Rəqəmsal arqumentin triqonometrik funksiyaları. Triqonometrik funksiyaların xassələri və qrafikləri






































Geri irəli

Diqqət! Slayd önizləmələri yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın bütün xüsusiyyətlərini əks etdirməyə bilər. Əgər bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Dərsin məqsədləri:

  1. Triqonometrik ifadələri sadələşdirmək üçün triqonometrik düsturlardan istifadə etmək bacarıq və bacarıqlarını inkişaf etdirmək.
  2. Şagirdlərin tədrisində fəaliyyət yanaşması prinsipinin həyata keçirilməsi, şagirdlərdə ünsiyyət bacarıqlarının və dözümlülüyün, başqalarını dinləmək və eşitmək, fikirlərini ifadə etmək bacarığının formalaşdırılması.
  3. Şagirdlərin riyaziyyata marağının artırılması.

Dərsin növü: təlim.

Dərs növü: bacarıq və bacarıqlara dair dərs.

Təhsil forması: qrup.

Qrupların növü: bir yerdə oturan qrup. Müxtəlif səviyyəli hazırlığın tələbələri, müəyyən bir fənni dərk etmələri, bir-birini tamamlamağa və zənginləşdirməyə imkan verən uyğun tələbələr.

Avadanlıq: lövhə; təbaşir; "Triqonometr" cədvəli; marşrut vərəqləri; testi tamamlamaq üçün hərfləri (A, B, C.) olan kartlar; ekipaj adları olan lövhələr; xal vərəqləri; səyahətin mərhələlərinin adları olan cədvəllər; maqnitlər, multimedia kompleksi.

Dərslər zamanı

Şagirdlər qruplarda otururlar: 5-6 nəfərlik 4 qrup. Hər bir qrup, sükan çarxının başçılıq etdiyi triqonometrik funksiyaların adlarına uyğun adları olan avtomobilin ekipajıdır. Hər bir heyətə marşrut vərəqi verilir və məqsəd müəyyən edilir: verilmiş marşrutu səhvsiz, uğurla başa çatdırmaq. Dərs təqdimatla müşayiət olunur.

I. Təşkilati məqam.

Müəllim dərsin mövzusunu, dərsin məqsədini, dərsin gedişini, qrupların iş planını, sükançıların rolunu bildirir.

Müəllimin təqdimatı:

– Uşaqlar! Dərsin nömrəsini və mövzusunu yazın: “Ədədi arqumentin triqonometrik funksiyaları”.

Bu gün sinifdə öyrənəcəyik:

  1. Triqonometrik funksiyaların qiymətlərini hesablayın;
  2. Triqonometrik ifadələri sadələşdirin.

Bunu etmək üçün bilməlisiniz:

  1. Triqonometrik funksiyaların tərifləri
  2. Triqonometrik əlaqələr (düsturlar).

Çoxdan məlumdur ki, bir baş yaxşıdır, amma iki baş daha yaxşıdır, ona görə də bu gün qruplarda işləyirsiniz. O da məlumdur ki, gedən yolda ustalaşar. Ancaq biz sürət əsrində yaşayırıq və vaxt qiymətlidir, bu o deməkdir ki, bunu deyə bilərik: "Yol sürənlər tərəfindən mənimsəniləcək", buna görə də bu gün dərsimiz "Riyazi Ralli" oyunu şəklində keçiriləcək. Hər bir qrup sükan çarxının başçılıq etdiyi nəqliyyat vasitəsi heyətidir.

Oyunun məqsədi:

  • hər bir ekipaj üçün marşrutu uğurla başa çatdırmaq;
  • ralli çempionlarını müəyyənləşdirin.

Heyətlərin adı idarə etdiyiniz avtomobilin markasına uyğun gəlir.

Ekipajlar və onların sükançıları təqdim olunur:

  • Ekipaj - "sine"
  • Ekipaj - "kosinus"
  • Ekipaj - "tangent"
  • Ekipaj - "kotangent"

Yarışın devizi: “Yavaş-yavaş tələsin!”

Siz çoxlu maneələri olan “riyazi ərazi”dən keçməlisiniz.

Hər bir heyətə marşrut vərəqələri verildi. Tərifləri və triqonometrik düsturları bilən ekipajlar maneələri dəf edə biləcəklər.

Qaçış zamanı hər bir sükançı ekipajı istiqamətləndirir, kömək edir və hər bir ekipaj üzvünün hesab vərəqəsində “müsbət” və “eksik”lər şəklində marşrutu qət etmək üçün töhfəsini qiymətləndirir. Hər düzgün cavab üçün qrup “+” və səhv cavab “-” alır.

Səyahətinizin aşağıdakı mərhələlərini keçməlisiniz:

Mərhələ I. SDA (yol hərəkəti qaydaları).
Mərhələ II. Texniki baxış.
III mərhələ. Kros yarışı.
Mərhələ IV. Qəfil dayanma qəzadır.
Mərhələ V. Dayan.
Mərhələ VI. Bitir.
VII mərhələ. Nəticələr.

Və beləliklə, gedirik!

Mərhələ I. SDA (yol hərəkəti qaydaları).

1) Hər bir ekipajda sükançılar nəzəri suallar olan biletləri hər bir ekipaj üzvünə paylayırlar:

  1. t sinusunun tərifini və onun işarələrini rüblərə görə izah edin.
  2. t ədədinin kosinusunun tərifini və onun işarələrini rüblər üzrə izah edin.
  3. sin t və cos t-nin ən kiçik və ən böyük dəyərlərini qeyd edin.
  4. t ədədinin tangensinin tərifini və onun işarələrini rüblər üzrə izah edin.
  5. t ədədinin kotangentinin tərifini və onun işarələrini rüblər üzrə izah edin.
  6. Bizə məlum olan t ədədindən sin t funksiyasının qiymətini necə tapacağımızı deyin.

2) “Səpələnmiş” düsturları toplayın. Gizli lövhədə bir masa var (aşağıya bax). Heyətlər düsturları uyğunlaşdırmalıdırlar. Hər bir komanda cavabı lövhədə müvafiq hərflərdən ibarət bir xətt şəklində (cüt-cüt) yazır.

A tg 2 t + 1 e 1
V tg t və cos t / sin t, t ≠ k, kZ.
d sin 2 t + cos 2 t Və 1/ sin 2 t, t ≠ k, kZ.
e ctg t Kimə 1,t ≠ k / 2, kZ.
h 1 + ctg 2 t G sin t /cos t, t ≠ /2 + k, kZ.
ci tg t ∙ctg t b 1/ cos 2 t, t ≠ /2 + k, kZ.

Cavab: ab, vg, de, kirpi, zi, yk.

Mərhələ II. Texniki baxış.

Şifahi iş: test.

Gizli lövhədə yazılır: tapşırıq: ifadəni sadələşdirin.

Cavab variantları onların yanında yazılıb. Heyətlər 1 dəqiqə ərzində düzgün cavabları müəyyənləşdirirlər. və müvafiq hərflər dəstini götürün.

№ İfadə Cavab variantları
A IN İLƏ
1. 1 – cos 2 t cos 2 t - günah 2 t günah 2 t
2. günah 2 t – 1 cos 2 t - cos 2 t 2 cos 2 t
3. (cos t – 1)(1+ cos t) -günah 2 t (1+ cos t) 2 (cos t – 1) 2

Cavab: CV A.

III mərhələ. Kros yarışı.

Heyətlərin tapşırığı həll etmək üçün iclas üçün 3 dəqiqə vaxtı var və sonra ekipaj nümayəndələri qərarı lövhədə yazır. Ekipaj nümayəndələri birinci tapşırığın həllini yazmağı bitirdikdə, bütün tələbələr (müəllimlə birlikdə) həllərin düzgünlüyünü və rasionallığını yoxlayır və onları dəftərə qeyd edirlər. Sükançılar qiymətləndirmə vərəqlərindəki “+” və “-” işarələrindən istifadə edərək hər bir ekipaj üzvünün töhfəsini qiymətləndirirlər.

Dərslikdən tapşırıqlar:

  • Ekipaj – “sine”: No 118 q;
  • Ekipaj – “kosinus”: No 122 a;
  • Ekipaj – “tangens”: No 123 q;
  • Ekipaj – “kotangent”: No 125

Mərhələ IV. Qəfil dayanma qəzadır.

– Maşınınız xarab olub. Avtomobilinizin təmirə ehtiyacı var.

Hər bir heyət üçün bəyanatlar verilir, lakin onlarda səhvlər var. Bu səhvləri tapın və niyə edildiyini izah edin. Bəyanatlar avtomobilinizin markasına uyğun gələn triqonometrik funksiyalardan istifadə edir.

Mərhələ V. Dayan.

Yorğunsunuz və istirahət etməlisiniz. Ekipaj istirahət edərkən sükançılar ilkin nəticələri yekunlaşdırırlar: ekipaj üzvlərinin və bütövlükdə ekipajın "müsbət və mənfi cəhətlərini" hesablayırlar.

Tələbələr üçün:

3 və ya daha çox “+” – bal “5”;
2 “+” – reytinq “4”;
1 “+” – reytinq “3”.

Heyətlər üçün:“+” və “-” bir-birini ləğv edir. Yalnız qalan simvollar sayılır.

Çılğınlığı təxmin et.

İlk hecamı götürdüyün rəqəmlərdən,
İkincisi “qürurlu” sözündəndir.
Üçüncü atları sürəcəksən,
Dördüncüsü qoyunun məməsi olacaq.
Mənim beşinci hecam birinci heca ilə eynidir
Əlifbanın sonuncu hərfi altıncıdır,
Və hər şeyi düzgün təxmin etsəniz,
Sonra riyaziyyatda belə bir bölmə alacaqsınız.
(Triqonometriya)

"Triqonometriya" sözü (yunanca "trigonon" - üçbucaq və "metreo" - ölçü sözlərindəndir) "üçbucaqların ölçülməsi" deməkdir. Triqonometriyanın yaranması coğrafiya və astronomiyanın - göy cisimlərinin hərəkəti, Kainatın quruluşu və inkişafı elminin inkişafı ilə bağlıdır.

Aparılan astronomik müşahidələr nəticəsində işıqlandırıcıların mövqeyinin müəyyən edilməsi, məsafələrin və bucaqların hesablanması zərurəti yaranmışdır. Bəzi məsafələri, məsələn, Yerdən digər planetlərə qədər birbaşa ölçmək mümkün olmadığından, elm adamları yer üzündə iki təpəsinin yerləşdiyi üçbucağın tərəfləri və bucaqları arasındakı əlaqəni tapmaq üçün üsullar hazırlamağa başladılar. planet və ya ulduzdur. Bu cür əlaqələri müxtəlif üçbucaqları və onların xassələrini öyrənməklə əldə etmək olar. Buna görə də astronomik hesablamalar üçbucağın həllinə (yəni elementlərin tapılmasına) gətirib çıxardı. Bunu triqonometriya edir.

Triqonometriyanın başlanğıcı qədim Babildə kəşf edilmişdir. Babil alimləri Günəş və Ay tutulmalarını proqnozlaşdıra biliblər. Triqonometrik xarakterli bəzi məlumatlara digər qədim xalqların qədim abidələrində rast gəlinir.

Mərhələ VI. Bitir.

Finiş xəttini uğurla keçmək üçün sadəcə özünüzü gərginləşdirmək və “sprint” etmək lazımdır. 0 ≤ t ≤ olduğu sin t, maya dəyəri, tgt, ctg t dəyərlərini tez təyin etmək triqonometriyada çox vacibdir. Dərslikləri bağlayın.

Ekipajlar alternativ olaraq funksiyaların qiymətlərini sin t, cost, tgt, ctg t adlandırırlar, əgər:

VII mərhələ. Nəticələr.

Oyunun nəticələri.

Sükançılar qiymətləndirmə vərəqlərini təhvil verirlər. “Riyazi Ralli”nin çempionu olmuş ekipaj müəyyən edilir və qalan qrupların işi səciyyələndirilir. Sonra “5” və “4” qiymət alanların adlarıdır.

Dərsin xülasəsi.

- Uşaqlar! Bu gün sinifdə nə öyrəndiniz? (triqonometrik ifadələri sadələşdirin; triqonometrik funksiyaların qiymətlərini tapın). Bunun üçün nə bilmək lazımdır?

  • təriflər və xassələr sin t, cos t, tg t, ctg t;
  • müxtəlif triqonometrik funksiyaların qiymətlərini birləşdirən əlaqələr;
  • say dairəsinin dörddəbirlərində triqonometrik funksiyaların əlamətləri.
  • say dairəsinin birinci rübünün triqonometrik funksiyalarının qiymətləri.

– Düşünürəm ki, düzgün tətbiq etmək üçün düsturları yaxşı bilmək lazım olduğunu başa düşürsən. Siz həmçinin başa düşdünüz ki, triqonometriya riyaziyyatın çox vacib hissəsidir, çünki o, başqa elmlərdə: astronomiya, coğrafiya, fizika və s.

Ev tapşırığı:

  • “5” və “4” alan tələbələr üçün: §6, No 128a, 130a, 134a.
  • digər tələbələr üçün: §6, No 119g, No 120g, No 121g.

Rəqəmsal arqumentin triqonometrik funksiyaları.

Rəqəmsal arqumentin triqonometrik funksiyalarıt formanın funksiyalarıdır y= cos t,
y= sin t, y= tg t, y= ctg t.

Bu düsturlardan istifadə edərək, bir triqonometrik funksiyanın məlum dəyəri vasitəsilə digər triqonometrik funksiyaların naməlum qiymətlərini tapa bilərsiniz.

İzahatlar.

1) cos 2 t + sin 2 t = 1 düsturunu götürün və ondan yeni düstur çıxarmaq üçün istifadə edin.

Bunun üçün formulun hər iki tərəfini cos 2 t (t ≠ 0 üçün, yəni t ≠ π/2 + π üçün) bölün. k). Belə ki:

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Birinci hədd 1-ə bərabərdir. Biz bilirik ki, sinusun koniyə nisbəti tangensdir, yəni ikinci həd tg 2 t-ə bərabərdir. Nəticədə yeni (və artıq sizə məlum olan) düstur alırıq:

2) İndi cos 2 t + sin 2 t = 1-i sin 2 t-ə bölün (t ≠ π üçün) k):

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, burada t ≠ π k + π k, k- tam
günah 2 t günah 2 t günah 2 t

Kosinusun sinusa nisbəti kotangentdir. Vasitələri:


Riyaziyyatın əsas prinsiplərini bilmək və triqonometriyanın əsas düsturlarını öyrənərək, digər triqonometrik eyniliklərin əksəriyyətini özünüz asanlıqla əldə edə bilərsiniz. Və bu, onları sadəcə əzbərləməkdən daha yaxşıdır: əzbərdən öyrənilənlər tez unudulur, amma başa düşülənlər əbədi olmasa da, uzun müddət yadda qalır. Məsələn, birin cəminin və tangensin kvadratının nəyə bərabər olduğunu yadda saxlamaq lazım deyil. Əgər unutmusunuzsa, ən sadə şeyi bilirsinizsə, asanlıqla xatırlaya bilərsiniz: tangens sinusun kosinusa nisbətidir. Bundan əlavə, müxtəlif məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsinin sadə qaydasını tətbiq edin və nəticə əldə edin:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Eyni şəkildə, bir və kotangensin kvadratının cəmini, eləcə də bir çox başqa eynilikləri asanlıqla tapa bilərsiniz.

Bucaq arqumentinin triqonometrik funksiyaları.

Funksiyalardasaat = cost, saat = günaht, saat = tgt, saat = ctgt dəyişənt sadəcə ədədi arqumentdən çox ola bilər. Onu həm də bucağın ölçüsü hesab etmək olar - yəni bucaq arqumenti.

Say dairəsi və koordinat sistemindən istifadə edərək istənilən bucağın sinusunu, kosinusunu, tangensini və kotangensini asanlıqla tapa bilərsiniz. Bunun üçün iki vacib şərt yerinə yetirilməlidir:
1) bucağın təpəsi dairənin mərkəzi olmalıdır, bu da koordinat oxunun mərkəzidir;

2) bucağın tərəflərindən biri müsbət ox şüası olmalıdır x.

Bu zaman çevrə ilə bucağın ikinci tərəfinin kəsişdiyi nöqtənin ordinatı bu bucağın sinusu, bu nöqtənin absisi isə bu bucağın kosinusudur.

İzah. Bir tərəfi oxun müsbət şüası olan bir bucaq çəkək x, və ikinci tərəf koordinat oxunun başlanğıcından (və dairənin mərkəzindən) 30º açı ilə çıxır (şəklə bax). Onda ikinci tərəfin dairə ilə kəsişmə nöqtəsi π/6-ya uyğun gəlir. Bu nöqtənin ordinatını və absisini bilirik. Onlar həm də bucaqımızın kosinusu və sinüsüdür:

√3 1
--; --
2 2

Və bucağın sinusunu və kosinusunu bilməklə onun tangensini və kotangensini asanlıqla tapa bilərsiniz.

Beləliklə, koordinat sistemində yerləşən ədəd çevrəsi bucağın sinusunu, kosinusunu, tangensini və ya kotangensini tapmaq üçün əlverişli üsuldur.

Ancaq daha asan bir yol var. Bir dairə və bir koordinat sistemi çəkmək lazım deyil. Sadə və rahat düsturlardan istifadə edə bilərsiniz:

Misal: 60º-ə bərabər olan bucağın sinusunu və kosinusunu tapın.

Həll :

π 60 π √3
günah 60º = günah --- = günah -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

İzahat: 60º bucağın sinusunun və kosinusunun π/3 çevrəsindəki nöqtənin qiymətlərinə uyğun olduğunu öyrəndik. Sonra, sadəcə cədvəldə bu nöqtənin dəyərlərini tapırıq - və beləliklə, nümunəmizi həll edirik. Say dairəsinin əsas nöqtələrinin sinus və kosinus cədvəli əvvəlki bölmədə və “Cədvəllər” səhifəsindədir.

Hansı həqiqi t ədədi götürülsə də, o, sin t unikal müəyyən edilmiş ədədlə əlaqələndirilə bilər. Düzdür, uyğunluq qaydası yuxarıda gördüyümüz kimi olduqca mürəkkəbdir, o, aşağıdakı kimidir;

t ədədindən istifadə edərək sin t dəyərini tapmaq üçün sizə lazımdır:

1) ədəd çevrəsini koordinat müstəvisində elə yerləşdirin ki, dairənin mərkəzi koordinatların başlanğıcı ilə üst-üstə düşsün və dairənin başlanğıc nöqtəsi (1; 0) nöqtəsinə düşsün;

2) çevrə üzərində t ədədinə uyğun nöqtəni tapın;

3) bu nöqtənin ordinatını tapın.

Bu ordinat sin t.

Əslində, söhbət u = sin t funksiyasından gedir, burada t istənilən həqiqi ədəddir.

Bütün bu funksiyalar adlanır ədədi arqumentin triqonometrik funksiyaları t.

Müxtəlif triqonometrik funksiyaların dəyərlərini birləşdirən bir sıra əlaqələr var ki, biz bu əlaqələrin bəzilərini artıq əldə etmişik:

sin 2 t+cos 2 t = 1

Son iki düsturdan tg t və ctg t-ni birləşdirən əlaqəni əldə etmək asandır:

Bu düsturların hamısı triqonometrik funksiyanın dəyərini bilməklə digər triqonometrik funksiyaların qiymətlərini hesablamaq lazım olduğu hallarda istifadə olunur.

"Sinus", "kosinus", "tangens" və "kotangens" terminləri əslində tanış idi, lakin yenə də bir qədər fərqli şərhdə istifadə olunurdu: həndəsə və fizikada sinus, kosinus, tangens və kotangens hesab olunurdu. başında(lakin yox

əvvəlki bəndlərdə olduğu kimi nömrələr).

Həndəsədən məlumdur ki, iti bucağın sinusu (kosinusu) düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarının onun hipotenuzuna nisbəti, bucağın tangensi (kotangensi) isə düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarının nisbətidir. Əvvəlki paraqraflarda sinus, kosinus, tangens və kotangens anlayışlarına fərqli yanaşma işlənmişdir. Əslində bu yanaşmalar bir-biri ilə bağlıdır.

Dərəcə ölçüsü b o olan bir bucaq götürək və onu Şəkildə göstərildiyi kimi “düzbucaqlı koordinat sistemində ədədi dairə” modelinə yerləşdirək. 14

bucağın zirvəsi mərkəzə uyğun gəlir

dairələr (koordinat sisteminin mənşəyi ilə),

və bucağın bir tərəfi ilə uyğun gəlir

x oxunun müsbət şüası. Nöqtə

ilə bucağın ikinci tərəfinin kəsişməsi

dairə ilə M hərfini işarələyin. Ordina-

Şəkil 14 b o və bu nöqtənin absisi b o bucağının kosinusudur.

B o bucağının sinusunu və ya kosinusunu tapmaq üçün hər dəfə bu çox mürəkkəb konstruksiyaları etmək qətiyyən lazım deyil.

Qeyd etmək kifayətdir ki, AM qövsü 360° küncdən b o bucağı ilə say dairəsinin uzunluğunun eyni hissəsini təşkil edir. AM qövsünün uzunluğu t hərfi ilə işarələnərsə, alırıq:

Beləliklə,

Misal üçün,

Hesab olunur ki, 30° bir bucağın dərəcə ölçüsüdür və eyni bucağın radian ölçüsüdür: 30° = rad. Bütün:

Xüsusilə, mən şadam ki, öz növbəsində bunu haradan əldə edirik.

Beləliklə, 1 radian nədir? Seqmentlərin uzunluğunun müxtəlif ölçüləri var: santimetr, metr, həyət və s. Bucaqların böyüklüyünü göstərmək üçün müxtəlif ölçülər də var. Vahid dairənin mərkəzi bucaqlarını nəzərə alırıq. 1°-lik bucaq çevrənin bir hissəsi olan qövsün yaratdığı mərkəzi bucaqdır. 1 radian bir bucaq, uzunluğu 1 olan bir qövsün əhatə etdiyi mərkəzi bucaqdır, yəni. uzunluğu çevrənin radiusuna bərabər olan qövsdə. Düsturdan tapırıq ki, 1 rad = 57.3°.

u = sin t (və ya hər hansı digər triqonometrik funksiya) funksiyasını nəzərdən keçirərkən, əvvəlki bəndlərdə olduğu kimi, t müstəqil dəyişənini ədədi arqument hesab edə bilərik, lakin biz bu dəyişəni də bir ölçü hesab edə bilərik. bucaq, yəni. künc arqumenti. Buna görə də triqonometrik funksiyadan danışarkən müəyyən mənada onu ədədi və ya bucaq arqumentinin funksiyası hesab etməyin heç bir fərqi yoxdur.

Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Ədədi arqumentin triqonometrik funksiyası, tərifi, eynilikləri"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, öz şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın. Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.

10-cu sinif üçün Integral onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
Parametrlərlə cəbri məsələlər, 9-11-ci siniflər
Proqram mühiti "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Nə öyrənəcəyik:
1. Rəqəmsal arqumentin tərifi.
2. Əsas düsturlar.
3. Triqonometrik eyniliklər.
4. Müstəqil həll üçün nümunələr və tapşırıqlar.

Rəqəmsal arqumentin triqonometrik funksiyasının tərifi

Uşaqlar, biz sinus, kosinus, tangens və kotangensin nə olduğunu bilirik.
Gəlin görək bəzi triqonometrik funksiyaların qiymətlərindən istifadə edərək digər triqonometrik funksiyaların qiymətlərini tapmaq mümkündürmü?
Ədədi elementin triqonometrik funksiyasını belə təyin edək: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.

Əsas düsturları xatırlayaq:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Yeri gəlmişkən, bu formulun adı nədir?

$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, $t≠\frac(π)(2)+πk$ ilə.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, $t≠πk$ üçün.

Gəlin yeni düsturlar əldə edək.

Triqonometrik eyniliklər

Biz əsas triqonometrik eyniliyi bilirik: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Uşaqlar, gəlin şəxsiyyətin hər iki tərəfini $cos^2(t)$-a bölək.
Alırıq: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (t))$.
Gəlin çevirək: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
Biz eyniliyi alırıq: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, $t≠\frac(π)(2)+πk$ ilə.

İndi eyniliyin hər iki tərəfini $sin^2(t)$-a bölək.
Alırıq: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t))$.
Gəlin çevirək: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Yadda saxlamağa dəyər yeni bir şəxsiyyət alırıq:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, $t≠πk$ üçün.

Biz iki yeni formul əldə edə bildik. Onları xatırla.
Bu düsturlar triqonometrik funksiyanın bəzi məlum qiymətindən başqa bir funksiyanın qiymətini hesablamaq lazım olduqda istifadə olunur.

Rəqəmsal arqumentin triqonometrik funksiyalarına dair misalların həlli

Misal 1.

$cos(t) =\frac(5)(7)$, tap $sin(t)$; $tg(t)$; bütün t üçün $ctg(t)$.

Həll:

$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Sonra $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.

Misal 2.

$tg(t) = \frac(5)(12)$, $sin(t)$ tapın; $cos(t)$; $ctg(t)$, bütün $0 üçün

Həll:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Sonra $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Biz $cos^2(t)=\frac(144)(169)$ alırıq.
Sonra $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, lakin $0 Birinci rübdə kosinus müsbətdir. Sonra $cos(t)=\frac(12)(13)$.
Alırıq: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.

Müstəqil həll ediləcək problemlər

1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, $sin(t)$ tapın; $cos(t)$; $ctg(t)$, hamısı üçün $\frac(π)(2) 2. $сtg(t) =\frac(3)(4)$, $sin(t)$ tapın; $cos(t)$; $tg(t)$, hamı üçün $π 3. $sin(t) = \frac(5)(7)$, $cos(t)$ tapın; $tg(t)$; bütün $t$ üçün $ctg(t)$.
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, $sin(t)$ tapın; $tg(t)$; bütün $t$ üçün $ctg(t)$.

Oxşar məqalələr