Laipsninės funkcijos (x iki a laipsnio) išvestinės formulės išvedimas. Nagrinėjamos išvestinės iš x šaknų. Aukštesnės eilės galios funkcijos išvestinės formulė. Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo pavyzdžiai.

x išvestinė iš laipsnio a lygi iš karto x iš laipsnio minus vienas:
(1) .

x n-osios šaknies išvestinė iki m-osios laipsnio yra:
(2) .

Laipsninės funkcijos išvestinės formulės išvedimas

Atvejis x > 0

Apsvarstykite kintamojo x laipsnio funkciją su eksponentu a:
(3) .
Čia a yra savavališkas realusis skaičius. Pirmiausia panagrinėkime atvejį.

Norėdami rasti funkcijos (3) išvestinę, naudojame laipsnio funkcijos savybes ir paverčiame ją tokia forma:
.

Dabar randame išvestį naudodami:
;
.
čia .

Formulė (1) buvo įrodyta.

n laipsnio šaknies x išvestinės iki m laipsnio formulės išvedimas

Dabar apsvarstykite funkciją, kuri yra šios formos šaknis:
(4) .

Norėdami rasti išvestinę, transformuojame šaknį į galios funkciją:
.
Lyginant su (3) formule matome, kad
.
Tada
.

Naudodami (1) formulę randame išvestinę:
(1) ;
;
(2) .

Praktiškai nereikia įsiminti formulės (2). Daug patogiau iš pradžių transformuoti šaknis į laipsniškas funkcijas, o tada pagal (1) formulę rasti jų išvestinius (žr. pavyzdžius puslapio pabaigoje).

Atvejis x = 0

Jei , tai galios funkcija yra apibrėžta kintamojo x = reikšmei 0 . Raskime funkcijos (3) išvestinę ties x = 0 . Norėdami tai padaryti, naudojame darinio apibrėžimą:
.

Pakeiskime x = 0 :
.
Šiuo atveju išvestine turime omenyje dešinės pusės ribą, kuriai .

Taigi mes radome:
.
Iš to aišku, kad , .
adresu , .
adresu , .
Šis rezultatas taip pat gaunamas iš (1) formulės:
(1) .
Todėl formulė (1) galioja ir x = 0 .

Atvejis x< 0

Dar kartą apsvarstykite funkciją (3):
(3) .
Tam tikroms konstantos a reikšmėms ji taip pat apibrėžiama neigiamos reikšmės kintamasis x. Būtent, tegul a yra racionalus skaičius. Tada ją galima pavaizduoti kaip neredukuojamą trupmeną:
,
kur m ir n yra sveikieji skaičiai, kurie neturi bendro daliklio.

Jei n yra nelyginis, tada galios funkcija taip pat apibrėžiama neigiamoms kintamojo x reikšmėms. Pavyzdžiui, kai n = 3 ir m = 1 turime x kubinę šaknį:
.
Jis taip pat apibrėžiamas neigiamoms kintamojo x reikšmėms.

Raskime galios funkcijos (3) išvestinę konstantos a, kuriai ji apibrėžta, racionalioms reikšmėms. Norėdami tai padaryti, pavaizduokime x tokia forma:
.
Tada,
.
Išvestinę randame pastatydami konstantą už išvestinės ženklo ribų ir taikydami sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę:

.
čia . Bet
.
Nuo tada
.
Tada
.
Tai yra, formulė (1) taip pat galioja:
(1) .

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės

Dabar suraskime aukštesnės eilės galios funkcijos išvestines
(3) .
Mes jau radome pirmos eilės išvestinį:
.

Paėmę konstantą a už išvestinės ženklo ribų, randame antros eilės išvestinę:
.
Panašiai randame trečios ir ketvirtos eilės išvestinius:
;

.

Iš to aišku, kad savavališkos n-osios eilės išvestinė turi tokią formą:
.

pastebėti, kad jei a yra natūralusis skaičius , tada n-oji išvestinė yra pastovi:
.
Tada visos paskesnės išvestinės yra lygios nuliui:
,
adresu .

Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo pavyzdžiai

Pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę:
.

Sprendimas

Paverskime šaknis į galias:
;
.
Tada pradinė funkcija įgauna tokią formą:
.

Galių išvestinių radimas:
;
.
Konstantos išvestinė lygi nuliui:
.

Kuriame išnagrinėjome paprasčiausias išvestines, taip pat susipažinome su diferencijavimo taisyklėmis ir kai kuriais techniniais išvestinių radimo būdais. Taigi, jei nesate labai gerai susipažinę su funkcijų išvestiniais arba kai kurie šio straipsnio punktai nėra visiškai aiškūs, pirmiausia perskaitykite aukščiau pateiktą pamoką. Prašau nusiteikti rimtai – medžiaga nėra paprasta, bet vis tiek stengsiuosi ją pateikti paprastai ir aiškiai.

Praktiškai su išvestiniu sudėtinga funkcija labai dažnai, sakyčiau, beveik visada tenka susidurti, kai tau pateikiamos užduotys surasti išvestinius.

Mes žiūrime į lentelę pagal taisyklę (Nr. 5), skirtą sudėtingos funkcijos diferencijavimui:

Išsiaiškinkime. Visų pirma, atkreipkime dėmesį į įrašą. Čia turime dvi funkcijas – ir , o funkcija, vaizdžiai tariant, yra įdėta į funkciją . Šio tipo funkcija (kai viena funkcija įdėta į kitą) vadinama sudėtinga funkcija.

Paskambinsiu funkcijai išorinė funkcija, ir funkcija – vidinė (arba įdėta) funkcija.

! Šie apibrėžimai nėra teoriniai ir neturėtų būti įtraukti į galutinį užduočių planą. Aš naudoju neformalius posakius „išorinė funkcija“, „vidinė“ funkcija tik tam, kad jums būtų lengviau suprasti medžiagą.

Norėdami išsiaiškinti situaciją, apsvarstykite:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Po sinusu turime ne tik raidę „X“, bet ir visą išraišką, todėl išvestinę iš karto rasti nepavyks. Taip pat pastebime, kad čia neįmanoma taikyti pirmųjų keturių taisyklių, atrodo, kad skirtumas yra, tačiau faktas yra tas, kad sinuso negalima „suplėšyti į gabalus“:

Šiame pavyzdyje iš mano paaiškinimų jau intuityviai aišku, kad funkcija yra sudėtinga funkcija, o daugianomas yra vidinė funkcija(investicijos), ir – išorinė funkcija.

Pirmas žingsnis ką reikia padaryti ieškant sudėtingos funkcijos išvestinės suprasti, kuri funkcija yra vidinė, o kuri išorinė.

Kada paprasti pavyzdžiai Atrodo aišku, kad polinomas yra įterptas po sinusu. Bet ką daryti, jei viskas nėra akivaizdu? Kaip tiksliai nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė? Norėdami tai padaryti, siūlau naudoti šią techniką, kurią galima atlikti mintyse arba juodraštyje.

Įsivaizduokime, kad mums reikia skaičiuotuvu apskaičiuoti išraiškos reikšmę at (vietoj vieneto gali būti bet koks skaičius).

Ką skaičiuosime pirmiausia? Pirmiausia turėsite atlikti šį veiksmą: , todėl daugianomas bus vidinė funkcija:

Antra reikės rasti, taigi sinusas – bus išorinė funkcija:

Po mūsų IŠPARDUOTA naudojant vidines ir išorines funkcijas, laikas taikyti sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę .

Pradėkime spręsti. Iš pamokos Kaip rasti išvestinę priemonę? prisimename, kad bet kurios išvestinės sprendinio kūrimas visada prasideda taip – ​​išraišką įdedame skliausteliuose, o viršuje dešinėje darome brūkšnį:

Iš pradžių rasti išvestinę išorinė funkcija(sinusas), pažvelkite į elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę ir pastebėkite, kad . Visos lentelės formulės taip pat taikomos, jei „x“ pakeičiamas sudėtinga išraiška, V tokiu atveju:

Atkreipkite dėmesį, kad vidinė funkcija nepasikeitė, mes jo neliečiame.

Na, tai gana akivaizdu

Formulės taikymo rezultatas galutine forma jis atrodo taip:

Pastovus koeficientas paprastai dedamas išraiškos pradžioje:

Jei kyla nesusipratimų, užrašykite sprendimą ant popieriaus ir dar kartą perskaitykite paaiškinimus.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

3 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Kaip visada, užrašome:

Išsiaiškinkime, kur turime išorinę funkciją, o kur – vidinę. Norėdami tai padaryti, bandome (protiškai arba juodraštyje) apskaičiuoti išraiškos reikšmę . Ką daryti pirmiausia? Visų pirma, reikia apskaičiuoti, kam lygi bazė: todėl daugianomas yra vidinė funkcija:

Ir tik tada atliekamas eksponentiškumas, todėl galios funkcija yra išorinė funkcija:

Pagal formulę , pirmiausia reikia rasti išorinės funkcijos išvestinę, šiuo atveju laipsnį. Lentelėje ieškome reikiamos formulės: . Dar kartą kartojame: bet kuri lentelės formulė galioja ne tik „X“, bet ir sudėtingai išraiškai. Taigi sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės taikymo rezultatas Kitas:

Dar kartą pabrėžiu, kad imant išorinės funkcijos išvestinę, mūsų vidinė funkcija nesikeičia:

Dabar belieka rasti labai paprastą vidinės funkcijos išvestinį ir šiek tiek pakoreguoti rezultatą:

4 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas(atsakymas pamokos pabaigoje).

Norėdami sustiprinti supratimą apie sudėtingos funkcijos išvestinę, pateiksiu pavyzdį be komentarų, pabandykite tai išsiaiškinti patys, pamąstykite, kur yra išorinė, o kur vidinė funkcija, kodėl užduotys sprendžiamos taip?

5 pavyzdys

a) Raskite funkcijos išvestinę

b) Raskite funkcijos išvestinę

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia mes turime šaknį, o norint atskirti šaknį, ji turi būti vaizduojama kaip galia. Taigi pirmiausia pateikiame funkciją į diferencijavimui tinkamą formą:

Analizuodami funkciją, darome išvadą, kad trijų narių suma yra vidinė funkcija, o pakėlimas į laipsnį yra išorinė funkcija. Taikome sudėtingų funkcijų diferenciacijos taisyklę :

Laipsnį vėl pavaizduojame kaip radikalą (šaknį), o vidinės funkcijos išvestinei taikome paprastą sumos diferencijavimo taisyklę:

Paruošta. Taip pat galite sumažinti išraišką iki bendro vardiklio skliausteliuose ir užrašyti viską kaip vieną trupmeną. Žinoma, gražu, bet kai gaunate gremėzdiškus ilgus darinius, geriau to nedaryti (lengva susipainioti, padaryti nereikalingą klaidą ir mokytojui bus nepatogu patikrinti).

7 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).

Įdomu pastebėti, kad kartais vietoj sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės galite naudoti koeficiento diferencijavimo taisyklę , tačiau toks sprendimas atrodys kaip neįprastas iškrypimas. Štai tipiškas pavyzdys:

8 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite naudoti koeficiento diferenciacijos taisyklę , tačiau daug pelningiau išvestinę rasti taikant sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:

Paruošiame funkciją diferencijuoti - iš išvestinio ženklo iškeliame minusą, o kosinusą keliame į skaitiklį:

Kosinusas yra vidinė funkcija, eksponencija yra išorinė funkcija.
Pasinaudokime savo taisykle :

Randame vidinės funkcijos išvestinę ir iš naujo nustatome kosinusą žemyn:

Paruošta. Nagrinėtame pavyzdyje svarbu nesupainioti ženkluose. Beje, pabandykite tai išspręsti naudodami taisyklę , atsakymai turi sutapti.

9 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).

Iki šiol nagrinėjome atvejus, kai sudėtingoje funkcijoje turėjome tik vieną lizdą. Praktinėse užduotyse dažnai galima rasti išvestinių, kur, kaip ir lėlės, viena kitos viduje, vienu metu įdėtos 3 ar net 4-5 funkcijos.

10 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Supraskime šios funkcijos priedus. Pabandykime apskaičiuoti išraišką naudodami eksperimentinę reikšmę. Kaip suskaičiuotume skaičiuotuvą?

Pirmiausia turite rasti , o tai reiškia, kad arcsinusas yra giliausias įterpimas:

Tada šis vieno arcsinusas turėtų būti padalytas kvadratu:

Ir galiausiai septynis padidiname iki galios:

Tai reiškia, kad šiame pavyzdyje turime tris skirtingas funkcijas ir du įterpimus, o vidinė funkcija yra arcsinė, o tolimiausia funkcija yra eksponentinė funkcija.

Pradėkime spręsti

Pagal taisyklę Pirmiausia reikia paimti išorinės funkcijos išvestinę. Žiūrime į išvestinių lentelę ir randame išvestinę eksponentinė funkcija: Vienintelis skirtumas yra tas, kad vietoj „x“ turime sudėtingą išraišką, kuri nepaneigia šios formulės galiojimo. Taigi, sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės taikymo rezultatas Kitas.

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

Išsprendus paprasčiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių radimo uždavinius, išvestinę apibrėžiant kaip argumento prieaugio ir prieaugio santykio ribą, atsirado išvestinių lentelė ir tiksliai. tam tikros taisyklės diferenciacija. Pirmieji darinių paieškos srityje pradėjo dirbti Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).

Todėl mūsų laikais, norint rasti bet kurios funkcijos išvestinę, nereikia skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribos, o tik pasinaudoti lentele dariniai ir diferenciacijos taisyklės. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas.

Norėdami rasti išvestinę, jums reikia išraiškos po pirminiu ženklu suskaidyti paprastas funkcijas į komponentus ir nustatyti kokius veiksmus (produktas, suma, koeficientas)šios funkcijos yra susijusios. Toliau elementariųjų funkcijų išvestinius randame išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formules - diferenciacijos taisyklėse. Išvestinių lentelė ir diferenciacijos taisyklės pateikiamos po pirmųjų dviejų pavyzdžių.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.

Iš išvestinių lentelės sužinome, kad „x“ išvestinė lygi vienetui, o sinuso – kosinusui. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių suma ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:

2 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Diferencijuojame kaip sumos, kurioje antrasis narys turi pastovų koeficientą, išvestinę, kurią galima išimti iš išvestinės ženklo:

Jei vis tiek kyla klausimų, iš kur kažkas atsiranda, jie dažniausiai išsiaiškinami susipažinus su išvestinių išvestinių dalių lentele ir paprasčiausiomis diferenciacijos taisyklėmis. Šiuo metu pereiname prie jų.

Paprastų funkcijų išvestinių lentelė

1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200...), kuris yra funkcijos išraiškoje. Visada lygus nuliui. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai
2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai „X“. Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti ilgą laiką
3. Laipsnio išvestinė. Sprendžiant uždavinius, reikia konvertuoti ne kvadratines šaknis į galias.
4. Kintamojo išvestinė į laipsnį -1
5. Kvadratinės šaknies vedinys
6. Sinuso išvestinė
7. Kosinuso išvestinė
8. Tangento išvestinė
9. Kotangento išvestinė
10. Arsinuso vedinys
11. Arkosino darinys
12. Arktangento vedinys
13. Lanko kotangento išvestinė
14. Natūralaus logaritmo išvestinė
15. Logaritminės funkcijos išvestinė
16. Rodiklio išvestinė
17. Eksponentinės funkcijos išvestinė

Diferencijavimo taisyklės

1. Sumos arba skirtumo išvestinė
2. Produkto darinys
2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė
3. Dalinio išvestinė
4. Sudėtinės funkcijos išvestinė

1 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojamos tam tikru momentu, tada funkcijos skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai.

Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų išvestinės yra lygios, t.y.

2 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojami tam tikru momentu, tada jų produktas skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų ir kitos išvestinei sumai.

1 išvada. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo:

2 išvada. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno veiksnio ir visų kitų išvestinės sandaugų sumai.

Pavyzdžiui, trims daugintuvams:

3 taisyklė.Jei funkcijos

tam tikru momentu skiriasi Ir , tada šioje vietoje jų koeficientas taip pat yra diferencijuotasu/v , ir

tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio sandaugų ir skaitiklio išvestinės bei skaitiklio ir vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra kvadratas buvęs skaitiklis.

Kur ieškoti dalykų kituose puslapiuose

Realiose problemose ieškant sandaugos išvestinės ir koeficiento, visada reikia taikyti kelias diferenciacijos taisykles vienu metu, todėl straipsnyje yra daugiau šių išvestinių pavyzdžių."Produkto išvestinė ir funkcijų dalis".

komentuoti. Neturėtumėte painioti konstantos (ty skaičiaus) kaip sumos termino ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. Tai tipiška klaida, kuris įvyksta Pradinis etapas studijuoja išvestines, tačiau sprendžiant kelis vienos ir dviejų dalių pavyzdžius, vidutinis studentas šios klaidos nebedaro.

Ir jei diferencijuodami produktą ar koeficientą turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (šis atvejis aptartas 10 pavyzdyje).

Kita dažnai pasitaikanti klaida yra mechaniškai sudėtingos funkcijos išvestinė sprendžiama kaip paprastos funkcijos išvestinė. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirtas atskiras straipsnis. Bet pirmiausia išmoksime rasti paprastų funkcijų išvestinius.

Pakeliui neapsieisite be posakių transformavimo. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti vadovą naujuose languose. Veiksmai su galiomis ir šaknimis Ir Veiksmai su trupmenomis .

Jei ieškote sprendimų dėl trupmenų išvestinių su laipsniais ir šaknimis, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada sekite pamoką „Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė“.

Jei turite tokią užduotį kaip , tada lankysi pamoką „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.

Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę

3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Apibrėžiame funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reprezentuoja sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus veiksnys. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės:

Toliau taikome sumos diferenciacijos taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis narys turi minuso ženklą. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi „X“ virsta vienetu, o minus 5 – nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto kaip ir „x“ išvestinė. Gauname šias išvestines reikšmes:

Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:

4 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra skirtumas tarp vardiklio sandaugų ir skaitiklio ir skaitiklio išvestinės bei išvestinės vardiklis, o vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:

Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Taip pat nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:

Jei ieškote sprendimų problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir galių krūva, pvz., , tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis darinys" .

Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kitų trigonometrinių funkcijų išvestis, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada pamoka jums "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .

5 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Naudodami sandaugos diferencijavimo taisyklę ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę, gauname:

6 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Naudodami koeficientų diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės reikšmę lentelėje, gauname:

Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš .

Panašūs straipsniai