Kosmosun əsası kosmosdakı bütün digər vektorların bazaya daxil edilmiş vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim oluna bildiyi vektorlar sistemi adlandırırlar.
Praktikada bunların hamısı olduqca sadə şəkildə həyata keçirilir. Əsas, bir qayda olaraq, müstəvidə və ya fəzada yoxlanılır və bunun üçün vektor koordinatlarından ibarət ikinci, üçüncü dərəcəli matrisin determinantını tapmaq lazımdır. Aşağıda sxematik şəkildə yazılmışdır vektorların əsas təşkil etdiyi şərtlər
Kimə b vektorunu əsas vektorlara genişləndirin
e,e...,e[n] vektorlarının xətti kombinasiyası e,e...,e[n]-ə bərabər olan x, ..., x[n] əmsallarını tapmaq lazımdır. vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Bunun üçün vektor tənliyi xətti tənliklər sisteminə çevrilməli və həllər tapılmalıdır. Bunu həyata keçirmək də olduqca sadədir.
Tapılmış x, ..., x[n] əmsalları adlanır əsasda b vektorunun koordinatları e,e...,e[n].
davam edək praktik tərəfi Mövzular.
Vektorun bazis vektorlara parçalanması
Tapşırıq 1. a1, a2 vektorlarının müstəvidə əsas təşkil edib-etmədiyini yoxlayın
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Həlli: Vektorların koordinatlarından determinant qururuq və onu hesablayırıq
Determinant sıfır deyil, deməli vektorlar xətti müstəqildir, yəni onlar əsas təşkil edir.
2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Həlli: Vektorlardan ibarət müəyyənedicini hesablayırıq 
Determinant 13-ə bərabərdir (sıfıra bərabər deyil) - buradan belə nəticə çıxır ki, a1, a2 vektorları müstəvidə əsasdır.
---=================---
“Ali riyaziyyat” fənni üzrə MAUP proqramından tipik nümunələrə baxaq.
Tapşırıq 2. Göstərin ki, a1, a2, a3 vektorları üçölçülü vektor fəzasının əsasını təşkil edir və b vektorunu bu əsasa uyğun genişləndirir (xətti cəbri tənliklər sistemini həll edərkən Kramer metodundan istifadə edin).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Həlli: Əvvəlcə a1, a2, a3 vektorlar sistemini nəzərdən keçirin və A matrisinin determinantını yoxlayın.
sıfırdan fərqli vektorlar üzərində qurulmuşdur. Matrisdə bir sıfır element var, ona görə də determinantı cədvəl kimi birinci sütunda və ya üçüncü cərgədə hesablamaq daha məqsədəuyğundur. 
Hesablamalar nəticəsində determinantın sıfırdan fərqli olduğunu gördük a1, a2, a3 vektorları xətti müstəqildir.
Tərifinə görə, vektorlar R3-də əsas təşkil edir. Əsasən b vektorunun qrafikini yazaq 
Vektorlar müvafiq koordinatları bərabər olduqda bərabər olurlar.
Buna görə də vektor tənliyindən xətti tənliklər sistemi alırıq 
Gəlin SLAE-ni həll edək Kramer üsulu. Bunun üçün tənliklər sistemini formada yazırıq
SLAE-nin əsas determinantı həmişə əsas vektorlardan ibarət müəyyənediciyə bərabərdir
Buna görə də praktikada iki dəfə hesablanmır. Köməkçi təyinediciləri tapmaq üçün əsas determinantın hər bir sütununun yerinə sərbəst şərtlər sütununu qoyuruq. Determinantlar üçbucaq qaydası ilə hesablanır 
Tapılmış müəyyənediciləri Kramer düsturu ilə əvəz edək 
Deməli, b vektorunun bazis baxımından genişlənməsi b=-4a1+3a2-a3 formasına malikdir. a1, a2, a3 bazasında b vektorunun koordinatları (-4,3, 1) olacaqdır.
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Həlli: Vektorları əsas üçün yoxlayırıq - vektorların koordinatlarından determinant tərtib edirik və onu hesablayırıq. 
Deməli, determinant sıfıra bərabər deyil vektorlar kosmosda əsas təşkil edir. Bu əsas vasitəsilə b vektorunun qrafikini tapmaq qalır. Bunun üçün vektor tənliyini yazırıq 
və xətti tənliklər sisteminə çevrilir 
Matris tənliyini yazırıq
Sonra Kramerin düsturları üçün köməkçi determinantları tapırıq 
Kramerin düsturlarını tətbiq edirik 
Beləliklə, verilmiş b vektorunun iki əsas vektoru vasitəsilə qrafiki var b=-2a1+5a3 və onun bazisdəki koordinatları b(-2,0, 5)-ə bərabərdir.
Vektor hesablamalarında və onun tətbiqlərində böyük əhəmiyyət kəsb edir verilmiş vektoru verilmiş komponentlər adlanan bir neçə vektorun cəmi kimi təqdim etməkdən ibarət parçalanma tapşırığı var.
vektor. Ümumilikdə sonsuz sayda həlli olan bu problem komponent vektorlarının bəzi elementlərini təyin etsək, tam müəyyənləşmiş olur.
2. Parçalanma nümunələri.
Bir neçə çox yayılmış parçalanma hallarını nəzərdən keçirək.
1. Verilmiş c vektorunu biri, məsələn, böyüklük və istiqamətdə verilmiş iki komponent vektoruna parçalayın.
Problem iki vektor arasındakı fərqi təyin etməkdən irəli gəlir. Həqiqətən, vektorlar c vektorunun komponentləridirsə, onda bərabərlik təmin edilməlidir
Buradan ikinci komponent vektoru təyin edilir
2. Verilmiş c vektorunu iki komponentə parçalayın, onlardan biri verilmiş müstəvidə, ikincisi isə verilmiş a düz xətti üzərində yerləşməlidir.
Komponent vektorlarını təyin etmək üçün c vektorunu elə hərəkət edirik ki, onun başlanğıcı verilmiş düz xəttin müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsi ilə üst-üstə düşsün (O nöqtəsi - şək. 18-ə baxın). c vektorunun sonundan (C nöqtəsi) düz xətt çəkirik
müstəvi ilə kəsişmə (B kəsişmə nöqtəsidir), sonra C nöqtəsindən paralel düz xətt çəkirik.
Və vektorları arzu olunanlar olacaq, yəni a düz xətti və müstəvi paralel deyilsə, təbii olaraq göstərilən genişlənmə mümkündür.
3. Verilmiş üç koplanar vektor a, b və c və vektorlar kollinear deyil. c vektorunu vektorlara parçalamaq tələb olunur
Verilmiş üç vektorun hamısını bir O nöqtəsinə gətirək. Onda onların mütənasibliyinə görə onlar eyni müstəvidə yerləşəcəklər. Bu c vektorundan diaqonal kimi istifadə edərək, tərəfləri vektorların təsir xətlərinə paralel olan paraleloqram quracağıq (şək. 19). Bu tikinti həmişə mümkündür (vektorlar kollinear olmadıqda) və unikaldır. Şəkildən. 19 aydındır ki
Vektorların xətti asılılığı və xətti müstəqilliyi.
Vektorların əsasları. Affin koordinat sistemi
Auditoriyada şokoladlı araba var və bu gün hər bir ziyarətçi şirin bir cüt əldə edəcək - xətti cəbrlə analitik həndəsə. Bu məqalə eyni anda iki bölməni əhatə edəcəkdir. ali riyaziyyat, və biz onların bir paketdə necə uyğunlaşdıqlarını görəcəyik. Fasilə verin, Twix yeyin! ...lənətə gəlsin, nə cəfəngiyatdır. Baxmayaraq ki, yaxşı, xal qazanmasam da, sonda oxumağa müsbət münasibət bəsləməlisiniz.
Vektorların xətti asılılığı, xətti vektor müstəqilliyi, vektorların əsası və digər terminlərin təkcə həndəsi şərhi deyil, hər şeydən əvvəl, cəbri məna. Xətti cəbr nöqteyi-nəzərindən "vektor" anlayışının özü həmişə müstəvidə və ya kosmosda təsvir edə biləcəyimiz "adi" vektor deyil. Sübut üçün uzağa baxmaq lazım deyil, beş ölçülü fəzanın vektorunu çəkməyə çalışın 
. Və ya Gismeteoya getdiyim hava vektoru: – temperatur və Atmosfer təzyiqi müvafiq olaraq. Nümunə, əlbəttə ki, vektor fəzasının xassələri baxımından düzgün deyil, lakin buna baxmayaraq, heç kim bu parametrlərin vektor kimi rəsmiləşdirilməsini qadağan etmir. Payız nəfəsi...
Xeyr, mən sizi nəzəriyyədən, xətti vektor fəzalarından bezdirmək fikrində deyiləm, vəzifə budur başa düşmək təriflər və teoremlər. Yeni terminlər (xətti asılılıq, müstəqillik, xətti birləşmə, bazis və s.) hamıya aiddir vektorları cəbri baxımdan, lakin həndəsi nümunələr veriləcək. Beləliklə, hər şey sadə, əlçatan və aydındır. Analitik həndəsə problemlərinə əlavə olaraq, bəzi tipik tapşırıqları da nəzərdən keçirəcəyik cəbr. Materialı mənimsəmək üçün dərslərlə tanış olmaq məsləhətdir Butaforlar üçün vektorlar Və Determinantı necə hesablamaq olar?
Müstəvi vektorların xətti asılılığı və müstəqilliyi.
Müstəvi əsas və afin koordinat sistemi
Gəlin kompüter masanızın müstəvisini nəzərdən keçirək (yalnız bir masa, yataq masası, döşəmə, tavan, istədiyiniz hər şey). Tapşırıq aşağıdakı hərəkətlərdən ibarət olacaq:
1) Təyyarə əsasını seçin. Təxminən desək, bir masanın uzunluğu və eni var, buna görə də əsas qurmaq üçün iki vektorun tələb olunacağı intuitivdir. Bir vektor kifayət deyil, üç vektor həddindən artıqdır.
2) Seçilmiş əsas əsasında koordinat sistemini təyin edin(koordinat şəbəkəsi) masadakı bütün obyektlərə koordinatlar təyin etmək.
Təəccüblənməyin, əvvəlcə izahatlar barmaqlarda olacaq. Üstəlik, sizin. Zəhmət olmasa yerləşdirin şəhadət barmağı sol əl stolun kənarında ki, monitora baxsın. Bu vektor olacaq. İndi yer kiçik barmaq sağ əl
masanın kənarında eyni şəkildə - monitor ekranına yönəldilməsi üçün. Bu vektor olacaq. Gülümsə, əla görünürsən! Vektorlar haqqında nə deyə bilərik? Məlumat vektorları kollinear, yəni xətti bir-biri vasitəsilə ifadə olunur:
, yaxşı və ya əksinə: , burada bəzi ədəd sıfırdan fərqlidir.
Bu hərəkətin şəklini sinifdə görə bilərsiniz. Butaforlar üçün vektorlar , burada vektoru ədədə vurma qaydasını izah etdim.
Barmaqlarınız kompüter masasının müstəvisinə əsas qoyacaqmı? Aydındır ki, yox. Kollinear vektorlar irəli və geri hərəkət edir tək istiqamət və təyyarənin uzunluğu və eni var.
Belə vektorlar deyilir xətti asılıdır.
İstinad: “Xətti”, “xətti” sözləri riyazi tənliklərdə və ifadələrdə kvadratların, kubların, başqa dərəcələrin, loqarifmlərin, sinusların və s. Yalnız xətti (1-ci dərəcə) ifadələr və asılılıqlar var.
İki təyyarə vektoru xətti asılıdır sonra və yalnız bundan sonra onlar collinear olduqda.
Barmaqlarınızı masanın üstündə keçin ki, aralarında 0 və ya 180 dərəcədən başqa hər hansı bir bucaq olsun. İki təyyarə vektoruxətti yox yalnız və yalnız kollinear olmadıqda asılıdır. Beləliklə, əsas əldə edilir. Əsasın müxtəlif uzunluqdakı perpendikulyar olmayan vektorlarla "əyri" olduğu ortaya çıxdığından utanmaq lazım deyil. Tezliklə biz onun qurulması üçün nəinki 90 dərəcə bucağın uyğun olduğunu, nəinki bərabər uzunluqlu vahid vektorların olmadığını görəcəyik.
Hər hansı təyyarə vektoru yeganə yoləsasında genişlənir: 
, Harada - real ədədlər. Nömrələr çağırılır vektor koordinatları bu əsasda.
Bu da deyilir vektorkimi təqdim olunur xətti birləşməəsas vektorlar. Yəni ifadə deyilir vektor parçalanmasıəsasında və ya xətti birləşməəsas vektorlar.
Məsələn, vektorun müstəvinin ortonormal əsası boyunca parçalandığını və ya vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim olunduğunu deyə bilərik.
Gəlin formalaşdıraq əsasın tərifi formal olaraq: Təyyarənin əsası bir cüt xətti müstəqil (kollinear olmayan) vektorlar adlanır, , burada hər hansı müstəvi vektor əsas vektorların xətti birləşməsidir.
Tərifin əsas məqamı vektorların götürülməsi faktıdır müəyyən bir qaydada. Əsaslar 
- bunlar tamamilə fərqli iki əsasdır! Necə deyərlər, sağ əlin kiçik barmağını sol əlin kiçik barmağı ilə əvəz edə bilməzsən.
Biz əsası anladıq, lakin koordinatlar şəbəkəsini qurmaq və kompüter masanızda hər bir elementə koordinatlar təyin etmək kifayət deyil. Niyə kifayət deyil? Vektorlar sərbəstdir və bütün təyyarə boyu gəzirlər. Beləliklə, vəhşi bir həftə sonundan qalan masadakı o kiçik çirkli ləkələrə koordinatları necə təyin edirsiniz? Bir başlanğıc nöqtəsi lazımdır. Və belə bir əlamətdar nöqtə hər kəsə tanış olan bir nöqtədir - koordinatların mənşəyi. Koordinat sistemini anlayaq:
Mən “məktəb” sistemi ilə başlayacağam. Artıq giriş dərsində Butaforlar üçün vektorlar Düzbucaqlı koordinat sistemi ilə ortonormal əsas arasındakı bəzi fərqləri vurğuladım. Budur standart şəkil:
Haqqında danışdıqları zaman düzbucaqlı koordinat sistemi, onda çox vaxt onlar mənşəyi, koordinat oxlarını və oxlar boyunca miqyası nəzərdə tuturlar. Axtarış sisteminə “düzbucaqlı koordinat sistemi” yazmağa çalışın və görəcəksiniz ki, bir çox mənbələr sizə 5-6-cı siniflərdən tanış olan koordinat oxları və müstəvidə nöqtələrin necə qurulacağı barədə məlumat verəcəklər.
Digər tərəfdən, görünür ki, düzbucaqlı koordinat sistemi ortonormal əsas baxımından tamamilə müəyyən edilə bilər. Və bu, demək olar ki, doğrudur. Tərif aşağıdakı kimidir:
mənşəyi, Və ortonormaləsas qoyulur Kartezyen düzbucaqlı müstəvi koordinat sistemi . Yəni düzbucaqlı koordinat sistemi mütləq tək nöqtə və iki vahid ortoqonal vektorla müəyyən edilir. Buna görə yuxarıda verdiyim rəsmi görürsən - həndəsi məsələlərdə həm vektorlar, həm də koordinat oxları çox vaxt (lakin həmişə deyil) çəkilir.
Düşünürəm ki, hər kəs bir nöqtə (mənşə) və ortonormal əsasdan istifadə etdiyini başa düşür Təyyarədə HƏR NÖQTƏ və təyyarədə HƏR VEKTOR koordinatları təyin edilə bilər. Obrazlı desək, “təyyarədə hər şey nömrələnə bilər”.
Koordinat vektorlarının vahid olması tələb olunurmu? Xeyr, onlar ixtiyari sıfırdan fərqli uzunluğa malik ola bilərlər. Bir nöqtəni və ixtiyari sıfırdan fərqli uzunluqlu iki ortoqonal vektoru nəzərdən keçirək:
Belə bir əsas deyilir ortoqonal. Vektorlu koordinatların mənşəyi koordinat şəbəkəsi ilə müəyyən edilir və müstəvidə istənilən nöqtə, istənilən vektor verilmiş əsasda öz koordinatlarına malikdir. Məsələn, və ya. Aşkar narahatçılıq koordinat vektorlarının olmasıdır ümumiyyətlə birlikdən başqa müxtəlif uzunluqlara malikdir. Əgər uzunluqlar vahidə bərabərdirsə, onda adi ortonormal əsas alınır.
! Qeyd : ortoqonal əsasda, eləcə də aşağıda müstəvi və fəzanın afin əsaslarında oxlar boyunca vahidlər nəzərə alınır. ŞƏRTLİ. Məsələn, x oxu boyunca bir vahid 4 sm, ordinat oxu boyunca bir vahid isə 2 sm ehtiva edir.Bu məlumat lazım olduqda “qeyri-standart” koordinatları “adi santimetrlərimizə” çevirmək üçün kifayətdir.
Və əslində artıq cavablandırılmış ikinci sual, əsas vektorlar arasındakı bucaq 90 dərəcəyə bərabər olmalıdırmı? Yox! Tərifdə göstərildiyi kimi, əsas vektorlar olmalıdır yalnız kollinear deyil. Müvafiq olaraq, bucaq 0 və 180 dərəcədən başqa hər şey ola bilər.
Təyyarədə bir nöqtə çağırıldı mənşəyi, Və qeyri-kollinear vektorlar, , təyin edin afin müstəvi koordinat sistemi :
Bəzən belə bir koordinat sistemi adlanır əyri sistemi. Nümunə olaraq, rəsm nöqtələri və vektorları göstərir: 
Anladığınız kimi, affin koordinat sistemi daha az rahatdır, dərsin ikinci hissəsində müzakirə etdiyimiz vektor və seqmentlərin uzunluqları üçün düsturlar işləmir. Butaforlar üçün vektorlar , ilə əlaqəli bir çox dadlı düsturlar vektorların skalyar hasili . Lakin vektorların əlavə edilməsi və vektorun ədədə vurulması qaydaları etibarlıdır, bu baxımdan seqmentin bölünməsi üçün düsturlar, eləcə də tezliklə nəzərdən keçirəcəyimiz bəzi digər problemlər.
Və nəticə ondan ibarətdir ki, afin koordinat sisteminin ən əlverişli xüsusi halı Dekart düzbucaqlı sistemidir. Ona görə də onu tez-tez görməlisən, əzizim. ...Ancaq bu həyatda hər şey nisbidir - bir çox vəziyyətlər var ki, burada əyri bucaq (və ya başqa bir, məsələn, qütb) koordinat sistemi. Və humanoidlər belə sistemləri bəyənə bilər =)
Gəlin praktik hissəyə keçək. Bu dərsdəki bütün məsələlər həm düzbucaqlı koordinat sistemi, həm də ümumi afin vəziyyət üçün etibarlıdır. Burada mürəkkəb bir şey yoxdur, bütün material hətta məktəbli üçün də əlçatandır.
Müstəvi vektorların kollinearlığını necə təyin etmək olar?
Tipik şey. İki müstəvi vektor üçün 
collinear idi, onların müvafiq koordinatlarının mütənasib olması zəruri və kifayətdirƏslində, bu, aşkar əlaqənin koordinat-koordinat təfərrüatlarıdır.
Misal 1
a) Vektorların kollinear olub olmadığını yoxlayın 
.
b) Vektorlar əsas təşkil edirmi? 
?
Həll:
a) vektorların olub olmadığını öyrənək 
mütənasiblik əmsalı, bərabərliklər təmin olunsun: 
Mən sizə praktikada kifayət qədər yaxşı işləyən bu qaydanın tətbiqinin “qeyri-adi” versiyası haqqında mütləq danışacağam. İdeya dərhal nisbəti yaratmaq və düzgün olub olmadığını görməkdir:
Vektorların müvafiq koordinatlarının nisbətlərindən nisbət yaradaq:
Qısaldaq:
, buna görə də müvafiq koordinatlar mütənasibdir, buna görə də,
Münasibət başqa cür də edilə bilər; bu, ekvivalent variantdır:
Özünü sınamaq üçün kollinear vektorların bir-biri ilə xətti şəkildə ifadə olunmasından istifadə edə bilərsiniz. IN bu halda bərabərliklər var 
. Onların etibarlılığı vektorlarla elementar əməliyyatlar vasitəsilə asanlıqla yoxlanıla bilər: 
b) İki müstəvi vektor kollinear deyilsə (xətti müstəqil) əsas təşkil edir. Vektorları kollinearlıq üçün yoxlayırıq 
. Gəlin bir sistem yaradaq: 
Birinci tənlikdən belə çıxır ki, , ikinci tənlikdən o deməkdir ki, sistem uyğunsuzdur (həll yoxdur). Beləliklə, vektorların uyğun koordinatları mütənasib deyil.
Nəticə: vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.
Həllin sadələşdirilmiş versiyası belə görünür:
Vektorların uyğun koordinatlarından nisbət yaradaq 
:
, bu o deməkdir ki, bu vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.
Adətən bu seçim rəyçilər tərəfindən rədd edilmir, lakin bəzi koordinatların sıfıra bərabər olduğu hallarda problem yaranır. Bunun kimi: 
. Və ya bu kimi: 
. Və ya bu kimi: 
. Burada nisbətlə necə işləmək olar? (həqiqətən, sıfıra bölmək olmaz). Məhz bu səbəbdən sadələşdirilmiş həlli “foppish” adlandırdım.
Cavab: a) , b) forma.
Kiçik yaradıcılıq nümunəsiüçün müstəqil qərar:
Misal 2
Parametrin hansı qiymətində vektorlar var 
onlar kollinear olacaqlar?
Nümunə həllində parametr nisbət vasitəsilə tapılır.
Vektorların kollinearlığını yoxlamaq üçün zərif bir cəbr üsulu var. Gəlin biliklərimizi sistemləşdirək və beşinci nöqtə kimi əlavə edək:
İki müstəvi vektor üçün aşağıdakı ifadələr ekvivalentdir:
2) vektorlar əsas təşkil edir;
3) vektorlar kollinear deyil;
+ 5) bu vektorların koordinatlarından ibarət müəyyənedici sıfırdan fərqlidir.
müvafiq olaraq, aşağıdakı əks ifadələr ekvivalentdir:
1) vektorlar xətti asılıdır;
2) vektorlar əsas təşkil etmir;
3) vektorlar kollineardır;
4) vektorlar bir-biri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə oluna bilər;
+ 5) bu vektorların koordinatlarından ibarət müəyyənedici sıfıra bərabərdir.
Mən, həqiqətən, ümid edirəm Bu an rastlaşdığınız bütün terminləri və ifadələri artıq başa düşürsünüz.
Gəlin yeni, beşinci məqama daha yaxından nəzər salaq: iki müstəvi vektor 
yalnız və yalnız verilmiş vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabər olduqda kollinear olurlar.:. İstifadə üçün bu xüsusiyyətdən Təbii ki, bacarmaq lazımdır determinantları tapın
.
Gəlin qərar verəkİkinci şəkildə 1-ci misal:
a) Vektorların koordinatlarından ibarət müəyyənedicini hesablayaq 
:
, bu o deməkdir ki, bu vektorlar kollineardır.
b) İki müstəvi vektor kollinear deyilsə (xətti müstəqil) əsas təşkil edir. Vektor koordinatlarından ibarət müəyyənedicini hesablayaq 
:
, yəni vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.
Cavab: a) , b) forma.
O, nisbətləri olan bir həlldən çox daha yığcam və gözəl görünür.
Nəzərdən keçirilən materialın köməyi ilə təkcə vektorların kollinearlığını qurmaq deyil, həm də seqmentlərin və düz xətlərin paralelliyini sübut etmək mümkündür. Xüsusi həndəsi fiqurlarla bağlı bir neçə məsələni nəzərdən keçirək.
Misal 3
Dördbucaqlının təpələri verilmişdir. Dördbucaqlının paraleloqram olduğunu sübut edin.
Sübut: Problemdə rəsm yaratmağa ehtiyac yoxdur, çünki həlli sırf analitik olacaqdır. Paraleloqramın tərifini xatırlayaq:
Paraleloqram
Qarşı tərəfləri cüt-cüt paralel olan dördbucaqlı adlanır.
Beləliklə, sübut etmək lazımdır:
1) əks tərəflərin paralelliyi və;
2) əks tərəflərin paralelliyi və.
Biz sübut edirik:
1) vektorları tapın: 
2) vektorları tapın: 
Nəticə eyni vektordur (“məktəbə görə” – bərabər vektorlar). Kollinearlıq olduqca açıqdır, lakin qərarın tənzimləmə ilə aydın şəkildə rəsmiləşdirilməsi daha yaxşıdır. Vektor koordinatlarından ibarət determinantı hesablayaq: 
, bu o deməkdir ki, bu vektorlar kollineardır və .
Nəticə: Dördbucaqlının əks tərəfləri cüt-cüt paraleldir, yəni tərifinə görə paraleloqramdır. Q.E.D.
Daha yaxşı və fərqli rəqəmlər:
Misal 4
Dördbucaqlının təpələri verilmişdir. Dördbucaqlının trapesiya olduğunu sübut edin.
Sübutun daha ciddi formalaşdırılması üçün, əlbəttə ki, trapezoidin tərifini almaq daha yaxşıdır, ancaq onun necə göründüyünü xatırlamaq kifayətdir.
Bu, özünüz həll edə biləcəyiniz bir vəzifədir. Dərsin sonunda tam həll.
İndi yavaş-yavaş təyyarədən kosmosa keçməyin vaxtı gəldi:
Kosmik vektorların kollinearlığını necə təyin etmək olar?
Qayda çox oxşardır. İki fəza vektorunun kollinear olması üçün, zəruri və kifayətdir, belə ki, onların uyğun koordinatları mütənasib olsun.
Misal 5
Aşağıdakı fəza vektorlarının kollinear olub olmadığını öyrənin:
A) ;
b)
V) 
Həll:
a) Vektorların müvafiq koordinatları üçün mütənasiblik əmsalının olub olmadığını yoxlayaq:
Sistemin həlli yoxdur, yəni vektorlar kollinear deyil.
“Sadələşdirilmiş” nisbət yoxlanılmaqla rəsmiləşdirilir. Bu halda:
– müvafiq koordinatlar mütənasib deyil, yəni vektorlar kollinear deyildir.
Cavab: vektorlar kollinear deyil.
b-c) Bunlar müstəqil qərar üçün nöqtələrdir. Bunu iki yolla sınayın.
Üçüncü dərəcəli determinant vasitəsilə fəza vektorlarının kollinearlığını yoxlamaq üçün bir üsul var, bu üsul məqalədə əhatə olunub Vektorların vektor məhsulu .
Təyyarə vəziyyətinə bənzər olaraq, nəzərdən keçirilən alətlər fəza seqmentlərinin və düz xətlərin paralelliyini öyrənmək üçün istifadə edilə bilər.
İkinci bölməyə xoş gəlmisiniz:
Üçölçülü fəzada vektorların xətti asılılığı və müstəqilliyi.
Məkan əsası və afin koordinat sistemi
Təyyarədə tədqiq etdiyimiz nümunələrin çoxu kosmos üçün etibarlı olacaq. Mən nəzəriyyə qeydlərini minimuma endirməyə çalışdım, çünki məlumatın aslan payı artıq çeynənib. Bununla belə, yeni termin və anlayışlar meydana çıxacağı üçün giriş hissəsini diqqətlə oxumağınızı tövsiyə edirəm.
İndi kompüter masasının müstəvisi əvəzinə üç ölçülü məkanı araşdırırıq. Əvvəlcə onun əsasını yaradaq. Kimsə indi evdədir, kimsə açıq havadadır, amma hər halda biz üç ölçüdən qaça bilmərik: en, uzunluq və hündürlük. Beləliklə, əsas qurmaq üçün üç fəza vektoru tələb olunacaq. Bir və ya iki vektor kifayət deyil, dördüncü artıqdır.
Və yenidən barmaqlarımıza istilənirik. Zəhmət olmasa əlinizi yuxarı qaldırın və yayın müxtəlif tərəflər baş barmaq, şəhadət və orta barmaq. Bunlar vektorlar olacaq, onlar müxtəlif istiqamətlərə baxırlar, müxtəlif uzunluqlara malikdirlər və öz aralarında fərqli açılara malikdirlər. Təbrik edirik, üçölçülü məkanın əsası hazırdır! Yeri gəlmişkən, bunu müəllimlərə nümayiş etdirməyə ehtiyac yoxdur, barmaqlarınızı nə qədər büksəniz də, təriflərdən qaçış yoxdur =)
Sonra soruşaq mühüm məsələ, hər hansı üç vektor üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edir? Zəhmət olmasa üç barmağınızı kompüter masasının yuxarı hissəsinə möhkəm basın. Nə olub? Üç vektor eyni müstəvidə yerləşir və kobud desək, ölçülərdən birini - hündürlüyü itirmişik. Belə vektorlar düzbucaqlı və üçölçülü fəzanın əsasının yaradılmadığı tamamilə aydındır.
Qeyd etmək lazımdır ki, koplanar vektorların eyni müstəvidə uzanması lazım deyil, onlar paralel müstəvilərdə ola bilərlər (bunu barmaqlarınızla etməyin, bunu yalnız Salvador Dali edib =)).
Tərif: vektorlar deyilir düzbucaqlı, paralel olduqları müstəvi varsa. Bura əlavə etmək məntiqlidir ki, əgər belə bir müstəvi yoxdursa, onda vektorlar koplanar olmayacaq.
Üç koplanar vektor həmişə xətti asılıdır, yəni bir-biri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə olunur. Sadəlik üçün bir daha onların eyni müstəvidə yatdıqlarını təsəvvür edək. Birincisi, vektorlar təkcə düzənli deyil, həm də kollinear ola bilər, sonra istənilən vektor istənilən vektor vasitəsilə ifadə oluna bilər. İkinci halda, məsələn, vektorlar kollinear deyilsə, üçüncü vektor onlar vasitəsilə unikal şəkildə ifadə edilir: 
(və niyə əvvəlki bölmədəki materiallardan təxmin etmək asandır).
Bunun əksi də doğrudur: üç qeyri-komplanar vektor həmişə xətti müstəqildir, yəni heç bir şəkildə bir-biri vasitəsilə ifadə olunmur. Və aydındır ki, yalnız belə vektorlar üçölçülü məkanın əsasını təşkil edə bilər.
Tərif: Üçölçülü məkanın əsası xətti müstəqil (komplanar olmayan) vektorların üçlüyü adlanır, müəyyən qaydada qəbul edilir, və fəzanın istənilən vektoru yeganə yol verilmiş əsasda parçalanır, bu əsasda vektorun koordinatları haradadır
Nəzərinizə çatdırım ki, vektorun formada təmsil olunduğunu da deyə bilərik xətti birləşməəsas vektorlar.
Koordinat sistemi anlayışı müstəvi halı ilə eyni şəkildə təqdim olunur; bir nöqtə və istənilən üç xətti müstəqil vektor kifayətdir:
mənşəyi, Və qeyri-düzgün vektorlar, müəyyən qaydada qəbul edilir, təyin edin üçölçülü fəzanın affin koordinat sistemi
:
Əlbəttə ki, koordinat şəbəkəsi "çəp" və əlverişsizdir, lakin buna baxmayaraq, qurulmuş koordinat sistemi bizə imkan verir mütləq istənilən vektorun koordinatlarını və fəzada istənilən nöqtənin koordinatlarını təyin edin. Müstəvi kimi, yuxarıda qeyd etdiyim bəzi düsturlar kosmosun affin koordinat sistemində işləməyəcək.
Hər kəsin təxmin etdiyi kimi, affin koordinat sisteminin ən tanış və əlverişli xüsusi halıdır düzbucaqlı kosmik koordinat sistemi:
Kosmosda bir nöqtə deyilir mənşəyi, Və ortonormaləsas qoyulur Kartezyen düzbucaqlı fəza koordinat sistemi
. Tanış şəkil: 
Praktiki tapşırıqlara keçməzdən əvvəl məlumatları yenidən sistemləşdirək:
Üç fəza vektoru üçün aşağıdakı ifadələr ekvivalentdir:
1) vektorlar xətti müstəqildir;
2) vektorlar əsas təşkil edir;
3) vektorlar koplanar deyil;
4) vektorlar bir-biri vasitəsilə xətti ifadə edilə bilməz;
5) bu vektorların koordinatlarından ibarət olan determinant sıfırdan fərqlidir.
Düşünürəm ki, əks bəyanatlar başa düşüləndir.
Kosmik vektorların xətti asılılığı/müstəqilliyi ənənəvi olaraq determinantdan istifadə etməklə yoxlanılır (5-ci bənd). Qalan praktiki tapşırıqlar açıq-aşkar cəbri xarakter daşıyacaqdır. Həndəsə çubuğunu asmaq və xətti cəbrin beysbol yarasasını istifadə etmək vaxtıdır:
Kosmosun üç vektoru Verilmiş vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabər olduqda və yalnız o zaman müştərəkdir: 
.
Diqqətinizi kiçik bir texniki nüansa cəlb etmək istərdim: vektorların koordinatları təkcə sütunlarda deyil, həm də sətirlərdə yazıla bilər (determinantın dəyəri bundan dəyişməyəcək - bax. determinantların xassələri). Ancaq sütunlarda daha yaxşıdır, çünki bəzi praktik problemlərin həlli üçün daha faydalıdır.
Determinantların hesablanması üsullarını bir az unudan və ya bəlkə də onlardan çox az anlayışı olan oxucular üçün ən qədim dərslərimdən birini tövsiyə edirəm: Determinantı necə hesablamaq olar?
Misal 6
Aşağıdakı vektorların üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edib-etmədiyini yoxlayın:
Həll: Əslində, bütün həll determinantın hesablanmasına gəlir.
a) Vektor koordinatlarından ibarət determinantı hesablayaq (birinci sətirdə determinant aşkarlanır): 
, bu o deməkdir ki, vektorlar xətti müstəqildir (komplanar deyil) və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edir.
Cavab verin: bu vektorlar əsas təşkil edir
b) Bu, müstəqil qərar vermək üçün bir məqamdır. Tam həll və dərsin sonunda cavab.
Yaradıcı vəzifələr də var:
Misal 7
Parametrin hansı qiymətində vektorlar koplanar olacaq?
Həll: Vektorlar koplanardır o zaman və yalnız bu vektorların koordinatlarından ibarət determinant sıfıra bərabərdir: 
Əsasən, bir determinant ilə bir tənliyi həll etməlisiniz. Biz jerboasdakı uçurtmalar kimi sıfırları aşağı salırıq - ikinci sətirdəki determinantı açmaq və dərhal mənfi cəhətlərdən qurtulmaq daha yaxşıdır: 
Əlavə sadələşdirmələr aparırıq və məsələni ən sadə hala gətiririk xətti tənlik:
Cavab verin: at
Burada yoxlamaq asandır; bunu etmək üçün nəticədə yaranan dəyəri orijinal determinantla əvəz etməli və əmin olun ki, 
, yenidən açın.
Yekun olaraq, daha çox cəbri xarakter daşıyan və ənənəvi olaraq xətti cəbr kursuna daxil edilən başqa bir tipik məsələni nəzərdən keçirəcəyik. O qədər yaygındır ki, öz mövzusuna layiqdir:
3 vektorun üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etdiyini sübut edin
və bu əsasda 4-cü vektorun koordinatlarını tapın
Misal 8
Vektorlar verilir. Üçölçülü fəzada vektorların bazis təşkil etdiyini göstərin və bu əsasda vektorun koordinatlarını tapın.
Həll: Əvvəlcə şərtlə məşğul olaq. Şərtə görə, dörd vektor verilir və gördüyünüz kimi, onların artıq müəyyən əsasda koordinatları var. Bu əsasın nə olması bizim üçün maraqlı deyil. Və aşağıdakı şey maraqlıdır: üç vektor yaxşı əmələ gələ bilər yeni əsas. Birinci mərhələ 6-cı nümunənin həlli ilə tamamilə üst-üstə düşür, vektorların həqiqətən xətti müstəqil olub olmadığını yoxlamaq lazımdır:
Vektor koordinatlarından ibarət determinantı hesablayaq: 
, bu o deməkdir ki, vektorlar xətti müstəqildir və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edir.
! Əhəmiyyətli : vektor koordinatları Mütləq yazın sütunlara sətirlərdə deyil, müəyyənedicidir. Əks halda, sonrakı həll alqoritmində qarışıqlıq yaranacaq.
Əsas(qədim yunan βασις, əsas) - vektor fəzasında elə vektorlar toplusu ki, bu fəzadakı istənilən vektor bu dəstdən vektorların xətti kombinasiyası kimi unikal şəkildə təmsil oluna bilsin - əsas vektorlar
Rn məkanında əsas hər hansı bir sistemdir n-xətti müstəqil vektorlar. Baza daxil edilməyən R n-dən hər bir vektor əsas vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər, yəni. əsas üzərində yayılmışdır.
R n və fəzasının əsası olsun. Sonra λ 1, λ 2, …, λ n ədədləri var ki, belədir 
.
Genişlənmə əmsalları λ 1, λ 2, ..., λ n B əsasında vektor koordinatları adlanır. Əgər əsas verilirsə, onda vektor əmsalları unikal şəkildə müəyyən edilir.
Şərh. Hər birində n-ölçülü vektor fəzasında sonsuz sayda müxtəlif əsasları seçə bilərsiniz. Fərqli əsaslarda eyni vektor müxtəlif koordinatlara malikdir, lakin onlar seçilmiş əsasda unikaldır. Misal. Vektoru onun əsasına genişləndirin.
Həll. 
. Bütün vektorların koordinatlarını əvəz edək və onlar üzərində hərəkətlər edək: 
Koordinatları bərabərləşdirərək, tənliklər sistemini əldə edirik:
Gəlin həll edək: 
.
Beləliklə, parçalanma əldə edirik: 
.
Əsasda vektorun koordinatları var.
İşin sonu -
Bu mövzu bölməyə aiddir:
Vektor konsepsiyası. Vektorlar üzərində xətti əməliyyatlar
Vektor müəyyən uzunluğa malik olan istiqamətlənmiş seqmentdir, yəni müəyyən uzunluqda onun məhdudlaşdırıcı nöqtələrindən birinə malik olan seqmentdir.Vektorun uzunluğu onun modulu adlanır və vektor modulu simvolu ilə işarələnir.Vektor sıfır adlanır; başlanğıcı və sonu üst-üstə düşərsə təyin olunur; sıfır vektorunun xüsusi vektoru yoxdur.
Əgər ehtiyacın varsa əlavə material Bu mövzuda və ya axtardığınızı tapmadınız, işlərimiz bazamızda axtarışdan istifadə etməyi tövsiyə edirik:
Alınan materialla nə edəcəyik:
Bu material sizin üçün faydalı olsaydı, onu sosial şəbəkələrdə səhifənizdə saxlaya bilərsiniz:
Oxşar məqalələr
