§ 58. Projekcinių plokštumų keitimo būdas

Šio metodo esmė ta, kad viena iš plokštumų pakeičiama nauja plokštuma, esančia bet kokiu kampu į ją, bet statmena nepakeistai projekcijos plokštumai. Nauja plokštuma turi būti parinkta taip, kad jos atžvilgiu geometrinė figūra užimtų tokią padėtį, kuri užtikrintų geriausiai sprendžiamos problemos sąlygų reikalavimus atitinkančių projekcijų gavimą. Norint išspręsti kai kurias problemas, pakanka pakeisti vieną plokštumą, tačiau jei šis sprendimas nenumato reikiamos geometrinės figūros vietos, galite pakeisti dvi plokštumas.

Šio metodo panaudojimas pasižymi tuo, kad duotų elementų erdvinė padėtis išlieka nepakitusi, tačiau keičiasi projekcinių plokštumų sistema, ant kurios konstruojami nauji geometrinių vaizdų vaizdai. Papildomos projekcinės plokštumos įvedamos taip, kad mus dominantys elementai ant jų būtų pavaizduoti konkrečioje užduotyje patogiose pozicijose.

Panagrinėkime keturių pirminių uždavinių sprendimą, pakeičiant projekcines plokštumas.

1. Transformuokite tiesės brėžinį bendroje padėtyje taip, kad naujos projekcijos plokštumos atžvilgiu tiesė bendroje padėtyje užimtų lygio linijos padėtį.

Nauja tiesės projekcija, atitinkanti atliekamą užduotį, gali būti sudaryta ant naujos projekcijos plokštumos P 4, pastatant ją lygiagrečiai pačiai tiesei ir statmenai vienai iš pagrindinių projekcijos plokštumų, t. y. iš plokštumų sistemos. P 1 _|_P 2 eikite į sistemą P 4 _|_ P 1 arba P 4 _|_ P 2 . Brėžinyje naujoji projekcijų ašis turi būti lygiagreti vienai iš pagrindinių tiesės projekcijų. Fig. 108 sudarytas tiesės l vaizdas (A, B) bendroji padėtis plokštumų sistemoje P 1 _|_ P 4 ir P 4 || l. Naujos ryšio linijos A 1 A 4 ir B 1 B 4 atliko

statmena naujajai ašiai -P 1 /P 4 lygiagrečiai horizontaliai projekcijai l 1.

Nauja linijos projekcija suteikia tikrąją vertę A 4 B 4 segmentas AB(žr. § 11) ir leidžia nustatyti tiesės pokrypį į horizontalią projekcijų plokštumą (a = L 1 P 1 ). Tiesios linijos pasvirimo kampas priekinės projekcijų plokštumos atžvilgiu (b = L 1 P 2) galima nustatyti sukonstruojant tiesės vaizdą kitoje papildomoje plokštumoje P4_|_P 2 (109 pav.).

2. Transformuokite tiesųjį brėžinį taip, kad jis užimtų projektavimo padėtį naujos projekcijos plokštumos atžvilgiu.

Kad tiesės vaizdas būtų taškas naujoje projekcijos plokštumoje (žr. § 10), nauja projekcijos plokštuma turi būti statmena šiai lygiai tiesei. Horizontalios linijos projekcija bus taškas plokštumoje P 4 _|_ P 1. (110 pav.), o priekyje f- ant P 4 _|_ P 2

Jei reikia sudaryti tiesės projekciją bendroje padėtyje, išsigimusią iki taško, tada, norint transformuoti brėžinį, reikės du kartus iš eilės pakeisti projekcijos plokštumas. Fig. 111 originalus brėžinys tiesiai l (A, B) transformuojama taip: pirma, tiesės vaizdas konstruojamas plokštumoje P 4 _|_ P 2, lygiagrečioje pačiai tiesei l. Plokštumos sistemoje P 2 _|_ P 4 , tiesi linija užėmė linijos padėtį l lygiu (A 2 A 4 _|_P 2 /P 1;

P 2 / P 4|| l 2). Tada iš sistemos P 2 _|_ P 4 buvo atliktas perėjimas į sistemą

P 4 _|_P 5, o antroji nauja projekcijos plokštuma P 5 yra statmena tiesei l. Nuo taškų A Ir IN tiesės yra vienodu atstumu nuo plokštumos P 4, tada plokštumoje P 5 gauname tiesės vaizdą taško pavidalu (A 5 = B 5 = l 5).

3. Bendrosios padėties plokštumos brėžinį paverskite taip, kad jis naujos plokštumos atžvilgiu užimtų išsikišimo padėtį.

Norint išspręsti šią problemą, nauja projekcijos plokštuma turi būti statmena šiai bendrajai plokštumai ir statmena vienai iš pagrindinių projekcijos plokštumų. Tai galima padaryti, jei atsižvelgsime į tai, kad stačiakampės projekcijos į naują projekcijos plokštumą kryptis turi sutapti su atitinkamos bendrosios padėties plokštumos lygių linijų kryptimi. Tada visos šio lygio linijos naujoje projekcijos plokštumoje bus pavaizduotos taškais, kurie duos „išsigimusią“ tiesioginę plokštumos projekciją (žr. § 47).

Fig. 112 pateiktas naujas 0 plokštumos vaizdas (ABC) plokštumų sistemoje P 4 _|_P 1 . Šiuo tikslu 0 plokštumoje buvo nubrėžta horizontali linija h(A, 1), o nauja projekcijos plokštuma P 4 yra statmena horizontaliai h. Grafinis trečiosios pradinės problemos sprendimas leidžia sukurti plokštumos vaizdą tiesios linijos pavidalu, kurios pasvirimo kampas yra į naują projekcijos ašį P 1 /P 4, nustato plokštumos pasvirimo kampą Q(ABC) į horizontaliosios projekcijos plokštuma (a = Q ^ P 1).

Sukūrę bendrosios padėties plokštumos vaizdą sistemoje P 2 _|_P 4, (P 4 turi būti statmena plokštumos priekyje),

galima nustatyti šios plokštumos pasvirimo kampą P priekinės projekcijų plokštumos atžvilgiu.

4. Pakeiskite projektavimo plokštumos brėžinį taip, kad naujos plokštumos atžvilgiu ji užimtų lygiosios plokštumos padėtį.

Šios problemos sprendimas leidžia nustatyti plokščių figūrų dydį.

Nauja projekcijos plokštuma turi būti lygiagreti nurodytai plokštumai. Jei pradinė plokštumos padėtis buvo projektuojanti priekyje, tai sistemoje P 2 _|_P 4 statomas naujas vaizdas, o jei projektuojamas horizontaliai, tada sistemoje P 1 _|_P 4 . Naujoji projekcijų ašis bus lygiagreti išsikišusios plokštumos degeneruotai projekcijai (žr. § 47). Fig. Pastatyta 113 nauja projekcija A 4 B 4 C 4 horizontaliai projektuojanti plokštuma Suma (ABC) lėktuve P 4 _|_P 1

Jei pradinėje padėtyje plokštuma užima bendrą padėtį ir reikia gauti jos kaip lygios plokštumos vaizdą, tada jie imasi dvigubo projekcinių plokštumų pakeitimo, 3 uždavinį išspręsdami nuosekliai; o tada užduotis 4. Pirmą kartą pakeitus plokštuma tampa projektuojančia, o antrąja – lygia plokštuma (114 pav.).

Lėktuve A (DEF) nubrėžta horizontali linija h(D– 1). Pirmoji ašis P 1 / P 4 _|_ nubrėžta horizontalės atžvilgiu h 1. Antroji nauja ašis

projekcijos yra lygiagrečios išsigimusiai plokštumos projekcijai, o naujos ryšio linijos yra statmenos išsigimusiai plokštumos projekcijai. P 5 plokštumos taškų projekcijų konstravimo atstumai turi būti matuojami plokštumoje P 1 nuo ašies P 1 / P 2 ir atleisti pagal naujas komunikacijos linijas iš naujos ašies P 4 / P 5. Projekcija D 5 E 5 F 5 trikampis DEF sutampa su pačiu trikampiu ABC.

SU Naudodami plokštumų keitimo metodą, galite išspręsti daugybę kitų problemų, tiek savarankiškų, tiek atskirų problemų dalių, įskaitant didelę grafinių sprendimų apimtį.

Brėžinio transformavimo metodų paskirtis – išdėstyti bendrą geometrinę figūrą tam tikroje padėtyje projekcijų plokštumų atžvilgiu, kad būtų panaudotos jos projekcijų savybės. Pavyzdžiui, bendrosios padėties plokštumą pavertus lygia plokštuma, pagal atitinkamą projekciją bus galima nustatyti natūralų jos dydį.

Sudėtingo brėžinio transformavimo metodai skirstomi į dvi grupes pagal požymį, kuris lemia figūros ir projekcijos plokštumų padėtį viena kitos atžvilgiu arba projekcijos kryptį:

1. Pakeiskite projekcijos plokštumų padėtį arba projekcijos kryptį taip, kad erdvėje nejudanti figūra būtų tam tikroje padėtyje. Į šią grupę įeina:

projekcinių plokštumų keitimo būdas;

papildomas projekcijos metodas.

2. Pakeiskite geometrinės figūros padėtį erdvėje taip, kad ji būtų tam tikroje padėtyje fiksuotos projekcinių plokštumų sistemos atžvilgiu. Į šią grupę įeina:

plokštumos lygiagretaus judėjimo metodas;

sukimosi metodas.

Užduotys, išspręstos naudojant sudėtingo brėžinio konvertavimo metodus, yra šios pagrindinės užduotys, kurias reikia konvertuoti:

tiesus (plokštumas, cilindrinis arba prizminis paviršius) į išsikišusią figūrą;

tiesia linija (plokščia linija arba plokštuma) į lygią figūrą.

Panagrinėkime nuosekliai visus transformacijos metodus, išskyrus papildomą projekcijos metodą, su kuriuo rekomenduojame susipažinti vadovėlyje.

Projekcinių plokštumų pakeitimo būdas

Metodo esmė – originalią viena kitai statmenų projekcinių plokštumų sistemą pakeisti nauja viena kitai statmenų projekcinių plokštumų sistema, išlaikant tą pačią geometrinės figūros padėtį erdvėje.

Norint išspręsti konkrečią problemą, viena ar dvi nuoseklios transformacijos atliekamos naudojant pakeitimo metodą, pavyzdžiui, Π 1 Π 2 →Π 1 Π 4 arba Π 1 Π 2 →Π 1 Π 4 → Π 5 Π 4 . Antruoju atveju transformacija vadinama transformacijų kompozicija. Kiekviename šio metodo etape pakeičiama tik viena projekcijos plokštuma, o kita išlieka bendra abiem sistemoms.

Panagrinėkime projekcinių plokštumų keitimo metodo mechanizmą ir ypatybes, pasitelkę taško kompleksinio brėžinio transformavimo pavyzdį (28 pav.).

Pavyzdžiui, pakeičiant priekinę projekcijos plokštumą Π 2 nauja vertikali plokštuma Π 4 horizontali plokštuma Π 1 šiuo atveju yra bendra dviem projekcinių plokštumų sistemoms, dėl kurių projekcija A 1 taškų Ašioje plokštumoje taip pat būdinga šioms sistemoms. Tuo pačiu metu atstumo reikšmė išlieka nepakitusi ( AA 1 ) nuo tam tikro taško iki šios projekcijos plokštumos ir dėl to jos projekcijų lygybė plokštumoje Π 2 Ir Π 4 , t.y. AA 1 =A 2 A 12 =A 4 A 14 , kuri leidžia sukurti naują sudėtingo brėžinio projekciją A 4 duotas taškas (žr. 28 pav.).

Kitas projekcinių plokštumų keitimo metodo bruožas yra tai, kad sudėtingas brėžinys sudaromas sujungiant projekcijų plokštumas su plokštuma, kuri yra bendra abiem sistemoms. Tame, kuris nagrinėjamas Fig. 28 pavyzdyje tokia plokštuma yra horizontaliosios projekcijos plokštuma.

Kaip pavyzdį apsvarstykite bendros padėties linijos pavertimo projektavimo linija problemą. Norint pasiekti galutinį rezultatą, reikia pakeisti dvi projekcijų plokštumas, naudojant transformacijų kompoziciją, t.y. dvi transformacijas iš eilės (29 pav.).

Vienos projekcijos plokštumos pakeitimas, pvz. Π 2 įjungta Π 4 leidžia paversti tiesią bendrosios padėties liniją tik į lygią, nes neįmanoma iš karto nustatyti naujos vertikalios projekcijų plokštumos Π 4 statmenai nurodytai tiesei. Toliau paeiliui pakeičiant antrąją projekcijos plokštumą Π 1 įjungta Π 5 ir pastatydami jį statmenai tiesei AB, gauname galutinį rezultatą (žr. 29 pav.).

VAIZDO KONVERSIJA. KETURI PAGRINDINĖS APRAŠYMO GEOMETRIJOS UŽDUOTYS

6 paskaita

Metrikos ir kai kurių padėties problemų sprendimui supaprastinti gali būti naudojami metodai, leidžiantys pereiti nuo bendrųjų pozicijų skaičių nurodančių prie konkrečių. Šie metodai yra pagrįsti dviem principais:

1) projekcinių plokštumų sistemos pakeitimas nauja plokštumų sistema, kurioje fiksuotas geometrinis objektas užima tam tikrą vietą ( projekcinių plokštumų pakeitimo būdas);

2) geometrinio objekto perkėlimas erdvėje taip, kad jis užimtų tam tikrą vietą fiksuotoje projekcinių plokštumų sistemoje ( sukimosi metodas).

Atsižvelgiant į ašies vietą erdvėje, aplink kurią sukasi geometrinis objektas, išskiriami šie sukimosi būdų tipai:

1) sukimasis aplink lygio liniją;

2) sukimasis aplink išsikišimo liniją;

3) plokštuma-lygiagretus judėjimas.

Šie konvertavimo metodai apima keturi pagrindiniai aprašomosios geometrijos uždaviniai:

1. Sudėtinio brėžinio transformavimas taip, kad bendra tiesė taptų lygia linija.

2. Sudėtinio brėžinio transformavimas taip, kad lygio linija taptų projektuojančia tiese.

3. Kompleksinio brėžinio transformavimas taip, kad bendrosios padėties plokštuma taptų projektuojančia lygiagrečia plokštuma.

4. Kompleksinio brėžinio transformavimas taip, kad projekcijos plokštuma taptų lygia plokštuma.

Šio metodo esmė ta, kad projektuojamas objektas nekeičia savo padėties erdvėje, o pakeičiama projekcijų plokštumų sistema. Galima pakeisti vieną, du ar daugiau lėktuvų. Keitimas atliekamas tol, kol geometrinis objektas užima tam tikrą padėtį naujos projekcijos plokštumos atžvilgiu. Šiuo atveju nauja plokštuma turi būti statmena likusiai "senajai" projekcijos plokštumai.

Paimkime tašką A, esančią stačiakampėje projekcinių plokštumų sistemoje, ir pasukite aplink ją horizontalią projekcijos plokštumą P 1 į padėtį, taip gaudami naują stačiakampę projekcinių plokštumų sistemą. Tokiu atveju turi būti įvykdyta ši sąlyga:

Atstumas nuo taško iki „senosios“ projekcijos plokštumos naujojoje projekcinių plokštumų sistemoje turėtų likti nepakitęs.

1 pagrindinė užduotis. Transformuodami bendrosios padėties tiesę į lygią tiesią, galime nustatyti:

natūralus segmento ilgis;

Tiesės polinkio į projekcijos plokštumas kampai.

2 pagrindinė užduotis. Lygiąją tiesią pavertę į išsikišusiančią tiesią, galite rasti:

Atstumas tarp taško ir linijos;

Atstumas tarp lygiagrečių arba susikertančių linijų ir kt.

3 pagrindinė užduotis. Transformuodami bendrosios padėties plokštumą į projektavimo plokštumą, galime nustatyti:

Atstumas nuo taško iki plokštumos arba atstumas tarp lygiagrečių plokštumų;

Plokštumos pasvirimo kampai projekcinių plokštumų atžvilgiu.

4 pagrindinė užduotis. Projekcinę plokštumą pavertus lygiagrečia plokštuma galima rasti:

Natūralaus dydžio plokščia figūra;

Kampas tarp susikertančių linijų;

Apriboto arba įbrėžto apskritimo centras;

Sukurkite kampo pusiausvyrą ir pan.

Dažnai grafinis uždavinių sprendimas gerokai supaprastėja, jei nurodytos projekcijų plokštumos pakeičiamos naujomis taip, kad dėl pakeitimo geometriniai objektai užims tam tikrą padėtį.

Projekcinių plokštumų keitimo būdo esmė ta, kad pateiktos plokštumos paeiliui pakeičiamos naujomis, o geometrinių objektų padėtis erdvėje išlieka nepakitusi. Kiekviena nauja projekcijos plokštuma yra išdėstyta statmena nekeičiamai projekcijos plokštumai.

Svarbu pažymėti, kad abiejų pateiktų projekcijų plokštumų negalima pakeisti vienu metu. Kai reikia pakeisti dvi projekcines plokštumas, pirmiausia reikia pakeisti vieną, o paskui kitą, t.y. padaryti dvi transformacijas.

Pristatant naują priekinis projekcinės plokštumos, visų geometrinių objektų Z koordinatės išlieka nepakitusios tiek pradinėje projekcinių plokštumų sistemoje, tiek naujojoje; pristatant naują horizontaliai projekcijų plokštumų, Y koordinatės lieka nepakitusios tiek pradinėje, tiek naujoje projekcinių plokštumų sistemoje.

Šios nuostatos aiškiai parodytos fig. 37, kuriame parodytos transformacijos, kurios turi būti atliekamos įvedant (pakeičiant) naują projekcijos plokštumą P 4.

SUKIMO BŪDAI IR PLOKŠTUMAI LYGIALEGIAI

PERDAVIMAS

Esmė sukimosi metodas susideda iš to, kad, kol pagrindinių projekcijos plokštumų padėtis išlieka nepakitusi, duotų geometrinių vaizdų padėtis jų atžvilgiu keičiasi sukant objektus aplink tam tikrą ašį, kol objektai užima tam tikrą vietą pradinėje plokštumų sistemoje.

Sukimosi ašimis patogiau imti projektuojančias tiesias arba lygias tieses, o geometrinių objektų taškai sukasi plokštumose, lygiagrečiose arba statmenose nurodytoms projekcijų plokštumoms. Sukant bet kurį geometrinį vaizdą, kiekvienas taškas turi savo sukimosi spindulį, o sukimosi kampas visiems taškams yra vienodas. Naudojant sukimosi metodą, įprasta sudėtiniame brėžinyje parodyti sukimosi ašies padėtį.

Sukant aplink horizontaliai išsikišančią tiesę i, taško A horizontalioji projekcija A 1 juda išilgai apskritimo, o priekinė (A 2) – išilgai tiesės, kuri yra plokštumos, kurioje taškas yra apskritimo projekcija. A sukasi (38 pav.).

Atkreipkite dėmesį, kad taškų projekcijos priekinėje projekcijos plokštumoje yra tiesiose linijose, statmenose pradinėms ryšio linijoms. Naudodami tai negalite nurodyti sukimosi ašies vaizdo ir nenustatyti jos spindulio vertės, kuri yra plokštumos lygiagretaus judėjimo metodas kaip specialus sukimosi metodo atvejis. Panagrinėkime plokštumos lygiagretaus perkėlimo metodą naudodami trikampio ABC natūralaus dydžio nustatymo uždavinio sprendimo pavyzdį (39 pav.).

Sprendimas. Duotas trikampis turi būti išdėstytas taip, kad trikampio horizontaliosios plokštumos horizontalioji projekcija būtų statmena ašiai X. Kadangi horizontali trikampio plokštuma po tokios transformacijos taps į priekį projektuojančia linija, o visos plokštumos horizontalės yra lygiagrečios, trikampio ABC plokštuma taps priekinė. Kitos transformacijos esmė – trikampio plokštumą padaryti lygiagrečią horizontaliai projekcijų plokštumai. Norėdami tai padaryti, tiesė A 2 = B 2 = turi būti lygiagreti ašiai X. Tada trikampis A 1 = B 1 = C 1 = parodys tikrąjį trikampio ABC dydį.

KETURIOS PRADINĖS BRĖŽINIO KONVERSIJOS UŽDUOTYS

Didžioji dauguma metrinių problemų yra susijusios su linijomis ir plokštumomis. Jei iš anksto žinote, kokias konstrukcijas reikia padaryti, kad tiesė (ar plokštuma) bendroje padėtyje užimtų koeficientą, daugelio metrinių uždavinių sprendimas labai palengvinamas.

Yra dvi konkrečios tiesės ir plokštumos padėtys (lygio tiesi linija (plokštuma) ir išsikišanti). Tai reiškia, kad yra keturios pradinės brėžinio transformacijos problemos, dėl kurių: bendroji padėties linija tampa lygia linija; bendroji padėties linija tampa projektuojanti; bendroji plokštuma virsta projektuojančia plokštuma; bendroji plokštuma tampa lygia plokštuma.

Tokiems uždaviniams spręsti naudosime projekcinių plokštumų keitimo metodą, nors kiekvieną iš jų galima išspręsti tiek sukimosi, tiek plokštumos lygiagretaus vertimo metodu.

1 užduotis. Paverskite bendrosios padėties tiesę (AB) į lygią tiesią (40 pav.). Norėdami išspręsti problemą, pristatome naują priekinės projekcijos plokštumą P 4, esančią lygiagrečiai horizontaliai projekcijai A 1 B 1 tiesia linija (AB). Nes įvedant naują frontaliosios projekcijos plokštumą taškų A ir B Z koordinatės nesikeičia, tolimesnės konstrukcijos aiškios iš

brėžinys, o projekcija A 4 B 4 parodo tikrąjį atkarpos dydį [AB]. Taigi nagrinėjamos sudėtingo brėžinio transformavimo problemos sprendimas yra dar vienas būdas rasti linijos atkarpos natūralią vertę bendroje padėtyje.

2 užduotis. Bendroji padėties linija turi būti transformuota į išsikišusios linijos padėtį (41 pav.).

Sprendimas. Problema išspręsta dviem transformacijomis, nes reikia atlikti du projekcinių plokštumų keitimus: pirma, bendroji padėties linija perkeliama į lygio linijos padėtį, o antra, gauta lygio linija perkeliama į projektavimo liniją. . Pirmoji transformacija yra aukščiau aptartos problemos sprendimas. Nes antroje transformacijoje įvesta projekcijos plokštuma (P 5) yra nauja horizontali projekcinė plokštuma, taškas A 5 yra ant projekcijos jungties linijos A 4 A 5 atstumu, lygiu taško A Y koordinatei projekcinių plokštumų sistemoje P 1 - P 4.

Įvaldę aukščiau pateiktos problemos sprendimo algoritmą, galite lengvai rasti atstumus tarp lygiagrečių ir susikertančių tiesių, nuo taško iki plokštumos, taip pat natūralią dvikampio kampo vertę (atitinkančią dviejų plokštumų susikirtimo liniją). išsikišančios tiesės forma).

3 užduotis. Trikampiu ABC apibrėžtą bendrosios padėties plokštumą paverskite projektuojančia plokštuma (42 pav.).

Sprendimas. Bet kokiu būdu apibrėžta plokštuma gali būti pavaizduota kaip lygių atitinkamų tiesių linijų rinkinys – arba jo horizontalės, arba frontai. Todėl transformacijos turi būti atliekamos taip, kad plokštumos lygio tiesios linijos būtų projektuojamos į taškus. Tada plokštuma bus suprojektuota į taškų, esančių toje pačioje tiesėje, rinkinį. Vadinasi, jei tam tikroje bendrosios padėties plokštumoje nubrėžiame bet kokio lygio tieses, tai pastatę naują projekcinę plokštumą statmenai horizontaliai arba priekinei plokštumos priekinei projekcijai, galime gauti atitinkamą projekcinę plokštumą. (42 pav.).

Šis metodas leidžia rasti atstumus nuo taško iki tiesės, tarp plokštumos ir jai lygiagrečios tiesės bei tarp lygiagrečių plokštumų.

4 užduotis. Trikampiu ABC apibrėžta bendrosios padėties plokštuma perkeliama į lygiosios plokštumos padėtį (43 pav.).

Sprendimas. Problema išspręsta naudojant dvi transformacijas. Pirmasis – bendrosios padėties plokštumos perkėlimas į projektavimo padėtį (pirminės 3 uždavinio sprendimas, nurodytas aukščiau), o antrasis – gautos projektavimo plokštumos perkėlimas į lygiagrečios plokštumos padėtį (42 pav. horizontalioje lygio plokštumoje). Taškai A 5, B 5 ir C s yra nuo X ašies, skiriančios plokštumas P 4 ir P 5, atstumais, lygiais taškų A, B ir C Y koordinatėms projekcinių plokštumų P 1 - P 4 sistemoje.

Nagrinėjamos problemos sprendimas leidžia rasti natūralias plokštumos figūrų vertes (taigi, daugiakampių kraštines ir plokštumos kampus). Tos pačios problemos sprendimas plokštumos lygiagretaus perdavimo metodu parodytas Fig. 39.

Klausimai

1. Brėžinio konvertavimo būdai.

2. Koks yra plokštumų pakeitimo būdas?

3. Kokia tiesės padėtis naudojama norint nustatyti natūralų atkarpos dydį ir sukimo būdus?

4. Plokštumos lygiagretaus perdavimo esmė..

5. Kiek kartų reikia pasukti plokščią figūrą aplink išsikišusią liniją, norint nustatyti jos natūralų dydį?

Testai temai „Keturios pradinės brėžinio transformacijos problemos“

1. Kaip papildomos projekcijos plokštuma yra tiesės atžvilgiu nustatant natūralų atkarpos dydį?

a) lygiagrečiai

b) statmenai

c) savavališkai

2. Kaip papildomos projekcijos plokštuma yra pradinių projekcijų plokštumų atžvilgiu?

a) statmena vienai projekcijos plokštumai

b) statmenos dviem projekcijų plokštumoms

c) savavališkai

3. Kaip naujoji ašis yra tiesios atkarpos projekcijų atžvilgiu, kai nustatomas natūralus atkarpos dydis?

a) lygiagrečiai atkarpos, esančios plokštumoje, statmenoje papildomai, projekcijai

b) statmena atkarpos, esančios plokštumoje, statmenoje papildomai, projekcijai

c) savavališkai

4. Kiek transformacijų reikia norint nustatyti natūralų plokščios figūros dydį?

5. Kiek papildomų projekcinių plokštumų reikia norint paversti bendrosios padėties tiesę į projektavimo tiesę?

Pristatykime naują projekcijos plokštumą P 4 lygiagrečiai segmentui AB(32 pav.) ir statmenai P 1 . Šiuo atveju naujoji x 14 ašis bus lygiagreti A 1 IN 1 (kitaip tiesioginis AB ir lėktuvas P 4 susikirs). Segmento kampas ABį lėktuvą P 4 yra nulis ir ABįjungta P 4 projektuojamas visu dydžiu, t.y. A 4 V 4 = AB. Išmatavus segmentą A 4 IN 4, gauname atkarpos ilgį AB.

Atskleidžiantis natūralų plokščios figūros dydį

projekcinių plokštumų pakeitimo būdas

Tegul ∆ ABC– bendrosios padėties plokštuma (33 pav.). Trikampio plokštumoje nubrėžiame horizontalią liniją h, projektuoti horizontalią h tiksliai h 4 vienam lėktuvui P 4 (x 14 ⊥ h 1 , P 4 ⊥ h), sukurkite naujas taškų projekcijas A 4 , IN 4 , SU 4 . Plokštuma ∆ ABC projektuojamas į tiesę, einančią per taškus A 4 , IN 4 , SU 4 . Trikampio plokštuma sistemoje ( P 1 P 4) yra projektavimo plokštuma, ji yra statmena P 4 . Trikampis ABC projektuojamas ant P 4 vienam segmentui IN 4 SU 4 .

Rasti gamtinę vertę ∆ ABC pristatykime projekcijos plokštumą P 5 lygiagrečiai trikampio plokštumai ir statmenai P 4 . Nauja ašis x 45 yra lygiagreti segmentui D 4 C 4 (kitaip ∆ ABC Ir P 5 susikirs). Trikampis ABC projektuojamas į plokštumą P 5 gyvenimo dydis Δ A 5 IN 5 SU 5 = Δ ABC.

Panašiai randamas bet kurios plokščios figūros natūralus dydis.

Praktinė užduotis Nr. 3. Nubraižykite dviejų susikertančių plokštumų brėžinį (A4 formatu).

4 tema

PAVIRŠIAI

Aprašomoji geometrija tiria kinematinį paviršių formavimo ir apibrėžimo metodą. Šiuo atveju paviršius laikomas nuoseklių judančios linijos ar kito paviršiaus padėčių rinkiniu erdvėje. Tiesė, judanti erdvėje ir formuojanti paviršių, vadinama generatrix. Generatoriai gali būti tiesūs arba lenkti. Kreivių generavimas gali būti pastovus ir kintantis, pavyzdžiui, kintantis natūraliai.

Generatoriaus judėjimo dėsnį paprastai lemia kitos vadinamos linijos vedliai, kuriuo generatorius slenka savo judėjimo metu, taip pat generatrix judėjimo pobūdis. Kai kuriais atvejais vienas iš kreiptuvų gali virsti tašku, pavyzdžiui, viršūne šalia kūginio paviršiaus, arba būti begalybėje, pavyzdžiui, šalia cilindrinio paviršiaus.

Paviršių apibrėžiančių geometrinių elementų rinkinys vadinamas determinantas paviršius, atsižvelgiant į tai, kad generatrix judėjimo dėsnį lemia paviršiaus pavadinimas.

Paviršiaus nurodymas jo determinanto projekcijomis ne visada suteikia aiškumo, o tai savo ruožtu apsunkina brėžinio skaitymą, todėl norint gauti vaizdinį paviršiaus vaizdą sudėtingame brėžinyje, turėtumėte nurodyti išskirtinis straipsnisšis paviršius. Paviršiaus projekcijos kontūras yra atitinkamos matomos kontūro linijos projekcija. Matomo paviršiaus kontūro linija padalija jį į dvi dalis – matomą, atsuktą į stebėtoją ir nematomą.

Paviršiaus klasifikacija

Paviršiai klasifikuojami, kaip taisyklė, priklausomai nuo generatricos formos ir jo judėjimo erdvėje dėsnio (35 pav.):

Paviršius vadinamas valdė, jei jis gali būti suformuotas judant tiesia linija. Paviršius, kurio negalima suformuoti judant tiesia linija, vadinamas nevaldomas. Pavyzdžiui, sukimosi kūgis yra valdė paviršius, o sfera yra nevaldomas. Per bet kurį valdomo paviršiaus tašką galima nubrėžti bent vieną tiesią liniją, visiškai priklausančią paviršiui. Tokių eilučių rinkinys reiškia ištisinę rėmelis valdomas paviršius. Linijiniai paviršiai skirstomi į du tipus:

– atsiskleidžiantis paviršiai;

– nedislokuojami, arba įstrižas paviršiai.

Paviršius vadinamas atsiskleidžiantis, jei galima derinti su plokštuma nesudarant raukšlių ir plyšimų.

Nevystomi paviršiai neįmanoma derinti su plokštuma be raukšlių ir plyšimų susidarymo.

Briaunuoti paviršiai

Paviršius, sudarytas iš poromis susikertančių plokštumų dalių, vadinamas daugialypis. Fig. 36 paveiksle pavaizduoti kai kurių briaunuotų paviršių tipai.

a B C

Ryžiai. 36 Briaunuoti paviršiai

Jų elementai yra briaunos, šonkauliai Ir viršūnės. Plokštumos, kurios sudaro daugiakampį paviršių, vadinamos briaunos, gretimų paviršių susikirtimo linijos – šonkauliai, mažiausiai trijų veidų susikirtimo taškai – viršūnės.

Briaunuotas paviršius vadinamas piramidinė, jei visos jo briaunos susikerta viename taške – viršūnė (36 pav.). A). Briaunuotas paviršius vadinamas prizminis, jei visos jo briaunos lygiagrečios viena kitai (36 pav.). b). Vadinamas geometrinis kūnas, iš visų pusių apribotas plokščiais daugiakampiais daugiakampis. Prizmatoidinė vadinamas daugiakampiu, kurio viršutinis ir apatinis pagrindai yra lygiagrečiose plokštumose išsidėstę daugiakampiai, o šoniniai paviršiai – trikampiai arba trapecijos (36 pav. V).

Liemens paviršiai

Liemens paviršius yra paviršius, susidarantis tiesiam generatoriui judant išilgai išlenkto kreiptuvo.

Yra trijų tipų tokie paviršiai: liemuo, kūginiai ir cilindriniai paviršiai (37 pav.).

Cilindrinis paviršius(37 pav A) susidaro judant tiesia linija, slenkančia išilgai fiksuotos uždaros arba atviros kreivės ir išliekant lygiagrečiai pradinei padėčiai. Tiesių generatricų rinkinys vaizduoja ištisinį cilindrinio paviršiaus rėmą. Per kiekvieną paviršiaus tašką eina viena tiesi generatrix.

a B C

Ryžiai. 37 Paviršiai: liemuo cilindrinis, liemuo kūgiškas, liemuo

Tarp dviejų plokštumų lygiagrečių pjūvių uždaro cilindrinio paviršiaus dalis vadinama cilindras, o sekcijų figūros yra jo priežastys.

Kūginis paviršius(37 pav b) susidaro judant tiesia linija, slenkančia tam tikra fiksuota uždara arba atvira kreive ir visose padėtyse einanti per fiksuotą tašką.

Kūgis vadinama uždaro kūginio paviršiaus dalimi, kurią riboja viršūnė ir kažkokia plokštuma, kertanti visus jos generatorius. Kūginio paviršiaus skerspjūvio figūra pagal šią plokštumą vadinama kūgio pagrindas.

Paviršiai su lygiagretumo plokštuma bendru atveju jie susidaro judant tiesiajai generatrix trimis pagalbinėmis linijomis, kurios vienareikšmiškai apibrėžia jos judėjimo dėsnį.

Pagalbinės linijos gali būti kreivės Ir tiesiai. Įstrižų paviršių veislės yra valdomi paviršiai su kreipiančiąja plokštuma ir jų specifiniai tipai - valdomi paviršiai su lygiagretumo plokštuma(Katalonų paviršiai).

Paviršiai su lygiagretumo plokštuma panašiais atvejais vadinami atitinkamai tiesūs cilindrai, tiesūs konoidai Ir įstriža plokštuma.

Tiesus cilindras(38 pav.) – tai paviršius, suformuotas judant tiesia linija, slenkančia išilgai dviejų lenktų kreiptuvų, nepriklausančių tai pačiai plokštumai, ir išliekant visose savo padėtyse lygiagrečiai tam tikrai plokštumai. Ši plokštuma vadinama lygiagretumo plokštuma.

Tiesus konoidas(39 pav.) – tai paviršius, suformuotas judant tiesei, slenkančia išilgai dviejų kreiptuvų, kurių vienas yra lenktas, o kitas tiesus, ir išlieka visose savo padėtyse lygiagrečiai tam tikrai lygiagretumo plokštumai.

Ryžiai. 38 Tiesus cilindras Pav. 39 Tiesus konoidinis pav. 40 Įstriža plokštuma

Įstriža plokštuma(40 pav.) – tai paviršius, susidaręs judant tiesei, slenkančia išilgai dviejų susikertančių tiesių ir išliekančia visose savo padėtyse lygiagrečiai tam tikrai lygiagretumo plokštumai.

Sraigtiniai paviršiai

Paviršius, susidaręs spiraliniu tiesės judėjimu, vadinamas valdomas spiralinis paviršius– helioidinis(sraigto judėjimui būdingas sukimasis aplink tam tikrą ašį i ir transliacinis judėjimas lygiagrečiai šiai ašiai).

a b

Ryžiai. 41 Sraigtiniai paviršiai

Jei konoido kreiptuvu imsime cilindrinę spiralę, tiesiąją – spiralės ašį, o lygiagretumo plokštuma – spiralės ašiai statmeną plokštumą, tai tokiomis sąlygomis susidaręs paviršius vadinamas spiralinis konoidas arba tiesus spiralinis(41 pav A).

Pasviręs sraigtasparnis yra paviršius, suformuotas judant tiesia linija, slenkančia išilgai dviejų kreiptuvų (vienas iš jų yra cilindrinė spiralė, o antrasis yra spiralės ašis) ir išlaikant pastovų kampą β visose padėtyse. SU kreipiamoji plokštuma, kuri yra statmena varžto paviršiaus ašiai. Statant pasvirusio spiralės projekcijas, patogu naudoti kreipiamąjį kūgį (41 pav. b).

Revoliucijos paviršiai

Jei generuojančios linijos judėjimas yra sukimasis aplink kokią nors fiksuotą tiesią liniją (ašį), tai tokiu atveju susidaręs paviršius vadinamas sukimosi paviršius.

Generuojanti linija gali būti plokščia arba erdvinė kreivė, taip pat tiesi linija. Kiekvienas generuojančios linijos taškas, sukamas aplink ašį, apibūdina apskritimą, esantį sukimosi ašiai statmenoje plokštumoje (42 pav.).

Šie apskritimai vadinami paralelės. Vadinasi, ašiai statmenos plokštumos kerta sukimosi paviršių išilgai paralelės. Apsisukimo paviršiaus susikirtimo su plokštuma linija Σ einantis per ašį vadinamas dienovidinis.

Meridianas, susidarantis sukimosi paviršiaus susikirtimo su lygia plokštuma, vadinamas pagrindinis. Projekcija pagrindinis dienovidinis plokštumai lygiagrečiai lygiai plokštumai yra kontūro linija atitinkama sukimosi paviršiaus projekcija.

Visų paralelių arba dienovidinių aibė yra ištisinė rėmelis sukimosi paviršiai. Per kiekvieną paviršiaus tašką eina po vieną lygiagretę ir vieną dienovidinį. Taško projekcijos yra atitinkamose lygiagretės arba dienovidinio projekcijose. Galite nustatyti tašką paviršiuje arba sukurti antrą taško projekciją, jei tokia yra, naudodami lygiagretę arba dienovidinį, einantį per šį tašką.

Projektuojant įvairias inžinerines konstrukcijas, mašinas ir mechanizmus, labiausiai paplitę paviršiai, suformuoti sukant tiesią liniją ir antros eilės kreives.

Sukant tiesia linija susidaro:

–sukimosi cilindras, jei tiesus l lygiagrečiai ašiai i(43 pav A);

– sukimosi kūgis, jei tiesus l kerta ašį i(43 pav b);

– vieno lapo hiperboloidas, jei tiesus l kerta ašį i(43 pav V).

A	b	V
Ryžiai. 43 Revoliuciniai paviršiai

Apsisukimo paviršiai, suformuoti besisukant antros eilės kreives aplink ašį, apima:

– sfera susidaro sukant apskritimą aplink jo skersmenį (44 pav.). A);

– revoliucijos elipsoidas susidaro sukant elipsę aplink didžiąją arba mažąją ašį (44 b, V);

– toras susidaro sukant apskritimą aplink išorinę ašį (44 pav.). G);

A	b	V
G	d	e
Ryžiai. 44 Antrosios eilės sukimosi paviršiai

– sukimosi paraboloidas susidaro sukant parabolę aplink savo ašį (44 pav.). d);

– vieno lapo revoliucijos hiperboloidas susidaro sukant hiperbolę aplink savo įsivaizduojamą ašį. Šis paviršius taip pat formuojamas sukant tiesia linija (44 pav.). e).

Kanaliniai ir cikliniai paviršiai

Kanalas yra paviršius, sudarytas iš ištisinio rėmo iš uždarų plokščių sekcijų, tam tikru būdu orientuotų erdvėje. Šių sekcijų plotai gali išlikti pastovūs arba keistis monotoniškai pereinant iš vienos sekcijos į kitą. Fig. 45 pavaizduoti du vaizdai kanalas paviršiai. Inžinerinėje praktikoje labiausiai paplitę yra du generatoriaus plokštumų orientavimo būdai:

- lygiagrečiai bet kuriai plokštumai kanalų paviršiai su lygiagretumo plokštuma;

– statmenai pagalbinei linijai – tiesūs kanalų paviršiai.

Kanalo paviršius gali būti naudojamas kuriant perėjimo dalis tarp dviejų paviršių, pavyzdžiui, vamzdynų, turinčių:

– skirtingų formų, bet vienodo normalaus skerspjūvio ploto;

– ta pati forma, bet skirtingi skerspjūvio plotai;

– skirtingos formos ir skirtingi skerspjūvio plotai.

Ciklinis paviršius gali būti laikomas ypatingu kanalo paviršiaus atveju. Jis suformuotas naudojant apskritimą, kurio centras juda išlenktu kreiptuvu. Judėjimo metu apskritimo spindulys keičiasi monotoniškai. Ciklinio paviršiaus pavyzdys parodytas fig. 46.

Grafiniai paviršiai

Grafiniai paviršiai pateikiami baigtiniu lygių linijų rinkiniu, kuris sudaro šių paviršių rėmą. Grafinių paviršių pavyzdžiai pateikti pav. 48.

Ryžiai. 48 Grafiniai paviršiai

Paviršiaus ir plokštumos sankirta

Paviršiaus susikirtimo su plokštuma linija yra linija, vadinama pjūviu. Šios kreivės taškai gali būti laikomi paviršiaus linijų susikirtimo taškais su plokštuma arba plokštumos tiesiomis linijomis su paviršiumi.

Tai veda prie dviejų sekcijų kūrimo parinkčių:

1) parinkti paviršiuje baigtinį linijų skaičių ir nustatyti jų susikirtimo taškus su plokštuma;

2) plokštumoje pasirinkti baigtinį skaičių tiesių ir sukonstruoti jų susikirtimo su paviršiumi taškus.

Atminkite, kad galimas sprendimas yra šių parinkčių derinys. Bet kokiu atveju, atkarpos konstravimas priklauso nuo pakartotinio algoritmo taikymo, sprendžiant linijos ir paviršiaus susikirtimo problemą.

Pjūvio linijų projekcijas rekomenduojama pradėti nustatant atskaitos (charakteristikos) taškus. Tai yra taškai, esantys paviršiaus kontūruose (jie nustato kreivės projekcijų matomumo ribas), taškai, esantys kraštutiniais atstumais nuo projekcinių plokštumų, ir kai kurie kiti. Po to nustatomi tarpiniai sekcijos taškai.

Sekcijos konstrukcija labai supaprastėja, jei plokštuma užima išsikišimo padėtį. Taip yra dėl to, kad išsikišusi plokštuma pasižymi surinkimo savybe. Šiuo atveju viena iš pjūvių projekcijų yra ant plokštumos pėdsako, t.y. žinomas.

Briaunuotų paviršių sankirtoje su plokštumomis gaunami daugiakampiai (49 pav.). A). Jų viršūnės apibrėžiamos kaip briaunuotų paviršių kraštų susikirtimo su pjovimo plokštuma taškai. Pjovimo plokštuma Σ yra priekinė, todėl visos tiesės, esančios šioje plokštumoje, sutaps su plokštumos Σ frontaliniu pėdsaku Σ 2. Vadinasi, 1 2 2 2 3 2 atkarpos frontalinę projekciją lemia piramidės briaunų frontalinių projekcijų susikirtimas su pėdsaku Σ(Σ 2). Taškų 1(1 1), 2(2 1) ir 3(3 1) horizontalias projekcijas randame iš sąlygos, kad taškai priklauso piramidės kraštams.

Ryžiai. 49 Paviršiaus susikirtimo su plokštuma linijos sudarymas

Panagrinėkime sferinės išpjovos konstrukciją, suformuotą naudojant keturias išsikišusias pjovimo plokštumas (51 pav., A). Kiekvienas iš jų kerta sferą išilgai linijos, kuri yra apskritimo dalis. Be to, G Ir R yra atitinkamai horizontalios ir profilinės lygio plokštumos. Išpjovos projekcijos ant P 1 ir P 3 bus simetriški.

A	b
V	G

Ryžiai. 51 Praktinės užduoties Nr.4 atlikimo tvarka

Projekcinėse plokštumose P 1 ir P 3 išpjautos šakos iš plokštumų K Ir T bus suprojektuotos kaip elipsės dalys. Taškai A Ir IN yra šių elipsių ašių galai.

Lygiosiose plokštumose pažymėkime atskaitos taškus: 1, 2 ir 4 išpjovų šakų galinius taškus; 5 ir 3 matomumo kitimo taškai lėktuvuose P 1 ir P 3 atitinkamai.

Sukonstruokime išpjovų dalių atskaitos taškų projekcijas iš pjovimo plokštumų G Ir R projekcinėse plokštumose P 1 ir P 3 (51 pav., b).

K. 6 valdymo taškai pakeičia matomumą į P 1 . 7 atskaitos taško žemiausias taškas (51 pav., V).

Sukonstruokime išpjautą atšaką iš plokštumos T. Kontroliniai taškai 8 pakeičia matomumą į P 3. 9 atskaitos taško žemiausias taškas (51 pav., G).

Sferos kontūrai ir pjūvio linijos matomumas plokštumose P 1 ir P 3 nustatomi atsižvelgiant į išpjovą.

Paviršių sąveika tarpusavyje

Dviejų paviršių susikirtimo linija paprastai yra erdvinė kreivė. Bet kuris šios linijos taškas priklauso ir pirmajam, ir antrajam paviršiams ir gali būti nustatytas ties šių paviršių nubrėžtų linijų sankirta. Tada turime šias šios problemos sprendimo galimybes:

1) pasirinkti baigtinį skaičių tiesių viename iš paviršių ir sudaryti jų susikirtimo taškus su kitu paviršiumi;

2) pasirinkite dvi linijų šeimas duotuose paviršiuose ir suraskite jų susikirtimo taškus. Antruoju variantu susikertančių kreivių porų parinkimas atliekamas naudojant pagalbinius tarpininkų paviršius.

Kaip medijos paviršiai dažniausiai naudojamos plokštumos arba sferos. Priklausomai nuo tarpininkų tipo, išskiriami šie dažniausiai naudojami dviejų paviršių susikirtimo linijos konstravimo būdai:

a) plokštumų pjovimo būdas;

b) sferų metodas.

Pagalbinių pjovimo plokštumų metodas

Panagrinėkime pagalbinių pjovimo plokštumų panaudojimą naudodamiesi rutulio susikirtimo linijos su sukimosi kūgiu konstravimo pavyzdžiu (52 pav.).

Pateikti paviršiai yra apsisukimo paviršiai. Nurodytų paviršių ašys yra lygiagrečios P 2, (sukimosi ašimi gali būti paimtas bet koks rutulio skersmuo), o jų bendra simetrijos plokštuma lygiagreti priekinei projekcijų plokštumai. Vadinasi, ant pateiktų paviršių galima išskirti dvi apskritimų šeimas, išsidėsčiusias plokštumose, lygiagrečiose horizontaliajai projekcijos plokštumai. Tai reiškia, kad šiai problemai išspręsti kaip tarpines galima panaudoti horizontalias plokštumas.

Būdingi paviršių susikirtimo linijos projekcijų taškai yra taškai Α , Β Ir SU, D. Taškai Α , Β yra kontūrą formuojančių paviršių sankirtoje, nes šie generatoriai yra toje pačioje pjovimo plokštumoje F, einantis išilgai paviršių simetrijos plokštumos. Α Ir Β sankirtos linijos aukščiausias ir žemiausias taškai. Taškai SU Ir D yra sankirtos linijos horizontalios projekcijos matomumo taškai. Jų konstrukcijos atliekamos tokia seka:

1) per sferos centrą APIE nubrėžta Θ lygio horizontali plokštuma;

2) sukonstruota horizontali spindulio apskritimo projekcija R

Ryžiai. 52 Pagalbinių pjovimo plokštumų metodo taikymas

3) sukonstruota horizontali spindulio apskritimo projekcija R 1, išilgai kurios plokštuma Θ kerta kūginį paviršių; ta pati plokštuma kerta sferą išilgai pusiaujo (didžiausio spindulio apskritimas);

4) nustatomi taškai C 1 , D 1 susikirtimo spindulio apskritimas R 1 su sferos kontūru;

5) nustatomos priekinės taškų projekcijos SU(SU 2), D(D 2) nuo sąlygos, kad jie priklauso plokštumai Θ.

Norėdami sudaryti tarpinius taškus 1(1 1 ,1 2), 2(2 1 ,2 2), ..., 6(6 1 ,6 2) nurodytų paviršių susikirtimo linijas, naudojame plokštumas , ir .

Gautus taškus sujungiame lygia lenkta linija. Sankirtos linijos matomumas nustatomas kiekvienoje projekcijos plokštumoje.

Tada įrengiamos sritys, kurios vienu metu matomos abiem paviršiams. Taigi projekcijos metu kūginis paviršius dengia ne savo taškus, o rutulys dengia taškus, esančius žemiau horizontalaus kontūro. Taškai SU Ir D, esantis horizontaliame kontūre, atskirkite matomą linijos dalį nuo nematomos. Nematoma dalis pavaizduota punktyrine linija. Įjungta P 2, sankirtos linijos matomos dalies projekcija sutampa su nematoma projekcija, nes abiejų paviršių priekiniai kontūrai yra paviršių simetrijos plokštumoje.

Koncentrinės sferos metodas

Šis metodas plačiai naudojamas sprendžiant sukimosi paviršių ir susikertančių ašių susikirtimo linijų konstravimo problemas. Šis metodas pagrįstas tokia sukimosi paviršių savybe: du bendraašiai sukimosi paviršiai susikerta išilgai apskritimų, kurių skaičius lygus jų pusmeridianų susikirtimo taškų skaičiui. Šie apskritimai yra plokštumose, statmenose sukimosi paviršių ašiai. Rutulio sukimosi ašimi galima laikyti bet kokį skersmenį. Vadinasi, rutulys, kurio centras yra sukimosi paviršiaus ašyje, kerta šį paviršių išilgai vieno ar kelių apskritimų.

Jei sukimosi paviršių ašis yra lygiagreti projekcijos plokštumai, tada susikirtimo linija projektuojama į šią plokštumą į tiesią atkarpą. Fig. 53 A, b parodyta rutulio sankirta su atitinkamai cilindriniais ir kūginiais sukimosi paviršiais. Fig. 53 V Pavaizduoti susikertantys koaksialiniai cilindriniai ir kūginiai sukimosi paviršiai.

a B C

Ryžiai. 53 Bendraašių sukimosi paviršių sankirta

Panagrinėkime pagalbinių koncentrinių sferų – sferų su pastoviu centru – panaudojimą. Šis metodas naudojamas, kai tenkinamos šios sąlygos:

a) susikertantys paviršiai turi būti sukimosi paviršiai;

b) šių paviršių ašys turi susikirsti; jų susikirtimo taškas laikomas pagalbinių sferų centru;

c) paviršių simetrijos plokštuma turi būti lygiagreti bet kuriai projekcijos plokštumai (kitaip naudojama brėžinio transformacija).

Panagrinėkime kūginių sukimosi paviršių susikirtimo linijos konstrukciją (54 pav.). Paviršiai ir jų vieta atitinka aukščiau nurodytas sąlygas.

Prieš statant tarpinius taškus, būtina rasti susikirtimo linijos atskaitos taškus. Taškai A, IN, K Ir L, ir E, F, SU Ir D– tai taškai, priklausantys paviršių kontūrams. Juos galima rasti koncentrinių sferų metodu arba naudojant mediatorių Σ(Σ 2) ir Δ(Δ 1) plokštumas.

Dabar panagrinėkime tarpinių taškų konstravimą pagal 5 ir 6 taškų pavyzdį. Konstrukcijas atliekame priekinėje projekcijų plokštumoje. Sferos tarpininkas Θ(Θ 2) su centru taške APIE(APIE 2) kerta kūginius paviršius išilgai apskritimų, kurie yra P 2 projektuojami į segmentus Ir (kitų dviejų apskritimų projekcijos nerodomos). Taškai 5 2 = 6 2 jų susikirtimo taškai yra 5 ir 6 taškų priekinės projekcijos, kurios priklauso paviršių susikirtimo linijai, nes jos priklauso kiekvienam iš šių paviršių.

Panagrinėkime ribojančias pagalbinių sferų ribas. Tarpinių sferų spindulys diapazone skiriasi R maks ≥ R ≥ R min , kur R min – mažiausias rutulio spindulys, R max – didžiausias rutulio spindulys. Minimalaus spindulio sfera R min yra rutulys, kuris liečia vieną paviršių ir kerta kitą. Fig. 54 tokia sfera liečiasi su „vertikaliu“ kūginiu paviršiumi. Naudojant minimalaus spindulio sferą, sukonstruojami taškai 1 2 = 2 2 ir 3 2 = 4 2. 1, 2, 3 ir 4 taškų horizontalios projekcijos sudaromos panašiai kaip 5 ir 6 taškai.

Didžiausios sferos spindulys lygus atstumui nuo paviršių ašių susikirtimo taško iki tolimiausio šių paviršių kontūrinių generatrijų susikirtimo taško. 54 pav. yra rutulys R max =[ O 2 L 2 ].

Norėdami nustatyti susikirtimo linijos projekcijų matomumą, analizuojame taškų vietą, palyginti su paviršių kontūrais. Taip, palyginti P 1, bus matoma kreivės atkarpa, esanti virš horizontalaus kūginio paviršiaus kontūro (antrasis paviršius matomas P 1 neturi jokio poveikio). Nematomos linijos dalies horizontalioji projekcija rodoma punktyrine linija.

Taškai A, IN Ir K, L priklauso priekiniams paviršių kontūrams ir atskiria matomą susikirtimo linijos dalį nuo nematomos, kai projektuojama ant P 2. Matomų ir nematomų sankirtos linijos dalių priekinės projekcijos fig. 54 rungtynės.

Praktinė užduotis Nr. 5. Nubraižykite du susikertančius paviršius. Pagalbinių plokštumų metodu (A4 formatas) nustatykite jų susikirtimo liniją.

Darbai atliekami tokia seka (55 pav.):

1) nustatyti vieno paviršiaus kontūrų susikirtimo taškus su kitu;

2) nustato aukščiausią ir žemiausią sankirtos linijos taškus;

3) pagalbinėmis plokštumomis nustatyti sankirtos linijos tarpinius taškus;

4) visi rasti susikirtimo taškai nuosekliai sujungti lenkta linija, atsižvelgiant į jų matomumą.

Renkantis pagalbines pjovimo plokštumas, reikia atsiminti, kad jos turi kirsti abu paviršius vienu metu ir pateikti paprasčiausias pjūvio figūras. Visiems užduočių variantams kaip pagalbines pjovimo plokštumas galima pasirinkti lygias plokštumas: vienoms - horizontalias, kitiems - vertikalias arba abi. Paviršių susikirtimo taškai – tai toje pačioje pagalbinėje pjovimo plokštumoje esančių paviršių skerspjūvio figūrų kontūrų susikirtimo taškai. Kiekviena pjovimo plokštuma gali apibrėžti nuo vieno iki keturių susikirtimo linijos taškų, priklausomai nuo susikertančių paviršių pobūdžio, jų padėties vienas kito atžvilgiu ir pačios pjovimo plokštumos padėties.

5 tema

VAIZDAI: VAIZDAI, SKYRIAI, SKYRIAI

Brėžiniai atliekami griežtai laikantis projekcijos taisyklių, laikantis nustatytų reikalavimų ir konvencijų.

Reikalavimai piešimui: grįžtamumas, tikslumas, aiškumas, paprastumas.

Piešinys vadinamas grįžtamasis, jei iš figūros vaizdo galima atkurti jos formą, dydį ir padėtį erdvėje. Piešinys turi būti vizualinis ir aiškiai įsivaizduokite vaizduojamą objektą. Piešinys turi būti paprastas grafiniam vykdymui.

Bendrieji brėžinio turinio reikalavimai nustatyti GOST 2.109-73.

Darydami brėžinius elektronine forma, turite vadovautis GOST 2.051-2006, GOST 2.052-2006, GOST 2.053-2006.

Vaizdų vykdymo brėžiniuose taisyklės nustatytos GOST 2.305-2008.

Vykdant grafinius dokumentus elektroninių modelių pavidalu, norint gauti atitinkamus vaizdus, ​​reikia naudoti išsaugotus rodinius.

Ryžiai. 56 Objektas ir jo projekcijos pagrindinėse plokštumose

Vaizdas priekinėje projekcijų plokštumoje yra pagrindinis brėžinyje. Pagrindinis vaizdas parinktas taip, kad gautų kuo išsamesnį objekto formos ir dydžio vaizdą.

Vaizdas yra bet koks piešinys. Priklausomai nuo turinio, vaizdai skirstomi į tipus, skyrius ir skyrius.

Rūšys

Vaizdas yra matomos objekto paviršiaus dalies, nukreiptos į stebėtoją, vaizdas. Norint sumažinti vaizdų skaičių, vaizdiniuose punktyrinėmis linijomis leidžiama rodyti nematomus objekto paviršius (žr. 56 pav.).

Tipai skirstomi į pagrindinius, papildomus ir vietinius.

Pagrindinis vadinami vaizdais, esančiais bet kurioje iš šešių pagrindinių plokštumų, išlaikant projekcijos ryšį tarp jų. Vaizdas iš priekio – pagrindinis vaizdas; vaizdas iš viršaus – vaizdas iš priekio; vaizdas iš kairės - į dešinę nuo pagrindinio; vaizdas į dešinę - į kairę nuo pagrindinio; vaizdas iš apačios – virš pagrindinio vaizdo; galinis vaizdas – į dešinę nuo kairiojo vaizdo arba į kairę nuo dešiniojo vaizdo (žr. 56 pav.). Tipų pavadinimai ant brėžinio nerašomi.

Jei kuris nors vaizdas yra už projekcijos jungties su pagrindiniu vaizdu arba yra nuo jo atskirtas kitais vaizdais, tada rodyklė nurodo projekcijos kryptį. Virš rodyklės pažymėta didžioji kirilicos raidė. Ta pati raidė žymi sukonstruotą vaizdą (57 pav.).

Panašūs straipsniai