Pirmoji pastebima riba yra tokia lygybė:
\begin(lygtis)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(lygtis)
Kadangi $\alpha\to(0)$ turime $\sin\alpha\to(0)$, jie sako, kad pirmoji žymi riba atskleidžia formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtumą. Paprastai tariant, formulėje (1), vietoj kintamojo $\alpha$, po sinuso ženklu ir vardikliu galima įdėti bet kurią išraišką, jei tenkinamos dvi sąlygos:
- Išraiškos po sinuso ženklu ir vardiklyje vienu metu linkusios į nulį, t.y. yra formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtis.
- Išraiškos po sinuso ženklu ir vardiklyje yra vienodos.
Taip pat dažnai naudojamos pirmosios reikšmingos ribos išvados:
\begin(lygtis) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \pabaiga(lygtis) \begin(lygtis) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \pabaiga(lygtis) \pradžia(lygtis) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(lygtis)
Šiame puslapyje išspręsta vienuolika pavyzdžių. 1 pavyzdys yra skirtas (2)-4 formulių įrodymui. Pavyzdžiuose Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 ir Nr. 5 pateikti sprendimai su išsamiomis pastabomis. Pavyzdžiuose Nr. 6-10 pateikti sprendimai praktiškai be komentarų, nes išsamūs paaiškinimai buvo pateikti ankstesniuose pavyzdžiuose. Sprendime naudojamos kai kurios trigonometrinės formulės, kurias galima rasti.
Norėčiau pažymėti, kad trigonometrinių funkcijų buvimas kartu su neapibrėžtumu $\frac (0) (0)$ nebūtinai reiškia pirmosios reikšmingos ribos taikymą. Kartais pakanka paprastų trigonometrinių transformacijų – pavyzdžiui, žr.
1 pavyzdys
Įrodykite, kad $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Kadangi $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, tada:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Kadangi $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ir $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Tai:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Pakeiskime $\alpha=\sin(y)$. Kadangi $\sin(0)=0$, tai iš sąlygos $\alpha\to(0)$ turime $y\to(0)$. Be to, yra nulio kaimynystė, kurioje $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, taigi:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Lygybė $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ buvo įrodyta.
c) Pakeiskime $\alpha=\tg(y)$. Kadangi $\tg(0)=0$, tai sąlygos $\alpha\to(0)$ ir $y\to(0)$ yra lygiavertės. Be to, yra nulio kaimynystė, kurioje $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, todėl, remiantis punkto a) rezultatais, turėsime:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Lygybė $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ buvo įrodyta.
Lygybės a), b), c) dažnai naudojamos kartu su pirmąja reikšminga riba.
2 pavyzdys
Apskaičiuokite ribą $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
Kadangi $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ir $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, t.y. o trupmenos skaitiklis ir vardiklis vienu metu linkę į nulį, tai čia kalbama apie $\frac(0)(0)$ formos neapibrėžtį, t.y. padaryta. Be to, aišku, kad išraiškos po sinuso ženklu ir vardiklyje sutampa (t. y. ir tenkina):
Taigi, abi puslapio pradžioje išvardytos sąlygos yra įvykdytos. Iš to išplaukia, kad taikytina formulė, t.y. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.
Atsakymas: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
3 pavyzdys
Raskite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Kadangi $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ir $\lim_(x\to(0))x=0$, tai mes susiduriame su formos $\frac neapibrėžtumu (0 )(0)$, t.y. padaryta. Tačiau išraiškos po sinuso ženklu ir vardiklyje nesutampa. Čia reikia pakoreguoti vardiklio išraišką į reikiamą formą. Mums reikia, kad išraiška $9x$ būtų vardiklyje, tada ji taps tiesa. Iš esmės vardiklyje trūksta 9 USD koeficiento, kurį nėra taip sunku įvesti – tiesiog padauginkite vardiklyje esančią išraišką iš 9 USD. Natūralu, kad norint kompensuoti dauginimą iš $9$, turėsite iš karto padalyti iš $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Dabar išraiškos vardiklyje ir po sinuso ženklu sutampa. Tenkinamos abi ribos $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sąlygos. Todėl $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. O tai reiškia, kad:
9 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
4 pavyzdys
Raskite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Kadangi $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ir $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, čia kalbama apie formos neapibrėžtumą $\frac(0)(0)$. Tačiau pažeidžiama pirmosios žymios ribos forma. Skaitikliui, kuriame yra $\sin(5x)$, reikalingas vardiklis $5x$. Esant tokiai situacijai, paprasčiausias būdas yra padalyti skaitiklį iš $5x$ ir iš karto padauginti iš $5x$. Be to, atliksime panašią operaciją su vardikliu, padaugindami ir padalydami $\tg(8x)$ iš $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Sumažinus $x$ ir paėmus konstantą $\frac(5)(8)$ už ribinio ženklo ribų, gauname:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Atkreipkite dėmesį, kad $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ visiškai atitinka pirmos reikšmingos ribos reikalavimus. Norint rasti $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, taikoma ši formulė:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
5 pavyzdys
Raskite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Kadangi $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (atminkite, kad $\cos(0)=1$) ir $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, tada mes susiduriame su formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtumu. Tačiau norėdami pritaikyti pirmąją reikšmingą ribą, turėtumėte atsikratyti kosinuso skaitiklyje, pereidami prie sinusų (kad vėliau pritaikytumėte formulę) arba liestinių (kad vėliau pritaikytumėte formulę). Tai galima padaryti naudojant šią transformaciją:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Grįžkime prie ribos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
Trupmena $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ jau yra artima formai, reikalingai pirmai reikšmingai ribai. Šiek tiek padirbėkime su trupmena $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, pakoreguodami ją iki pirmosios reikšmingos ribos (atminkite, kad išraiškos skaitiklyje ir po sinusu turi sutapti):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Grįžkime prie aptariamos ribos:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Pavyzdys Nr.6
Raskite ribą $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Kadangi $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ir $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, tada mes susiduriame su neapibrėžtumu $\frac(0)(0)$. Leiskite mums tai atskleisti pasitelkdami pirmąją nuostabią ribą. Norėdami tai padaryti, pereikime nuo kosinusų prie sinusų. Kadangi $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, tada:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Pereinant į sinusus duotoje riboje, turėsime:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
7 pavyzdys
Apskaičiuokite ribą $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ atsižvelgiant į $\alpha\neq \ beta$.
Išsamūs paaiškinimai buvo pateikti anksčiau, tačiau čia mes tiesiog pažymime, kad vėl yra neapibrėžtumas $\frac(0)(0)$. Pereikime nuo kosinusų prie sinusų naudodami formulę
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Naudodami šią formulę gauname:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\dešinė| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
8 pavyzdys
Raskite ribą $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Kadangi $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (atminkite, kad $\sin(0)=\tg(0)=0$) ir $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, tada čia kalbama apie formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtumą. Išskaidykime jį taip:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$
Atsakymas: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Pavyzdys Nr.9
Raskite ribą $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Kadangi $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ir $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, tada yra formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtis. Prieš pradedant jo išplėtimą, patogu pakeisti kintamąjį taip, kad naujasis kintamasis būtų linkęs į nulį (atkreipkite dėmesį, kad formulėse kintamasis $\alpha \to 0$). Lengviausias būdas yra įvesti kintamąjį $t=x-3$. Tačiau dėl tolimesnių transformacijų patogumo (šią naudą galima pamatyti toliau pateikto sprendimo eigoje) verta atlikti tokį pakeitimą: $t=\frac(x-3)(2)$. Atkreipiu dėmesį, kad abu pakaitalai taikomi tokiu atveju, tik antras pakeitimas leis mažiau dirbti su trupmenomis. Nuo $x\to(3)$, tada $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\dešinė| =\left|\begin(lygiuotas)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(lygiuotas)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Atsakymas: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
10 pavyzdys
Raskite ribą $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.
Dar kartą susiduriame su neapibrėžtumu $\frac(0)(0)$. Prieš pradedant plėtoti, patogu pakeisti kintamąjį taip, kad naujasis kintamasis būtų linkęs į nulį (atkreipkite dėmesį, kad formulėse kintamasis yra $\alpha\to(0)$). Lengviausias būdas yra įvesti kintamąjį $t=\frac(\pi)(2)-x$. Nuo $x\to\frac(\pi)(2)$, tada $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(lygiuotas)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(lygiuotas)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Atsakymas: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
11 pavyzdys
Raskite ribas $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Šiuo atveju mums nereikia naudoti pirmosios nuostabios ribos. Atkreipkite dėmesį, kad tiek pirmoje, tiek antroje ribose yra tik trigonometrinės funkcijos ir skaičiai. Dažnai tokio pobūdžio pavyzdžiuose galima supaprastinti po ribiniu ženklu esančią išraišką. Be to, po minėto kai kurių veiksnių supaprastinimo ir sumažinimo neapibrėžtumas išnyksta. Šį pavyzdį pateikiau tik vienam tikslui: parodyti, kad trigonometrinių funkcijų buvimas po ribos ženklu nebūtinai reiškia pirmosios reikšmingos ribos naudojimą.
Kadangi $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (atminkite, kad $\sin\frac(\pi)(2)=1$) ir $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (priminsiu, kad $\cos\frac(\pi)(2)=0$), tada turime sprendžiant formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtį. Tačiau tai nereiškia, kad mums reikės išnaudoti pirmąją nuostabią ribą. Norint atskleisti neapibrėžtumą, pakanka atsižvelgti į tai, kad $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Panašus sprendimas yra Demidovičiaus sprendimų knygoje (Nr. 475). Kalbant apie antrąją ribą, kaip ir ankstesniuose šio skyriaus pavyzdžiuose, turime formos $\frac(0)(0)$ neapibrėžtį. Kodėl ji atsiranda? Jis atsiranda todėl, kad $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ir $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Šias reikšmes naudojame skaitiklio ir vardiklio išraiškoms transformuoti. Mūsų veiksmų tikslas yra įrašyti sumą į skaitiklį ir vardiklį kaip sandaugą. Beje, dažnai panašaus tipo viduje patogu keisti kintamąjį, padarytą taip, kad naujasis kintamasis būtų linkęs į nulį (žr., pavyzdžiui, pavyzdžius Nr. 9 arba Nr. 10 šiame puslapyje). Tačiau šiame pavyzdyje nėra prasmės keisti, nors jei norima, pakeisti kintamąjį $t=x-\frac(2\pi)(3)$ nėra sunku.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ į\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Kaip matote, mums nereikėjo taikyti pirmosios nuostabios ribos. Žinoma, jei norite, galite tai padaryti (žr. pastabą žemiau), bet tai nėra būtina.
Koks yra sprendimas naudojant pirmąją puikią ribą? Rodyti Slėpti
Naudodami pirmą žymią ribą gauname:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ dešinėje))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Atsakymas: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.
Šis internetinis matematikos skaičiuotuvas padės jums, jei to prireiks apskaičiuokite funkcijos ribą. Programa sprendimo ribos ne tik duoda atsakymą į problemą, bet ir veda išsamus sprendimas su paaiškinimais, t.y. rodomas limito skaičiavimo procesas.
Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams vidurinės mokyklos ruošiantis bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai matematikoje ar algebroje? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.
Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) savo mokymus. jaunesni broliai ar seserys, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje kyla.
Įveskite funkcijos išraiškąApskaičiuokite limitą
Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...
Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.
Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:
Šiek tiek teorijos.
Funkcijos riba x->x 0
Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta tam tikroje aibėje X ir tegul taškas \(x_0 \in X\) arba \(x_0 \notin X\)
Paimkime iš X taškų seką, skirtingą nuo x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
suartėja su x*. Funkcijų reikšmės šios sekos taškuose taip pat sudaro skaitinę seką
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
ir galima kelti jos ribos egzistavimo klausimą.
Apibrėžimas. Skaičius A vadinamas funkcijos f(x) riba taške x = x 0 (arba x -> x 0), jei bet kuriai argumento x reikšmių sekai (1) skiriasi nuo x 0 konverguojant į x 0, atitinkama reikšmių seka (2) konverguoja į skaičių A.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
Funkcija f(x) taške x 0 gali turėti tik vieną ribą. Tai išplaukia iš to, kad seka
(f(x n)) turi tik vieną ribą.
Yra ir kitas funkcijos ribos apibrėžimas.
Apibrėžimas Skaičius A vadinamas funkcijos f(x) riba taške x = x 0, jei bet kuriam skaičiui \(\varepsilon > 0\) yra skaičius \(\delta > 0\), kad visiems \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), tenkinant nelygybę \(|x-x_0| Naudojant loginius simbolius, šis apibrėžimas gali būti parašytas kaip
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Atkreipkite dėmesį, kad nelygybės \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| Pirmasis apibrėžimas yra pagrįstas skaičių sekos ribos sąvoka, todėl jis dažnai vadinamas apibrėžimu „sekų kalba“. Antrasis apibrėžimas vadinamas apibrėžimu „kalba“. \(\varepsilon - \delta \)“.
Šie du funkcijos ribos apibrėžimai yra lygiaverčiai ir galite naudoti bet kurį iš jų, priklausomai nuo to, kuris yra patogesnis sprendžiant konkrečią problemą.
Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos ribos apibrėžimas „sekų kalba“ dar vadinamas funkcijos ribos apibrėžimu pagal Heine, o funkcijos ribos apibrėžimas „kalba \(\varepsilon - \delta \)“ dar vadinamas funkcijos ribos apibrėžimu pagal Koši.
Funkcijos riba x->x 0 - ir x->x 0 +
Toliau naudosime vienpusių funkcijos ribų sąvokas, kurios apibrėžiamos taip.
Apibrėžimas Skaičius A vadinamas dešiniąja (kairiąja) funkcijos f(x) riba taške x 0, jei bet kuriai sekai (1), konverguojančiai į x 0, kurios elementai x n yra didesni (mažesni už) x 0, atitinkama seka (2) susilieja su A.
Simboliškai parašyta taip:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$
Galime pateikti lygiavertį funkcijos vienpusių ribų apibrėžimą „kalba \(\varepsilon - \delta \)“:
Apibrėžimas skaičius A vadinamas dešiniąja (kairiąja) funkcijos f(x) riba taške x 0, jei bet kuriam \(\varepsilon > 0\) yra \(\delta > 0\), kad visiems x nelygybių tenkinimas \(x_0 simboliniai įrašai:
Tiems, kurie nori sužinoti, kaip rasti ribas, šiame straipsnyje mes apie tai papasakosime. Į teoriją nesigilinsime, dėstytojai dažniausiai ją skaito paskaitose. Taigi „nuobodžiąją teoriją“ reikėtų užsirašyti į sąsiuvinius. Jei taip nėra, tuomet galite skaityti iš bibliotekos pasiskolintus vadovėlius. švietimo įstaiga arba kituose interneto šaltiniuose.
Taigi studijuojant kursą ribos sąvoka yra gana svarbi aukštoji matematika, ypač kai susiduriate su integraliniu skaičiavimu ir suprantate ryšį tarp ribos ir integralo. Dabartinėje medžiagoje mes apsvarstysime paprasti pavyzdžiai, taip pat jų sprendimo būdus.
Sprendimų pavyzdžiai
| 1 pavyzdys |
| Apskaičiuokite a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| Sprendimas |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Žmonės dažnai atsiunčia mums šias ribas su prašymu padėti jas išspręsti. Nusprendėme jas pabrėžti kaip atskirą pavyzdį ir paaiškinti, kad paprastai šias ribas tiesiog reikia atsiminti. Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Pateiksime išsamų sprendimą. Galėsite stebėti skaičiavimo eigą ir gauti informacijos. Tai padės jums laiku gauti pažymį iš savo mokytojo! |
| Atsakymas |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$ |
Ką daryti su formos neapibrėžtumu: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| 3 pavyzdys |
| Išspręskite $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Sprendimas |
|
Kaip visada, pradedame pakeisdami reikšmę $ x $ į išraišką po ribos ženklu. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Kas dabar toliau? Kas turėtų atsitikti galiausiai? Kadangi tai yra neapibrėžtumas, tai dar nėra atsakymas ir mes tęsiame skaičiavimą. Kadangi skaitikliuose turime daugianarį, jį faktorinuosime naudodami visiems iš mokyklos žinomą formulę $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Ar prisimeni? Puiku! Dabar eik į priekį ir naudokite ją su daina :) Pastebime, kad skaitiklis $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Mes ir toliau sprendžiame, atsižvelgdami į aukščiau pateiktą transformaciją: $$ \lim \limits_(x \iki -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1) = -1-1 = -2 $$ |
| Atsakymas |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Pakelkime ribą paskutiniuose dviejuose pavyzdžiuose iki begalybės ir apsvarstykime neapibrėžtumą: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| 5 pavyzdys |
| Apskaičiuokite $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Sprendimas |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ką daryti? Ką turėčiau daryti? Neišsigąskite, nes neįmanoma yra įmanoma. Būtina išimti x iš skaitiklio ir vardiklio, o tada jį sumažinti. Po to pabandykite apskaičiuoti ribą. Pabandykime... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Naudodami apibrėžimą iš 2 pavyzdžio ir pakeisdami x begalybę, gauname: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Atsakymas |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Ribų skaičiavimo algoritmas
Taigi, trumpai apibendrinkime pavyzdžius ir sukurkime ribų sprendimo algoritmą:
- Pakeiskite tašką x į išraišką po ribinio ženklo. Jei gaunamas tam tikras skaičius arba begalybė, tada riba yra visiškai išspręsta. Kitu atveju turime neapibrėžtumo: „nulis padalintas iš nulio“ arba „begalybė padalintas iš begalybės“ ir pereikite prie kitų instrukcijų žingsnių.
- Norėdami pašalinti „nulis padalytas iš nulio“ neapibrėžtumą, turite atsižvelgti į skaitiklį ir vardiklį. Sumažinkite panašių. Pakeiskite tašką x į išraišką po ribos ženklu.
- Jei neapibrėžtis yra „begalybė, padalyta iš begalybės“, tada išimame ir skaitiklį, ir vardiklį x iki didžiausio laipsnio. Sutrumpiname X. Mes pakeičiame x reikšmes iš žemiau ribos į likusią išraišką.
Šiame straipsnyje sužinojote dažniausiai kurse naudojamų ribų sprendimo pagrindus. Matematinė analizė. Žinoma, tai ne visos egzaminuotojų siūlomos problemos, o tik paprasčiausios ribos. Apie kitų tipų užduotis kalbėsime būsimuose straipsniuose, bet pirmiausia turite išmokti šią pamoką, kad galėtumėte judėti pirmyn. Aptarkime, ką daryti, jei yra šaknys, laipsniai, išstudijuokime be galo mažas ekvivalentines funkcijas, reikšmingas ribas, L'Hopital taisyklę.
Jei patys negalite suprasti ribų, nepanikuokite. Mes visada džiaugiamės galėdami padėti!
Tipo ir rūšies neapibrėžtis yra dažniausiai pasitaikantys neapibrėžtumai, kuriuos reikia atskleisti sprendžiant ribas.
Dauguma ribinių problemų, su kuriomis susiduria studentai, yra būtent tokie neapibrėžtumai. Norint juos atskleisti arba, tiksliau, išvengti neaiškumų, yra keletas dirbtinių būdų transformuoti po ribinio ženklo išraiškos tipą. Šie metodai yra tokie: skaitiklio ir vardiklio padalijimas pagal terminą pagal didžiausią kintamojo laipsnį, dauginimas iš konjugato išraiškos ir faktorinavimas vėlesniam redukavimui, naudojant kvadratinių lygčių sprendimus ir sutrumpintas daugybos formules.
Rūšies neapibrėžtumas
1 pavyzdys.
n yra lygus 2. Todėl skaitiklio ir vardiklio terminą dalijame iš termino iš:
.
Komentuokite dešinėje išraiškos pusėje. Rodyklės ir skaičiai rodo, kokios trupmenos linkusios po pakeitimo n reiškia begalybę. Čia, kaip 2 pavyzdyje, laipsnis n Vardiklyje yra daugiau nei skaitiklyje, todėl visa trupmena būna be galo maža arba „labai maža“.
Gauname atsakymą: šios funkcijos riba su kintamuoju, linkusiu į begalybę, yra lygi .
2 pavyzdys. .
Sprendimas. Čia didžiausia kintamojo galia x yra lygus 1. Todėl dalijame skaitiklio ir vardiklio narį iš termino iš x:
Komentaras apie sprendimo priėmimo eigą. Skaitiklyje po trečiojo laipsnio šaknies įvedame „x“ ir, kad jo pradinis laipsnis (1) liktų nepakitęs, priskiriame jam tokį patį laipsnį kaip ir šaknies, tai yra 3. Nėra jokių rodyklių ar papildomų skaičių šiame įraše, todėl pabandykite mintyse, bet pagal analogiją su ankstesniu pavyzdžiu nustatykite, kokios yra skaitiklio ir vardiklio išraiškos, pakeitus begalybę vietoj „x“.
Gavome atsakymą: šios funkcijos su kintamuoju, linkusiu į begalybę, riba lygi nuliui.
Rūšies neapibrėžtumas
3 pavyzdys. Atskleiskite netikrumą ir raskite ribą.
Sprendimas. Skaitiklis yra kubelių skirtumas. Paskaičiuokime jį faktoriais naudodami sutrumpintą daugybos formulę iš mokyklinio matematikos kurso:
Vardiklyje yra kvadratinis trinaris, kurį suskaidysime išspręsdami kvadratinę lygtį (dar kartą nuoroda į kvadratinių lygčių sprendimą):
Užrašykime išraišką, gautą atlikus transformacijas, ir raskime funkcijos ribą:
4 pavyzdys. Išlaisvinkite netikrumą ir raskite ribą
Sprendimas. Dalinio ribos teorema čia netaikoma, nes
Todėl trupmeną transformuojame identiškai: skaitiklį ir vardiklį padauginame iš dvinario konjugato su vardikliu ir sumažiname x+1. Pagal 1 teoremos išvadą gauname išraišką, kurią išsprendę randame norimą ribą:
5 pavyzdys. Išlaisvinkite netikrumą ir raskite ribą
Sprendimas. Tiesioginis vertės pakeitimas x= 0 į tam tikrą funkciją lemia 0/0 formos neapibrėžtį. Norėdami tai atskleisti, atliekame identiškas transformacijas ir galiausiai gauname norimą ribą: 
6 pavyzdys. Apskaičiuoti 
Sprendimas: Panaudokime teoremas apie ribas
Atsakymas: 11
7 pavyzdys. Apskaičiuoti 
Sprendimas:šiame pavyzdyje skaitiklio ir vardiklio ribos yra lygios 0:
; 
. Gavome, todėl teorema apie koeficiento ribą negali būti taikoma.
Suskaičiuokime skaitiklį ir vardiklį, kad trupmeną sumažintume bendru koeficientu, linkusiu į nulį, ir todėl galimas naudojimas 3 teorema.
Išplėskime kvadratinį trinarį skaitiklyje naudodami formulę , kur x 1 ir x 2 yra trinalio šaknys. Suskaičiavę faktorių ir vardiklį, sumažinkite trupmeną (x-2), tada pritaikykite 3 teoremą.
Atsakymas:
8 pavyzdys. Apskaičiuoti
Sprendimas: Kai skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę, todėl tiesiogiai taikydami 3 teoremą gauname išraišką , kuri reiškia neapibrėžtumą. Norėdami atsikratyti šio tipo neapibrėžtumo, skaitiklį ir vardiklį turėtumėte padalyti iš didžiausios argumento galios. Šiame pavyzdyje reikia padalyti iš X:
Atsakymas:
9 pavyzdys. Apskaičiuoti 
Sprendimas: x 3:
Atsakymas: 2
10 pavyzdys. Apskaičiuoti 
Sprendimas: Kai skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę. Skaitiklį ir vardiklį padalinkime iš didžiausios argumento galios, t.y. x 5:
= 
Trupmenos skaitiklis linkęs į 1, vardiklis linkęs į 0, taigi trupmena linkusi į begalybę.
Atsakymas:
11 pavyzdys. Apskaičiuoti
Sprendimas: Kai skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę. Skaitiklį ir vardiklį padalinkime iš didžiausios argumento galios, t.y. x 7:
Atsakymas: 0
Darinys.
Funkcijos y = f(x) išvestinė argumento x atžvilgiu vadinama jo prieaugio y ir argumento x prieaugio x santykio riba, kai argumento prieaugis linkęs į nulį: . Jei ši riba yra baigtinė, tada funkcija y = f(x) Sakoma, kad yra diferencijuotas taške x. Jei ši riba egzistuoja, jie sako, kad funkcija y = f(x) turi begalinę išvestinę taške x.
Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestiniai:
1. (const)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
Atskyrimo taisyklės:
a) 
1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę 
Sprendimas: Jei antrojo nario išvestinė randama naudojant trupmenų diferenciacijos taisyklę, tai pirmasis narys yra sudėtinga funkcija, kurios išvestinė randama pagal formulę:
Kur 
, Tada
Sprendžiant buvo naudojamos šios formulės: 1,2,10,a,c,d.
Atsakymas:
21 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę 
Sprendimas: abu terminai - sudėtingos funkcijos, kur pirmas , , o antrasis , , tada
Atsakymas: 
Išvestinės programos.
1. Greitis ir pagreitis
Tegul funkcija s(t) apibūdina padėtis objektas kokioje nors koordinačių sistemoje momentu t. Tada pirmoji funkcijos s(t) išvestinė yra momentinė greitis objektas:
v=s′=f′(t)
Antroji funkcijos s(t) išvestinė reiškia momentinę pagreitis objektas:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Tangento lygtis
y-y0=f′(x0)(x-x0),
čia (x0,y0) – liestinės taško koordinatės, f′(x0) – funkcijos f(x) išvestinės reikšmė liestinės taške.
3. Normali lygtis
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
čia (x0,y0) yra taško, kuriame nubrėžta normalioji, koordinatės, f′(x0) yra funkcijos f(x) išvestinės reikšmė šiame taške.
4. Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas
Jei f′(x0)>0, tai taške x0 funkcija didėja. Žemiau esančiame paveikslėlyje funkcija didėja kaip x
Jei f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Vietinis funkcijos ekstremumas
F(x) funkcija turi vietinis maksimumas taške x1, jei yra taško x1 kaimynystė, kad visiems x iš šios kaimynystės galioja nelygybė f(x1)≥f(x).
Panašiai turi ir funkcija f(x). vietinis minimumas taške x2, jei yra taško x2 kaimynystė, kad visiems x iš šios kaimynystės galioja nelygybė f(x2)≤f(x).
6. Kritiniai taškai
Taškas x0 yra kritinis taškas funkcija f(x), jei joje esanti išvestinė f′(x0) lygi nuliui arba neegzistuoja.
7. Pirmas pakankamas ekstremumo egzistavimo požymis
Jei funkcija f(x) didėja (f′(x)>0) visiems x tam tikrame intervale (a,x1] ir mažėja (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) visiems x iš intervalo )
Panašūs straipsniai
