Построить следы плоскости, заданной ∆BCD, и определить расстояние от точки А до заданной плоскости методом прямоугольного треугольника (координаты точек А, В, С и D см. в Таблице 1 раздела Задания);
1.2. Пример выполнения задания № 1
Первое задание представляет комплекс задач по темам:
1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость : по известным координатам трех точек B, C, D построить горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD ;
2. Следы прямой, следы плоскости, свойства принадлежности прямой плоскости : построить следы плоскости, заданной ∆BCD ;
3. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости, пересечение плоскостей, метод прямоугольного треугольника : определить расстояние от точки А до плоскости ∆BCD .
1.2.1. По известным координатам трех точек B, C, D построим горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD (Рисунок 1.1), для чего необходимо построить горизонтальные и фронтальные проекции вершин ∆BCD , а затем одноименные проекции вершин соединить.
Известно, что следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с плоскостью проекций.
У плоскости общего положения 3 следа: горизонтальный, фронтальный и профильный .
Для того чтобы построить следы плоскости, достаточно построить следы (горизонтальный и фронтальный) любых двух прямых, лежащих в этой плоскости, и соединить их между собой. Таким образом, след плоскости (горизонтальный или фронтальный) будет однозначно определен, поскольку через две точки на плоскости (в данном случае этими точками будут следы прямых) можно провести прямую, и при том, только одну.
Основанием для такого построения служит свойство принадлежности прямой плоскости : если прямая принадлежит заданной плоскости, то ее следы лежат на одноименных следах этой плоскости.
Следом прямой называется точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций.
Горизонтальный след прямой лежит в горизонтальной плоскости проекций, фронтальный – во фронтальной плоскости проекций.
Рассмотрим построение горизонтального следа прямой DB , для чего необходимо:
1. Продолжить фронтальную проекцию прямой DB до пересечения с осью X , точка пересечения М 2 является фронтальной проекцией горизонтального следа;
2. Из точки М 2 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой DB М 1 и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа (Рисунок 1.1), которая совпадает с самим следом М .
Аналогично выполняется построение горизонтального следа отрезка СВ прямой: точка М’ .
Чтобы построить фронтальный след отрезка CB прямой, необходимо:
1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой CB до пересечения с осью X , точка пересечения N 1 является горизонтальной проекцией фронтального следа;
2. Из точки N 1 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с фронтальной проекцией прямой CB или ее продолжением. Точка пересечения N 2 и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N .
Соединив точки M′ 1 и M 1 отрезком прямой, получим горизонтальный след плоскости απ 1 . Точка α x пересечения απ 1 с осью X называется точкой схода следов . Для построения фронтального следа плоскости απ 2 необходимо соединить фронтальный след N 2 с точкой схода следов α x
Рисунок 1.1 — Построение следов плоскости
Алгоритм решения этой задачи может быть представлен следующим образом:
- (D 2 B 2 ∩ OX ) = M 2 ;
- (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M 1 = M ;
- (C 2 B 2 ∩ OX ) = M′ 2 ;
- (M′ 2 M′ 1 ∩ C 1 B 1) = M′ 1 = M′ ;
- (CВ ∩ π 2) = N 2 = N ;
- (MM′ ) ≡ απ 1 ;
- (α x N ) ≡ απ 2 .
1.2.2. Для решения второй части первого задания необходимо знать, что:
- расстояние от точки А до плоскости ∆BCD определяется длиной перпендикуляра, восстановленного из этой точки на плоскость;
- любая прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости ;
- на эпюре проекции прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикулярны наклонным проекциям горизонтали и фронтали этой плоскости или одноименным следам плоскости (рис. 1.2) (см. в лекциях Теорему о перпендикуляре к плоскости).
Чтобы найти основание перпендикуляра, необходимо решить задачу на пересечение прямой (в данной задаче такой прямой является перпендикуляр к плоскости) с плоскостью:
1. Заключить перпендикуляр во вспомогательную плоскость, в качестве которой следует взять плоскость частного положения (горизонтально-проецирующую или фронтально-проецирующую, в примере в качестве вспомогательной плоскости взята горизонтально-проецирующая γ, то есть перпендикулярная к π 1 , ее горизонтальный след γ 1 совпадает с горизонтальной проекцией перпендикуляра);
2. Найти линию пересечения заданной плоскости ∆BCD со вспомогательной γ (MN на рис. 1.2);
3. Найти точку пересечения линии пересечения плоскостей MN с перпендикуляром (точка К на рис. 1.2).
4. Для определения истинной величины расстояния от точки А до заданной плоскости ∆BCD следует воспользоваться методом прямоугольного треугольника : истинная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – разность расстояний от его концов до плоскости проекций, в которой ведётся построение .
5. Определите видимость участков перпендикуляра методом конкурирующих точек. На примере — точки N и 3 для определения видимости на π 1 , точки 4 , 5 — для определения видимости на π 2 .
Рисунок 1.2 — Построение перпендикуляра к плоскости
Рисунок 1.3 — Пример оформления контрольного задания №1
Видеопример выполнения задания №1
1.3. Варианты задания 1
| Вариант | Координаты (x, y, z) точек | |||
|---|---|---|---|---|
| А | В | С | D | |
| 1 | 15; 55; 50 | 10; 35; 5 | 20; 10; 30 | 70; 50; 40 |
| 2 | 80; 65; 50 | 50; 10; 55 | 10; 50; 25 | 75; 25; 0 |
| 3 | 95; 45; 60 | 130; 40; 50 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 4 | 115; 10; 0 | 130; 40; 40 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 5 | 55; 5; 60 | 85; 45; 60 | 100; 5; 30 | 50; 25; 10 |
| 6 | 55; 5; 60 | 70; 40; 20 | 30; 30; 35 | 30; 10; 10 |
| 7 | 60; 10; 45 | 80; 45; 5 | 35; 0; 15 | 10; 0; 45 |
| 8 | 5; 0; 0 | 35; 0; 25 | 20; 0; 55 | 40; 40; 0 |
| 9 | 50; 5; 45 | 65; 30; 10 | 30; 25; 55 | 20; 0; 20 |
| 10 | 60; 50; 35 | 40; 30; 0 | 30; 15; 30 | 80; 5; 20 |
| 11 | 65; 35; 15 | 50; 0; 30 | 20; 25; 25 | 5; 0; 10 |
| 12 | 75; 65; 50 | 45; 10; 35 | 60; 20; 10 | 10; 65; 0 |
| 13 | 95; 0; 15 | 85; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 14 | 45; 40; 40 | 80; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 15 | 80; 20; 30 | 55; 30; 60 | 15; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 16 | 75; 35; 35 | 55; 30; 60 | 25; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 17 | 75; 65; 50 | 45; 5; 55 | 5; 45; 10 | 70; 20; 0 |
| 18 | 65; 15; 20 | 40; 5; 60 | 0; 5; 25 | 60; 60; 20 |
| 19 | 70; 20; 10 | 45; 15; 60 | 5; 10; 20 | 60; 65; 10 |
| 20 | 20; 50; 45 | 10; 20; 10 | 55; 50; 10 | 80; 0; 60 |
| 21 | 0; 5; 50 | 50; 50; 40 | 5; 55; 10 | 45; 5; 0 |
| 22 | 55; 50; 65 | 45; 55; 5 | 0; 10; 45 | 70; 0; 40 |
| 23 | 65; 5; 15 | 40; 60; 10 | 0; 20; 5 | 60; 20; 60 |
| 24 | 50; 20; 45 | 45; 60; 30 | 5; 20; 10 | 60; 30; 5 |
| 25 | 55; 15; 40 | 40; 50; 25 | 5; 15; 10 | 50; 40; 10 |
| 26 | 15; 45; 40 | 10; 25; 5 | 20; 10; 30 | 65; 40; 35 |
| 27 | 70; 30; 30 | 55; 30; 60 | 20; 5; 15 | 65; 60; 25 |
| 28 | 90; 0; 15 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 50; 10; 45 |
| 29 | 110; 10; 0 | 120; 35; 30 | 35; 5; 20 | 70; 20; 5 |
| 30 | 45; 40; 40 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 40 |
При построении точки по заданным координатам, необходимо помнить, что в соответствии с правилами черчения масштаб по оси Ох уменьшается в 2 раза в сравнении с масштабом по осями Оу и Оz.
1.Построить точкy: А(2; 1; 3) х А = 2; у A = 1; z A = 3
а) обычно в первую очередь строят проекцию точки на плоскость Оху. Отметить точки х A =2 и у A =1 и провести через них прямые, параллельные осям Ох и Оу. Точка их пересечения имеет координаты (2;1; 0) Построена точка A 1 (2;1; 0.)
А(2; 1; 3)
0
у A =1
х A =2 у
A 1 (2;1; 0) 0 у A =1 у
х х A =2 A 1 (2;1; 0)
х
б) далее из точки A 1 (2;1; 0) восстанавливают перпендикуляр к плоскости Оху (проводят прямую, параллельную оси Оz ) и откладывают на ней отрезок, равный трем: z A = 3.
2.Построить точкy: B(3; - 2; 1) х B = 3; у B = -2; Z B = 1
z
у B = - 2
B(3; -2; 1) О у
B 1 (3;-2) х B =3
х
3. Построить точку C(-2; 1; 3 ) zC (-2; 1; 3)
Х А = -2; Y A = 1; Z A = 3
х C = - 2 C 1 (-2;1;0)
у A =1 у
4.Дан куб. А...D 1 , ребро которого равно1 . Начало координат совпадает с точкой В, ребра ВА, ВС и ВВ 1 совпадают с положительными лучами осей координат. Назвать координаты всех остальных вершин куба. Вычислить диагональ куба.
z
АВ = ВС = ВВ 1 ВD 1 = =
В 1 (0;0;1) С 1 (0;1;1) = =
А 1 (1;0;1) D 1 (1;1;1)
В(0;0;0) С(0;1;0) у
А(1;0;0) D(1;1;0)
5.Постройте точки А(1;1;-1) и В(1; -1;1). Пересекает ли отрезок ось координат? плоскость координат? проходит ли отрезок через начало координат? Найдите координаты точек пересечения, если они есть. z Точки лежат в плоскости, перпендикулярной оси Ох.
Отрезок пересекает ось Ох
и плоскость хОу
в точке
В(1; -1;1)
0(0;0;0)
С(1;0;0)
А(1;1;-1)
6.Найти расстояние между двумя точками: А(1;2;3) и В(-1;1;1).
а) АВ = = = =3
б) С(3;4;0) и D(3; -1;2).
СD = = =
В пространстве для определения координат середины отрезка вводится третья координата.
В (х В; у В;z B)
С ( ; ; )
А(х А; у А; z A)
7.Найти координаты С середины отрезков: а) АВ, если А(3; – 2; – 7), В(11; – 8; 5),
х М = = 7; у М = = - 5; z М = = - 1; С(7; - 5; - 1)
8. Координаты точки А(х;у;z). Напишите координаты точек, симметричных данной относительно:
а) координатных плоскостей
б) координатных прямых
в) начала координат
а)
Если точка А 1
симметрична данной относительно координатной плоскости хОу,
то разница в
координатах точек будет только в знаке координаты z: А 1 (х;у;-z).
точка А 2 Охz, тогда А 2 (х; -у;z).
точка А 3 симметрична данной относительно плоскости Оуz, тогда А 2 (-х; у;z).
б)
Если точка А 4
симметрична данной относительно координатной прямой Ох,
то разница в
координатах точек будет только в знаках координат у
и z: А 4 (х; -у;-z).
точка А 5 Оу, тогда А 5 (-х; у; -z).
точка А 6 симметрична данной относительно прямой Оz, тогда А 6 (-х; -у; z).
в) Если точка А 7 симметрична данной относительно начала координат, то А 6 (-х; -у; -z).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Переход от одной системы координат в другую называется преобразованием системы координат.
Мы будем рассматривать два случая преобразования системы координат, и выведем формулы зависимости между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат. (Методика преобразованием системы координат аналогична преобразованию графиков).
1.Параллельный перенос . В этом случае меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.
Если начало координат переходит в точку 0 1 с координатами 0 1 (х 0 ; у 0), то для точки М(х;у) связь между координатами системы х0у и х 0 0у 0 выражена формулами:
х = х 0 + х"
у = у 0 + у"
Полученные формулы позволяют найти старые координаты по известным новым х" и у" и наоборот.
у М(х;у) М(х"; у")
0 1 (х 0 ; у 0),х"
х 0 х"
2.Поворот осей координат
. В этом случае обе оси поворачиваются на один и тот же угол , а начало координат и масштаб остаются неизменными.
М(х;у)
у 1 х 1
Координаты точки М в старой системе М(х;у) и М(х"; у") - в новой. Тогда полярный радиус в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны + и , где - полярный угол в новой системе координат.
По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем:
x = rcos( + ) x = rcos · cos - rsin ·sin
y = rsin(+ ) y = rcos · sin + rsin · cos
Но rcos = х" и rsin = у" , поэтому
x = х"· cos - у"·sin
y = х"· sin + у"· cos
Письменно ответьте на вопросы:
- Что называется прямоугольной системой координат на плоскости? в пространстве?
- Какая ось называется осью аппликат? Ординат? Абсцисс?
- Каково обозначение единичных векторов на осях координат?
- Что называется ортом?
- Как вычисляется в прямоугольной системе координат длина отрезка, заданного координатами своих концов?
- Как вычисляются координаты середины отрезка, заданного координатами своих концов?
- Что называется полярной системой координат?
- Какова связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат?
Выполните задания:
1. На каком расстоянии от координатных плоскостей находится точка А(1; -2; 3)
2. На каком расстоянии находится точка А(1; -2; 3) от координатных прямых а) Оу; б) Оу; в) Оz;
3. Какому условию удовлетворяют координаты точек пространства, одинаково удаленных:
а) от двух координатных плоскостей Оху и Оуz; АВ
б) от всех трех координатных плоскостей
4. Найдите координаты точки М середины отрезка АВ, А(-2; -4; 1); В(0; -1; 2) и назовите точку, симметричную точки М, относительно а) оси Ох
б) оси Оу
в) оси Оz.
5. Дана точка В(4; - 3; - 4). Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из точки на оси координат и координатные плоскости.
6.На оси Оу найти точку, равноудаленную от двух точек А(1; 2; - 1) и В(-2; 3; 1).
7. В плоскости Охz найдите точку, равноудаленную от трех точек А(2; 1; 0); В(-1; 2; 3) и С(0;3;1).
8. Найдите длины сторон треугольника АВС и его площадь, если координаты вершин: А(-2; 0; 1), В(8; - 4; 9), С(-1;2; 3).
9. Найдите координаты проекций точек А(2; -3; 5); В (3;-5; ); С(- ; - ; - ).
10. Даны точки А(1; -1; 0) и В(-3; - 1; 2). Вычислите расстояние от начала координат до данных точек.
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Все величины, с которыми имеют дело в физике, технике, обыденной жизни разделяют на две группы. Первые полностью характеризуются своим численным значением: температура, длина, масса, площадь, работа. Такие величины называются скалярными.
Другие величины, например, сила, скорость, перемещение, ускорение и т.д. определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Называются такие величины векторными , или векторами. Векторная величина геометрически изображается в виде вектора.
Вектор
-это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий
определенную длину и направление.
Плоскости проекций V , H , W принимаются за координатные плоскости, а оси проекций X , Y , Z за координатные оси как положительные, так и отрицательные (рис. 10).
Положение точки в пространстве задается тремя координатами – X , Y , Z . Проекции точки задаются двумя координатами: а (х , y ), а′ (х , z ), а′′ (y , z ).
Зная направление для положительного и отрицательного значений координатных осей, принимая во внимание свойства проекций точки, можно построить проекции точки по координатам. Рассмотрим несколько задач на эту тему.
Задача. Построить проекции точки А (–10; 40; –30) (рис. 10).
Рис. 10. Построение проекций точки А по координатам
Для построения фронтальной проекции а′ точки А справа от точки О на оси Х откладываем значение Х = –10. Вниз от точки О по направлению оси Z откладываем значение Z = –30. Пересечением перпендикуляров из точек а X и а Z ,восстановленных к соответствующим осям Х и Z , определяем точку а′.
Для построения горизонтальной проекции а точки А по направлению оси Y вниз от точки О откладываем значение y = – 40. Через точку а Y проводим перпендикуляр до пересечения с линией связи а′а X . Отмечаем точку а – горизонтальную проекцию точки А . По расположению фронтальной и горизонтальной проекций точки А определяем, что точка А расположена в VΙΙΙ октанте.
Для построения профильной проекции а′′ точки А через ее фронтальную проекцию а′ проводим линию связи а′а Z и на ней, вправо от точки а Z , откладываем значение y = 40. Отмечаем точку а′′ – профильную проекцию точки А.
Задача. Построить проекции точек по координатам и указать октант, в котором находится каждая из них.
Исходные данные: А (10; –30; 40), В (70; 50; –10), С (20; 15; 0), D (60; 35; 40), Е (50; –10; –25).
Решение. Порядок выполнения графической части задачи (рис. 11):
1. Проводим оси координат Х , Y , Z. Указываем положительные и отрицательные их направления.
2. Построение точек выполняем в масштабе 1:1.
Точка А (10; –30; 40):
Фронтальную проекцию а′ точки А определяем по координатам Х , Z ; по оси Х откладываем 10 мм, по оси Z – 40 мм.
Горизонтальную проекцию а точки А определяем по координатам Х ,(–Y ), расстояние 30 мм откладываем по оси (–Y Z .
Профильную проекцию а′′ точки А определяем по координатам (–Y ), Z . В этом случае расстояние 30 мм откладывается по оси (–Y ), совпадающей с положительным направлением оси Х . Следовательно, точка А находится во ΙΙ октанте.
Точка В (70; 50; –10):
Строим фронтальную проекцию b′ (Х = 70; Y = –10) точки А . Расстояние 10 мм нужно отложить на отрицательном направлении оси Z . Уточните: фронтальная b′ и горизонтальная b проекции точки В будут расположены на линии связи ниже оси Х. Профильная проекция b′′ точки В располагается справа от оси Z и ниже оси Х . Анализируя знаки координат (+ + –) и расположение проекций точки, делаем вывод – точка В находится в ΙV октанте.
Точка С (20; 15; 0):
При построении этой точки очевидно, что фронтальная проекция с′ точки С лежит на оси Х , а ее профильная проекция а′′ лежит на оси Y , совпадающей с отрицательным направлением оси Х . Удаление точки С от плоскости проекций Н равно нулю (y = 0), следовательно, точка С лежит в плоскости Н , на границе Ι и ΙV октантов.
Точка D (60; 35; 40):
Все значения координат положительные, следовательно, точка D находится в Ι октанте.
Точка Е (50; –10; –25):
При отрицательных значениях Y и Z точка располагается в ΙΙΙ октанте. Проекции такой точки располагаются:
Фронтальная проекция е′ точки Е располагается ниже оси Х , слева от оси Y ;
Горизонтальная проекция е точки Е располагается выше оси Х , слева от оси Z ;
Профильная проекция е′′ точки Е располагается слева от оси Z , ниже оси Х .
Вывод. Положение точки в пространстве вполне определено, если известны три ее координаты или две любые ортогональные проекции. Как следствие из этого – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки можно всегда построить недостающую ее третью ортогональную проекцию.
Рис. 11. Построение точек по координатам с указанием октантов
Рассмотри построение точки по двум заданным ортогональным проекциям.
Задача. По двум заданным ортогональным проекциям построить недостающую проекцию точки В (рис. 12).
Рис. 12. Графическое условие задачи
Решение. Анализируем графическое условие задачи: заданы фронтальная и профильная проекции точки В. Это значит, заданы все три координаты точки В. Следовательно, необходимо построить ее горизонтальную проекцию.
1. Для построения горизонтальной проекции точки В необходимо знать Х В и У В . Эти координаты находим на чертеже.
2. Замеряем У В = b Z b′′ и откладываем эту координату вдоль линии связи от оси ОХ от точки b Х.
3. Строим горизонтальную проекцию точки В (рис. 13).
Рис. 13. Построение недостающей проекции точки В
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
При ортогональном проецировании на плоскости проекций прямая линия проецируется в виде прямой. Чтобы построить проекции этой прямой линии, проходящей через заданные точки А и В , нужно построить проекции этих точек и провести прямые линии через их одноименные проекции (рис. 14). Получим:
аb – горизонтальную проекцию отрезка прямой;
а′b′ – фронтальную проекцию отрезка прямой.
Рис. 14. Проекции отрезка прямой, проходящего через две точки
Следы прямой
Прямая пересекает плоскости проекций в точках, которые называются следами прямой.
Точка пересечения прямой N с горизонтальной плоскостью проекций Н (П 1) называется горизонтальным следом N H .
Точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций V (П 2) – фронтальным следом N V .
Точка пересечения прямой N с профильной плоскостью проекций W (П 3) – профильным следом N W прямой.
Вывод:
· горизонтальный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая в горизонтальной плоскости проекций H (П 1);
· фронтальный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая во фронтальной плоскости проекций V (П 2);
· профильный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая в профильной плоскости проекций W (П 3).
Задача. Построить точки пересечения прямой N с горизонтальной Н (П 1) и фронтальной V (П 2) плоскостями проекций (рис. 15аб ).
Анализируя задачу, приходим к выводу, что необходимо построить горизонтальный и фронтальный следы прямой.
1. Построение фронтального следа N V .
N и фронтальной плоскости проекций. Согласно изложенному ранее материалу, горизонтальная проекция искомой точки должна:
– лежать на оси Х ;
– принадлежать горизонтальной проекции прямой N .
Порядок выполнения графической части задачи:
1.1. Отмечаем точку пересечения горизонтальной проекции n прямой N с осью Х , получаем точку n V – горизонтальную проекцию фронтального следа.
1.2. Через точку n V Х .
1.3. Находим точку пересечения линии связи с фронтальной проекцией n′ прямой N , получаем точку N V – фронтальную проекцию фронтального следа. Через эту точку прямая уходит во вторую четверть (рис. 15а ) и в третью четверть (рис. 15б ).
2. Построение горизонтального следа N H .
Необходимо построить точку, принадлежащую прямой N и горизонтальной плоскости проекций Н . Согласно изложенному ранее материалу, фронтальная проекция искомой точки должна:
– лежать на оси Х ;
– принадлежать фронтальной проекции прямой N .
Порядок выполнения графической части задачи:
2.1. Отмечаем точку пересечения фронтальной проекции n ′ прямой N с осью Х , получаем точку n H – фронтальную проекцию горизонтального следа.
2.2. Через точку n H проводим линию связи перпендикулярно оси Х .
2.3. Находим точку пересечения линии связи с горизонтальной проекцией n прямой N , получаем фронтальную проекцию фронтального следа. В этой точке прямая пересекает горизонтальную плоскость и уходит в четвертую четверть (рис. 15а ,б ).
|
|
Рис. 15. Построение следов прямой линии N :
а – прямая уходит во вторую четверть; б – прямая уходит в третью четверть
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
Образование отрезка прямой линии АА 1 можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н (рис. 84, а), а образование плоскости - как перемещение отрезка прямой линии АВ (рис. 84, б).
Точка - основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.
В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями - фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций V и горизонтальной плоскостью проекций Н, поместим точку А (рис. 85, а).
Линия пересечения плоскостей проекций - прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.
Плоскость V здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н - в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины.
Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости V и Н. Точки а"и а пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Ааа х а" в пространстве - прямоугольник. Сторона аах этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.
Совместим плоскости Н с плоскостью V ,вращая V вокруг линии пересечения плоскостей х. В результате получается комплексный чертеж точки А (рис. 85, б)
Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций V и Н не указывают (рис. 85, в).
Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий - точки а и а" - называются проекциями точки А: а" - фронтальная проекция точки А, а - горизонтальная проекция точки А.
Линия а" а называется вертикальной линией проекционной связи.
Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве.
Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 86, а), то ее горизонтальная проекция а совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция а" располагается на оси При расположении точки В на фронтальной плоскости проекций V ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой, а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой. Комплексный чертеж точек А, В и С показан на рис. 86, б.
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить себе форму предмета, его проецируют на три плоскости проекций. В этом случае вводится профильная плоскость проекций W, перпендикулярная плоскостям V и Н. Наглядное изображение системы из трех плоскостей проекций дано на рис. 87, а.
Ребра трехгранного угла (пересечение плоскостей проекций) называются осями проекций и обозначаются x, у и z. Пересечение осей проекций называется началом осей проекций и обозначается буквой О. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость проекций W и, отметив основание перпендикуляра буквой а", получим профильную проекцию точки А.
Для получения комплексного чертежа точки А плоскости Н и W совмещают с плоскостью V, вращая их вокруг осей Ох и Oz. Комплексный чертеж точки А показан на рис. 87, б и в.
Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций называются координатами точки А и обозначаются: х А, у А и z A .
Например, координата z A точки А, равная отрезку а"а х (рис. 88, а и б), есть расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н. Координата у точки А, равная отрезку аа х, есть расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций V. Координата х А, равная отрезку аа у - расстояние от точки А до профильной плоскости проекций W.
Таким образом, расстояние между проекцией точки и осью проекции определяют координаты точки и являются ключом к чтению ее комплексного чертежа. По двум проекциям точки можно определить все три координаты точки.
Если заданы координаты точки А (например, х А =20 мм, у А =22мм и z A = 25 мм), то можно построить три проекции этой точки.
Для этого от начала координат О по направлению оси Oz откладывают вверх координату z A и вниз координату у А.Из концов отложенных отрезков - точек a z и а у (рис. 88, а) - проводят прямые, параллельные оси Ох, и на них откладывают отрезки, равные координате х А. Полученные точки а" и а - фронтальная и горизонтальная проекции точки А.
По двум проекциям а" и а точки А построить ее профильную проекцию можно тремя способами:
1) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оа у, равным координате (рис. 87, б и в), из полученной точки а у1 проводят прямую, параллельную оси Oz, и откладывают отрезок, равный z A ;
2) из точки а у проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, а), получают точку а у1 и т. д.;
3) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, б), получают точку а у1 и т. д.
Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.
По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:
Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A", имеющая координаты x, y. Проведем из т. A" перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A х, A у. Координата х для т. A равна длине отрезка A х O со знаком плюс, так как A х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A у O со знаком минус, так как т. A у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A"" имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A"" на ось z и найдем A z . Координата z точки A равна длине отрезка A z O со знаком минус, так как A z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).
Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В". Так как она лежит на оси х, то B x = B" и координата B у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B х O со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B"" к оси z, таким образом найдем B z . Аппликата z точки B равна длине отрезка B z O со знаком минус, так как B z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.
Построение проекций точек
Точки A и B в плоскости П 3 имеют следующие координаты: A""" (y, z); B""" (y, z). При этом A"" и A""" лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B"" и B""". Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A у O. После этого проведем перпендикуляр из A у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A"" к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A""".
Точка B""" лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B"" к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B""".
Определение положения точек в пространстве
Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 , расположение октантов , а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П 2 .
Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.
| Октанты | Знаки координат | ||
| x | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П 2 . Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.
Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П 1 , П 2 , П 3
Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П 1 , П 2 , П 3 , а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.
Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A". Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки A х и A у. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из A х и A у соответственно к осям x и y определяет положение т. A". Отложив от A" параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA", длина которого равна 10, находим положение точки A.
Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П 2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из B х и B z , определит положение точки B.
Похожие статьи
