Piramidės koncepcija

1 apibrėžimas

Geometrinė figūra, sudaryta iš daugiakampio ir taško, esančio ne plokštumoje, kurioje yra šis daugiakampis, sujungtas su visomis daugiakampio viršūnėmis, vadinama piramide (1 pav.).

Daugiakampis, iš kurio padaryta piramidė, vadinamas piramidės pagrindu; susidarę trikampiai, sujungti su tašku, yra piramidės šoniniai paviršiai, trikampių kraštinės yra piramidės kraštinės, o taškas yra bendras. prie visų trikampių yra piramidės viršūnė.

Piramidžių rūšys

Priklausomai nuo kampų skaičiaus piramidės pagrinde, ji gali būti vadinama trikampiu, keturkampiu ir pan. (2 pav.).

2 pav.

Kitas piramidžių tipas yra taisyklingoji piramidė.

Įveskime ir įrodykime taisyklingos piramidės savybę.

1 teorema

Visi taisyklingos piramidės šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai, kurie yra lygūs vienas kitam.

Įrodymas.

Apsvarstykite taisyklingą $n-$kampinę piramidę, kurios viršūnė $S$ aukštis $h=SO$. Aplink pagrindą nubrėžkime apskritimą (4 pav.).

4 pav.

Apsvarstykite trikampį $SOA$. Pagal Pitagoro teoremą gauname

Akivaizdu, kad bet koks šoninis kraštas bus apibrėžtas tokiu būdu. Todėl viskas šoniniai šonkauliai yra lygūs vienas kitam, tai yra, visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Įrodykime, kad jie vienas kitam lygūs. Kadangi pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, visų šoninių paviršių pagrindai yra lygūs vienas kitam. Vadinasi, visi šoniniai paviršiai yra lygūs pagal III trikampių lygybės kriterijų.

Teorema įrodyta.

Dabar pristatysime tokį apibrėžimą, susijusį su taisyklingosios piramidės sąvoka.

3 apibrėžimas

Taisyklingos piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis.

Akivaizdu, kad pagal Pirmąją teoremą visi apotemai yra lygūs vienas kitam.

2 teorema

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas nustatomas kaip pagrindo ir apotemos pusperimetro sandauga.

Įrodymas.

$n-$kampinės piramidės pagrindo kraštinę pažymėkime $a$, o apotemą - $d$. Todėl šoninio veido plotas lygus

Kadangi pagal 1 teoremą visos kraštinės yra lygios, tai

Teorema įrodyta.

Kitas piramidžių tipas yra nupjauta piramidė.

4 apibrėžimas

Jei per paprastą piramidę nubrėžta lygiagreti jos pagrindui plokštuma, tai tarp šios plokštumos ir pagrindo plokštumos susidariusi figūra vadinama nupjautąja piramide (5 pav.).

5 pav. Nupjauta piramidė

Nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos formos.

3 teorema

Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas nustatomas kaip pagrindų ir apotemos pusperimetrų sumos sandauga.

Įrodymas.

$n-$kampinės piramidės pagrindų kraštines pažymėkime atitinkamai $a\ ir\ b$, o apotemą - $d$. Todėl šoninio veido plotas lygus

Kadangi visos pusės yra lygios, tada

Teorema įrodyta.

Pavyzdinė užduotis

1 pavyzdys

Raskite nupjautos trikampės piramidės šoninio paviršiaus plotą, jei jis gaunamas iš taisyklingos piramidės, kurios pagrindo kraštinė yra 4 ir apotema 5, nupjaunant plokštumą, einanti per šoninių paviršių vidurio liniją.

Sprendimas.

Pagal teoremą apie vidurio linija nustatome, kad sutrumpintos piramidės viršutinė bazė lygi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, o apotemas lygus $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$.

Tada pagal 3 teoremą gauname

Mes puikiai žinome apie didžiąsias Egipto piramides; kiekvienas gali įsivaizduoti, kaip jos atrodo. Ši idėja padės mums suprasti tokios geometrinės figūros kaip piramidės ypatybes.

Piramidė yra daugiakampis, susidedantis iš plokščio daugiakampio – piramidės pagrindo, taško, esančio ne pagrindo plokštumoje – piramidės viršūnės ir visų atkarpų, jungiančių viršūnę su pagrindo taškais. Atkarpos, jungiančios piramidės viršūnę su pagrindo viršūnėmis, vadinamos šoninėmis briaunomis. Fig. 1 pavaizduota piramidė SABCD. Keturkampis ABCD – piramidės pagrindas, taškas S – piramidės viršūnė, atkarpos SA, SB, SC ir SD – piramidės briaunos.

Piramidės aukštis yra statmenas, nusileidęs nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos. Fig. 1 SO – piramidės aukštis.

Piramidė vadinama n-kampe, jei jos pagrindas yra n-kampis. 1 paveiksle pavaizduota keturkampė piramidė. Trikampė piramidė vadinama tetraedru.

Piramidė vadinama taisyklingąja, jei jos pagrindas yra taisyklingas daugiakampis ir jos aukščio pagrindas sutampa su šio daugiakampio centru. Taisyklingos piramidės šoninės briaunos yra lygios, todėl šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Įprastoje piramidėje šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas nuo piramidės viršaus, vadinamas apotema.

Piramidė turi daugybę savybių.

Visos piramidės įstrižainės priklauso jos paviršiams.

Jei visi šoniniai kraštai yra vienodi, tada:

šalia piramidės pagrindo galima apibūdinti apskritimą, kurio piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą;
šoninės briaunos sudaro vienodus kampus su pagrindo plokštuma ir, atvirkščiai, jei šoninės briaunos sudaro vienodus kampus su pagrindo plokštuma arba jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą, su pagrindo viršūne. piramidė projektuojama į jos centrą, tada visos piramidės šoninės briaunos yra lygios.

Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindinę plokštumą tuo pačiu kampu, tada:

piramidės pagrinde gali būti įrašytas apskritimas, o piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą;
šoninių paviršių aukščiai lygūs;
Šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei pagrindo perimetro ir šoninio paviršiaus aukščio sandaugos.

Panagrinėkime formules, kaip rasti piramidės tūrį ir paviršiaus plotą.

Piramidės tūrį galima apskaičiuoti pagal šią formulę:

kur S yra pagrindo plotas, o h yra aukštis.

Norėdami rasti bendrą piramidės paviršiaus plotą, turite naudoti formulę:

S p = S b + S o ,

kur S p yra bendras paviršiaus plotas, S b yra šoninis paviršiaus plotas, S o yra bazinis plotas.

Nupjautoji piramidė yra daugiakampis, uždarytas tarp piramidės pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios jos pagrindui. Lygiagrečiose plokštumose gulinčios nupjautinės piramidės paviršiai vadinami nupjautosios piramidės pagrindais, likusieji paviršiai – šoniniais. Nupjautos piramidės pagrindai yra panašūs daugiakampiai, o šoniniai paviršiai yra trapecijos. Nupjautoji piramidė, gaunama iš taisyklingos piramidės, vadinama taisyklingąja nupjautąja piramide. Taisyklingos nupjautinės trapecijos šoniniai paviršiai yra lygiašonės trapecijos, jų aukščiai vadinami apotemais.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Apibrėžimas. Šoninis kraštas- tai trikampis, kurio vienas kampas yra piramidės viršuje, o priešinga pusė sutampa su pagrindo (daugiakampio) kraštine.

Apibrėžimas. Šoniniai šonkauliai- tai yra bendros šoninių paviršių pusės. Piramidė turi tiek briaunų, kiek daugiakampio kampų.

Apibrėžimas. Piramidės aukštis- tai statmenas, nuleistas nuo piramidės viršaus iki pagrindo.

Apibrėžimas. Apotema- tai statmenas piramidės šoniniam paviršiui, nuleistas nuo piramidės viršaus į pagrindo šoną.

Apibrėžimas. Įstrižainė pjūvis- tai piramidės atkarpa plokštuma, einanti per piramidės viršūnę ir pagrindo įstrižainę.

Apibrėžimas. Teisinga piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o aukštis nusileidžia į pagrindo centrą.

Piramidės tūris ir paviršiaus plotas

Formulė. Piramidės tūris per pagrindo plotą ir aukštį:

Piramidės savybės

Jei visos šoninės briaunos lygios, tai aplink piramidės pagrindą galima nubrėžti apskritimą, o pagrindo centras sutampa su apskritimo centru. Taip pat iš viršaus nuleistas statmuo eina per pagrindo (apskritimo) centrą.

Jei visi šoniniai kraštai yra vienodi, tada jie yra pasvirę į pagrindo plokštumą tais pačiais kampais.

Šoninės briaunos yra lygios, kai sudaro vienodus kampus su pagrindo plokštuma arba jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.

Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu, tada į piramidės pagrindą galima įrašyti apskritimą, o piramidės viršūnė projektuojama į jo centrą.

Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu, tada šoninių paviršių apotemos yra lygios.

Taisyklingos piramidės savybės

1. Piramidės viršus yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo kampų.

2. Visos šoninės briaunos lygios.

3. Visi šoniniai šonkauliai yra pasvirę vienodais kampais į pagrindą.

4. Visų šoninių paviršių apotemos yra lygios.

5. Visų šoninių paviršių plotai lygūs.

6. Visi paviršiai turi vienodus dvikampius (plokščius) kampus.

7. Aplink piramidę galima apibūdinti sferą. Apribotos sferos centras bus statmenų, einančių per kraštinių vidurį, susikirtimo taškas.

8. Į piramidę galite sutalpinti rutulį. Įbrėžtos sferos centras bus iš kampo tarp briaunos ir pagrindo kylančių bisektorių susikirtimo taškas.

9. Jei įbrėžto rutulio centras sutampa su apriboto rutulio centru, tai plokštumos kampų suma viršūnėje yra lygi π arba atvirkščiai, vienas kampas lygus π/n, kur n yra skaičius kampų piramidės pagrinde.

Piramidės ir sferos ryšys

Aplink piramidę galima apibūdinti sferą, kai piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama sąlyga). Rutulio centras bus plokštumų, einančių statmenai per piramidės šoninių kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas.

Visada galima apibūdinti sferą aplink bet kurią trikampę ar taisyklingą piramidę.

Į piramidę galima įrašyti sferą, jei piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos susikerta viename taške (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas bus sferos centras.

Piramidės sujungimas su kūgiu

Sakoma, kad kūgis yra įrašytas į piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra įrašytas į piramidės pagrindą.

Į piramidę galima įrašyti kūgį, jei piramidės apotemai yra lygūs vienas kitam.

Sakoma, kad kūgis yra apibrėžiamas aplink piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra aplink piramidės pagrindą.

Aplink piramidę galima apibūdinti kūgį, jei visos piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai.

Piramidės ir cilindro ryšys

Piramidė vadinama įbrėžta į cilindrą, jei piramidės viršūnė yra ant vieno cilindro pagrindo, o piramidės pagrindas yra įbrėžtas kitame cilindro pagrinde.

Cilindras gali būti apibūdintas aplink piramidę, jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.

Apibrėžimas. Nupjauta piramidė (piramidinė prizmė) yra daugiakampis, esantis tarp piramidės pagrindo ir pjūvio plokštumos, lygiagrečios pagrindui. Taigi piramidė turi didesnį pagrindą ir mažesnį pagrindą, panašų į didesnį. Šoniniai paviršiai yra trapecijos formos.

Apibrėžimas. Trikampė piramidė (tetraedras) yra piramidė, kurios trys paviršiai ir pagrindas yra savavališki trikampiai.

Tetraedras turi keturis paviršius ir keturias viršūnes bei šešias briaunas, kur bet kurios dvi briaunos neturi bendrų viršūnių, bet nesiliečia.

Kiekviena viršūnė susideda iš trijų formuojančių paviršių ir briaunų trikampio kampo.

Atkarpa, jungianti tetraedro viršūnę su priešingo paviršiaus centru, vadinama tetraedro mediana(GM).

Bimedian vadinama atkarpa, jungiančia priešingų kraštinių, kurie nesiliečia, vidurio taškus (KL).

Visos tetraedro bimedianos ir medianos susikerta viename taške (S). Šiuo atveju bimedianos dalijamos per pusę, o medianos – santykiu 3:1, pradedant nuo viršaus.

Apibrėžimas. Pasvirusi piramidė yra piramidė, kurios viena iš kraštinių sudaro bukąjį kampą (β) su pagrindu.

Apibrėžimas. Stačiakampė piramidė yra piramidė, kurios vienas iš šoninių paviršių yra statmenas pagrindui.

Apibrėžimas. Smailaus kampo piramidė- piramidė, kurioje apotemas yra daugiau nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.

Apibrėžimas. Bukoji piramidė- piramidė, kurioje apotemas yra mažesnis nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.

Apibrėžimas. Taisyklingas tetraedras- tetraedras, kurio visi keturi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Tai vienas iš penkių taisyklingų daugiakampių. Įprastame tetraedre visi dvikampiai kampai (tarp paviršių) ir trikampiai kampai (viršūnėje) yra lygūs.

Apibrėžimas. Stačiakampis tetraedras vadinamas tetraedru, kurio viršūnėje tarp trijų kraštinių yra stačiakampis (kraštinės statmenos). Susidaro trys veidai stačiakampis trikampis kampas ir paviršiai yra stačiakampiai, o pagrindas yra savavališkas trikampis. Bet kurio veido apotemas yra lygus pusei pagrindo, ant kurio krenta apotema, kraštinės.

Apibrėžimas. Izoedrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kurio šoniniai paviršiai yra lygūs vienas kitam, o pagrindas yra taisyklingasis trikampis. Toks tetraedras turi lygiašonius trikampius.

Apibrėžimas. Ortocentrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kuriame visi aukščiai (statmenys), nuleisti iš viršaus į priešingą paviršių, susikerta viename taške.

Apibrėžimas. Žvaigždžių piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio pagrindas yra žvaigždė.

Apibrėžimas. Bipiramidė- daugiakampis, susidedantis iš dviejų skirtingų piramidžių (piramidės taip pat gali būti nupjautos), turinčios bendrą pagrindą, o viršūnės yra išilgai skirtingos pusės nuo pagrindo plokštumos.

Piramidė. Nupjauta piramidė

Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazė ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidės yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos. Visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas . Įstrižainė pjūvis vadinama piramidės pjūviu plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Bendras paviršiaus plotas vadinama visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

2. Jei visos piramidės šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įbrėžto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, teisinga formulė yra:

Kur V- tūris;

S bazė– bazinis plotas;

H– piramidės aukštis.

Įprastos piramidės atveju teisingos šios formulės:

Kur p– bazinis perimetras;

h a– apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S bazė– bazinis plotas;

V– taisyklingos piramidės tūris.

Nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui (17 pav.). Taisyklinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.

Priežastys nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai – trapecijos. Aukštis Nupjautos piramidės atstumas tarp jos pagrindų. Įstrižainė nupjauta piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. Įstrižainė pjūvis yra nupjautinės piramidės atkarpa plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, nepriklausančius tam pačiam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja šios formulės:

(4)

Kur S 1 , S 2 – viršutinio ir apatinio pagrindo plotai;

S pilnas– bendras paviršiaus plotas;

S pusė– šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V– nupjautinės piramidės tūris.

Taisyklingai sutrumpintai piramidei formulė yra teisinga:

Kur p 1 , p 2 – pagrindų perimetrai;

h a– taisyklingos nupjautinės piramidės apotema.

1 pavyzdys. Taisyklingoje trikampėje piramidėje dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra taisyklinga, o tai reiškia, kad prie pagrindo yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas yra kampas a tarp dviejų statmenų: ir kt. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apskritimo ir įbrėžto trikampio apskritimo centras ABC). Šoninio krašto pasvirimo kampas (pvz S.B.) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindo plokštumą. Dėl šonkaulio S.B.šis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP Ir O.B.. Tegul segmento ilgis BD lygus 3 A. Taškas APIE linijos segmentas BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys. Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės lygios cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norėdami rasti pagrindų plotą, turite rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės atitinkamai lygios 2 cm ir 8 cm Tai reiškia pagrindų plotus ir Pakeitę visus duomenis į formulę, apskaičiuojame nupjautinės piramidės tūrį:

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys. Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindą ir aukštį. Pagrindai pateikiami pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Iš kur ją surasime A 1 E statmenai nuo taško A 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D– statmenai nuo A 1 proc AC. A 1 E= 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Rasti DE Padarykime papildomą brėžinį, kuriame parodytas vaizdas iš viršaus (20 pav.). Taškas APIE– viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai– spindulys, įrašytas į apskritimą ir OM– spindulys, įrašytas į apskritimą:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys. Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai A Ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.

Pasinaudokime teiginiu, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas APIE– viršūnių projekcija S piramidės pagrindu. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį pagrindo plokštumą. Pagal ploto teoremą stačiakampė projekcija plokščia figūra mes gauname:

Lygiai taip pat tai reiškia Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubraižykime trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas APIE– į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.