Kaip apskaičiuoti stačiakampio plotą. Stačiakampio internetinio skaičiuoklės plotas

Pamoka tema: "Trikampio, stačiakampio, kvadrato ploto nustatymo formulės"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 5 klasei
I. I. Zubarevos ir A. G. Mordkovičiaus vadovėlio simuliatorius
G. V. Dorofejevo ir L. G. Petersono vadovėlio simuliatorius

Figūros ploto apibrėžimas ir samprata

Norėdami geriau suprasti, koks yra figūros plotas, apsvarstykite figūrą.
Ši savavališka figūra yra padalinta į 12 mažų kvadratų. Kiekvieno kvadrato kraštinė yra 1 cm, o kiekvieno kvadrato plotas yra 1 kvadratinis centimetras, kuris parašyta taip: 1 cm2.

Tada figūros plotas yra 12 kvadratinių centimetrų. Matematikoje plotas žymimas lotyniška S raide.
Tai reiškia, kad mūsų figūros plotas yra: S forma = 12 cm 2.

Figūros plotas lygus visų ją sudarančių mažų kvadratėlių plotui!

Vaikinai, prisiminkite!
Plotas matuojamas kvadratiniais ilgio vienetais. Ploto vienetai:
1. Kvadratinis kilometras – km 2 (kai plotai labai dideli, pvz., šalis ar jūra).
2. Kvadratinis metras - m2 (labai tinka sklypo ar buto plotui išmatuoti).
3. Kvadratinis centimetras - cm 2 (dažniausiai naudojamas matematikos pamokose piešiant figūras sąsiuvinyje).
4. Kvadratinis milimetras - mm 2.

Trikampio plotas

Panagrinėkime dviejų tipų trikampius: stačiakampį ir savavališką.

Norėdami rasti stačiojo trikampio plotą, turite žinoti pagrindo ilgį ir aukštį. Stačiakampiame trikampyje aukštis pakeičiamas viena iš kraštinių. Todėl trikampio ploto formulėje vietoj aukščio pakeičiame vieną iš kraštinių.
Mūsų pavyzdyje kraštinės yra 7 cm ir 4 cm. Trikampio ploto apskaičiavimo formulė parašyta taip:
Stačiojo trikampio ABC = BC * CA: 2

Stačiojo trikampio ABC S = 7 cm * 4 cm: 2 = 14 cm 2

Dabar apsvarstykite savavališką trikampį.

Tokiam trikampiui reikia nubrėžti aukštį iki pagrindo.
Mūsų pavyzdyje aukštis yra 6 cm, o pagrindas yra 8 cm. Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, apskaičiuojame plotą pagal formulę:
Savavališko trikampio ABC = BC * h: 2.

Pakeiskime duomenis į formulę ir gaukime:
Savavališko trikampio ABC S = 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm 2.

Stačiakampio ir kvadrato plotas

Paimkite stačiakampį ABCD, kurio kraštinės yra 5 cm ir 8 cm.

Stačiakampio ploto apskaičiavimo formulė parašyta taip:
S stačiakampis ABCD = AB * BC.

S stačiakampis ABCD = 8 cm * 5 cm = 40 cm 2.

Dabar apskaičiuokime kvadrato plotą. Skirtingai nuo stačiakampio ir trikampio, norint rasti kvadrato plotą, reikia žinoti tik vieną kraštinę. Mūsų pavyzdyje kvadrato ABCD kraštinė yra 9 cm. S kvadratas ABCD = AB * BC = AB 2.

Pakeiskime duomenis į formulę ir gaukime:
S kvadratas ABCD = 9 cm * 9 cm = 81 cm 2.

Daugiakampio plotas

Daugiakampio ploto sąvoką susiesime su tokia geometrine figūra kaip kvadratas. Daugiakampio ploto vienetui imsime kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui, plotą. Leiskite mums pristatyti dvi pagrindines daugiakampio ploto sąvokos savybes.

1 nuosavybė: Vienodiems daugiakampiams jų plotai yra vienodi.

2 nuosavybė: Bet kurį daugiakampį galima suskirstyti į kelis daugiakampius. Šiuo atveju pradinio daugiakampio plotas yra lygus visų daugiakampių, į kuriuos padalintas šis daugiakampis, plotų sumai.

Kvadrato plotas

1 teorema

Kvadrato plotas apibrėžiamas kaip jo kraštinės ilgio kvadratas.

kur $a$ yra kvadrato kraštinės ilgis.

Įrodymas.

Norėdami tai įrodyti, turime apsvarstyti tris atvejus.

Teorema įrodyta.

Stačiakampio plotas

2 teorema

Stačiakampio plotas nustatomas pagal gretimų kraštinių ilgių sandaugą.

Matematiškai tai galima parašyti taip

Įrodymas.

Pateikiame stačiakampį $ABCD$ su $AB=b,\ AD=a$. Pastatykime jį iki kvadrato $APRV$, kurio kraštinės ilgis lygus $a+b$ (3 pav.).

3 pav.

Pagal antrąją mūsų turimų sričių savybę

\ \ \

Pagal 1 teoremą

\ \

Teorema įrodyta.

Užduočių pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite stačiakampio, kurio kraštinės yra $5$ ir $3$, plotą.

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 3 klasei
Treneris 3 klasei „Matematikos taisyklės ir pratimai“
Elektroninis vadovėlis 3 klasei „Matematika per 10 minučių“

Kas yra stačiakampis ir kvadratas

Stačiakampis yra keturkampis su visais stačiais kampais. Tai reiškia, kad priešingos pusės yra lygios viena kitai.

Kvadratas yra stačiakampis su lygiomis kraštinėmis ir vienodais kampais. Jis vadinamas taisyklingu keturkampiu.

Keturkampiai, įskaitant stačiakampius ir kvadratus, žymimi 4 raidėmis – viršūnėmis. Lotyniškos raidės naudojamos viršūnėms žymėti: A, B, C, D...

Pavyzdys.

Jis skamba taip: keturkampis ABCD; kvadratinis EFGH.

Koks yra stačiakampio perimetras? Perimetro skaičiavimo formulė

Stačiakampio perimetras yra visų stačiakampio kraštinių ilgių suma arba ilgio ir pločio suma, padauginta iš 2.

Perimetras žymimas lotyniška raide P. Kadangi perimetras yra visų stačiakampio kraštinių ilgis, perimetras rašomas ilgio vienetais: mm, cm, m, dm, km.

Pavyzdžiui, stačiakampio ABCD perimetras žymimas kaip P ABCD, kur A, B, C, D yra stačiakampio viršūnės.

Užrašykime keturkampio ABCD perimetro formulę:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Pavyzdys.
Duotas stačiakampis ABCD, kurio kraštinės: AB=CD=5 cm ir AD=BC=3 cm.
Apibrėžkime P ABCD.

Sprendimas:
1. Nubraižykime stačiakampį ABCD pradiniais duomenimis.
2. Parašykime formulę duoto stačiakampio perimetrui apskaičiuoti:

P ABCD = 2 * (AB + BC)

P ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm

Atsakymas: P ABCD = 16 cm.

Kvadrato perimetro apskaičiavimo formulė

Turime formulę, kaip nustatyti stačiakampio perimetrą.

P ABCD = 2 * (AB + BC)

Naudokime jį kvadrato perimetrui nustatyti. Atsižvelgiant į tai, kad visos kvadrato kraštinės yra lygios, gauname:

P ABCD = 4 * AB

Pavyzdys.
Duotas kvadratas ABCD, kurio kraštinė lygi 6 cm. Nustatykime kvadrato perimetrą.

Sprendimas.
1. Nubraižykime kvadratą ABCD pradiniais duomenimis.

2. Prisiminkime kvadrato perimetro apskaičiavimo formulę:

P ABCD = 4 * AB

3. Pakeiskime savo duomenis į formulę:

P ABCD = 4 * 6 cm = 24 cm

Atsakymas: P ABCD = 24 cm.

Stačiakampio perimetro radimo uždaviniai

1. Išmatuokite stačiakampių plotį ir ilgį. Nustatykite jų perimetrą.

2. Nubraižykite stačiakampį ABCD, kurio kraštinės 4 cm ir 6 cm. Nustatykite stačiakampio perimetrą.

3. Nubraižykite kvadratą SEOM, kurio kraštinė 5 cm. Nustatykite kvadrato perimetrą.

Kur naudojamas stačiakampio perimetro skaičiavimas?

1. Suteiktas žemės sklypas, kurį reikia aptverti tvora. Kokio ilgio bus tvora?

Atliekant šią užduotį, būtina tiksliai apskaičiuoti sklypo perimetrą, kad nepirktumėte perteklinės medžiagos tvoros statybai.

2. Tėveliai nusprendė atnaujinti vaikų kambarį. Norėdami teisingai apskaičiuoti tapetų kiekį, turite žinoti kambario perimetrą ir jo plotą.
Nustatykite kambario, kuriame gyvenate, ilgį ir plotį. Nustatykite savo kambario perimetrą.

Koks yra stačiakampio plotas?

Kvadratas yra skaitinė figūros charakteristika. Plotas matuojamas kvadratiniais ilgio vienetais: cm 2, m 2, dm 2 ir tt (centimetras kvadratas, metras kvadratas, decimetras kvadratas ir tt)
Skaičiavimuose jis žymimas lotyniška raide S.

Norėdami nustatyti stačiakampio plotą, stačiakampio ilgį padauginkite iš jo pločio.
Stačiakampio plotas apskaičiuojamas AC ilgį padauginus iš CM pločio. Užrašykime tai kaip formulę.

S AKMO = AK * KM

Pavyzdys.
Koks yra stačiakampio AKMO plotas, jei jo kraštinės yra 7 cm ir 2 cm?

S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm 2.

Atsakymas: 14 cm 2.

Kvadrato ploto apskaičiavimo formulė

Kvadrato plotą galima nustatyti padauginus kraštinę iš savęs.

Pavyzdys.
Šiame pavyzdyje kvadrato plotas apskaičiuojamas padauginus kraštinę AB iš pločio BC, bet kadangi jie yra lygūs, rezultatas yra kraštinės AB padauginimas iš AB.

S ABCO = AB * BC = AB * AB

Pavyzdys.
Nustatykite kvadratinio AKMO, kurio kraštinė yra 8 cm, plotą.

S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2

Atsakymas: 64 cm 2.

Uždaviniai ieškant stačiakampio ir kvadrato ploto

1. Duotas stačiakampis, kurio kraštinės yra 20 mm ir 60 mm. Apskaičiuokite jo plotą. Atsakymą parašykite kvadratiniais centimetrais.

2. Nupirktas vasarnamio sklypas, kurio matmenys 20 m x 30 m. Nustatykite vasarnamio plotą ir parašykite atsakymą kvadratiniais centimetrais.

Kas yra plotas ir kas yra stačiakampis

Plotas yra geometrinis dydis, pagal kurį galima nustatyti bet kurio geometrinės figūros paviršiaus dydį.

Daugelį amžių buvo įprasta, kad ploto skaičiavimas buvo vadinamas kvadratu. Tai yra, norint sužinoti paprastų geometrinių figūrų plotą, pakako suskaičiuoti vienetinių kvadratų, kuriais figūros buvo įprastai padengtos, skaičių. O figūra, turinti plotą, buvo vadinama kvadratine.

Todėl galime apibendrinti, kad plotas yra dydis, parodantis atkarpomis sujungtos plokštumos dalies dydį.

Stačiakampis yra keturkampis, kurio kampai yra teisingi. Tai yra, keturkampė figūra, turinti keturis stačius kampus ir jos priešingos kraštinės yra lygios, vadinama stačiakampiu.

Kaip rasti stačiakampio plotą

Paprasčiausias būdas rasti stačiakampio plotą yra paimti skaidrų popierių, pvz., kalkinį popierių ar audeklą, nupiešti jį į vienodus 1 cm kvadratus ir pritvirtinti prie stačiakampio atvaizdo. Užpildytų kvadratų skaičius bus plotas kvadratiniais centimetrais. Pavyzdžiui, paveikslėlyje matote, kad stačiakampis patenka į 12 kvadratų, o tai reiškia, kad jo plotas yra 12 kvadratinių metrų. cm.

Tačiau norint rasti didelių objektų, tokių kaip butas, plotą, reikia universalesnio metodo, todėl buvo įrodyta, kad formulė, leidžianti rasti stačiakampio plotą, padauginus jo ilgį iš pločio.

Dabar pabandykime formulės pavidalu užrašyti taisyklę, kaip rasti stačiakampio plotą. Savo figūros plotą pažymėkime raide S, raidė a žymės jos ilgį, o raidė b – plotį.

Dėl to gauname šią formulę:

S = a * b.

Jei šią formulę pritaikysime aukščiau esančiam stačiakampio brėžiniui, gausime tuos pačius 12 kv.cm, nes a = 4 cm, b = 3 cm ir S = 4 * 3 = 12 kv. cm.

Jei paimsite dvi identiškas figūras ir sudėsite jas vieną ant kitos, jos sutaps ir bus vadinamos lygiomis. Tokie vienodi skaičiai taip pat turės vienodus plotus ir perimetrus.

Kam žinoti, kaip rasti sritį

Pirma, jei žinote, kaip rasti figūros plotą, tada naudodamiesi jo formule galite lengvai išspręsti bet kokias geometrijos ir trigonometrijos problemas.
Antra, išmokę rasti stačiakampio plotą, pirmiausia galėsite išspręsti paprastas problemas, o laikui bėgant pereisite prie sudėtingesnių ir išmoksite rasti figūrų, kurios yra įrašyti stačiakampyje arba šalia jo.
Trečia, žinodami tokią paprastą formulę kaip S = a * b, jūs gaunate galimybę lengvai išspręsti bet kokias paprastas kasdienes problemas (pavyzdžiui, rasti S butus ar namus), o laikui bėgant galėsite pritaikyti jas sprendžiant sudėtingas architektūrines problemas. projektus.

Tai yra, jei visiškai supaprastinsime srities radimo formulę, ji atrodys taip:

P = P x W,

P reiškia reikiamą plotą, D yra jo ilgis, W yra plotis ir x yra daugybos ženklas.

Ar žinojote, kad bet kurio daugiakampio plotą galima sąlygiškai padalyti į tam tikrą skaičių kvadratinių blokų, esančių šio daugiakampio viduje? Kuo skiriasi plotas ir perimetras

Naudokime pavyzdį, kad suprastume skirtumą tarp perimetro ir ploto. Pavyzdžiui, mūsų mokykla yra teritorijoje, kuri aptverta tvora – visas šios tvoros ilgis bus perimetras, o erdvė, esanti tvoros viduje, bus teritorija.

Ploto vienetai

Jei perimetras yra vienmatis ir matuojamas linijiniais vienetais, kurie yra coliai, pėdos ir metrai, tada S reiškia dvimačius skaičiavimus ir turi savo ilgį bei plotį.

O S matuojamas kvadratiniais vienetais, tokiais kaip:

Vienas kvadratinis milimetras, kur S kvadrato kraštinė lygi vienam milimetrui;
Kvadratinis centimetras turi S tokį kvadratą, kurio kraštinė lygi vienam centimetrui;
Kvadratinis decimetras yra lygus šio kvadrato S, kurio kraštinė yra vienas decimetras;
Kvadratinis metras turi S kvadratą, kurio kraštinė yra vienas metras;
Ir galiausiai kvadratiniame kilometre yra S kvadratas, kurio kraštinė yra vienas kilometras.

Norėdami išmatuoti didelių plotų plotus Žemės paviršiuje, naudojami vienetai, tokie kaip:

Vienas aras arba šimtas kvadratinių metrų – jei S kvadrato kraštinė yra dešimties metrų;
Vienas hektaras lygus S kvadratui, kurio kraštinė yra šimtas metrų.

Užduotys ir pratimai

Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių.

62 paveiksle nupiešta figūra, turinti aštuonis kvadratus ir kiekviena šių kvadratų kraštinė yra lygi vienam centimetrui. Todėl tokio kvadrato S bus kvadratinis centimetras.

Jei užsirašysite, tai atrodys taip:

1 cm2. O šios figūros S, susidedančios iš aštuonių kvadratų, bus lygus 8 kv.

Jei paimsite bet kurią figūrą ir padalinsite ją į „p“ kvadratus, kurių kraštinė lygi vienam centimetrui, tada jos plotas bus lygus:

R cm2.

Pažiūrėkime į stačiakampį, pavaizduotą 63 paveiksle. Šis stačiakampis susideda iš trijų juostelių ir kiekviena tokia juostelė padalinta į penkis lygius kvadratus, kurių kraštinė yra 1 cm.

Pabandykime surasti jo plotą. Taigi paimame penkis kvadratus ir padauginame iš trijų juostelių ir gauname plotą, lygų 15 kv.cm:

Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį. 64 paveiksle pavaizduotas stačiakampis ABCD, padalintas į dvi dalis laužta linija KLMN. Pirmoji jo dalis yra 12 cm2, o antroji - 9 cm2. Dabar suraskime viso stačiakampio plotą:

Taigi, paimkite tris ir padauginkite iš septynių ir gaukite 21 kv.cm:

3 7 = 21 kv.cm. Šiuo atveju 21 = 12 + 9.

Ir mes darome išvadą, kad visos mūsų figūros plotas yra lygus atskirų jos dalių plotų sumai.

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Taigi 65 paveiksle parodytas stačiakampis, kuris, naudojant atkarpą AC, padalintas į du vienodus trikampius ABC ir ADC

Ir kadangi mes jau žinome, kad kvadratas yra tas pats stačiakampis, tik turintis lygias kraštines, tada kiekvieno trikampio plotas bus lygus pusei viso stačiakampio ploto.

Įsivaizduokime, kad kvadrato kraštinė lygi a, tada:

S = a a = a2.

Darome išvadą, kad kvadrato ploto formulė atrodys taip:

O įrašas a2 vadinamas skaičiaus a kvadratu.

Taigi, jei mūsų kvadrato kraštinė yra keturi centimetrai, tada jos plotas bus:

4 4, tai yra 4 * 2 = 16 kv.cm.

Klausimai ir užduotys

Raskite figūros plotą, padalytą į šešiolika kvadratų, kurių kraštinės yra lygios vienam centimetrui.
Prisiminkite stačiakampio formulę ir užsirašykite.
Kokius matavimus reikia atlikti norint sužinoti stačiakampio plotą?
Apibrėžkite vienodas skaičius.
Ar skirtingose srityse gali būti vienodi skaičiai? O perimetrai?
Jei žinote atskirų figūros dalių plotus, kaip galite sužinoti bendrą jos plotą?
Suformuluokite ir užrašykite, koks yra kvadrato plotas.

Istorinė nuoroda

Ar žinojote, kad senovės žmonės Babilone mokėjo apskaičiuoti stačiakampio plotą? Senovės egiptiečiai taip pat skaičiavo įvairias figūras, tačiau kadangi nežinojo tikslių formulių, skaičiavimai turėjo nedidelių klaidų.

Garsus senovės graikų matematikas Euklidas knygoje „Elementai“ aprašo įvairius būdus, kaip apskaičiuoti skirtingų geometrinių figūrų plotus.

Geometrinės figūros plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, kurią riboja uždaras šios figūros kontūras). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formulės

Trikampio ploto pagal kraštą ir aukštį formulė
Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir apskritimo spinduliu
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir įbrėžto apskritimo spinduliu
Trikampio plotas lygi trikampio pusperimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.

Kvadratinės ploto formulės

Kvadrato ploto pagal kraštinių ilgį formulė
Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
Kvadrato ploto išilgai įstrižainės formulė
Kvadrato plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
S = 1 2
2

Stačiakampio ploto formulė

Stačiakampio plotas

Lygiagretainio ploto formulės

Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta kraštinės ilgiu ir aukščiu
Lygiagretainio plotas
Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų
Lygiagretainio plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.
a b sin α

Rombo ploto formulės

Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir aukštį
Rombo plotas lygus jos kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir kampą
Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
Rombo ploto formulė, pagrįsta jo įstrižainių ilgiais
Rombo plotas lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.