Su skaičiais susiduriame tiesiogine prasme kiekvieną savo žemiškojo gyvenimo akimirką. Net senovės graikai turėjo gematriją (numerologiją). Skaičiams žymėti buvo naudojamos abėcėlės raidės. Kiekvienas vardas ar užrašytas žodis atitiko tam tikrą skaičių. Šiandien matematikos mokslas pasiekė labai daug aukštas laipsnis plėtra. Įvairiuose skaičiavimuose naudojama tiek daug skaičių, kad jie yra apibendrinti tam tikros grupės. Tobuli skaičiai užima ypatingą vietą tarp jų.

Ištakos

IN Senovės Graikijažmonių palygino skaičių savybes pagal jų pavadinimus. Skaičių dalikliai numerologijoje turi ypatingą vaidmenį. Šiuo atžvilgiu idealūs (tobuli) skaičiai buvo tie, kurie buvo lygūs jų daliklių sumai. Tačiau senovės graikai neįtraukė paties skaičiaus į daliklius. Norėdami geriau suprasti, kas yra tobuli skaičiai, parodykime tai pavyzdžiais.

Remiantis šiuo apibrėžimu, mažiausias idealus skaičius yra 6. Po to būtų 28. Tada 496.

Pitagoras tikėjo, kad yra specialūs skaičiai. Euklidas buvo tos pačios nuomonės. Jiems šie skaičiai buvo tokie neįprasti ir konkretūs, kad juos siejo su mistiniais. Tokie skaičiai dažniausiai būna tobuli. Tai yra tobuli Pitagoro ir Euklido skaičiai. Tai buvo 6 ir 28.

Raktas

Spręsdami uždavinį su keliais galimais sprendimais, matematikai visada stengiasi rasti bendrą raktą atsakymui rasti.

Taigi, jie ieškojo formulės, kuri nustatytų idealų skaičių. Tačiau rezultatas buvo tik hipotezė, kurią dar reikėjo įrodyti. Įsivaizduokite, jau nustatę, kas yra tobulieji skaičiai, matematikai praleido daugiau nei tūkstantį metų, kad nustatytų penktąjį iš jų! Po 1500 metų tapo žinoma.

Labai reikšmingą indėlį į idealių skaičių skaičiavimą įnešė mokslininkai Fermatas ir Mersenas (XVII a.). Jie pasiūlė jų skaičiavimo formulę. Prancūzų matematikų ir daugelio kitų mokslininkų darbų dėka 2018 metų pradžioje tobulųjų skaičių skaičius pasiekė 50.

Progresas

Žinoma, jei tobulam skaičiui, kuris buvo jau penktas, atrasti prireikė pusantro tūkstantmečio, šiandien kompiuterių dėka jie suskaičiuojami daug greičiau. Pavyzdžiui, 39-asis idealus skaičius buvo atrastas 2001 m. Jame yra 4 milijonai simbolių. 44 atidarytas 2008 m. vasario mėn tobulas skaičius. 2010 m. - 47-asis idealas, o iki 2018 m., kaip minėta aukščiau, buvo atidarytas 50-asis numeris su tobulumo statusu.

Yra dar vienas įdomi savybė. Studijuodami, kas yra tobulieji skaičiai, matematikai padarė atradimą – jie visi lyginiai.

Šiek tiek istorijos

Nėra tiksliai žinoma, kada pirmą kartą buvo pastebėti idealą atitinkantys skaičiai. Tačiau manoma, kad net senovės Egipte ir Babilone jie buvo vaizduojami skaičiuojant pirštus. Ir nesunku atspėti, kokį tobulą skaičių jie pavaizdavo. buvo 6. Iki V mūsų eros amžiaus buvo išlaikytas skaičiavimas pirštais. Norėdami parodyti skaičių 6 ant rankos, jie jį sulenkė bevardis pirštas o likusią dalį ištiesino.

IN Senovės Egiptas ilgio matas buvo uolektis. Tai prilygo dvidešimt aštuonių pirštų ilgiui. Ir, pavyzdžiui, į Senovės Roma Buvo įdomus paprotys – šeštąją vietą pokyliuose skirti garbiems ir kilmingiems svečiams.

Pitagoro pasekėjai

Idealūs skaičiai žavėjo ir Pitagoro pasekėjus. Kuris skaičius yra tobulas po 28, labai domino Euklidą (IV a. pr. Kr.). Jis davė raktą rasti visus tobulus lyginius skaičius. Įdomi yra devinta Euklido elementų knyga. Tarp jo teoremų yra viena, kuri paaiškina, kad skaičius vadinamas tobulu, jei jis turi nuostabią savybę:

p reikšmė bus lygiavertė išraiškai 1+2+4+…+2n, kurią galima parašyti kaip 2n+1-1. Tai pirminis skaičius. Bet jau 2np bus tobulas.

Norėdami patikrinti šio teiginio teisingumą, turite atsižvelgti į visus tinkamus skaičiaus 2np daliklius ir apskaičiuoti jų sumą.

Manoma, kad šis atradimas priklauso Pitagoro mokiniams.

Euklido taisyklė

Be to, Euklidas įrodė, kad lyginio tobulojo skaičiaus forma matematiškai vaizduojama kaip 2n-1(2n-1). Jei n yra pirminis, o 2n-1 bus pirminis.

Euklido taisyklę naudojo Nikomachas iš Gerasos (I-II a.). Jis rado idealius skaičius 6, 28, 496, 8128. Nikomachas Gerazietis kalbėjo apie idealius skaičius kaip labai gražius, bet mažai matematinių sąvokų.

Po pusantro tūkstančio metų vokiečių mokslininkas Regiomontanas (Johann Müller) atrado penktąjį tobuląjį skaičių matematikoje. Jų pasirodė 33 550 336.

Tolimesnės matematikų paieškos

Skaičiai, kurie laikomi pirminiais ir priklauso serijai 2n-1, vadinami Merseno skaičiais. Šis vardas jiems suteiktas prancūzų matematiko, gyvenusio XVII a., garbei. Būtent jis 1644 m. atrado aštuntą tobulą skaičių.

Tačiau 1867 m. matematikos pasaulį sukrėtė žinia iš šešiolikmečio italo Niccolo Paganini (garsaus smuikininko bendravardis), kuris pranešė apie draugišką skaičių 1184 ir 1210 porą. Ji artimiausia 220 ir 284. Keista, pora buvo nepastebėta visų žymių matematikų, kurie studijavo draugiškus skaičius.

Eigendivisor natūralusis skaičius yra bet koks daliklis, išskyrus patį skaičių. Jei skaičius lygus jo paties daliklių sumai, tada jis vadinamas puikus. Taigi, 6 = 3 + 2 + 1 yra mažiausias iš visų tobulųjų skaičių (1 nesiskaito), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 yra dar vienas toks skaičius.

Tobuli skaičiai žinomi nuo seno ir visais laikais domino mokslininkus. Euklido elementuose buvo įrodyta, kad jei pirminis skaičius turi formą 2 n– 1 (tokie skaičiai vadinami pirminiais Merseno skaičiais), tada skaičius 2 n–1 (2 n– 1) – tobula. O XVIII amžiuje Leonhardas Euleris įrodė, kad bet kuris lyginis tobulas skaičius turi tokią formą.

Užduotis

Pabandykite įrodyti šiuos faktus ir suraskite keletą tobulesnių skaičių.

1 patarimas

a) Įrodyti principo teiginį (o jei pirminis skaičius yra 2 formos n– 1, tada skaičius yra 2 n –1 (2n– 1) – tobula), patogu atsižvelgti į sigmos funkciją, lygią visų teigiamų natūraliojo skaičiaus daliklių sumai n. Pavyzdžiui, σ (3) = 1 + 3 = 4 ir σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7. Ši funkcija turi naudingą turtą: ji dauginamasis, tai yra σ (ab) = σ (a)σ (b); lygybė galioja bet kuriems dviem pirminiams natūraliems skaičiams a Ir b (abipusiai pirminis yra skaičiai, kurie neturi bendrų daliklių). Galite pabandyti įrodyti šią savybę arba priimti ją tikėjimu.

Sigmos funkcijos naudojimas skaičiaus tobulumui įrodyti N = 2n –1 (2n– 1) reikia tai patikrinti σ (N) = 2N. Šiuo tikslu naudingas šios funkcijos multiplikatyvumas.

b) Kitas sprendimas nenaudoja jokių papildomų konstrukcijų, tokių kaip sigma funkcija. Jis remiasi tik tobulo skaičiaus apibrėžimu: reikia užrašyti visus skaičiaus 2 daliklius n–1 (2 n– 1) ir raskite jų sumą. Tai turėtų būti tas pats skaičius.

2 patarimas

Įrodyti, kad bet koks lyginis tobulas skaičius yra dviejų laipsnis, padaugintas iš Mersenne pirminio skaičiaus, taip pat patogu naudojant sigmos funkciją. Leisti N- bet koks lyginis tobulas skaičius. Tada σ (N) = 2N. Įsivaizduokime N kaip N = 2k· m, Kur m- nelyginis skaičius. Štai kodėl σ (N) = σ (2k· m) = σ (2k)σ (m) = (1 + 2 + ... + 2k)σ (m) = (2k +1 – 1)σ (m).

Pasirodo, 22 k· m = (2k +1 – 1)σ (m). Taigi 2 k+1 – 1 padalija sandaugą 2 k+1 · m o nuo 2 d k+1 – 1 ir 2 k Taigi +1 yra palyginti pagrindiniai m turi dalytis iš 2 k+1 – 1. Tai yra m galima parašyti formoje m = (2k+1–1) M. Šią išraišką pakeičiant ankstesne lygybe ir sumažinant 2 k+1 – 1, gauname 2 k+1 · M = σ (m). Dabar iki įrodinėjimo pabaigos liko tik vienas, nors ir ne pats akivaizdžiausias, žingsnis.

Sprendimas

Įkalčiuose yra daug įrodymų, patvirtinančių abu faktus. Čia užpildykime trūkstamus veiksmus.

1. Euklido teorema.

a) Pirmiausia turite įrodyti, kad sigmos funkcija iš tikrųjų yra dauginama. Tiesą sakant, kadangi kiekvienas natūralusis skaičius gali būti vienareikšmiškai įtrauktas į pirminius veiksnius (šis teiginys vadinamas pagrindine aritmetikos teorema), pakanka įrodyti, kad σ (pq) = σ (p)σ (q), kur p Ir q- įvairūs pirminiai skaičiai. Tačiau visiškai akivaizdu, kad šiuo atveju σ (p) = 1 + p, σ (q) = 1 + q, A σ (pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p)(1 + q).

Dabar užbaigkime pirmojo fakto įrodymą: jei pirminio skaičiaus forma yra 2 n– 1, tada skaičius N = 2n –1 (2n– 1) – tobula. Norėdami tai padaryti, pakanka tai patikrinti σ (N) = 2N(nes sigmos funkcija yra suma Visi skaičiaus dalikliai, tai yra sumos savo dalikliai plius pats skaičius). Mes tikriname: σ (N) = σ (2n –1 (2n – 1)) = σ (2n –1)σ (2n – 1) = (1 + 2 + ... + 2n–1)·((2 n – 1) + 1) = (2n– 12 n = 2N. Čia jis buvo naudojamas 2 kartus n– Taigi 1 yra pirminis skaičius σ (2n – 1) = (2n – 1) + 1 = 2n.

b) Užbaikime antrąjį sprendimą. Raskite visus tinkamus skaičiaus 2 daliklius n –1 (2n– 1). Tai yra 1; dviejų laipsniai 2, 2 2, ..., 2 n-1; pirminis skaičius p = 2n- 1; taip pat 2 tipo daliklius m· p, kur 1 ≤ m ≤ n– 2. Tokiu būdu visų daliklių suma padalijama į dviejų geometrinių progresijų sumų apskaičiavimą. Pirmasis prasideda 1, o antrasis prasideda skaičiumi p; abiejų vardiklis lygus 2. Pagal geometrinės progresijos elementų sumos formulę visų pirmosios progresijos elementų suma lygi 1 + 2 + ... + 2 n –1 = (2n – 1)/2 – 1 = 2n– 1 (ir tai lygu p). Antroji progresija duoda p· (2 n –1 – 1)/(2 – 1) = p· (2 n-vienuolika). Iš viso, pasirodo p + p· (2 n –1 – 1) = 2n-1 · p- ko tau reikia.

Greičiausiai Euklidas nebuvo susipažinęs su sigmos funkcija (ir iš tikrųjų su funkcijos sąvoka), todėl jo įrodymas pateikiamas kiek kita kalba ir yra arčiau sprendimo iš punkto b). Jis yra IX elementų knygos 36 sakinyje ir yra prieinamas, pavyzdžiui, .

2. Eilerio teorema.

Prieš įrodydami Eulerio teoremą, taip pat pažymime, kad jei 2 n– Taigi 1 yra pirminis Merseno skaičius n taip pat turi būti pirminis skaičius. Esmė ta, kad jei n = km- tada junginys 2 km – 1 = (2k)m– 1 dalijasi iš 2 k– 1 (nuo išraiškos x m– 1 dalijamas iš x– 1, tai viena iš sutrumpintų daugybos formulių). Ir tai prieštarauja skaičiaus 2 paprastumui n– 1. Priešingas teiginys – „jei n- pirminis, tada 2 n– 1 taip pat yra pirminis“ – netiesa: 2 11 – 1 = 23·89.

Grįžkime prie Eulerio teoremos. Mūsų tikslas yra įrodyti, kad bet kuris lyginis tobulas skaičius turi Euklido gautą formą. 2 patarime aprašyti pirmieji įrodinėjimo žingsniai, paliekant paskutinį žingsnį. Iš lygybės 2 k+1 · M = σ (m) seka tai m padalytą M. Bet m taip pat dalijasi iš savęs. Kuriame M + m = M + (2k+1 – 1) M = 2 k+1 · M = σ (m). Tai reiškia, kad skaičius m nėra kitų daliklių, išskyrus M Ir m. Reiškia, M= 1, a m- pirminis skaičius, kurio forma yra 2 k+1 – 1. Tada N = 2k· m = 2k(2k+1 – 1), ko ir reikėjo.

Taigi, formulės yra įrodytos. Naudokime juos, kad surastume tobulus skaičius. At n= 2 formulė duoda 6, o kada n= 3 pasirodo 28; Tai pirmieji du tobuli skaičiai. Pagal Merseno pirminių skaičių savybę turime pasirinkti tokį pirminį skaičių n kad 2 n– 1 taip pat bus pirminis skaičius ir sudėtinis n gali būti visai nesvarstytas. At n= 5 lygu 2 n– 1 = 32 – 1 = 31, tai mums tinka. Štai trečiasis tobulas skaičius – 16·31 = 496. Tik tuo atveju, aiškiai patikrinkime jo tobulumą. Užrašykime visus tinkamus 496 daliklius: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Jų suma lygi 496, taigi viskas tvarkoje. Kitas tobulas skaičius gaunamas pagal n= 7 yra 8128. Atitinkamas Mersenne pirminis dydis yra 2 7 – 1 = 127, ir gana lengva patikrinti, ar jis tikrai pirminis. Tačiau penktasis tobulas skaičius gaunamas, kai n= 13 ir lygu 33 550 336. Tačiau tikrinti rankiniu būdu jau labai nuobodu (tačiau tai nesutrukdė kažkam jo atrasti dar XV amžiuje!).

Pokalbis

Pirmieji du tobuli skaičiai – 6 ir 28 – žinomi nuo neatmenamų laikų. Euklidas (o mes, sekdami juo), naudodami formulę, kurią įrodėme iš elementų, radome trečiąjį ir ketvirtąjį tobulus skaičius - 496 ir 8128. Tai yra, iš pradžių buvo žinomi tik du, o paskui keturi skaičiai su gražus turtas"būti lygus jų daliklių sumai". Daugiau tokių skaičių jiems nepavyko rasti ir net šie, iš pirmo žvilgsnio, neturėjo nieko bendro. Senovėje žmonės buvo linkę paslaptingiems ir nesuprantamiems reiškiniams suteikti mistinę reikšmę, todėl tobuli skaičiai gavo ypatingą statusą. Prie to prisidėjo ir pitagoriečiai, turėję didelę įtaką to meto mokslo ir kultūros raidai. „Viskas yra skaičius“, – sakė jie; skaičius 6 jų mokyme turėjo ypatingą magiškų savybių. O pirmieji Biblijos aiškintojai aiškino, kad pasaulis buvo sukurtas būtent šeštą dieną, nes skaičius 6 yra pats tobuliausias tarp skaičių, nes jis yra pirmasis tarp skaičių. Taip pat daugeliui atrodė, kad neatsitiktinai Mėnulis aplink Žemę apsisuka maždaug per 28 dienas.

Penktas tobulas skaičius – 33 550 336 – buvo rastas tik XV a. Beveik po pusantro šimtmečio italas Cataldi rado šeštąjį ir septintąjį tobulus skaičius: 8 589 869 056 ir 137 438 691 328. Jie atitinka n= 17 ir n= 19 Euklido formulėje. Atkreipkite dėmesį, kad skaičius jau siekia milijardus, ir baisu net įsivaizduoti, kad visi skaičiavimai buvo atlikti be skaičiuoklių ir kompiuterių!

Kaip žinome, Leonhardas Euleris įrodė, kad bet koks lyginis tobulas skaičius turi turėti 2 formą n –1 (2n– 1) ir 2 n– 1 turėtų būti paprastas. Aštuntą numerį – 2 305 843 008 139 952 128 – Euleris taip pat rado 1772 m. Čia n= 31. Po jo pasiekimų galima atsargiai sakyti, kad mokslui kažkas paaiškėjo net apie tobulus skaičius. Taip, jie auga greitai ir juos sunku apskaičiuoti, bet bent jau aišku, kaip tai padaryti: reikia paimti Mersenne skaičius 2 n– 1 ir tarp jų ieškokite paprastų. Beveik nieko nežinoma apie nelyginius tobulus skaičius. Iki šiol nerastas nei vienas toks skaičius, nepaisant to, kad buvo išbandyti visi skaičiai iki 10 300 (matyt, apatinė riba dar labiau pastumta, atitinkami rezultatai tiesiog dar nepaskelbti). Palyginimui: atomų skaičius matomoje Visatos dalyje yra apie 10 80. Neįrodyta, kad nelyginiai tobuli skaičiai neegzistuoja, tiesiog gali būti labai didelis skaičius. Net tokia didelė, kad mūsų skaičiavimo galia niekada jos nepasieks. Ar toks skaičius egzistuoja, ar ne, šiandien yra viena iš atvirų matematikos problemų. Kompiuterinę nelyginių tobulų skaičių paiešką atlieka projekto OddPerfect.org dalyviai.

Grįžkime prie net tobulų skaičių. Devintąjį numerį 1883 metais rado kaimo kunigas iš Permės provincijos I.M.Pervušinas. Šį skaičių sudaro 37 skaitmenys. Taigi iki XX amžiaus pradžios buvo rasti tik 9 tobuli skaičiai. Tuo metu atsirado mechaninės aritmetinės mašinos, o amžiaus viduryje – pirmieji kompiuteriai. Su jų pagalba viskas vyko greičiau. Šiuo metu rasti 47 tobuli skaičiai. Be to, žinomi tik pirmųjų keturiasdešimties serijos numeriai. Dar apie septynis skaičius dar nėra tiksliai nustatyta, kokie jie yra. Naujų Mersenne pirminių skaičių (o kartu su jais ir naujų tobulų skaičių) daugiausiai ieško GIMPS projekto (mersenne.org) nariai.

2008 m. projekto dalyviai rado pirmąjį pirminį skaičių, turintį daugiau nei 10 000 000 = 10 7 skaitmenys. Už tai jie gavo 100 000 USD prizą. Už pirminius skaičius, sudarytus atitinkamai iš daugiau nei 10 8 ir 10 9, taip pat žadama skirti 150 000 ir 250 000 USD piniginius prizus. Tikimasi, kad iš šių pinigų atlygį gaus ir tie, kurie rado mažesnius, bet dar neatrastus Mersenne pirmykščius. Tiesa, šiuolaikiniuose kompiuteriuose tokio ilgio numerių pirmumo tikrinimas užtruks ne vienerius metus, ir tai tikriausiai yra ateities reikalas. Didžiausias pirminis skaičius šiandien yra 243112609 – 1. Jį sudaro 12 978 189 skaitmenys. Atkreipkite dėmesį, kad dėl Lucas-Lehmer testo (žr. jo įrodymą: Lukaso-Lehmerio testo įrodymas), Mersenne skaičių pirmumo patikrinimas yra labai supaprastintas: nereikia bandyti rasti bent vieno kito daliklio. kandidatas (tai labai daug darbo reikalaujantis darbas, kuris tokiam dideli skaičiai dabar praktiškai neįmanoma).

Tobuli skaičiai turi keletą įdomių aritmetinių savybių:

• Kiekvienas lyginis tobulas skaičius taip pat yra trikampis skaičius, tai yra, jį galima pavaizduoti kaip 1 + 2 + ... + k = k(k+ 1)/2 kai kuriems k.
• Kiekvienas lyginis tobulas skaičius, išskyrus 6, yra nuoseklių nelyginių natūraliųjų skaičių kubų suma. Pavyzdžiui, 28 = 1 3 + 3 3 ir 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3.
• Dvejetainėje skaičių sistemoje tobulas skaičius yra 2 n –1 (2n– 1) parašyta labai paprastai: pirmiausia jie eina n vienetų, o tada - n– 1 nulis (tai išplaukia iš Euklido formulės). Pavyzdžiui, 6 10 = 110 2, 28 10 = 11100 2, 33550336 10 = 1111111111111000000000000 2.
• Visų tobulojo skaičiaus daliklių (čia taip pat dalyvauja pats skaičius) atvirkštinių dydžių suma lygi 2. Pavyzdžiui, 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1 /28 = 2.

Pavyzdžiai

• 1-asis tobulas skaičius – turi šiuos tinkamus daliklius: 1, 2, 3; jų suma 1 + 2 + 3 yra 6.
• 2-asis tobulas skaičius – turi šiuos tinkamus daliklius: 1, 2, 4, 7, 14; jų suma 1 + 2 + 4 + 7 + 14 yra 28.
• 3 tobulas skaičius – turi šiuos tinkamus daliklius: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; jų suma 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 yra 496.
• 4-asis tobulas skaičius – turi šiuos tinkamus daliklius: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; jų suma 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 yra 8128.

Tyrimo istorija

Net tobuli skaičiai

Net tobulų skaičių konstravimo algoritmas aprašytas IX knygoje Prasidėjo Euklidas, kur buvo įrodyta, kad skaičius yra tobulas, jei skaičius yra pirminis (vadinamieji Merseno pirminiai skaičiai). Vėliau Leonhardas Euleris įrodė, kad visi net tobuli skaičiai turi Euklido nurodytą formą.

Pirmieji keturi tobuli skaičiai pateikiami Aritmetika Nikomachejus iš Gerazo. Penktą tobulą skaičių – 33 550 336 – atrado vokiečių matematikas Regiomontanas (XV a.). Vokiečių mokslininkas Scheibelis XVI amžiuje rado dar du tobulesnius skaičius: 8 589 869 056 ir 137 438 691 328. Jie atitinka R= 17 ir R= 19. XX amžiaus pradžioje buvo rasti dar trys tobulesni skaičiai (už R= 89, 107 ir 127). Vėliau paieškos sulėtėjo iki XX amžiaus vidurio, kai, atsiradus kompiuteriams, tapo įmanoma atlikti skaičiavimus, viršijančius žmogaus galimybes.

2010 m. balandžio mėn. yra žinomi 47 Mersenne pirminiai skaičiai ir juos atitinkantys net tobuli skaičiai; GIMPS paskirstytojo skaičiavimo projektas ieško naujų Mersenne pirminių skaičių.

Nelyginiai tobuli skaičiai

Nelyginiai tobuli skaičiai dar nebuvo atrasti, bet neįrodyta, kad jų nėra. Taip pat nežinoma, ar visų tobulųjų skaičių aibė yra begalinė.

Įrodyta, kad nelyginis tobulas skaičius, jei toks yra, turi mažiausiai 9 skirtingus pirminius veiksnius ir mažiausiai 75 pirminius veiksnius, atsižvelgiant į daugybą. Platinamas skaičiavimo projektas OddPerfect.org ieško nelyginių tobulų skaičių.

Savybės

Žymūs faktai

Ypatinga („tobula“) skaičių 6 ir 28 prigimtis buvo pripažinta kultūrose, paremtose Abraomo religijomis, kurios teigia, kad Dievas sukūrė pasaulį per 6 dienas ir pažymėjo, kad Mėnulis aplink Žemę apskrieja maždaug per 28 dienas.

„Ne mažiau svarbi idėja, išreikšta skaičiumi 496. Tai yra skaičiaus 31 (tai yra visų sveikųjų skaičių nuo 1 iki 31) „teosofinis išplėtimas“. Be kita ko, tai yra žodžio Malkuth, reiškiančio „Karalystė“, suma. Taigi Karalystė, pilnas pirminės Dievo idėjos pasireiškimas, gematrijoje pasirodo kaip natūralus skaičiaus 31, kuris yra vardo skaičius 78, papildymas arba apraiška.

“ sukūrimas per 6 dienas“.

taip pat žr

• Šiek tiek pertekliniai skaičiai (beveik tobuli skaičiai)

Pastabos

Nuorodos

• Depmanas I. Tobuli skaičiai // Kvantinė. - 1991. - Nr.5. - P. 13-17.

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „tobulas skaičius“ kituose žodynuose:

TOBULAS SKAIČIUS, žr. TOBULAS SKAIČIUS...

Natūralusis skaičius, lygus visų jo reguliariųjų (t. y. mažesnių už šį skaičių) daliklių sumai. Pavyzdžiui, 6=1+2+3 ir 28=1+2+4+7+14 yra tobuli skaičiai... Didysis enciklopedinis žodynas

Natūralusis skaičius, lygus visų jo reguliariųjų (ty mažesnių už šį skaičių) daliklių sumai. Pavyzdžiui, 6 = 1 + 2 + 3 ir 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 yra tobuli skaičiai. * * * TOBULAS SKAIČIUS TOBULAS SKAIČIUS, natūralusis skaičius, lygus sumai... ... enciklopedinis žodynas

Teigiamas sveikasis skaičius, turintis savybę, kad jis yra visų jo teigiamų daliklių, išskyrus patį skaičių, suma. Taigi sveikasis skaičius yra skaičius, jei skaičius yra, pavyzdžiui, skaičiai 6, 28, 496, 8128,33550336... Matematinė enciklopedija

SKAIČIUS, TOBULAS, SVEIKI SKAIČIUS lygus jo daliklių sumai, įskaitant 1. Pavyzdžiui, skaičius 28 yra tobulas skaičius, nes jo dalikliai yra skaičiai 1, 2, 4, 7 ir 14 (neskaičiuojant paties skaičiaus 28), o jų suma yra 28 Nežinoma... ... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas

Mn = 2n 1 formos skaičiai, kur n yra natūralusis skaičius. Pavadintas prancūzų matematiko Mersenne vardu. Mersenne skaičių seka prasideda taip: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ... (seka A000225 OEIS) Kartais skaičiai ... ... Vikipedija

Skaičius– Nuo seno buvo priskiriami įvairūs skaičiai slaptos reikšmės. Filosofai, Pitagoro (apie 500 m. pr. Kr.) pasekėjai, teigė, kad skaičiai yra pagrindinis dalykų principas ir esmė, ir smulkiai apibrėžė skaičių savybes bei tipus. Pagal juos... ... Biblijos vardų žodynas

Nepertraukiamas uždaras topologinis kartografavimas. tokias erdves, kad atvirkštiniai visų taškų vaizdai būtų kompaktiški. S. o. daugeliu atžvilgių yra panašūs į nuolatinį kompaktiškų erdvių atvaizdavimą į Hausdorfo erdves (kiekvienas toks atvaizdavimas yra tobulas), tačiau sfera... ... Matematinė enciklopedija

Šešiakampis skaičius yra garbanotas skaičius. N-asis šešiakampis skaičius yra taškų skaičius šešiakampyje, kurio kiekvienoje pusėje yra tiksliai n taškų. N-ojo šešiakampio skaičiaus formulė ... Vikipedija

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. 6 (reikšmės). 6 šeši 3 4 5 6 7 8 9 Faktorizacijos: 2×3 Romaninis žymėjimas: VI Dvejetainis: 110 Aštuntainis: 6 Hex... Vikipedija

Skaičius 6 dalijasi iš savęs, taip pat iš 1, 2 ir 3, o 6 = 1+2+3.
Skaičius 28 turi penkis kitus veiksnius nei jis pats: 1, 2, 4, 7 ir 14, o 28 = 1+2+4+7+14.
Galima pastebėti, kad ne kiekvienas natūralusis skaičius yra lygus visų jo daliklių, kurie skiriasi nuo šio skaičiaus, sumai. Skaičiai, turintys šią savybę, buvo pavadinti puikus.

Net Euklidas (III a. pr. Kr.) nurodė, kad net tobulus skaičius galima gauti iš formulės: 2 p –1 (2p– 1) su sąlyga, kad R ir 2 p Yra pirminiai skaičiai. Tokiu būdu buvo rasta apie 20 net tobulų skaičių. Iki šiol nėra žinomas nė vienas nelyginis tobulas skaičius ir jų egzistavimo klausimas lieka atviras. Tokių skaičių tyrinėjimus pradėjo pitagoriečiai, jiems ir jų deriniams suteikę ypatingą mistinę reikšmę.

Pirmasis mažiausias tobulas skaičius yra 6 (1 + 2 + 3 = 6).
Galbūt todėl senovės romėnų šventėse šeštoji vieta buvo laikoma garbingiausia.

Antras pagal dydį tobulas skaičius yra 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
Kai kurios mokslo draugijos ir akademijos turėjo turėti 28 narius. 1917 metais Romoje, vykdant pogrindžio darbus, buvo aptiktos vienos seniausių akademijų patalpos: salė ir aplink ją 28 kambariai – tiek akademijos narių.

Didėjant natūraliems skaičiams, tobulieji skaičiai tampa retesni. Trečias tobulas skaičius - 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), ketvirta – 8128 , penkta - 33 550 336 , šeštas - 8 589 869 056 , septintas - 137 438 691 328 .

Pirmieji keturi tobuli skaičiai yra: 6, 28, 496, 8128 buvo atrasti seniai, prieš 2000 metų. Šie skaičiai pateikti senovės graikų filosofo, matematiko ir muzikos teoretiko Nikomacho Gerazo aritmetikoje.
Penktasis tobulas skaičius buvo atrastas 1460 m., maždaug prieš 550 metų. Šis skaičius 33550336 atrado vokiečių matematikas Regiomontanas (XV a.).

XVI amžiuje vokiečių mokslininkas Scheibelis taip pat rado dar du tobulesnius skaičius: 8 589 869 056 Ir 137 438 691 328 . Jie atitinka p = 17 ir p = 19. XX amžiaus pradžioje buvo rasti dar trys tobulesni skaičiai (p = 89, 107 ir 127). Vėliau paieškos sulėtėjo iki XX amžiaus vidurio, kai, atsiradus kompiuteriams, tapo įmanoma atlikti skaičiavimus, viršijančius žmogaus galimybes. Šiuo metu žinomi 47 net tobuli skaičiai.

Tobulą skaičių 6 ir 28 prigimtį pripažino daugelis kultūrų, pažymėdamos, kad Mėnulis aplink Žemę sukasi kas 28 dienas, ir tvirtino, kad Dievas sukūrė pasaulį per 6 dienas.
Šventasis Augustinas savo esė „Dievo miestas“ išsakė mintį, kad nors Dievas gali sukurti pasaulį akimirksniu, jis pasirinko jį sukurti per 6 dienas, kad apmąstytų pasaulio tobulumą. Šventojo Augustino teigimu, skaičius 6 yra absoliučiai ne todėl, kad Dievas jį pasirinko, o todėl, kad šio skaičiaus prigimtyje yra būdingas tobulumas. „Skaičius 6 yra tobulas pats savaime, o ne todėl, kad Viešpats viską sukūrė per 6 dienas; atvirkščiai, Dievas sukūrė viską, kas egzistuoja per 6 dienas, nes šis skaičius yra tobulas. Ir ji išliktų tobula, net jei per 6 dienas nebūtų jokios kūrybos.

Levas Nikolajevičius Tolstojus ne kartą juokais „gyrėsi“, kad data
jo gimimas rugpjūčio 28 dieną (pagal to meto kalendorių) yra tobulas skaičius.
Gimimo metai L.N. Tolstojus (1828) taip pat įdomus skaičius: paskutiniai du skaitmenys (28) sudaro tobulą skaičių; Jei sukeisite pirmuosius skaitmenis, gausite 8128 – ketvirtą tobulą skaičių.

Karatetskaja Marija

Šiame abstrakčiame darbe su nepriklausomų tyrimų elementais „atrasta tobulo skaičiaus“ samprata,

Nagrinėjamos tobulųjų skaičių savybės, atsiradimo istorija, pateikiami įdomūs faktai, susiję su koncepcija.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Savivaldybės biudžetinė švietimo įstaiga

„19 vidurinė mokykla su giluminiu mokymusi

atskiri daiktai“

Mokslinė studentų draugija „Protingi vyrai ir merginos“

Abstraktus darbas su elementais

nepriklausomi tyrimai

"Tobuli skaičiai"

Atlikta:

7 klasės mokinys „A“

Karatetskaja Marija

Prižiūrėtojas:

matematikos mokytojas

Kolina Natalija Konstantinovna

OS adresas:

606523, Nižnij Novgorodo sritis, Gorodetskis

Rajonas, Zavolžie, Molodežnaja g., 1

MBOU vidurinė mokykla Nr. 19 su UIOP

El. paštas: [apsaugotas el. paštas]

2015 m

1. Įvadas……………………………………………………………………………………3

2. Kas yra tobulas skaičius?………………………………… ...................4

3. Tobulųjų skaičių atsiradimo istorija…………………………………………….4

4. Tobulųjų skaičių savybės………………………………………………………….8

5. Įdomūs faktai……………………………………

6. Užduočių pavyzdžiai………………………………………………………………………………….9

7. Išvada…………………………………………………………………………………………………..

8. Naudotų literatūros sąrašas……………………………………………………………

„Viskas gražu dėl skaičiaus“ Pitagoras.

1. Įvadas

Skaičius yra viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Yra daug sąvokos „skaičius“ apibrėžimų. Pitagoras pirmasis prabilo apie skaičius. Pagal jo mokymus, skaičius 2 reiškė harmoniją, 5 – spalvą, 6 – šaltį, 7 – intelektą, sveikatą, 8 – meilę ir draugystę. Pirmąjį mokslinį skaičiaus apibrėžimą pateikė Euklidas savo darbe „Elementai“: „Vienetas yra tas, pagal kurį kiekvienas iš esamų dalykų vadinamas vienu. Skaičius yra aibė, sudaryta iš vienetų“.

Yra skaičių rinkiniai, jų poaibiai, grupės, o viena iš neįprastų grupių yra tobulieji skaičiai. Šioje grupėje žinomi tik 48 numeriai, tačiau nepaisant to, jiesudaro vieną įdomiausių natūraliųjų skaičių aibės pogrupių.

Problema: Mėgstu spręsti nestandartines problemas. Vieną dieną susidūriau su problema, kurioje buvo kalbama apie tobulus skaičius, man buvo sunku ją išspręsti, todėl susidomėjau šia tema ir nusprendžiau panagrinėti šiuos skaičius išsamiau.

Tyrimo tikslas:susipažinti su tobulojo skaičiaus sąvoka, ištirti tobulųjų skaičių savybes,atkreipti mokinių dėmesį į šią temą.

Užduotys:

Studijuoti ir analizuoti literatūrą tiriama tema.

Išstudijuokite tobulų skaičių atsiradimo istoriją.

- „Atraskite“ tobulųjų skaičių savybes ir jų taikymo sritis

Išplėskite savo protinį akiratį.

Tyrimo metodai:literatūros studijavimas, palyginimas, stebėjimas,

teorinė analizė, apibendrinimas.

2. Kas yra tobulas skaičius?

Tobulas skaičius- natūralusis skaičius , lygus visų jo sumaitinkami dalikliai (t. y. visi teigiami dalikliai, įskaitant 1, bet skiriasi nuo paties skaičiaus).

Pirmas tobulas skaičiusturi šiuos tinkamus daliklius: 1, 2, 3; jų suma 1 + 2 + 3 yra 6.

Antras tobulas skaičiusturi šiuos tinkamus daliklius: 1, 2, 4, 7, 14; jų suma 1 + 2 + 4 + 7 + 14 yra 28.

Trečiasis tobulas skaičius 496 turi tokius tinkamus daliklius: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; jų suma 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 yra 496.

Ketvirtasis tobulas skaičius yraturi šiuos tinkamus daliklius: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; jų suma 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 yra 8128.

Didėjant natūraliems skaičiams, tobulieji skaičiai tampa retesni.

3. Tobulųjų skaičių atsiradimo istorija

Senovės graikų matematikas ir filosofas Pitagoras , jis taip pat yra pitagoriečių religinės ir filosofinės mokyklos (570-490 m. pr. Kr.) kūrėjas, pristatė pertekliaus ir nepakankamo skaičiaus sąvokas.

Jei skaičiaus daliklių suma yra didesnė už patį skaičių, tada toks skaičius vadinamas „pertekliu“. Pavyzdžiui, 12 yra perteklinis skaičius, nes jo daliklių suma yra 16. Jei skaičiaus daliklių suma yra mažesnė už patį skaičių, tada toks skaičius vadinamas „nepakankamu“.

Pavyzdžiui, 10 nėra pakankamas skaičius, nes jo daliklių (1, 2 ir 5) suma yra tik 8.

Pitagoriečiai sukūrė savo filosofiją iš skaičių mokslo. Puikūs skaičiai, jų manymu, yra gražūs dorybių vaizdai. Jie yra vidurys tarp pertekliaus ir trūkumo. Jie yra labai reti ir yra sukurti tobula tvarka. Priešingai, pernelyg gausūs ir netobuli skaičiai, kurių yra kuo daugiau, nėra išdėstyti eilės tvarka ir nėra generuojami tam tikram tikslui. Ir todėl jie labai panašūs į ydas, kurių yra daug, nėra sutvarkytų ir neapibrėžtų.

"Tobulas skaičius yra lygus jo dalims." Šie žodžiai priklauso Euklidas , senovės graikų matematikas, pirmojo iki mūsų atėjusio teorinio matematikos traktato „Elementai“ (III a. pr. Kr.) autorius.Iki Euklido buvo žinomi tik du tobulieji skaičiai ir niekas nežinojo, ar yra kitų tobulųjų skaičių ir kiek tokių skaičių gali būti. Dėl savo formulės 2 p-1 *(2 p -1) yra tobulas skaičius, jei (2 p -1) yra pirminis skaičius.Taigi Euklidui pavyko rasti dar du tobulesnius skaičius: 496 ir 8128. Tobulųjų skaičių radimo būdas aprašytas IX elementų knygoje.

Nikomachas Gerazietis, graikų filosofas ir matematikas (II a. 1 pusė po Kr.), savo esė „Įvadas į aritmetiką“ rašė: „...Gražūs ir kilnūs dalykai dažniausiai reti ir lengvai suskaičiuojami, o bjaurių ir blogų – daug; todėl randama perteklinių ir nepakankamų skaičių dideli kiekiai ir netvarkingi, todėl jų radimo būdas nėra tvarkingas, o tobuli skaičiai yra lengvai suskaičiuojami ir išdėstyti tinkama tvarka. Iš tiesų, tarp vienaženklių skaičių yra vienas toks skaičius 6, antrasis skaičius 28 yra vienintelis tarp dešimčių, trečias skaičius 496 yra vienintelis tarp šimtų, o ketvirtas skaičius 8128 yra tarp tūkstančių, jei apsiribosime dešimt tūkstančių. Ir jų būdinga savybė yra ta, kad jie pakaitomis baigiasi šešetu, paskui aštuonetu ir visi yra lygūs. patikimu būdu jų kvitas, kuriame nepraleidžiamas nė vienas tobulas skaičius ir pateikiami tik tobuli skaičiai, yra toks. Visus lyginius ir lyginius skaičius, pradedant nuo vieneto, sudėkite į vieną eilutę, tęsdami tiek, kiek norite: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096.

Tada pridėkite juos iš eilės, kiekvieną kartą pridėdami po vieną,

ir po kiekvieno papildymo pažiūrėkite rezultatą; ir kada jis bus

pirminis ir nesudėtinis, padauginkite jį iš paskutinio pridėto

skaičių, todėl visada gausite tobulą skaičių.

Jei jis antrinis ir sudėtinis, dauginti nereikia, bet būtina

pridėkite kitą skaičių ir pažiūrėkite į rezultatą; jei jis vėl

pasirodo antraeilis ir sudėtinis, vėl praleiskite ir nedauginkite, o

pridėkite šiuos dalykus; bet jei jis yra pirminis ir nesudėtinis, tada

padauginę jį iš paskutinio pridėto skaičiaus, vėl gausite

tobulas skaičius ir taip toliau iki begalybės. Ir tokiu būdu jūs

Jūs gausite visus tobulus skaičius, nepraleisdami nė vieno

jų. Pavyzdžiui, aš pridedu 2 prie 1 ir žiūriu, kokį skaičių gaunu

iš viso, ir manau, kad šis skaičius yra 3, sutinkant pirminis ir nesudėtinis

su tuo, kas buvo pasakyta aukščiau, nes ji neturi skirtingų pavadinimų

dalintis su juo, bet tik jo vardu pavadintą akciją; dabar dauginu

jį iki paskutinio pridėto skaičiaus, kuris yra 2, ir aš gaunu 6; ir aš

Skelbiu, kad tai pirmasis tikras tobulas skaičius

tokių akcijų, į kurias sudėjus jos telpa

pats numeris: juk vienetas pavadintas jo vardu, oi yra

šeštas, ritmas ir 3 yra pusė pagal skaičių 2 ir

atgal, du yra trečias. Skaičius 28 gaunamas tokiu pat būdu, kai prie jau pridėtų skaičių pridedamas kitas skaičius 4

aukštesnė. Juk trys skaičiai 1, 2, 4 sudaro skaičių 7, kuris pasirodo esąs

pirminis ir nesudėtinis, nes turi tik pavadinimą

jam septintoji dalis; ir todėl padauginu jį iš paskutinės sumos,

pridėta prie sumos, ir mano rezultatas yra 28, lygus mano

akcijų, o akcijos pavadintos jau minėtais numeriais:

pusė keturiolikos, ketvirtis septynių, septinta už

4, keturioliktoji, o ne pusė, dvidešimt aštunta

pagal savo pavadinimą, ir tokia visų skaičių trupmena yra lygi vienetui. Ir kai jie jau atidaromi vienetais po 6 ir dešimtimis po 28, jūs

8, ir jūs gaunate 15; pažiūrėjęs suprantu, kad taip nėra

pirminis ir nesudėtinis, nes be jo vardu pavadinto

dalintis ji turi akcijų priešais, penktą ir trečią; štai kodėl aš to nedarau

Aš padauginu jį iš 8, bet pridedu kitą skaičių 16 ir gaunu skaičių

31. Ji yra pirminė ir nekompozicinė, todėl būtina, in

Pagal Pagrindinė taisyklė, padauginkite iš paskutinio pridėto skaičiaus, 16, ir gaukite 496 šimtus; ir tada jis tampa 8128 tūkstančiais; ir taip toliau, kol tik yra noras tęsti...“

Reikia pasakyti, kad antriniu skaičiumi Nikomachas supranta skaičių, kuris yra duotosios kartotinis, tai yra tą, kurį galima gauti padauginus iš natūraliųjų skaičių; Veiksnius, įtrauktus į skaičiaus išplėtimą, jis vadina trupmenomis.

Jei Nikomachas Gerazietis rado tik pirmuosius 4 tobulus skaičius, tada Regiomontanas ( tikrasis vardas – Johanas Mulleris), vokiečių matematikas, gyvenęs XV amžiuje, rado penktą tobulą skaičių – 33550336.

XVI amžiuje vokiečių mokslininkasJohanas Efraimas Scheibelissurado dar du tobulesnius skaičius – 8589869056 (8 mlrd., 589 mln., 869 tūkst., 56), 137438691328 (137 mlrd., 438 mln., 691 tūkst., 328).

Cataldi Pietro Antonio(1548-1626), buvęs matematikos profesorius Florencijoje ir Bolonijoje, pirmasis davęs ekstrahavimo metodą kvadratinės šaknys, taip pat ieškojo tobulų skaičių. Jo užrašuose buvo nurodytos šeštojo ir septinto tobulųjų skaičių reikšmės. 8 589 869 056 (šeštasis skaičius), 137 438 691 328 (septintasis skaičius), kai p = 17 ir 19)

XVII amžiaus prancūzų matematikas Maren Mersenne numatė, kad daug skaičių apibūdintų formule, kur p yra pirminis skaičius, taip pat yra pirminiai. Jam pavyko įrodyti, kad p=17, p=19, p=31 skaičiai 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128 yra tobuli.

Šveicarų, vokiečių ir rusų matematikas ir mechanikas, įnešęs esminį indėlį į šių mokslų plėtrą, Leonardas Eileris (XVIII a. pradžia) įrodė, kad visi lyginiai tobulieji skaičiai atitinka net tobulųjų skaičių konstravimo algoritmą, aprašytą IX Euklido elementų knygoje. Jis taip pat įrodė, kad kiekvienas lyginis tobulas skaičius turi formąMp, kur Merseno skaičius Mp yra pirminis.

Devintas tobulas skaičius buvo apskaičiuotas tik 1883 m. Jame buvo trisdešimt septyni simboliai. Šį skaičiavimo žygdarbį atliko kaimo kunigas iš netoli Permės.Ivanas Mikheevičius Pervušinas. Pervušinas skaičiavo be jokių skaičiavimo įrenginių.

XX amžiaus pradžioje buvo rasti dar trys tobulesni skaičiai (už p = 89, 107 ir 127).

2013 m. vasario mėn. yra žinomi 48 Mersenne pirminiai skaičiai ir juos atitinkantys net tobuli skaičiai; paskirstyti skaičiavimo projektai GIMPS ir OddPerfect.org ieško naujų Mersenne pirminių skaičių.

4. Tobulųjų skaičių savybės

1. Visi lyginiai tobulieji skaičiai (išskyrus 6) yra iš eilės einančių nelyginių natūraliųjų skaičių kubų suma.

2. Visi lyginiai tobulieji skaičiai yra trikampiai skaičiai; be to, jie yra šešiakampiai skaičiai, tai yra, kai kuriam nors natūraliajam skaičiui n gali būti pavaizduoti n(2n−1) forma.

3. Visų skaičių, atvirkštinių tobulojo skaičiaus dalikliams (įskaitant patį save) suma yra lygi 2, tai yra

4. Visi lyginiai tobulieji skaičiai, išskyrus 6 ir 496, baigiasi dešimtainiais skaičiais 16, 28, 36, 56 arba 76.

5. Visi net tobuli skaičiai dvejetainėje žymėjime yra pirmieji p vienetai, po kurių seka p -1 nuliai (jų bendro vaizdavimo pasekmė).

6. Įrodyta, kad nelyginis tobulas skaičius, jei toks yra, turi mažiausiai 9 skirtingus pirminius veiksnius ir mažiausiai 75 pirminius veiksnius, atsižvelgiant į daugybą.

5. Įdomūs faktai

Dėl sudėtingumo ir paslaptingo nesuprantamumo tobuli skaičiai senovėje buvo laikomi dieviškais. Taigi viduramžių bažnyčia tikėjo, kad tobulų skaičių studijavimas veda į sielos išganymą, o tiems, kurie randa naują tobulą skaičių, garantuojama amžina palaima. XII amžiuje bažnyčia įrodinėjo, kad norint išgelbėti sielą reikia rasti penktą tobulą skaičių.Taip pat buvo tikima, kad pasaulis yra gražus, nes jį sukūrė kūrėjas per 6 dienas. Tačiau žmonių rasė, anot jų, netobula, nes kilo iš netobulo skaičiaus 8. Juk būtent 8 žmonės buvo išgelbėti nuo pasaulinio potvynio Nojaus arkoje. Galima pridurti, kad toje pačioje arkoje buvo išgelbėtos dar septynios poros švarių ir septynios poros nešvarių gyvūnų, o tai iš viso sudaro tobulą skaičių 28. Ir apskritai nesunku aptikti daug panašių sutapimų. Pavyzdžiui, žmogaus rankos gali būti paskelbtos puikia priemone dėl to, kad dešimtyje pirštų yra 28 pirštakauliai...

Egipto ilgio matas „uolektis“ sudarė 28 pirštus.

Šeštoje pokylio vietoje sėdėjo gerbiamas, garbingiausias svečias.

1917 m., atliekant požeminius darbus, buvo aptiktas keistas statinys: aplink didelę centrinę salę buvo išsidėstę dvidešimt aštuonios kameros. Vėliau jie sužinojo, kad tai buvo Neopitagoro mokslų akademijos pastatas. Jame buvo dvidešimt aštuoni nariai.

Net ir dabar, laikantis senovės tradicijų, kai kurios akademijos pagal savo įstatus susideda iš 28 tikrųjų narių. Nepaisant to, kad tobuli skaičiai turi mistinę reikšmę, Mersenne skaičiai ilgam laikui buvo visiškai nenaudingi, kaip ir tobuli skaičiai. Tačiau Mersenne pirminiai skaičiai dabar yra elektroninės informacijos saugumo pagrindas, jie taip pat naudojami kriptografijoje ir kitose matematikos programose.

Levas Nikolajevičius Tolstojus žaismingai „gyrėsi“, kad jo gimimo data (rugpjūčio 28 d. pagal to meto kalendorių) yra tobulas skaičius. Levo Tolstojaus gimimo metai (1828) taip pat yra įdomus skaičius: paskutiniai du skaitmenys (28) sudaro tobulą skaičių; o jei pertvarkysite pirmuosius du skaitmenis, gausite 8128 – ketvirtą tobulą skaičių.

6. Problemų pavyzdžiai

1. Raskite visus tobulus skaičius iki 1000.

Atsakymas: 6 (1+2+3=6), 28 (1+2+4+7+14=28), 496 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 +

124 + 248 = 496). Iš viso yra 3 skaičiai.

2. Raskite tobulą skaičių, didesnį nei 496, bet mažesnį nei 33550336.

Atsakymas: 8128.

3. Puikus skaičius, didesnis nei 6, dalijasi iš 3. Įrodykite, kad jis dalijasi iš 9.

Sprendimas: priešingas metodas. Tarkime, kad tobulas skaičius, dalinamas iš 3, nėra 9 kartotinis. Tada jis lygus 3n, kur n nėra 3 kartotinis. Be to, visi natūralūs 3n dalikliai (įskaitant jį patį) gali būti

padalinti į poras d ir 3d, kur d nesidalija iš 3. Todėl visų suma

skaičiaus 3n daliklis (jis lygus 6n) dalijasi iš 4. Taigi n yra 2 kartotinis.

atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 3n/2, n, n/2 ir 1 bus skirtingi skaičiaus 3n dalikliai,

jų suma yra 3n + 1 > 3n, vadinasi, skaičius 3n negali būti

puikus. Prieštaravimas. Tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga ir teiginys yra įrodytas.

4. Puikus skaičius, didesnis nei 28, dalijasi iš 7. Įrodykite, kad jis dalijasi iš 49.

7.Išvada

Pitagoras dievino skaičius. Jis mokė: skaičiai valdo pasaulį. Skaičių visagalybė pasireiškia tuo, kad viskas pasaulyje yra pavaldi skaitiniams santykiams. Pitagoriečiai šiuose santykiuose ieškojo ir realaus pasaulio modelių, ir kelio į mistines paslaptis ir apreiškimus. Skaičiai, mokė jie, pasižymi viskuo – tobulumu ir netobulumu, baigtinumu ir begalybe.

Apsvarstęs vieną iš natūraliųjų skaičių grupių – tobuluosius skaičius, padariau išvadą, kad natūraliųjų skaičių įvairovė yra begalinė. Kalbant apie teiginį, kad tarp tobulųjų skaičių yra ir lyginių, ir nelyginių, jo negalima laikyti teisingu, nes visi iki šiol rasti tobulieji skaičiai yra lyginiai. Niekas nežino, ar yra bent vienas nelyginis tobulas skaičius, ar kad tobulųjų skaičių aibė yra begalinė.

Ateityje noriu ištirti draugiškus skaičius.

Draugiški skaičiai – du skirtingi natūraliuosius skaičius, kai visų pirmojo skaičiaus tinkamųjų daliklių suma yra lygi antrajam skaičiui ir atvirkščiai, visų antrojo skaičiaus tinkamųjų daliklių suma yra lygi pirmajam skaičiui. Tokios skaičių poros pavyzdys yra pora 220 ir 284. Tobulieji skaičiai laikomi ypatingu draugiškų skaičių atveju: kiekvienas tobulas skaičius yra draugiškas sau. Nors didelės svarbosŠios poros nėra svarbios skaičių teorijai, bet yra įdomus pramoginės matematikos elementas.

8. Naudotos literatūros sąrašas

1. Volina V.V. Pramoginė matematika vaikams./Red. V. V. Fiodorovas; Gaubtas. T. Fedorova. – Sankt Peterburgas: Levas ir K°, 1996. – 320 p.
2. Universalus mokyklos enciklopedija. T. 1. A – L/Skyrius. red. E. Khlebalina, vadovaujanti red. D. Volodikhinas. – M.: Avanta+, 2003. – 528 p.
3. Visuotinė mokyklos enciklopedija. T. 2. A – L/Skyrius. red. E. Khlebalina, vadovaujanti red. D. Volodikhinas. – M.: Avanta+, 2003. – 528 p.
4. Elektroninė vaikų enciklopedija Kirilas ir Metodijus (2007 m. versija).
5. Elektroninė svetainė Wikipedia/ http://www.wikipedia.org/
6. http://eschool.karelia.ru/petrozavodsk/projects/zpivkoren/Lists/List/DispForm.aspx?ID=18
7. http://www.ngpedia.ru/id598396p3.html
8. http://www.ngpedia.ru/id598396p1.html
9. http://academic.ru/dic.nsf/bse/133758/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0 %BD%D1%8B%D0%B5
10. http://arbuz.narod.ru/z_sov1.htm

Panašūs straipsniai