teorijos ir apibrėžimo, internete yra daug šaltinių, kur tai aptariama. Todėl pereikime prie praktinių skaičiavimų, čia jūsų "Nežinau! Negaliu! Mūsų nemokė!"

Ribų skaičiavimas taikant pakeitimo metodą

1 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Sprendimas: tokio tipo pavyzdžius galima teoriškai apskaičiuoti naudojant įprastą pakaitalą

Limitas yra 18/11.
Tokiose ribose nėra nieko sudėtingo ar išmintingo – mes pakeitėme reikšmę, apskaičiavome ir užrašėme ribą kaip atsakymą. Tačiau remiantis tokiomis ribomis, visi mokomi, kad pirmiausia reikia pakeisti reikšmę į funkciją. Be to, ribos tampa sudėtingesnės, įvedamos begalybės, neapibrėžtumo ir panašiai sąvokos.

Riba su neapibrėžtumu, pavyzdžiui, begalybė, padalinta iš begalybės. Neapibrėžtumo atskleidimo būdai

2 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=begalybė).
Sprendimas: Formos daugianario, padalyto iš daugianario, riba, o kintamasis linkęs į begalybę

Paprasčiausias reikšmės, į kurią reikia rasti kintamąjį, pakeitimas, norint rasti ribas, nepadės, gauname formos begalybės neapibrėžtį, padalytą iš begalybės.
Remiantis ribų teorija, ribos apskaičiavimo algoritmas yra rasti didžiausią „x“ laipsnį skaitiklyje arba vardiklyje. Toliau iki jo supaprastinamas skaitiklis ir vardiklis ir randama funkcijos riba

Kadangi reikšmė linkusi į nulį, kai kintamasis artėja prie begalybės, jie yra nepaisomi arba įrašomi į galutinę išraišką nulių pavidalu

Iš karto iš praktikos galite padaryti dvi išvadas, kurios yra užuomina atliekant skaičiavimus. Jei kintamasis linkęs į begalybę, o skaitiklio laipsnis yra didesnis už vardiklio laipsnį, tada riba yra lygi begalybei. Priešingu atveju, jei vardiklyje polinomas yra aukštesnės eilės nei skaitiklyje, riba lygi nuliui.
Ribą galima parašyti tokiomis formulėmis:

Jei turime įprasto lauko be trupmenų formos funkciją, tai jos riba lygi begalybei

Kitas tipas ribos yra susijusios su nuliui artimų funkcijų veikimu.

3 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Sprendimas: Čia nereikia pašalinti pagrindinio daugianario koeficiento. Tiksliai priešingai, reikia rasti mažiausią skaitiklio ir vardiklio laipsnį ir apskaičiuoti ribą

Reikšmė x^2; x linkę į nulį, kai kintamasis linkęs į nulį. Todėl jie yra nepaisomi, todėl gauname

kad riba yra 2.5.

Dabar tu žinai kaip rasti funkcijos ribą formos, padalinkite daugianarį iš daugianario, jei kintamasis linkęs į begalybę arba 0. Tačiau tai tik nedidelė ir lengva pavyzdžių dalis. Iš šios medžiagos sužinosite kaip atskleisti funkcijos ribų neapibrėžtumus.

Riba su 0/0 tipo neapibrėžtimi ir jos apskaičiavimo metodai

Visi iš karto prisimena taisyklę, kad negalima dalyti iš nulio. Tačiau ribų teorija šiame kontekste reiškia be galo mažas funkcijas.
Aiškumo dėlei pažvelkime į kelis pavyzdžius.

4 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Sprendimas: Kai vardikliu pakeičiame kintamojo x = -1 reikšmę, gauname nulį, o skaitiklyje gauname tą patį. Taigi mes turime formos neapibrėžtis 0/0.
Su tokiu neapibrėžtumu susidoroti paprasta: reikia padalyti daugianarį faktorių, tiksliau, pasirinkti koeficientą, kuris funkciją paverčia nuliu.

Po išplėtimo funkcijos ribą galima parašyti kaip

Tai yra visas funkcijos ribos skaičiavimo metodas. Tą patį darome, jei yra formos daugianario riba, padalyta iš daugianario.

5 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Sprendimas: Tiesioginis pakeitimas rodo
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ką mes turime 0/0 tipo neapibrėžtis.
Padalinkime daugianarias iš koeficiento, kuris įveda singuliarumą

Yra mokytojų, kurie moko, kad 2 eilės daugianariai, tai yra „kvadratinių lygčių“ tipas, turi būti sprendžiami per diskriminantą. Bet tikra praktika rodo, kad jis yra ilgesnis ir painesnis, todėl pagal nurodytą algoritmą atsikratykite funkcijų ribose. Taigi funkciją užrašome paprastų faktorių forma ir apskaičiuojame riboje

Kaip matote, apskaičiuojant tokias ribas nėra nieko sudėtingo. Kol studijuojate ribas, žinote, kaip skaidyti daugianarius, bent jau pagal programą turėtumėte ją jau praeiti.
Tarp užduočių 0/0 tipo neapibrėžtis Yra keletas, kuriuose reikia naudoti sutrumpintas daugybos formules. Bet jei jūs jų nežinote, tada padaliję daugianarį iš mononomo galite gauti norimą formulę.

6 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Sprendimas: turime 0/0 tipo neapibrėžtį. Skaitiklyje naudojame sutrumpintą daugybos formulę

ir apskaičiuoti reikiamą ribą

Neapibrėžtumo atskleidimo būdas padauginant iš jo konjugato

Metodas taikomas riboms, kuriose neapibrėžtumą sukuria iracionalios funkcijos. Skaičiavimo taške skaitiklis arba vardiklis virsta nuliu ir nežinoma, kaip rasti ribą.

7 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Sprendimas: Pavaizduokime kintamąjį ribinės formulėje

Keisdami gauname 0/0 tipo neapibrėžtį.
Remiantis ribų teorija, būdas apeiti šią savybę yra neracionalią išraišką padauginti iš jos konjugato. Siekiant užtikrinti, kad išraiška nesikeistų, vardiklis turi būti padalintas iš tos pačios reikšmės

Naudodamiesi kvadratų skirtumo taisykle, supaprastiname skaitiklį ir apskaičiuojame funkcijos ribą

Supaprastiname terminus, sukuriančius ribos singuliarumą, ir atliekame pakeitimą

8 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Sprendimas: Tiesioginis pakeitimas rodo, kad riba turi 0/0 formos singuliarumą.

Norėdami išplėsti, padauginame ir padalijame iš skaitiklio konjugato

Užrašome kvadratų skirtumą

Supaprastiname terminus, įvedančius singuliarumą ir randame funkcijos ribą

9 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Sprendimas: formulėje pakeiskite du

Mes gauname neapibrėžtumas 0/0.
Vardiklis turi būti padaugintas iš konjuguotos išraiškos, o skaitiklyje kvadratinė lygtis turi būti išspręsta arba suskaičiuota atsižvelgiant į singuliarumą. Kadangi žinoma, kad 2 yra šaknis, antrąją šaknį randame naudodami Vietos teoremą

Taigi skaitiklį įrašome formoje

ir pakeiskite jį į ribą

Sumažinus kvadratų skirtumą, atsikratome skaitiklio ir vardiklio singuliarumo

Tokiu būdu daugelyje pavyzdžių galite atsikratyti singuliarumo, o taikymas turėtų būti įsidėmėtas visur, kur duotas šaknų skirtumas pakeitimo metu virsta nuliu. Susirūpinimą kelia kiti apribojimų tipai eksponentinės funkcijos, be galo mažos funkcijos, logaritmai, specialios ribos ir kiti metodai. Tačiau apie tai galite perskaityti toliau pateiktuose straipsniuose apie ribas.

Pažvelkime į keletą iliustruojančių pavyzdžių.

Tegu x yra skaitinis kintamasis, X – jo kitimo sritis. Jei kiekvienas skaičius x, priklausantis X, yra susietas su tam tikru skaičiumi y, tada jie sako, kad funkcija yra apibrėžta aibėje X, ir rašo y = f(x).
X rinkinys šiuo atveju yra plokštuma, susidedanti iš dviejų koordinačių ašių – 0X ir 0Y. Pavyzdžiui, pavaizduokime funkciją y = x 2. 0X ir 0Y ašys sudaro X – jo pasikeitimo sritį. Paveikslėlyje aiškiai parodyta, kaip veikia funkcija. Šiuo atveju jie sako, kad funkcija y = x 2 yra apibrėžta aibėje X.

Visų funkcijos dalinių reikšmių rinkinys Y vadinamas reikšmių rinkiniu f(x). Kitaip tariant, reikšmių rinkinys yra intervalas išilgai 0Y ašies, kuriame yra apibrėžta funkcija. Pavaizduota parabolė aiškiai parodo, kad f(x) > 0, nes x2 > 0. Todėl reikšmių diapazonas bus . Mes žiūrime į daugybę verčių pagal 0Y.

Visų x aibė vadinama f(x) sritimi. Mes žiūrime į daugelį apibrėžimų pagal 0X, o mūsų atveju - pagal sritį priimtinos vertės yra [-; +].

Taškas a (a priklauso arba X) vadinamas aibės X ribiniu tašku, jei bet kurioje taško a kaimynystėje yra aibės X taškų, kurie skiriasi nuo a.

Atėjo laikas suprasti, kokia yra funkcijos riba?

Iškviečiamas grynasis b, į kurį funkcija linkusi taip, kaip x linksta į skaičių a funkcijos riba. Tai parašyta taip:

Pavyzdžiui, f(x) = x 2. Turime išsiaiškinti, į ką funkcija linkusi (nelygi) ties x 2. Pirmiausia užrašome ribą:

Pažiūrėkime į grafiką.

Nubrėžkime liniją, lygiagrečią 0Y ašiai per tašką 2 0X ašyje. Jis kirs mūsų grafiką taške (2;4). Iš šio taško numeskime statmeną į ašį 0Y ir pateksime į tašką 4. Tai yra tai, ko mūsų funkcija siekia x 2. Jei dabar reikšmę 2 pakeisime funkcija f(x), atsakymas bus toks pat. .

Dabar, prieš pereinant prie limitų skaičiavimas, pristatykime pagrindinius apibrėžimus.

Prancūzų matematiko Augustino Louiso Cauchy pristatė XIX a.

Tarkime, kad funkcija f(x) yra apibrėžta tam tikrame intervale, kuriame yra taškas x = A, bet visai nebūtina apibrėžti f(A) reikšmę.

Tada, pagal Cauchy apibrėžimą, funkcijos riba f(x) bus tam tikras skaičius B su x link A, jei kiekvienam C > 0 yra skaičius D > 0, kuriam

Tie. jei funkcija f(x) ties x A ribojama riba B, tai rašoma forma

Sekos riba tam tikras skaičius A vadinamas, jei bet kuriam savavališkai mažam teigiamam skaičiui B > 0 yra skaičius N, kurio visos reikšmės tuo atveju n > N tenkina nelygybę

Ši riba atrodo taip.

Seka, kuri turi ribą, bus vadinama konvergentine; jei ne, vadinsime ją divergentine.

Kaip jau pastebėjote, ribas nurodo lim piktograma, pagal kurią įrašoma tam tikra kintamojo sąlyga, o tada įrašoma pati funkcija. Toks rinkinys bus skaitomas kaip „funkcijos, kuriai taikoma..., riba“. Pavyzdžiui:

- funkcijos, kaip x, riba yra 1.

Posakis „artėja prie 1“ reiškia, kad x paeiliui įgyja vertes, kurios artėja prie 1 be galo artimos.

Dabar tampa aišku, kad norint apskaičiuoti šią ribą, pakanka x reikšmę pakeisti 1:

Be konkrečios skaitinės reikšmės, x taip pat gali būti linkęs į begalybę. Pavyzdžiui:

Išraiška x reiškia, kad x nuolat didėja ir be apribojimų artėja prie begalybės. Todėl vietoj x pakeitus begalybę, tampa akivaizdu, kad funkcija 1-x bus linkusi , bet su priešingu ženklu:

Taigi, limitų skaičiavimas reikia rasti konkrečią jo reikšmę arba tam tikrą sritį, kurioje patenka ribos apribota funkcija.

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, darytina išvada, kad skaičiuojant ribas svarbu vadovautis keliomis taisyklėmis:

Supratimas ribos esmė ir pagrindinės taisyklės ribiniai skaičiavimai, sužinosite, kaip jas išspręsti. Jei koks nors apribojimas sukelia jums sunkumų, rašykite komentaruose ir mes tikrai jums padėsime.

Pastaba: Jurisprudencija yra dėsnių mokslas, padedantis konfliktuose ir kituose gyvenimo sunkumuose.