Tema:Linijinė funkcija

Pamoka:Tiesinė lygtis dviejuose kintamuosiuose ir jos grafikas

Susipažinome su koordinačių ašies ir koordinačių plokštumos sąvokomis. Žinome, kad kiekvienas plokštumos taškas vienareikšmiškai apibrėžia skaičių porą (x; y), pirmasis skaičius yra taško abscisė, o antrasis – ordinatė.

Labai dažnai susidursime su tiesine lygtimi dviejuose kintamuosiuose, kurios sprendimas yra skaičių pora, kurią galima pavaizduoti koordinačių plokštumoje.

Formos lygtis:

Kur a, b, c yra skaičiai ir

Ji vadinama tiesine lygtimi su dviem kintamaisiais x ir y. Tokios lygties sprendimas bus bet kuri tokia skaičių pora x ir y, kurią pakeitę į lygtį gausime teisingą skaitinę lygybę.

Skaičių pora koordinačių plokštumoje bus pavaizduota kaip taškas.

Tokioms lygtims matysime daug sprendinių, tai yra daug skaičių porų, o visi atitinkami taškai bus toje pačioje tiesėje.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Norėdami rasti šios lygties sprendimus, turite pasirinkti atitinkamas skaičių x ir y poras:

Leiskite , tada pradinė lygtis virsta lygtimi su vienu nežinomu:

Tai yra pirmoji skaičių pora, kuri yra duotosios lygties (0; 3) sprendimas. Gavome tašką A(0; 3)

Leisti . Gauname pradinę lygtį su vienu kintamuoju: , iš čia gauname tašką B(3; 0)

Sudėkime skaičių poras į lentelę:

Nubraižykime taškus grafike ir nubrėžkime tiesią liniją:

Atkreipkite dėmesį, kad bet kuris tam tikros linijos taškas bus duotosios lygties sprendimas. Patikrinkime – paimkime tašką su koordinate ir grafike suraskime jo antrąją koordinatę. Akivaizdu, kad šiuo metu. Pakeiskime šią skaičių porą į lygtį. Gauname 0=0 – teisingą skaitinę lygybę, o tai reiškia, kad taškas, esantis tiesėje, yra sprendimas.

Kol kas negalime įrodyti, kad bet kuris taškas, esantis sukonstruotoje tiesėje, yra lygties sprendimas, todėl priimame tai kaip teisingą ir įrodysime vėliau.

2 pavyzdys – nubraižykite lygtį:

Padarykime lentelę; mums tereikia dviejų taškų, kad būtų sukurta tiesė, bet valdymui paimsime trečią:

Pirmajame stulpelyje paėmėme patogų, jį rasime iš:

, ,

Antrame stulpelyje paėmėme patogų, suraskime x:

, , ,

Patikrinkime ir surasime:

, ,

Sukurkime grafiką:

Pateiktą lygtį padauginkime iš dviejų:

Nuo tokios transformacijos sprendinių aibė nepasikeis, o grafikas išliks toks pat.

Išvada: išmokome spręsti lygtis su dviem kintamaisiais ir sudaryti jų grafikus, sužinojome, kad tokios lygties grafikas yra tiesi linija ir bet kuris šios tiesės taškas yra lygties sprendimas

1. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt.. Algebra 7. 6-asis leidimas. M.: Nušvitimas. 2010 m

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ir kt.. Algebra 7.M.: Apšvietos. 2006 m

2. Portalas šeimos apžiūrai ().

1 užduotis: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr.960, 210 str.;

2 užduotis: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr.961, 210 str.;

3 užduotis: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr.962, 210 str.;

Dažnai susiduriame su ax + b = 0 formos lygtimis, kur a, b yra skaičiai, x yra kintamasis. Pavyzdžiui, bx - 8 = 0, x + 4 = O, - 7x - 11 = 0 ir tt Skaičiai a, b (lygties koeficientai) gali būti bet kokie, išskyrus atvejį, kai a = 0.

Lygtis ax + b = 0, kur a, vadinama tiesine lygtimi su vienu kintamuoju x (arba tiesine lygtimi su vienu nežinomu x). Mes galime tai išspręsti, tai yra, išreikšti x per a ir b:

Anksčiau pastebėjome, kad gana dažnai matematinis modelis tikroji situacija yra tiesinė lygtis su vienu kintamuoju arba lygtis, kuri po transformacijų redukuojasi į tiesinę. Dabar pažvelkime į šią realią situaciją.

Iš miestų A ir B, kurių atstumas yra 500 km, vienas kito link pajudėjo du traukiniai, kiekvienas savo pastoviu greičiu. Žinoma, kad pirmasis traukinys išvyko 2 val prieš antrąjį. Praėjus 3 valandoms po antrojo traukinio išvykimo, jie susitiko. Kokie traukinio greičiai?

Sukurkime matematinį problemos modelį. Tegul x km/h yra pirmojo traukinio greitis, y km/h – antrojo traukinio greitis. Pirmasis buvo kelyje 5 valandas ir todėl įveikė bx km atstumą. Antras traukinys buvo pakeliui 3 valandas, t.y. nuėjo 3 km atstumą.

Jų susitikimas įvyko taške C. 31 paveiksle parodytas geometrinis situacijos modelis. Algebrine kalba tai galima apibūdinti taip:

5x + Zu = 500

arba
5x + Zu – 500 = 0.

Šis matematinis modelis vadinamas tiesine lygtimi su dviem kintamaisiais x, y.
Iš viso,

ax + by + c = 0,

kur a, b, c yra skaičiai ir , yra tiesinis lygtis su dviem kintamaisiais x ir y (arba su dviem nežinomaisiais x ir y).

Grįžkime prie lygties 5x + 3 = 500. Pastebime, kad jei x = 40, y = 100, tai 5 40 + 3 100 = 500 yra teisinga lygybė. Tai reiškia, kad atsakymas į problemos klausimą gali būti toks: pirmojo traukinio greitis – 40 km/h, antrojo – 100 km/h. Skaičių pora x = 40, y = 100 vadinama lygties 5x + 3 = 500 sprendiniu. Taip pat sakoma, kad ši reikšmių pora (x; y) tenkina lygtį 5x + 3 = 500.

Deja, šis sprendimas nėra vienintelis (visi mėgstame tikrumą ir vienareikšmiškumą). Tiesą sakant, galimas ir toks variantas: x = 64, y = 60; iš tiesų, 5 64 + 3 60 = 500 yra teisinga lygybė. Ir tai: x = 70, y = 50 (nes 5 70 + 3 50 = 500 yra tikroji lygybė).

Bet, tarkime, skaičių pora x = 80, y = 60 nėra lygties sprendimas, nes su šiomis reikšmėmis tikroji lygybė neveikia:

Apskritai lygties ax + by + c = 0 sprendinys yra bet kokia skaičių pora (x; y), kuri tenkina šią lygtį, ty lygybę su kintamaisiais ax + by + c = 0 paverčia tikra skaitine. lygybė. Tokių sprendimų yra be galo daug.

komentuoti. Dar kartą grįžkime prie lygties 5x + 3 = 500, gautos aukščiau aptartame uždavinyje. Tarp begalinio skaičiaus jo sprendinių yra, pavyzdžiui, šie: x = 100, y = 0 (iš tikrųjų 5 100 + 3 0 = 500 yra teisinga skaitinė lygybė); x = 118, y = - 30 (nes 5 118 + 3 (-30) = 500 yra teisinga skaitinė lygybė). Tačiau būti lygties sprendiniai, šios poros negali pasitarnauti kaip šios problemos sprendimai, nes traukinio greitis negali būti lygus nuliui (tuomet jis nejuda, o stovi vietoje); Be to, traukinio greitis negali būti neigiamas (tada jis važiuoja ne link kito traukinio, kaip nurodyta problemos teiginyje, o priešinga kryptimi).

1 pavyzdys. Nubrėžkite tiesinės lygties su dviem kintamaisiais x + y - 3 = 0 sprendinius xOy koordinačių plokštumos taškais.

Sprendimas. Pasirinkime kelis duotosios lygties sprendinius, tai yra kelias skaičių poras, kurios tenkina lygtį: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5) .

A. V. Pogorelovas, Geometrija 7-11 klasei, Vadovėlis ugdymo įstaigoms

Pamokos turinys pamokų užrašai remiančios kadrinės pamokos pristatymo pagreitinimo metodus interaktyvios technologijos Praktika užduotys ir pratimai savikontrolės seminarai, mokymai, atvejai, užduotys namų darbai diskusija klausimai retoriniai mokinių klausimai Iliustracijos garso, vaizdo klipai ir multimedija nuotraukos, paveikslėliai, grafika, lentelės, diagramos, humoras, anekdotai, anekdotai, komiksai, palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Priedai tezės straipsniai gudrybės smalsiems lopšiai vadovėliai pagrindinis ir papildomas terminų žodynas kita Vadovėlių ir pamokų tobulinimasklaidų taisymas vadovėlyje vadovėlio fragmento atnaujinimas, naujovių elementai pamokoje, pasenusių žinių keitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos kalendorinis planas metams Gairės diskusijų programos Integruotos pamokos

Nubrėžkite skaičių liniją. Kadangi nelygybei su vienu kintamuoju pavaizduoti pakanka vienos ašies, nereikia braižyti stačiakampės koordinačių sistemos. Vietoj to tiesiog nubrėžkite tiesią liniją.

Nubrėžkite nelygybę. Tai gana paprasta, nes yra tik viena koordinatė. Tarkime, kad turime pavaizduoti nelygybę x<1. Для начала следует найти на оси число 1.

Jei nelygybę suteikia ženklas > arba< (“больше” или “меньше”), обведите заданное число пустым кружком.
Jei nelygybę suteikia ženklas ≥ (\displaystyle \geq )(„didesnis nei arba lygus“) arba ≤ (\displaystyle \leq )("mažiau nei arba lygus"), užpildykite apskritimą aplink tašką.

Nubrėžkite liniją. Nubrėžkite liniją nuo taško, kurį ką tik pažymėjote skaičių eilutėje. Jei kintamasis yra didesnis už šį skaičių, perkelkite eilutę į dešinę. Jei kintamasis yra mažesnis, nubrėžkite liniją į kairę. Padėkite rodyklę eilutės pabaigoje, kad parodytumėte, jog tai nėra paskutinė atkarpa ir tęsiasi toliau.

Patikrinkite atsakymą. Pakeiskite kintamąjį x bet kurį skaičių ir pažymėkite jo vietą skaičių eilutėje. Jei šis skaičius yra ant jūsų nubrėžtos linijos, grafikas yra teisingas.

Tiesinės nelygybės grafikas

Naudokite tiesios linijos formulę. Panaši formulė buvo naudojama aukščiau įprastai tiesines lygtis, tačiau in tokiu atveju Vietoj ženklo „=“ turėtumėte įdėti nelygybės ženklą. Tai gali būti vienas iš šių požymių:<, >, ≤ (\displaystyle \leq ) arba ≥ (\displaystyle \geq ).

Tiesios linijos lygtis yra y=mx+b, Kur m atitinka nuolydį, ir b- sankirta su ašimi y.
Nelygybės ženklas reiškia, kad ši išraiška turi kelis sprendimus.

Nubrėžkite nelygybę. Raskite tiesės susikirtimo su ašimi tašką y ir jo nuolydį, tada pažymėkite atitinkamas koordinates. Kaip pavyzdį apsvarstykite nelygybę y>1/2x+1. Šiuo atveju tiesi linija susikirs su ašimi y adresu x=1, o jo nuolydis bus ½, tai yra, judėdami į dešinę 2 vienetais, pakilsime 1 vienetu aukštyn.

Nubrėžkite liniją. Prieš tai darydami, pažiūrėkite į nelygybės ženklą. Jei tai< или >, turėtumėte nubrėžti punktyrinę liniją. Jei nelygybėje yra ženklas ≤ (\displaystyle \leq ) arba ≥ (\displaystyle \geq ), linija turi būti vientisa.

Nuspalvinkite grafiką. Kadangi nelygybė turi daug sprendinių, grafike turi būti parodyti visi galimi sprendimai. Tai reiškia, kad užtemdykite plotą virš arba žemiau linijos.

Kvadratinės lygties grafikas

Pažiūrėkite į formulę. Kvadratinėje lygtyje bent vienas kintamasis yra padalytas kvadratu. Paprastai kvadratinė lygtis rašoma taip: y=ax 2 +bx+c.

Kai nubraižote kvadratinę lygtį, gausite parabolę, tai yra lotyniškos raidės „U“ formos kreivę.
Norėdami sukurti parabolę, turite žinoti bent trijų taškų koordinates, įskaitant parabolės viršūnę (jos centrinį tašką).

Apibrėžkite a, b Ir c. Pavyzdžiui, lygtyje. y=x 2 +2x+1 a=1, b=2 ir c=1. Kiekvienas parametras yra skaičius, einantis prieš kintamąjį iki atitinkamos galios. Pavyzdžiui, jei anksčiau x nekainuoja jokio skaičiaus, vadinasi b=1, nes atitinkamas terminas gali būti parašytas 1 forma x.

Raskite parabolės viršūnę. Norėdami rasti parabolės vidurio tašką, naudokite išraišką -b/2a. Mūsų pavyzdyje gauname -2/2(1), tai yra -1.

Padarykite stalą. Taigi mes žinome, kad koordinatė x viršūnės yra lygios -1. Tačiau tai tik viena koordinatė. Norėdami rasti atitinkamą koordinatę y, kaip ir kitus du parabolės taškus, reikia sudaryti lentelę.

Sukurkite lentelę iš trijų eilučių ir dviejų stulpelių.
- Užsirašykite koordinates x kairiojo stulpelio centrinėje langelyje esančios parabolės viršūnės.
- Pasirinkite dar dvi koordinates x tuo pačiu atstumu į kairę ir į dešinę (neigiamai ir teigiama pusė kartu horizontalioji ašis). Pavyzdžiui, nuo viršūnės galite perkelti 2 vienetus į kairę ir dešinę, tai yra, atitinkamuose langeliuose įrašyti -3 ir 1.
- Galite pasirinkti bet kokius sveikuosius skaičius, kurie yra vienodu atstumu nuo viršūnės.
- Jei norite sukurti tikslesnį grafiką, galite naudoti penkis taškus, o ne tris. Tokiu atveju turėtumėte daryti tą patį, tik lentelė bus sudaryta ne iš trijų, o iš penkių eilučių.
Norėdami rasti nežinomas koordinates, naudokite lygtį ir lentelę y. Iš lentelės paimkite po vieną x koordinatę, pakeiskite ją į pateiktą lygtį ir raskite atitinkamą y koordinatę.
- Mūsų atveju mes pakeičiame į lygtį y=x 2 +2x Vietoj to +1 x-3. Dėl to randame y= -3 2 +2(-3)+1, tai yra y=4.
- Užrašome rastą koordinatę y langelyje šalia atitinkamos koordinatės x.
- Tokiu būdu suraskite visas tris (arba penkias, jei naudojate daugiau taškų) koordinates y.
Nubraižykite taškus grafike. Taigi, dabar turite bent tris taškus su žinomomis koordinatėmis, kuriuos galima pažymėti grafike. Sujunkite juos parabolės formos kreive. Pasiruošę!

Kvadratinės nelygybės grafikas

Nubraižykite parabolės grafiką. Kvadratinė nelygybė naudoja formulę, panašią į kvadratinę lygtį, tačiau vietoj „=“ ženklo yra nelygybės ženklas. Pavyzdžiui, kvadratinė nelygybė gali atrodyti taip: yx 2 +b x+c. Atlikite veiksmus iš ankstesnio metodo „Kvadratinės lygties vaizdavimas“ ir raskite tris parabolės taškus.

"Tiesinė lygtis dviejuose kintamuosiuose ir jos grafikas".

Pamokos tikslai:

ugdyti mokiniuose gebėjimą sudaryti tiesinės lygties grafikus su dviem kintamaisiais, spręsti uždavinius naudojant du kintamuosius kuriant matematinį modelį;

ugdyti mokinių pažintinius įgūdžius, kritinį ir kūrybinį mąstymą; ugdyti pažintinį susidomėjimą matematika, atkaklumą ir ryžtą mokytis.

Užduotys:

supažindinti su tiesinės lygties, kaip realios situacijos matematinio modelio, samprata;

išmokyti nustatyti tiesinę lygtį ir jos koeficientus pagal tipą;

išmokyti naudojant nurodytą reikšmę x rasti atitinkamą reikšmę y ir atvirkščiai;

supažindinti su tiesinės lygties grafiko sudarymo algoritmu ir išmokyti jį taikyti praktikoje;

išmokyti sudaryti tiesinę lygtį kaip matematinį problemos modelį.

Be IKT technologijų, pamokoje naudojamas probleminis mokymasis, lavinamojo mokymosi elementai, grupinės sąveikos technologija.

Pamokos tipas: įgūdžių ir gebėjimų ugdymo pamoka.

aš. Organizacinis etapas. 1 skaidrė.

Mokinių pasirengimo pamokai tikrinimas, pamokos temos, tikslų ir uždavinių perdavimas.

II. Darbas žodžiu.

1. 2 skaidrė. Iš siūlomų lygčių pasirinkite tiesinę lygtį su dviem kintamaisiais:

A) 3x – y = 14

B) 5y + x² = 16

B) 7xy – 5y = 12

D) 5x + 2y = 16

Atsakymas: a, d.

Papildomas klausimas: kuri lygtis su dviem kintamaisiais vadinama tiesine? 3 skaidrė.

Atsakymas: ah + wu + c = 0.

4 skaidrė. Tiesinės lygties sampratos kūrimas naudojant pavyzdžius (darbas žodžiu).

5-6 skaidrės. Įvardykite tiesinės lygties koeficientus.

2. 7 skaidrė. Pasirinkite tašką, priklausantį lygties 2x + 5y = 12 grafikui

A (-1; -2), B (2; 1), C (4; -4), D (11; -2).

Atsakymas: D (11; -2).

Papildomas klausimas: koks yra dviejų kintamųjų lygties grafikas? 8 skaidrė.

Atsakymas: tiesioginis.

3. 9 skaidrė. Raskite lygties 12x – 9y = 30 grafikui priklausančio taško M(x; -2) abscises.

Atsakymas: x = 1.

Papildomas klausimas: kas vadinama lygties išsprendimu iš dviejų kintamųjų? 10 skaidrė.

Atsakymas: Lygties su dviem kintamaisiais sprendimas yra kintamųjų reikšmių pora, paverčianti lygtį tikrąja lygybe.

4.11 skaidrė.

1. Kuriame paveiksle tiesinės funkcijos grafikas turi teigiamą nuolydį?
2. Kuriame paveiksle tiesinės funkcijos grafikas turi neigiamą nuolydį?
3. Kurio funkcijų grafiko netyrėme?

5. 12 skaidrė. Pavadinkite geometrinį modelį atitinkantį skaitinį intervalą:

A). (-6; 8) B). (-6; 8] V).[- 6; 8) G).[-6;8]

-6 8

III. Pamokos tikslo nustatymas.

Šiandien pamokoje įtvirtinsime gebėjimą sudaryti tiesinės lygties grafikus su dviem kintamaisiais, spręsti uždavinius naudojant du kintamuosius rengiant matematinį modelį (būtinybė sudaryti tiesinę lygtį norint išspręsti problemą su dviem nežinomaisiais).

Atlikdami užduotis stenkitės būti atkaklūs ir kryptingi.

IV. Konsolidavimas. 13 skaidrė.

Užduotis. Iš miestų A ir B, kurių atstumas yra 500 km, vienas kito link pajudėjo du traukiniai, kiekvienas savo pastoviu greičiu. Yra žinoma, kad pirmasis traukinys išvyko 2 valandomis anksčiau nei antrasis. Praėjus 3 valandoms po antrojo traukinio išvykimo, jie susitiko. Kokie traukinio greičiai?Sukurkite matematinį problemos modelį ir raskite du sprendimus.

14 skaidrė. (Matematinio uždavinio modelio sudarymas). Matematinio modelio sudarymo demonstravimas .

Koks yra tiesinės lygties iš dviejų kintamųjų sprendimas?

Mokytojas užduoda klausimą: kiek sprendinių turi tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais? Atsakymas: be galo daug.

Mokytojas: kaip rasti tiesinės lygties su dviem kintamaisiais sprendimus? Atsakymas: rinkis.

Mokytojas: koks yra lengviausias būdas rasti lygties sprendimus?

Atsakymas: pasirinkite vieną kintamąjį, pavyzdžiui, x, ir raskite kitą iš lygties - y.

15 skaidrė.

- Patikrinkite, ar šios reikšmių poros išsprendžia lygtį.

Užduotis.

16 skaidrė.

Du traktorininkai kartu suarė 678 hektarus. Pirmasis traktorininkas dirbo 8 dienas, antrasis – 11 dienų. Kiek hektarų per dieną suardavo kiekvienas traktorininkas? Parašykite tiesinę lygtį su dviem kintamaisiais uždaviniui ir raskite 2 sprendimus.

17-18 skaidrė.

Kas vadinama dviejų kintamųjų lygties grafiku? Apsvarstykite skirtingus atvejus.

Slidinėjimas 19. Linijinės funkcijos braižymo algoritmas.

20 skaidrė. (žodinis) Apsvarstykite tiesinės lygties su dviem kintamaisiais braižymo pavyzdį.

V. Darbas pagal vadovėlį.

21 skaidrė. Nubraižykite lygtį:

269 puslapis

I variantas Nr. 1206 (b)

II variantas Nr. 1206 (c)

VI. Savarankiškas darbas. 22 skaidrė.

1 variantas.

1. Kurios iš skaičių porų (1;1), (6;5), (9;11) yra lygties 5x – 4y - 1 =0 sprendinys?

2. Nubraižykite funkciją 2x + y = 4.

2 variantas.

Kuri iš skaičių porų (1;1), (1;2), (3;7) yra lygties 7x – 3y - 1 =0 sprendinys?

Nubraižykite funkciją 5x + y – 4 = 0.

(Po to patikrinkite, patikrinkite 23–25 skaidrę)

VII. Konsolidavimas. 26 skaidrė.

Sukurkite teisingai.(Užduotis visiems klasės mokiniams). Sukurkite atitinkamą gėlę naudodami eilutes:

Yra žinoma apie 120 šių gėlių rūšių, daugiausia paplitusių Vidurio, Rytų ir Pietų Azijoje bei Pietų Europoje.

Botanikai mano, kad ši kultūra atsirado Turkijoje XII amžiuje.Pasaulinę šlovę augalas pelnė toli nuo savo tėvynės Olandijoje, teisingai vadinamoje šių gėlių šalimi.

Šių spalvų motyvai dažnai aptinkami ant įvairių meniškai sukurtų gaminių (ir papuošalų).

Štai legenda apie šią gėlę.

Laimė slypėjo auksiniame geltonos gėlės pumpuryje. Niekas negalėjo pasiekti šios laimės, nes nebuvo tokios jėgos, kuri galėtų atverti pumpurą.

Tačiau vieną dieną per pievą ėjo moteris su vaiku. Berniukas pabėgo iš mamos rankų, skambiai juokdamasis pribėgo prie gėlės ir atsivėrė auksinis pumpuras. Nerūpestingas vaikų juokas padarė tai, ko negalėjo padaryti jokia jėga. Nuo tada susiformavo paprotys šias gėles dovanoti tik tiems, kurie jaučia laimę.

Reikia sudaryti funkcijų grafikus ir pasirinkti tą jo dalį, kurios taškams galioja atitinkama nelygybė:

y = x + 6,

4 < X < 6;

y = -x + 6,

6 < X < -4;

y = – 1/3 x + 10,

6 < X < -3;

y = 1/3 x +10,

3 < X < 6;

y = -x + 14,

0 < X < 3;

y = x + 14,